卢瑟福模型
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常用原子质量单位 u：
1u 1 (g) 1.660538782(83)1027 (kg) NA
原子质量与原子量的关系：
A(g) MA NA
其中A 为原子量，MA为原子质 量，NA 为阿伏伽德罗常数。
可算出氢原子的质量为：
M H 1.67367 1024 (g)
原子的大小可按不同方法估计：
角动量的大小。
dv
Z1Z 2 e 2
4 0L
r0d
上式两端同时积分 mv
y xr
vf
dv
vi
vf
vi
Z1Z2e2
4 0L
Z1Z2e2
4 0L
Z1Z2e2
+Z1e
r0d
i
cos
d
r0
(2).假定粒子与原子核之间只有库仑力相互作用；
(3).靶原子核静止（原子核质量比 粒子质量大得多，即
Z1<<Z2)
(4).假定只发生单次散射。（散射现象只有当入射粒子与
靶原子核距离相近时，才会有明显的作用，所以发生散射的机 会很少。）
1. 库仑散射公式，偏转角 与瞄准距离 b 的关系
入射粒子电荷为 Z1e，入射能量 E ，与电荷Z2e 的
质量密度 g/cm3
原子半径 r/nm
Li
7
0.7
0.16
Al
27
2.7
0.16
Cu
63
8.9
0.14
S
32
Pb 207
2.07 11.34
0.18 0.19
不同元素的原子 半径相差不大？
二、电子的发现 1833年，法拉第提出电解定律并由之推得：一摩尔任何 原子的单价离子永远带有相同的电量(法拉第常数F)， 其值是法拉第在实验中首次确定的。
§4 卢瑟福公式的实验验证 §5 行星模型的意义及困难
§1 背景知识
一、原子的质量和大小
常用相对值来表示原子质量: 把碳在自然界中最丰富的 一种同位素12C的质量定为12.000个单位作为原子质量 的标准，其他原子的质量同碳12比较，定出质量相对值， 称为原子量。
例如：氢的原子量是l.0079、氧是15.999、铜是63.54。 原子量可用化学方法测定。
L mvb
r b
+Z2e
即
b
a 2
ctg
2
e2 a
Z1Z 2
4 0 E
a e2 Z1Z2
4 0 E
• 在入射能量 E 固定的情况下（库仑散射因子 a
固定），对某一b，有一定的与之对应。
• 瞄准距离 b 减小，则散射角θ 增大。当 b 足够 小时，θ 可以大于 900，甚至接近1800。
1909年，卢瑟福、盖革和马斯登发 现 粒子轰击原子时，大约每八千 个 粒子中有一个被反射回来。汤 姆逊模型无法解释该结果。
卢瑟福根据实验结果于1911年提出 了原子的“核式结构模型”(也被 称为“卢瑟福行星模型”)
E. Rutherford，(英) 1908年诺贝尔化学奖
粒子散射实验
α
粒子(氦核
dN Nntd
a2
16 sin 4
2
单位面积内每个靶核，单位入射粒子、单位立 体角内的散射粒子数。
靶的单位面积内的每个靶原子核，将α 粒子散 射到θ 方向单位立体角的概率。
凡通过以b为外半径、b-db为内半径的环形面积的粒
子，必散射到角度在和+d之间的一个空心圆锥体
之中。环形面积等于
dA 2b | db |
环形面积等于
dA
2b |
db |
2a2 sin d 16 sin 4
2
可用空心圆锥体的立体角表达以代替d：
d
2r sin rd
1874年，斯通尼指出，电离后的原子所带的电荷为一基 本电荷的整数倍，并推算出这一基本电荷的近似值(e=F /N0)。在1881年，斯通尼提出用“电子”命名基本电荷。
1897年，英国物理学家汤姆逊(J. J. Thomson) 从实 验确认了电子的存在，测出了电子的荷质比e/m。
J. J. Thomson， 1906年诺贝尔物理奖
靶核发生散射，则有
即：
其中库仑散 射因子为
ctg
2
