应用泛函分析复习资料小结

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泛函分析复习与总结

泛函分析复习与总结

泛函分析复习与总结泛函分析是数学中的一个重要分支,是研究无限维空间上的函数和线性算子的学科。

它的研究对象不再是有限维线性空间上的向量,而是函数或者函数空间,包括无限维的函数空间。

泛函分析在数学中有着广泛的应用,例如在微分方程的理论研究中,泛函分析有助于研究解的连续性、唯一性和存在性等问题;在概率理论中,泛函分析有助于研究随机过程的性质等。

下面将对泛函分析的重要内容进行复习和总结。

1.线性空间与拓扑空间线性空间是指具有线性结构的集合,泛函分析研究的对象就是线性空间上的函数或者函数空间。

拓扑空间是指在集合中引入一个拓扑结构,使得可以定义连续性和收敛性等概念。

泛函分析的研究对象通常是拓扑线性空间,即同时具有线性结构和拓扑结构的空间。

2.赋范空间与完备空间赋范空间是指在线性空间上定义了一个范数(或称规范),从而使得该空间成为一个度量空间。

范数的引入使得我们可以定义距离,并且可以定义收敛性。

完备空间是指其中的Cauchy列总是收敛于该空间中的点。

泛函分析中,赋范空间和完备空间是重要的概念,在研究函数的连续性和收敛性时起到了关键的作用。

3.内积空间与希尔伯特空间内积空间是指在线性空间上定义了一个内积,从而可以定义长度和夹角。

希尔伯特空间是指满足内积空间中所有Cauchy列都收敛于该空间中的点的空间。

内积空间和希尔伯特空间在泛函分析中具有重要的作用,特别是在研究函数的正交性和投影等问题时。

4.线性算子与连续算子线性算子是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射。

连续算子是指在拓扑空间上保持连续性的线性算子。

泛函分析中,线性算子和连续算子是重要的研究对象,它们可以用来描述函数之间的关系和映射。

5. Banach空间与可分空间Banach空间是指在完备的范数空间上定义了一个范数,从而构成一个完备空间。

可分空间是指线性空间中存在可数稠密子集的空间。

Banach空间和可分空间是泛函分析中重要的类别,它们在研究最优性,特别是最优解的存在性和表示性时起到了关键的作用。

泛函分析知识总结

泛函分析知识总结

泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容:一、度量空间与赋范线性空间;二、有界线性算子与连续线性泛函;三、内积空间与希尔伯特空间;四、巴拿赫空间中的基本定理;五、线性算子的谱。

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、 度量空间与赋范线性空间(一)度量空间度量空间在泛函分析中就是最基本的概念,它就是n 维欧氏空间n R (有限维空间)的推广,所以学好它有助于后面知识的学习与理解。

1.度量定义:设X 就是一个集合,若对于X 中任意两个元素x,y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应,而且这一对应关系满足下列条件:1°d(x,y)≥0 ,d(x,y)=0 ⇔ x=y (非负性)2°d(x,y)= d(y,x) (对称性)3°对∀z ,都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) (三点不等式)则称d(x,y)就是x 、y 之间的度量或距离(matric 或distance ),称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

(这个定义就是证明度量空间常用的方法)注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x,y 确定的实数d(x,y),只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况,它用来描述X 中两个事物接近的程度,而条件1°、2°、3°被认为就是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 与度量函数d 所组成,在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 与2d ,则我们认为(X, 1d )与(X, 2d )就是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定就是数集,也不一定就是代数结构。

为直观起见,今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ,例如若x X ∈,则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d,而称“度量空间X ” 。

(完整)泛函分析知识总结,推荐文档

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泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容:一、度量空间和赋范线性空间;二、有界线性算子和连续线性泛函;三、内积空间和希尔伯特空间;四、巴拿赫空间中的基本定理;五、线性算子的谱。

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、 度量空间和赋范线性空间(一)度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念,它是n 维欧氏空间n R (有限维空间)的推 广,所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1.度量定义:设X 是一个集合,若对于X 中任意两个元素x ,y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应,而且这一对应关系满足下列条件:1°d(x,y)≥0 ,d(x,y)=0 ⇔ x=y (非负性)2°d(x,y)= d(y,x) (对称性)3°对∀z ,都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) (三点不等式)则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离(matric 或distance ),称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

(这个定义是证明度量空间常用的方法)注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ,y 确定的实数d(x,y),只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况,它用来描述X 中两个事物接近的程度,而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成,在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ,则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集,也不一定是代数结构。

为直观起见,今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ,例如若x X ∈,则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ,而称“度量空间X ” 。

