初二数学_二次根式_知识点+练习题__详细
八年级初二数学二次根式知识点及练习题及解析
一、选择题1．5﹣x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数B ．0≤x≤5C ．x≥5D ．x≤52．下列运算错误的是（ ） A= B．=C．)216=D．)223=3．a b =--则（ ） A ．0a b +=B ．0a b -=C ．0ab =D ．220a b +=4．=a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是( )A ．3B ．13C ．2D ．535．当4x =-的值为（ ）A ．1BC ．2D ．36．如果关于x 的不等式组0,2223x mx x -⎧>⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为2x >则符合条件的所有整数m 的个数是（ ）． A ．5B ．4C ．3D ．27．下列计算正确的是（ ）A 6=± B．=C．6= D=（a≥0，b≥0）8．下列计算正确的是（ ）A=B=C4=D3=-9．下列运算正确的是（） A=B ．(28-=C12=D1=10．与根式1x x--的值相等的是（ ） A ．x -B ．2x x --C ．x --D ．x -二、填空题11．若m ＝20161-，则m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．12．把31a a-根号外的因式移入根号内，得________ 13．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.14．已知函数1x f xx，那么21f _____．15．120654010144152118+++235a b c +的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.16．下面是一个按某种规律排列的数阵：11第行325 62第行722310 11 233第行 131541732 19254第行根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）．17．14+⋅⋅⋅=的解是______．18．已知实数m 、n 、p 满足等式，则p =__________．19．=_______．20．a ，小数部分是b b -=______.三、解答题21．观察下列各式子，并回答下面问题．（1）试写出第n 个式子（用含n 的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．【答案】（1，该式子一定是二次根式，理由见解析；（215和16之间．理由见解析． 【分析】（1）依据规律可写出第n 个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；（2）将16n =代入，得出第16，再判断即可． 【详解】解：（1 该式子一定是二次根式，因为n 为正整数，2(1)0n n n n -=-≥，所以该式子一定是二次根式（215=16=，∴1516<<.15和16之间． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．22．解：设x222(35)(35)2(35)(35)x =++-++-，即235354x =++-+，x 2=10 ∴x =10．∵3535++-＞0，∴3535++-=10． 请利用上述方法，求4747++-的值． 【答案】14 【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可． 【详解】设x =47++47-，两边平方得：x 2=（47+）2+（47-）2+247?47+-， 即x 2=4+7+4﹣7+6， x 2=14 ∴x =±14．∵47++47-＞0，∴x =14． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．23．先化简，再求值：a+212a a -+，其中a ＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程．（1） 的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮（2（a ＜0）（3）原式＝a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.24．-10 【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可 【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=()212--10+．10． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．25．（1）计算：（2）先化简，再求值：(()8a a a a +--，其中14a =．【答案】（1）2）82-a ，【分析】（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）==；（2）(()8a a a a +--2228a a a =--+82a =-,当14a =时，原式1824⎫=⨯-=⎪⎭．【点睛】本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．26．已知x y ==求下列各式的值： (1)22x xy y -+； (2).y xx y+ 【答案】(1) 72;(2)8. 【分析】计算出xy=12， （1）把x 2-xy+y 2变形为（x+y ）2-3xy ，然后利用整体代入的方法计算；（2）把原式变形为2()2x y xyxy+-，然后利用整体代入的方法计算.【详解】∵x =，y ==32∴xy=12, (1)22x xy y -+ =（x+y ）2-3xy,=2132-⨯ =72; (2)y x x y +=2212()22812x y xy xy-⨯+-==.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．27．2020(1)- 【答案】1 【分析】先计算乘方，再化简二次根式求解即可． 【详解】2020(1)-=1 =1． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．28．已知x²+2xy+y²的值. 【答案】16 【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算． 本题解析： ∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据二次根式的性质得出5-x≥0，求出即可． 【详解】|5|5x x ==-=-， ∴5-x≥0， 解得：x≤5，故选D ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0，当a≤0．2．C解析：C 【分析】根据二次根式的化简、乘法、完全平方公式、平方差公式逐项判断即可得． 【详解】A =，此项正确；B 、=C 、)21516=+=+D 、)22743=-=，此项正确；故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与乘法运算，熟记运算法则是解题关键．3．C解析：C 【分析】直接利用二次根式的性质 ，将已知等式左边化简，可以得到a 与b 中至少有一个为0，进而分析得出答案即可． 【详解】解:∵a b =--， ∴a-b=-a-b ， 或b-a=-a-b∴a= -a ，或b=-b, ∴a=0,或b=0, ∴ab=0, ∴0ab =． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．4．B解析：B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x ，把y=-x 代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数，∴a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，a （x-a ）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a （y-a ）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a 只能等于0，代入等式得，所以有x=-y ， 即：y=-x ，由于x ，y ，a 是两两不同的实数， ∴x ＞0，y ＜0． 将x=-y 代入原式得： 原式=()()()()2222313x x x x x x x x +---=--+-． 故选B ． 【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a 、x 、y 的值和代入求分式的值是解此题的关键．5．A解析：A 【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】 解：原式2223232323x x x x112323x x将4x =代入得， 原式114234232211131331133331131=.故选：A. 【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．6．C解析：C 【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m ≤2的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m ≤2，得m=-3，-2或2． 【详解】 解：解不等式02x m->得x ＞m ， 解不等式223x x --<-得x ＞2， ∵不等式组解集为x ＞2， ∴m ≤2，则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2， 由m ≤2得，m=-3，-2或2．即符合条件的所有整数m 的个数是3个． 故选：C ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．7．D解析：D6=，故A 不正确；根据二次根式的除法，可直接得到2=，故B 不正确； 根据同类二次根式的性质，可知C 不正确；= （a≥0，b≥0）可知D 正确.故选：D8．B解析：B 【分析】由二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A A 错误；B =，故B 正确；C ==C 错误；D 3=，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．9．B解析：B【分析】根据二次根式的性质及运算法则依次计算各项后即可解答．【详解】选项A A 错误；选项B ，(2428-=⨯=，选项B 正确；选项C 124==，选项C 错误；选项D 1，选项D 错误．综上，符合题意的只有选项B ．故选B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及运算法则，熟练运用二次根式的性质及运算法则是解决问题的关键．10．D解析：D【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法即可.【详解】由题意可得x 是负数，所以-x x-⋅=- 故选：D .【点睛】此题考查二次根式的化简，二次根式的乘法计算法则，正确化简二次根式是解题的关键，注意题目中x 的符号是负号，这是解题的难点. 二、填空题11．4030【分析】利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可.【详解】m== m==+1，∴m3-m2-2017m+2015=m2（m ﹣1）﹣2017m+2015解析：4030【分析】利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可.【详解】mm ）， ∴m 3-m 2-2017m +2015=m 2（m ﹣1）﹣2017m +2015= ）22017）+2015=（2017+2015﹣2=4030.故答案为4030.【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.12．【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质【分析】根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】 解：∵310a-≥， ∴0a <，∴===故答案为：a ． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．13．a+3【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2所示题目（字母代表正数）翻【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2∵a ＞0+3.a =a+3. 【点睛】本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键. 14．【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.【详解】因为函数，所以当时， ．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.解析：2+【分析】根据题意可知1x =，代入原函数即可解答. 【详解】 因为函数1x f xx ，所以当1x =时， 211()2221f x ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键. 15．