第四章一元线性回归
论述一元线性回归的基本步骤
论述一元线性回归的基本步骤
一元线性回归是一种统计学方法，用来描述两个变量之间的线性关系，并建立相应的回归模型。
基本的步骤包括：
（1）确定数据源和变量：从数据源中收集相关的数据，并确定要进行研究的变量：x代表自变量，y代表因变量。
（2）进行各种统计分析：绘制散点图或残差图，用于可视化数据并判断是否存在线性关系；同时，计算出x与y之间的相关系数，试图发现x与y 之间的关联，以确定是否存在线性回归关系。
（3）拟合线性模型：使用常见的最小二乘法方法根据已有数据估计线性模型，即拟合误差平方和最小化的拟合直线，从而得到线性回归模型。
（4）检验线性模型：检验线性模型的有效性是至关重要的一步，可以检验残差图的正态分布假设、小概率假设和模型假设，可以构建R2、F值、AIC和BIC等指标，以进一步确定模型的有效性。
（5）预测新数据：如果经过上述模型检验发现线性模型是有效的，则可以用该模型预测新数据的结果。
总的来说，一元线性回归的基本步骤主要是确定数据源和变量，进行各种统计分析，拟合线性模型，检验模型的有效性，最后利用模型预测新的数据。
一元线性回归
12．9 一元线性回归以前我们所研究的函数关系是完全确定的，但在实际问题中，常常会遇到两个变量之间具有密切关系却又不能用一个确定的数学式子表达，这种非确定性的关系称为相关关系。
通过大量的试验和观察，用统计的方法找到试验结果的统计规律，这种方法称为回归分析。
一元回归分析是研究两个变量之间的相关关系的方法。
如果两个变量之间的关系是线性的，这就是一元线性回归问题。
一元线性回归问题主要分以下三个方面：（1）通过对大量试验数据的分析、处理，得到两个变量之间的经验公式即一元线性回归方程。
（2）对经验公式的可信程度进行检验，判断经验公式是否可信。
（3）利用已建立的经验公式，进行预测和控制。
12．9．1 一元线性回归方程 1．散点图与回归直线在一元线性回归分析里，主要是考察随机变量y 与普通变量x 之间的关系。
通过试验，可得到x 、y 的若干对实测数据，将这些数据在坐标系中描绘出来，所得到的图叫做散点图。
例1 在硝酸钠（NaNO 3）的溶解度试验中，测得在不同温度x （℃）下，溶解于100解 将每对观察值（x i ，y i ）在直角坐标系中描出，得散点图如图12.11所示。
从图12.11可看出，这些点虽不在一条直线上，但都在一条直线附近。
于是，很自然会想到用一条直线来近似地表示x 与y 之间的关系，这条直线的方程就叫做y 对x 的一元线性回归方程。
设这条直线的方程为yˆ=a+bx 其中a 、b 叫做回归系数（y ˆ表示直线上y 的值与实际值y i 不同）。
图12.11下面是怎样确定a 和b ，使直线总的看来最靠近这几个点。
2．最小二乘法与回归方程在一次试验中，取得n 对数据（x i ，y i ），其中y i 是随机变量y 对应于x i 的观察值。
我们所要求的直线应该是使所有︱y i －yˆ︱之和最小的一条直线，其中i y ˆ=a+bx i 。
由于绝对值在处理上比较麻烦，所以用平方和来代替，即要求a 、b 的值使Q=21)ˆ(i ni iyy-∑=最小。
第四章计量经济学答案
第四章一元线性回归第一部分学习目的和要求本章主要介绍一元线性回归模型、回归系数的确定和回归方程的有效性检验方法。
回归方程的有效性检验方法包括方差分析法、t检验方法和相关性系数检验方法。
本章还介绍了如何应用线性模型来建立预测和控制。
需要掌握和理解以下问题：1 一元线性回归模型2 最小二乘方法3 一元线性回归的假设条件4 方差分析方法5 t检验方法6 相关系数检验方法7 参数的区间估计8 应用线性回归方程控制与预测9 线性回归方程的经济解释第二部分练习题一、术语解释1 解释变量2 被解释变量3 线性回归模型4 最小二乘法5 方差分析6 参数估计7 控制8 预测二、填空ξ，目的在于使模型更1 在经济计量模型中引入反映（）因素影响的随机扰动项t符合（）活动。
2 在经济计量模型中引入随机扰动项的理由可以归纳为如下几条：（1）因为人的行为的（）、社会环境与自然环境的（）决定了经济变量本身的（）；（２）建立模型时其他被省略的经济因素的影响都归入了（）中；（３）在模型估计时，（）与归并误差也归入随机扰动项中；（4）由于我们认识的不足，错误的设定了（）与（）之间的数学形式，例如将非线性的函数形式设定为线性的函数形式，由此产生的误差也包含在随机扰动项中了。
3 （）是因变量离差平方和，它度量因变量的总变动。
就因变量总变动的变异来源看，它由两部分因素所组成。
一个是自变量，另一个是除自变量以外的其他因素。
（）是拟合值的离散程度的度量。
它是由自变量的变化引起的因变量的变化，或称自变量对因变量变化的贡献。
（）是度量实际值与拟合值之间的差异，它是由自变量以外的其他因素所致，它又叫残差或剩余。
4 回归方程中的回归系数是自变量对因变量的（）。
某自变量回归系数β的意义，指的是该自变量变化一个单位引起因变量平均变化（ ）个单位。
