区间估计与假设检验
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区间估计和假设检验
参数估计
在回归分析中，区间估计可以用来估计未知参数的取值范围，从 而更好地理解参数对结果的影响。
假设检验的应用场景
检验假设是否成立
在科学研究或实际应用中，我们经常需要通过假设检验来检验某个 假设是否成立，以做出决策或得出结论。
诊断准确性评估
在医学诊断中，假设检验常用于评估诊断方法的准确性，例如比较 新方法与金标准之间的差异。
非参数检验的优点是不受总体分布限制，适用于更广泛的情况。常见的非参数检验包括秩和检验、符 号检验等。
假设检验的步骤
选择合适的统计方法
根据假设和数据类型选择合适 的统计方法进行检验。
确定临界值
根据统计量的分布情况，确定 临界值。
提出假设
根据研究问题和数据情况，提 出一个或多个假设。
计算统计量
根据选择的统计方法计算相应 的统计量。
区间估计和假设检验
目录
• 区间估计 • 假设检验 • 区间估计与假设检验的联系 • 应用场景 • 案例分析
01
区间估计
定义
区间估计
基于样本数据，对未知参数或总体分布特征 给出可能的取值范围。
参数估计
基于样本数据，对总体参数进行估计，如均 值、方差等。
非参数估计
基于样本数据，对总体分布特征进行估计， 如分位数、中位数等。
结果具有互补性
03
区间估计和假设检验的结果可以相互补充，帮助我们更全面地
了解总体的情况。
区别
1 2 3
目的不同
区间估计的目的是估计一个参数的取值范围，而 假设检验的目的是检验一个关于总体参数的假设 是否成立。
侧重点不同
区间估计更侧重于估计总体参数的可能取值范围 ，而假设检验更侧重于对总体参数的假设进行接 受或拒绝的决策。
在回归分析中，区间估计可以用来估计未知参数的取值范围，从 而更好地理解参数对结果的影响。
假设检验的应用场景
检验假设是否成立
在科学研究或实际应用中，我们经常需要通过假设检验来检验某个 假设是否成立，以做出决策或得出结论。
诊断准确性评估
在医学诊断中，假设检验常用于评估诊断方法的准确性，例如比较 新方法与金标准之间的差异。
非参数检验的优点是不受总体分布限制，适用于更广泛的情况。常见的非参数检验包括秩和检验、符 号检验等。
假设检验的步骤
选择合适的统计方法
根据假设和数据类型选择合适 的统计方法进行检验。
确定临界值
根据统计量的分布情况，确定 临界值。
提出假设
根据研究问题和数据情况，提 出一个或多个假设。
计算统计量
根据选择的统计方法计算相应 的统计量。
区间估计和假设检验
目录
• 区间估计 • 假设检验 • 区间估计与假设检验的联系 • 应用场景 • 案例分析
01
区间估计
定义
区间估计
基于样本数据，对未知参数或总体分布特征 给出可能的取值范围。
参数估计
基于样本数据，对总体参数进行估计，如均 值、方差等。
非参数估计
基于样本数据，对总体分布特征进行估计， 如分位数、中位数等。
结果具有互补性
03
区间估计和假设检验的结果可以相互补充，帮助我们更全面地
了解总体的情况。
区别
1 2 3
目的不同
区间估计的目的是估计一个参数的取值范围，而 假设检验的目的是检验一个关于总体参数的假设 是否成立。
侧重点不同
区间估计更侧重于估计总体参数的可能取值范围 ，而假设检验更侧重于对总体参数的假设进行接 受或拒绝的决策。
计量经济学----.区间估计和假设检验
2
即
P[ 2 t se( 2 ) 2 2 t se( 2 )] 1
2 2
8
^
^
^
^
假设检验
检验某一给定的观测是否与虚拟假设（原假设）相符， 若相符，则接受假设，反之拒绝。 当我们拒绝虚拟假设时，我们说该统计量是统计上显 著的，反之则不是统计上显著的。
的临界值 t 2 (n 2) ，则有
ˆ ˆ P{[YF t 2 SE (eF )] YF [YF t 2 SE (eF )]} 1
1 因此，一元回归时 Y 的个别值的置信度为 的 预测区间上下限为 1 ( X F X )2 ˆ ˆ YF YF t 2 1 n xi2
给定，查t分布表得t （n 2) 2 （ ）若t -t 2 (n 2), 或t t 2 (n 2)，则拒绝原假设 1 H 0： 2 0，接受备择假设H1： 2 0； （2）若 - t 2 (n 2) t t 2 (n 2), 则接受原假设。
30
^
^
应变量Y 区间预测的特点
1、Y 平均值的预测值与真实平均值有误差，主要是 受抽样波动影响
YF Y F t 2
^ ^
1 ( X F X )2 n xi2
Y 个别值的预测值与真实个别值的差异,不仅受抽
样波动影响，而且还受随机扰动项的影响
1 ( X F X )2 ˆ ˆ YF YF t 2 1 n xi2
^