4 0mv2b
Z1Z 2 e 2
a e2 Z1Z2
4 0 E
m：入射粒子质量
mv
r
v：入射粒子原速度
+Z1e
b b：瞄准距离
+Z2e
由牛顿定律和
库仑定律，有：
m dv
dt
m dv
d
d
dt
Z1Z 2e 2
4 0r 2
世纪之交的三大发现
1895年德国物理学家伦琴（W.K.Rontgen）发现X射线。 获得首届诺贝尔物理学奖（1901年）。
1896年法国物理学家贝克勒尔（A.H.Becquerel）发现放 射性。与居里夫妇共同获得1903年的诺贝尔物理学奖。
1897年英国物理学家汤姆逊（J. J. Thomson）发现电子。 获得了1906年的诺贝尔物理学奖。
r2
2 sin d
dA
2b | db |
a 2d
16 sin 4
2
则粒子打在这个环上的概率为
dA A
a 2 d 16 Asin 4
2
dA r sinθ
r θ
薄膜很薄，原子核前后不互相遮蔽，一个α 粒子被散 射到θ →θ +dθ 方向的概率为
dp(
)
16
a 2 d Asin 4
(3) 由范德瓦尔斯方程：
p
a V2
V
b
RT
b值等于(1 mol)分子所占体积的四倍，由实验测出b， 就可算出分子直径，其数量级和原子半径相同。
用不同方法估算出的原子半径有一定的偏差，但数量 级相同，都是10-10米。
不同原子的半径 (1nm=10-9 m=0.1 A)
元素 质量数
原子物理学
关于物质微观结构的一门科学，研究原子、分子等 微观粒子运动和相互作用规律。
原子概念的提出已有两千多年的历史，但现在说的原 子物理学是在20世纪初开始形成的一门学科。
原子层次，介于分子和原子核两层次之间。与材料、 化学、生物等学科联系紧密。
物理学研究的不同 能标（尺度）
质量: 跨跃约80个数量级 空间：微观粒子10-15m ---- 宇宙尺寸1027m（哈勃半径） 时间：微观粒子寿命10-24s；宇宙年龄----1018s
dN
Ndp(
)
N
a 2 d 16 Asin 4
2
nAt
a 2 d
Nnt 16 sin 4
2
定义微分截面：
c ( )
dN Nntd
a2 16 sin 4
2
具有面积量纲 单位是 m2/sr(球面度)
或 b/sr 靶：1 b=10-28m2
卢瑟福散射公式
微分截面：
c ( )
qvB qE v2 m qvB r
qE m rB2
“一位最先打开通向基本粒子物理学大门的伟人。”
1910年，密立根“油滴实验”精确测量电子电量，得：
e 1.591019 C
现在公认值：
e 1.602176487(40) 1019 C
密立根(R. A. Mi llikan)，1923年 诺贝尔物理奖。
nAt
2
如果总共有N 个α 粒子打在金属箔上，则在θ →θ +dθ
(d)方向上能够测量到的 α 粒子数为
dN
Ndp( )
a 2 d
N 16 Asin 4
nAt
2
a e2 Z1Z2
4 0 E
N 个α 粒子打在金属箔上，则在θ →θ +dθ (d)方向上
能够测量到的 α 粒子数为
FT
Z1Z2e2
4 0r2
Z1Z2e2r
4 0R3
rR rR
FR
Z1Z 2e 2
4 0r 2
§ 3 卢瑟福散射公式 为了问题的简化，对散射过程作如下的假设:
(1).忽略核外电子的作用。（核外电子的质量不到原子的千
分之一，它们对散射的影响极小，所以可以忽略不计。）
vi
Z1Z2e2 cos 2 0L 2
而由矢量图可知
vf
vi
2v sin 2
v f vi
所以
Z1Z2e2 cos 2v sin
2 0L 2
2
vi
vf
ctg
2
4 0vL
Z1Z 2e 2
4 0mv2b
Z1Z 2e 2
mv +Z1e
(1) 假设某固体元素的原子为球状，半径为 r，原子之 间是紧密堆积在一起，原子的质量密度是(克/厘米3)。