5 模型线性的含义，就变量而言，指的是回归模型中变量的（ ）；就参数而言，指的是回归模型中的参数的（ ）；通常线性回归模型的线性含义是就（ ）而言的。
一元线性回归
由此可推测：当火灾发生地离最近的消 防 站 为 10km 时 ， 火 灾 损 失 大 致 在
ˆ y 10.279 49.19 59.369（千元） 当火 ；
灾发生地离最近的消防站为 2km 时，火灾损 失大致在 20.117（千元）
三、0，1的性质
1, 线性
1
(x x ) y
为 y 关于 x 的一元线性经验回归方程 （简称为回归直
ˆ 线方程） 0 为截距， 1 为经验回归直线的斜率。 ， ˆ
引进矩阵的形式：
y1 1 x1 1 0 y2 1 x2 2 设 y ， X ， ， 1 y 1 x n n n
变量之间具有密切关联 而又不能由一个或某一些变 量唯一确定另外一个变量的 关系称为变量之间的相关关 系.
y
y f ( x)
y
Y f (X )
0
(a) 函数关系
x
0
(b) 统计关系
x
种类
正相关 负相关
一元相关 多元相关
线性相关 曲线相关
y
y
y
y
正相关
x
负相关
x
曲线相关
x
不相关
x
例 2 城镇居民的收入与消费支出之间有很大的关 联，居民的收入提高了，消费也随之潇洒，但居民的 收入不能完全确定消费，人们的消费支出受到不同年 龄段的消费习惯的影响，也受到不同消费理念的影响。 因此居民的收入 x 与消费支出 y 就呈现出某种不确定 性。 我们将上海市城镇居民可支配收入与支出的数据 （1985 年~2002 年）用散点图表示，可以发现居民的 收入 x 与消费支出 y 基本上呈现线性关系，但并不完 全在一条直线上。 附数据与图形。
计量经济学 第四章
100%
统计检验
利用统计量对模型参数进行假设 检验，判断参数是否显著。
80%
计量经济学检验
包括模型的异方差性、自相关性 、多重共线性等问题的检验。
模型的修正方法
增加解释变量
如果模型存在遗漏变量，可以通过增加解释变量来 修正模型。
删除解释变量
如果模型中某些解释变量不显著或存在多重共线性 ，可以考虑删除这些变量。
模型表达式
Y = β0 + β1X + ε
最小二乘法
通过最小化残差平方和来估计参数β0和β1
参数解释
β0为截距项，β1为斜率项，ε为随机误差项
模型的检验
包括拟合优度检验、显著性检验等
多元线性回归模型
01
02
03
04
模型表达式
参数解释
最小二乘法
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε
最小二乘法估计量的性质
线性性
最小二乘法估计量是随机样本的线性组合。
无偏性
最小二乘法估计量的期望值等于总体参数的 真实值。
有效性
在所有无偏估计量中，最小二乘法估计量的 方差最小。
一致性
随着样本量的增加，最小二乘法估计量收敛 于总体参数的真实值。
最小二乘法的计算步骤
构造设计矩阵X和响应向量Y。 计算设计矩阵X的转置矩阵X'。 计算X'X和X'Y。
求解线性方程组X'Xβ=X'Y，得到回归系 数的最小二乘估计β^=(X'X)^(-1)X'Y。
根据β^计算因变量的拟合值Y^=Xβ^。
计算残差e=Y-Y^，以及残差平方和 RSS=e'e。
第四章 回归分析
（二）线性回归的显著性检验
y ~ N a + bx, σ 2 ，则 1、几个相关的抽样分布：设 、几个相关的抽样分布： σ2 ˆ (1) b ~ Nb, l xx
1 x2 2 ˆ (2) a ~ Na, + σ , n l xx ˆ = − x σ 2 , cov b, y = 0 ˆ ˆ 并且cov a, b lxx
1−
(2) H1 : b > b0, 取 侧 绝 t > t1−α (n− 2) 右 拒 域 (3) H1 : b < b0 , 取 侧 绝 t < tα (n− 2) 左 拒 域
2
2、b 的区间估计 、
ˆ b −b0 H 立 ， 计 时， lxx ~ t(n− 2) . 由 0成 时 统 量t = s 当 性 线 回归 果 著 ， 的1−α 置 区 为 效 显 时 b 信 间 ˆ −d , b + d , 其 d = t (n− 2) ⋅ s b n ˆ n 中 n α 1− lxx 2
2 lxxl yy − lxy
(n−2) lxx
= 0.489
ˆ b t= lxx = 74.3 s 对于n = 12, α = 0.05, t
1−
α
2
(n−2) = 2.2281
H 因为74.3 > 2.2281, 故 以水 α = 0.05拒绝 0 平
(F 检 法 验 ) r =
2
l
2 xy
lxxl yy
56.9 58.4 61.6 64.6 68,1 71.3 74.1 77.4 80.2 82.6 86.4
试建立y 的回归函数， 试建立 对x 的回归函数，并对回归的显著性进行 检验。 检验。
一元线性回归模型(第四次课)
四、参数估计量的概率分布及随机干扰 项方差的估计
五、参数估计量的概率分布及随机干扰 项方差的估计
ˆ 1、参数估计量 0 和 ˆ1 的概率分布