1 ( X F X )2 ˆ SE (YF ) n xi2
Y F 服从正态分布，将其标准化,
^
当
2
2 ei2 (n 2) 代替，这时有 未知时，只得用 ˆ ˆ YF E (YF X F ) t ~ t (n 2) 1 ( X F X )2 ˆ n xi2
即
P[ 2 t se( 2 ) 2 2 t se( 2 )] 1
2 2
8
^
^
^
^
假设检验
检验某一给定的观测是否与虚拟假设（原假设）相符， 若相符，则接受假设，反之拒绝。 当我们拒绝虚拟假设时，我们说该统计量是统计上显 著的，反之则不是统计上显著的。
的临界值 t 2 (n 2) ，则有
ˆ ˆ P{[YF t 2 SE (eF )] YF [YF t 2 SE (eF )]} 1
1 因此，一元回归时 Y 的个别值的置信度为 的 预测区间上下限为 1 ( X F X )2 ˆ ˆ YF YF t 2 1 n xi2
给定，查t分布表得t （n 2) 2 （ ）若t -t 2 (n 2), 或t t 2 (n 2)，则拒绝原假设 1 H 0： 2 0，接受备择假设H1： 2 0； （2）若 - t 2 (n 2) t t 2 (n 2), 则接受原假设。
30
^
^
应变量Y 区间预测的特点
1、Y 平均值的预测值与真实平均值有误差，主要是 受抽样波动影响
YF Y F t 2
^ ^
1 ( X F X )2 n xi2
Y 个别值的预测值与真实个别值的差异,不仅受抽
样波动影响，而且还受随机扰动项的影响
1 ( X F X )2 ˆ ˆ YF YF t 2 1 n xi2
^
1 ( X F X )2 ˆ SE (YF ) n xi2
Y F 服从正态分布，将其标准化,
^
当
2
2 ei2 (n 2) 代替，这时有 未知时，只得用 ˆ ˆ YF E (YF X F ) t ~ t (n 2) 1 ( X F X )2 ˆ n xi2
第5章 区间估计与假设检验
显著性检验的关键在于构造出一个检验统计量（test statistic） （作为估计量），在虚拟假设下这个统计量会服从一定的抽样
分布（如t分布，F分布，正态分布， χ 2 分布等）。构造出统计
量以后，就可以利用样本数据计算出这个统计量的样本值，再 把这个样本值与给定某一显著水平的临界值进行比较，看它与 临界值是否有显著差别，从而作出判断，决定拒绝还是接受所 作的假设。
, βˆ2
+
δ
)
包含 β2 的概率
Pr(βˆ2 − δ ≤ β 2 ≤ βˆ2 + δ ) = 1−α （5.2.1）
这样的区间称为置信区间（confidence interval）；1−α 称为置
信系数（confidence coefficient）；而α 称为显著性水平（level of
significance）。置信区间的端点称置信限（confidence limits）也 称临界值（critical values）。
βˆ2 − δ 为置信下限（lower confidence limit）
βˆ2 + δ 为置信上限（upper confidence limit）
（5.2.1）式表示的是：随机区间包含真实 β2的概率为 1−α。
点估计与区间估计：
单一的点估计量可能不同于总体真值，即存在估计误差。点 估计既不能给出误差范围的大小，也没有给出估计的可靠程度。
进行统计假设检验，就是要制定一套步骤和规则，以使决定 接受或拒绝一个虚拟假设（原假设）。一般来说，有两种相互 联系、相互补充的方式：置信区间（confidence interval）和显 著性检验（test of significance）。
§5.6假设检验：置信区间的方法
分布（如t分布，F分布，正态分布， χ 2 分布等）。构造出统计
量以后，就可以利用样本数据计算出这个统计量的样本值，再 把这个样本值与给定某一显著水平的临界值进行比较，看它与 临界值是否有显著差别，从而作出判断，决定拒绝还是接受所 作的假设。
, βˆ2
+
δ
)
包含 β2 的概率
Pr(βˆ2 − δ ≤ β 2 ≤ βˆ2 + δ ) = 1−α （5.2.1）
这样的区间称为置信区间（confidence interval）；1−α 称为置
信系数（confidence coefficient）；而α 称为显著性水平（level of
significance）。置信区间的端点称置信限（confidence limits）也 称临界值（critical values）。
βˆ2 − δ 为置信下限（lower confidence limit）
βˆ2 + δ 为置信上限（upper confidence limit）
（5.2.1）式表示的是：随机区间包含真实 β2的概率为 1−α。
