泛函分析试卷

泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）

1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.

A ．10<<-≤-αα，　y x Ty Tx B.1≥-≤-αα，　y x Ty Tx C.10<<-≥-αα，　y x Ty Tx D.1≥-≥-αα，　

y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.

A. 0等价于0且,0==≥x x x

B.()数复为任意实,αααx x =

C. y x y x +≤+

D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的

5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有1

1p q

+的值为（ ）.

A. 1-

B.

12 C. 1 D. 12

- 二、填空题（每个3分，共15分）

1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。

2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。

3、1l 的共轭空间是（ ）。

4、设X按内积空间成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。

5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。

三、判断题（每个3分，共15分）

1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。( )

2、距离空间中的列紧集都是可分的。( )

3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。( )

4、任何一个Hilbert空间都有正交基。( )

5、设X是线性赋范空间，T是X X的有界线性算子，若T既是单射又是满射，则T有逆算子。( )

四、计算题（10分）

叙述1l空间的定义，并求1l上连续线性泛函全体所成的空间？。

五、证明题（第一个5分，其余10分一个，共45分）

1、若T为Banach 空间X上的无界闭算子，证明T的定义域至多只能在X中稠密。

2、设[0,1]C 表示闭区间[0,1]上连续函数全体，对任何,[0,1]x y C ∈，令

1

0(,)|()()|,d x y x t y t dt =-⎰证明(,)x d 成为度量空间。

3、证明n

R 按范数||||max ||i i

x ξ=组成的赋范线性空间X 与n

R 按范数1

||||||

n

i i x ξ==∑组成的赋范线性空间Y 共轭。

4、设X 是可分Banach 空间，M 是X '中的有界集，证明M 中每个点列含有

一个弱*收敛子列。

5、设H 是内积空间，M 为H 的子集，证明M 在H 中的正交补是H 中的闭线性

子空间。

泛函分析期末考试试卷答案

一、选择题

1、A

2、D

3、B

4、D

5、D

二、填空题

1、柯西点列

2、巴拿赫空间

3、∞

l 4、||≦||x||||y|| 5、对于一切x ∈X,是实数 三、判断题

1、对

2、对

3、错

4、错

5、错 四、计算题

答： 1

121(,,),,(1,2

)i i i l x R i ξξξξ∞

=⎧

⎫

==<∞∈=∞⎨⎬⎩

⎭

∑ 对于任意12(,,

,)n x ξξξ=，12(,,)n y ηηη=，定义运算

1122

(,)n n x y ξηξηξη+=+++，12

(,)n ax a a a ξξξ=

1

l 按上述加法与数乘运算成为线性空间11

i i x ξ∞

==∑

1l 按上述定义的范数构为Banach 空间

令(0,01,0),1,2

n n

e n ==，121

(,,0,0,),n

n n n i i i x x e ξξξξ===∑

则121(,)n

n

x l ξξξ∀=∈能被表示为lim n n x x →∞

=，对任意给定()'

1f l

∈，

令(),1,2

n n f e n η==则1

1

()(lim )lim ()lim ()n n

n n i i i i n n n i i f x f x f x f e ξξη→∞

→∞

→∞

======∑∑.

又因为1i e =对于i ∀

有1()i i i f e f e f η=≤=。

由此可得sup i i

f η≤即12

(,)n

l ηηη∞∈

反之，对12

(,)n

b l ηηη∞∀=∈，作1l 上泛函()f x 如下：

112

1

(),(,)n

i i n

i f x x l ξηξξξ==∀=∈∑，显然f 是1l 上线性泛函，又因为

11

1

1

()sup .sup ,i i i i i i i i

i

i i i f x x ξηξηηξη∞

∞

∞

====≤≤=∑∑∑

因此，1'(),f l ∈并且有sup .i i

f b η∞≤=综上1'().l l ∞=

五、证明题（共50分）

1、 证：反证法。若T 为定义在整个空间X 上的闭算子，

由于X 为闭集，而X 为Banach 空间，由闭图像定理可知，T 为X 到X 的有界闭算子，

这与T 为无界闭算子矛盾，原命题成立。

2、证：由定义，对于,[0,1],x y C ∀∈显然(,)0,d x y ≥且如果()(),[0,1],x t y t t =∈显然

(,)0,d x y =反之如果(,)0,d x y =因为|()()|0,x t y t -≥所以()(),..[0,1],x t y t a e =于由于(),()x t y t 为连续函数，若0[0,1],t ∃∈使得00()(),x t y t ≠则存在0,δ>使得在00(,)[0,1]t t δδ-+⊂区间上，均有()(),x t y t ≠这与()(),..x t y t a e =相矛盾，所以

()(),[0,1].x t y t t ≡∈此外，对于,,[0,1],x y z C ∀∈

1

1

1

(,)|()()||()()||()()|(,)(,)d x z x t z t dt x t y t dt y t z t dt d x y d y z =-≤-+-≤+⎰⎰⎰

即三点不等式成立。因此(,)x d 成为度量空间。

3、证：定义X ’到Y 的映射T ，任意'

1,((),

,()),n f X Tf f e f e ∈=其中

(0,

,0,1,0,

0),1,2,

,i e i n == 对任意1

n

i i i x e ξ==∑，

1

1

()()()max n

n

i

i

i

i

i i f x f e f e ξξ

===

≤∑∑=Tf x ，