泛函分析知识总结

泛函分析知识总结

泛函分析知识总结泛函分析是数学中一个重要的分支领域,它研究的是无穷维空间和函数的性质。

在泛函分析中,我们考虑的对象是函数空间,而不是具体的函数。

泛函分析广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。

1.线性空间与拓扑空间:泛函分析的基础是线性空间的理论。

线性空间是指具有加法和数乘运算,同时满足线性结构条件的集合。

泛函分析还引入了拓扑空间的概念,拓扑空间是指在线性空间的基础上引入了距离、收敛等概念,并给出了一些性质。

2.范数与内积:范数和内积是泛函分析中常用的两个概念。

范数是定义在线性空间上的一种非负实值函数,它满足正定性、齐次性和三角不等式。

范数可以用来度量向量的大小。

内积是将两个向量映射到实数的一个运算,它满足对称性、线性性和正定性。

3.完备性和紧性:完备性是指一个空间中的柯西序列收敛于空间内的一个点。

完备性是一个重要的性质,它可以用来判断一个空间是否是可度量空间,即能够定义距离的空间。

紧性是指一个空间内的每个序列都存在收敛的子序列。

紧性常用于分析序列在空间内的收敛性。

4.泛函空间和对偶空间:泛函分析中经常考虑的是函数空间,函数空间是指由一类满足特定条件的函数构成的空间。

常用的函数空间有连续函数空间、可积函数空间等。

函数空间还可以定义内积、范数等结构。

对偶空间是一个线性空间的对偶空间,它由该线性空间上的线性函数构成。

5.泛函的连续性和收敛性:泛函分析研究的是空间到实数域的映射,所以泛函的连续性和收敛性是一个重要的问题。

在泛函分析中,我们定义了一个泛函的连续性,当且仅当对于任意给定的序列,如果其收敛于一个点,那么其映射的泛函值也会收敛于该泛函值。

类似地,我们还可以定义泛函的收敛性。

6.算子:算子是泛函分析中一个重要的概念,它是一种将一个空间映射到另一个空间的映射。

线性算子是指满足线性性质的映射,而有界算子是指满足一定范围内的性质的映射。

算子可以是线性差分方程、微分算符等。

7.泛函分析在物理学和工程学中的应用:泛函分析在物理学和工程学中有广泛的应用。

应用泛涵 复习知识点

应用泛涵 复习知识点

复习知识点一、概念(1线性有界算子空间(2)闭算子(与有界线性算子关系)(3)不动点(4)压缩映射(5)Cauchy列或者基本列;(6)度量空间或者距离空间;(7)完备的度量空间;(8)可分的度量空间(离散度量空间);(9)稠密的定义;(10)列紧集,紧集(n R中紧集如何?);(11)全有界集;(12)连续映射;(13)线性赋范空间;(14)内积空间;(15)线性独立系;(16)希尔伯特空间;(17)巴拿赫空间;(18)标准正交系;(19)完全标准正交系;(20)线性泛函,线性算子(21)线性连续,线性有界(22)傅立叶级数;(23)等价的范数(有限维空间);(24)线性等距同构;(25)正交补;(26)共轭空间二、定理与结论(1)有界性与连续性* P82定理4.1.2;(2)Riesz表示定理* P89定理4.1.4;(3)线性算子有界性与连续性* P99定理4.3.2;(4)极限的性质P38定理2.1.1;(5)连续的充要条件P42定理2.1.5;(6)基本列的性质* P45定理2.2.3;(7)列紧集的性质P50定理2.3.1;(8)最大值最小值定理P51定理2.3.3;(9)全有界集的性质P52定理2.3.4;(10)闭球套定理P48定理2.2.6;(11)线性赋范空间极限* P59定理3.1.1;(12)范数等价的充要条件* P62定理3.2.2;(13)列紧充要条件P63定理3.2.4;(14)Schwarz不等式* P66引理3.3.1;(15)线性赋范空间成为内积空间的充要条件P67定理3.3.1;(16)勾股定理* P68定理3.3.2;(17)Banach不动点定理* P133定理5.1.1及推论5.1.1,5.1.2;(18)投影定理P69定理3.3.3;(19)正交化定理P71定理3.4.1;(20)最佳逼近定理* P73定理3.4.3;(21)傅立叶级数收敛的充要条件* P75定理3.4.5;(22)正交系完全的充要条件P75定理3.4.6;三、习题布置的作业考试命题基本原则基础题60分左右;中等题25分左右;稍难10分左右;综合5分左右。

泛函分析知识点总结

泛函分析知识点总结

泛函分析知识点总结本页仅作为文档封面,使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March泛函分析一,距离空间定义设X是任一非空集合,对于X中的任意两点x,y,均有一个实数d(x,y)与它对应,且满足:1)d(x,y)≥0(非负性)2)d(x,y)=0当且仅当x=y(严格正)3)d(x,y)=d(y,x)4)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)(三角不等式)则称d(x,y)为X中的一个距离,定义了距离d的集合称为一个距离空间,记为(X,d),有时简记为X。

设(X,d)是一个距离空间,X中的一个数列,存在X中的任意点,如果当n趋于无穷时,这个数列按照距离收敛到这个点,则称这个数列以这点收敛。

(x,y)是x,y的二元函数,若当存在一个x的数列收敛到x,存在一个y 的数列收敛到y,则这个距离关于x,y的二元函数也收敛。

(利用三角不等式证明)开球的定义(X,d)是一个距离空间,r>0,集合B(x0,r)={x∈X|d(x,x0)<r}则称以x0为中心,r为半径的开球。

有界集:称A为有界集,若存在一个开球,使得A属于这个开球。

内点:称x0为集合G的内点,若存在一个开球B(x0,r)属于G。

开集:称G为开集,若G中的每一个点都是它的内点。

闭集:开集的补集就是闭集。

(若用接触点定义闭集就是,A的接触点的全体称为A的闭包,也就是闭集。

)闭集的等价条件是这个集合中的收敛点列收敛到这个集合中的元素。

全空间和空集即使开集也是闭集。

任意个开集的并是开集,有限个开集的交是开集。

任意个闭集的交是闭集,有限个闭集的并是闭集。

等价距离:两个距离空间称为等价距离,如果它们之间可以互相表示。

连续映射:在两个距离空间之间存在一个映射:T,称T为连续映射。

若在定义域的距离空间中存在一个开集,经过映射T,在另一个距离空间定义的距离下是任意小的。

映射T是连续的等价于值域里的开集的原像仍然是开集。

应用泛函分析复习小结

应用泛函分析复习小结

.第一章实分析概要本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些根底知识,特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论。

这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备,而且在数学及其它学科中有直接的应用。

第一节集合及其运算第二节实数的完备性第三节可数集与不可数集第四节直线上的点集与连续函数第五节点集的勒贝格测度与可测函数. 1.第六节勒贝格积分第一节集合及其运算1〕A∪A A,A∩A A;2〕A∪ ΦA,A∩ ΦΦ;3〕假设A⊂B,则A∪B B,A∩B A,A\BΦ;4) 设*为根本集,则A ∪ A C * , A ∩ A CΦ, ( A C)C A, A \B A ∩ B C又假设A⊂B,则A C⊃B C。

集合的运算法则:2交换律 A ∪ B B ∪ A, A ∩ B B ∩ A ;结合律( A∪B) ∪C A∪ (B∪C) A∪B∪C;( A∩B) ∩C A∩ (B∩C) A∩B∩C;分配律( A∪B) ∩C ( A∩C) ∪ (B∩C) ;( A∩B) ∪C ( A∪C) ∩ (B∪C) ;( A \ B) ∩C ( A∩C) \ (B∩C) .定理1.1 设*为根本集,Aα为任意集组,则1) ( U Aα )C I ( Aα )C (1.6)α∈I α∈I2) ( I Aα )C U ( Aα )C (1.7)α∈I α∈IA \ ( A \ B) A I B3第二节实数的完备性2.1有理数的稠密性2.2实数的完备性定理定义2.1(闭区间套)设{[a n ,b n ]}(n 1,2,L, ) 是一列闭区间,a n b n,如果它满足两个条件:1〕渐缩性,即[a1,b1]⊃[a2,b2]⊃L⊃[a n,b n]⊃L;2) 区间长度数列{b n− a n }趋于零,即lim(b n−a n)0n→∞4定理2.1 (区间套定理)设{[a n ,b n ]} 为实数轴上的任一闭区间套,其中a n与b n都是实数,则存在唯一的一个实数ξ属∞于一切闭区间[a n ,b n ](n 1,2,L) ,即ξ∈ ∩[a n ,b n ],并且n 1lim a n lim b nξn→∞n→∞利用区间套定理,可以直接推出所谓的列紧性定理〔定理 2.2〕,这个定理的名称的含义在第二章中解释。