【解析】【分析】根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∵=∴，即．解得．【点睛】本题考查了解析：【解析】【分析】a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∴(22118=，即2222118235a b c =+++++．2222352118,2120,2540,2144,a b c ab ac bc ⎧++=⎪=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩ 解得15,4,18.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩154181080abc ∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左、.16．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n （n ≥3且n 是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．17．9【解析】【分析】设y=，由可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.【详解】设y=，则原方程变形为，∴，即，∴4y+36-4y=y(y+9)，即y2+9y-36=0，∴解析：9【解析】【分析】设()11111y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案. 【详解】设则原方程变形为 ()()()()()1111112894y y y y y y ++=+++++， ∴1111111112894y y y y y y -+-++-=+++++， 即11194y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)，即y 2+9y-36=0，∴y=-12或y=3， ∵， ∴，∴x=9，故答案为：9.【点睛】本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()11111y y y y =-++的应用. 18．5【解析】试题解析：由题可知，∴，∴，∴，①②得，，解方程组得，∴．故答案为：5.解析：5【解析】试题解析：由题可知3030m n m n -+≥⎧⎨--≥⎩， ∴3m n +=，0=，∴35200m n p m n p +--=⎧⎨--=⎩①②， ①-②得2620m n +-=，31m n +=，解方程组331m n m n +=⎧⎨+=⎩得41m n =⎧⎨=-⎩， ∴4(1)5p m n =-=--=．故答案为：5.19．【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，则．故答案为：．【点睛】此题考查的是二t =，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】t =，由算术平方根的非负性可得t ≥0，则244t =+8=+8=+81)=+6=+21)=1t ∴=．．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．20．【详解】若的整数部分为a ，小数部分为b ，∴a=1，b=，∴a -b==1．故答案为1．解析：【详解】a ，小数部分为b ，∴a =1，b 1，∴-b 1)=1．故答案为1．三、解答题21．无22．无23．无25．无26．无27．无28．无。
二次根式知识点总结及练习题大全
二次根式知识点总结及练习题大全1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（）2= （≥0）；（2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】（2）、平方法当时，①如果，则；②如果，则。
例1、比较与的大小。
例2、比较与的大小。
（3）、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例3、比较与的大小。
（4）、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例4、比较与的大小。
（5）、倒数法例5、比较与的大小。
（6）、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
例6、比较与的大小。
（7）、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①；②例7、比较与的大小。
（8）、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①；②例8、比较与的大小。
二次根式的概念和性质1．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）（1）（）2=- （）;（2）=- （）（3）（-）2=- （）;（4）（2）2=2×=1 （）2．下面的计算中，错误．．的是（）A．=±0.03 B．±=±0.07C．=0.15 D．-=-0.133．下列各式中一定成立的是（）A．=+=3+4=7 B．=-C．（-）2= D．=1-=4．（）2-=________； 5．+（-）2=________．6．[-]·-6；7．数a在数轴上的位置如图所示，化简：-│1-a│=_______．8．计算：+=_______．9．--（）2 10、-|-|11．+ 12．+ 13.二次根式的乘除练习题1、填空：（1）二次根式的乘法法则用式子表示为__________（2）二次根式的除法法则用式子表示为__________（3）把分母中的___化去，叫做分母有理化. 将式子分母有理化后等于_________ （4）成立的条件是_________（5）成立的条件是_________（6）（6）成立的条件是_________（7）化简：（8）计算：1．下列运算正确的是（）A．（）2=-5 B．（-）2=-5 C．-=5 D．=5a -2-12102．下面的计算中，正确的是（ ）A ．=0.1；B ．-=-0.03；C ．±=±13；D ．=-43．下列命题中，错误．．的是（ ） A ．如果=5，则x=5;B ．若a （a ≥0）为有理数，则是它的算术平方根C ．化简的结果是-3D ．在直角三角形中，若两条直角边分别是，2，那么斜边长为54．计算+|-11|-，正确的结果是（ ）A ．-11B ．11C ．22D ．-225．（-）2-+=________； 6．=________．7．-（2）2=__________．8．比较大小6______7．（填“>”，“＝”，“<”号）9．数a 在数轴上的位置如图所示，化简：│-a-1│-2=________．10．=________．11．计算：+++…+=______．12．如果+│b-2│=0，求以a 、b 为边长的等腰三角形的周长．1、判断题：下列运算是否正确.（ ）（1）（ ）（2）（ ）（3）（ ）（4）（ ）（5）（ ）（6）（ ）（7）（ ）（8）1、运用乘法分配律进行简单的根式运算.例1 计算 （1） （2）(1) (2)(3)2、比较两个实数的大小.例2 比较下列两个数的大小（1）与（2）与1、与2、与3、与4、与3、二次根式的乘除混合运算.（1）（2）（1）（2）4、运用分母有理化进行计算.例3 化简分析：当分母里二次根式的被开方数都相差1时，如果分母有理化后则变为1或-1，就可将原式变为不含分母的二次根式.思考题：计算二次根式的加减1．若与是同类二次根式，则a=_______，b=_______．2．在，，，中能与进行加减合并的根式有_________．3．计算： +=_________．4．已知长方形的长和宽分别为，，则它的周长是________．5．在实数范围内分解因式：a2-4=_________．6． +与+大小关系是_________．7．下列根式中与其他三个不同类的是（）A． B． C． D．8．下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（）A．与 B．与 C．与2 D．18与9．下列根式合并过程正确的是（）A．2--=2 B．a+b=a+bC．5+=a+ D． -=10．计算： ++-的值是（）A． +5 B． +8 C．6+ D．12+11．若5+=6，则y值为（）A． B．1 C．2 D．312．一个等腰三角形的两边分别为2，3，则这个三角形的周长为（）A．3+4 B．6+2C．6+4 D．3+4或6+213．计算：（1）2+3 （2）5+-7（3）++-+ （4）+6a-3a214．如果△ABC的三边a=7，b=4，c=2，求周长P．巩固练习1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.2. 下面说法正确的是（）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B.与是同类二次根式C.与不是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式3. 与不是同类二次根式的是（）A. B. C. D.4. 下列根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.★5. 若，则化简的结果是（）A. B. C. 3 D. -3★6. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（）A. B. C. 1 D. 37. 下列式子中正确的是（）A. B.C. D.8. 在中，与是同类二次根式的是。
初二数学二次根式知识点练习题详细
二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即；2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：同类二次根式二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
八年级初二数学 二次根式知识点-+典型题及答案
一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A =B =C =D =2． ） A ．－3 B ．3或－3 C ．9 D ．33．m 能取的最小整数值是（ ） A ．m = 0 B ．m = 1 C ．m = 2 D ．m = 34．x 的取值范围是（ ）A ．0x <B ．0xC ．2xD ．2x5．=a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是( )A ．3B ．13C ．2D ．536．有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1B ．x≠2C ．x≥1且x ＝2D ．.x≥-1且x ≠27．化简二次根式 ）A B C D8．已知实数x ，y 满足（x y ）=2008，则3x 2-2y 2+3x -3y -2007的值为（ ） A ．-2008 B ．2008C ．-1D ．19．已知：，，则a 与b 的关系是（ ） A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．平方相等10．已知实数x 、y 满足2y =，则yx 值是（ ）A ．﹣2B ．4C ．﹣4D ．无法确定二、填空题11．能力拓展：1A =2A =；3:A =；4A =________．…n A ：________．()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空． ()2比较大小1A 和2A∵32+________21+∴32+________21+ ∴32-________21-()3同理，我们可以比较出以下代数式的大小：43-________32-；76-________54-；1n n +-________1n n --12．已知()230m m --≤，若整数a 满足52m a +=，则a =__________． 13．把31a a-根号外的因式移入根号内，得________ 14．已知a ＝﹣73+，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 15．若x +y =5+3，xy =15-3，则x+y=_______．16．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.17．11882． 18．若0xy >，则二次根式2yx -________． 19．已知4a 2(3)|2|a a +--=_____．20．已知x 51-，y 51+，则x 2＋xy ＋y 2的值为______． 三、解答题21．计算：（1）8322+- （2）()()()215225382-+--+⨯． 【答案】(1)52 (2)0 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可. 【详解】（1）8322+- =22422+- =52 （2）()()()215225382-+--+⨯=221(5)23222--+⨯ =5-4-3+2 =022．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如53，231+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： (一)53533333⨯==⨯； (二)231)=3131(31)(31)-=-++-（； (三) 22(3)1(31)(31)=3131313131-+-===-++++.