第5章 区间估计与假设检验

（5.2.1）式表示的是：随机区间包含真实 2 的概率为 1 。区 间估计量给出了一个真实 2 会落入其中的数值范围。 点估计与区间估计： 单一的点估计量可能不同于总体真值，即存在估计误差。点 估计既不能给出误差范围的大小，也没有给出估计的可靠程度。 ˆ ˆ 区间估计则可以显示 1和 2 是怎样的接近总体真值 1 和 2 ， 以及这种接近的可靠性。
对于这种单尾检验，最好的方法是显著性检验方法。
§5.7 假设检验：显著性检验法 检验回归系数的显著性：t检验
显著性检验法（test-of-significance approach）是由R.A.Fisher （费希尔），Negman（尼曼）和Pearson（皮尔逊）合作发明的， 它是利用样本结果，来证实一个虚拟假设的真伪的一种检验程 序。 t分布的来历: student
ˆ 2 为置信下限（lower confidence limit） ˆ 2 为置信上限（upper confidence limit）
§5.3 回归系数 1 和 2 的置信区间 一、 2 的置信区间
OLS估计量
ˆ ˆ 和 2 服从正态分布，因此， 若令 1
ˆ ˆ 2 2 ( 2 2 ) Z ˆ ) se( 2
用统计上的话说，这个指定的（声称的）假设叫做虚拟假设 （null hypothesis），或维持假设（maintained hypothesis），用 H0来表示。 通俗地说，是一个靶子。
另 外 ， 还 需 要 一 个 备 择 假 设 （ 对 立 假 设 ） （ alternative hypothesis），用H1表示。H0和H1构成一个完备事件。
变量 t
Z1 n 2 Z2
服从自由度为n-2的t 分布。
把（1）式和（2）式代入上式，即可得到（5.3.2）式。
用t分布构造的 2 的置信区间为：
Pr( t / 2 t t / 2 ) 1
（5.3.3）
上式中t 值由（5.3.2）式给出。 t / 2 为 / 2 显著水平上的临 界值，查表；显著水平 / 2 ，自由度n -2可得 t / 2 的值。
它是统计上高度显著（highly statistically significant）。
单侧或单尾检验 One-Sided or One-Tail Test
当我们有着很强的理论支撑或者先验性预期时，可以把备择假 设H1取为单侧的或单向的。如：H 0 : 2 0.3 和 H1 : 2 0.3
于是有：
Pr[ t / 2
整理得：
ˆ 2 2 t / 2 ] 1 ˆ se( 2 )
（5.3.4）
ˆ ˆ ˆ ˆ Pr[ 2 t / 2 se( 2 ) 2 2 t / 2 se( 2 )] 1 （5.3.5）
整理得：
ˆ ˆ 2 2 2 Pr[( n 2) 2 (n 2) 2 ] 1 1 / 2
2
（5.4.3）
该式给出了 2 的置信系数为 100 (1 )% 的置信区间。 §5.5 假设检验（Hypothesis Testing）：概述
参数估计与假设检验都是在样本分布基础上作出概率性判 断，两者既有联系又有区别，但其基本原理则是一致的。
在正态性假设下的变量：
ˆ ˆ ( 2 2 ) 2 2 t ˆ ˆ se( )
2
xi
2
（5.3.2）
服从自由度为n-2的t分布。 在虚拟假设下 2 的真值被设定，就可以利用样本数据算 出（5.3.2）式，即这个t统计量是可以算出来的，从而可以作出 如下的置信区间：
在区间估计中，置信区间的宽度与估计量的标准误
100 (1 )% ˆ ˆ 1 t / 2 se( 1 )
水平的置信区间为：
（5.3.8）
或
§5.4 2 的置信区间 在正态性假定下，变量：
ˆ 2 2 (n 2) 2 （5.4.1） 服从自由度为n-2的 2 分布。因此，可以用 2 分布构造
xi
2
（5.3.1）
则，Z为一个标准化正态变量，Z ~ N (0,1) 。
如果总体方差 2 已知，就可以用正态分布对 2
作出概率上的表述。在正态曲线下，
1 之间的面积为68.26%
1.96 之间的面积为95%
2 之间的面积为95.45%
3
之间的面积为99.73%
我们的任务就是求出两个正数 和 ， ，使得随 0 1 的概率 机区间（random interval） 包含 ˆ ˆ 为 ： ( 2 , 2 ) 2
1
ˆ ˆ Pr( 2 2 2 ) 1
（5.2.1）
这样的区间称为置信区间（confidence interval）； 称为置 1 信系数（confidence coefficient）；而 称为显著性水平（level of significance）。置信区间的端点称置信限（confidence limits）也 称临界值（critical values）。
ˆ 那么，我们估计的 2 是否与上述 H 0 相容？
可以用置信区间来加以判断。
P123页的（5.3.9）式给出的置信区间：(0.4268，0.5914）。 也就是说，从长远来看，像（0.4268，0.5914）这样的很多个 区间将会有95%的概率包含真实的 2 。因而，置信区间给出 ˆ 了可信的（plausible）虚拟假设的一个集合。如果虚拟假设的 2 落入这个 100 (1 )% 置信区间，我们就不拒绝虚拟假设；如 果它落在区间之外，我们就可以拒绝虚拟假设。
从而 2 的区间估计就容易了。选定1 为95%，则
ˆ 2 2 Pr[ 1.96 1.96 ] 0.95 ˆ ) se( 2