泛函分析复习与总结汇编

泛函分析复习与总结汇编

泛函分析复习与总结汇编泛函分析是数学中的一个重要分支,它研究的是无穷维空间中的函数和函数空间的性质。

泛函分析具有很强的抽象性和广泛的应用性,在数学和物理学中都有着重要的地位。

本文将对泛函分析的基本概念、定理与应用进行复习与总结。

一、基本概念1.线性空间与赋范线性空间:线性空间是指满足线性运算规则的集合,包括实数域上的向量空间和复数域上的向量空间。

赋范线性空间是在线性空间的基础上,引入了范数的概念,即给每个向量赋予一个非负实数,满足非负性、齐次性和三角不等式等性质。

2.内积空间与希尔伯特空间:内积空间是在赋范线性空间的基础上,引入了内积的概念,即给每一对向量赋予一个复数,满足线性性、共轭对称性和正定性等性质。

希尔伯特空间是一个完备的内积空间,即内积空间中的柯西序列收敛于该空间中的元素。

3.函数空间:函数空间是指由特定性质的函数组成的集合,常见的函数空间有连续函数空间、可微函数空间和L^p空间等。

二、定理与性质1.希尔伯特空间的性质:希尔伯特空间是一个完备的内积空间,任意一序列收敛于希尔伯特空间中的元素,该序列收敛于该元素的充分必要条件是该序列的柯西序列。

2. Riesz表示定理:Riesz表示定理是希尔伯特空间的一个重要定理,它指出了希尔伯特空间中的任意线性连续泛函都可以由内积表示。

具体地说,对于希尔伯特空间中的任意线性连续泛函f,存在唯一的y∈H,使得对于所有的x∈H,有f(x)=(x,y)。

3.泛函分析的基本算子理论:算子是泛函分析中的一个重要概念,它用来描述线性变换的性质。

常见的算子包括线性算子、连续算子和紧算子等。

4.开放映射定理:开放映射定理是泛函分析中的一个重要定理,它指出了一个连续算子的开集的像还是开集。

具体地说,如果X和Y是两个赋范线性空间,并且T:X→Y是一个连续线性算子,如果T是开映射,则其像T(X)也是Y中的开集。

三、应用泛函分析在数学和物理学的各个领域都有重要的应用,包括偏微分方程、最优控制理论和量子力学等。

泛函分析总结

泛函分析总结

应用泛函分析总结1.距离空间的定义:设X 是非空集合,若存在一个映射d :X ×X →R ,使得∀x,y,z ∈X,下列距离公理成立:(1)非负性:d(x,y)≥0,d(x,y)=0⇔x=y; (2)对称性:d(x,y)=d(y,x);(3)三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x 与y 的距离,X 为以d 为距离的距离空间,记作(X ,d ). P37 例题2.1.22.距离空间中的开集与闭集【两个定理的证明会考一个】设A ⊂X ,若A=0A ,则称A 为X 中的开集;若A=A ,则称A 为X 中的闭集。

定理2.2.1(开集与闭集的对偶性)开集的余集是闭集,闭集的余集是开集。

证:设A 为开集,则有∂A ⊂C A ;再由'0A A A A A =∂=,有C C C C C C C A A A A A A A A =∂=∂=∂= )()()(0 故C A 为闭集,若A 为闭集,则由A A A A A ∂=∂=\\0,有()()C CC C C C C C C C C A A A A A A A A A A A ==∂=∂=∂=∂=)())(())(()(\0故C A 为开集。

定理2.2.2任意个开集的并集是开集,有限个开集的交集是开集。

证:设αG (α∈I )为开集,令G=ααG U I∈,则∀x ∈G ,∃r >0,使得G G x B ⊂⊂β)(r从而x 为G 的内点,故G 为开集;又设k k G G n1==,其中k G (k=1,2,…,n )为开集,则∀x ∈G,有x ∈k G (k=1,2,…,n ).由k G 开,知∃k r >0,使得k r G x B k ⊂)(,故取 }{r min 1k nk r ≤≤=,则有G G x B k nk r =⊂= 1)(,从而有x 为G 的内点,故G 亦为开集。

3.稠密性(掌握概念)设A,B 是距离空间X 的两个子集,则 (1)A 称为X 中的稠集,若A =X(2)A 称为B 的稠子集,若A ⊂B ⊂A (3)A 称为在B 中稠密,若B ⊂A .4.Cauchy 列距离空间(X,d )中的点列{n x }称为Cauchy 列(或基本列),若∀0>ε,∃N ∈N,使当m,n >N 时,有d (n m x ,x )<ε定义2.5.2 距离空间(X,d )成为完备的,若X 中的任一Cauchy 列都收敛到X 中的一点。

泛函分析总结

泛函分析总结

泛函分析知识点小结及应用§1 度量空间的进一步例子设X 是任一非空集合,若对于∈∀y x ,X ,都有唯一确定的实数()y x d,与之对应,且满足 1.非负性:()y x d,0≥,()y x d ,=0y x =⇔;2. 对称性:d(x,y)=d(y,x);3.三角不等式:对∈∀z y x ,,X ,都有()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,, 则称(X ,d )为度量空间,X 中的元素称为点。