点估计与区间估计：
单一的点估计量可能不同于总体真值，即存在估计误差。点 估计既不能给出误差范围的大小，也没有给出估计的可靠程度。
进行统计假设检验，就是要制定一套步骤和规则，以使决定 接受或拒绝一个虚拟假设（原假设）。一般来说，有两种相互 联系、相互补充的方式：置信区间（confidence interval）和显 著性检验（test of significance）。
§5.6假设检验：置信区间的方法
区间估计与假设检验
"### 参数的区间估计与假设检验之间的区别
参数的区间估计和假设检验从不同的角度回答同一问 题， 它们的统计处理是相通的。 但是它们之间又有区别， 体现 以下三点： 第一， 参数估计解决的是多少 （或 范 围 ） 问题， 假设检验 则判断结论是否成立。前者解决的是定量问题， 后者解决的 是定性问题。 第二， 两者的要求各不相同。区间估计确定在一定概率 保证程度下给出未知参数的范围。 而假设检验确定在一定的 置信水平下， 未知参数能否接受已给定的值。 第三， 两者对问题的了解程度各不相同。进行区间估计 之前不了解未知参数的有关信息。 而假设检验对未知参数的 信息有所了解， 但作出某种判断无确切把握。 因而在实际应用中，究竟选择哪种方法进行统计推断， 需要根据实际问题的情况确定相应的处理方法。 否则将会产
" 拒 绝 域 为 +)J.)0!+#)(-- ， 查表 %’#$#"4" 统计量 0’ ,)"" ’ & ， %
得 0"$":’!$"(: ， 计 算 得 0’)($A::A. 由 此 可 见 统 计 量 的 值 未 落 入 拒绝域中， 因而接受原假设， 认为符合设计要求。
(9!
统计与决策 !""# 年 # 月 （下）
上述关系虽就一特例而言， 但也有普遍意义。由区间估 计可以很容易构造检验函数。 下面来说明怎样由检验函数构 造区间估计。 设 # 是问题
生不同的结论， 做出错误的统计推断。 例 ! 测试某个品牌的汽车的百公里耗油量，假设在正 常的情况下汽车百公里耗油量服从正态分布， 路况以及驾驶 员的技术符合正常要求。现对该批汽车进行测试， 随机选取
+&".!-。
简述假设检验与区间估计之间的关系 统计学原理
简述假设检验与区间估计之间的关系统计学原理一、简介假设检验与区间估计是统计学中两个重要的概念，它们都是基于样本数据对总体参数进行推断的方法。
假设检验主要用于判断总体参数是否符合某种特定假设，而区间估计则用于对总体参数进行范围性的估计。
本文将从统计学原理角度出发，详细介绍假设检验与区间估计之间的关系。
二、假设检验1. 假设检验的基本思想在进行假设检验时，我们首先要提出一个关于总体参数的假设（称为原假设），然后根据样本数据来判断这个假设是否成立。
具体来说，我们会根据样本数据计算出一个统计量（如t值、F值等），然后通过比较这个统计量与某个临界值（也称为拒绝域）来决定是否拒绝原假设。
2. 假设检验中的错误类型在进行假设检验时，有可能会犯两种错误：一种是将一个正确的原假设错误地拒绝了（称为第一类错误），另一种是将一个错误的原假设错误地接受了（称为第二类错误）。
通常情况下，我们会将第一类错误的概率控制在一个较小的水平（如0.05或0.01），这个水平被称为显著性水平。
3. 假设检验的步骤进行假设检验时，通常需要按照以下步骤进行：（1）提出原假设和备择假设；（2）选择适当的检验统计量，并计算出样本数据所对应的值；（3）确定显著性水平，并找到相应的拒绝域；（4）比较样本统计量与拒绝域，得出结论。
三、区间估计1. 区间估计的基本思想在进行区间估计时，我们会根据样本数据来构建一个区间，这个区间包含了总体参数真值的可能范围。
具体来说，我们会根据样本数据计算出一个点估计量（如样本均值、比例等），然后根据中心极限定理和大数定律等原理来构建置信区间。
2. 区间估计中的置信度在进行区间估计时，我们通常会给出一个置信度，表示该区间包含总体参数真值的概率。
例如，如果我们给出了一个95%置信度，则意味着在大量重复实验中，有95%的置信区间都会包含总体参数真值。
3. 区间估计的步骤进行区间估计时，通常需要按照以下步骤进行：（1）选择适当的点估计量，并计算出样本数据所对应的值；（2）确定置信度，并找到相应的置信区间；（3）解释置信区间的含义，得出结论。
概率论15区间估计与假设检验
，X , S 2分别是 样本均值和样本方差，
则有
X
S
X S
~
t n 1
n 1
n
（2）方差 2 的区间估计
10 已 知
1
2
n
(Xi
i1
)2
~ 2(n)
2的置信度为1α的置信区间是
n (Xi )2
n (Xi )2
i1
2
(n)
2
,
i 1
12
2
(n)
20 未知
(n 1)S2
解 该问题是方差未知, 对正态总体均值进行估计.