以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)请用不同的方法化简5+3： ①参照(二)式化简5+3＝__________. ②参照(三)式化简5+3＝_____________ (2)+315+37+599+97+【答案】见解析.【分析】（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果； （2）原式各项分母有理化，计算即可. 【详解】 解:(1)①;②; (2)原式故答案为:(1)①;②【点睛】此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择合适的方法解题.23．观察下列等式： 22121(21)(21)==++-；323232(32)(32)-==++-434343(43)(43)-==++- 回答下列问题：（12322+（2）计算：12+23+34+99100+ 【答案】（12322（2）9 【分析】（1）根据已知的3111n n n n=+-++n=22代入即可求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可． 【详解】解：（1=（2+99+=1100++-=1 =10-1 =9.24．【分析】先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 【详解】． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，在进行此类运算时，先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．25．观察下列一组等式，然后解答后面的问题1)1=，1=，1=，1=⋯⋯（1）观察以上规律，请写出第n 个等式： (n 为正整数）． （2（3【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小. 【详解】解：（1）根据题意得：第n 个等式为1=；故答案为1=；（2）原式111019==-=；（3-==，<∴>．【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.26．计算（1（2）21)-【答案】（1）4；（2）3+ 【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）解：原式=4=+4=-（2）解：原式()22161=---63=-+3=+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．27．先化简，再求值：221()a ba b a b b a-÷-+-，其中a =2b =-【答案】1a b -+，12-． 【分析】先把分式进行化简，得到最简分式，然后把a 、b 的值代入计算，即可得到答案． 【详解】 解：原式1()()a b a b aa b a b b a b b--=⨯-⨯+-+()()a b a b a b b a b -=--++()b bb a =-+1a b=-+，当a =2b =原式12==-．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．28．已知长方形的长a =b =. (1)求长方形的周长；(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．【答案】（1）2）长方形的周长大. 【解析】试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可． 试题解析：(1)()11222223a b ⎛+=⨯=⨯⨯⨯=⨯= ⎝∴长方形的周长为 .(2)114.23=⨯⨯=正方形的面积也为4. 2.= 周长为：428.⨯=8.>∴长方形的周长大于正方形的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据二次根式加法法则，二次根式的乘法法则计算后判断即可得到答案.【详解】=3 =，∴A、C、D均错误，B正确，故选：B.【点睛】此题考查二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，熟记计算法则是正确解题的关键. 2．D解析：D【分析】根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】|3|3=．故选：D．【点睛】(0)0(0)(0)a aa aa a＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩．3．B解析：B【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【详解】310m-≥，解得13m≥，所以，m能取的最小整数值是1．故选：B．本题考查了二次根式的意义和性质，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．4．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），列出不等式求解即可得到答案；【详解】即：20x-≥，解得：2x，故选：D；【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义即被开方数≥0是解题的关键. 5．B解析：B【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案．【详解】由于根号下的数要是非负数，∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，所以a只能等于0，代入等式得，所以有x=-y，即：y=-x，由于x，y，a是两两不同的实数，∴x＞0，y＜0．将x=-y代入原式得：原式=()()()()2222313x x x xx x x x+---=--+-．故选B．【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键．解析：D 【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案． 【详解】有意义，则x+1≥0且x-2≠0， 解得：x≥-1且x≠2． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．7．B解析：B 【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可 【详解】2202a a aa a +-∴+<∴<-a ∴===故选B【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．8．D解析：D 【解析】由（x y ）=2008，可知将方程中的x,y 对换位置，关系式不变，那么说明x=y是方程的一个解由此可以解得，或者 则3x 2-2y 2+3x -3y -2007=1， 故选D.9．C解析：C【解析】 因为1a b ⨯==,故选C. 10．C解析：C【分析】依据二次根式中的被开方数是非负数求得x 的值，然后可得到y 的值，最后代入计算即可．【详解】∵实数x 、y 满足2y =，∴x ＝2，y ＝﹣2，∴yx ＝22-⨯＝-4．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 二、填空题11．(1)、；(2);(3)【解析】【分析】（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等解析：(1)=；(2),,><<;(3) ,,<<< 【解析】【分析】（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等式仍成立，求得>1）的结论解答；（3）利用（2）的结论进行填空.【详解】解：（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以=，（2>1>>，<<（3）由（1）、（2<，故答案为：=；(2),,><<;(3),,<<< 【点睛】 主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.12．【分析】先根据确定m 的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a 的取值范围．【详解】解：为整数为故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用解析：5【分析】)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围．【详解】 解：()230m m --≤23m ∴≤≤m a +=a m ∴=32a ∴≤≤7528<<46a ∴<<a 为整数a ∴为5故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出围是解此题的关键．13．【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质【分析】根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】解：∵310a -≥， ∴0a <，∴===．故答案为：a【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．14．-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可. 【详解】解：当a＝－＝－＝－3时，原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(解析：-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.【详解】－3时，解：当a原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3＝7a－7－7a+3＝－4．故答案为：－4．【点睛】本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.15．8+2【解析】根据配方法，由完全平方公式可知x+y==（）2-2，然后把+=+，=-整体代入可得原式=（+）2-2（-）=5+3+2-2+2=8+2.故答案为：8+2.解析：【解析】根据配方法，由完全平方公式可知+=+-）2x+y=2222整体代入可得原式=2-2）故答案为：16．【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第解析：【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4，∴(5，4)与(9，4)故答案为17．【解析】【详解】根据二次根式的性质和二次根式的化简，可知==.故答案为.【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.解析：2【解析】【详解】.22.【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.18．－【分析】首先判断出x，y的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：∵，且有意义，∴，∴．故答案为．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是 解析：【分析】首先判断出x ，y 的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：∵0xy > ∴00x y ＜，＜，∴x ==．故答案为．【点睛】 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．即(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩=（a ≥0，b >0）． 19．-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∵,∴a+3<0,2-a>0,∴-a-3-2+a=-5，故答案为：-5.【点睛】此解析：-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∵4a ,∴a+3<0,2-a>0,|2|a -=-a-3-2+a=-5，故答案为：-5.【点睛】此题考查二次根式的化简，绝对值的化简，整式的加减法计算法则，正确化简代数式是解题的关键.20．4【详解】根据完全平方公式可得：原式=－xy==5－1=4．解析：4【详解】根据完全平方公式可得：原式=2()x y +－xy=251515151)222=5－1=4． 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
初二数学二次根式基础练习和常考题与简单题(含解析)
