规律探索题(含答案)
奥数思维拓展-数与形规律探索问题(试题)数学六年级上册苏教版(含答案)
奥数思维拓展-数与形规律探索问题（试题）-小学数学六年级上册苏教版一、选择题1．过2个点可以画出1条线段,过3个点可以画3条线段,过10个点可以画（）条线段。
A．10B．54C．45D．无数条2．一些正六边形卡片按下图方式摆放。
如果用n表示第几个图形,用y表示正六边形的个数,下面式子可以表示第几个图形与正六边形个数之间的关系的是（）。
A．y＝1＋2＋…＋n B．y＝l＋n C．y＝2n－13．如下图,一只蚂蚁从O点出发,沿着半圆的边缘爬了一周,又回到O点,下面可以描述蚂蚁与O点距离变化的是（）。
A．B．C．D．4．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”,而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。
从上图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和,例如4＝1＋3。
把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和,正确的是（）。
A．36＝10＋26B．36＝12＋24C．36＝15＋21D．36＝16＋205．如下图所示,用白色小正方形和黑色长方形按照下面的摆法,组成不同的长方形。
当摆5个黑色长方形时,四周需要摆（）个白色小正方形。
A．16B．20C．26D．366．如图,按照规律拼成下列图案,第8个图形一共是由（）根小棒搭配的。
A．105B．106C．107D．1087．在一个平面上有68个点,一共可以连（）条线段。
A．68B．2278C．2346D．11908．观察下面图形的规律,其中第1个图形由4个小正方形组成,第2个图形由7个小正方形组成,第3个图形由10个小正方形组成,……按此规律排列下去,则第n个图形由（）个小正方形组成。
A．4n B．2n－1C．3n＋1D．3n－1二、填空题9．按照如图所示的图形与对应数的排列规律,第6个图形对应的数是( ),第n个图形对应的数是( )。
……18276410．根据图和字母的规律补充图,bc的图是( )。
中考数学重难点突破专题一：规律探索型问题试题(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一 规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。
含答案 中考数学复习专题六 规律探索题
专题六 规律探索题类型一 数式规律1. 设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，…，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＋a 2020＋a 2021＝________．2. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．则第5个台阶上的数x ＝________，从下到上前35个台阶上数的和＝________．第2题图3. 将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如：位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是________．第3题图4. 如图，下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x 的值为________．第4题图5. 已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2018＝________(用含a 的代数式表示)．6. 观察下列等式：(x －1)(x ＋1)＝x 2－1；(x －1)(x 2＋x ＋1)＝x 3－1；(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 4－1；(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 5－1；…根据以上规律，计算22020＋22019＋22018＋…＋23＋22＋2＋1的结果是________，个位数字是________．7. 人们把5－12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a ＝5－12，b ＝5＋12，得ab ＝1，记S 1＝11＋a ＋11＋b ，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10.则S 1＋S 2＋…＋S 10＝________． 8.如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是________．第8题图9.观察下列等式：x 1＝1＋112＋122＝32＝1＋11×2； x 2＝1＋122＋132＝76＝1＋12×3； x 3＝1＋132＋142＝1312＝1＋13×4； …根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝________.10.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”；“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅…癸酉；甲戌、乙亥、丙子…癸未；甲申、乙酉、丙戌…癸巳；…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2050年是“干支纪年法”中的________．类型二 图形变化规律1. 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝3x 和y ＝－x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点(1，0)作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…，依次进行下去，则点A 6的坐标为________，点A2022的坐标为________．第1题图2. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2，…，按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2，…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3，…，按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于________．第3题图4. 已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O.以点O 为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为________．第4题图5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，连接AC ，过点D 作DC 1⊥AC 于C 1；以C 1A 、C 1D 为邻边作矩形AA 1DC 1，连接A 1C 1，交AD 于O 1，过点D 作DC 2⊥A 1C 1于C 2，交AC 于M 1，以C 2A 1，C 2D 为邻边作矩形A 1A 2DC 2，连接A 2C 2，交A 1D 于O 2，过点D 作DC 3⊥A 2C 2于C 3，交A 1C 1于M 2；以C 3A 2，C 3D 为邻边作矩形A 2A 3DC 3，连接A 3C 3，交A 2D 于O 3，过点D 作DC 4⊥A 3C 3于C 4，交A 2C 2于M 3；…若四边形AO 1C 2M 1的面积为S 1，四边形A 1O 2C 3M 2的面积为S 2，四边形A 2O 3C 4M 3的面积为S 3，…，四边形A n －1O n C n ＋1M n 的面积为S n ，则S n ＝________．(结果用含正整数n 的式子表示)第5题图6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，且点C 的坐标为(2，0)，∠OCB ＝45°，将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，…，依此方式，绕点O 连续旋转2021次后得到菱形OA 2021B 2021C 2021，则点A 2021的坐标为________．第6题图7. 如图，在平面直角坐标系中，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－34x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2也落在直线y ＝－34x 上，以此进行下去…，若点B 的坐标为(0，3)，则点B 21的纵坐标．．．为________．第7题图专题六 规律探索题类型一 数式规律1. 6667 【解析】∵a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，a 5＝5，a 6＝6，a 7＝1，a 8＝6，a 9＝1，a 10＝0，…，即每10个数一循环，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33，2021÷10＝202……1，∴33×202＋1＝6667.2. －5；18 【解析】第1个至第4个台阶上数的和为－5＋(－2)＋1＋9＝3，∵任意相邻四个台阶上数的和都相等，∴－2＋1＋9＋x ＝3，解得x ＝－5，则第5个台阶上的数x 是－5.由题意知，台阶上的数字每4个一循环，∵35÷4＝8……3，∴从下到上前35个台阶上数的和为8×3－5－2＋1＝18.3. 2023 【解析】观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数为2n (n －1)＋1，∴第32行，第32列的数为2×32×(32－1)＋1＝1985，根据排列规律，偶数行的数从右往左依次增加2，∴第32行，第13列的数为1985＋2×(32－13)＝2023.4. 170 【解析】分析题目可得4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2；2＝1＋1，3＝2＋1，4＝3＋1；∴18＝2b ，b ＝a ＋1.∴a ＝8，b ＝9.∵9＝2×4＋1，20＝3×6＋2，35＝4×8＋3，∴x ＝18b ＋a ＝18×9＋8＝170.5. －a ＋1a 【解析】S 1＝1a ，S 2＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝－a a ＋1，S 4＝－1a ＋1，S 5＝－(a ＋1)，S 6＝a ，S 7＝1a ，…，∴每6个数是一个循环，∵2018÷6＝336……2，∴S 2018＝S 2＝－a ＋1a .6. 22021－1 ；1 【解析】根据题意得：(x －1)(x n ＋x n －1＋…＋x ＋1)＝x n ＋1－1，∵(2－1)×(22020＋22019＋…＋2＋1)＝22020＋1－1，∴22020＋22019＋…＋2＋1＝22021－1，∵21＝2，个位数字是2，22＝4，个位数字是4，23＝8，个位数字是8，24＝16，个位数字是6，25＝32，个位数字是2，…，∵2021÷4＝505……1，∴22021的个位数字是2，∴22021－1的个位数字是1. 7. 10 【解析】∵a ＝5－12，b ＝5＋12，∴ab ＝5－12×5＋12＝1，∵S n ＝11＋a n ＋11＋b n ＝2＋a n ＋b n （1＋a n ）（1＋b n ）＝2＋a n ＋b n 1＋（ab ）n ＋a n ＋b n ＝2＋a n ＋b n2＋a n ＋b n ＝1，∴S 1＝S 2＝S 3＝…＝S n ＝1，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝10.8. 556个 【解析】∵前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，∴前区最后一排座位数为20＋2×(8－1)＝34，∴前区座位数为(20＋34)×8÷2＝216，∵前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，∴后区的座位数为10×34＝340，∴该礼堂的座位总数是216＋340＝556个．9. －12021 【解析】x 1＝1＋11×2＝1＋1－12，x 2＝1＋12×3＝1＋12－13，x 3＝1＋13×4＝1＋13－14，…，x n ＝1＋1n （n ＋1）＝1＋1n －1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋1n －1n ＋1＝n ＋1－1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝2020＋1－12021－2021＝－12021.10. 庚午年 【解析】公元纪年换算成干支纪年方法如下：天干算法：用公元纪年数减3，除以10(不管商数)所得余数，就是天干所对应的位数，地支算法：用公元纪年数减3，除以12(不管商数)所得余数，就是地支所对应的位数，2050－3＝2047，2047÷10余数为7，∴天干为“庚”，2047÷12余数为7，∴地支为“午”，∴2050年为“庚午”年．类型二 图形变化规律1. (－27，27)，(－31011，31011) 【解析】当x ＝1时，y ＝3x ＝3，∴点A 1的坐标为(1，3)；当y ＝－x ＝3时，x ＝－3，∴点A 2的坐标为(－3，3)；同理可得A 3(－3，－9)，A 4(9，－9)，A 5(9，27)，A 6(－27，27)，A 7(－27，－81)，…，∴A 4n ＋1(32n ，32n ＋1)，A 4n ＋2(－32n ＋1，32n ＋1)，A 4n ＋3(－32n ＋1，－32n ＋2)，A 4n ＋4(32n ＋2，－32n ＋2)(n 为自然数)．∵2022＝505×4＋2，∴点A 2022的坐标为(－31011，31011)．2. 24038· 3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝1，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴∠ADA 1＝∠BCD ＝60°，∵DA 1＝CD ，∴DA 1＝AD ，∴△ADA 1为等边三角形，同理可得△A 1D 1A 2，…，△A 2020D 2020A 2021都为等边三角形，如解图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∴BE ＝BC ·sin ∠BCD ＝32＝A 1D ，∴S 1＝12A 1D ·BE ＝34A 1D 2＝34，同理可得，S 2＝34A 2D 12＝34×22＝3，S 3＝34A 3D 22＝34×42＝43，…，∴由此规律可得，S n ＝3·22n －4，∴S 2021＝3×22×2021－4＝24038· 3.第2题解图3. 2021＋673 3 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴AB ＝2，BC ＝3，∴将△ABC 绕点A 顺时针旋转到①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3＋3，…，∵2020÷3＝673……1，∴AP 2020＝673×(3＋3)＋2＝2021＋673 3.4. (3n －1，0) 【解析】根据题意得△A 1B 1C 1是等边三角形，∴A 1C 1＝2，则点A 1的坐标是(1，0)，B 1O ＝3，在Rt △A 2OB 1中，tan30°＝B 1O A 2O ，得A 2O ＝3，则点A 2的坐标为(3，0)，同理求出点A 3的坐标是(9，0)，A 4的坐标是(27，0)，…，即点A 3(32，0)，A 4(33，0)，…，∴点A n 的坐标为(3n －1，0)5. 9×4n －15n ＋1 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，∴AC ＝5，∵DC 1⊥AC ，∴DC 1＝AD ·CD AC ＝255，∴CC 1＝CD 2－DC 21＝12－（255）2＝55，∴AC 1＝455，∵四边形AA 1DC 1是矩形，∴AA 1＝DC 1＝255，∵DC 2⊥A 1C 1，∴∠AC 1A 1＝∠C 1DM 1，∴tan ∠AC 1A 1＝tan ∠C 1DM 1＝AA 1AC 1＝C 1C 2DC 2＝12，∴由勾股定理可得C 1C 2＝25，∴M 1C 2＝15，∵点O 1是矩形AA 1DC 1对角线的交点，∴点O 1到AC 1的距离＝12DC 1＝55，∴S 1＝S △AO 1C 1－S △C 1C 2M 1＝12×455×55－12×15×25＝925＝9×152；同理可得A 1C 2＝85，DC 2＝45，C 2C 3＝4525，M 2C 3＝2525，点O 2到A 1C 1的距离＝12DC 2＝25，∴S 2＝S △A 1O 2C 2－S △C 2C 3M 3＝12×85×25－12×4525×2525＝36125＝9×453；同理可得S 3＝9×4254，S 4＝9×4355，…，以此类推可得S n ＝9×4n －15n ＋1.6. (0，－2) 【解析】如解图，∵四边形OABC 是菱形，且OC ＝2，∴OA ＝2，又∵∠OCB ＝45°，∴∠OAB ＝45°，∴A (－1，1)，由旋转的性质得OA ＝OA 1＝OA 2＝…＝OA 7＝ 2.∵菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，相当于将线段OA 绕点O 顺时针旋转45°得到线段OA 1，易知点A 与A 2关于y 轴对称，点A 2与A 4关于x 轴对称，点A 与点A 6关于x 轴对称，其余点均在x 轴、y 轴上，∴A (－1，1)，A 1(0，2)，A 2(1，1)，A 3(2，0)，A 4(1，－1)，A 5(0，－2)，A 6(－1，－1)，A 7(－2，0)，….∵360°÷45°＝8，∴图形在旋转过程中每8次为一个循环，∵2021÷8＝252……5，∴点A 2021的坐标与点A 5的坐标相同，∴点A 2021的坐标为(0，－2)．第6题解图7. 3875 【解析】∵AB ⊥y 轴，点B (0，3)，∴OB ＝3，则点A 的纵坐标为3，将y ＝3代入y ＝－34x ，解得x ＝－4，即A (－4，3)，∴OB ＝3，AB ＝4，OA ＝32＋42＝5，由旋转可知：OB ＝O 1B 1＝O 2B 1＝O 2B 2＝...＝3，OA ＝O 1A ＝O 2A 1＝...＝5，AB ＝AB 1＝A 1B 1＝A 2B 2＝ (4)∴OB 1＝OA ＋AB 1＝5＋4＝9，B 1B 3＝3＋4＋5＝12，∴OB 21＝OB 1＋B 1B 21＝9＋(21－1)÷2×12＝129，设B 21(a ，－34a )，则OB 21＝a 2＋（－34a ）2＝129, 解得a ＝－5165或5165(舍)，则－34a ＝－34×(－5165)＝3875， 即点B 21的纵坐标为3875.。