(X t (n 1) S
2
n
,
X t (n 1) S
2
) n
x 3056.67 s* 375.31 n 12 t0.025 (11) 2.201
所求区间估计为(2812.21, 3295.13).
设 X1, X 2,, X n 是总体X ~ N , 2 的样本
即 X 0 0
Z 是 衡 量H0 真 伪 的 标 准 . 2
n
如 例1中, 0.005 Z 1.96 n 6
2
0 1 x 19.503 0 20
x 0 0
0.7351.96
n
故认为 机床生产正常，即该天加工的零件直径
平均是20mm.
综述假设检验方法的基本思想是:由 样本出发,在 H 0 为真的前提下通过对被 检参数的点估计量,结合统计量的分布,构 造统计量(枢轴函数),由此结合实际,并利 用上α分位点确定小概率事件,便得检验
其中例1为参数检验,例2为非参 数检验.
二 假设检验的基本思想
例1 用机床加工圆形零件，正常情况下 零件的直径X服从正态分布N(20,1)(单 位：mm), 某日开工后为检查机床是否 正常,随机抽取6个,测得直径分别为
区间估计与假设检验的联系与区别讲义资料
区间估计与假设检验的联系与区别讲义资料
区间估计与假设检验是统计推断的两种常见方法。
它们虽然都属于推断统计，但也有明显的不同之处。
区间估计的主要目的是估计总体参数的值，也可以称作参数估计。
根据样本信息，我们可以得出一个可能的参数值范围，也就是置信区间，从而得到一个可靠的估计区间。
估计是不断变化的，每一次统计分析给出的参数估计值都可能有所变化，从而慢慢趋近真实值。
假设检验即“判断”，是统计学中比较常用的检验方法，目的是确定两个总体之间的差异是由随机因素造成的，还是由特定的因素（如环境因素）造成的。
假设检验涉及两个立场：备择假设和原假设。
假设检验的结果由抽样分布决定，不同的抽样分布对应不同的结论，比如有抽样分布下假设检验结果可能是拒绝备择假设，也可能是接受备择假设。
从概念上讲，区间估计技术计算的是一个参数的值的估计，而假设检验是用于检查参数的方法，它只检验两个总体是否具有显著的性质差异，而不会真正测量它们的差异。
总的来说，区间估计通过单组数据范围尽可能准确地估计参数的取值范围，而假设检验则是针对任何特定统计主题，利用数据样本来检验其是否与假设相符。
两者都具有自己的优点和不足，可以结合使用来为抽样荟萃而得出结论，从而更准确地了解样本的真实情况。
区间估计与假设检验的联系与区别
区间估计与假设检验的联系都以抽样分布为理论依据建立在概率论基础之上的推断都具有一定的可信程度和风二者可相互转换区间估计问题可以转换成假设问题假设问题也可以转换成区间估计问题
区间估计与假设检验 的联系与区别
11406
a
1
区间估计
参数估计：指的是用样本中的数据估计总体分布 的某个或某几个参数
参数估计的方法：点估计和区间估计。
点估计：用估计量的某个取值直接作为总体参数 的估计值。点估计的缺陷是没法给出估计的可靠 性，也没法说出点估计值与总体参数真实值接近 的程度。
区间估计：在点估计的基础上给出总体参数估计 的一个估计区间，该区间通常是由样本统计量加 减估计误差得到的。在区间估计中，由样本估计 量构造出的总体参数在一定置信水平下的估计区 间称为置信区间。
主要区别： a、参数估计是以样本资料估计总体参数的真 值，假设检验是以样本资料检验对总体参数 的先前假设是否成立； b、区间估计求得的是求以样本估计值为中心 的双侧置信区间，假设检验既有双侧检验， 也有单侧检验； c、区间估计立足于大概率，假设检验立足于 小概率。