欧氏空间n R 对nR 中任意两点()n x x x x ,,,21 =和()n y y y y ,,,21 =,规定距离为()y x d ,=()2112⎪⎭⎫⎝⎛-∑=n i i i y x .[]b a C ,空间 []b a C ,表示闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,,定义()y x d ,=()()t y t x b t a -≤≤max . p l ()1+∞<≤p 空间 记pl ={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<=∑∞=∞=11k p kk k x x x . 设{}∞==1k k x x ,{}∞==1k k y y ∈p l ,定义 ()y x d ,=p i p i i y x 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞=. 例1 序列空间S令S 表示实数列(或复数列)的全体,对{}∞==∀1k k x x ,{}∞==1k k y y ,令 ()y x d ,=∑∞=121k k k k k k y x y x -+-1. 例2 有界函数空间()A B设A 是一个给定的集合,令()A B 表示A 上有界实值(或复值)函数的全体. ∈∀y x ,()A B ,定义 ()y x d ,=()()t y t x At -∈sup .例3 可测函数空间()X M设()X M为X 上实值(或复值)的可测函数的全体,m 为Lebesgue 测度,若()X m ∞<,对任意两个可测函数()t f 及()t g ,由于()()()()11<-+-t g t f t g t f ,故不等式左边为X 上可积函数. 令 ()g f d,=()()()()t 1f t g t d Xf yg t -⎰+-.§2 度量空间中的极限设{}∞=1n n x 是()d X ,中点列,若X x ∈∃,s.t. ()0,lim =∞→x x d n n (*)则称{}∞=1n n x 是收敛点列,x 是点列{}∞=1n n x 的极限.收敛点列的极限是唯一的. 若设n x 既牧敛于x 又收敛y ,则因为()()()0,,,0→+≤≤n n x y d x x d y x d ()∞→n ,而有 ()y x d ,=0. 所以x =y .注 (*)式换一个表达方式:()x x d n n ,lim ∞→=()x x d n n ,lim ∞→. 即当点列极限存在时,距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有 距离()y x d,是x 和y 的连续函数.具体空间中点列收敛的具体意义:1. 欧氏空间n R m x =()()()()m n m m x x x ,,,21 , ,2,1=m ,为nR 中的点列,x =()n x x x ,,,21 ∈n R ,()x x d m ,=()()()()()()2222211n m n m m x x x x x x -++-+- . x x m → ()∞→m ⇔ 对每个n i ≤≤1,有 ()i m i x x → ()∞→m .2. []b a C , 设{}⊂∞=1n n x []b a C ,,∈x []b a C ,,则()x x d n ,=()()0max →-≤≤t x t x n bt a ()∞→n ⇔ {}∞=1n n x 在[]b a ,一致收敛于x .3. 序列空间S 设m x =()()()(),,,,21m n m m ξξξ, ,2,1=m ,及x =() ,,,,21n ξξξ分别是S 中的点列及点,则()()()∑∞=→-+-=10121,k k m kkm k k m x x d ξξξξ ()∞→m ⇔ m x 依坐标收敛于x .4. 可测函数空间()X M设{}∞=1n n f ⊂()X M ,f ⊂()X M ,则因()f f d n ,=()()()()⎰-+-X nn dm t f t f t f t f 1,有 f f n → ⇔ f f n ⇒. §3 度量空间中的稠密集 可分空间定义 设X 是度量空间,N 和M 是X 的两个子集,令M 表示M 的闭包,若N ⊂M ,则称集M 在集N 中稠密,当N =X 时,称M 为X 的一个稠密子集. 若X 有一个可数的稠密子集,则称X 是可分空间. 例1 n 维欧氏空间nR 是可分空间. 事实上,坐标为有理数的点的全体是nR 的可数稠密子集. 例2 离散距离空间X 可分 ⇔ X 是可数集. 例3 ∞l 是不可分空间.§4 连续映射 定义 设X =()d X ,,Y =()dY ~,是两个度量空间,T 是X 到Y 中的映射:X =()d X ,T→ Y =()d Y ~,. 0x ∈X ,若∀ε>0,∃δ>0,s.t. ∀x ∈X 且()0,x x d <δ,都有()0,~Tx Tx d <ε,则称T 在0x 连续:定理 1 设T 是度量空间()d X ,到度量空间()d Y ~,中的映射:()d X ,T →()d Y ~,, 则T 在0x 连续 ⇔ 当n x →0x 时,必有n Tx →0Tx .定理2 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映射 ⇔ 任意开集M ⊂Y ,M T 1-是X 中的开集.定理2' 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映照 ⇔ 任意闭集M ⊂Y ,M T 1-是X 中的闭集.§5 柯西点列和完备度量空间定义 1 设X =(X ,d )是度量空间,{}∞=1n n x 是X 中的点列. 若>∀ε0,()N ∈=∃εN N ,s.t.当N n m >,时,有()m n x x d ,<ε,则称{}∞=1n n x 是X 中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(X ,d )中每个柯西点列都收敛,则称(X ,d )是完备的度量空间.在一般空间中,柯西点列不一定收敛,如点列1, 1.4, 1,41, ,412.1 在1R 中收敛于2,在有理数集中不收敛.但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.定理1 完备度量空间X 的子空间M 是完备度量空间 ⇔ M 是X中的闭子空间.常见例子:(1)C (收敛的实或复数列的全体)是完备度量空间 (2) []b a C,是完备的度量空间(3) []b a P ,(实系数多项式全体) 是不完备的度量空间§6 度量空间的完备化 定义 1 设(X ,d ),(X ~,d ~)是两个度量空间,若存在X 到X ~上的保距映射T (∀1x ,2x ∈X ,有d ~(T 1x ,T 2x )=d (1x ,2x )),则称(X ,d )和(X ~,d ~)等距同构,此时称T 为X 到X ~上的等距同构映照。

泛函分析知识点总结

泛函分析知识点总结

泛函分析知识点总结1.Baire定理定理(Baire纲定理)完备的距离空间是第⼆类型集。

解释:完备的距离空间(X,d),∀x∈X都是内点,因为X在X中是开集。

⼀个⽆处稠密(nowhere dense)的集合就是闭包不含内点的集合不会是整个X,即X不是第⼀类型集,所以只能是第⼆类型集。

注:完备的距离空间是第⼆类型集,那么它的闭包⾄少存在⼀个内点。

这个经常被⽤来证明。

例如,开映射定理、闭图像定理等。

2. 闭包和导集的区别根据定义,集合的闭包是集合的导集和集合的并。

导集是集合所有聚点组成的集合,不包含孤⽴点。

所以闭包是集合导集和孤⽴点组成的集合。

3.闭集在度量空间中,如果⼀个集合所有的极限点都是这个集合中的点,那么这个集合是闭集。

4.不动点定理压缩映射:设(X,d)是距离空间,T是X到X的映射,如果存在⼀个常数θ(0≤θ<1),对于所有的x,y∈X,满⾜下述不等式:d(Tx,Ty)<θd(x,y)则称T是X上的⼀个压缩映射。

不动点定理:设X是完备的距离空间,T是X到X的压缩映射,则T在X上有唯⼀的不动点x∗.即Tx∗=x∗是⽅程Tx=x在X上的唯⼀解。

5.施密特正交化将⼀个线性⽆关的集合{x n}进⾏施密特正交化。

e1=x1 ||x1||e2=x2−<x2,e1>e1 ||x2−<x2,e1>e1||e j+1=x j+1−j∑k=1<x j+1,e k>e k ||x j+1−j∑k=1<x j+1,e k>e k||注:本质上说就是让x j+1减去其在e k,k=0,…,j上的分量,就正交化了。

然后再除以对应范数,进⾏单位化。

6.Hilbert空间的同构n为的实(复)Hilbert空间与R n(C n)同构。

(保距离,保线性,保范数,保内积)⽆限维可分Hilbert空间与l2空间(L2[0,1])等距同构。

7.算⼦的连续性和有界性连续性:对于X中的任何收敛于x0的点列{x n},恒有Tx n→Tx0,n→=∞有界性:存在正常数M,使得对⼀切x∈X,有||Tx||≤M||x||⼀点连续,则处处连续:设X和Y是数域\textbf{F}上的线性赋范空间,T:X→Y是⼀个线性算⼦。