中考规律探索题与答案
探索规律题类型一数字规律1、下面是按一定规律排列的一列数：，那么第n个数是．解析∵分子分别为1、 3 、5 、 7 ，⋯，∴第 n 个数的分子是2n ﹣ 1 。
∵4 ﹣ 3=1=1 2 ，7﹣3=4=2 2 ，12﹣3=9=3 2 ，19﹣3=16=42，⋯，∴第n 个数的分母为n 2 +3。
∴第n个数是。
2、观察下列等式：，，，，，，。
试猜想，的个位数字是 __ ___。
解析本题主要考查规律探索。
观察等式：，，，，，可得，次方的个位数字是，次方的个位数字是，次方的个位数字是，次方的个位数字是，次方的个位数字是，个位数字的变化是以、、、为周期，即周期为，又因为，所以的个位数字与的个位数字相同为。
故本题正确答案为。
考点规律探索。
3 、古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,叫做三角形数, 它有一定的规律性 , 若把第一个三角形数记为, 第二个三角形数记为,第n个三角形数记为, 则．答案解 :,═,,═,═, ⋯,,则,因此，本题正确答案是:.解析根据三角形数得到,,,,, 即三角形数为从 1 到它的顺号数之间所有整数的和, 即、,然后计算可得 .4 、按一定规律排列的一列数：，，，，，，，，请你仔细观察，按照此规律对应的数字应为_____。
答案解析本题主要考查规律探索。
将中间两个化为分数之后为：，，，，，，，，观察可知分子是从开始不断递增的奇数，分母是从开始不断递增的质数，那么根据这个规律即可得到。
故本题正确答案为。
考点规律探索。
5 、如图 , 下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律, 依此规律 , 那么第 4个图形中的,一般地 , 用含有 m,n 的代数式表示 y, 即.答案解:观察,发现规律:,,,,因此，本题正确答案是:63;解析观察给定图形 , 发现右下的数字=右上数字( 左下数字, 依此规律即可得出结论 .6 、观察下列数据：，，，，，，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个数据是 _____ 。
探索规律(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：拿到一道探索规律的题目，你是怎么想的，操作步骤是什么？比如：-2，3，-4，5，-6，…，则它的第n个数是_____.问题2：对于图形的规律，都有哪些思考角度？比如：下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n个图案中白色正方形个数为__________．探索规律一、单选题(共12道，每道8分)1.一列数为2，5，8，11，14，…，那么第100个数为( )A.298B.299C.300D.301答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数的规律2.一列数为4，8，16，32，…，那么第10个数为( )A.1024B.2014C.2024D.2048答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：数的规律3.观察下面的一列数：2，6，12，20，…，依次规律，则第20个数是( )A.420B.410C.400D.380答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数的规律4.给定一列按规律排列的数：，，，，…，则这列数的第6个数是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数的规律5.给定一列按规律排列的数：根据前4个数的规律，第9个数是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：数的规律6.一组按规律排列的多项式：，，，，…，其中第10个式子是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：式的规律7.计算器为我们探索一些用笔算不太方便的数字规律提供了极大的方便，比如奇妙的数字塔：；；；我们发现上面这些数字结果呈现规律性，那么不用计算器你发现：的值为( ) A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：式的规律8.观察下列一组算式：；；；…，按照上述规律，可表示为( ) A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：式的规律9.从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：根据上述的规律计算的值为( )A.2450B.2550C.2652D.5000答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：式的规律10.观察下列一组算式：；；；；…，按照上述规律，第15个算式可表示为( ) A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：式的规律11.观察下列图形，第20个图形中三角形的个数是( )个．A.80B.76C.84D.42答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：图形规律12.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依次规律，第10个图形中小圆的个数为( )个．A.94B.114C.132D.136答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：图形规律。
专题08 整式中规律性探索的三种考法(解析版)(北师大版)
专题08整式中规律探索的三种考法类型一、数字类规律探索问题-，A B．30，D C．29，BA．29【答案】A【分析】观察不难发现，每个峰排列5个数，求出5个峰排列的数的个数，中C位置的数的序数，然后根据排列的奇数为负数，偶数为正数解答；用【答案】4【分析】由题意知，第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是=⨯+，进而可得第2023次输出的结果．202336741【详解】解：由题意知，第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是2，……，∴可知三次为一个循环，=⨯+，∵202336741∴第2023次输出的结果是4，故答案为：4．【点睛】本题考查了程序流程图与有理数计算，规律探究．解题的关键在于根据推导一般性规律．【变式训练1】按下面的程序计算：若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】C【分析】分三种情况讨论，当输入n经过一次运算即可得到输出的结果为656，当输入n经过两次运算即可得到输出的结果为656，当输入n经过三次运算即可得到输出的结果为656，再列方程，解方程即可得到答案．【详解】解：当输入n经过一次运算即可得到输出的结果为656，51556∴+=，n∴=5655,nn∴=131.当输入n经过两次运算即可得到输出的结果为656，()∴++=5511656,n∴+=26.51131,n∴=n当输入n经过三次运算即可得到输出的结果为656，()∴+++=n555111656,⎡⎤⎣⎦()∴++=5126,n5511131,∴+=5n∴=．n综上：开始输入的n值可能是5或26或131．故选：C．【点睛】本题考查的是程序框图的含义，一元一次方程的解法，分类思想的应用，掌握以上知识是解题的关键．课后训练A．31B．49C．62D 【答案】BA．13-B．2【答案】CA．73B．81C．91D．109【答案】C【分析】根据图形，将每个图形分为上下两部分，分别数出每个图形两部分中菱形的个数，总结出数量变化的一般规律即可．【详解】解：由图可知：第一个图形：上面由3个菱形，下面有0个菱形，第二个图形：上面有6个菱形，下面有1个菱形，A ．62B ．70【答案】B 【分析】观察图形得到第1个五边形数为1，第为14712++=，第4个五边形数为14710+++A ．31B ．32C ．63D ．64【答案】C 【分析】根据图形，可以得到正方形个数的变化特点，从而可以得到图⑤中正方形的个数．【详解】解：由图可得，第①个图形中正方形的个数为：212321+==-，第②个图形中正方形的个数为：23122721++==-，第③个图形中正方形的个数为：23412221521+++==-，…则第⑤个图形中正方形的个数为：62164163-=-=，故选：C ．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现正方形个数的变化特点，求出图⑤中正方形的个数．7．下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个小正方形，第②个图形中有5个小正方形，第③个图形中有11个小正方形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小正方形个数为（）个A ．40B ．49C ．55D ．71【答案】C 【分析】由已知图形中点的分布情况知：横放是图形序号的平方减去1，竖着摆放的数与序号相同，再进行相加即可．【详解】解：根据图形可得第①个图案正方形个数为：21111=-+；第②个图案正方形个数为：2532212=+=-+；第③个图案正方形个数为：21183313=+=-+；第④个图案正方形个数为：219154414=+=-+；所以，第⑦个图形中的小正方形个数为271755-+=（个）故选：C【点睛】本题考查了规律型中的图形变化问题，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．8．如图1，AE 是O 的直径，点B 、C 、D 将半圆分成四等分，把五位同学分别编为序号1、2、3、4、5按顺序站在半圆的五个点上，现把最右边的5号同学调出，站到2号和3号两位同学之间，再把最右边的4号同学调出，站到1号和2号两位同学之间，得到图2，称为“1次换序”．接着按同样的方法，把最右边的3号同学调出，站到4号和2号两位同学之间，再把最右边的5号同学调出，站到1号和4号两位同学之间，得到图3，称为“2次换序”．以此类推……；若从图1开始，经过“n 次换序”后，得到的顺序与图1相同，则n 的值可以是（）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】B 【分析】先得到前4次换序后的结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】解：由题意得：1次换序后，得到的顺序为1,4,2,5,3，2次换序后，得到的顺序为1,5,4,3,2，3次换序后，得到的顺序为1,3,5,2,4，4次换序后，得到的顺序为1,2,3,4,5，由此可知，每经过4次换序，得到的顺序与图1相同，即此时4n k =（k 为正整数），观察四个选项可知，只有选项B 符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．。
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。
2024海南中考数学二轮专题训练 题型六 规律探索题 (含答案)
2024海南中考数学二轮专题训练题型六规律探索题类型一数式规律(热身小练)(1)若一列正整数：1，2，3，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(2)若一列数：1，3，5，7，9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(3)若一列数：2，4，6，8，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(4)若一列数：－1，1，－1，1，－1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(5)若一列数：1，－1，1，－1，1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(6)若一列数：1，4，9，16，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(7)若一列数：2，5，10，17，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(8)若一列数：0，3，8，15，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(9)若一列数：4，7，10，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．(典例精讲)例观察下列一组数据，其中绝对值依次增加2，且每两个正数之间有两个负数：1，－3，－5，7，－9，－11，13，…，则第10个数是________，第3n个数是________．(n为正整数).(满分技法)解答数式递推规律的方法：一般通过题中前几项的数字或数式找出每项数字或数式间的关系求解，步骤为：第一步：标序数；第二步：对比序数(1，2，3，…，n)与所给数字或数式的关系，把每一部分与序数之间的关系用含序数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律求出第n个式子，并检验；第四步：若求出的数字或式子前面的符号是正(＋)、负(－)交替出现时，根据正负号的变化规律，则第n个数字(或式子)的符号用(－1)n或(－1)n＋1表示．(针对训练)1.观察下列各等式：①223＝2＋23；②338＝3＋38；③4415＝4＋415；…根据以上规律，请写出第5个等式：______________；第n 个等式为________________．2.一组按规律排列的代数式：a ＋2b ，a 2－2b 3，a 3＋2b 5，a 4－2b 7，…，则第7个代数式为________，第个代数式为________．3.观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：____________，第组勾股数为________________．4.按一定规律排列的一列数依次为－a 22，a 53，－a 84，a 115，…(a ≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________，第n 个数是________．5.按规律排列的一列数：－12，25，－38，411，－514，…，则第20个数是________，第n 个数是________．(用含n 的式子表示)6.把正整数1，2，3，4，…，排列成如图所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…，按此规律，2020排在第______行、第________列；排在第m 行、第n 列的数为________，其中m ≥1，1≤n ≤8，且m ，n 都是正整数．第6题图类型二图形规律(典例精讲)例用形状大小完全相同的等边三角形和正方形按如图所示的规律拼图案，即从第2个图案开始每个图案比前一个图案多4个等边三角形和1个正方形，以此规律，回答下列问题：例题图(1)第5个图案中正方形有________个，等边三角形有________个；(2)第n个图案中正方形有________个，等边三角形有________个；(3)第2021个图案中等边三角形一共有______个；(4)第n个图案中等边三角形比正方形多______个；(5)若第n个图案中一共有62个等边三角形，则n的值为________．