a
6
拒绝域。 4.比较并作出统计推断。
a
4
区间估计与假设检验的联系
主要联系： a、都是根据样本信息推断总体参数； b、都以抽样分布为理论依据，建立在概率 论基础之上的推断，都具有一定的可信程 度和风险； c、二者可相互转换，区间估计问题可以转 换成假设问题，假设问的区别
a
2
区间估计
总体均值的区间估计 （1）大样本的估计方法：总体方差已知，用z
分布。 （2）小样本(样本数小于30)的估计方法：总
体方差未知 ， t分布。 总体比率的区间估计 z分布 总体方差的区间估计 χ^2分布
区间估计与假设检验 的联系与区别
11406
a
1
区间估计
参数估计：指的是用样本中的数据估计总体分布 的某个或某几个参数
参数估计的方法：点估计和区间估计。
点估计：用估计量的某个取值直接作为总体参数 的估计值。点估计的缺陷是没法给出估计的可靠 性，也没法说出点估计值与总体参数真实值接近 的程度。
区间估计：在点估计的基础上给出总体参数估计 的一个估计区间，该区间通常是由样本统计量加 减估计误差得到的。在区间估计中，由样本估计 量构造出的总体参数在一定置信水平下的估计区 间称为置信区间。
主要区别： a、参数估计是以样本资料估计总体参数的真 值，假设检验是以样本资料检验对总体参数 的先前假设是否成立； b、区间估计求得的是求以样本估计值为中心 的双侧置信区间，假设检验既有双侧检验， 也有单侧检验； c、区间估计立足于大概率，假设检验立足于 小概率。
a
6
拒绝域。 4.比较并作出统计推断。
a
4
区间估计与假设检验的联系
主要联系： a、都是根据样本信息推断总体参数； b、都以抽样分布为理论依据，建立在概率 论基础之上的推断，都具有一定的可信程 度和风险； c、二者可相互转换，区间估计问题可以转 换成假设问题，假设问的区别
a
2
区间估计
总体均值的区间估计 （1）大样本的估计方法：总体方差已知，用z
分布。 （2）小样本(样本数小于30)的估计方法：总
体方差未知 ， t分布。 总体比率的区间估计 z分布 总体方差的区间估计 χ^2分布
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X 0 X P S / n t (n 1) P S / n t (n 1)
ห้องสมุดไป่ตู้
当T t (n 1), 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
例5.某部门对当前市场的价格情况进行调查,以 鸡蛋为例,所抽查的全省20个集市上,售价分 别为(单位:元/500克) 3.05 3.31 3.34 3.82 3.30 3.16 3.84 3.10 3.90 3.18 3.88 3.22 3.28 3.34 3.62 3.28 3.30 3.22 3.54 3.30 已知往年的平均售价一直稳定在3.25元/500克 左右,能否认为全省当前的鸡蛋售价明显高于 往年？（α=0.05） 解：H0: μ ≤3.25, H1: μ>3.25
σ2未知时μ的单侧置信区间
X T ~ t (n 1) S n X P t (n 1) 1 S n
S P X t (n 1) 1 n
即得μ的置信区间
S , X t (n 1) n
否则,接受H0.