A克 AX 原子含有 NA 个X原子，所以：
4 3
r3N A
A
3A
r 3
(cm)
4N A
(2) 根据气体分子平均自由程
1 4 2nr 2
由实验测出及分子数密度n，即可算出r。
汤姆逊模型:
粒子受到原子正电荷的最大作用力： 粒子每次碰撞的最大偏转角：
F
2Ze2
4 0 R 2
p F(2R / v)
p
m v
p
p
2Ze2 40R
m v2 2
能量为5MeV的粒子在金(Au,Z=79)箔上散射，每次
碰撞的最大偏转角算得 103 rad
• 但要想通过实验验证，却存在困难，因为瞄准距
离 b 仍然无法准确测量，所以还需要使微观量与
宏观可观测量联系起来。
2. 卢瑟福公式
设粒子入射到薄箔上，薄箔面积为A，厚度为t （薄箔很薄，以致对射来的粒子前后不互相遮蔽）， 单位体积内的原子核数为 n。
瞄准距离在b和b-db之间的粒子，散射后必定向着 和+d之间的角度射出。
量子力学的建立
在1923～1927年间，量子力学建立。
海森堡（Hersenberg）和薛定谔（Schrodinger）两人几乎
同时各自提出了自己的理论。后来证明，这两种理论是等价
的。其后多位科学家共同完善了量子力学理论。
第一章 原子的位形：卢瑟福模型
§1 背景知识 §2 卢瑟福模型的提出 §3 卢瑟福散射公式
r0
Z1Z 2e 2
4 0r 2
r0
mv +Z1e
dv
d
Z1Z 2 e 2
4
0mr2
d
dt
r0
可得：
dv
Z1Z 2 e 2
4 0L
r0d
y
xr b
+Z2e
因库仑力是中心力， 角动量守恒：
mr2 d mr2 d L
dt
dt
L为常数，代表入射粒子
由电子电量及荷质比定出电子质量：
特别重要的是：密立根发现电荷是量子化的，即任何 电荷都只能是电子电荷量e的整数倍。
§2 卢瑟福模型的提出
1. 汤姆逊(Thomson)模型（1898） 原子中带正电部分 均匀分布在原子体 内,电子镶嵌在其中。
“布丁模型”，“ 葡萄干面包模型”， “西瓜模型”
15
2.卢瑟福的核式结构模型(行星模型)
初期的原子学说
1806年，法国普鲁斯脱发现 定比定律 1807年，英国道尔顿的 倍比定律 1808年，气体的体积成简比的定律 1811年，阿伏加德罗定律 1826年，布朗运动 1833年，法拉弟 电解定律 1869年，元素周期律
19世纪末，开始认识到，原子只是物质结构的一个层次。
2 4
He
)轰击金
属箔，在原子中带电物质的
电场力作用下，偏离原来的入射方向而发生散射现象。
金 镭放射 箔 源
荧光
屏
显微 镜
粒 子 实验结果：绝大部分粒子散射角很小（2-3），但有 1/8000的粒子偏转角大于90 ，甚至被反射回来。
氦核质量是电子质量的7300多倍，因此其运动基本不 受电子影响。
j
+Z2e
i cos jHale Waihona Puke Baidusin
sind
i sin j(1 cos )
b
4 0L
Z1Z2e2
cos
i
sin
j
cos
大小：
2
0
L
v f vi
2
2
Z1Z2e2 cos
2 0L 2
2
vf
量子阶梯
学习中需注意： 原子是微观系统
经典物理学中的规律是 从宏观现象中总结出来 的，不一定都适用于微 观体系。
不过有时半经典模型也 能给出较直观图像和有 效的计算结果。
原子物理学的发展
早期的原子论
“原子”一词来自希腊文，意思是“不可分割的”。公元前 四世纪，古希腊哲学家德谟克利特提出这一概念，并把它当 作物质的最小单元。
即使1的偏转，也必须经过多次碰撞。但每次碰撞偏转 的方向是随机的，所以发生大角度偏转的概率极低，发 生90散射的概率为10-3500！而实验结果却是1/8000。
汤姆逊模型无法解释 粒子散射实验中的大角度散射。
卢瑟福核式结构模型(1911):