初二数学二次根式基础练习和常考题与简单题（含解析）一•选择题（共7小题）1 •若式子.有意义，则x的取值范围为（）x-3A. x>2B. X M3C. x> 2 或X M3D. x>2 且X M32 •下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A.三B.产C.上D.3•如果■、. ’•二；,那么X取值范围是（）A. X<2B. x v2C. X>2D. x>24. 若1v x v 2,则|—卜：「的值为（）A. 2X- 4B.- 2C. 4- 2XD. 25. 下列各式计算正确的是（）A.匚+ 二二二B. 4 二-3 二=1C. 2 二X 3 二=6 二D. =十二=36. 若.T订是正整数，最小的整数门是（）A. 6B. 3C. 48D. 27. 下列根式中，不能与=合并的是（）二.填空题（共7小题）8. 计算"•'的结果是—.V39. _______________________________________________________ 三角形的三边长分别为3、m、5,化简｛（卜™）'-心旷对星= _____________________ .10 .若实数a、b、c在数轴的位置，如图所示，则化简：.ii .- [--= ------------ . - -11. __________________________________________________ 若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a= _____________________________ .第2页(共24页)12. 计算：（匚+1）（二-1）= ______13 .已知x、y都是实数，且y= •- 1-' +4，则y X= ____解答题(共26小题) 计算：—_.计算：(占-1)(弋二+1) — (— ) 2+| 1 - ：| —( n- 2) °+七.32 - - 先化简，再求值：-亠？亠-亠，其中a=二+1. ,-1 丁 1计算：一^+「(「- _) + -.V2-1当x=wL''」时，求代数式x 2+5x - 6的值. 化简求值：：「'七，求歸的值.已知a ， b , c 在数轴上如图所示，化简:“丁 - ^+卜，+ . I. I| b0 c-J ------------- 1 ----- 1—>计算3- 9.；.二+3 =(~+不)+ (九上-7)计算：匚+ (- 2013) °-(石)-1+| - 3|二二-」x r +.三.先化简，再求值：(「一+「)宁「，其中a=^+1.aT a 2-2a+La-1已知 a= (*) -1，，c= (2014- n)d=|1-走|，15. 16. 17.18. 19. 20. 21.aI22. (1) (2)23.(1) (2)24. 25.(1) (2)26. 27.14.如果厂〔+ . . — =0,那么第2页(共24页)化简这四个数；把这四个数，通过适当运算后使得结果为2.请列式并写出运算过程.先化简：(2x+1) 2+ (x+2) (x- 2) - 4x (x+1)，再求值，其中x=-^p-.£先化简，再求值，其中■■- ;.x+2 x+228•若a 、b 为实数，且b 二•「•+4,求a+b 的值.a+729•计算：（二―二）2-（二+ 二）2. 30. 计算: (1)4 三一叨汁4 .：(2) (- 2.r )J(〒 +3 了 - J) 31. 计算:(1)4- ■ . : - I(2)]汁.| T _ ： I ' -•-]32. 计算：(-3) °- =+| 1 -二|+ -.V3+V236. 计算与化简（1），二1_ !一 （2）_ 「 _ .37. （1） 一个正数的平方根是2a - 3与5 -a ,求这个正数.（2）已知x 、y 都是实数，且■ ■-> ■-,求y 的值.38. 若x ，y ，a ，b 满足关系式〒-+ =丄;，二〔丨心 •，试求x ， y 的值.39. 已知a, b 为等腰三角形的两条边长，且 a ，b 满足b=「+仁】】+4，求此 三角形的周长. 40.已知 a , b , c ABC 的三边长，且（ =+ ） 2=3 （甘二二+!汇+ ■）,试说明这个三角形是什么三角形.42•计算:（"-1）（甘.:■+〔）—（—一） 2+| 1 -计—（冗―2） 0+ ■:. 33.先化简，，其中x=' ,34.已知：._汁1「.二，工.41.计算:343• （1）计算：Tx - 4X ■ X（1- "） °;2 k2 k2 ’___ （2）先化简，再求值：（_:_- +「）宁，其中a, b满足-■ +|ba2-2ab+ b2a2-ab-1 =°.244•先化简，再求值：---------- ----- ，其中a= =+1.a2-l a-145 .计算：一+ （二-二）+ 匚.V2~l46•计算：5 +•不-「X ；+.〒- =初二数学二次根式基础练习和常考题与简单题（含解析）参考答案与试题解析一•选择题（共7小题）1. （2016?乐亭县一模）若式子：：有意义，则x的取值范围为（）x-3A. x>2B. X M3C. x> 2 或X M3D. x>2 且X M3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0,就可以求解. 【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x-2>0且x- 3M 0,解得：X>2且X M 3.故选D.【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式的意义. 考查的知识点为：分式有意义，分母不为0; 二次根式的被开方数是非负数.2. （2015?锦州）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A、 B.三C. - D.【分析】A、B选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式.【解答】解：A、不是最简二次根式，故本选项错误；B、不是最简二次根式，故本选项错误；C、不是最简二次根式，故本选项错误；D、是最简二次根式，故本选项正确；故选D.【点评】本题考查了对最简二次根式定义的应用，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幕的指数等于或大于2，也不是最简二次根式.3. （2015?维坊模拟）如果.，那么x取值范围是（）A. x<2B. x v2C. x>2D. x>2【分析】根据二次根式的被开方数是一个》0的数，可得不等式，解即可.【解答】解:T」=2- x,x—2w 0,解得x<2.故选A.【点评】本题考查了二次根式的化简与性质.解题的关键是要注意被开方数的取值范围.4. （2016?呼伦贝尔）若1v x v2,则.■.. 的值为（）A. 2x —4B.—2C. 4—2xD. 2【分析】已知1v x v2,可判断x —3v0, x—1>0,根据绝对值，二次根式的性质解答. 【解答】解：••• 1vxv 2,•- x—3v 0, x —1 >0, 原式=|x-3|+ :：1'=|x—3|+| x—1|=3 —x+x —1=2.故选D.【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a>0）的代数式叫做二次根式.当a>0时，■■表示a的算术平方根；当a=0时，=0；当a小于0时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）.2、性质：「=| a| .5. （2015?潜江）下列各式计算正确的是（）A.匚+ 二二二B. 4 二—3 二=1C. 2 7x 3 二=6 二D. =* 二=3【分析】分别根据二次根式有关的运算法则，化简分析得出即可.【解答】解：A.好［好二，无法计算，故此选项错误，B4.；t- 3化二「；，故此选项错误，C.2二x 3二=6X 3=18，故此选项错误,故选D.【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键.6. （2015?安徽模拟）若"E-是正整数，最小的整数门是（）A. 6B. 3C. 48D. 2【分析】先将所给二次根式化为最简二次根式，然后再判断n的最小正整数值.【解答】解：.冇=4帀，由于.冇是正整数，所以n的最小正整数值是3, 故选B.【点评】此题考查二次根式的定义，解答此题的关键是能够正确的对二次根式进行化简.7. （2015?凉山州）下列根式中，不能与二合并的是（）A. B ；C , D--【分析】将各式化为最简二次根式即可得到结果.【解答】解：A、；-2_，本选项不合题意；D、」；二；'「，本选项不合题意;故选C.【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键.二•填空题（共7小题）8. （2015?南京）计算一的结果是5 .【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可.【解答】解：——-=;莎X -=5.V3故答案为：5.【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键.9. （2016?山西模拟）三角形的三边长分别为3、m、5，化简辰费-皿乔= 2m-10 .【分析】先利用三角形的三边关系求出m的取值范围，再化简求解即可.【解答】解：•••三角形的三边长分别为3、m、5，二2v m v8，•••-：_,「「；=m- 2-（8-m）=2m- 10.故答案为：2m- 10.【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简及三角形三边关系，解题的关键是熟记三角形的三边关系.故答案为：-a- b.【点评】正确地根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断.11. （2016?山西模拟）若二次根式沁…-是最简二次根式，则最小的正整数a=2 .【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.【解答】解：二次根式/.；.小是最简二次根式，则最小的正整数a=2, 故答案为：2.【点评】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个10（2016春？惠山区期末）若实数a、b、c在数轴的位置，如图所示，贝U化简：.,| ■-〔-一= -a-b . - »【分析】先根据数轴上各点的位置判断出a，b的符号及a+c与b-c的符号，再进行计算即可.【解答】解：由数轴可知，c v b v0v a, |a| v|c|，••• a+c v 0，b- c>0，•原式=-（a+c）-（b - c）= - a - b.条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.12. （2014?畐州）计算：（「+1）（ _- 1）= 1 .【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.就可以用平方差公式计算.结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）.【解答】解：（匚+1）（二-1）= ：「故答案为：1.【点评】本题应用了平方差公式，使计算比利用多项式乘法法则要简单.13. （2014?苏州模拟）已知x、y都是实数，且y= J 垃-3+V3-X+4，则y x= 64【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值代入y x进行计算即可.【解答】解:Ty=.. -<+4，解得x=3，.y=4，••• y x=43=64. 故答案为：64.【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件及有理数的乘方，能根据二次根式有意义的条件求出x的值是解答此题的关键.14. （2015春？泰兴市期末）如果除\」+ ==0,那么【分析】先由非负数的性质求得a, b的值，再代入原式化简计算可得答案.【解答】解：•••化-+『—=0,而心0, 》0;• a=1, b=2•原式=1+ _=1+ 7.故本题答案为：1+ ".【点评】本题考查了二次根式的化简，还利用了非负数的性质：若两个非负数的和为0,则这两个数均为0.三.解答题（共26小题）15. （2016?德州校级自主招生）计算：「.丄.-【分析】先根据二次根式的乘除法法则得到原式=二-- 二+2二然后利用二次根式的性质化简后合并即可.【解答】解：原式=山-：二+2 7=4 —空并+2 ■■=4+聲汇【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算.16. （2014?张家界）计算：（■—1）（，+1）-（-［）—2+| 1 — : —（n—2）0+匚.【分析】根据零指数幕、负整数指数幕和平方差公式得到原式=5 —1 —9+匚—1-1+2匚，然后合并即可.【解答】解：原式=5 - 1-9+匚-1 - 1+2 -=-7+3 匚.【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式， 再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕、负整数指数幕.通分和约分，本题难度不大.【分析】先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并. 【解答】解：原式=匚+1+3 - 3匚+匚【点评】本题考查了二次根式的混合运算， 解答本题的关键是掌握二次根式的化 简和乘法法则.17. （2016?安徽三模）先化简，再求值:2-T 亠-"，其中 a=「+1.【分析】首先把‘ 2节寸1写成 泌'，然后约去公因式（a+1），再与后一项式子进行通分化简，最后代值计算. 【解答】解: oa +2N +1 aa 2-l 蔦孑= ___ a_=a+l _ n二-I--I【点评】本题主要考查二次根式的化简求值的知识点, 解答本题的关键是分式的18. （2015?闵行区二模）计算:V2-1卜二（二-二）+ 匚.19. （2015?湖北模拟）当x 二匸「时，求代数式X 2+5X -6的值.【分析】可直接代入求值. 【解答】解：当x 二匸〕时，2x +5x - 6=（L - ） 2+5 （也■■）- 6 =6 - 2 "+5 - - 5- 6 =2%「! ■.【点评】主要考查二次根式的混合运算，要掌握好运算顺序及各运算律.【分析】本题需先对要求的式子和已知条件进行化简，再把所得的结果代入即可 求出答案. ：(a+b) (d~b)3(a+b)-+1; b= \「，./-b '=(血+1?_(竝_¥=2人卜 ::知条件进行化简是本题的关键.21 . （ 2016春？日照期中）已知a ，b ，c 在数轴上如图所示，化简： --I - - -： :，-.a b0 ciiIi =20. （2016春？