σ2未知时μ的双侧置信区间
X T ~ t (n 1) S n X P t 2 (n 1) 1 S n
S S P X t 2 (n 1) X t 2 (n 1) 1 n n
σ2未知时μ的单侧置信区间
X T ~ t (n 1) S n X P t (n 1) 1 S n
S P X t (n 1) 1 n
即得μ的置信区间
S , X t (n 1) n
ˆ 则称随机区间(, 2 )为参数的 置信度为1-α 的单侧置信区间。 ˆ 称为单侧置信上限
2
2
区间估计 对于给定的置信度，根据样本来确定未
知参数Ө的置信区间，称为未知参数Ө 的区间估计。
求双侧置信区间的步骤 (1) 根据题意，构造分布已知、含参数Ө、 不含其它未知参数的样本函数U，且U 充分包含已知信息； (2) 给定置信度1-α，定出常数a,b，使 P{a<U<b}= 1-α；
X ~ t (n 1) S n
X P S / n t (n 1)
X 0 X T S/ n S/ n
X 0 X P S / n t (n 1) P S / n t (n 1)
σ2已知时μ 的假设检验 (3) 左侧检验:检验假设H0:μ≥μ0, H1: μ <μ0
X X ~ N (0,1) P / n u / n
X 0 X U / n / n
X 0 X P / n u P / n u 当U u , 拒绝H 0 ,
(3) 将a<U<b变形，使得；
ˆ ˆ 1 ( X1 , X 2 ,..., X n ) 2 ( X1 , X 2 ,..., X n )
ˆ ˆ 区间(1 , 2 )就是的一个置信度为1 的置信区间.
假设检验的基本概念
H0:检验是否为真的假设称为原假设； H1:与H0对立的假设称为备择假设。
当T t (n 1), 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
σ2未知时μ 的假设检验 (3) 左侧检验:检验假设H0:μ≥μ0, H1: μ <μ0
X ~ t (n 1) S/ n
X P S / n t (n 1)
X 0 X T S/ n S/ n
n
)
σ2已知时μ的单侧置信区间
X U ~ N (0,1) n X P u 1 n P X u 1 n
即得μ的置信区间 ( X u μ的单侧置信下限
X u
n
,)
双侧置信区间
设X分布函数为F(x; Ө), Ө未知，给定α (0<α<1),若由样本 X1,X2, …,Xn确定的两个 ˆ ˆ 统计量 1 ( X 1 , X 2 ,..., X n )和 2 ( X1 , X 2 ,..., X n ) ˆ ˆ 满足 P( ) 1
σ2未知时μ 的假设检验 (1) 双侧检验:检验假设H0: μ=μ0, H1: μ ≠ μ0
X X 0 T ~ t (n 1) S/ n S/ n
PT t 2 (n 1) 当T t 2 (n 1), 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
σ2未知时μ 的假设检验 (2) 右侧检验:检验假设H0:μ≤μ0, H1: μ > μ0
n
σ2已知时μ的单侧置信区间
X U ~ N (0,1) n X P u 1 n P X u 1 n
即得μ的置信区间 (, X u μ的单侧置信上限
n
)
X u
n
例1. 从一批服从正态分布N(μ,0.022)的零件中随 机抽取16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置 信区间(α=0.05).
X ~ N (0,1) / n
X P / n u
X 0 X U / n / n
X 0 X P / n u P / n u 当U u , 拒绝H 0 , 否则,接受H0.
ˆ 则称随机区间(1 ,)为参数的 置信度为1-α 的单侧置信区间。 ˆ 称为单侧置信下限
1
1
单侧置信区间
设X分布函数为F(x; Ө), θ未知，给定α (0<α<1),若由样本 X1,X2, …,Xn确定的统计 ˆ 量 2 ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ˆ 满足 P( ) 1
解：μ的矩估计值为 2.14 ... 2.11 ˆ X 2.125 16
X u 2
查表u 2 u0.025 1.96, 0.02, n 16, 代入得
n
2.115,
X u 2
n
2.135
μ的置信区间为(2.115,2.135).
例2. 从一批服从正态分布N(μ,0.022)的零件中随 机抽取16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 试求μ的置信度为0.95的单侧置信下限.
原假设是关于总体参数的，则称之为参数 假设; 检验参数假设的问题，称为参数检验；
原假设是关于总体分布类型的，则称之为 分布假设；
检验分布假设的问题，称之为分布检验.
假设检验的基本原理 “小概率”原理：概率很小的事件在一 次实验中不可能发生。 提出H0→构造小概率事件A →试验或抽样→A发生→推翻H0 ↓ A没发生→接受H0
解：μ的单侧置信下限为 X u
n
查表u u0.05 1.65, 0.02, n 16, 代入得
X u
0.02 2.125 1.65 2.117 4 n
μ的单侧置信下限为2.117.
σ2已知时μ 的假设检验 (1) 双侧检验:检验假设H0: μ=μ0, H1: μ ≠ μ0
即得μ的置信区间
S S , X t 2 (n 1) X t 2 (n 1) n n
例4. 从一批服从正态分布N(μ,σ2)的零件中随 机抽取16个，分别测得其直径为： 12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置 信区间(α=0.05).