原子中心有一个极小的原子核，它集中了全部正电 荷和几乎所有的质量，所有电子都分布在它的周围。
1u 1 (g) 1.660538782(83)1027 (kg) NA
原子质量与原子量的关系：
A(g) MA NA
其中A 为原子量，MA为原子质 量，NA 为阿伏伽德罗常数。
可算出氢原子的质量为：
M H 1.67367 1024 (g)
原子的大小可按不同方法估计：
角动量的大小。
dv
Z1Z 2 e 2
4 0L
r0d
上式两端同时积分 mv
y xr
vf
dv
vi
vf
vi
Z1Z2e2
4 0L
Z1Z2e2
4 0L
Z1Z2e2
+Z1e
r0d
i
cos
d
r0
(2).假定粒子与原子核之间只有库仑力相互作用；
(3).靶原子核静止（原子核质量比 粒子质量大得多，即
Z1<<Z2)
(4).假定只发生单次散射。（散射现象只有当入射粒子与
靶原子核距离相近时，才会有明显的作用，所以发生散射的机 会很少。）
1. 库仑散射公式，偏转角 与瞄准距离 b 的关系
入射粒子电荷为 Z1e，入射能量 E ，与电荷Z2e 的
质量密度 g/cm3
原子半径 r/nm
Li
7
0.7
0.16
Al
27
2.7
0.16
Cu
63
8.9
0.14
S
32
Pb 207
2.07 11.34
0.18 0.19
不同元素的原子 半径相差不大？
二、电子的发现 1833年，法拉第提出电解定律并由之推得：一摩尔任何 原子的单价离子永远带有相同的电量(法拉第常数F)， 其值是法拉第在实验中首次确定的。
§4 卢瑟福公式的实验验证 §5 行星模型的意义及困难
§1 背景知识
一、原子的质量和大小
常用相对值来表示原子质量: 把碳在自然界中最丰富的 一种同位素12C的质量定为12.000个单位作为原子质量 的标准，其他原子的质量同碳12比较，定出质量相对值， 称为原子量。
例如：氢的原子量是l.0079、氧是15.999、铜是63.54。 原子量可用化学方法测定。
L mvb
r b
+Z2e
即
b
a 2
ctg
2
e2 a
Z1Z 2
4 0 E
a e2 Z1Z2
4 0 E
• 在入射能量 E 固定的情况下（库仑散射因子 a
固定），对某一b，有一定的与之对应。
• 瞄准距离 b 减小，则散射角θ 增大。当 b 足够 小时，θ 可以大于 900，甚至接近1800。
1909年，卢瑟福、盖革和马斯登发 现 粒子轰击原子时，大约每八千 个 粒子中有一个被反射回来。汤 姆逊模型无法解释该结果。
卢瑟福根据实验结果于1911年提出 了原子的“核式结构模型”(也被 称为“卢瑟福行星模型”)
E. Rutherford，(英) 1908年诺贝尔化学奖
粒子散射实验
α
粒子(氦核
dN Nntd
a2
16 sin 4
2
单位面积内每个靶核，单位入射粒子、单位立 体角内的散射粒子数。
靶的单位面积内的每个靶原子核，将α 粒子散 射到θ 方向单位立体角的概率。
凡通过以b为外半径、b-db为内半径的环形面积的粒
子，必散射到角度在和+d之间的一个空心圆锥体
之中。环形面积等于
dA 2b | db |
环形面积等于
dA
2b |
db |
2a2 sin d 16 sin 4
2
可用空心圆锥体的立体角表达以代替d：
d
2r sin rd
1874年，斯通尼指出，电离后的原子所带的电荷为一基 本电荷的整数倍，并推算出这一基本电荷的近似值(e=F /N0)。在1881年，斯通尼提出用“电子”命名基本电荷。
1897年，英国物理学家汤姆逊(J. J. Thomson) 从实 验确认了电子的存在，测出了电子的荷质比e/m。
J. J. Thomson， 1906年诺贝尔物理奖
靶核发生散射，则有
即：
其中库仑散 射因子为
ctg
2
4 0mv2b
Z1Z 2 e 2
a e2 Z1Z2
4 0 E