ˆ 1 ~ N ( 1 ,
x
2
2 i
)
ˆ 0 ~ N ( 0 ,
n x
X i2
2 i
2)
2、随机误差项的方差2的估计
R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近，拟 合优度越高。
经变换发现，R与X,Y的相关系数r值相同。可通 过R与r进行X与Y的线性相关性检验，查书后附表1。
二、变量的显著性检验
回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变量Y的一 个显著性的影响因素。 即判断X是否对Y具有显著的线性性影响。这就需要进 行变量的显著性检验。
Zi2
i 1 i 0
n
n
(Yi ) 2
2
~ 2 n
F分布：
分 设U是服从自由度为n1的χ2分布的随机变量，即U~ χ2(n1)， 布
U n1 F ~ F n1 , n2 V n2
V是服从自由度为n2的χ2分布的随机变量，即V~ χ2(n2)，且U 和V相互独立，则：
该两组数据是1978~2000年的时间序列数据 （time series data）； 前述收入-消费支出例中的数据是截面数据 （cross-sectional data）。
1、建立模型
拟建立如下一元回归模型
CONSP C GDPP
采用Eviews软件进行回归分析的结果见下表
表 2.5.2 中国居民人均消费支出对人均 GDP 的回归（1978~2000） LS // Dependent Variable is CONSP Sample: 1978 2000 Included observations: 23 Variable C GDPP1 Coefficient 201.1071 0.386187 Std. Error 14.88514 0.007222 t-Statistic 13.51060 53.47182 Prob. 0.0000 0.0000 905.3331 380.6428 7.092079 7.190818 2859.235 0.000000
计量经济学 第4章
20
一元线性模型中，i (i=1，2）的置信区间:
在变量的显著性检验中已经知道：
t ˆ i i s ˆ
i
~ t ( n 2)
意味着，如果给定置信度（1-），从分布表中查得自 由度为(n-2)的临界值，那么t值处在(-t/2, t/2)的概率是 (1- )。表示为：
P( t t t ) 1
23
4.3
参数的置信区间检验法
• 这2种方法可以得到相同的结论。 • 在显著性检验中，我们在下面的情况下不拒绝零假设 H0 ： = * ，即统计量落在非拒绝域内，
tcrit
• 整理，得
* ) tcrit SE (
ˆ ˆ ˆ t crit SE( ) * t crit SE( )
12
4.2.1 假设检验
假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形 式作出一个假设，然后利用样本信息来判断原假 设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显 著差异，从而决定是否接受或否定原假设。 假设检验采用的逻辑推理方法是反证法！
先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察由
此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接 受原假设。
总体平方和（Total Sum of Squares）
回归平方和（Explained Sum of Squares）
残差平方和（Residual Sum of Squares ）
7
要证明
ˆ 只要证明 yi ei 0
ˆ ˆ ˆ 由于 Yi 0 1 X i
ˆ ˆ 0 Y 1 X
在上述收入-消费支出例中，首先计算2的估计值
ˆ
2
e
2 i
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
一元线性回归分析PPT课件
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
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例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
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回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
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一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