ˆ ˆ 则称随机区间(1 , 2 )为参数的 置信度为1-α 的置信区间。
1
2
单侧置信区间
设X分布函数为F(x; Ө), θ未知，给定α (0<α<1),若由样本 X1,X2, …,Xn确定的统计 ˆ 量 1 ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ˆ 满足 P( ) 1
解：H0: μ =72 H1: μ≠72 X ~ N (0,1) / n X 0 25 (68.6 72) U 2.656 6.4 / n 0.05, u / 2 1.96 |U|=2.656>1.96,拒绝H0。即……
σ2已知时μ 的假设检验 (2) 右侧检验:检验假设H0:μ≤μ0, H1: μ > μ0
n 16, X 12.075, S 2 0.00244 解： 查表t 2 (n 1) t0.025 (15) 2.13, 代入得 S X t 2 (n 1) 12.049 n S X t 2 (n 1) 12.101 n
μ的置信区间为(12.049,12.101).
X X 0 U ~ N (0,1) / n / n
PU u 2 当U u 2 , 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
例3.根据以往的资料得知,我国健康成年男子的 脉搏平均72次/min,标准差为6.4次/min,现从 某体院男生中,随机抽取25人,测得平均脉搏 为68.6次/min,如果标准差不变,试问: 该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的 脉搏有无差异？（α=0.05）
ห้องสมุดไป่ตู้
当T t (n 1), 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
例5.某部门对当前市场的价格情况进行调查,以 鸡蛋为例,所抽查的全省20个集市上,售价分 别为(单位:元/500克) 3.05 3.31 3.34 3.82 3.30 3.16 3.84 3.10 3.90 3.18 3.88 3.22 3.28 3.34 3.62 3.28 3.30 3.22 3.54 3.30 已知往年的平均售价一直稳定在3.25元/500克 左右,能否认为全省当前的鸡蛋售价明显高于 往年？（α=0.05） 解：H0: μ ≤3.25, H1: μ>3.25
σ2未知时μ的单侧置信区间
X T ~ t (n 1) S n X P t (n 1) 1 S n
S P X t (n 1) 1 n
即得μ的置信区间
S , X t (n 1) n
否则,接受H0.
σ2未知时μ的双侧置信区间
X T ~ t (n 1) S n X P t 2 (n 1) 1 S n
S S P X t 2 (n 1) X t 2 (n 1) 1 n n
σ2未知时μ的单侧置信区间
X T ~ t (n 1) S n X P t (n 1) 1 S n
S P X t (n 1) 1 n
即得μ的置信区间
S , X t (n 1) n
ˆ 则称随机区间(, 2 )为参数的 置信度为1-α 的单侧置信区间。 ˆ 称为单侧置信上限
2
2
区间估计 对于给定的置信度，根据样本来确定未
知参数Ө的置信区间，称为未知参数Ө 的区间估计。
求双侧置信区间的步骤 (1) 根据题意，构造分布已知、含参数Ө、 不含其它未知参数的样本函数U，且U 充分包含已知信息； (2) 给定置信度1-α，定出常数a,b，使 P{a<U<b}= 1-α；
X ~ t (n 1) S n
X P S / n t (n 1)
X 0 X T S/ n S/ n
X 0 X P S / n t (n 1) P S / n t (n 1)
σ2已知时μ 的假设检验 (3) 左侧检验:检验假设H0:μ≥μ0, H1: μ <μ0
X X ~ N (0,1) P / n u / n
X 0 X U / n / n
X 0 X P / n u P / n u 当U u , 拒绝H 0 ,
(3) 将a<U<b变形，使得；
ˆ ˆ 1 ( X1 , X 2 ,..., X n ) 2 ( X1 , X 2 ,..., X n )
ˆ ˆ 区间(1 , 2 )就是的一个置信度为1 的置信区间.