泛函分析报告知识的总结

泛函分析报告知识的总结

泛函分析报告知识的总结泛函分析是数学中的一个重要分支领域,它研究的是无穷维空间上的函数及其性质。

泛函分析的应用广泛,包括函数空间、傅里叶分析、偏微分方程等等。

下面是我对泛函分析的一些知识进行总结。

首先,泛函分析的基础是线性代数和实分析。

线性代数研究的是向量空间及其线性关系,实分析则研究的是实数空间上的函数性质,例如收敛性、极限、连续性等等。

这两个基础学科为泛函分析的理论及应用打下了坚实的基础。

其次,泛函分析的核心是函数空间的研究。

函数空间是指一组函数的集合,其中的函数可以是有界函数、可积函数、连续函数等等。

泛函分析研究的是函数空间上的线性算子及其性质,例如范数、内积、完备性等等。

常见的函数空间有Lp空间、C(X)空间、Sobolev空间等等。

然后,泛函分析的重要工具是算子理论。

算子理论研究的是线性算子的性质和作用。

在泛函分析中,线性算子可以将一个函数映射到另一个函数,例如导数、积分等。

算子理论主要研究线性算子的性质,例如有界算子、紧算子、自伴算子等等。

算子理论在解析、几何等问题中有着广泛的应用。

此外,泛函分析也研究了拓扑结构及度量空间的性质。

拓扑结构是用来描述集合上点的邻域关系的概念,是泛函分析中重要的概念。

度量空间是带有度量函数的拓扑空间,度量函数可以度量空间中两个点之间的距离。

拓扑结构和度量空间的研究为泛函分析提供了一种统一的框架。

最后,泛函分析的应用广泛,特别是在数学的其他分支领域中。

在偏微分方程中,泛函分析可以用来研究问题的存在性、唯一性和稳定性;在概率论中,泛函分析可以用来研究随机过程的性质和收敛性;在图像处理中,泛函分析可以用来研究图像的压缩和恢复等等。

总之,泛函分析在数学及其应用领域中具有重要的地位和作用。

总结起来,泛函分析研究的是无穷维空间上的函数及其性质,它的基础是线性代数和实分析。

泛函分析的核心是函数空间的研究,它的重要工具是算子理论及拓扑结构和度量空间的性质。

泛函分析的应用非常广泛,涉及到数学的各个分支领域。

泛函分析知识总结

泛函分析知识总结

泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容:一、度量空间和赋范线性空间;二、有界线性算子和连续线性泛函;三、内积空间和希尔伯特空间;四、巴拿赫空间中的基本定理;五、线性算子的谱。

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、度量空间和赋范线性空间(一)度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念,它是n维欧氏空间R n(有限维空间)的推广,所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1.度量定义:设X是一个集合,若对于X中任意两个兀素x, y,都有唯确定的实数d()与之对应,而且这对应关系满足下列条件:1° d() > 0 , d()=0 二x=y (非负性)2° d()= d() (对称性)3°对-z,都有d() w d()() (三点不等式)则称d()是x、y之间的度量或距离(或),称为()度量空间或距离空间()。

(这个定义是证明度量空间常用的方法)注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x , y 确定的实数d(),只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名 称已由现实生活中的意义引申到一般情况,它用来描 述X 中两个事物接近的程度,而条件1°、2°、3。

被 认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合 X 和度量函数d 所组成,在同一个 集合X 上若有两个不同的度量函数d i 和d 2,则我们认为 (X,d i )和(X, d 2)是两个不同的度量空间。

⑶集合X 不一定是数集,也不一定是代数结构。

为直观 起见,今后称度量空间()中的元素为“点”,例如若 x • X ,则称为“ X 中的点”。

⑷ 在称呼度量空间()时可以省略度量函数 d ,而称“度 量空间X ”。

1.1举例1.11离散的度量空间:设 X 是任意的非空集合,对 X 中任意两 点€ X,令d x , y = 1当X 一 y ,则称(X , d )为离散10,当 x=y 度量空间。

泛函分析复习与总结

泛函分析复习与总结

《泛函分析》复习与总结第一部分 空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。

以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。

一.空间(1)距离空间 (集合+距离)!验证距离的三个条件:(,)X ρ称为是距离空间,如果对于,,x y z X ∈(i) 【非负性】(,)0x y ρ≥,并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】;(ii) 【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=;(iii) 【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。

距离空间的典型代表:s 空间、S 空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。

(2)赋范线性空间 (线性空间 + 范数)!验证范数的三个条件:(,||||)X ⋅称为是赋范线性空间,如果X是数域K =¡(或K =£)上的线性空间,对于a K ∈和,x y X ∈,成立(i) 【非负性】||||0x ≥,并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】; (ii) 【齐次性】||||||||||ax a x =⋅;(iii) 【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。

赋范线性空间的典型代表:n ¡空间(1,2,3,n =L )、n £空间(1,2,3,n =L )、p l 空间(1p ≤≤∞)、([,])p L ab 空间(1p ≤≤∞)、[,]Cab 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间(范数是由内积导出的范数)。

(3)内积空间 (线性空间 + 内积)!验证内积的四个条件:(,(,))X ⋅⋅称为是内积空间,如果X 是数域K =¡(或K =£)上的线性空间,对于a K ∈和,,x y z X ∈,成立(i) 【非负性】(,)0x x ≥,并且(,)0x x =当且仅当0x =【正定性】;(ii) 【第一变元可加性】(,)(,)(,)x y z x z x z +=+;(iii) 【第一变元齐次性】(,)(,)ax z a x z =;(iv) 【共轭对称性】(,)(,)x z z x =。

泛函分析知识总结汇总

泛函分析知识总结汇总

泛函分析知识总结汇总
一、函数的概念
函数是把特定的输入映射到特定的输出的规律。

常用的函数有:实数
函数、复数函数、多元函数和函数序列等。

二、函数的极限
极限是指当自变量的值向其中一数趋近时,函数的值向另一数趋近。

极限可以用来推导函数的行为,它也对定义微积分有着重要的意义。

三、函数的微分
微分是指将函数的变量的值变化一点点,函数值也发生一点点的变化。

微分是运用微积分最基本的操作,也是后续科学研究的基础。

四、函数的积分
积分是指将函数的不断变化的变量值,加以积分,求出函数的总积分,又称为定积分。

在实际应用中,经常使用积分来解决一些问题,如了解随
机变量的概率分布、求参数方程的解等。

五、函数的反函数
反函数就是由变量x的函数f(x)的一个变量y取得,满足条件
f(x)=y的一个函数。

反函数也是函数的一种,它的研究也是微积分的重
要内容之一
六、函数的条件积分
条件积分是指由两变量函数给定的函数在满足其中一种条件的情况下,确定它的积分。

在现实应用中,条件积分也是常用的一种积分方法,用以
求解参数方程的解等。

七、函数的级数
级数是由一系列的数序列组成的,并且它们满足其中一特定的规律。

研究生泛函分析总结

研究生泛函分析总结

研究生泛函分析总结泛函分析是数学中的一个重要分支,是研究无限维空间上的函数和函数空间的理论。

它的应用涉及到许多领域,如量子力学、信号处理、图像处理等。

在研究生阶段,我们对泛函分析进行了深入学习和研究,下面是我对泛函分析的总结:一、泛函的概念和基本理论:1.泛函的定义:泛函是定义在一个函数空间上的函数,它将函数映射到实数集上。