潮南区期中）化简求值:2 k 2 求-的值.【解答】解:【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值, 在解题时要能对要求的式子和已3a+3b【分析】根据数轴abc的位置推出a+bv 0，c- a>0，b+cv 0，根据二次根式的性质和绝对值进行化简得出-a+a+b+c- a- b- c，再合并即可.【解答】解：•••从数轴可知：a v b v O v c,••• a+b v0, c- a>0, b+c v0,••• r—|a+b|+ +| b+c|=-a+a+b+c - a - b - c =-a.【点评】本题考查了二次根式的性质，实数、数轴的应用，关键是能得出-a+a+b+c-a- b - c.22. (2014春？汉阳区期末)计算(1) 3 . :■: - 9.丄+3 . .:■:(2)(三+不)+ (九上一7)【分析】(1)首先对每一项二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可，(2)首先对每一项二次根式进行化简，然后去掉括号，进行合并同类二次根式即可.【解答】解：(1)原式=12二-3二+6二=15 「；，(2)原式=4 二+2 二+2 二--=6 '+V.:;.【点评】本题主要考查二次根式的化简，合并同类二次根式，关键在于正确的化简二次根式，正确的去括号，认真的进行计算.23. (2014春？兴业县期末)计算：(1)匚+ (-2013) 0-( 1 ) -1+| - 3|(2).丘十二-.1 x y I .•：+. =.【分析】(1)根据零指数幕和负整数指数幕的意义得到原式=3+1 - 2+3,然后进行加减运算；(2)根据二次根式的乘除法则运算.【解答】解：（1）原式=3+1 - 2+3=5；（2）原式=…： 1：； -'一.•. i _+2訂」=4 —.卜+2”;.扌叭 =4+ *（i .【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式， 再进 行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕和负整数指 数幕.24. （2016?仙游县校级模拟）先化简，再求值：（二+）- 一，其中旷1 a -2a+la_1a= T +1.【分析】利用通分、平方差公式等将原式化简为厶，代入a 的值即可得出结论. 【解答】解：原式=（止+ 「 ）^■，丹（a -l ） 2 ^-1=6+1）（旷1）+1 ? aT: ?，_ a=..当a=二+1时，原式=丄=二！a-l 3【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将原式化简成-.本题属a -l于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原代数式进行化简，再代入数据 求值是关键.（1）化简这四个数;（2）把这四个数，通过适当运算后使得结果为 2.请列式并写出运算过程.25. （2015?杭州模拟）已知a=（）c= (2014— n) 0, d=| 1 — "I ，【分析】（1）根据零指数幕和负整数指数幕和分母有理化求解;(2)可列式子为a+b-3c-d，然后把a b、c、d的值代入计算.【解答】解：(1)a=d)-1=3, b= - =匚+1, c=(2014-n °=1, d=| 1 —匚| =匚3 V2-1-1,(2) a+b - 3c- d=3+ 匚+1 - 3X 1 -匚+1=2.【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕和负整数指数幕.26. (2014?焦作一模)先化简：(2x+1) 2+ (x+2) (x-2)- 4x (x+1)，再求值, 其中* -.2【分析】根据整式的运算法则将式子进行化简，再代值计算.【解答】解：原式=4X+4x+1+x2- 4 - 4x2- 4x=«- 3,当厂时,【点评】本题不是很难，但是在合并同类项时要仔细.27. (2010?莱芜)先化简，再求值：二；:'，其中弓.孟* u 矗T £【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值.本题注意x-2看作一个整体.【解答】解：原式=三'，:，一—…x+2 x+2=X2-16X X+2.■ - '■ ■:=::■: - ■ ■:-=■ ■:=-(x+4),当时，原式= 一■■=_■ = :■:.【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解; 第15页(共24页)除法要统一为乘法运算.28. （2016春？澄城县期末）若a、b为实数，且b二-二+4,求a+b的值.【分析】根据二次根式有意义的条件列出方程，分别求出a、b的值，计算即可. 【解答】解：由题意得，a2- 1 >0, 1-a2>0, 解得，a=± 1，则b=4，••• a+b=3或5.【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键.29. （2016春？闵行区期末）计算：（「- -）2-（「+ _）2.【分析】先进行完全平方公式的运算，然后合并.【解答】解：原式=3 - 2 7+2 - 3 -2「- 2=-4 '■.【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握完全平方公式以及二次根式的合并.30. （2016春?定州市期中）计算：（1） 4 ~+ . ■-口- +4 ■:（2）（- 2 .h） J （于+3」-7）【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算. 【解答】解：（1）原式=4 ~+3 :-2 ~+4 -=7 +2 ：;（2）原式=4X 12-（5 二+ 二-4 二）第仃页（共24页）=48宁（2 二）=8【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式， 再进 行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.31. （2015春?黔南州期末）计算：（“ ":•…ii - 〔 •丄:（2） 「汁「「T 一 〕 「一— 【分析】（1）先化简，再进一步去掉括号计算即可；（2）利用二次根式的性质化简，平方差公式计算，再进一步合并即可.【解答】解：（1）原式=2「+• - + 7 2 4=3 一-二 4（2）原式=3 - 1 - 3 - 1+ 二+1='：-1.【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算.【解答】解：:::- ::=1 - 3 二 + 匚-1 +=-3 ■+ ■:+ ■— ■:,=-2 =、.【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及绝对值的性质， 在进行此类运 32. （2011?上海）计算: (-3) 0- =+| 1 -匚|+ 1V3+\/2【分析】观察，可以首先去绝对值以及二次根式化简,再合并同类二次根式即可.算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算.其中 x= , y=27. 2【分析】首先对二次根式进行化简，然后去括号、合并二次根式即可化简，然后 把x , y 的值代入求解.【解答】解：原式=（6.「+3 7T ） ；+6.「）=9 二—6 二当 x= , y=27 时, 2=---【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对二次根式进行化简是关键.【分析】本题需先对a 的值和要求的式子进行化简，然后把a 的值代入化简以后 的式子即可求出结果.a v 1，33. （2015春？封开县期中）先化简，再求值 丁34. （2003?济南）已知:)-第仃页（共24页）=—2 —:.【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解题时要能灵活应用二次根式化简的方法是本题的关键.35. （2015秋？哈尔滨校级月考）计算】【分析】把二次根式的被开方数相除，再根据二次根式的性质开出来即可.【解答】解：原式=二壯 b=2a.【点评】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除的应用，主要考查学生的 计算和化简能力.36. （2012?深圳模拟）计算与化简（1） 乙〉］.厂：（2） -「儿【分析】（1）先化简二次根式，再进行计算即可;（2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可.=「 2:：;2 一岳•(2) 原式=2a 2 =+3a?5a 二x 3a 二 2 -3 一、 【解答】解：（1）原式=（(2)根据二次根式的被开方数是非负数，列出关于x的不等式组，然后解得x值，从而求得y值；最后将它们代入所求的代数式求值即可.【解答】解：(1)设该正数为x.则由题可知2a- 3+5 - a=0,解得a二—2,所以2a- 3=- 7,所以x=49,即所求的正数是49;(2)根据题意，得x_3^0解得x=3，••• y=4；.•. y x=43=64，即y x=64.【点评】此题主要考查了平方根的性质，注意如果一个数的平方等于A,那么这个数就叫做A的平方根，也叫做A的二次方根.一个正数有正、负两个平方根，他们互相为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根.38. 若x, y, a, b满足关系式心T+ 一-巳—m x "-:,试求x, y的值.【分析】由a+b- 2014》0, 2014-( a+b)>0，所以a+b=2014.再利用两个根式的和等于0,即每一个被开方数等于0.【解答】解：依题意，得a+b- 2014》0, 2014-( a+b)》0，解得a+b=2014.所以二一■:+、.U =0,3x- 6=0, 2y- 7=0,x=2, y=.【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念：式子-(a》0)叫二次根式.性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0,这几个非负数都为0.39. (2014春？黄梅县校级期中)已知a, b为等腰三角形的两条边长，且a, b 第20页(共24页)满足b= - 1+ ：一+4，求此二角形的周长.【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得a的值，继而得出b的值，然后代入运算即可.【解答】解:•••.—,、.：有意义，--a=3,b=4,当a为腰时，三角形的周长为：3+3+4=10;当b为腰时，三角形的周长为：4+4+3=11.【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，注意掌握二次根式有意义：被开方数为非负数.40. （2013秋？川汇区校级月考）已知a, b,c ABC的三边长，且（：+幕+ 一）2=3 （V込初二辰），试说明这个三角形是什么三角形.【分析】先利用完全平方公式展开后合并得到a+b+c-.亍-丁- =o,再利用配方法得到（1-”；.北）2+ （”；.北-）2+ （-I - ）2=0,然后根据非负数的性质得到灵-血=0,血-讥=0，灵-叭=0，所以a=b=c.【解答】解：•（空和+心+ ）2=3 （叮'），a+b+c+2、匕：+2 了：+2 丨—3 .-1- 3 : - 3 ：'L ；=0，a+b+c- 1’- 心：- 门：=0，2a+2b+2c- 2 -1 ■ - 2 -■ —2门：=0，••（ 1-“：「.；）2+ （'，-吋二）2+ （1-悩二）2=0,•••灵-麻=0，亦-讥=0，讥-讥=0,• a=b=c,•这个三角形为等边三角形.【点评】本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力.41. （2016?德州校级自主招生）计算- "-''::.=4—遽 ci +2' -,y 1;'.=4+*（匚. 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把各 二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算.42. （2014?张家界）计算：（山—1） （*二+1）-（-二）2+| 1-灯:—（ n — 2） 30+ ".【分析】根据零指数幕、负整数指数幕和平方差公式得到原式 =5 — 1 — 9+匚—1 —1+2匚，然后合并即可.【解答】解：原式=5- 1 — 9+ ~— 1 — 1+2 -=—7+3 _.【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕、负整 数指数幕. 43. （2014?荆门）（1）计算： 丁X 〒-4X X （ 1—二）°;2.2 k 2 ________________________________________（2）先化简，再求值：（”+「）- ，其中a ，b 满足 +|b a -2ab+b 2 "a a -ab—二 | =0. 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幕的意义得到原式X - X 仁2匚-.，然后合并即可； 4（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算， 再计算括号内的运算,【分析】先根据二次根式的乘除法法则得到原式 ：+2 ，然后利 用二次根式的性质化简后合并即可.然后约分得到原式=「，再根据非负数的性质得到a+仁0, b—二=0，解得a=—1，b b=二，然后把a和b的值代入计算即可.