假设检验的基本概念
H0:检验是否为真的假设称为原假设； H1:与H0对立的假设称为备择假设。
当T t (n 1), 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
σ2未知时μ 的假设检验 (3) 左侧检验:检验假设H0:μ≥μ0, H1: μ <μ0
X ~ t (n 1) S/ n
X P S / n t (n 1)
X 0 X T S/ n S/ n
n
)
σ2已知时μ的单侧置信区间
X U ~ N (0,1) n X P u 1 n P X u 1 n
即得μ的置信区间 ( X u μ的单侧置信下限
X u
n
,)
双侧置信区间
设X分布函数为F(x; Ө), Ө未知，给定α (0<α<1),若由样本 X1,X2, …,Xn确定的两个 ˆ ˆ 统计量 1 ( X 1 , X 2 ,..., X n )和 2 ( X1 , X 2 ,..., X n ) ˆ ˆ 满足 P( ) 1
σ2未知时μ 的假设检验 (1) 双侧检验:检验假设H0: μ=μ0, H1: μ ≠ μ0
X X 0 T ~ t (n 1) S/ n S/ n
PT t 2 (n 1) 当T t 2 (n 1), 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
σ2未知时μ 的假设检验 (2) 右侧检验:检验假设H0:μ≤μ0, H1: μ > μ0
n
σ2已知时μ的单侧置信区间
X U ~ N (0,1) n X P u 1 n P X u 1 n
即得μ的置信区间 (, X u μ的单侧置信上限
n
)
X u
n
例1. 从一批服从正态分布N(μ,0.022)的零件中随 机抽取16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置 信区间(α=0.05).
X ~ N (0,1) / n
X P / n u
X 0 X U / n / n
X 0 X P / n u P / n u 当U u , 拒绝H 0 , 否则,接受H0.
ˆ 则称随机区间(1 ,)为参数的 置信度为1-α 的单侧置信区间。 ˆ 称为单侧置信下限
1
1
单侧置信区间
设X分布函数为F(x; Ө), θ未知，给定α (0<α<1),若由样本 X1,X2, …,Xn确定的统计 ˆ 量 2 ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ˆ 满足 P( ) 1
解：μ的矩估计值为 2.14 ... 2.11 ˆ X 2.125 16
X u 2
查表u 2 u0.025 1.96, 0.02, n 16, 代入得
n
2.115,
X u 2
n
2.135
μ的置信区间为(2.115,2.135).
例2. 从一批服从正态分布N(μ,0.022)的零件中随 机抽取16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 试求μ的置信度为0.95的单侧置信下限.
原假设是关于总体参数的，则称之为参数 假设; 检验参数假设的问题，称为参数检验；
原假设是关于总体分布类型的，则称之为 分布假设；
检验分布假设的问题，称之为分布检验.
假设检验的基本原理 “小概率”原理：概率很小的事件在一 次实验中不可能发生。 提出H0→构造小概率事件A →试验或抽样→A发生→推翻H0 ↓ A没发生→接受H0
解：μ的单侧置信下限为 X u
n
查表u u0.05 1.65, 0.02, n 16, 代入得
X u
0.02 2.125 1.65 2.117 4 n
μ的单侧置信下限为2.117.
σ2已知时μ 的假设检验 (1) 双侧检验:检验假设H0: μ=μ0, H1: μ ≠ μ0
即得μ的置信区间
S S , X t 2 (n 1) X t 2 (n 1) n n
例4. 从一批服从正态分布N(μ,σ2)的零件中随 机抽取16个，分别测得其直径为： 12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置 信区间(α=0.05).
ˆ ˆ 则称随机区间(1 , 2 )为参数的 置信度为1-α 的置信区间。
1
2
单侧置信区间
设X分布函数为F(x; Ө), θ未知，给定α (0<α<1),若由样本 X1,X2, …,Xn确定的统计 ˆ 量 1 ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ˆ 满足 P( ) 1
解：H0: μ =72 H1: μ≠72 X ~ N (0,1) / n X 0 25 (68.6 72) U 2.656 6.4 / n 0.05, u / 2 1.96 |U|=2.656>1.96,拒绝H0。即……
σ2已知时μ 的假设检验 (2) 右侧检验:检验假设H0:μ≤μ0, H1: μ > μ0
n 16, X 12.075, S 2 0.00244 解： 查表t 2 (n 1) t0.025 (15) 2.13, 代入得 S X t 2 (n 1) 12.049 n S X t 2 (n 1) 12.101 n
μ的置信区间为(12.049,12.101).
X X 0 U ~ N (0,1) / n / n
PU u 2 当U u 2 , 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
例3.根据以往的资料得知,我国健康成年男子的 脉搏平均72次/min,标准差为6.4次/min,现从 某体院男生中,随机抽取25人,测得平均脉搏 为68.6次/min,如果标准差不变,试问: 该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的 脉搏有无差异？（α=0.05）