2.泛函的性质:线性、有界、正则。

3.泛函的例子:函数的积分、导数、极大极小值等都可以视作泛函。

4.函数空间的定义:函数空间是一组满足一定性质的函数的集合。

5.多个函数空间的关系:包含关系、并集、交集等。

二、线性算子和函数空间:1.线性算子的定义:线性算子是将一个函数空间映射到另一个函数空间的线性变换。

2.线性算子的性质:线性、有界、正则。

3.压缩映射定理:压缩映射在完备度量空间上具有不动点,且不动点唯一4.单正则线性算子:定义、性质、例子。

三、Hilbert空间:1. Hilbert空间的定义:Hilbert空间是一个完备的内积空间。

2.内积的定义和性质:正定性、对称性、线性性等。

3. Hilbert空间的例子:L2空间、离散函数空间等。

4.切比雪夫不等式:内积的有界性和L2空间中的函数收敛性。

5. 基映射和完备性:基映射是将元素展开为基函数的系数,Hilbert 空间的完备性意味着可以用无限维的元素表示。

四、广义函数和分布理论:1.广义函数的定义:广义函数是泛函的推广,它是一种对一般函数进行推广的概念。

2.分布的性质:线性、有界、正则。

3. 分布的例子:Dirac函数、Heaviside函数等。

4.分布的导数和积分:广义函数的导数和积分的定义和性质。

五、Sobolev空间:1. Sobolev空间的定义:Sobolev空间是一组定义在Lp空间中,具有弱导数的函数的集合。

2. Sobolev空间的性质:线性、有界、正则。

3. Sobolev空间的例子:H1空间、H2空间等。

泛函分析部分知识总结

泛函分析部分知识总结

泛函分析单元知识总结与知识应用一、单元知识总结第七章、 度量空间和赋范线性空间 §1 度量空间§1.1定义:若X 是一个非空集合,:dX X R ⨯→是满足下面条件的实值函数,对于,x y X ∀∈,有(1)(,)0d x y =当且仅当xy =;(2)(,)(,)d x y d y x =;(3)(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,则称d 为X 上的度量,称(,)X d 为度量空间。

例:1、设X 是一个非空集合,,x y X ∀∈,当1,(,)0,=x y d x y x y≠⎧=⎨⎩当当,则(,)X d 为离散的度量空间。

2、序列空间S ,i =1i |-|1(,)21+|-|i ii i d x y ξηξη∞=∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ,(,)sup|(t)-(t)|t Ad x y x y ∈=是度量空间4、连续函数[a,b]C ,(,)max|(t)-(t)|a t bd x y x y ≤≤=是度量空间5、空间2l ,122=1(,)[(-)]kki d x y y x ∞=∑是度量空间§2 度量空间中的极限,稠密集,可分空间 §2.1收敛点列:设{}n x 是(,)X d 中点列,如果∃x X ∈,使n lim (,)=0n d x x →∞,则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列。

例:1、nn x R ∈,{}n x 按欧氏距离收敛于x 的充要条件为1,i n ∀≤≤各点列依分量收敛。

2、[a,b]C 中(,)0k d x y x x →⇔→(一致)3、可测函数空间()M X 中点列(,)0n n d f f f f→⇔⇒(依测度)稠密子集与可分空间:设X 是度量空间,E 和M 是X 中两个子集,令M M M ⊂表示的闭包,如果E ,那么称集M 在集E 中稠密,当E=X 时,称M 为X 的一个稠密子集,如果X 有一个可数的稠密子集,则称X 是可分空间。

泛函分析知识点总结

泛函分析知识点总结

泛函分析一,距离空间定义1.1.1设X是任一非空集合,对于X中的任意两点x,y,均有一个实数d(x,y)与它对应,且满足:1)d(x,y)≥0(非负性)2)d(x,y)=0当且仅当x=y(严格正)3)d(x,y)=d(y,x)4)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)(三角不等式)则称d(x,y)为X中的一个距离,定义了距离d的集合称为一个距离空间,记为(X,d),有时简记为X。