(满分技法)解答图形累加规律探索题具体步骤如下：第一步：写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形的个数；第三步：寻找图形数量与序数n的关系：针对寻找第n个图形数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作差来观察是否有恒定量的变化，一般分为两种情况：①相邻图形个数的差值相同，则第n个图形的个数m是最高次项为一次的整式m＝an＋b，然后代入2组数据即可求出a，b的值；②相邻图形个数的差值不同，则第n个图形的个数m是最高次项为二次的整式m＝an2＋bn ＋c，然后代入3组数据即可求出a，b，c的值；第四步：验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．(针对训练)1.如图是一组有规律的图案，它们是由相同的矩形拼接而成，已知矩形的长为a，宽为b，则第⑪个图案的周长为________，第个图案的周长为________．第1题图2.如图，将图①的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图②，得到5个正方形；第2次将图②左上角正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形，…，按此规律进行下去，则第8次操作后，得到正方形的个数为________，第次操作后，得到正方形的个数为________．第2题图3.如图，观察下列图形，它们是按一定规律排列的，其中第①个图形有2个太阳，第②个图形有4个太阳，第③个图形有7个太阳，第④个图形有12个太阳，…，按照此规律，则第⑤个图形有________个太阳，第个图形有________太阳．第3题图4.如图的三角形图案为谢宾斯基(Sierpinski)三角形，在下列四个三角形图案中，涂有阴影的三角形个数依次为：第1个图案中有1个，第2个图案中有3个，第3个图案中有9个，第4个图案中有27个，…，按此规律，第6个图案中有________个涂有阴影的三角形，第n 个图案中有________个涂有阴影的三角形．第4题图5.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有________个交点，n条直线两两相交最多有________个交点．第5题图6.如图是小强用铜币摆放的4个图案，其中第1个图案中铜币个数有3个，第2个图案中铜币个数有5个，第3个图案中铜币个数有8个，第4个图案中铜币个数有12个，…，按此摆放图案的规律，第19个图案中需要______个铜币，第n个图案中需要__________个铜币．第6题图7.如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的☆摆放而成，第(1)个图案有3个☆，第(2)个图案有7个☆，第(3)个图案有13个☆，第(4)个图案有21个☆，…按此规律摆下去，第(6)个图案有________个☆，第(n)个图案有________个☆(用含n的代数式表示).第7题图类型三周期规律(典例精讲)例如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n－2A3n－1A3n(n为正整数)均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为________．例题图【解题步骤】①确认周期：观察图形可知，三角形的顶点______个为一个循环；②确定A2016的位置：∵2016÷______＝______，∴点A2016在y轴上，且是第________个三角形的顶点；③求A2016的坐标：在△A1A2A3中，A1A2＝2，∴△A1A2A3的高为________．∵点O是△A1A2A3的中心，∴OA3＝________，同理得OA6＝________，OA9＝________，…，∴点A2016的坐标为________．(针对训练)1.在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边OA1A2A3运动，设第n 秒运动到P n(n为正整数)，则第58个等边三角形在第________象限，点P2019的坐标是________．第1题图2.有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第1个数是0，第2个数是1，那么前6个数的和是________，这2021个数的和是________．3.如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a n＝________，a3＋a100＝________．第3题图4.将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，…，按如图所示有序排列．第4题图根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置(C的位置)是有理数4，那么(1)“峰6”中D的位置是有理数________；(2)－2019应排在A，B，C，D，E中的________位置．参考答案类型一数式规律热身小练(1)n ；(2)2n －1；(3)2n ；(4)(－1)n ；(5)(－1)n ＋1或(－1)n －1；(6)n 2；(7)n 2＋1；(8)n 2－1；(9)3n ＋1.例19，－6n ＋1.针对训练1.6635＝6＋635；(n ＋1)·n ＋1n （n ＋2）＝n ＋1＋n ＋1n （n ＋2）【解析】第5个等式，等号左边根号外面是6，二次根式的分子也是6，分母是62－1，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根，∴第5个式子为6635＝6＋635；∴第n 个式子为(n ＋1)·n ＋1（n ＋1）2－1＝（n ＋1）＋n ＋1（n ＋1）2－1，化简得(n ＋1)·n ＋1n （n ＋2）＝（n ＋1）＋n ＋1n （n ＋2）.2.a 7＋2b 13，a n ＋(－1)n ＋1·2b 2n －1【解析】∵第1个代数式为a 1＋(－1)1＋1×2b 1，第2个代数式为a 1×2＋(－1)1＋2×2b 2×2－1，第3个代数式为a 1×3＋(－1)1＋3×2b 2×3－1，第4个代数式为a 1×4＋(－1)1＋4×2b 2×4－1，…，则第7个代数式为a 1×7＋(－1)1＋7×2b 2×7－1＝a 7＋2b 13，∵当n 为奇数时，(－1)n ＋1＝1，当n 为偶数时，(－1)n ＋1＝－1，∴第n 个式子是：a n ＋(－1)n ＋1·2b 2n －1.3.16，63，65；2(n ＋1)，n (n ＋2)，(n ＋1)2＋1【解析】观察前4组数据的规律可知：第一个数是2(n ＋1)；第二个数是n (n ＋2)；第三个数是(n ＋1)2＋1.∴第⑦组勾股数为16，63，65.第n 组勾股数为2(n ＋1)，n (n ＋2)，(n ＋1)2＋1.4.－a 2610，(－1)n a 3n －11＋n 【解析】第1个数为－a 22＝(－1)1a 1×3－11＋1，第2个数为a 53＝(－1)2a 2×3－11＋2，第3个数为－a 84＝(－1)3a 3×3－11＋3，第4个数为a 115＝(－1)4a 4×3－11＋4，…，由此规律可知第9个数是(－1)9a 9×3－11＋9＝－a 2610.第n 个数是(－1)n a n ×3－11＋n ＝(－1)n a 3n －11＋n.5.2059，(－1)n n 3n －1【解析】∵－12＝(－1)1×13×1－1，25＝(－1)2×23×2－1，－38＝(－1)3×33×3－1，411＝(－1)4×43×4－1，－514＝(－1)5×53×5－1，…，∴第20个数是(－1)20·203×20－1＝2059，第n 个数是(－1)n ·n3n －16.253，4；8m ＋n －8【解析】∵2020＝8×252＋4，∴2020排在第253行第4列；根据数字排列规律：第m 行最后一列数字为8m ，∴排在第m 行第n 列的数为8m ＋n －8.类型二图形规律例(1)5，18；(2)n ，4n －2；【解析】第n 个图案有n 个正方形，当n ＝1时，等边三角形个数为2，当n ＝2时，等边三角形个数为2＋4×1＝6，当n ＝3时，等边三角形个数为2＋4×2＝10，当n ＝4时，等边三角形个数为2＋4×3＝14，∴第n 个图案中等边三角形的个数为2＋4(n －1)＝4n －2.(3)8082；(4)3n －2；(5)16.针对训练1.22a ＋2b ，2na ＋2b 【解析】观察图案的变化可知第①个图案的周长为2(a ＋b )，第②个图案的周长为2×2(a ＋b )－2×(2－1)b ，第③个图案的周长为3×2(a ＋b )－2×(3－1)b ，…，则第个图案的周长为n ×2(a ＋b )－2(n －1)b ，∴第⑪个图案的周长为11×2(a ＋b )－2×(11－1)b ＝22a ＋2b ，第个图案的周长为n ×2(a ＋b )－2×(n －1)b ＝2na ＋2b .2.33，4n ＋1【解析】逐部分分析如下：次数第一次第二次第三次…正方形个数5＝4×1＋19＝4×2＋113＝4×3＋1…由表可以看出，每个图案中正方形的个数＝4×(图形序数－1)＋1，，则第8次操作后，得到的正方形个数为4×8＋1＝33，第n 次操作后，得到的正方形个数为4n ＋1.3.21，n ＋2n －1【解析】如解图，将每个图形沿虚线分成上下两部分：第3题解图逐部分分析如下表：序数①②③④…太阳个数上部分1234…下部分1＝202＝214＝228＝23…总数24712…由表可以看出，上部分太阳的个数等于图形序数，下部分太阳的个数等于2的图形序数减1次方，故第⑤个图形中太阳的个数为5＋24＝21；第个图形中太阳的个数为n ＋2n －1.4.243，3n －1【解析】∵第1个图案中有1＝30个涂有阴影的三角形，第2个图案中有3＝31个涂有阴影的三角形，第3个图案中有9＝32个涂有阴影的三角形，第4个图案中有27＝33个涂有阴影的三角形，依次类推，第6个图案有243＝35个涂有阴影的三角形，∴第n 个图案中有3n －1个涂有阴影的三角形．5.190，12n (n －1)【解析】2条直线相交最多有1个交点；3条直线相交最多有1＋2＝3＝12×3×2个交点；4条直线相交最多有1＋2＋3＝6＝12×4×3个交点；5条直线相交最多有1＋2＋3＋4＝10＝12×5×4个交点；…；20条直线相交最多有12×20×19＝190个交点．n 条直线相交最多有12n (n －1)个交点．6.192，(12n 2＋12n ＋2)【解析】第1个图案中铜币个数为2＋1＝3；第2个图案中铜币个数为2＋1＋2＝5；第3个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＝8；第4个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＋4＝12；…，第n 个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＋4＋…＋n ＝12n (n ＋1)＋2，当n ＝19时，12n (n ＋1)＋2＝12×19×20＋2＝192.7.43，(n 2＋n ＋1)【解析】∵第1个图案有(12＋1＋1)＝3个☆，第2个图案有(22＋2＋1)＝7个☆，第3个图案有(32＋3＋1)＝13个☆，第4个图案有(42＋4＋1)＝21个☆，第5个图案有(52＋5＋1)＝31个☆，∴第6个图案有(62＋6＋1)＝43个☆，第n 个图案有(n 2＋n ＋1)个☆.类型三周期规律例(0，4483)【解题步骤】①3；②3，672,672；③3，233，433，23，(0，4483)．针对训练1.一，(20192，32)【解析】由题图可知，3个等边三角形为一个周期，则58÷3＝19……1，∴第58个等边三角形和第一个等边三角形在同一个象限内，都在第一象限；如解图，作A 1H ⊥x 轴于点H ，∵△OA 1A 2是等边三角形，∴∠A 1OH ＝60°，OH ＝12OA 2＝12，∴A 1H ＝A 1O ·sin60°＝1×32＝32，∴A 1(12，32)，A 2(1，0)，同理可得A 3(32，32)，A 4(2，0)，A 5(52，－32)，A 6(3，0)，A 7(72，32)，由上可知，每一个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：32，0，32，0，－32，0这样循环，∴2019÷6＝336……3，∴A 2019(20192，32)．第1题解图2.0，1【解析】由题意知，第1个数是0，第2个数是1，且任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和，那么就有0，1，1，0，－1，－1，0，1，1，0，－1，－1，0，…，按此规律，6个数一个周期，且前6个数的和为0，∵2021÷6＝336……5，而5个数的和为1，∴这2021个数的和为1.3.12n (n ＋1)，5056【解析】观察“杨辉三角”可知第n 个数记为a n ＝(1＋2＋…＋n )＝12n (n ＋1)，则a 3＋a 100＝12×3×(3＋1)＋12×100×(100＋1)＝5056.4.(1)30；(2)C 【解析】(1)∵每个峰需要5个数，∴5×5＝25，25＋1＋3＝29，∴“峰6”中D 位置的有理数是30；(2)∵(2019－1)÷5＝403……3，∴－2019为“峰404”的第三个数，排在C 的位置．。
2023年九年级数学中考专题：规律探索题(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：规律探索题一、单选题1．将一些相同的“O”按如图所示摆放，观察每个图形中的“O”的个数，若第n个图形中“O”的个数是78，则n的值是（）……第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形A．11B．12C．13D．142．桌子上有8只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过n次翻转可使这8只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为（）．A．3B．4C．5D．63．如图所示，图（1）中含“○”的矩形有1个，图（2）中含“○”的矩形有7个，图（3）中含“○”的矩形有17个，按此规律，图（6）中含“○”的矩形有（）A．70B．71C．72D．734．如下表，从左到右在每一个小格中都填入一个整数，使任意三个相邻的格子所填的整数之和都相等，则第2017个格子中的整数是()A．-2B．6C．-4D．125．一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（）A．6 个B．7个C．8个D．9 个6．将正整数1至2016按一定规律排列如表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A．2000B．2019C．2100D．21487．把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100－x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{－1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（）A．23B．24C．24或25D．268．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，有理数-5 在“峰1”中D的位置．则有理数-2021在“峰”中A，B，C，D，E中的位置．题中两空分别代表（）A．403D B．404D C．403A D．404E二、填空题9．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为____________．10．下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．11．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），…那么点A 2020的坐标为________________．12．在一次猜数字游戏中，小红写出如下一组数：1，69415,,,57311…，小军猜想出的第六个数字是1813，也是正确的，根据此规律，第n 个数是_____． 13．一列数按如下的规律排列：1213214321,,,,,,,,,1121231234，则从左边第一数开始数，34为第______个数. 14．下列单项式：-x 、2x 2、-3x 3、4x 4…-19x 19、20x 20…根据你发现的规律，第2015个单项式是___________.15．根据以下图形变化的规律，第2016个图形中黑色正方形的数量是______．16．如图，C 在直线BE 上，∠ABC 与∠ACE 的角平分线交于点1A ，∠A=m,若再作∠1A BE 、∠1A CE 的平分线，交于点2A ；再作∠2A BE 、∠2A CE 的平分线，交于点3A ；……；依次类推，则A n 为_______.三、解答题17．仔细观察下列等式：第1个：52﹣12=8×3第2个：92﹣52=8×7第3个：132﹣92=8×11第4个：172﹣132=8×15…（1）请你写出第6个等式：；（2）请写出第n个等式，并加以验证；（3）运用上述规律，计算：8×7+8×11+…+8×399+8×403．18．图∠是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图∠；再分别连接图∠中间小三角形三边的中点，得到图∠．（1）图∠有个三角形；图∠有个三角形；（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形（用n的代数式表示结论）．19．如图，是用三角形(黑色)和六边形(白色)按一定规律拼成的图案．（1）图∠中六边形与三角形的个数各是多少？（2）如果按这样的规律继续拼下去，第n个图案中，六边形的个数是多少？三角形的个数又是多少？(用含n的代数式表示)（3）能否拼成一个同时含有108个六边形和228个三角形的图案？20．观察下列有规律的数：111111,,,,,2612203042⋯根据据规律可知：（1）第7个数，第n个数是（n是正整数）；（2）1132是第个数；（3）计算：1111111 261220304220182019+++++++⨯．参考答案：1．B2．B3．B4．C5．C6．D7．C8．D9．210．311．(1010,0)12．3 21n n+13．1914．-2015x201515．302416．2nm17．（1）252﹣212=8×23；（2）第n个等式是：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2=8（4n﹣1），验证见解析；（3）164000．18．（1）5，9；（2）43n-19．（1）观察图形发现有3个六边形，8个三角形；（2）第n个图形有n个六边形，有(22n+)个三角形；（3）不能20．（1）156，1n(n1)+；（2）11；（3）20182019．答案第1页，共1页。
