苏科版-数学-八年级上册-利用勾股定理解决立体图形问题 (2)

利用勾股定理解决立体图形问题

勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。

一、长方体问题

例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）

A.41cm

B.34cm

C.50cm

D.75cm

分析：图中BD为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC，根据已知条件，可以判断BD是Rt△BCD的斜边，BD是Rt△BCD的斜边，根据已知条件可以求出BC的长，从而可求出BD的长。

解：在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，

得BC=

2

2AC

AB+=41，

在Rt△BCD中，CD=3，BC=41，

BD=

2

2CD

BC+=50。所以选C。

说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。

二、圆柱问题

例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm的点F出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？

分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。由题意可知，S、F两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。

解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm），FB=18―1―1=16

（cm），在Rt△SBF中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF=

2

2FB

SB+=2

216

30+=34

（cm），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm。

说明：将立体图形展开，转化为平面图形，或将曲面转化为平面，然后再运用“两点之间，线段最短”和勾股定理，则是求立体图形上任意两点间的最短距离的常用的方法，这也是一种重要的数学思想----转化思想。