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ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第17页/共40页
第4章 回归分析
2013-9-1
12
经计算，对于例1的方程而言，
l yy 7.0325 b 0.4573 l xy 15.182 U bl xy 0.4573 15.182 6.9427 Q l yy U 7.0325 6.9427 0.0898 U 6.9427 F 231.94 F0.01 (1,3) 34.12 Q /( n 2) 0.0898 /(5 2)
5.07
解：（1）根据试验数据在直角坐标系绘制 T-p 散点 图,如下所示，试验数据点近似于直线分布，故可设 T-p 的回归关系为T=b0+bp
2013-9-1
6
6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10
T=1.155+0.4573P
2013-9-1
7
4.2.2 一元线性回归效果的检验
各种平方和的计算
U bl xy b 2l xx m 2 1 2 k m 2 1 k 2 Qe yij yi. yij yi. m i 1 j 1 m i 1 i 1 j 1 QLf l yy U Qe
k
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2013-9-1
4
4.2 一元线性回归分析 / 直线拟合 4.2.1 一元线性回归方程的建立
直线回归的一般数学模型
x1 y1 x2 y2 …… …… xn yn
x y
ˆ y b0 bx
x y ( x )( y ) / n l b l x ( x ) / n
i i i i 2 i 2 i
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16
2.有重复数据的直线回归检验
1）回归直线建立
人工智能基础与应用 第四章--课后题答案[5页]
![人工智能基础与应用 第四章--课后题答案[5页]](https://img.taocdn.com/s3/m/ec95696db207e87101f69e3143323968011cf48c.png)
4.6 习题练习1 一元线性回归模型函数的几何意义是什么？一元线性回归求解就是拟合直线系数W和b的最佳估计值，使得预测值Y的误差最小。
只要这两个系数确定了，直线方程也就确定了，就可以把要预测的值X代入方程求得对应的Y值。
练习2 解释和分析梯度下降算法的原理。
梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程,可以类比为一个下山的过程，假设这样一个场景∶一个人被困在山上，需要从山上下来(找到山的最低点，也就是山谷)。
但此时山上的浓雾很大，导致可视度很低。
因此，下山的路径就无法确定，他必须利用自己周围的信息去找到下山的路径。
这个时候，他就可以利用梯度下降算法来帮助自己下山。
具体来说就是，以他当前所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地方，然后朝着山的高度下降最多的地方走，(同理，如果我们的目标是上山，也就是爬到山顶，那么此时应该是朝着最陡峭的方向往上走)。
然后每走一段距离，都反复采用同一个方法，最后就能成功的抵达山谷。
梯度下降示意图原理：在微积分里面，对多元函数的参数求偏导数，把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。
比如函数f(x,y), 分别对x,y 求偏导数，求得的梯度向量就是(∂f ∂x ,∂f ∂y)T ，梯度向量的几何意义就是函数变化增加最快的地方。
具体来说，对于函数f(x,y),在点(x0,y0)，沿着梯度向量的方向就是(∂f ∂x 0,∂f ∂y 0)T 的方向是f(x,y)增加最快的地方。
或者说，沿着梯度向量的方向，更加容易找到函数的最大值。
反过来说，沿着梯度向量相反的方向，也就是−(∂f ∂x 0,∂f ∂y 0)T 的方向，梯度减少最快，也就是更加容易找到函数的最小值。
练习3 说明逻辑回归的Sigmod 函数原理是什么？ Sigmod 函数：x ex -+=11)(SSigmod 函数图像：Sigmod 函数可以将任意实数映射到（0, 1）之间，比较适合做二分类。
逻辑回归的输入是线性回归的输出，将Sigmoid 函数作用于线性回归的输出得到输出结果。
一元线性回归
第六讲 一元线性回归在客观世界中, 普遍存在着变量之间的关系.数学的一个重要作用就是从数量上来揭示、表达和分析这些关系。
而变量之间关系, 一般可分为确定的和非确定的两类. 确定性关系可用函数关系表示, 而非确定性关系则不然.例如, 人的身高和体重的关系、人的血压和年龄的关系、某产品的广告投入与销售额间的关系等, 它们之间是有关联的，但是它们之间的关系又不能用普通函数来表示。
我们称这类非确定性关系为相关关系。