但是，在许多实际问题中，总体方差 2 都是未知的，只能 用其无偏估计量 2 来替代。（5.3.1）式便为： ˆ
ˆ ˆ ( 2 2 ) xi 2 2 2 t （5.3.2） ˆ ˆ se( 2 ) ˆ ˆ se( 2 ) 为估计量 2 的标准误的估计值（estimated standard error）。
备择假设可以是简单的（simple）或复合的（composite）。例 如， H1 : 2 1.5 是一个简单假设，而 H1 : 2 1.5 则是一个复 合假设。 进行统计假设检验，就是要制定一套步骤和规则，以使决定 接受或拒绝一个虚拟假设（原假设）。一般来说，有两种相互 联系、相互补充的方式：置信区间（confidence interval）和显 著性检验（test of significance）。
在假设 H 0下，落入此区间
的 2 值有 100 (1 )% 的 可信性。因此，若 2 果真 落入此区域，就不拒绝 H 0
ˆ ˆ 2 t / 2 se( 2 )
ˆ ˆ 2 t / 2 se( 2 )
图5.2 2 的一个 100 (1 )% 置信区间
在统计上，当虚拟假设被我们拒绝时，就称我们的发现是统计 上显著的（statistically significant）。反之，当我们不拒绝虚拟假 设时，我们说，我们的发现不是统计上显著的。 当选择的显著性水平又比较低，比如 1% ，从而置信系数
1 比较高，如99%时，仍然达到了统计上是显著的，我们就称
参数的区间估计主要解答某一总体参数真值落在什么区间 内的问题； 而假设检验就是要对一个已知估计值或已得出的数据进行 检验，判断它是否与某一个指定的假设（stated hypothesis）相容 或一致（compatible）。所谓相容或一致，是指某一已知估计值 充分地接近其假设的数值，从而导致接受新指定的假设。
这里定义的t变量服从自由度为n-2的t分布
证明：令
ˆ ˆ 2 2 ( 2 2 ) Z1 ˆ se( )
2
xi
2
（1）
ˆ 2 Z 2 (n 2) 2 （2） ˆ 如果 已知，（1）式就是对 2 进行标准化，所以Z1服从 标准正态分布， Z1 ~ N (0,1) 。 2 分布（证明参见有关的数理统 Z2服从（n-2）个自由度的 计教程），而且，可以证明Z2的分布独立于Z1。运用P160定理5.5 (附录)，
即 2 的100 (1 )% 水平的置信区间为：
ˆ ˆ 2 t / 2 se( 2 )
例子：P123
两个游戏: 掷硬币 套圈
请问: 区间估计更象哪一个?
置信区间的两个特点: 位置的随机性 长度的随机性
二、 的置信区间： 1 2 ˆ 利用 E ( 1 ) 1 和 ˆ
来自百度文库
2 的置信区间：
Pr(
2 1 / 2
/ 2 ) 1
2 2
（5.4.2）
2 2 值由（5.4.1）式给出，12 / 2和 / 2 可以查表得 其中的
到，自由度为n-2，见P125 Figure 5.1。 把（5.4.1）式中的 2 代入（5.4.2）式
1
n xi
Xi
2
2 2
进行类似的推导，可得：
ˆ ˆ ˆ ˆ Pr[ 1 t / 2 se( 1 ) 1 1 t / 2 se( 1 )] 1 （5.3.7）
也就是说，
1
的
ˆ se( 1 ) 成正比例。这说明，标准误越大，置信区间越宽，对总 ˆ se( 2 ) 体真值进行估计的接近程度越差。因此，估计量的标准误被看 作是估计量的精度（precision），它反映了估计量的精确程度。
第5章 区间估计与假设检验 （Interval Estimation and Hypothesis Testing）
§5.1 统计学的预备知识 自己复习 §5.2 区间估计：一些基本概念
第三章给出了边际消费倾向（MPC）的估计值为0.5091。 ˆ E( 2 ) 2 我们也知道， ，但是，由于抽样的波动性，单个估计 值可能并不等于真值。因此，我们不能完全依赖一个点估计值， 而是要围绕点估计量构造出一个区间，使这一区间在一定的概 率保证之下包含真实的参数值（真值），这就是区间估计。
§5.6假设检验：置信区间的方法 双侧或双尾检验 （Two-sided or Two-Tail Test）
ˆ 利用P88页Table 3.2的数据，估计出MPC（边际消费倾向 2 ） 是0.5091。可以造构如下的检验假设：
H 0： 2 0.3
H 1： 2 0.3
在虚拟假设下，MPC是0.3，在对立假设下MPC大于或小于 0.3。虚拟假设是一个简单假设，而对立假设则是一个复合假设； 实际上就是我们所说的双侧假设（two-sided hypothesis）。
显著性检验的关键在于构造出一个检验统计量（test statistic） （作为估计量），在虚拟假设下这个统计量会服从一定的抽样 2 分布（如t分布，F分布，正态分布， 分布等）。构造出统计 量以后，就可以利用样本数据计算出这个统计量的样本值，再 把这个样本值与给定某一显著水平的临界值进行比较，看它与 临界值是否有显著差别，从而作出判断，决定拒绝还是接受所 作的假设。
决策规则：构造一个 2 的 100 (1 )% 置信区间。如果 2 在 假设H0下落入此区间，就不要拒绝H0。但如果它落在此区间之外， 就要拒绝H0。 在上例中， H 0 : 2 0.3，很明显地落在（0.4268，0.5914）这 个置信区间之外，因此我们能以95%的置信度拒绝MPC的真值是 0.3的假设。