m：入射粒子质量
mv
r
v：入射粒子原速度
+Z1e
b b：瞄准距离
+Z2e
由牛顿定律和
库仑定律，有：
m dv
dt
m dv
d
d
dt
Z1Z 2e 2
4 0r 2
世纪之交的三大发现
1895年德国物理学家伦琴（W.K.Rontgen）发现X射线。 获得首届诺贝尔物理学奖（1901年）。
1896年法国物理学家贝克勒尔（A.H.Becquerel）发现放 射性。与居里夫妇共同获得1903年的诺贝尔物理学奖。
1897年英国物理学家汤姆逊（J. J. Thomson）发现电子。 获得了1906年的诺贝尔物理学奖。
r2
2 sin d
dA
2b | db |
a 2d
16 sin 4
2
则粒子打在这个环上的概率为
dA A
a 2 d 16 Asin 4
2
dA r sinθ
r θ
薄膜很薄，原子核前后不互相遮蔽，一个α 粒子被散 射到θ →θ +dθ 方向的概率为
dp(
)
16
a 2 d Asin 4
(3) 由范德瓦尔斯方程：
p
a V2
V
b
RT
b值等于(1 mol)分子所占体积的四倍，由实验测出b， 就可算出分子直径，其数量级和原子半径相同。
用不同方法估算出的原子半径有一定的偏差，但数量 级相同，都是10-10米。
不同原子的半径 (1nm=10-9 m=0.1 A)
元素 质量数
原子物理学
关于物质微观结构的一门科学，研究原子、分子等 微观粒子运动和相互作用规律。
原子概念的提出已有两千多年的历史，但现在说的原 子物理学是在20世纪初开始形成的一门学科。
原子层次，介于分子和原子核两层次之间。与材料、 化学、生物等学科联系紧密。
物理学研究的不同 能标（尺度）
质量: 跨跃约80个数量级 空间：微观粒子10-15m ---- 宇宙尺寸1027m（哈勃半径） 时间：微观粒子寿命10-24s；宇宙年龄----1018s
dN
Ndp(
)
N
a 2 d 16 Asin 4
2
nAt
a 2 d
Nnt 16 sin 4
2
定义微分截面：
c ( )
dN Nntd
a2 16 sin 4
2
具有面积量纲 单位是 m2/sr(球面度)
或 b/sr 靶：1 b=10-28m2
卢瑟福散射公式
微分截面：
c ( )
qvB qE v2 m qvB r
qE m rB2
“一位最先打开通向基本粒子物理学大门的伟人。”
1910年，密立根“油滴实验”精确测量电子电量，得：
e 1.591019 C
现在公认值：
e 1.602176487(40) 1019 C
密立根(R. A. Mi llikan)，1923年 诺贝尔物理奖。
nAt
2
如果总共有N 个α 粒子打在金属箔上，则在θ →θ +dθ
(d)方向上能够测量到的 α 粒子数为
dN
Ndp( )
a 2 d
N 16 Asin 4
nAt
2
a e2 Z1Z2
4 0 E
N 个α 粒子打在金属箔上，则在θ →θ +dθ (d)方向上
能够测量到的 α 粒子数为
FT
Z1Z2e2
4 0r2
Z1Z2e2r
4 0R3
rR rR
FR
Z1Z 2e 2
4 0r 2
§ 3 卢瑟福散射公式 为了问题的简化，对散射过程作如下的假设:
(1).忽略核外电子的作用。（核外电子的质量不到原子的千
分之一，它们对散射的影响极小，所以可以忽略不计。）
vi
Z1Z2e2 cos 2 0L 2
而由矢量图可知
vf
vi
2v sin 2
v f vi
所以
Z1Z2e2 cos 2v sin
2 0L 2
2
vi
vf
ctg
2
4 0vL
Z1Z 2e 2
4 0mv2b
Z1Z 2e 2
mv +Z1e
(1) 假设某固体元素的原子为球状，半径为 r，原子之 间是紧密堆积在一起，原子的质量密度是(克/厘米3)。
A克 AX 原子含有 NA 个X原子，所以：
4 3
r3N A
A