【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式, 再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕、非负 数的性质和分式的化简求值.44. （2016?安徽三模）先化简，再求值：-亠‘亠-:，其中a=「+1.a 2-l H2 2 【分析】首先把自+严+1写成 £辛） 然后约去公因式（a+1）,再与后一 项式子进行通分化简，最后代值计算.2【解答】解：亠_'一 _ ,32-1 旷 1= ____ a：.I ； U.：...=曰+1 a=2匚-匚-4X - 4(2)原式=[："''- (a-b)=(丁一： — ')?a-b a-b=\- ?oA-_i-b-」L ： ? I.:a ] ?3(自-b)a-b b 2 =- 一，T .丨 +| b - ；|=0,••• a+1=0, b - =0,解得 a= - 1, b= ■:,当 a=- 1,【解答】解：（1）原式= b=「时,【点评】本题主要考查二次根式的化简求值的知识点，解答本题的关键是分式的 通分和约分，本题难度不大. 45. （2015?闵行区二模）计算： 一二（二-7） + 匚. V2-1 【分析】先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并. 【解答】解：原式=匚+1+3-3匚+匚 =4 -'：. 【点评】本题考查了二次根式的混合运算， 解答本题的关键是掌握二次根式的化 简和乘法法则. Y5 2 V4 Y5 【分析】先二次根式化为最简二次根和根据二次根式的乘除法得到原式 =：+ ：- 丨+3灯.宀"=2 - - 1+3,然后合并即可.=2 _- 1+3=2 _+2.【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式, 再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算.,31且【点评】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简是解此题的关键.37. （2009春?岳阳校级期末）（1） 一个正数的平方根是2a - 3与5 - a ,求这个 正数. （2）已知x 、y 都是实数，且 八门，求y "的值.【分析】（1）因为一个正数x 的平方根有两个，且互为相反数，由此即可得到关 于a 方程，解方程即可得a 的值，然后代入求x ；46. （2015春？石林县期末）计算: V4 5【解答】/。
八年级数学下册《二次根式》知识点+解题技巧+章节测试(含答案)
五、求值：（每小题 7 分，共 14 分）
3 2
3 2
x3 xy2
25．已知 x＝
，y＝
，求
的值．
3 2
3 2
x4 y 2x3y2 x2 y3
x
2x x2 a2
1
26．当 x＝1－ 2 时， 求
＋
＋
的值．
x2 a2 x x2 a2 x2 x x2 a2
x2 a2
六、解答题：（共 20 分）
＝______．
ab c2d 2
1
1
12．比较大小：－ _________－ ．
27
43
13．化简：(7－5
2
2018
) ·(－7－5
2
2017
) ＝______________．
14．若
x 1＋
y
3
2
2
＝0，则(x－1) ＋(y＋3) ＝____________．
15．x，y 分别为 8－ 11 的整数部分和小数部分，则 2xy－y2＝____________．
四、巧配方，独占鳌头
例 4. 计算 分析：因为
都有意义，所以
所以
所以
解：原式
五、整体代入，别开生面
例 5. 已知
，求下列各式的值。
（1）
（2）
分析：根据 x、y 值的特点，可以求得
，如果能将所求的值的
式子变形为关于
或 xy 的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。
解：因为 所以 （1）
（2） （也可以将
1
32
2、【提示】
＝
＝－（ 3 ＋2）．【答案】×．
32 34
3、【提示】 (x 1)2 ＝|x－1|， ( x 1)2 ＝x－1（x≥1）．两式相等，必须 x≥1．但等式左边 x 可取任
八年级初二数学二次根式知识点-+典型题及解析
一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A 3=±B 2=C ．2=D 2=2．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A B C D3．下列运算正确的是（ ）A 2=B 5=-C 2=D 012=4．已知2a =，2b =的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x≠2 B ．x >-2 C ．x <-2 D ．x≠-26．下列各式是二次根式的是（ ）A B C D 7．下列式子一定是二次根式的是 ( )A B C D8．有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1B ．x≠2C ．x≥1且x ＝2D ．.x≥-1且x ≠29．已知12x =⋅，n 是大于1的自然数，那么(nx 的值是（ ）. A ．12007 B ．12007- C ．()112007n - D ．()112007n -- 10．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A B C D 二、填空题11．已知x =()21142221x x x x -⎛⎫+⋅= ⎪-+-⎝⎭_________12．设a ﹣b=2b ﹣c=2a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____．13．已知a ＝﹣73+，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 14．把1m m-根号外的因式移到根号内，得_____________. 15．已知整数x ，y 满足20172019y x x =+--，则y =__________． 16．将一组数2，2，6，22，10，…，251按图中的方法排列：若2的位置记为（2，3），7的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______．17．25523y x x =--，则2xy 的值为__________．18．已知x 51-，y 51+，则x 2＋xy ＋y 2的值为______． 19．观察分析下列数据：0，36，-3，231532的规律得到第10个数据应是__________．20．4x -x 的取值范围是_____三、解答题21．计算：（18322（2）)((25225382+-+． 【答案】(1)52【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可.【详解】（18322=22422=52（2）)((25225382+--+=22(5)23222--+ =5-4-3+2=022．阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式a =，)111=11互为有理化因式．（1）1的有理化因式是；（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：==24====进行分母有理化．（3）利用所需知识判断：若a=，2b=ab，的关系是．（4）直接写结果：)1=．【答案】（1）1；（2）7-；（3）互为相反数；（4）2019【分析】（1）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出；（2）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式(2，化简即可；（3）将a=（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可．【详解】解：（1）∵()()1111=，∴1的有理化因式是1；（2227-==-（3）∵2a ===，2b =-， ∴a 和b 互为相反数；（4）)1++⨯=)11⨯=)11 =20201-=2019，故原式的值为2019.【点睛】 本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．23．先化简，再求值：24211326x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中1x =..【分析】 根据分式的运算法则进行化简，再代入求解. 【详解】原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫÷=⋅= ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭.将1x == 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.24．计算（11)1)⨯； （2）【答案】（12+；（2）.【解析】分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算.详解：（1)11+；＝()31-2；（2）原式＝(22⨯,＝＝3⨯＝＝点睛：此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．25．已知a，b（1）求a2﹣b2的值；（2）求ba+ab的值．【答案】（1）；（2）10【分析】(1)先计算出a+b、a-b的值，然后将所求的式子因式分解后利用整体代入思想代入数值进行计算即可；(2)先计算ab的值，然后将所求的式子通分，分子进行变形后利用整体代入思想代入相关数值进行计算即可.【详解】(1)∵ab，∴a+ba﹣b＝，∴a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)＝＝；(2)∵ab，∴ab＝)×)＝3﹣2＝1，则原式＝22b aab+＝()22a b abab+-＝(2211-⨯＝10．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键. 26．计算：（1；（2+2）2+2）．【答案】（1-2）【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；（2）直接利用乘法公式计算得出答案．【详解】解：（1）原式＝-（2）原式＝3434++-＝6+．【点睛】本题考查了二次根式的运算，在进行二次根式运算时，可以运用乘法公式，运算率简化运算．27．计算：0(3)|1|π-+．【答案】【分析】根据二次根式的意义和性质以及零次幂的定义可以得到解答．【详解】解：原式11=+=【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的运算和零次幂的意义是解题关键．28．计算：（1 ；（2）))213【答案】（1）2）1-.【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则可以算得答案．（2）结合整式的乘法公式和二次根式的运算法则计算．【详解】（1）原式==（2）原式=212---=1-.【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的意义、性质和运算法则是解题关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的乘法逐项判断即可得．【详解】A3=，此项错误；B2=-，此项错误；=≠C、27D2==，此项正确；故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、二次根式的乘法，熟练掌握算术平方根与立方根是解题关键．2．D解析：D【分析】根据直角二次根式满足的两个条件进行判断即可．【详解】被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项A错误；=被开方数中含分母，不是最简二次根式，故选项B错误；3=被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项C错误；是最简二次根式，故选项D正确.故选D．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式是最简二次根式．3．C解析：C【分析】由二次根式的性质，二次根式的混合运算，分别进行计算，即可得到答案．【详解】解：A A 错误；B 5=，故B 错误；C 2==，故C 正确；D 01213=+=，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，立方根，零指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．4．B解析：B【分析】根据二次根式的混合运算和完全平方公式进行计算，即可得到结果．【详解】解：∵2a =，2b =，∴227a b ++ 2252527 554547454 25= ∴255故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，熟悉相关运算法则是解题的关键 5．B解析：B【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，可得答案．【详解】有意义，得： 20x +>，解得：2x >-．故选：B ．本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．6．A解析：A【分析】根据二次根式定义和有意义的条件：被开方数是非负数，即可判断．【详解】解：A、符合二次根式有意义条件，符合题意；B、-1＜0B选项不符合题意；C、是三次根式，所以C选项不符合题意；D、π-4＜0D选项不符合题意．故选：A．【点睛】a≥0．7．A解析：A【分析】根据二次根式的定义，直接判断得结论．【详解】A A正确；a<B错误；B、0C是三次根式，故C错误；a<D错误；D、0故选：A．