非线性规划和动态规划

f1（A）=12说明从A到E的最短距离为12，最短路线的确 定可按计算顺序反推而得。即 A→B3→C2→D2→E
问题 2 营业计划的制定 某公司经营两种设备， 问题提出 某公司经营两种设备，第一种设备每件 据统计， 售价 30 元，第二种设备每件售价 450 元。据统计， 售出一件第一种设备所需要的营业时间平均是 0.5 小 时，第二种设备是 ( 2 + 0.25 x 2 ) 小时，其中 x 2 是第二 种设备的售出数量。 种设备的售出数量。已知该公司在这段时间内的总营 小时。 业时间为 800 小时。试决定使其营业额最大的营业计 划。 模型建立 设该公司计划经营第一种设备 x 件，第 二种设备 x 件。其数学模型为
非线性规划问题
线性规划和整数规划它们的目标函数和约束 条件都是自变量的线性函数，在实际中还有 大量的问题，其目标函数或约束条件很难用 线性函数来表示。 如果目标函数或约束条件中含有非线性函数， 则称这种规划问题为非线性规划问题。
二次规划模型
问题1 容器设计问题 某公司生产贮藏用容器，订货合同要求该公司制造一种 敞口的长方体容器，容积为12立方米，该容器的底为正 方形，容器总重量不超过68公斤。已知用作容器四壁的 材料为每平方米10元，重3公斤；用作容器底的材料每 平方米20元，重2公斤。试问制造该容器所需的最小费 用是多少？
决策点为C2
第一阶段，由A到B，有三种选择，即：
AB1 + f 2 (B1 ) 2 + 11 f1 ( A) = min AB2 + f 2 (B2 ) = min 4 + 9 = 12 AB5 + f 2 (B3 ) 3 + 9 *
决策点为B3
线性规划：lindo/lingo 非线性规划：lingo 二次规划：lingo 整数规划：lindo/lingo 0-1整数规划：lindo/lingo
第四节 动态规划
动 态 规 划 是 1951 年 由 美 国 数 学 家 贝 尔 曼 （ Richard Bellman)提出， 它是解决一类多阶段决策问题的优化方法 ， 提出， 提出 它是解决一类多阶段决策问题的优化方法， 也是考察问题的一种途径，而不是一种算法（ 也是考察问题的一种途径，而不是一种算法（如LP单纯形法 单纯形法 因此它不象LP那样有一个标准的数学表达式和明确定义 ）。因此它不象 那样有一个标准的数学表达式和明确定义 的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。 的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。 动态规划方法是现代企业管理中的一种重要决策方法。 动态规划方法是现代企业管理中的一种重要决策方法。如 果一个问题可将其过程划分为若干个相互联系的阶段问题， 果一个问题可将其过程划分为若干个相互联系的阶段问题， 且它的每一阶段都需进行决策， 且它的每一阶段都需进行决策，则这类问题均可用动态规划 方法进行求解。 方法进行求解。 根据多阶段决策过程的时序和决策过程的演变， 根据多阶段决策过程的时序和决策过程的演变，动态规划 方法有以下四种类型：离散确定型、离散随机型、 方法有以下四种类型：离散确定型、离散随机型、连续确定 型和连续随机型。 型和连续随机型
1 2
max f ( X ) = 30 x1 + 450 x 2
0.5 x1 + (2 + 0.25 x 2 ) x 2 ≤ 800 s． s．t． x1 , x 2 ≥ 0
用lingo求解： max=30*x1+450*x2; 0.5*x1+2*x2+0.25*x2^2<=800; @gin(x1); @gin(x2); 得到x1=1495,x2=11,max f=49800