具有相关关系的变量虽然不具有确定的函数关系，但是可以借助函数关系来表示它们之间的统计规律，这种近似地表示它们之间的相关关系的函数被称为回归函数。
回归分析是研究两个或两个以上变量相关关系的一种重要的统计方法。
在实际中最简单的情形是由两个变量组成的关系。
考虑用下列模型表示)(x f Y =. 但是，由于两个变量之间不存在确定的函数关系，因此必须把随机波动考虑进去，故引入模型如下ε+=)(x f Y其中Y 是随机变量，x 是普通变量，ε是随机变量（称为随机误差）。
回归分析就是根据已得的试验结果以及以往的经验来建立统计模型，并研究变量间的相关关系，建立起变量之间关系的近似表达式，即经验公式，并由此对相应的变量进行预测和控制等。
本节主要介绍一元线性回归模型估计、检验以及相应的预测和控制等问题。
一、引例为了研究某一化学反应过程中温度x 对产品得率Y 的影响. 测得数据如下:89857874706661545145%/190180170160150140130120110100/i i y C x 温度温度试研究这些数据所蕴藏的规律性.二、一元线性回归模型一般地,当随机变量Y 与普通变量x 之间有线性关系时, 可设εββ++=x Y 10, （1）),,0(~2σεN 其中10,ββ为待定系数。
设),(,),,(),,(2211n n Y x Y x Y x 是取自总体),(Y x 的一组样本,而),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 是该样本的观察值,在样本和它的观察值中的n x x x ,,,21 是取定的不完全相同的数值，而样本中的n Y Y Y ,,,21 在试验前为随机变量，在试验或观测后是具体的数值，一次抽样的结果可以取得n 对数据),(,),,(),,(2211n n y x y x y x ，则有i i i x y εββ++=10, n i ,,2,1 = (2)其中n εεε,,,21 相互独立。
一元线性回归分析的原理
一元线性回归分析的原理
一元线性回归分析是一种用于研究变量之间相互关系的统计分析方法。
它旨在
在一组数据中，以一个线性方程的式子去拟合变量之间的关系。
借此，分析一个独立变量（即自变量）和一个取决变量（即因变量）之间的关系，求出最合适的回归系数。
一元线性回归分析可以用来发现和描述变量之间的复杂方程式，用来估计参数，以及构建预测模型。
具体而言，一元线性回归分析指的是自变量和因变量之间有线性关系的回归分析。
也就是说，自变量和因变量均遵从一元线性方程，也就是y=βx+α，其中y
为因变量，x为自变量，β为系数，α为常数。
通过一元线性回归分析可以精确
的定义出变量之间的关系，从而可以得出最佳的回归系数和常数，并估计每个参数。
一元线性回归分析用于研究很多方面，例如决策科学、经济学和政治学等领域。
例如，在政治学研究中，可以使用一元线性回归分析来分析政府的软性政策是否能够促进社会发展，以及社会福利是否会影响民众的投票行为。
在经济学研究中，则可以使用一元线性回归分析来检验价格是否会影响消费水平，或检验工资水平是否会影响经济增长率等。
总结而言，一元线性回归分析是一种有效的研究变量之间关系的统计分析方法，精确地检验独立变量和取决变量之间的关系，从而求得最合适的回归系数和常数，并用该回归方程式构建预测模型，为决策提供参考。
第四章 一元线性回归
n
xi x
2 ( x x ) i i 1
n
( 0 1 xi ) 1
(4.28)
2 ˆ ( x x ) 0, ( x x ) x ( x x ) i i i 证得 1是 1 的无偏估计，其中用到 i ˆ 同理可证 是 0 的无偏估计。
2 (4.9) ˆ ˆ min ( y x ) ( y x ) ˆ ˆ i 0 1 i i 0 1 i Q( 0 , 1 ) ,
n
2
n
ˆ0 , ˆ1 就成为回归参数 0 ， 1 的 • 依照(4.9)式求出的 最小二乘估计。称
xi x
i 1 i 1
其中 ( x
i 1
是 yi 的常数，所以 1 是 yi 的线性组合。同理可 以证明 0是 yi 的线性组合。 ˆ , ˆ 亦为 因为 y i 为随机变量，所以作为 yi 的线性组合， 0 1 随机变量，因此各自有其概率分布、均值、方差、标准差及两 者的协方差。
0
无偏估计的意义是。如果屡次变更数据，反复求 0 , 1 的 估计值，这两个估计值没有高估或低估的系统趋势，他们的 平均值将趋于 0 , 1 。 ˆ ˆ x ) x E y ˆi ) E ( E( y 0 1 i 0 1 i 进一步有， ，表明回归值 是 的无偏估计，也说明 与真实值 的平均值是相同的。
(4.2)
• 这里 E ( )表示 差。
的数学期望，var( )表示
的方
• 对(4.1)式两端求期望，得 E( y) 0 1 x (4.3) 称(4.3)式为回归方程。 • 一般情况下，我们所研究的某个实际 问题，获得的n组样本观测值
一元线性回归分析的作用方法步骤
