2021高考数学一轮复习统考第8章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积课件北师大版

的体积V＝32×2＋13×2×3×1＝5(立方丈)＝5000(立方尺)．故选A.
解析 答案
(2)(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的 “幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体 积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视 图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是( )
面＝
1 2
×(1＋2)×2＝3.因为直四棱柱的高为2，所以体积V
＝3×2＝6.故选C.
解析
4．(2019·北京东城区模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的 表面积是( )
A．2＋ 5 C．2＋2 5
B．4＋ 5 D．5
答案
解析 该三棱锥的直观图如图所示，过点D作DE⊥BC，
交BC于点E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，
A．π＋4 2＋4
B．2π＋4 2＋4
C．2π＋4 2＋2
D．2π＋2 2＋4
答案
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解析 由几何体的三视图可知，该几何体是由半圆柱与 三棱柱组成的几何体，其直观图如图所示，其表面积S＝ 2×12π×12＋π×1×1＋2×12×2×1＋( 2＋ 2＋2)×2－2×1 ＝2π＋4 2＋4.故选B.
解析
(2)(2019·郑州二模)如图是某几何体的三视图，图中方格的单位长度为 1，则该几何体的表面积为__8_＋__4__5_．
锥体 (棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
台体 (棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋ S上＋S下
球
S＝ 07 ___4_π_r_2______
体积
V＝ 05 __S_h___ 1
V＝ 06 3Sh V＝13(S上＋S下＋
S上S下)h V＝ 08 43πr3
1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝ 2a.
点，所以S△BDE＝
1 4
S△PBC.又因为三棱锥A－BDE与三棱锥A
－PBC的高相等，所以VV12＝14.
解析
(1)处理体积问题的思路
(2)求体积的常用方法
直接法
对于规则的几何体，利用相关公式直接计算
首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进
割补法 行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何
S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝
1 2
×2×2＋
1 2
×
5 ×1
＋12× 5×1＋12×2× 5＝2＋2 5.故选C.
解析
5．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面 圆内，若正方体的棱长为 6 ，则球的表面积和体积分别为___3_6_π___， ___3_6_π___.
[即时训练] 1.(2019·山东潍坊模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．20π C．28π
B．24π D．32π
答案
解析 由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为 圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆 锥的底面半径为3，高为4，则该几何体的表面积S＝π×32 ＋π×3×5＋2π×1×2＝28π.故选C.
A．5000立方尺
B．5500立方尺
C．6000立方尺
D．6500立方尺
解析 该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.
取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，
HF，则该几何体的体积为四棱锥F－GBCH与三棱柱
ADE－GHF的体积之和．又可以将三棱柱ADE－GHF
割补成高为EF，底面积为S＝12×3×1＝32(平方丈)的一个直棱柱，故该楔体
解析 由三视图，知该几何体为三棱锥，将该几何体放在长方体中如
图所示，由题意可知长方体的长、宽、高分别为2,2,4，
由BC＝2，CD＝2计算，得
BD＝2 2，AD＝2 5，AB＝2 5，
所以S△BCD＝12×2×2＝2，
S△ADC＝12×2×2 5＝2 5，
S△ABC＝12×2×2 5＝2 5，
因为△ABD为等腰三角形，高为
解析
精准设计考向，多角度探究突破
考向二 几何体的体积
角度1 补形法求体积
例2 (1)(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画 出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得， 则该几何体的体积为( )
A．90π
B．63π
C．42π
D．36π
答案
解析 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一
解析 由题意知，DC边的中点就是球心O， ∵它到D，A，C，B四点的距离相等， ∴球的半径R＝12CD，又AB＝BC＝ 3， ∴AC＝ 6，∴CD＝ AC2＋AD2＝3， ∴R＝32，∴V球O＝43π323＝92π.
解析
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 几何体的表面积
例1 (1)(2019·衡水模拟)如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的 表面积是( )
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面
展开
图
侧面 积公
式
S 圆柱侧＝ 02 2πrl
S 圆锥侧＝
S 圆台侧＝
03 ___π_r_l____ 04 _π_(_r_1_＋__r2_)_l
3．柱、锥、台和球的表面积和体积
名称 几何体
表面积
柱体 (棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．
将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部
分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加
上上部分圆柱体积的
1 2
，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×
1 2
＝63π.故选B.
解析
(2)(2019·北京高考)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其 三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体 积为___4_0____．
解析
2．(2019·河北承德模拟)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正 方形的边长为1，则该几何体的表面积为( )
A．8＋4 2＋2 5 C．6＋2 2＋2 5
B．6＋4 2＋4 5 D．8＋2 2＋2 5
答案
解析 由三视图可知，该几何体为放在正方体内的 四棱锥E－ABCD，如图，正方体的棱长为2，该四棱锥 底面为正方形，面积为4，前后两个侧面为等腰三角 形，面积分别为2 2 ，2，左右两个侧面为直角三角形， 面积都为 5，可得这个几何体的表面积为6＋2 2＋2 5，故选C.
