直线和圆锥曲线

y02<2px0 直线和抛物线相离
y02>2px0 直线和抛物线相交
二、有关弦长问题
1、弦长公式
| AB | 1 k 2 | x1 x2 |
1
1 k2
|
y1
y2
|
2、焦点弦的弦长
设AB是过曲线焦点的弦， A（x1，y1）B（x2，y2）
(1)椭圆：
yA 0F x
B
过右焦点:|AB|=2a-e(x1+x2)
弦长等于
.
4、以圆锥曲线过焦点的弦为直径的圆与对应的准线 无交点，则此圆锥曲线为（ ） A 不能确定 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线
5、直线l过抛物线y2=a(x+1)(a>0)的焦点,并且与x轴垂 直,若l被抛物线截得的弦长为4,则a= .
6、讨论直线l:y=kx+1与双曲线C:x2-y2=1的公共点的 个数.
设点P（x0，y0），直线l：xx0+yy0=r2，圆C： x2+y2=r2。
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①点在圆上
x02+y02=r2
直线和圆相切
②点在圆内
x02+y02<r2 直线和圆相离
③点在圆外
x02+y02>r2 直线和圆相交
（2）点、直线和椭圆
设椭点圆PC（：xax022，y0by）22 ， 1直。线l：xax20
5、已知l1，l2是过点P（-√2，0）的两条 互相垂直的直线，且l1，l2与双曲线y2x2=1各有两个交点，分别为A1，B1和A2， B2。 （1）求l1的斜率k1的取值范围； （2）若|A1B1 |= √5 |A2B2 |，求l1与l2的 方程。
6、已知某椭圆的焦点是F1(-4,0),F2(4,0)，过点F2并垂直 于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10. 椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:|F2A|, |F2B|, |F2C|,成等差数列. (1)求椭圆的方程;
（3）△＜0 方程没有实数根 直线与曲线没有交点 直线和曲线相离
说明：
1、直线与双曲线、直线与抛物线相交不一定有两个 交点。
当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交， 此时只有一个交点；
当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物 线相交，此时只有一个交点。
2、点、直线与曲线的位置关系
（1）点、直线和圆
y
0
x
7、设A、B是双曲线2x2-y2=2上的两点，点N（1，2） 是线段AB的中点。
（1）求直线AB的方程；
（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C， D两点，那么A，B，C，D四点是否共圆。为什么？
选例：
1、直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2-y2=1的右支交于不 同的两点A、B；
yy0 b2
1，
①点在椭圆上
x02 a2
y02 b2
1
直线和椭圆相切
②点在椭圆内
x02 a2
y02 b2
1
直线和圆相离
③点在椭圆外
x02 a2
y02 b2
1
直线和圆相交
（3）点、直线和双曲线
设双点曲P线（Cx：0，ax22y0）by，22 直1线。l：xax20
yy0 b2
1，
①点在双曲线上
x02 a2
(3)双曲线中类似根据焦半径计算
3、弦的中点问题
设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线mx2+ny2=1上的两 点,AB的中点M(x0,y0);则有:
k AB
y1 y2 x1 x2
m（x1 （n y1
yx22））
mx0 ny0
(1)由中点求斜率问题; (2)平行弦的中点轨迹问题.
(3)在抛物线y2=2px中有:
过左焦点:|AB|=2a+e(x1+x2) ①以AB为直径的圆与准线 相离 .
②定长为m的动弦,中点横坐标的范围?
③焦点弦中,通径最短
(2)抛物线: |AB|=x1+x2+p ①以AB为直径的圆与准 线 相切 .
yA 0B x
②定长为m(m>2p)的动弦,中点横坐 标的范围?
③焦点弦中,通径最短.
k AB
y1 y2 x1 x2
（y12py2）
p y0
练习:
1.过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x有且只有一个公共
点,这样的直线有
条.
2.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B 两点,它们的横坐标之和等于5,这样的直线有 条.
3.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为θ的弦,则
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过 双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值，若不存在， 说明理由。
2、如图，已知过点D（-2，0）的直线l与 椭圆x2+2y2=2交于不同的两点A、B，点M 是AB中点。
（1）若OP=OA+OB，求点P的轨迹方程；
（2）求||
MD MA
|的取值范围。 |
y
P
Bl
AM
D
O
x
3、过点（-1，-6）的直线与抛物线y2=4x交于A、B 两点，若P(4.5,0),|AP|=|BP|,求直线l的方程.
4、已知抛物线y=-x2+ax+1/2与直线y=2x. (1)求证:抛物线与直线恒相交; (2)求当抛物线顶点在直线下方时a的范围; (3)当a在(2)的取值范围内时,求直线被抛物线截得的弦 的最小值.
知识点 1、直线和圆锥曲线位置关系的判断 2、与弦长有关的问题
一、直线与圆锥曲线位置关系的判断
除直线和圆的位置关系外，一般都用代 数法，通过方程组解的个数判断直线和 曲线的位置关系。 （1）△＞0
方程有两个不等的实数根
直线与曲线有两个不同的交点
直线和曲线相交
（2）△=0 方程有两个相等的实数根 直线与曲线有两个相同的交点 直线和曲线相切
(2)求弦AC中点的横坐标;
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范 围.
练习
1、 若一直线与u抛uur物uu线ur y2=2px(p>0)交于 A、B两点，且 OAOB 0,点O在直线 AB上的投影为D(2,1),求抛物线方程。
2、如图，线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0） (m>0),端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对 称轴，过A、O、B三点作抛物线。
y02 b2
1
直线和双曲线相切
②点在双曲线内
x02 a2
y02 b2
1
直线和双曲线相离
③点在双曲线外
x02 a2
y02 b2
1
直线和双曲线相交
（4）点、直线和抛物线
设点P（x0，y0），直线l：yy0=p(x+x0)
抛物线C： y2=2px
①点在抛物线上
y02=2px0 直线和抛物线相切
②点在抛物线内 ③点在抛物线外