3A
r 3
(cm)
4N A
(2) 根据气体分子平均自由程
1 4 2nr 2
由实验测出及分子数密度n，即可算出r。
汤姆逊模型:
粒子受到原子正电荷的最大作用力： 粒子每次碰撞的最大偏转角：
F
2Ze2
4 0 R 2
p F(2R / v)
p
m v
p
p
2Ze2 40R
m v2 2
能量为5MeV的粒子在金(Au,Z=79)箔上散射，每次
碰撞的最大偏转角算得 103 rad
• 但要想通过实验验证，却存在困难，因为瞄准距
离 b 仍然无法准确测量，所以还需要使微观量与
宏观可观测量联系起来。
2. 卢瑟福公式
设粒子入射到薄箔上，薄箔面积为A，厚度为t （薄箔很薄，以致对射来的粒子前后不互相遮蔽）， 单位体积内的原子核数为 n。
瞄准距离在b和b-db之间的粒子，散射后必定向着 和+d之间的角度射出。
量子力学的建立
在1923～1927年间，量子力学建立。
海森堡（Hersenberg）和薛定谔（Schrodinger）两人几乎
同时各自提出了自己的理论。后来证明，这两种理论是等价
的。其后多位科学家共同完善了量子力学理论。
第一章 原子的位形：卢瑟福模型
§1 背景知识 §2 卢瑟福模型的提出 §3 卢瑟福散射公式
r0
Z1Z 2e 2
4 0r 2
r0
mv +Z1e
dv
d
Z1Z 2 e 2
4
0mr2
d
dt
r0
可得：
dv
Z1Z 2 e 2
4 0L
r0d
y
xr b
+Z2e
因库仑力是中心力， 角动量守恒：
mr2 d mr2 d L
dt
dt
L为常数，代表入射粒子
由电子电量及荷质比定出电子质量：
特别重要的是：密立根发现电荷是量子化的，即任何 电荷都只能是电子电荷量e的整数倍。
§2 卢瑟福模型的提出
1. 汤姆逊(Thomson)模型（1898） 原子中带正电部分 均匀分布在原子体 内,电子镶嵌在其中。
“布丁模型”，“ 葡萄干面包模型”， “西瓜模型”
15
2.卢瑟福的核式结构模型(行星模型)
初期的原子学说
1806年，法国普鲁斯脱发现 定比定律 1807年，英国道尔顿的 倍比定律 1808年，气体的体积成简比的定律 1811年，阿伏加德罗定律 1826年，布朗运动 1833年，法拉弟 电解定律 1869年，元素周期律
19世纪末，开始认识到，原子只是物质结构的一个层次。
2 4
He
)轰击金
属箔，在原子中带电物质的
电场力作用下，偏离原来的入射方向而发生散射现象。
金 镭放射 箔 源
荧光
屏
显微 镜
粒 子 实验结果：绝大部分粒子散射角很小（2-3），但有 1/8000的粒子偏转角大于90 ，甚至被反射回来。
氦核质量是电子质量的7300多倍，因此其运动基本不 受电子影响。
j
+Z2e
i cos jHale Waihona Puke Baidusin
sind
i sin j(1 cos )
b
4 0L
Z1Z2e2
cos
i
sin
j
cos
大小：
2
0
L
v f vi
2
2
Z1Z2e2 cos
2 0L 2
2
vf
量子阶梯
学习中需注意： 原子是微观系统
经典物理学中的规律是 从宏观现象中总结出来 的，不一定都适用于微 观体系。
不过有时半经典模型也 能给出较直观图像和有 效的计算结果。
原子物理学的发展
早期的原子论
“原子”一词来自希腊文，意思是“不可分割的”。公元前 四世纪，古希腊哲学家德谟克利特提出这一概念，并把它当 作物质的最小单元。
即使1的偏转，也必须经过多次碰撞。但每次碰撞偏转 的方向是随机的，所以发生大角度偏转的概率极低，发 生90散射的概率为10-3500！而实验结果却是1/8000。
汤姆逊模型无法解释 粒子散射实验中的大角度散射。
卢瑟福核式结构模型(1911):
原子中心有一个极小的原子核，它集中了全部正电 荷和几乎所有的质量，所有电子都分布在它的周围。