【数学】数学 锐角三角函数的专项 培优 易错 难题练习题及答案解析

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．

（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；

（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）

（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）

【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】

（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；

（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】

（1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC 中，sin AC B AB =

，所以3sin 3725155

AC AB ︒

=⋅=⨯=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.

（2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM 中，4

sin 15125

CM AC CAM =⋅∠=⨯

=，3

cos 1595

AM AC CAM =⋅∠=⨯=.

在Rt ADM △中，tan MD

DAM AM

∠=，

所以tan 7636MD AM ︒=⋅=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC =

+=+==-=，.

设缉私艇的速度为v海里/小时，则有24917

16v

=，解得617

v=.

经检验，617

v=是原方程的解.

答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

2．（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，

AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=

2

2

．动点P

在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线

A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；

（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；

（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

【答案】解：（1）（﹣4，0）；y=x+4．

（2）在点P、Q运动的过程中：

①当0＜t≤1时，如图1，

过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．

过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ•cos∠CBF=5t•3

5

=3t．

∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，

S=1

2

PM•PE=

1

2

×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t．

②当1＜t≤2时，如图2，

过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t．

S=1

2

PM•PE=

1

2

×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t．

③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，

即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=16

7

．

当2＜t＜16

7

时，如图3，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，

S=1

2

PM•MQ=

1

2

×4×（16﹣7t）=﹣14t+32．

综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为

()

()

2

2

5t14t0

S{7t16t1

16

14t322

7

-+≤

=-+≤

⎛⎫

-+ ⎪

⎝⎭

．

（3）①当0＜t≤1时，

2

2

749

S5t14t5t

55

⎛⎫

=-+=--+

⎪

⎝⎭

，

∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=7

5

，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大．

∴当t=1时，S有最大值，最大值为9．

②当1＜t≤2时，

2

2

864

S7t16t7t

77

⎛⎫

=-+=--+

⎪

⎝⎭

，

∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=8

7

，

∴当t=8

7时，S有最大值，最大值为

64

7

．

③当2＜t＜16

7

时，S=﹣14t+32

∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小．

又∵当t=2时，S=4；当t=16

7

时，S=0，∴0＜S＜4．

综上所述，当t=8

7

时，S有最大值，最大值为

64

7

．

（4）t=20

9

或t=

12

5

时，△QMN为等腰三角形．

【解析】

（1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sin∠

DAB=

2

，利用特殊三角函数值，得到

△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式：

∵C（7，4），AB∥CD，∴D（0，4）．

∵sin∠

DAB=

2

，∴∠DAB=45°．∴OA=OD=4．∴A（﹣4，0）．

设直线l的解析式为：y=kx+b，则有

4k b0

{

b4

-+=

=

，解得：

k1

{

b4

=

=

．∴y=x+4．

∴点A坐标为（﹣4，0），直线l的解析式为：y=x+4．

（2）弄清动点的运动过程分别求解：①当0＜t≤1时，如图1；②当1＜t≤2时，如图2；