【点睛】a≥)是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数．8．D解析：D【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．【详解】有意义，则x+1≥0且x-2≠0，解得：x≥-1且x≠2．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．9．C解析：C【解析】【分析】令a =112x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭112a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2007n a =，进而得到x【详解】令a =112x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭112a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2007n a =，∴x 1111122a a a a a ⎛⎫⎛⎫--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴原式=111()(1)(1)2007n n n n a a -=-=-． 故选C ．【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式混合运算法则是解答本题的关键．10．D解析：D【分析】根据二次根式的意义,如果一定是二次根式,则不论字母取何值,被开方数一定是非负数,逐一判断即可得．【详解】解:A ,不是二次根式；B x ＜0时无意义,不一定是二次根式；C 在-2＜a ＜2时,无意义,不一定是二次根式；D a 2≥0,一定是二次根式；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次根式的定义,一般地,a≥0）的式子叫做二次根式．二、填空题11．【分析】利用完全平方公式化简，得到；化简分式，最后将代入化简后的分式，计算即可.【详解】将代入得：故答案为：【点睛】本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在解析：1-【分析】利用完全平方公式化简x =1x =；化简分式，最后将1x =代入化简后的分式，计算即可.【详解】1x =====()211422(2)(2)2221(2)(2)2(1)x x x x x x x x x x x -++-+-⎛⎫+⋅= ⎪-+--+-⎝⎭ 1x x =-将1x =1=-故答案为：1-【点睛】本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在于化简x =熟练掌握相关知识点是解题关键. 12．15【解析】根据题意，由a ﹣b=2+，b ﹣c=2﹣，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a2+b2+c2﹣ab ﹣bc ﹣ac=====15.故答案为：15.解析：15【解析】根据题意，由a ﹣b ﹣c=2，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac=2222222222a b c ab ac bc ++﹣﹣﹣=2222222222a ab b b bc c a ac c +++++﹣﹣﹣=222()()()2a b b c a c -+-+-=15. 故答案为：15.13．-4【分析】先将a 进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.【详解】解：当a ＝－＝－＝－3时，原式＝a3+6a2+9a －(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(解析：-4【分析】先将a 进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.【详解】解：当a－3时， 原式＝a 3+6a 2+9a －(a 2+6a +9)－7a +3＝a (a +3)2－(a +3)2－7a +3＝7a －7－7a +3＝－4．故答案为：－4．【点睛】本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.14．-【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案【详解】由题意可得： ，即∴故答案为【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定解析：【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案【详解】 由题意可得：10m ，即0m ∴11m m m mm m m故答案为【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定m 的取值范围.15．2018【解析】试题解析：，令，，显然，∴，∴，∵与奇偶数相同，∴，∴， ∴．故答案为：2018.解析：2018【解析】 试题解析：y ===令a =b = 显然0a b >≥，∴224036a b -=，∴()()4036a b a b +-=，∵()a b +与()-a b 奇偶数相同，∴20182a b a b +=⎧⎨-=⎩， ∴10101008a b =⎧⎨=⎩， ∴2018y a b =+=．故答案为：2018.16．（17,6）【解析】观察、分析这组数据可发现：第一个数是的积；第二个数是的积；第三个数是的积，的积.∵这组数据中最大的数：，∴是这组数据中的第102个数.∵每一行排列了6个数，而∴是第1解析：（17,6）【解析】的积，.∵这组数据中最大的数：∴102个数.∵每一行排列了6个数，而1026=17÷ ∴17行第6个数，∴这组数据中最大的一个数应记为（17，6）.点睛：（1）这组数据组中的第n 2）该组数据是按从左到右，从小到大，每行6个数进行排列的；（3）6n ÷6n ÷的余数是所在的列数.17．【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=，y=-3，代入可得=-2××3=-15.解析：15-【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=52，y=-3，代入可得2xy =-2×52×3=-15. 18．4【详解】根据完全平方公式可得：原式=－xy==5－1=4．解析：4【详解】根据完全平方公式可得：原式=2()x y －xy=251515151)222=5－1=4． 19．6【分析】通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，可以得到第13个的答案．【详解】 解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，，…，∴第13个答案为：．故答案为6． 解析：6【分析】 通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，可以得到第13个的答案．【详解】 解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，∴第13个答案为：131(1)3(131)6．故答案为6．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算以及学生的分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． 20．x≥4【解析】试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4.故答案为x≥4.点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然解析：x≥4【解析】试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4.故答案为x≥4.点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然后列不等式求解即可，是一个中考常考的简单题.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
二次根式知识点梳理及经典练习(超详细)
二次根式知识点梳理及经典练习知识点1：二次根式的概念1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．题型一：二次根式的判定【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）． [练一练]：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、)0(≥a a2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______题型二：二次根式有意义【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ．[练一练]：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mn m 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限题型三：二次根式定义的运用[练一练]：A．－1 B．1 C．2 D．3题型四：二次根式的整数部分与小数知识点2：二次根式的性质常用到．注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．题型一：二次根式的双重非负性【例4】若()2240a c -+-=，则=+-c b a ．[练一练]：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 13、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。
八年级初二数学二次根式知识点及练习题含答案
八年级初二数学二次根式知识点及练习题含答案一、选择题1．下列运算错误的是（ ） A ．1832= B ．322366⨯=C ．()2516+=D ．()()72723+-=2．二次根式1x -中字母x 的取值可以是( ) A ．2B ．0C ．12-D ．-13．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ． 1.5B ．13C ．10D ．274．下列各式计算正确的是（ ） A ．1222= B ．362÷=C ．2(3)3=D ．222()-=-5．下列计算正确的是（ ） A ．93=±B ．8220-=C ．532-=D ．2(5)5-=-6．下列各式中，正确的是（ ） A ．32 >23 B ．a 3 • a 2=a 6C ．(b+2a) (2a -b) =b 2 -4a 2D ．5m + 2m = 7m 27．关于代数式12a a ++，有以下几种说法， ①当3a =-时，则12a a ++的值为-4. ②若12a a ++值为2，则3a =. ③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（ ） A ．① B ．①②C ．①③D ．①②③8．当119942x +=时，多项式()20193419971994x x --的值为( ).A ．1B ．1-C ．20022D ．20012-9．若a 、b 、c 为有理数，且等式成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定10．3 ）A ．18B ．13C 24D 0.311．751m +m 的值为（ ） A ．7B ．11C ．2D ．112．32的结果是（ ） A ．±3B ．﹣3C ．3D ．9二、填空题13．定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()f x z ， 即：当n 为非负整数时，如果1122n x n -<+≤，则()f x n =z ．如：(0)(0.48)0f f ==z z ，(0.64)(1.49)1f f ==z z ，(4)(3.68)4f f ==z z ，试解决下列问题：①(3)f =z __________；②2(33)f +=z __________； 222222(11)(22)(22)(33)(33)(44)f f f f f f ++⋅++⋅++⋅+z z z z z z22(20172017)(20182018)f f =+⋅+z z __________．14．若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为043252a cb=___________ 15．x y 53xy 153，则x+y=_______． 16．已知实数m 、n 、p 满足等式33352m n m n m n p m n p -+--+----，则p =__________．17．已知1＜x ＜2，171x x +=-11x x --_____．18．36，3，2315，，则第100个数是_______．19．如果332y x x --，那么y x =_______________________． 20．25523y x x =--，则2xy 的值为__________．三、解答题21．