中考数学《规律探索》专题复习试题含解析
中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。
2024辽宁中考数学二轮专题训练 题型四 规律探索题 (含答案)
2024辽宁中考数学二轮专题训练题型四规律探索题类型一图形递推变化典例精讲例1如图，∠MON ＝45°，正方形ABB 1C ，正方形A 1B 1B 2C 1，正方形A 2B 2B 3C 2，正方形A 3B 3B 4C 3，…，的顶点A ，A 1，A 2，A 3，…，在射线OM 上，顶点B ，B 1，B 2，B 3，B 4，…，在射线ON 上，连接AB 2交A 1B 1于点D ，连接A 1B 3交A 2B 2于点D 1，连接A 2B 4交A 3B 3于点D 2，…，连接B 1D 1交AB 2于点E ，连接B 2D 2交A 1B 3于点E 1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD 与△B 1DE 的面积之和为S 1，△A 1C 1D 1与△B 2D 1E 1的面积之和为S 2，△A 2C 2D 2与△B 3D 2E 2的面积之和为S 3，…，若AB ＝2，则S n 等于______．(用含有正整数n 的式子表示)例1题图基本模型【解题步骤】分析图形可知，所有图形都是由如图所示的基本模型构成，故求出S 1，S 2，S 3的面积可类比出S n 的面积．①求S 1的面积：根据题意可得：∠AOB ＝45°，∠ABO ＝90°，∴OB ＝AB ，∵AB ＝AC ＝B 1C ＝BB 1＝______，AB ∥A 1B 1，∴A 1B 1＝2AB ＝________，∴A 1B 1＝A 1C 1＝B 2C 1＝B 1B 2＝________，∵AC ∥ON ，∴CD DB 1＝AC B 1B 2＝____，∴CD ＝________B 1C ＝________，B 1D ＝__________B 1C ＝__________．同理可得，B 2D 1＝________B 2C 1＝________．∵B 1D ∥B 2D 1，∴DE B 2E ＝B 1D B 2D 1＝________，∴S △B 1DE ＝________S △B 1B 2D ＝________，∵S △ACD ＝____，∴S 1＝________；②求S 2，S 3，…的面积：A 2B 2＝________，S △B 2D 1E 1＝________S △B 2B 3D 1＝________，∵S △A 1C 1D 1＝________，∴S 2＝________；S 3＝________；③总结，类比可得：S n ＝________．例2如图，在平面直角坐标系中，△ABC ，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3，…，△A n B n C n 都是等腰直角三角形，点B ，B 1，B 2，B 3，…，B n 都在x 轴上，点B 1与原点重合，点A ，C 1，C 2，C 3，…，C n 都在直线l ：y ＝13x ＋43上，点C 在y 轴上，AB ∥A 1B 1∥A 2B 2∥…∥A n B n ∥y 轴，AC ∥A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n ∥x 轴，若点A 的横坐标为－1，则点C n 的纵坐标是________．例2题图基本模型【解题步骤】分析图形可知，所有图形都是由如图所示的基本模型构成，故求出点C 1，C 2，C 3，C 4的纵坐标可类比出点C n 的纵坐标．①求点C 1的坐标：∵点C 1在直线y ＝13x ＋43上，∴设点C 1的坐标为(t ，______)．∵△B 1B 2C 1是等腰直角三角形，且点B 1与原点O 重合，∴B 1B 2＝B 2C 1，即t ＝______，解得t ＝2.∴点C 1的纵坐标为________；②求点C 2，C 3，C 4的坐标：设点C 2的坐标为(m ，______)，∵△B 2B 3C 2是等腰直角三角形，∴m －2＝________，解得m ＝________，∴点C 2的纵坐标为________．同理可得，点C 3的纵坐标为_________；点C 4的纵坐标为________；③总结，类比可得：点C n 的纵坐标为________．辽宁近年中考真题精选1.如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E ，使AE ＝DA ，连接EB ，点F 1是CD 的中点，连接EF 1,BF 1，得到△EF 1B ；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B ；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B ；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为_________________________．(用含正整数n 的式子表示)第1题图基本模型：____________________2.如图，在△A 1C 1O 中，A 1C 1＝A 1O ＝2，∠A 1OC 1＝30°，过点A 1作A 1C 2⊥OC 1，垂足为C 2，过点C 2作C 2A 2∥C 1A 1交OA 1于点A 2，得到△A 2C 2C 1；过点A 2作A 2C 3⊥OC 1，垂足为C 3，过点C 3作C 3A 3∥C 1A 1交OA 1于点A 3，得到△A 3C 3C 2；过点A 3作A 3C 4⊥OC 1，垂足为C 4，过点C 4作C 4A 4∥C 1A 1交OA 1于点A 4，得到△A 4C 4C 3；…；按照上面的作法进行下去，得到△A n ＋1C n ＋1C n 的面积为________．(用含正整数n 的代数式表示)第2题图基本模型：__________________3.如图，等边△A 1C 1C 2的周长为1，作C 1D 1⊥A 1C 2于D 1，在C 1C 2的延长线上取点C 3，使D 1C 3＝D 1C 1，连接D 1C 3，以C 2C 3为边作等边△A 2C 2C 3；作C 2D 2⊥A 2C 3于D 2，在C 2C 3的延长线上取点C 4，使D 2C 4＝D 2C 2，连接D 2C 4，以C 3C 4为边作等边△A 3C 3C 4；…；且点A 1，A 2，A 3，…都在直线C 1C 2同侧，如此下去，则△A 1C 1C 2，△A 2C 2C 3，△A 3C 3C 4，…，△A n C n C n ＋1的周长和．．．为________．(n ≥2，且n 为整数)第3题图基本模型：__________________4.如图，点B 1在直线l ：y ＝12x 上，点B 1的横坐标为2，过B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点C n 的横坐标为________(结果用含正整数n 的代数式表示)．第4题图基本模型：__________________5.如图，直线l 1的解析式是y ＝33x ，直线l 2的解析式是y ＝3x ，点A 1在l 1上，A 1的横坐标为32，作A 1B 1⊥l 1交l 2于点B 1，点B 2在l 2上，以B 1A 1，B 1B 2为邻边在直线l 1，l 2间作菱形A 1B 1B 2C 1，分别以A 1，B 2为圆心，以A 1B 1为半径画弧得扇形B 1A 1C 1和扇形B 1B 2C 1，记扇形B 1A 1C 1与扇形B 1B 2C 1重叠部分的面积为S 1；延长B 2C 1交l 1于点A 2，点B 3在l 2上，以B 2A 2，B2B3为邻边在l1，l2间作菱形A2B2B3C2，分别以A2，B3为圆心，以A2B2为半径画弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，记扇形B2A2C2与扇形B2B3C2重叠部分的面积为S2；…；按照此规律继续作下去，则S n＝__________________________(用含有正整数n的式子表示)．第5题图基本模型：________________针对训练1.如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．将△OAB进行n次变换得到△OA n B n，则△OA n B n 的面积为________．第1题图2.如图，∠MON＝30°，点A1在ON上，点C1在OM上，OA1＝A1C1＝2，C1B1⊥ON于点B1，以A1B1和B1C1为邻边作矩形A1B1C1D1，点A1，A2关于点B1对称，A2C2∥A1C1交OM 于点C2，C2B2⊥ON于点B2，以A2B2和B2C2为邻边作矩形A2B2C2D2，连接D1D2，点A2，A3关于点B2对称，A3C3∥A2C2交OM于点C3，C3B3⊥ON于点B3，以A3B3和B3C3为邻边作矩形A3B3C3D3，连接D2D3，…，依此规律继续下去，则D2021D2022＝________．第2题图3.如图，直线y＝－x＋1分别交x轴、y轴于点A、B，点O1、A1分别是BO、BA的中点，连接A1O1、AO1；O2、A2分别是BO1、BA1的中点，连接A2O2、A1O2，…，按此规律进行下去，则S△A n A n＋1O n＋1的面积是________．第3题图4.如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，则△A n A n＋1A n＋2的面积等于________．第4题图5.如图，n个腰长为1的等腰直角三角形(Rt△B1AA1，Rt△B2A1A2，Rt△B3A2A3，…)有一条腰在同一直线上，设△A1B2C1的面积为S1，△A2B3C2的面积为S2，△A3B4C3的面积为S3，…，则S n＝________．(用含n的代数式表示)第5题图6.如图，分别过x 轴上点A 1(1，0)，A 2(2，0)，…，A n (n ，0)作x 轴的垂线，与反比例函数y ＝6x(x ＞0)的图象的交点分别为B 1，B 2，…，B n ，若△A 1B 1A 2的面积为S 1，△A 2B 2A 3的面积为S 2，…，△A n B n A n ＋1的面积为S n ，则S n ＝________．(用含n 的式子表示)第6题图7.已知直线m ：y ＝12x ＋12与直线n ：y ＝－12x ＋12交于点A ，直线n 与x 轴交于点B 1，过B 1作B 1C 1⊥x 轴，交直线m 于点C 1，作菱形AB 1D 1C 1得点D 1，过D 1作B 2C 2⊥x 轴，分别与直线n 和直线m 交于点B 2，C 2，作菱形AB 2D 2C 2得点D 2，过点D 2作B 3C 3⊥x 轴，分别与直线n 和直线m 交于点B 3，C 3，作菱形AB 3D 3C 3得点D 3，…，设△B 1C 1D 1的面积为S 1，△B 2C 2D 2的面积为S 2，△B 3C 3D 3的面积为S 3，…，依次类推，则△B 2022C 2022D 2022的面积S 2022的值是________．第7题图8.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，作BC 1⊥AC ，垂足为C 1，作CB 1⊥AB ，垂足为B 1，BC 1与CB 1交于点A 1；作B 1C 2⊥AC ，垂足为C 2，作C 1B 2⊥AB ，垂足为B 2，B 1C 2与C 1B 2交于点A 2；作B 2C 3⊥AC ，垂足为C 3，作C 2B 3⊥AB ，垂足为B 3，B 2C 3与C 2B 3交于点A 3；…；若△A 1BC 的面积为1，则四边形A n B n A n ＋1C n 的面积为________．第8题图9.如图，∠MON＝90°，点A1，A2，A3，….A n＋1在射线OM上，点B1，B2，B3，…，B n＋1在射线ON上，连接A1B2，A2B1，∠A1B2O＝∠B1A2O＝30°，A1B2∥A2B3∥A3B4…∥A n B n＋1，A2B1∥A3B2∥A4B3…∥A n＋1B n，A1B2与A2B1相交于点C1，A2B3与A3B2相交于点C2，A3B4与A4B3相交于点C3，…，A n B n＋1与A n＋1B n相交于点C n，OA1＝OB1＝1，则四边形A n C n B n O的周长为________．第9题图10.如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…的顶点A，A1，A2，A3，…在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设四边形A1DED1的面积为S1，四边形A2D1E1D2的面积为S2，四边形A3D2E2D3的面积为S3，…，若AB＝2，则S n等于________．(用含有正整数n的式子表示)第10题图11.正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…，按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝－x＋2和x＝1上，且A1在x轴上，则点C2022的横坐标是________．第11题图12.如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，0)，直线l：y＝33x＋33与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推，连接AB1，与A1B交于点C1，连接A1B2，与A2B1交于点C2，以此类推，则点C2022的纵坐标是________．第12题图类型二图形周期变化典例精讲例3如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n－2A3n－1A3n(n为正整数)均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O 是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为________．例3题图【解题步骤】①确认周期：观察图形可知，三角形的顶点______个为一个循环；②确定A2016的位置：∵2016÷______＝______，∴点A2016在y轴上，且是第________个三角形的顶点；③求A2016的坐标：在△A1A2A3中，A1A2＝2，∴△A1A2A3的高为________．∵点O是△A1A2A3的中心，∴OA3＝________，同理得OA6＝________，OA9＝________，…，∴点A2016的坐标为________．辽宁近年中考真题精选1.如图①，边长为1的正三角形ABC放置在边长为2的正方形内部，顶点A在正方形的一个顶点上，边AB在正方形的一边上，将△ABC绕点B顺时针旋转，当点C落在正方形的边上时，完成第1次无滑动滚动(如图②)；再将△ABC绕点C顺时针旋转，当点A落在正方形的边上时，完成第2次无滑动滚动(如图③)；…；每次旋转的角度都不大于120°，依次这样操作下去，当完成第2016次无滑动滚动时，点A经过的路径总长为________．第1题图针对训练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内有一条折线，构成这条线段的端点的坐标是这样的：A1(1，1)、A2(1，2)、A3(2，2)、A4(2，3)、A5(3，3)、A6(3，4)、A7(4，4)，…，依此规律，点A71的坐标为________．第1题图2.如图，多边形A1A2A3A4A5A6、多边形A7A8A9A10A11A12、…、多边形A6n－5A6n－4A6n－3A6n－2A6n A6n(n为正整数)均为正六边形，它们的边长依次是2、4、…、2n，顶点A6、A12、…、A6n －1均在x轴上，点O是所有正六边形的中心，则A2021的坐标是________．第2题图3.如图，四边形OA1B1C1是边长为1的正方形，点A1、C1分别在x轴、y轴的负半轴上，连接OB1，以OB1的长为边长向右侧作正方形OA2B2C2，点A2在y轴的负半轴上，点C2在x轴的正半轴上，连接OB2，以OB2的长为边长向上方作正方形OA3B3C3，点A3、C3分别在x轴、y轴的正半轴上，…，按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为________．第3题图4.如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y＝x和y＝－x分别交于A1，A2，A3，A4，…，则点A30的坐标是________．第4题图5.