区间估计与假设检验

σ2未知时μ的单侧置信区间
X T ~ t (n 1) S n X P t (n 1) 1 S n
S P X t (n 1) 1 n
即得μ的置信区间
S , X t (n 1) n
X X 0 U ~ N (0,1) / n / n
PU u 2 当U u 2 , 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
例3.根据以往的资料得知,我国健康成年男子的 脉搏平均72次/min,标准差为6.4次/min,现从 某体院男生中,随机抽取25人,测得平均脉搏 为68.6次/min,如果标准差不变,试问: 该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的 脉搏有无差异？（α=0.05）
当T t (n 1), 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
σ2未知时μ 的假设检验 (3) 左侧检验:检验假设H0:μ≥μ0, H1: μ <μ0
X ~ t (n 1) S/ n
X P S / n t (n 1)
X 0 X T S/ n S/ n
σ2已知时μ 的假设检验 (3) 左侧检验:检验假设H0:μ≥μ0, H1: μ <μ0
X X ~ N (0,1) P / n u / n
X 0 X U / n / n
X 0 X P / n u P / n u 当U u , 拒绝H 0 ,
n 16, X 12.075, S 2 0.00244 解： 查表t 2 (n 1) t0.025 (15) 2.13, 代入得 S X t 2 (n 1) 12.049 n S X t 2 (n 1) 12.101 n
μ的置信区间为(12.049,12.101).
σ2未知时μ的单侧置信区间
X T ~ t (n 1) S n X P t (n 1) 1 S n
S P X t (n 1) 1 n
即得μ的置信区间
S , X t (n 1) n
解：μ的矩估计值为 2.14 ... 2.11 ˆ X 2.125 16
X u 2
查表u 2 u0.025 1.96, 0.02, n 16, 代入得

n
2.115,
X u 2

n
2.135
μ的置信区间为(2.115,2.135).
例2. 从一批服从正态分布N(μ,0.022)的零件中随 机抽取16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 试求μ的置信度为0.95的单侧置信下限.

n
)
σ2已知时μ的单侧置信区间
X U ~ N (0,1) n X P u 1 n P X u 1 n
即得μ的置信区间 ( X u μ的单侧置信下限

X u

n
,)
否则,接受H0.
σ2未知时μ的双侧置信区间
X T ~ t (n 1) S n X P t 2 (n 1) 1 S n
S S P X t 2 (n 1) X t 2 (n 1) 1 n n
解：H0: μ =72 H1: μ≠72 X ~ N (0,1) / n X 0 25 (68.6 72) U 2.656 6.4 / n 0.05, u / 2 1.96 |U|=2.656>1.96,拒绝H0。即……
σ2已知时μ 的假设检验 (2) 右侧检验:检验假设H0:μ≤μ0, H1: μ > μ0
关于原假设H0的拒绝域 关于原假设H0的接受域
双侧检验
单侧检验
假设检验的步骤 (1) 根据问题,提出H0与H1 ; (2)构造分布已知、不含其它未知参数 的样本函数U，且U充分包含已知信息;
(3) 根据显著性水平α,查表确定对应α 的临界值;
(4) 计算U并与临界值比较,接受或拒绝H0.
假设检验的两类错误
n
σ2已知时μ的单侧置信区间
X U ~ N (0,1) n X P u 1 n P X u 1 n
即得μ的置信区间 (, X u μ的单侧置信上限