1.2设(X,d)是一个距离空间,X中的一个数列,存在X中的任意点,如果当n趋于无穷时,这个数列按照距离收敛到这个点,则称这个数列以这点收敛。

1.3d(x,y)是x,y的二元函数,若当存在一个x的数列收敛到x,存在一个y的数列收敛到y,则这个距离关于x,y的二元函数也收敛。

(利用三角不等式证明)2.1开球的定义(X,d)是一个距离空间,r>0,集合B(x0,r)={x∈X|d(x,x0)<r}则称以x0为中心,r为半径的开球。

有界集:称A为有界集,若存在一个开球,使得A属于这个开球。

内点:称x0为集合G的内点,若存在一个开球B(x0,r)属于G。

开集:称G为开集,若G中的每一个点都是它的内点。

闭集:开集的补集就是闭集。

(若用接触点定义闭集就是,A的接触点的全体称为A的闭包,也就是闭集。

)闭集的等价条件是这个集合中的收敛点列收敛到这个集合中的元素。

全空间和空集即使开集也是闭集。

任意个开集的并是开集,有限个开集的交是开集。

任意个闭集的交是闭集,有限个闭集的并是闭集。

等价距离:两个距离空间称为等价距离,如果它们之间可以互相表示。

连续映射:在两个距离空间之间存在一个映射:T,称T为连续映射。

若在定义域的距离空间中存在一个开集,经过映射T,在另一个距离空间定义的距离下是任意小的。

映射T是连续的等价于值域里的开集的原像仍然是开集。

接触点:点x0称为A的接触点,若存在一个x0的开球与A的交不为空集。

(点x0可以属于A,也可以不属于A)聚点:点x0称为点A的聚点,若存在点x0的任意一个开球与A\{x0}的交不为空集。

泛函分析知识总结讲解

泛函分析知识总结讲解

泛函分析知识总结讲解泛函分析是数学的一个分支,研究无限维空间中的函数与函数序列的性质以及它们之间的关系。

它是实数分析和复数分析的推广与深化,是现代数学的基石之一,对于几乎所有分支的数学都具有极高的重要性。

以下是对泛函分析的知识总结和讲解。

1.范数空间与内积空间:泛函分析的基础概念是线性空间,进一步的,我们将线性空间中的向量赋予一定的范数或内积,得到范数空间和内积空间。

范数空间是指一个线性空间中存在一个范数,满足向量加法、标量乘法和范数运算的线性性质。

常见的范数空间有欧几里得空间、无穷范数空间和Lp空间等。

内积空间是指一个线性空间中存在一个内积,满足线性性质、对称性和正定性。

内积定义了向量之间的夹角和长度,并且可以衡量向量的相似度和正交性。

常见的内积空间有欧几里得空间和希尔伯特空间等。

2.完备性与紧性:完备性是指一个度量空间中的柯西序列在该空间中有一个极限点。

具有完备性的空间被称为“完备度量空间”或“巴拿赫空间”。

典型的完备度量空间包括实数集和复数集。

紧性是指一个度量空间中存在一个有限的覆盖,可以从中选取有限个开球覆盖整个空间。

紧性是度量空间的一个重要性质,表明空间的元素具有收敛性质。

3.可分性与连续性:可分性是指一个度量空间中存在一个可数的稠密子集。

可分性是度量空间的一个重要性质,表明空间的元素可以用可数个元素逼近。

连续性是指线性空间和范数空间中的映射保持了基本的运算和距离的一致性。

连续性是一个重要的概念,它描述了元素的连续变化和收敛性质。

4.泛函与算子:泛函是指一个线性空间到实数或复数的映射。

泛函可以是线性的,也可以是非线性的,常见的泛函有线性泛函和连续泛函等。

算子是指一个线性空间到另一个线性空间的映射。

算子可以是线性的,也可以是非线性的。

常见的算子有线性算子和连续算子等。

5.特征空间与对偶空间:特征空间是指一个线性算子的定义域,它是算子的作用空间的一种表达形式。

特征空间可以是有限维空间,也可以是无限维空间。

泛函分析知识点汇总

泛函分析知识点汇总

泛函分析知识点知识体系概述(一)、度量空间和赋线性空间 第一节 度量空间的进一步例子1.距离空间的定义:设X 是非空集合,若存在一个映射d :X ×X →R ,使得∀x,y,z ∈X,下列距离公理成立:(1)非负性:d(x,y)≥0,d(x,y)=0⇔x=y;(2)对称性:d(x,y)=d(y,x);(3)三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x 与y 的距离,X 为以d 为距离的距离空间,记作(X ,d ) 2.几类空间例1 离散的度量空间 例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X)例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l 2第二节 度量空间中的极限,稠密集,可分空间 1. 开球定义 设(X,d )为度量空间,d 是距离,定义U(x 0, ε)={x ∈X | d(x, x 0) <ε}为x 0的以ε为半径的开球,亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限定义 若{x n }⊂X, ∃x ∈X, s.t. ()lim ,0n n d x x →∞= 则称x 是点列{x n }的极限.3. 有界集定义 若()(),sup ,x y Ad A d x y ∀∈=<∞,则称A 有界4. 稠密集定义 设X 是度量空间,E 和M 是X 中两个子集,令M 表示M 的闭包,如果E M ⊂,那么称集M 在集E 中稠密,当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。

5. 可分空间定义 如果X 有一个可数的稠密子集,则称X 是可分空间。

第三节 连续映射1.定义 设X=(X,d),Y=(Y, ~d )是两个度量空间,T 是X 到Y 中映射,x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε,存在正数0δ>,使对X 中一切满足()0,d x x δ<的x ,有()~0,d Tx Tx ε<,则称T 在x 连续.2.定理1 设T 是度量空间(X,d )到度量空间~Y,d ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的映射,那么T 在0x X∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时,必有()0n Tx Tx n →→∞3.定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -是X 中的开集.第四节 柯西(cauchy )点列和完备度量空间1.定义 设X=(X,d)是度量空间,{}n x 是X 中点列,如果对任意给定的正数0ε>,存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时,必有(),n m d x x ε<,则称{}n x 是X 中的柯西点列或基本点列。

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-`第一章实分析概要本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些基础知识,特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论。

这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备,而且在数学及其它学科中有直接的应用。

第一节集合及其运算第二节实数的完备性第三节可数集与不可数集第四节直线上的点集与连续函数第五节点集的勒贝格测度与可测函数-` 1-`第六节勒贝格积分第一节集合及其运算1)A∪A=A,A∩A=A;2)A∪ Φ=A,A∩ Φ=Φ;3)若A⊂B,则A∪B=B,A∩B=A,A\B=Φ;4) 设X为基本集,则A ∪ A C= X , A ∩ A C=Φ, ( A C)C= A, A \B = A ∩ B C又若A⊂B,则A C⊃B C。

集合的运算法则:2-`交换律 A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A ;结合律( A∪B) ∪C=A∪ (B∪C) =A∪B∪C;( A∩B) ∩C=A∩ (B∩C) =A∩B∩C;分配律( A∪B) ∩C= ( A∩C) ∪ (B∩C) ;( A∩B) ∪C= ( A∪C) ∩ (B∪C) ;( A \ B) ∩C= ( A∩C) \ (B∩C) .定理 1.1 设X为基本集,Aα为任意集组,则1) ( U Aα )C=I ( Aα )C (1.6)α∈I α∈I2) ( I Aα )C=U ( Aα )C (1.7)α∈I α∈IA \ ( A \ B)= A I B3第二节实数的完备性2.1有理数的稠密性2.2实数的完备性定理定义 2.1(闭区间套)设{[a n,b n]}(n=1,2,L, )是一列闭区间,a n<b n,如果它满足两个条件:1)渐缩性,即[a1,b1]⊃[a2,b2]⊃L⊃[a n,b n]⊃L;2) 区间长度数列{b n−a n }趋于零,即lim(b n−a n)=0n→∞4定理 2.1 (区间套定理)设{[a n,b n]}为实数轴上的任一闭区间套,其中a n与b n都是实数,那么存在唯一的一个实数ξ属∞于一切闭区间[a n,b n](n=1,2,L),即ξ∈ ∩[a n,b n],并且n=1lim a n= lim b n=ξn→∞n→∞利用区间套定理,可以直接推出所谓的列紧性定理(定理 2.2),这个定理的名称的含义在第二章中解释。

我们先介绍一个有关的概念。

命题 2.1设{x n}是一个数列,则lim x n=a的充分必要条件是:n→∞{x n }的每一个子列都收敛而且有相同的极限值a .5定理 2.2(列紧性定理)√任何有界数列必有收敛子列定义 2.3设{x n}是一个数列,如果当m,n→∞时,有x m−x n→0,那么就说{x n}是一个基本数列或柯西数列。

定理 2.3柯西(Cauchy)收敛原理(完备性定理)√数列{x n}收敛的充分必要条件是,它是一个基本数列。

定理 2.4(单调收敛定理)√单调有界数列(即单调增有上界数列或单调减有下界数列)必然收敛定义 2.4 (确界)设A是一个数集,M是A的一个上(下)界。

如果对任意的ε 0,必存在6A 中的数 xε,使得 xε> M −ε(xε< M +ε),那么就称 M 为数集 A 的上(下)确界。

定理 2.5确界存在定理(不讲)由上(下)界的数集必有上(下)确界。

定义 2.5 (覆盖)设[a,b]是一个闭区间,Α={σa|a∈I}是一个区间族,其中区间σa可以是开的,闭的或者半开半闭的,而指标集I可以是有限集,也可以是无限集。

