2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理(精校解析)

（2）设集合 A {y | y 2x,x R},B {x | x2 1 0}, 则 A B =（ ）
（A） ( 1,1)
（B） (0,1)
（C） ( 1, )
（D） (0, )
【答案】C
考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.
【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合
（A） 1 2 π 33
【答案】C
1 2π
（B）
33
（C） 1 2 π
36
（D）1 2
π 6
考点：1.三视图；2.几何体的体积.
【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，
综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.
（6）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α ，β 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平
第Ⅰ卷（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的
（1）若复数 z 满足 2z z 3 2i, 其中 i 为虚数单位，则 z=（ ）
（A）1+2i 【答案】B 【解析】
（B）1 2i
（C） 1 2i
（D） 1 2i
直角三角形”，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
（15）已知函数 f (x)
| x |,
x m 其中 m 0，若存在实数 b，使得关于 x 的方
x 2mx 4m,x m 2
程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________________.
【答案】 3,
一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形
能力等. （8）已知非零向量 m，n 满足 4│m│=3│n│，cos<m，n>=
为（ ） （A）4 【答案】B
（B）–4
（C）
9 4
1 3
.若 n⊥（tm+n），则实数 t 的值
（D）–
9 4
【解析】
试题分析：由 4 m
（B）− 1
（C）0
（D）2
【答案】D
【解析】
试题分析：当 x
时， f (x 1
1)
2
2
f (x 1 ) ,所以当 1
x
时，函数 f (x) 是周期为 1 的
2
2
周期函数，所以 f (6) f (1)，又函数 f (x) 是奇函数，所以
f
f
(1) ( 1)
1 12
3
，故选 D.
考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.
，可设 m
3k, n 4k(k 0) ，又 n (tm
3n
n)
，所以
n tm
n
n tm
n n tm
n
mn
n
k
k
tk
k
()
cos ,
所以 t
4 ，故选 B.
34
2
(4 ) 4 16 0 1
2
2
2
3
考点：平面向量的数量积
【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于
面 β 相交”的（ ）
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：
“直线 a 和直线 b 相交” “平面 和平面 相交”，但“平面 和平面 相交”
“直线 a 和直线 b 相交”，所以“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的充分
试题分析：设 z a bi ，则 2z z 3a bi 3 2i ，故 a 1,b
选 B. 考点：1.ห้องสมุดไป่ตู้数的运算；2.复数的概念.
2 ，则 z 1 2i ，
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看， 复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目 之一.
（13）已知双曲线 E：
x 2
y 2
2
2
ab
1 （a＞0，b＞0），若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，
AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_______. 【答案】2 【解析】
试题分析：假设点 A 在第一象限，点 B 在第二象限，则
b 2
A(c, ) a
答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本
题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.
三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分.
（16）（本小题满分 12 分）
在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2(tan A tan B)
π
（A）
2
（B）π
（C）
3π 2
【答案】B
） （D）2π
【解析】
,故最小正周期
试题分析：
T2
fx x
x
2 sin
2 cos
6
3
x
2sin 2 6
,故选 B.
2
考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.
【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角
函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进
考点：循环结构的程序框图
【名师点睛】自新课标学习算法以来，程序框图成为常见考点，一般说来难度不大，易于得
分.题目以程序运行结果为填空内容，考查考生对各种分支及算法语言的理解和掌握，本题
能较好的考查考生应用知识分析问题解决问题的能力等.
（12）若（ax2+
1 ）5 的展开式中 x5 的系数是—80，则实数 a=_______. x
绝密★启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：
1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类 填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不 能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式： 如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件 A,B 独立，那么 P(AB)=P(A)·P(B).
【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.
本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进
行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
（10）若函数 y f (x) 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则
【解析】 试题分析： 画出函数图象如下图所示：
由图所示，要 f x
b 有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即
m m2 2m m 4m, m2 3m 0，解得 m 3
考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数
【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解
，
B(c,
b 2 ) ，所以
a
2b
2
| AB|
（舍
，| BC| 2c ，由 2 AB a
3 BC ， c2
a2 b2 得离心率 e 2或 e
1 2
去），所以 E 的离心率为 2.
考点：双曲线的几何性质
【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情
况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、 一般与特殊思想及基本运算能力等.
能从 n
(tm
n)
出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化
归思想、基本运算能力等.
（9）已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时，
f ( x)
f (x) ；当 x
时， ( 1
1)
fx
2
2
f (x) x
时，
3
( 1)
fx 2
1 ；当 1
.则 f(6)= （
x1
）
（A）− 2
[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5
小时的人数是（ ）
（A）56
（B）60
（C）120
（D）140
【答案】D 【解析】 试题分析：由频率分布直方图知，自习时间不少于 22.5 小时为后三组，有
200 (0.16 0.08 0.04) 2.5 140（人），选 D.
（14）在[- 1,1]上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆 (x - 5)2 + y2 = 9相交”发生
的概率为
.
【答案】
3 4
考点：1.直线与圆的位置关系；2. 几何概型.
【名师点睛】本题是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，
几何概型概率的计算问题，涉及圆心距的计算，与弦长相关的问题，往往要关注“圆的特征
的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等
相结合，增大了考查的覆盖面.
（3）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布
直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)，
称 y f (x) 具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（ ）
（A） y sin x
（B） y ln x
（C） y ex
（D） y x3
tk
【答案】A
考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义. 【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常 见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题， 关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用 特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能 力及转化与化归思想的应用等.
不必要条件，故选 A． 考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系. 【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识 点结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考 生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.
（7）函数 f（x）=（ 3 sin x+cos x）（ 3 cos x –sin x）的最小正周期是（
（A）4 【答案】C
（B）9
（C）10
（D）12
【解析】
试题分析：不等式组表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,
x2 y2 表
示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为 OC 2 10,故选 C.
考点：简单线性规划 【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简 单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、 两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力. （5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）
考点：频率分布直方图
【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题
已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题
的能力. ïx y 2, 则 x2 + y2 的最大值是（ ） ïï ï- £
（4）若变量 x，y 满足 í2x 3y 9, ï ï ïx ³0, îï
第Ⅱ卷（共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. （11）执行右边的程序框图，若输入的 a,b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为________.
【答案】3 【解析】
试题分析：第一次循环： a 1,b 8 ；第二次循环： a 3,b 6；第三次循环： a 6,b 3 ；满足条件，结束循环，此时，i 3 .
【答案】-2 【解析】
1
5
5
10 r
T C (ax2)5 ( ) C a5 x 2
r
r
r
rr
，所以由
因此 试题分析：因为
10
r1
5
5
x
2
， r5 r2
C2a5 2
a
5
80
2.
考点：二项式定理
【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的 重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.