如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作第二个等腰Rt△OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰Rt△OA3A4，…，依此规律，得到等腰Rt△OA2021A2022，则点A2022的坐标为________．第5题图6.如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依据图形所反映的规律，则A100的坐标为________．第6题图7.如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△O n BA n，则A2020的横坐标为________．－1第7题图参考答案类型一图形递推变化典例精讲例17×22n－19【解题步骤】①2，4，4，12，13，23，23，43，23，83，12，13，13×12×43×4＝89，12×2×23＝23，23＋89＝149；②8，13，13×12×83×8＝329，12×4×43＝83，83＋329＝569，2249；③7×22n －19.例23n －12n －2【解题步骤】①13t ＋43，13t ＋43，2；②13m ＋43，13m ＋43，5，3，92，274；③3n －12n －2.辽宁近年中考真题精选1.2n ＋12n 【解析】设AB ＝CD ＝a ，AD ＝CB ＝EA ＝b ，则DE ＝2b ，DF 1＝CF 1＝12a ，CF 2＝14a ，CF 3＝18a ，∴S △EF 1B ＝S 四边形BCDE －S △DEF 1－S △CBF 1＝12(2b ＋b )a －12×2b ×12a －12×12ab ＝34ab ＝34×2＝32；S △EF 2B ＝S 四边形BCDE －S △DEF 2－S △CBF 2＝12(2b ＋b )a －12×2b ×34a －12×14ab ＝58ab ＝58×2＝54；S △EF 3B ＝S 四边形BCDE －S △DEF 3－S △CBF 3＝12(2b ＋b )a －12×2b ×78－12×18ab ＝916ab ＝916×2＝98；…；由面积变化规律可知S △EF n B ＝2n ＋12n .基本模型：2.34n 【解析】∵A 1O ＝A 1C 1＝2，∠A 1OC 1＝30°，A 1C 2⊥OC 1，∴A 1C 2＝12A 1O ＝1，C 1C 2＝C 2O ＝3，又∵A 2C 3⊥OC 1，∴A 2C 3∥A 1C 2，∴A 2C 3是△A 1C 2O 的中位线，∴A 2C 3＝12A 1C 2＝12，S △A 2C 2C 1＝12C 1C 2·A 2C 3＝34；以此类推，S △A 3C 3C 2＝342；S △A 4C 4C 3＝343；…；∴S △A n ＋1C n ＋1C n ＝34n.基本模型：3.2n －12n －1【解析】∵△A 1C 1C 2是等边三角形，∴∠A 1C 2C 1＝60°，∵C 1D 1⊥A 1C 2，∴D 1C 2＝12C 1C 2，∠D 1C 1C 2＝30°，∵C 1D 1＝D 1C 3，∴∠D 1C 3C 2＝∠D 1C 1C 2＝30°，∴∠C 2D 1C 3＝∠C 2C 3D 1＝30°，∴C 2C 3＝C 2D 1＝12C 1C 2，∴C △A 2C 2C 3＝12C △A 1C 1C 2＝12，同理C △A 3C 3C 4＝12C △A 2C 2C 3＝122，∴△A n C n C n ＋1的周长为12n －1，∴这些三角形的周长和为1＋12＋122＋…＋12n －1＝2n －12n －1.基本模型：4.7×3n －12n 【解析】如解图，过点B 1作B 1M ⊥x 轴于点M ，过点C 1作C 1N ⊥x 轴于点N ，∵点B 1的坐标为(2，1)，∴点M 的坐标为(2，0)，即B 1M ＝1，OM ＝2，由△A 1MB 1∽△B 1MO可得A 1M ＝12，又∵△C 1NA 1≌△A 1MB 1，∴A 1N ＝1，C 1N ＝12，∴点C 1的横坐标为72；同理可得，点C 2的横坐标为72×32；点C 3的横坐标为72×(32)2；…；∴点C n 的横坐标为7×3n －12n .第4题解图基本模型：5.(π3－32)×(32)2n －2【解析】∵直线l 1∶y ＝33x ，∴∠A 1Ox ＝30°，∵直线l 2∶y ＝3x ，∴∠B 1Ox ＝60°，∴∠A 1OB 1＝30°.∵A 1B 1⊥l 1，∴∠OB 1A 1＝60°，∵四边形A 1B 1B 2C 1是菱形，∴A 1C 1∥B 1B 2，∴∠B 1A 1C 1＝∠A 1B 1O ＝60°，∵A 1B 1＝A 1C 1，∴△A 1B 1C 1是等边三角形，∴S 1＝2(S 扇形A 1B 1C 1－S △A 1B 1C 1).∵点A 1的横坐标为32，∴点A 1的纵坐标为32，OA 1＝3.如解图，过点A 1作A 1D ⊥x 轴于点D ，则△A 1OB 1∽△DOA 1，∴A 1B 1DA 1＝A 1O DO ，即A 1B 132＝332，∴A 1B 1＝1，∴S 1＝2×(π6－34)＝π3－32.在△A 2A 1C 1中，A 1C 1＝A 1B 1＝1，∠C 1A 1A 2＝30°，∴A 2C 1＝12A 1C 1＝12，∴A 2B 2＝A 2C 1＋B 2C 1＝32，∴S 2＝2[(π6×(32)2－12×32×(32)2]＝(π3－32)×(32)2，同理S 3＝(π3－32)×(32)4，S 4＝(π3－32)×(32)6，∴S n ＝(π3－32)×(32)2(n －1)＝(π3－32)×(32)2n －2.第5题解图基本模型：针对训练1.3·2n 【解析】∵A ，A 1，A 2…A n 都在平行于x 轴的直线上，点的纵坐标都相等，∴A n 的纵坐标是3，这些点的横坐标有一定的规律A n ＝2n ；B ，B 1，B 2，…，B n 都在x 轴上，B n 的纵坐标是0，这些点的横坐标也有一定的规律B n ＝2n ＋1，点A n 的坐标是(2n ，3)，B n 的坐标是(2n ＋1，0)，∴△OA n B n 的面积＝12×3×OB n ＝3·2n .2.22020·7【解析】由题意得D 1D 2＝22＋（3）2＝7＝20·7，D 2D 3＝42＋（23）2＝27＝21·7，D 3D 4＝82＋（43）2＝47＝22·7，…，∴D n D n ＋1＝2n －1·7.∴D 2021D 2022＝22020·7.3.122n ＋3【解析】把x ＝0代入y ＝－x ＋1得，y ＝1，∴OB ＝1，把y ＝0代入y ＝－x ＋1得，x ＝1，∴OA ＝1，∴OA ＝OB ，∵点O 1、A 1分别是BO 、BA 的中点，∴OO 1＝12OB ＝12，O 1A 1是△OAB 的中位线，∴O 1A 1∥OA ，O 1A 1＝12OA ＝12，如解图，连接OA 1，O 1A 2，∵O 1A 1∥OA ，∴S △AO 1A 1＝S △OO 1A 1＝12×12×12＝123，同理，O 2A 2＝12O 1A 1＝14，O 2O 1＝12BO 114，S △A 1O 2A 2＝S △O 1O 2A 2＝12×14×14＝125，…，∴S △A n A n ＋1O n ＋1＝122n ＋3.第3题解图4.2n －1【解析】设△AA 1A 2、△A 1A 2A 3、△A 2A 3A 4的面积分别为S 1、S 2、S 3，∵四边形OAA 1B 1是正方形，∴OA ＝AA 1＝A 1B 1＝1，∴S 1＝12，∵∠OAA 1＝90°，∴OA 21＝12＋12＝2，∴OA 2＝A 2A 3＝2，∴S 2＝1，同理可求：S 3＝2，S 4＝4，…，∴S n ＝2n －2，∴△A n A n ＋1A n ＋2的面积S n ＋1＝2n －1.5.n2n ＋2【解析】如解图，连接B 1B 2，B 2B 3，B 3B 4，∵n 个腰长为1的等腰三角形有一条腰在同一直线上，∴B 1B 2＝B 2B 3＝B 3B 4＝1，∴△A 1B 1B 2的面积＝12，∵B 1B 2∥AA 4，∴B 1B 2AA 1＝1，B 2B 3AA 2＝12，B 3B 4AA 3＝13，∴S 1＝12×11＋1＝14，∵S 2＝12×21＋2＝13，S 3＝12×33＋1＝38，∴S n ＝12×n n ＋1＝n 2n ＋2.第5题解图6.3n【解析】如解图，分别连接OB 1，OB 2，…，OB n ，∵点A 1(1，0)，A 2(2，0)，…，A n (n ，0)，∴OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝…，∵B 1，B 2，…，B n 在反比例函数y ＝6x(x ＞0)的图象上，∴S △A n OB n ＝12×6＝3，∴S 1＝S △A 1OB 1＝3，S 2＝12S △A 2OB 2＝32，S 3＝13S △A 3OB 3＝33，…，S n ＝1n S △A n OB n ＝3n .第6题解图7.24041【解析】由12x ＋12＝－12x ＋12得x ＝0，则A (0，12)，令y ＝0，由y ＝－12x ＋12＝0得x ＝1，则B 1(1，0)，C 1(1，1)，∴B 1C 1＝1，如解图，连接AD 1，D 1D 2，D 2D 3，由菱形的对称性可得AD 1＝2，∴S 菱形AB 1D 1C 1＝12AD 1·B 1C 1＝12×2×1＝1，∴S 1＝12S 菱形AB 1D 1C 1＝12，把x ＝2分别代入y ＝12x ＋12与y ＝－12x ＋12得y ＝32和y ＝－12，∴B 2(2，－12)，C 2(2，32)，∴B 2C 2＝2，由菱形的对称性得AD 2＝4，∴S 2＝12S 菱形AB 2D 2C 2＝12×12×4×2＝2，把x ＝4分别代入y ＝12x ＋12与y ＝－12x ＋12得y ＝52和y ＝－32，∴B 3(4，－32)，C 3(4，52)，∴B 3C 3＝4，由菱形的对称性得AD 3＝8，∴S 3＝12S 菱形AB 3D 3C 3＝12×12×8×4＝8，同理可得S 4＝32，S 5＝128，…，由上可知S n ＝22n －3，∴S 2022＝24041.第7题解图8.3n22n －1【解析】∵∠A ＝30°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝75°，∵BC 1⊥AC ，∴∠CBA 1＝15°，同理可得∠BCB 1＝15°，∴∠CA 1C 1＝30°，A 1B ＝A 1C ，∴CC 1＝12A 1C ，∵△A 1BC 的面积为1，∴12A 1B ·CC 1＝1，即12A 1C ·12A 1C ＝1，∴A 1C ＝2，∴A 1C 1＝32A 1C ＝3，∵A 1C 1⊥AC ，B 1A 2⊥AC ，∴A 1C 1∥B 1A 2，同理，A 1B 1∥A 2C 1，∴四边形A 1B 1A 2C 1是平行四边形，∵∠B 1BC ＝∠C 1CB ，∠BB 1C ＝∠CC 1B ＝90°，BC ＝CB ，∴△BB 1C ≌△CC 1B (AAS)，∴BC 1＝CB 1，∵A 1B ＝A 1C ，∴A 1B 1＝A 1C 1，∴四边形A 1B 1A 2C 1是菱形，∴A 1C 1＝A 2C 1，∵CB 1∥C 1B 2，∴∠A 2C 1A 1＝∠CA 1C 1＝30°，如解图，过点A 1作A 1M ⊥A 2C 1于M ，∴A 1M ＝12A 1C 1＝123，∴菱形A 1B 1A 2C 1的面积＝A 2C 1·A 1M ＝32＝3122×1－1；同理可得，菱形A 2B 2A 3C 2的面积＝98＝3222×2－1；菱形A 3B 3A 4C 3的面积＝2732＝3322×3－1；…；由上可知四边形A n B n A n ＋1C n 的面积＝3n 22n －1.第8题解图9.2(3)n 【解析】∵OA 1＝OB 1＝1，∠A 1B 2O ＝∠B 1A 2O ＝30°，∴OA 2＝1tan ∠OA 2B 1＝1tan30°＝3，∴A 1A 2＝OA 2－OA 1＝3－1，∵∠A 1B 2O ＝∠B 1A 2O ＝30°，∴∠B 2A 1O ＝60°，∵∠B 2A 1O ＝∠B 1A 2O ＋∠A 1C 1A 2，∴∠A 1C 1A 2＝30°，∴∠B 1A 2O ＝∠A 1C 1A 2＝30°，∴A 1A 2＝A 1C 1＝3－1，同理OB 2＝3，B 1B 2＝B 1C 1＝3－1，∴四边形A 1C 1B 1O 的周长为1＋1＋3－1＋3－1＝23，∵A 1B 2∥A 2B 3，A 2B 1∥A 3B 2，∴∠OA 1B 2＝∠OA 2B 3，∠OB 1A 2＝∠OB 2A 3，∴四边形OA 1C 1B 1∽四边形OA 2C 2B 2，且相似比为OA 2OA 1＝3，同理四边形OA 2C 2B 2∽四边形OA 3C 3B 3，且相似比为3；以此类推，四边形OA n －1C n －1B n －1∽四边形OA n C n B n ，且相似比为3；∴四边形OA 1C 1B 1∽四边形OA n C n B n ，且相似比为(3)n －1，∴四边形OA 1C 1B 1的周长四边形OA n C n B n 的周长＝1（3）n －1，∴四边形A n C n B n O 的周长为23×(3)n －1＝2(3)n .10.19×4n ＋2【解析】设△ADC 的面积为S ，由题意得，AC ∥B 1B 2，AC ＝AB ＝2，B 1B 2＝4，∴△ACD ∽△B 2B 1D ，∴S △ADC S △B 1B 2D ＝(AC B 1B 2)2＝14，∴S △B 1B 2D ＝4S ，∵CD DB 1＝AC B 1B 2＝12，CB 1＝2，∴DB 1＝43，同理D 1B 2＝83，设△B 1DE 的边B 1D 上的高为h 1，△B 2D 1E 的边B 2D 1上的高为h 2，∵B 1D ∥B 2D 1，∴△B 1DE ∽△D 1B 2E ，∴h 1h 2＝B 1D B 2D 1＝4383＝12，又∵h 1＋h 2＝4，∴h 1＝43，S 1＝12(B 1B 2)2－12B 1D ·h 1＝19×43，同理可得S 2＝19×44，…，S n ＝19×4n ＋2.11.22021＋1【解析】如解图，令y ＝0，则y ＝－x ＋2＝0，得x ＝2，∴点A 1的坐标为(2，0)．令x ＝0，则y ＝－x ＋2＝2，∴M (0，2)，∴OM ＝OA 1＝2，∴∠MA 1O ＝45°，∴∠A 1PN ＝45°，∵四边形A 1B 1C 1A 2为正方形，∴∠MA 1B 1＝90°，∴∠NA 1B 1＝45°，∴∠A 1B 1N ＝45°，∴A 1N ＝B 1N ＝2－1＝1，∴A 1P ＝A 1B 1＝A 1A 2＝A 2C 1＝B 1C 1＝2，B 1(1，－1)，如解图，连接A 2B 1，A 1C 1，则∠A 1B 1A 2＝∠C 1A 1B 1＝45°，∴∠A 2B 1N ＝∠C 1A 1N ＝90°，∴点C 1的横坐标与A 1的横坐标相等为2，A 2与B 1的纵坐标相等为－1，当y ＝－1时，y ＝－x ＋2＝－1，得x ＝3，∴点A 2的坐标为(3，－1)．∵四边形A 2B 2C 2A 3为正方形，∴∠PA 2B 2＝90°，∵∠A 1PN ＝45°，∵A 2B 2＝A 2P ＝22，∴PB 2＝2A 2B 2＝4，∴B 2(1，－3)，如解图，连接A 3B 2，A 2C 2，则A 3B 2∥x 轴，A 2C 2∥y 轴，∴点C 2的横坐标与A 2的横坐标相等为3，A 3与B 2的纵坐标相等为－3，当y ＝－3时，y ＝－x ＋2＝－3，得x ＝5，∴点A 3的坐标为(5，－3)．∴点C 3的横坐标为5.同理可得，C 4的横坐标为9，C 5的横坐标为17，…，由上可得规律，C n 的横坐标为2n －1＋1(n ≥2)，∴点C 2022的纵坐标为22021＋1.第11题解图12.22023－363【解析】∵直线l ：y ＝33x ＋33与x 轴交于点B ，∴B (－1，0)，∴OB ＝1，∵A (－2，0)，∴OA ＝2，∴AB ＝1，∵△ABA 1是等边三角形，∴A 1(－32，32)，把y ＝32代入y ＝33x ＋33，求得x ＝12，∴B 1(12，32，∴A 1B 1＝2，设C 1到x 轴的距离为h 1，C 1到A 1B 1的距离为h 1′，∴h 1＋h 1′＝yA 1＝123，∵A 1B 1//AB ，∴△A 1B 1C 1∽△BAC 1，∴h 1h 1′＝BA A 1B 1＝12，∴h 1＝13(h 1＋h 1′)＝13×123＝163，∴C 1的纵坐标为163；∵A 1B 1＝2，∴A 2(－12，332，将y ＝332代入y ＝33x ＋33中，得33x ＋33＝332，求得x ＝72，∴B 2(72，332)，∴A 2B 2＝4，设C 2到A 1B 1的距离为h 2，C 2到A 2B 2的距离为h 2′，∴h 2＋h 2′＝12A 1B 1·3＝3，∵A 1B 1//A 2B 2，∴△A 1B 1C 2∽△B 2A 2C 2，∴h 2h 2′＝A 1B 1A 2B 2＝12，∴h 2＝13(h 2＋h 2′)＝13×3＝133，∴C 2的纵坐标为yA 1＋h 2＝123＋133＝563；同理可得，C 3的纵坐标为1363；C 4的纵坐标为2963；…，∴C n 的纵坐标为2n ＋1－36 3.∴点C 2022的纵坐标是22023－363.第12题解图类型二图形周期变化典例精讲例3(0，4483)【解题步骤】①3；②3，672,672；③3，233，433，23，(0，4483)辽宁近年中考真题精选1.560π【解析】第一次操作：A 点运动路径长为l 1＝120×π×1180＝23π，第二次操作：A 点运动路径长为l 2＝30×π×1180＝16π，第三次操作：A 点运动路径长为l 3＝0，第四次操作：A 点运动路径长为l 4＝30×π×1180＝16π，第五次操作：A 点运动路径长为l 5＝120×π×1180＝23π，第六次操作：A 点运动路径长为l 6＝0，第七次操作：A 点运动路径长为l 7＝120180×π×1＝23π，…，以此类推，不难发现每三次操作，A 点的运动路径总长相同，即为l ＝23π＋16π＋0＝56π，又∵2016÷3＝672刚好整除，∴A 点的运动总路径长为l 总＝672×56π＝560π.