一元线性回归分析的作用方法步骤一元线性回归分析是一种用来探究两个变量之间关系的统计方法。
它基于一个假设，即两个变量之间存在线性关系。
以下是一元线性回归分析的一般步骤：1. 数据收集：首先，需要收集所需的数据。
需要考虑收集的数据是否与研究目的相关，并确保数据的准确性和完整性。
2. 变量定义：定义自变量和因变量。
自变量是用来预测因变量的变量，而因变量是我们想要预测或解释的变量。
3. 数据探索：进行数据探索，包括数据的描述性统计和绘图。
这一步可以帮助我们了解数据的分布、异常值和离群点。
4. 模型选择：选择适当的线性模型。
这可以通过查看散点图、相关性分析和领域知识来完成。
通常，一个线性模型可以用以下方程表示：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
5. 模型估计：使用最小二乘法来估计回归系数。
最小二乘法的目标是找到最佳拟合直线，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。
6. 模型评估：评估模型的拟合优度。
常用的指标包括R平方值和调整R平方值。
R平方值介于0和1之间，表示因变量变异性的百分比可以由自变量解释。
调整R平方值是对R平方值的修正，考虑了自变量的数量和样本量。
7. 模型解释：根据回归系数的估计值，解释自变量对因变量的影响。
根据回归系数的正负和大小，可以确定变量之间的关系是正向还是负向，并量化这种关系的强度。
8. 结果验证：验证模型的有效性和稳健性。
这可以通过对新数据集的预测进行测试，或使用交叉验证的方法来完成。
9. 结果解释：对模型结果进行解释，提供有关回归系数的结论，并解释模型对现实世界问题的意义。
总结来说，一元线性回归分析的方法步骤包括数据收集、变量定义、数据探索、模型选择、模型估计、模型评估、模型解释、结果验证和结果解释。
它们相互关联，构成了一元线性回归分析的完整过程。
《应用数理统计》吴翊李永乐第四章-回归分析课后作业参考答案
《应⽤数理统计》吴翊李永乐第四章-回归分析课后作业参考答案第四章回归分析课后作业参考答案4.1 炼铝⼚测得铝的硬度ｘ与抗张强度ｙ的数据如下：i x６８ 53 70 84 60 72 ５1 83 7０ 6４i y288 29８ 3４９ 343 29０ 3５4 283 3２4 340 2８6(1)求y 对ｘ的回归⽅程（２)检验回归⽅程的显著性（05.0=α) (３)求ｙ在x =65处的预测区间(置信度为０．9５) 解：(1) １、计算结果⼀元线性回归模型εββ++=x y 10只有⼀个解释变量其中:x 为解释变量，y 为被解释变量，10,ββ为待估参数,ε位随机⼲扰项。
()()()()685.222,959.4116,541.35555.76725.19745.109610,5.3151,5.671221212112121211=-==-====-=-==-=--==-=-======∑∑∑∑∑∑∑∑========n Q U L Q L L U y n yyy L y x n y x y y x x L x n xxx L n y n y x n x ee yy e xxxyni ini i yy ni i i n i i i xy ni ini i xx ni i n i i σ使⽤普通最⼩⼆乘法估计参数10,ββ上述参数估计可写为95.193??,80.1?101=-===x y L L xxxy βββ所求得的回归⽅程为：x y80.195.193?+= 实际意义为：当铝的硬度每增加⼀个单位,抗张强度增加１.８０个单位。
2、软件运⾏结果根据所给数据画散点图过检验由线性回归分析系数表得回归⽅程为:x y801.1951.193?+=,说明x 每增加⼀个单位，y 相应提⾼1.８０1。
(2) 1、计算结果①回归⽅程的显著性检验(F 检验):0H 线性回归效果不显著 :1H 线性回归效果显著()91.62/=-=n Q UF e在给定显著性⽔平05.0=α时，()()F F n F <==--32.58,12,195.01α,所以拒绝0H ，认为⽅程的线性回归效果显著②回归系数的显著性检验（t 检验)0:10=βH 0:11≠βH()628.22/?1=-=n Q L t e xx β在给定显著性⽔平05.0=α时，()()t t n t<==--306.282975.021α,所以拒绝0H ,认为回归系数显著,说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。
一元线性回归
⼀元线性回归1、概念⼀元线性回归是最简单的⼀种模型，但应⽤⼴泛，⽐如简单地预测商品价格、成本评估等，都可以⽤⼀元线性模型，本节主要讲解scikit-learn⼀元线性回归的使⽤以及作图说明。
y=f(x)叫做⼀元函数，回归的意思就是根据已知数据复原某些值，线性回归(regression)就是⽤线性的模型做回归复原。
那么⼀元线性回归就是：已知⼀批(x,y)值来复原另外未知的值。