如果[a,b]中的每一点必含于区间族Α的某一区间σa之中,那么就称Α覆盖区间[a,b],或者区间[a,b]被Α覆盖。

定理 2.6(有限覆盖定理)(不讲)若闭区间[a,b]被区间族Α覆盖,则能从Α中选出有限个开区间覆盖[a,b]。

7上面我们介绍了刻画实数完备性的六个定理,它们是按这样的逻辑顺序进行的:从定理2.1 (区间套定理)出发,推出定理2.2(列紧性定理),又从定理2.2推出定理 2.3 柯西(Cauchy)收敛原理(完备性定理),又从定理 2.3推出定理 2.4(单调收敛定理),又从定理2.4推出定理2.5确界存在定理),最后,从定理 2.5推出定理2.6(有限覆盖定理)第三节可数集与不可数集3.1 映射定义 3.1设A与B是两个非空集合,如果按照一定的法则f,对于A中的每个元8x ,都存在B中的一个确定的元y与 x 相对应,那么我们称f为定义A上取值于B中的一个映射,记作y=f(x)。

y称为x在映射f下的象,对于固定的y,A中适合关系式y = f (x)的 x 的全体称为y的原象。

集A称为映射 f 的定义域, f ( A)={ f (x) | x ∈ A}称为映射f的值域,一般f(A)⊂B。

为方便起见,今后常将把从集A到f(A)⊂B的映射写成f : A → B特别,若B是一个数集,此时映射f称为泛函;若A与B都是数集,f就是通常的函数。

93.2 可数集与不可数集,集合的势定理3.1有理数集是可数集。

定理3.3可数个可数集的并是可数集。

定理3.4区间[0, 1]中的点是不可数的。

第四节直线上的点集与连续函数本节先讨论直线上的点集的基本性质,然后,在此基础上研究4.1 开集、闭集及其性质104.2开集的构造4.3点集上的连续函数,函数的一致连续性4.4函数列的一致收敛性4.1开集、闭集及其性质定义 4.1设E是直线R上的任一点集,a是直线上的任意一点,我们把直线上包含a的任一区间(α,β)称为点a的邻域;设a是E中的点,如果存在着a的一个邻域(α , β ) 整个包含于E内,则称a是E的内点;如果点集E的每一点都是它的内点,则称E 是一个开集。

定理4.1开集具有下列的性质:1)空集Φ与直线R的本身都是开集;112)任意多个开集的并是开集;3)有限多个开集的交是开集.定义 4.2设E是直线R上的任一点集,a是直线上的任意一点(不一定属于E)。

如果a的任一邻域(α,β)中含有E中不同于a的点,则称a为E的极限点(或聚点)。

定理 4.2点a是集E的极限点的充要条件是存在E中的点列{a n}(a n≠a),使lim a n=an→∞定义 4.3设E为直线上的点集,由E的所有极限点构成的集称为E的导集,记作E',称集E U E'为E的闭包,记作E。

若集E的余集E C=R\E为开集,则称E为闭集.定理4.3非空集E是闭集的充要条件是E'⊂ E定理4.4集合E为闭集的充要条件是E=E。

12定理4.5闭集具有下列基本性质1)空集Φ与全直线R是闭集;2)任意多个闭集的交是闭集;3)有限多个闭集的并是闭集.4.2 开集的构造定义4.4设G是直线R上的一个有界开集,如果开区间(α,β)满足条件:1)(α,β) ⊂G2)α ∉ G,β ∉ G则称(α,β)为开集G的一个构成区间。

定理4.6(开集的构造原理)设G为直线上的任意非空有界开集,则G可以表13示为至多可数个互不相交的构成区间之并,即G =U(αk,βk)k∈I其中I为有限的或可数的指标集.4.3 点集上的连续函数,函数的一致连续性定义在区间上的连续函数的概念几乎可以逐字逐句的推广到直线的点集上去。

定义4.5设E是直线R上的点集,f(x)是定义在E上的一个函数(即映射f : E → R ), x0是E中的任意一点。

如果对于E中任何收敛于 x0的点列{x n},都有lim f (x n ) =f (x0 )x n→x0那么称函数f(x)在点x0连续。

如果f(x)在E中每点都连续,那么称f(x)在集E上连续。

定理4.7设F是直线R上的有界闭集,f(x)是定义在F上的连续函数,则14(1) f (x)在集F上必有界,(2)并且能取得它的最大值(上确界)与最小值(下确界)。

定义4.6 设f(x)定义在点集E⊂R上,如果对于任意的ε>0,都能找到δ(ε)> 0(注意δ(ε)与点x无关),使得对于E中的任意两点x1与x2,只要x1− x2 <δ,就有f (x1)− f (x2) < ε(1.13)成立,则称函数f(x)在集E上一致连续。

定理4.8 设f(x)在有界闭集F⊂R上连续,那么f(x)在F上必一致连续。

4.4 函数列的一致收敛性定义 4.7设{f n(x)}是定义在点集E⊂R上的函数列。

如果存在E上的函数f(x),-` 15对于任意给定的ε>0,都能找到正整数N(ε),使得当n>N(ε)时,不等式f n(x)− f (x)<ε对于所有x∈E的成立,那么就称f n(x)在集E上的一致收敛于f(x)。

定理 4.9定义在点集E⊂R上的函数列{f n(x)}一致收敛于f(x)的充要条件是:对于任给的ε>0,存在正整数N(ε),使得当m,n>N(ε)时,不等式f m(x)− f n(x) < ε(1.17)对于所有x∈E的成立.定理 4.10设{f n(x)}是E上的一个连续函数列,如果在E上它一致收敛于函数 f (x),那么极限函数 f (x)也在集 E 上连续。

定理 4.11设{f n(x)}是区间[a,b]上的连续函数列,若{f n(x)}在[a,b]上一致收敛于 f (x),则极限函数 f (x)在[a,b]上可积,并且16∫b f (x)dx =lim∫bf n(x)dx (1.18)a n→∞ a或写成b b∫a[lim n→∞f n (x)]dx=lim n→∞∫a f n (x)dx第五节点集的勒贝格测度与可测函数本节将简要地介绍点集的勒贝格测度与可测函数的基本理论,它不但是建立勒贝格积分的必要准备,而且在其他的学科(如概率论与随机过程)中也经常用到。

5.1 从黎曼积分到勒贝格测度-` 17命题5.1如果f(x)在区间[a,b]上连续,那么f(x)在[a,b]上必R可积。

5.2 点集的勒贝格测度定义 5.1设G为直线上的有界开集,定义G的测度为它的一切构成区间的长度之和,也就是说,若G=U(αk,βk),其中(α,βk)是G的构成区间,则kmG =∑(βk−αk) (1.23)k定义5.2 设F为直线上的有界闭集,F⊂(a,b),则G=(a,b) \F是有界开集,定义F 的测度为18mF =(b − a)− mG (1.24)定义 5.3设E为直线上的任一有界点集,我们称所有包含E的开集的测度的下确界为集E的外测度,记作m∗E:m∗ E =inf{mG | G ⊃ E,G为开集}而把所有含于E中的闭集的测度的上确界称为集E的内侧度,记作m∗E:m∗ E =sup{mF | F⊂E, F为闭集}定义 5.4设E直线上的有界点集,若m∗E=m∗E,则称E为勒贝格可测集,简称为L可测集,它的外测度与内侧度的共同值称为E的勒贝格测度,简称为L测度,19记作mEmE = m∗ E = m∗ E定理5.1设X=(a,b)为基本集,E,E1与E2为X的子集。

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