人教中考数学复习锐角三角函数专项易错题含答案解析

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．

【答案】．

【解析】

试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．

试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，

∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，

∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，

∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．

2．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），

∠BPE=1

2

∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；

（2）通过观察、测量、猜想：BF

PE

=，并结合图2证明你的猜想；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE

的

值．（用含α的式子表示）

【答案】（1）证明见解析（2）

1

2

BF

PE

=（3）

1

tan

2

BF

PE

α

=

【解析】

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．

∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．

（2）BF1

PE2

=．证明如下：

如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．

∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．

∴NB=NP．

∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．

∵∠BPE=1

2

∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．

∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．

又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=1

2 BM．

∴BF=1

2PE，即

BF1

PE2

=．

（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．

由（2）同理可得BF=1

2

BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．

∴

BM BN

PE PN

=． 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴

BM =tan PE α，即2BF

=tan PE

α． ∴

BF 1

=tan PE 2

α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．

（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出

BF 1

PE 2

=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=1

2

BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BN

tan =PN

α即可求得

BF 1

=tan PE 2

α．

3．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN ,DM ,CB 为三根垂直于AB 的支柱,垂足分别为N ,M ,B ,∠EAB=31°,DF ⊥BC 于点F ,∠CDF=45°,求DM 和BC 的水平距离BM 的长度.(结果精确到0.1 m .参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)

【答案】2.5m. 【解析】

试题分析：设DF=x ，在Rt △DFC 中，可得CF=DF=x ，则BF=4-x ，根据线段的和差可得AN=5-x ，EN=DM=BF=4－，在Rt △ANE 中，∠EAB=

，利用∠EAB 的正切值解得x 的

值．

试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，

∴CF=tan·DF=，

又∵CB=4，

∴BF=4－，

∵AB=6，DE=1，BM= DF=，

∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，

在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，

tan==0．60，

解得=2．5，

答：DM和BC的水平距离BM为2．5米．

考点：解直角三角形．

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是⊙C外一点，连接CP交⊙C于点Q，点P关于点Q的对称点为P′，当点P′在线段CQ上时，称点P为⊙C“友好点”．已知A(1，0)，B(0，2)，C(3，3)

(1)当⊙O的半径为1时，

①点A，B，C中是⊙O“友好点”的是；

②已知点M在直线y＝﹣3

x+2 上，且点M是⊙O“友好点”，求点M的横坐标m的取值

范围；

(2)已知点D(23，0)，连接BC，BD，CD，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，半径为1，若在△BCD 上存在一点N，使点N是⊙T“友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围．

【答案】(1)①B；②0≤m3(2)﹣3t＜3

【解析】

【分析】

(1))①根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，所以点B是⊙O“友好点”；

②设M(m，﹣

3

3

m+2 )，根据“友好点”的定义，OM

2

2

3

22

2

m m

⎛⎫

+-+≤

⎪

⎪

⎝⎭

，由此