⽐如：告诉你(1,1),(2,2),(3,3)，那么问你(4,?)是多少，很容易复原出来(4,4)，这就是⼀元线性回归问题的求解。
当然实际给你的数据可能不是严格线性，但依然让我们⽤⼀元线性回归来计算，那么就是找到⼀个最能代表已知数据的⼀元线性函数来做复原和求解。
2、scikit-learn的⼀元线性回归1import numpy as np2from sklearn.linear_model import LinearRegression3 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]4 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]5print x6print(y)7 model = LinearRegression()8 model.fit(x, y) #训练模型9 predicted = model.predict([13])[0]#预测输出10print predictedView Code结果：1 [[1], [2], [3], [4], [5], [6]]2 [[1], [2.1], [2.9], [4.2], [5.1], [5.8]]3 [ 12.82666667]这⾥⾯的model是⼀个estimator，它通过fit()⽅法来算出模型参数，并通过predict()⽅法来预测，LinearRegression的fit()⽅法就是学习这个⼀元线性回归模型：y = a + bx原数据的图像：1import matplotlib.pyplot as plt2from matplotlib.font_manager import FontProperties3 font = FontProperties()4 plt.figure()5 plt.title('this is title')6 plt.xlabel('x label')7 plt.ylabel('y label')8 plt.axis([0, 25, 0, 25])9 plt.grid(True)10 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]11 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]12 plt.plot(x, y, 'k.')13 plt.show()View Code结果：合在⼀起：1import numpy as np2from sklearn.linear_model import LinearRegression3import matplotlib.pyplot as plt4from matplotlib.font_manager import FontProperties56 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]7 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]8 model = LinearRegression()9 model.fit(x, y)10 x2 = [[0], [2.5], [5.3], [9.1]]11 y2 = model.predict(x2)1213 plt.figure()14 plt.title('linear sample')15 plt.xlabel('x')16 plt.ylabel('y')17 plt.axis([0, 10, 0, 10])18 plt.grid(True)19 plt.plot(x, y, 'k.')20 plt.plot(x2, y2, 'g-')21 plt.show()View Code其他相关⽤法⽅差计算:⽅差⽤来衡量样本的分散程度，⽅差公式是⽤numpy库已有的⽅法：1 np.var([1, 2, 3, 4, 5, 6], ddof=1)1 3.5得出⽅差是3.5。
第四章 回归分析
•反映客观现象之间的联系的数量关系有两种,确定性关系和不 确定性关系. •确定性关系常用函数描述,不确定性关系也称为相关关系,常 用回归分析处理. •确定性关系和不确定性关系在一定条件下互相转换.
4.1 概述 •不确定性关系中作为影响因素的称自变量,用X 表示,是可以控 制的,受X 影响的响应变量称为因变量,用Y 表示,是可以观测的.
n
lxx
14
结束
于是有: 2 (x) ˆ u1 / 2 ,
Y0的1置信区间为yˆ0 ˆ u1 / 2 , yˆ0 ˆ u1 / 2
取 0.05时 : u1 / 2 1.96, Y0的1 置信区间为:
yˆ0 1.96ˆ , yˆ0 1.96ˆ yˆ0 2ˆ , yˆ0 2ˆ
yˆ0 y0
ˆ s1 ( x0 )
~
t (n 2),
其中: s1 ( x0 )
1 ( x0 x )2 ,
n
lxx
ˆ 2
S
2 E
/(n
2),
S
2 E
lyy
S
2 R
,
S
2 R
ˆ12lxx.