将该问题划分为4个阶段的决策问题，即第一阶段为从A 将该问题划分为 个阶段的决策问题，即第一阶段为从 个阶段的决策问题 到Bj（j=1，2，3），有三种决策方案可供选择；第二阶段 ， ， ） 有三种决策方案可供选择； 为从B 为从 j 到 Cj （ j=1,2,3）， 也有三种方案可供选择 ； 第三阶 ） 也有三种方案可供选择； 段为从C 段为从 j 到 Dj(j=1,2)， 有两种方案可供选择 ； 第四阶段为 ， 有两种方案可供选择； 从 Dj 到 E， 只有一种方案选择 。 如果用完全枚举法 ， 则可 ， 只有一种方案选择。 如果用完全枚举法， 供选择的路线有3× × × 供选择的路线有 ×3×2×1=18（ 条 ） ， 将其一一比较才 （ 可找出最短路线： 可找出最短路线： A→B1→C2→D3→E 其长度为12。 其长度为 。 显然，这种方法是不经济的，特别是当阶段数很多， 显然 ，这种方法是不经济的，特别是当阶段数很多，各 阶段可供的选择也很多时， 阶段可供的选择也很多时，这种解法甚至在计算机上完成 也是不现实的。 也是不现实的。 由于我们考虑的是从全局上解决求A到 的最短路问题 由于我们考虑的是从全局上解决求 到 E的最短路问题 而不是就某一阶段解决最短路线， ，而不是就某一阶段解决最短路线，因此可考虑从最后一 阶段开始计算，由后向前逐步推至A点 阶段开始计算，由后向前逐步推至 点：
决策点为C2
B2C2 + f 3 (C1 ) 3 + 6 * f 2 ( B2 ) = min B2C2 + f 3 (C2 ) = min 2 + 7* = 9 B2C3 + f 3 (C3 ) 4+6
决策点为C1 或 C2
B 3 C1 + f 3 (C1 ) 6 + 6 f 2 (B 3 ) = min B 3 C 2 + f 3 (C 2 ) = min 2 + 7 * = 9 B 3 C 3 + f 3 (C 3 ) 5+6
第四阶段， 只有一条路线， 第四阶段，由D1到E只有一条路线，其长度 4（D1）=3， 只有一条路线 其长度f ， 同理f 同理 4（D2）=4。 。 第三阶段， 分别均有两种选择， 第三阶段，由Cj到Di分别均有两种选择，即
3 + 3∗ C1 D1 + f 4 (D1 ) f 3 (C1 ) = min =6 = min 4+4 C1 D 2 + f 4 (D 2 )
，决策Байду номын сангаас为D1
C 2 D1 + f 4 (D1 ) 6+3 f 3 (C 2 ) = min = min =7 3 + 4 * C 2 D 2 + f 4 (D 2 )
C 3 D1 + f 4 (D1 ) 3 + 3 * f 3 (C 3 ) = min = min =6 3+ 4 C 3 D 2 + f 4 (D 2 )
（Dynamic Programming)
一 动态规划的基本概念和最优化原理
1、引例（最短路问题） 、引例（最短路问题） B1
2 6 3 2 4 6 7 4
C1 C2
3 4 6 3 3
D1
3
A
3
4
B2 B3
E
4
2 5
D2
C3
3
假如上图是一个线路网络， 假如上图是一个线路网络，两点之间连线上的数字表示 两点间的距离（或费用），我们的问题是要将货物从A地运 ），我们的问题是要将货物从 两点间的距离（或费用），我们的问题是要将货物从 地运 三个区域， 往E地，中间通过 、C、D三个区域，在区域内有多条路径 地 中间通过B、 、 三个区域 可走，现求一条由A到 的线路 使总距离最短（ 的线路， 可走，现求一条由 到E的线路，使总距离最短（或总费用 最小）。 最小）。
，决策点为D2 D
,决策点为D1
第二阶段，由Bj到Cj分别均有三种选择，即：
B1C1 + f 3 (C1 ) 7 + 6 f 2 (B1 ) = min B1C2 + f 3 (C2 ) = min 4 + 7* = 11 B1C3 + f 3 (C3 ) 6+6
模型建立 设该容器的底边长和高分别为 则问题的数学模型为
x1 , x2
min f ( X ) = 40 x1 x 2 + 20 x1
x1 2 x 2 = 12 2 12 x1 x 2 + 2 x1 ≤ 68 x , x ≥ 0 1 2
2
在LINGO中求解： min=40*x1*x2+20*x1^2; x1^2*x2=12; 12*x1*x2+2*x1^2<=68; 得到x1=2.690416,x2=1.657839,min f=323.1778