A．158
B．162
C．182
D．324
答案
解析 如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，
底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底
为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高
为3.则底面面积S＝
2＋6 2
×3＋
4＋6 2
×3＝27，因此，该柱
体的体积V＝27×6＝162.故选B.
解析
3．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何 体的体积(单位：cm3)是( )
A．2 C．6
B．4 D．8
答案
解析 由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直
四棱柱，即如图所示四棱柱A1B1C1D1－ABCD.由三视图中
的数据可知底面梯形的两底分别为1和2，高为2，所以S底
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径 为R，则2R＝ a2＋b2＋c2.
(3)直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称 性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球 的半径．
(4)设正四面体的棱长为a，则它的高为 36a，内切球半径r＝126a，外 接球半径R＝ 46a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
3 ，则V三棱锥A－A1EF＝V三棱锥F－
A1AE＝13S△A1AE×2 3＝13×12×6×4×2 3＝8 3.
解析
(2)在三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ ABE的体积为V1，三棱锥P－ABC的体积为V2，则VV12＝____14____.
解析 如图所示，由于D，E分别是边PB与PC的中
解析 底面中心与C′的连线即为半径，设球的半径为R，则R2＝( 6 )2 ＋( 3)2＝9.所以R＝3，所以S球＝4πR2＝36π，V球＝43πR3＝36π.
解析
6．如图所示，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面 9π
ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝ 3，则球O的体积等于____2____．
解析
角度3 转化法求体积
例4 (1)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三 棱锥A－A1EF的体积是____8__3__．
解析 由正三棱柱的底面边长为4，得点F到平面A1AE的距离(等于点C
到平面A1ABB1的距离)为
3 2
×4＝2
解析 由题意知去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积S＝(2＋ 4)×2÷2＝6，高为正方体的棱长4，所以去掉的四棱柱的体积为6×4＝24.又 正方体的体积为43＝64，所以该几何体的体积为64－24＝40.
解析
角度2 分割法求体积 例3 (1)(2019·山西五校联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的 数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈， 无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔 体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知 1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1 丈，则该楔体的体积为( )
第八章 立体几何 第2讲 空间几何体的表面积和体积
1
PART ONE
基础知识整合
1．多面体的表面积、侧面积 因 为 多 面 体 的 各 个 面 都 是 平 面 ， 所 以 多 面 体 的 侧 面 积 就 是 01 __侧__面__展__开__图__的__面__积________，表面积是侧面积与底面面积之和．
1．(2019·福州二模)设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径
为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为( )
A．100π
256π B. 3
400π C. 3
500π D. 3
解析 由题意知切面圆的半径r＝4，球心到切面的距离d＝3，所以球 的半径R＝ r2＋d2＝ 42＋32＝5，故球的体积V＝43πR3＝43π×53＝5030π，即 该西瓜的体积为5030π.
体、不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算
等体 积法
选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥 的体积，即利用三棱锥的任何一个面可作为三棱锥的 底面进行等体积变换
[即时训练] 3.(2019·河北沧州质检)《九章算
术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于
“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形
2
52－ 22＝3
2
，所以S△ABD＝
1 2
×2 2×3 2＝6，所以该几何体的表面积为2＋2 5＋2 5＋6＝8＋4 5.
解析
几类空间几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和． (2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和． (3)简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补． (4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何 体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
的直三棱柱．已知某“堑堵”被一个平面截去一
部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部
分的体积是( )
A．50
B．75
C．25.5
D．37.5
答案
解析 如图，由题意及给定的三视图可知，剩余 部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥C1－ MNB1A1所得的，且直三棱柱的底面是腰长为5的等腰 直角三角形，高为5.图中几何体ABCC1MN为剩余部 分，因为AM＝2，B1C1⊥平面MNB1A1，所以剩余部分 的体积V＝V三棱柱A1B1C1－ABC－V四棱锥C1－A1B1NM＝12×5×5×5－13 ×3×5×5＝37.5，故选D.
解析 答案
2．(2019·安徽蚌埠质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画 出的是某几何体的三视图，则它的体积为( )
A．π＋43 C．2π＋43
B．π＋2 D．2π＋2
答案
解析 由三视图可知，该几何体由半个圆柱和一个三棱锥组合而 成．故该几何体的体积为12×π×12×2＋13×12×2×2×2＝π＋43.