n
)
X u

n
例1. 从一批服从正态分布N(μ,0.022)的零件中随 机抽取16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置 信区间(α=0.05).
X 0 X P S / n t (n 1) P S / n t (n 1)
当T t (n 1), 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
例5.某部门对当前市场的价格情况进行调查,以 鸡蛋为例,所抽查的全省20个集市上,售价分 别为(单位:元/500克) 3.05 3.31 3.34 3.82 3.30 3.16 3.84 3.10 3.90 3.18 3.88 3.22 3.28 3.34 3.62 3.28 3.30 3.22 3.54 3.30 已知往年的平均售价一直稳定在3.25元/500克 左右,能否认为全省当前的鸡蛋售价明显高于 往年？（α=0.05） 解：H0: μ ≤3.25, H1: μ>3.25
即得μ的置信区间
S S , X t 2 (n 1) X t 2 (n 1) n n
例4. 从一批服从正态分布N(μ,σ2)的零件中随 机抽取16个，分别测得其直径为： 12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置 信区间(α=0.05).
σ2未知时μ 的假设检验 (1) 双侧检验:检验假设H0: μ=μ0, H1: μ ≠ μ0
X X 0 T ~ t (n 1) S/ n S/ n
PT t 2 (n 1) 当T t 2 (n 1), 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
σ2未知时μ 的假设检验 (2) 右侧检验:检验假设H0:μ≤μ0, H1: μ > μ0
(3) 将a<U<b变形，使得；
ˆ ˆ 1 ( X1 , X 2 ,..., X n ) 2 ( X1 , X 2 ,..., X n )
ˆ ˆ 区间(1 , 2 )就是的一个置信度为1 的置信区间.
假设检验的基本概念
H0:检验是否为真的假设称为原假设； H1:与H0对立的假设称为备择假设。
ˆ ˆ 则称随机区间(1 , 2 )为参数的 置信度为1-α 的置信区间。
1
2
单侧置信区间
设X分布函数为F(x; Ө), θ未知，给定α (0<α<1),若由样本 X1,X2, …,Xn确定的统计 ˆ 量 1 ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ˆ 满足 P( ) 1
实际情况 决定 拒绝H0 H0为真 第一类错误 H0不真 正确
接受H0
正确
第二类错误
ຫໍສະໝຸດ Baidu
以真为假 以假为真
P(拒绝H 0 | H 0为真) P(接受H 0 | H 0为假)
单正态总体
均值μ的区间估计与假设检验 σ2已知时μ的置信区间与假设检验 σ2未知时μ的置信区间与假设检验 方差σ2的区间估计与假设检验 μ已知时σ2的置信区间与假设检验 μ未知时σ2的置信区间与假设检验
X ~ N (0,1) / n
X P / n u
X 0 X U / n / n
X 0 X P / n u P / n u 当U u , 拒绝H 0 , 否则,接受H0.
σ2已知时μ的双侧置信区间
X U ~ N (0,1) n X P u 2 1 n P X u 2 X u 2 1 n n
即得μ的置信区间
( X u 2

n
, X u 2
双侧置信区间
设X分布函数为F(x; Ө), Ө未知，给定α (0<α<1),若由样本 X1,X2, …,Xn确定的两个 ˆ ˆ 统计量 1 ( X 1 , X 2 ,..., X n )和 2 ( X1 , X 2 ,..., X n ) ˆ ˆ 满足 P( ) 1
解：μ的单侧置信下限为 X u

n
查表u u0.05 1.65, 0.02, n 16, 代入得
X u

0.02 2.125 1.65 2.117 4 n
μ的单侧置信下限为2.117.
σ2已知时μ 的假设检验 (1) 双侧检验:检验假设H0: μ=μ0, H1: μ ≠ μ0
ˆ 则称随机区间(1 ,)为参数的 置信度为1-α 的单侧置信区间。 ˆ 称为单侧置信下限
1
1
单侧置信区间
设X分布函数为F(x; Ө), θ未知，给定α (0<α<1),若由样本 X1,X2, …,Xn确定的统计 ˆ 量 2 ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ˆ 满足 P( ) 1
X ~ t (n 1) S n
X P S / n t (n 1)
X 0 X T S/ n S/ n
X 0 X P S / n t (n 1) P S / n t (n 1)
ˆ 则称随机区间(, 2 )为参数的 置信度为1-α 的单侧置信区间。 ˆ 称为单侧置信上限
2
2
区间估计 对于给定的置信度，根据样本来确定未
知参数Ө的置信区间，称为未知参数Ө 的区间估计。
求双侧置信区间的步骤 (1) 根据题意，构造分布已知、含参数Ө、 不含其它未知参数的样本函数U，且U 充分包含已知信息； (2) 给定置信度1-α，定出常数a,b，使 P{a<U<b}= 1-α；
原假设是关于总体参数的，则称之为参数 假设; 检验参数假设的问题，称为参数检验；
原假设是关于总体分布类型的，则称之为 分布假设；
检验分布假设的问题，称之为分布检验.
假设检验的基本原理 “小概率”原理：概率很小的事件在一 次实验中不可能发生。 提出H0→构造小概率事件A →试验或抽样→A发生→推翻H0 ↓ A没发生→接受H0