针对训练1.(36，36)【解析】观察这些端点的坐标，有以下规律：当n 为奇数时，第n 个点的坐标为(n ＋12，n ＋12)；当n 为偶数时，第n 个点的坐标为(12n ，12n ＋1)．由此可知，点A 71的坐标为(36，36)．2.(337，－3373)【解析】观察图形可知，六边形的顶点是6个为一个循环，∵2021÷6＝336……5，∴点A 2021是第337个正六边形的顶点，且在第四象限，如解图连接OA 5，A 5，A 11，并延长至A 2021，∵点O 是所有正六边形的中心，易得△OA 5A 6、△OA 11A 12…，都是等边三角形，∴OA 5＝2、OA 11＝4、…，OA 2021＝337×2＝674，作A 2021P ⊥x 轴于点P ，∵∠A 2021OP ＝60°，∴A 2021P ＝OA 2021·sin60°＝3373，OP ＝OA 2021·cos60°＝337，∴点A 2021的坐标是(337，－3373)．第2题解图3.(－21010，－21010)【解析】由题意得，点B 1，B 2，B 3，B 4分别在第三象限，第四象限，第一象限，第二象限的角平分线上，且点B 5与点B 1在一条直线上，∴周期为4.∵2021÷4＝505……1，∴点B 2021在第三象限的角平分线上．∵四边形OA 1B 1C 1是边长为1的正方形，∴OA 1＝1，∴OB 1＝2.∵正方形OA 2B 2C 2的边长等于OB 1，∴OA 2＝2，∴OB 2＝2OA 2＝2＝(2)2.∵正方形OA 3B 3C 3的边长等于OB 2，∴OA 3＝2，∴OB 3＝2OA 3＝22＝(2)3.同理可得，OB 2021＝(2)2021，∴点B 2021的横坐标为－(2)2021×cos45°＝－（2）20222＝－210112＝－21010，纵坐标为－(2)2021×sin45°＝－（2）20222＝－210112＝－21010，∴点B 2021的坐标为(－21010，－21010)．4.(－42，42)【解析】观察题图可知，每4个点在一个图上，∴周期为4，∵30÷4＝7……2，∴A 30在直线y ＝－x 上，且在第二象限第8个圆上，即射线OA 30与x 轴的夹角是45°，∵在直角坐标系中，以原点O 为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，∴OA 30＝8，如解图，OA ＝8，∠AOB ＝45°，∵sin45°＝AB 8，cos45°＝OB 8，∴AB ＝42，OB ＝42，∵A 30在第二象限，∴A 30的横坐标是－42，纵坐标是42，即A 30的坐标是(－42，42)．第4题解图5.(－21010，－21010)【解析】∵等腰Rt △OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1＝A 1A 2＝1＝(2)°，以OA 2为直角边作第二个等腰Rt △OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰Rt △OA 3A 4，…，∴OA 1＝1＝(2)°，OA 2＝2，OA 3＝(2)2，…，OA 2022＝(2)2021，∵A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴，2022÷8＝252……6，∴点A 2022在第三象限对角线上，∵OA 2022＝(2)2021，∴点A 2022的坐标为(－21010，－21010)．6.(52，－5132)【解析】观察，发现规律：A 2(2，3)，A 4(52，－332)，A 6(2，23)，A 8(52，－532)，…，∴A 4n ＋2(2，3n ＋3)，A 4n ＋4(52，－（2n ＋3）32)(n 为自然数)，∵100＝4×24＋4，∴A 100的坐标为(52，－5132)．7.－3101022019【解析】∵边长为4的等边△ABC ，AC 边在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，OB ⊥AC ，∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°，∠ABO ＝12∠ABC ＝30°，∴AO ＝12AB ＝2，OB ＝3AO ＝23；∵以OB 为边作等边△OBA 1，边OA 1与AB 交于点O 1，以O 1B 为边作等边△O 1BA 2，边O 1A 2与A 1B 交于点O 2，∴∠BA 1O ＝∠A 1OB ＝∠A 2O 1B ＝60°，∠A 1BO 1＝∠OBO 1＝12∠A 1BO＝30°，∴∠AOO 1＝∠A 1O 1O 2＝90°－60°＝30°，在△OO 1A 与△O 1O 2A 1OAO 1＝∠A 1AOO 1＝∠A 1O 1O 2，∴△OO 1A ∽△O 1O 2A 1，同理，可得△OO 1A ∽△O 1O 2A 1∽△O 2O 3A 2∽…∽△O n －1O n A n －1，相似比O 1A 1OA ＝O 1O 2OO 1＝sin60°＝32，∴O 1A 1＝32OA ，同理O 2A 2＝32O 1A 1＝(32)2OA ，…，O n A n ＝(32)n OA ∵∠OBA ＝∠O 1BA 1＝∠O 2BA 2＝∠O 3BA 3＝…＝∠O n －2BA n －2＝∠O n －1BA n －1＝30°，360°÷30°＝12，∴这些点所在的位置以12个为一个周期依次循环，∵2020÷12＝168……4，∴O 2020A 2020为4÷2×(32)2020＝3101022019.∴△O 2019BA 2020的边长为2O 2020A 2020＝2×(3101022019)＝3101022018，∵点A 2020与点A 4位置类似，∴点A 2020的横坐标为－3101022019·sin30°＝－3101022019.。
3.6 探索规律(含答案)-
3.6 探索规律（一）◆基础训练一、选择题1．百货大楼进了一批花布，出售时要在进价（进货价格）的基础上加一定的利润，其数量x与售价y如下表：下列用数量x表示售价y的关系中，正确的是（）．A．y=8x+0.3 B．y=（8+0.3）x C．y=8+0.3x D．y=8+0.3+x2．当n非常大时，与314nn接近的值是（）A．34B．0 C．43D．－14二、填空题3．从2开始，将连续的偶数相加，其和的情况如下：2=1×2，2+4=6=2×3，2+•4+•6=12=3×4，2+4+6+8=20=4×5，…，2+4+6+…+24=_______×________．如从2开始n个连续的偶数相加，试写出用n表示的代数式2+4+6+…+2n=_______．4．研究下列算式，你可以发现一定的规律：1×3+1=4=22，2×4+1=9=32，3×5+1=16=42，4×6+1=25=52…，请你将找出的规律用代数式表示出来：__________．5．观察下列等式：9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20，49－25=24…这些等式反映出自然数间某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来________．三、解答题6．观察一列数表：1 2 3 4 … 第一行2 3 4 5 … 第二行3 4 5 6 … 第三行4 5 6 6 … 第四行… … … …第第第第一二三四列列列列根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为多少？第n•行与第n列交叉点上的数应为多少？（用n表示）7．1×2×3×4+1=52，2×3×4×5+1=112，3×4×5×6+1=192，4×5×6×7+1=292．你能由以上的结果推测出：10×11×12×13+1等于哪个数的平方吗？你能推测出：n （n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方吗？8．观察下列各正方形图案，每条边上有n（n≥2）个圆点，•每个图案中圆点的总数为s．n=2，s=4 n=3，s=8 n=4，s=12按此规律推断出s与n的关系式．◆能力提高 一、填空题9．观察下列各式，你会发现什么规律： 3×5=15，而15=42－1 5×7=35，而35=62－1 …11×13=143，而143=122－1 …将你观察到的规律用只含一个字母的式子表示出来为__________． 10．观察算式：1+3=(13)2(15)3(17)4,135,1357,222+⨯+⨯+⨯++=+++= (19)5135792+⨯++++=，…，按规律可得：1+3+5+7+•9+…+99=________． 二、解答题11．（1）看一看：下列两组算式（3×5）2与32×52；[（－12）×4] 2与（－12）2×42，•每组两个算式的计算结果是否相等？ （2）想一想：（ab ）2等于什么？（3）猜一猜：当n 为正整数时，（ab ）n 等于什么？12．将1，－12，13，－14，15，－16，…按一定规律排列如下：第1行 1第2行－1213第3行－1415－16第4行17－1819－110第5行11111 1112131415 --…请你写出第20行从左到右第10个数是多少？◆拓展训练13．用火柴棒按下图中的方式拼图形：（1）按图示规律填空：（2）拼第13个图形需要多少根火柴棒？（3）拼第n个图形需要多少根火柴棒？答案:1．B 2．A 3．156，12，13，n（n+1）4．n（n+2）+1=（n+1）2（n≥1）5．（n+3）2－（n+1）2=4（n+2）（n≥0）6．11，2n－17．131，n（n+3）+1 8．s=4（n－1）9．（2n+1）·（2n+3）=（2n+2）2－1（n≥1）10．250011．（1）相等，（2）a2b2，（3）a n b n12．－1 20013．（1）5，9，13，17，21，（2）53，（3）4n+1．3.6 探索规律（二）◆基础训练 一、选择题1．如图，甲、乙两人沿着边长为40cm 的正方形，按A→B→C→D→A→B…的方向行走，甲从A 以65米/分的速度行走，同时乙从B 以72米/分的速度行走，•当乙第一次追上甲时在正方形的（ ）． A ．AB 边上 B ．DA 边上C ．BC 边上D ．CD 边上2．有以下两数串：1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，•4，•7，•10，•…，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中相同的数共有（ ）． A ．333个 B ．334个 C ．335个 D ．336个二、填空题 3．按规律填空：12，－16，112，－111,,______,203056． 4．下列一组数：－4，－1，4，11，20，…则第6个数是_______． 5．比较下面两列算式结果的大小（在横线上选填“>”、“<”、“=”） 52+72______2×5×7（－9）2+42_______2×（－9）×4（－6）2+（－8）2_______2×（－6）×（－8） 32+32______2×3×3通过观察归纳，写出能反映出一般规律的式子为________．三、解答题6．如图是由长方形与正方形从左到右逐个交替并连而成，请观察图形并填下表（表中n 为正整数）：7．把立方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，并画出朵数不等的花，各面上的颜色与花的朵数情况如下：现将上述大小相同，颜色，花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平位置的立方体，如图所示，你知道立方体的下底面共有多少朵花吗？8．用火柴棒按如图的方式拼图形．（1）①中需要多少根火柴棒？②中需要多少根火柴棒？③中需要多少根火柴棒？（2）以此类推，第n个图形中需要多少根火柴棒？①②③◆能力提高一、填空题9．（1）通过计算比较下列各组数中两个数的大小，在空格中填写“>”、“<”、“=”．①12______21，②23______32，③34______43，④44______54．（2）从第（1）题的结果通过归纳可以猜想n n+1与（n+•1）n的大小关系为______，•比较20032004与20042003的大小为______．10．如图①是棱长为a的小立方体，图②、图③是由这样的小立方体摆放而成．按照这样的方式继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层，…，第n层，第n•层的小立方体的个数记为s．解答下列问题：（1）按照规律填表：①②③（2）写出当n=10时，s=________．二、解答题11．如果依次用a1，a2，a3，a4分别表示①，②，③，④中三角形的个数，那么a1=3，a2=8，a3=15，a4=_______．如果按上述规律继续画图，那么a9与a8之间的关系是a9=a8+_______，•你能写出a n与a n－1之间的关系吗？①②③④12．依次计算：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…，根据计算结果猜想1+2+3+…·+n+（n－1）+…+3+2+1的表达式．◆拓展训练13．如图所示，某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式．一天中午，•餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅中只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，•你打算选择哪种拼接方式来摆餐桌？(1) (2)答案:1．B 2．B 3．－1424．31 5．>，>，>，=，a2+b2≥2ab6．18，6n+2 17．17 8．（1）7，12，17，（2）5n+29．（1）①<，②<，③>，④>，（2）n n+1<（n+1）n（1≤n≤2），n n+1>（n+1）n（n≥3），20032004>2004200310．（1）10，15，（2）55 11．24，19，a n=a n－1+（2n+1）12．1，4，9，16，n213．按方式（1）来摆，因为，设所使用桌子张数为n张，由方式（1）得：4n+2=•98，•n=24<25，由方式（2）得：2n+4=98，n=47>25.。
2024徐州中考数学二轮重难题型专题训练 题型一 规律探索题 (含答案)
2024徐州中考数学二轮重难题型专题训练题型一规律探索题基础小练(1)若一列正整数：1，2，3，4，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是______，这n(n≥1)个数的和为______．(2)若一列数：1，3，5，7，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是______，这n(n≥1)个数的和为______．(3)若一列数：2，4，6，8，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________，这n(n≥1)个数的和为________．(4)若一列数：－1，1，－1，1，－1，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．(5)若一列数：1，－1，1，－1，1，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．能力提升(6)若一列数：1，4，9，16，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．(7)若一列数：2，5，10，17，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．(8)若一列数：0，3，8，15，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．(9)若一列数：4，7，10，13，17，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．(10)若一列数：2，6，12，20，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．类型一图形累加型典例精讲例下列图形都是由同样大小的三角形按照一定规律所组成的，其中图①中一共有3个三角形，图②中一共有6个三角形，图③中一共有10个三角形，…，按此规律排列下去，则图⑨中三角形的个数为________，图中三角形的个数为________．例题图55，（n＋1）（n＋2）【解析】设第一个图形中三角形的个数为3＝1＋2，第二个图形中2三角形的个数为6＝1＋2＋3，第三个图形中三角形的个数为10＝1＋2＋3＋4，…，第n个图形中三角形的个数为a n ，根据题意列表如下：图序n三角形个数a n 的值11＋221＋2＋331＋2＋3＋4……n 1＋2＋3＋…n ＋n ＋1由列表可知，图⑨中三角形的个数为1＋2＋3＋…＋9＋10＝55，图中三角形的个数为1＋2＋3＋…n ＋n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2.针对训练1.如图是以菱形为基本图形组成的一组有规律的图案，图①中有3个菱形，图②中有5个菱形，图③中有7个菱形，…，按此规律摆下去，图中菱形的个数为________．第1题图2.下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第________个图形共有210个小球．第2题图3.如图，每个图案均由大小相同的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n 个图形中正三角形的个数比圆的个数多________个．