12
结束
P T1 t1 / 2 (n 2), 1 ,
P yˆ0 1( x0 ) y0 yˆ0 1( x0 ) 1 ,
r 2
S R2 ST2
n
ˆ12 l xx
( yi y)2
l xy l xx
2
l xx l yy
l
2 xy
,取R
l xx l yy
i 1
Lxy . Lxx Lyy
据性质4.2.5,
0
r
1,
r
气象统计方法 第四章 一元线性回归分析
yˆ ˆ0 ˆ1x
x
全部观测值与回归估计值的离差平方和记为
n
Q(a, b) ( yi yˆi )2 t 1
它刻画了全部观测值与回归直线偏离程度。
显然，Q值越小越好。a和b是待定系数，根 据
微积分学中的Q极值0 原理，要Q求 ：0
a
b
满足上面关系的Q值最小。整理得到：
反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或 者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取 值变化，也称为可解释的平方和。
3.残差平方和(Q)
反映除 x 以外的其它因素对 y 取值的影响，也称为 不可解释的平方和或剩余平方和。
2
n i 1
(
yi
a
bxi
)
0
n
2 i1 ( yi a bxi )xi 0
＝r2
（2）回归系数b与相关系数之间的关系
b
S xy
S
2 x
Sy Sx
rxy
r与b同号。
6. 回归方程的显著性检验
U
F
1 Q
(n 2)
原假设回归系数b为0的条件下，上述统计量遵从
分子自由度为1，分母自由度为（n-2）的F分布，
若线性相关显著，则回归方差较大，因此统计量F
也较大；反之，F较小。对给定的显著性水平 ,
判决系数R2 (coefficient of determination)
1. 回归平方和占总离差平方和的比例； 2. 反映回归直线的拟合程度； 3. 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间； 4. R2 1，说明回归方程拟合的越好；
R20，说明回归方程拟合的越差； 5. 判决系数等于相关系数的平方，即R2
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§4.1 一元线性回归模型
• 例4.1 假定需要研究化肥施用量与粮食产量的关 系，以便准确地定出化肥施用量的单位变化如何 影响粮食产量的平均单位变化，进而确定合理的 化肥施用量。表4.1列出了20组粮食产量与化肥施 用量的数据。图4.1给出20个样本点的分布状况。
表4.1
化肥施用量x(万吨) 粮食产量y(万吨) 化肥施用量x(万吨) 4541.05 48526.69 2989.06 3637.87 45110.87 3021.9 2287.49 40753.79 3953.97
粮食产量与化肥施用量
3056.89 43824.58 3212.13 4883.7 50890.11 3804.76 3779.3 46370.88 1598.28 4021.09 46577.91 1998.56
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§4.1 一元线性回归模型
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一、普通最小二乘估计
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§4.1 一元线性回归模型
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§4.1 一元线性回归模型
二、一元线性回归模型的数学形式
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粮食产量y(万吨)
化肥施用量x(万吨) 粮食产量y(万吨) 2018/10/10
42947.44
3710.56 46598.04
41673.21
3269.03 44020.92
47244.34
1017.12 34866.91
43061.53
1864.23 37184.14
47336.78
2797.24 41864.77
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§4.1 一元线性回归模型
• 上述几个例子都是研究两个变量之间的关系,而且 它们的一个共同点是:两个变量之间有着密切的关 联,但它们之间密切的程度并不能由一个变量唯一 确定另一个变量,即它们间的关联是一种非确定性 的关系。那么它们之间到底有什么样的关系呢?
37127.89
1034.09 33717.78
39515.07
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§4.1 一元线性回归模型
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§4.1
一元线性回归模型
表4.2 年份 1986 1987 1988 1989 1990 人均国民收入（ 元） 963 1112 1366 1519 1644
• 在实际问题的研究中,经常需要研究某一现象与影 响它的某一最主要因素的影响。 • 如影响粮食产量的因素非常多,但在众多因素中, 施肥量是一个重要的因素,我们往往需要研究施肥 量这一因素与粮食产量之间的关系; • 在消费问题的研究中,影响消费的因素很多,但我 们可以只研究国民收入与消费额之间的关系,因为 国民收入是影响消费的最主要因素; • 保险公司在研究火灾损失的规律时,把火灾发生地 与最近的消防站的距离作为一个最主要因素,研究 火灾损失与火灾发生地距最近消防站的距离之间 的关系。
第4章 一元线性回归
§4.1 一元线性回归模型
§4.3 最小二乘估计的性质
§4.4 回归方程的显著性检验
§4.5 残差分析 §4.6 预测和控制 §4.7 建模总结和应注意的问题
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§4.1 一元线性回归模型
• 一、一元线性回归模型的实际背景
1893
2311 2998 4044 5046
932
1116 1393 1833 2355
2001
2002 2003 2004 2005
8622
9398 10542 12336 14040
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3869
4106 4411 4925
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§4.1 一元线性回归模型
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§4.1 一元线性回归模型
为了在今后的讨论中充分利用矩阵这个处理线性关系的有力 工具,我们这里将一元线性回归的一般形(4.4)式用矩阵表示。
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人均国民收入表 人均消费金额（ 元） 497 565 714 788 833 年份 1996 1997 1998 1999 2000 人均国民收入（ 元） 5846 6420 6796 7159 7858 人均消费金额 （元） 2789 3002 3159 3346 3632
1991
1992 1993 1994 2018/10/10 1995
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