(由含n 的代数式表示)第3题图4.下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定的规律拼接而成，依照此规律，第n 个图形中白色正方形的个数为________．第4题图5用大小相等的黑白棋子组成下列一组图形：第5题图按照这样的规律摆下去，若第n个图形中有416枚白棋，则n的值为________．6.海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有______个菱形，第n个图中有________个菱形(用含n的代数式表示)．第6题图类型二图形成倍递变型典例精讲例如图，四边形ABC1D是菱形，且AC1＞BD，∠BAD＝60°，AB＝2，以对角线AC1为边作菱形AC1C2E，使点D在对角线AC2上，再以对角线AC2为边作菱形AC2C3F，使点E在对角线AC3上，…，如此下去，则对角线AC n的长度为________．例题图【答案】2(3)n【解题步骤】分析图形可知，所有图形都是由如图所示的基本模型构成，故求出AC1，AC2的长度即可找出AC n长度的规律．步骤一求AC 1的长：由基本模型图可知，菱形对角线的交点分别为O 1、O 2，∵四边形ABC 1D 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝2，∴∠C 1AB ＝30°，∴在Rt △ABO 1中，cos30°＝AO 1AB ，∴AO 1＝32×2＝3，∴AC 1＝2AO 1＝23.步骤二求AC 2的长：在Rt △AC 1O 2中，cos30°＝AO 2AC 1，∴AO 2＝32×23＝3，∴AC 2＝2AO 2＝6＝23×3＝2(3)2，步骤三总结，同理可得AC n 的长度：同理可得AC 3＝2(3)3，AC 4＝2(3)4，…，依此类推，∴AC n ＝2(3)n .徐州近年中考真题精选1.如图，已知OB ＝1，以OB 为直角边作等腰直角三角形A 1BO ，再以OA 1为直角边作等腰直角三角形A 2A 1O ，如此下去，则线段OA n 的长度为________．第1题图2.如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，则第n 个正方形的边长为________．第2题图3.如图，∠MON ＝30°，在OM 上截取OA 1＝3.过点A 1作A 1B 1⊥OM ，交ON 于点B 1，以点B 1为圆心，B 1O 为半径画弧，交OM 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥OM ，交ON 于点B 2，以点B 2为圆心，B 2O 为半径画弧，交OM 于点A 3；…；按此规律，所得线段A 20B 20的长等于________．第3题图针对训练1.如图，在边长为1的正方形OABC 中，以点O 为圆心，OA 长为半径画弧，以点O 为顶点在扇形OAC 中作第2个正方形OA 1B 1C 1，使点B 1在AC ︵上，点C 1在边OC 上；再以点O 为圆心，OA 1长为半径画弧，以点O 为顶点在扇形OA 1C 1中作第3个正方形OA 2B 2C 2，使点B 2在A 1C 1︵上，点C 2在边OC 上；…；则第2022个正方形的边长是________．第1题图2.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝1，AC 为对角线，记△ABC 的面积为S 1，取AC 中点O ，连接DO ，记△COD 的面积为S 2，取AD 中点E ，连接OE ，记△AOE 的面积为S 3，取OD 的中点F ，连接EF ，记△EOF 的面积为S 4，如此下去，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋…＋S 2022＝________．第2题图3.如图①，已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍后得到正方形A 2B 2C 2D 2，如图②；…；以此下去，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为________．第3题图4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，CD ⊥AB ，垂足为D ，以BD 为一条直角边向三角形外作第二个等腰Rt △BDE ，DF ⊥BE ，再以BF 为一条直角边向三角形外作第三个等腰Rt △BFG ，如此下去，如果Rt △ABC 的斜边记为c 1，上述方法所作的等腰直角三角形的斜边依次记为c 2，c 3，c 4，…，c n ，则c 2022＝________.第4题图5.如图①，正六边形ABCDEF 的边长为1，把它的各边延长一倍得到新正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1(如图②)，称为第一次扩展；把正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1边按原方法延长一倍得到正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2(如图③)，称为第二次扩展；如此下去，…，第n 次扩展得到正六边形A n B n C n D n E n F n ，则A 1B 1AB＝________；第n 次扩展得到正六边形A n B n C n D n E n F n 的面积是________．第5题图6.如图，点B 1在直线l ：y ＝12x 上，点B 1的横坐标为2，过点B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，则第n 个正方形A n B n B n ＋1C n 的边长为________(结果用含正整数n 的代数式表示)．第6题图参考答案基础小练(1)n ；n （n ＋1）2.(2)(2n －1)；n 2.(3)2n ；(n 2＋n )．(4)(－1)n .(5)(－1)n ＋1.能力提升(6)n 2.(7)(n 2＋1)．(8)(n 2－1)．(9)(3n ＋1)．(10)n (n ＋1)．类型一图形累加型针对训练1.(2n ＋1)【解析】由题意可知，图①中有2×1＋1＝3个菱形，图②中有2×2＋1＝5个菱形，图③中有2×3＋1＝7个菱形，∴图中有(2n ＋1)个菱形．2.20【解析】第1个图中有1个小球，第2个图中有1＋2＝3个小球，第3个图中有1＋2＋3＝6个小球，第4个图中有1＋2＋3＋4＝10个小球，则第n 个图中有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小球，令210＝n （n ＋1）2，则n ＝20.3.(2n ＋1)【解析】第一个图中有1个圆，有1×3＋1＝4个三角形，第二个图中有2个圆，有2×3＋1＝7个三角形，第三个图中有3个圆，有3×3＋1＝10个三角形，以此类推，第n 个图中有n 个圆，有n ×3＋1个三角形，则第个图中三角形的个数比圆的个数多n ×3＋1－n ＝(2n ＋1)个．4.(3n ＋2)【解析】图①中白色正方形的个数为：2＋3×1＝5，图②中白色正方形的个数为：2＋3×2＝8，图③中白色正方形的个数为：2＋3×3＝11，…，则第n 个图形中白色正方形的个数为：2＋3n .5.19【解析】第1个图形中白棋的个数为2×3－4＝2，第2个图形中白棋的个数为3×4－4＝8，第3个图形中白棋的个数为4×5－4＝16，第4个图形中白棋的个数为5×6－4＝26，…，∴第n 个图形中白棋的个数为(n ＋1)(n ＋2)－4，当(n ＋1)(n ＋2)－4＝416时，解得n ＝19(负值已舍去)．6.41，(2n 2－2n ＋1)【解析】观察题图可以发现：第1个图中菱形个数为1＝12＋02，第2个图中菱形个数为5＝22＋12，第3个图中菱形个数为13＝32＋22，第4个图中菱形个数为25＝42＋32，则第5个图中菱形个数为52＋42＝41个，以此规律可得第n 个图中菱形个数为n 2＋(n －1)2＝(2n 2－2n ＋1)个．类型二图形成倍递变型徐州近年中考真题精选1.(2)n 【解析】由等腰直角三角形的性质可知，OA 1＝2OB ＝2，OA 2＝2OA 1＝(2)2，OA 3＝2OA 2＝(2)3，…，OA n ＝(2)n .2.(2)n －1【解析】第一个正方形的边长为1，它的对角线为第二个正方形的边长，即为2，第二个正方形的对角线为第三个正方形的边长，即为2×2＝(2)2，同理，第四个正方形的边长为(2)3，以此规律可得，第n 个正方形的边长为(2)n －1.3.219【解析】∵B 1O ＝B 1A 2，B 1A 1⊥OA 2，∴OA 1＝A 1A 2，∵B 2A 2⊥OM ，B 1A 1⊥OM ，∴B 1A 1∥B 2A 2，∴B 1A 1＝12B 2A 2，∴A 2B 2＝2A 1B 1，同理A 3B 3＝2A 2B 2＝22A 1B 1，…，则A 20B 20＝219A 1B 1，∵A 1B 1＝OA 1·tan30°＝1，∴A 20B 20＝219.针对训练1.(22)2021【解析】如解图，连接OB ，则正方形的顶点B 1，B 2，B 3，…都在OB 上，第2个正方形的对角线OB 1＝OA ＝1，边长为1×22＝22；第3个正方形的对角线OB 2＝OA 1＝22，边长为22×22＝(22)2，…，第n 个正方形的边长为(22)n －1，∴第2022个正方形的边长为(22)2021.第1题解图2.1－122022【解析】由题意可得S 1＝12，S 2＝12×12，S 3＝12×12×12，S 4＝12×12×12×12，…，∴S n ＝12n ，∴S 1＋S 2＝12＋14＝1－14＝1－S 2，S 1＋S 2＋S 3＝12＋14＋18＝1－18＝1－S 3，S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝12＋14＋18＋116＝1－116＝1－S 4，∴S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋…＋S 2022＝1－S 2022＝1－122022.3.625【解析】最初边长为1，面积1，延长一次边长为5，面积5，再延长一次边长为51＝5，面积52＝25，下一次延长边长为55，面积53＝125，以此类推，当n ＝4时，正方形A 4B 4C 4D 4的面积为54＝625.4.（2）202122020【解析】∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，∴c 1＝2.∵CD ⊥AB ，垂足为D ，以BD 为一条直角边向三角形外作第二个等腰Rt △BDE ，c 2＝2，再以BF 为一条直角边向三角形外作第三个等腰Rt △BFG ，c 3＝1，如此下去，c 4＝22，…，c n ＝2×(22)n －1，∴c 2022＝2×(22)2021＝（2）202122020.5.3；32×3n ＋1【解析】由题意可知AB ＝1，∴AB 1＝2，A 1B 1＝22－1＝3，∴A 1B 1AB ＝ 3.由题意可知S 正六边形A n B n C n D n E n F n S 正六边形ABCDEF＝3n ，S 正六边形ABCDEF ＝6×12×32×1＝332，∴S 正六边形A n B n C n D n E n F n ＝32×3n ＋1.6.52×(32)n －1【解析】如解图，过点B 1作B 1D ⊥x 轴，∵点B 1的横坐标为2，点B 1在直线y ＝12x 上，∴B 1D ＝1，∵∠OB 1A 1＝90°，∴∠A 1B 1D ＝∠B 1OD ，可得DA 1＝12，则A 1B 1＝52，∵∠A 2A 1C 1＝∠A 1OB 1，∴可得A 2C 1＝12A 1C 1，∴A 2B 2＝52(1＋12)＝52×32，以此类推进行计算，可得A n B n B n ＋1C n 的边长为52×(32)n －1.第6题解图。
六年级英语数字规律探索练习题50题(带答案)
六年级英语数字规律探索练习题50题(带答案)1. There are 3 apples, then 5 apples, then 7 apples. How many apples might come next?A. 8B. 9C. 10D. 11答案解析：D。
首先观察前面的数字3、5、7，它们是依次递增的奇数，按照这个规律下一个奇数应该是11，所以答案是D。
2. In a class, there were 10 students at first. Then 12 students joined, and then 14 students joined. How many students might join next?A. 15B. 16C. 17D. 18答案解析：B。
这里的数字10、12、14是依次递增的偶数，下一个偶数就是16，所以答案为B。
3. There are 2 bananas, 4 bananas, 6 bananas. What number of bananas might be next?A. 7B. 8C. 9答案解析：B。
观察可得数字2、4、6是连续的偶数，按照规律下一个偶数是8，所以选B。
4. A group has 5 people at the beginning. Then 8 people come, then11 people come. How many people might come next?A. 13B. 14C. 15D. 16答案解析：B。
先看数字5、8、11，相邻两个数字的差值为3，11 + 3 = 14，所以答案是B。
5. There are 1, 3, 5, 7... balls. What is the next number?A. 8B. 9C. 10D. 11答案解析：B。
这组数字是连续的奇数，7后面的奇数是9，所以答案为B。
中考数学专题训练：规律探索——图形累加(附参考答案)
中考数学专题训练：规律探索——图形累加（附参考答案）1．用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案(即n＝10)中共有圆点的个数是()A．59B．65C．70D．712．如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为()A．148B．152C．174D．2023．观察下列树枝分叉的规律图，若第n个图中树枝数用Y n表示，则Y9－Y4＝()A．15×24B．31×24C．33×24D．63×244．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，按此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为()A．32B．34C．37D．415．某数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以如图表示．根据图形，若把第(1)个图形表示的三角形数记为a1＝1，第(2)个图形表示的三角形数记为a2＝3……则第(n)个图形表示的三角形数a n＝______．(用含n的式子表示)6．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“○”的个数，则第30个“龟图”中有_______个“○”．7．用棋子摆成如图所示的图案，摆第20个图案需要_______颗棋子．8．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是______．9．如图，用火柴棒拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棒；拼第二个图形共需要5根火柴棒；拼第三个图形共需要7根火柴棒……照这样拼图，则第n个图形(即图n)需要_____________根火柴棒．参考答案6．875 7．290 8．49 9．(2n＋1) 1．C 2．C 3．B 4．C 5．n(n+1)2。
小学数学奥数训练：探索规律专项练习试卷及答案(50道解答题有详细答案解析)
小学数学奥数训练：探索规律专项练习试卷及答案(50道解答题有详细答案解析)小学数学奥数训练：探索规律专项练试卷及答案（50道解答题有详细答案解析）1、在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少?2、动脑筋，探索规律。
1.2×2.1=11.2×2.11=111.2×2.111=1111.2×2.1111=.2×2.=你发现了什么规律？3、按照规律接着画出第4幅图。
第10幅图中一共有()个点。
4、用火柴棒摆出图形。
摆第1个图形要4根火柴棒。
那么摆第5个图形要多少根火柴棒?5、一张桌子坐4人，两张桌子并起来坐6人，三张桌子并起来坐8人，…照这样计算，10张桌子并成一排可坐多少人？如果一共有26人，需要并多少张桌子？6、图形三角形个数所需火柴数1234……………10n3579 (1001)(1)10个三角形需要几根洋火？摆n个呢？(2)如果有1001根火柴可以摆几个三角形？共20页，第1页7、观察：÷3=﹣3，差．÷4=﹣4，请再写出两个数，使它们的商等于它们的8、已知1+3=4=2，1+3+5=9=3，1+3+5+7=16=4，1+3+5+7+9=25=5，...(1)仿照上例，计算：1+3+5+7+ (99)(2)按照上述纪律，请你用自然数n（n≥1）表示一般纪律．22229、下列图案由边长相等的黑、白两色小正方形按一定规律拼接而成。
照如许画下去，第10个图形中分别有几何个玄色小正方形和白色小正方形？你能说明个中的道理吗？10、有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点敲几下，钟敲6下，5秒钟敲完，钟敲12下，几秒钟敲完？11、观察点子图，找一找有什么纪律，想一想，第8个方框里有______个点，第20个方框内呢？12、图(1)是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图(2)，再分别连接图(2)中间的小三角形三边的中点，得到图(3)．按这样的方法继续下去，第100个图形有多少个小三角形？共20页，第2页13、用三条边都是l厘米的三角形拼图形，按如下规律拼下去．想一想：用29个如许的三角形拼成的图形是什么图形？14、（2012•成都）一串分数：，，，，，，，，，…（1）是此串分数中的第多少个分数？（2）第115个分数是多少？15、（2013•长沙）有这样一串数、、、、、、、、、…（1）第407个分数是多少？（2）从开始，前407个分数的和是几何？16、（2011•海港区）判断推理．三角形个数1个2个3个4个…小棒的根数3根5根7根9根…观察图形和表格，如果要摆100个三角形，需要多少根小棒？要摆n个三角形，需要多少根小棒？17、观察下图，按规律填表。
探索规律专项练习(含答案)
探索规律练习专题（含答案）1、（2015•山东临沂,第11题3分）观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，….按照上述规律，第2015个单项式是（）(A) 2015x2015. (B) 4029x2014. (C) 4029x2015. (D) 4031x2015. 【答案】C【解析】试题分析：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数，即系数为（2n －1），而后面因式x的指数是连续自然数，因此关于x的单项式是，所以第2015个单项式的系数为2×2015－1=4029，因此这个单项式为. 故选C考点：探索规律2、（2015•四川省内江市，第16题，5分）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有根火柴棒．（用含n的代数式表示）考点：规律型：图形的变化类．. 专题：压轴题．分析：本题可分别写出n=1，2，3，…，所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出解答：解：依题意得：n=1，根数为：4=2×1×（1+1）；n=2，根数为：12=2×2×（2+1）；n=3，根数为：24=2×3×（3+1）；…n=n时，根数为：2n（n+1）．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．3、(2015·深圳，第15题分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有个太阳。
【答案】21【解析】第一行的规律是1，2，3，4，…，故第五个数是5；第二行的规律是1，2，4，8，…，故第五个数是16；故第五个图中共有21个太阳。
4、(2015·南宁，第18题3分)如图9，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3 个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A N，如果点A N与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．考点：规律型：图形的变化类；数轴．.分析：序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A12表示的数为16+3=19，则可判断点A n与原点的距离不小于20时，n的最小值是13．解答：解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3=﹣2﹣2；第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6=4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9=﹣5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12=7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15=﹣8；…；则A7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，所以点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．故答案为：13．点评：本题考查了规律型，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键．5、（2015·湖北省孝感市，第15题3分）观察下列等式：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2015＝．考点：规律型：数字的变化类分析：根据1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，可得1+3+5+…+（2n ﹣1）=n2，据此求出1+3+5+…+2015的值是多少即可．解答：解：因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，所以1+3+5+…+2015=1+3+5+…+（2×1008﹣1）=10082=1016064 故答案为：1016064．点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：1+3+5+…+（2n﹣1）=n2．6、（2015·湖南省益阳市，第13题5分）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有有根小棒．考点：规律型：图形的变化类．分析： 由图可知：第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒，第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒，…由此得出第n 个图案中有5n +n ﹣（n ﹣1）=5n +1根小棒．解答： 解：∵第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒， 第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒， …∴第n 个图案中有5n +n ﹣（n ﹣1）=5n +1根小棒．故答案为：5n +1．点评： 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．7、(2015·黑龙江绥化，第20题分)填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律 ，按此规律得出a +b +c =__________考点：规律型：数字的变化类．分析：观察不难发现，左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，根据此规律列式进行计算即可得解． 解答：解：根据左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，可得6+4=a ，6+3=c ，ac +1=b ，可得：a =10，c =9，b =91，所以a +b +c =10+9+91=110，故答案为：110点评：本题是对数字变化规律的考查，仔细观察前三个图形，找出四个数之间的变化规律是解题的关键．8、（2015•广东省,第15题，4分）观察下列一组数：13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是 . 【答案】1221. 【考点】探索规律题（数字的变化类）. 【分析】观察得该组数的排列规律为：分母为奇数，分子为自然数，第n 个数为21+n n ，所以，第10个数是1012210121=⨯+。
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专题训练(一)
[规律探索题]
1.[2018·烟台] 如图ZT1-1所示,下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去,第n个图形中有120朵玫瑰花,则n的值为()
图ZT1-1
A.28
B.29
C.30
D.31
2.观察下列等式:71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,…,那么计算71+72+73+…+72020的结果的个位数字是
()
A.9
B.7
C.6
D.0
3.[2017·自贡] 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m的值为()
图ZT1-2
A.180
B.182
C.184
D.186
4.[2017·重庆A卷] 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按此规律排列下去,第⑨个图形中菱形的个数为()
图ZT1-3
A .73
B .81
C .91
D .109
5.请你计算:(1-x )(1+x ),(1-x )(1+x+x 2),(1-x )(1+x+x 2+x 3),…,猜想(1-x )(1+x+x 2+…+x n )的结果是 ( )
A .1-x n+1
B .1+x n+1
C .1-x n
D .1+x n
6.图ZT1-4中的图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成的,其中第①个图形有1颗棋子,第②个图形一共有6颗棋子,第③个图形一共有16颗棋子,…,则第⑥个图形中棋子的颗数为 ( )
图ZT1-4
A .51
B .70
C .76
D .81
7.[2018·贺州] 如图ZT1-5,正方形ABCD 的边长为1,以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ,再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ,依此下去,第n 个正方形的面积为 ( )
图ZT1-5
A .(√2)n-1
B .2n-1
C .(√2)n
D .2n
8.[2017·遵义] 按一定规律排列的一列数依次为:23,1,87,119,1411,1713,…,按此规律,这列数中的第100个数是 .
9.[2017·郴州] 已知a 1=-32,a 2=55,a 3=-710,a 4=917,a 5=-1126,…,则a 8= . 10.[2017·潍坊] 如图ZT1-6,自左至右,第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成;第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成;第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成;…;按照此规律,第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为 个.
图ZT1-6
11.观察下面的单项式:a ,-2a 2,4a 3,-8a 4,…,根据你发现的规律,第8个式子是 .
12.[2017·巴中] 观察下列各式:√1+13=2√13,√2+14=3√14,√3+15=4√15,…,请你将所发现的规律用含自然数n (n ≥1)的代数式表达出来: .
13.图ZT1-7是将正三角形按一定规律排列的,则第五个图形中正三角形的个数是 .
图ZT1-7
14.观察下列等式:42-12=3×5;52-22=3×7;62-32=3×9;72-42=3×11;…,则第n (n 是正整数)个等式为 .
15.[2017·天门] 如图ZT1-8,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标为A (-1,1),B (0,-2),C (1,0).点P (0,2)绕点A 旋转180°得到点P 1,点P 1绕点B 旋转180°得到点P 2,点P 2绕点C 旋转180°得到点P 3,点P 3绕点A 旋转180°得到点P 4,…,按此作法进行下去,则点P 2017的坐标为 .
图ZT1-8
16.[2018·贵港] 如图ZT1-9,直线l为y=√3x,过点A1(1,0)作A1B1⊥x轴,与直线l交于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴于点A2;再作A2B2⊥x轴,交直线l于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交x轴于点A3,…,按此作法进行下去,则点A n的坐标为.
图ZT1-9
17.[2018·安顺] 正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…,按如图ZT1-10所示的方式放置.点A1,A2,A3…和点C1,C2,C3,…分别在直线y=x+1和x轴上,则点B n的坐标是.(n为正整数)
图ZT1-10
参考答案
1.C[解析] 第1个图形有(4×1)朵,第2个图形有(4×2)朵,第3个图形有(4×3)朵, …,第n个图形有4n朵,所以由4n=120得n=30.
2.D
3.C[解析] 观察各正方形中的4个数可知,1+14=3×5,3+32=5×7,5+58=7×9,故11+m=(11+2)×(11+4),解得m=18
4.
4.C [解析] 整个图形可以看作是由两部分组成,各自的变化规律我们可以用一个表格来呈现:
第①个 第②个 第③个 第④个 … 第个 上半
部分
1=12
4=22 9=32 16=42 … n 2 下半
部分
2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 …
n+1 由此推断出这组图形中菱形个数的变化规律为:n 2+n+1.当n=9时,有n 2+n+1=92+9+1=91,∴第⑨个图形中菱形的个数为91.
5.A [解析] 利用多项式乘多项式法则计算,归纳总结得到一般性规律,即可得到结果.
观察可知,第一个式子的结果是:1-x 2,第二个式子的结果是:1-x 3,第三个式子的结果是:1-x 4,…,第n 个式子的结果是:1-x n+1.
6.C [解析] 通过观察图形得到第①个图形中棋子的颗数为1=1+5×0;第②个图形中棋子的颗数为1+5×1=6;第③个图形中棋子的颗数为1+5+10=1+5×3=16;…所以第个图形中棋子的颗数为1+5n (n -1)
2,然后把n=6代入计算即可.
7.B
8.299201 [解析] 分别寻找分子、分母蕴含的规律,第n 个数可以表示为3n -12n+1,当n=100时,第100个数是299
201.
9.1765 [解析] 由前5项可得a n =(-1)n ·2n+1n 2+1
,当n=8时,a 8=(-1)8·2×8+182+1=1765. 10.(9n+3) [解析] 由图形及数字规律可知,第n 个图中正方形的个数为5n+1,等边三角形的个数为4n+2,所以其和为5n+1+4n+2=9n+3.
11.-128a 8 [解析] 根据单项式可知n 为双数时a 的前面要加上负号,而a 的系数为2n-1,a 的指数为n.
第8个式子为-27a 8=-128a 8.
12.√n +1n+2=(n+1)√1n+2 [解析] 观察所给出的二次根式,确定变化规律:左边被开方数由两项组成,第一项为序号,第二项为序号加2的倒数;右边也为两部分,根号外为序号加1,根号内为序号加2的倒数的算术平方根,即
√n +1n+2=(n+1)√1n+2.
13.485 [解析] 由图可以看出:第一个图形中有5个正三角形,第二个图形中有5×3+2=17(个)正三角形,第三个图形中有17×3+2=53(个)正三角形,由此得出第四个图形中有53×3+2=161(个)正三角形,第五个图形中有161×3+2=485(个)正三角形.
14.(n+3)2-n 2=3×(2n+3) [解析] 确定规律,写出一般式.
∵42-12=3×5;52-22=3×7;62-32=3×9;72-42=3×11;
∴第n 个式子为:(n+3)2-n 2=3×(2n+3).
15.(-2,0) [解析] 根据旋转可得:P 1(-2,0),P 2(2,-4),P 3(0,4),P 4(-2,-2),P 5(2,-2),P 6(0,2),故6次旋转为一个循环,2017÷6=336……1,故P 2017(-2,0).
16.(2n-1,0) [解析] 由点A 1坐标为(1,0),过点A 1作x 轴的垂线交直线y=√3x 于点B 1,可知B 1点的坐标为(1,√3).以原点O 为圆心,OB 1长为半径画弧与x 轴交于点A 2,所以OA 2=OB 1,所以OA 2=√12+(√3)2=2,因此点A 2的坐标为(2,0), 同理,可求得B 2的坐标为(2,2√3),点A 3的坐标为(4,0),B 3(4,4√3)……
所以点A n 的坐标为(2n-1,0).
17.(2n -1,2n-1) [解析] 当x=0时,y=x+1=1,∴点A 1的坐标为(0,1).∵四边形A 1B 1C 1O 为正方形,∴点B 1的坐标为(1,1).当x=1时,y=x+1=2,∴点A 2的坐标为(1,2).∵四边形A 2B 2C 2C 1为正方形,∴点B 2的坐标为(3,2).同理,可得点A 3的坐标为(3,4),点B 3的坐标为(7,4),…,点A n 的坐标为(2n-1-1,2n-1),点B n 的坐标为(2n -1,2n-1).故答案为(2n -1,2n-1).。