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为a b c 、、，则此三角形的面积为：2222221122a b c S a b ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：2()()()S p p a p b p c =---2a b cp ++=（1）在ABC 中，若4AB =，5BC =，6AC =，用其中一个公式求ABC 的面积． （2）请证明：12S S【答案】（1）4；（2） 证明见解析 【分析】（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S = （2）对1S 和2S 分别平方，再进行整理化简得出2212S S =，即可得出12S S ．【详解】解：（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S =得：4S == （2）222222211[()]24a b a S c b +-=-=222222)1(22(4)a b c a b c ab ab +-+--+ =2222()2(21)4c a c a b b +⋅---⋅ =()(1()()16)c a b c a b a b c a b c +-++-++- 22()()()S p p a p b p c =---∵2a b cp ++=， ∴22()(2)(222)S a a b c a b c a b c a b cb c +++++++-+=-- =2222a b c b c a a c b a b c +++-+-+-⋅⋅⋅=1()()()()16a b c b c a a c b a b c +++-+-+- ∴2212S S =∵10S >，20S >， ∴12S S ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是理解题中给出的公式，灵活运用二次根式的运算性质进行运算．22．先阅读材料，再回答问题：因为)111=1=；因为1=，所以=1== （1= ，= ； （2⋅⋅⋅+的值．【答案】（12）9 【分析】（1）仿照例子，由1+=的值；由1+=1的值；（2）根据（1）中的规律可将每个二次根式分母有理化，可转化为实数的加减法运算，再寻求规律可得答案． 【详解】解：（1）因为1-=；因为1=1（2⋅⋅⋅+1=+⋅⋅⋅1=1019=-=．【点睛】本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．23．小明在解决问题：已知2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵=2∴a﹣2=∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1（2）若，求4a2﹣8a+1的值．【答案】（1）9；（2）5．【解析】试题分析：（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得1===.(2)先对a1，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2(1)a-的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.解：（1）原式=1)+++⋯（2）∵1a===，解法一：∵22(1)11)2a-=-=，∴2212a a-+=，即221a a-=∴原式=24(2)14115a a-+=⨯+=解法二∴原式=24(211)1a a-+-+24(1)3a=--211)3=--4235=⨯-=点睛：（1得22=-=-a b，去掉根号，实现分母有理化.（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.24．【分析】先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 【详解】． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，在进行此类运算时，先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．25．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．【答案】(2x - 【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案． 【详解】解：4y x ⎛- ⎝ ((=-(2x =-∵ 30x - ∴ 3,4x y == 当3,4x y ==时原式(23=-==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．26．先观察下列等式，再回答下列问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+1111133112=+-=+(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）．【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数） 【解析】试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．试题解析：(1)=1+14−141+=1120，1120(2)1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.27．计算：（1）-（2）【答案】（1）21 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先利用二次根式的乘除法则运算，再合并即可． 【详解】解：（1）原式==（2）原式3+21==．【点睛】本题考查二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质．28．计算：（1 （2）（)()2221-【答案】2）1443 【分析】(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可； (2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可． 【详解】解：(1)原式＝23223323，(2)原式(34)(12431)1124311443，故答案为：1443． 【点睛】本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键．29．计算：（1）()22131)()2---+（2【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可； （2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12（2） 【点睛】本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．30．计算：（1）13⎛+-⨯ ⎝⎭（2）)()2221+．【答案】（1）6-；（2）12-【分析】（1）原式化简后，利用二次根式乘法法则计算即可求出值； （2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值． 【详解】解：（1）原式＝1(233⨯⨯-⨯＝3-⨯＝⨯⎭＝6-；（2）原式＝3﹣4+12﹣＝12﹣． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二次根式的化简、乘法、完全平方公式、平方差公式逐项判断即可得． 【详解】A =，此项正确；B 、=C 、)21516=+=+D 、)22743=-=，此项正确；故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与乘法运算，熟记运算法则是解题关键．2．A解析：A【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负列出不等式，求解，再依此选择合适的选项．【详解】解：由题意得：x-1≥0解之：x≥1.1>．故选：A．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．理解二次根式有意义，被开方数非负是解题关键．3．C解析：C【分析】化简得到结果，即可做出判断．【详解】解：A2，不是最简二次根式；B，不是最简二次根式；C是最简二次根式；D故选：C．【点睛】本题考查最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解题关键．4．C解析：C【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【详解】2，故选项A错误；=B错误；C. 23=，故选项C正确；2=，故选项D 错误；故选C.【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．5．B解析：B【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】3=，故此选项错误；0=，正确；D. 5=，故此选项错误；故选：B【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握二次根式的性质是解题关键．6．A解析：A【分析】比较两个二次根式的大小可判别A ，根据同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算法则分别计算可判断B 、C 、D 的正误．【详解】A 、=，=∵1812>，∴>，故该选项正确；B 、3a •25a a =，故该选项错误；C 、()()22224b a a b a b +-=-，故该选项错误； D 、527m m m +=，故该选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式大小的比较，同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．7．C解析：C【分析】①将3a =-代入12a a ++计算验证即可；②根据题意12a a ++=2，解得a 的值即可作出判断；③若a ＞-2，则a+2＞0，则对12a a ++配方，利用偶次方的非负性可得答案． 【详解】解：①当3a =-时，1134232a a +=-+=-+-+． 故①正确； ②若12a a ++值为2， 则122a a +=+， ∴a 2+2a+1=2a+4，∴a 2=3，∴a =．故②错误；③若a ＞-2，则a+2＞0， ∴12a a ++=1222a a ++-+=222+-=2≥0． ∴若a ＞-2，则12a a ++存在最小值且最小值为0． 故③正确．综上，正确的有①③．故选：C ．【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．8．B解析：B【解析】【分析】由原式得()2211994x -=，得244+11994x x -=，原式变形后再将244+11994x x -=代和可得出答案.∵11994x +=， ()2211994x ∴-=，即24419930x x --=，()()32241997199444199344199311x x x x x x x ∴--=--+---=-．∴原式()201911=-=-．【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化. 9．B解析：B【解析】因=，所以a =0，b =1，c =1，即可得2a ＋999b ＋1001c =999+1001=2000，故选B. 点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．10．B解析：B【详解】A 18323不是同类二次根式，故此选项错误；B 13333C 24=63不是同类二次根式，故此选项错误；D 0.3310=30103不是同类二次根式，故此选项错误； 故选B ． 11．C解析：C【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式即为同类二次根式.【详解】解7553=m=7时1822m +==，故A 错误；当m=11时11223m +==1m +B 错误；当m=1时12m +=故D 错误；当m=2时13m +=故C 正确； 故选择C.本题考查了同类二次根式的定义.12．C解析：C【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【详解】原式＝3，故选C ．【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．二、填空题13．3【解析】1、；2、根据题意，先推导出等于什么，（1）∵，∴，（2）再比较与的大小关系，①当n=0时，；②当为正整数时，∵，∴，∴，综合（1）、（2）可得：，解析：320172018【解析】1、(1.732)2z z f f ==；2、根据题意，先推导出f 等于什么，（1）∵2221142n n n n n ⎛⎫+<++=+ ⎪⎝⎭，12n <+， （2）12n -的大小关系，①当n=012n >-； ②当n 为正整数时，∵2212n n n ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭1204n =->， ∴2212n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，12n >-，综合（1）、（2）可得：1122n n -<+，∴f n =z ，∴3f =z ．3、∵f n =z ，∴(2017z f +111112233420172018=++++⨯⨯-⨯ 111111112233420172018=-+-+-++- 112018=- 20172018=． 故答案为（1）2；（2）3；（3）20172018. 点睛：（1）解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n 为非负整数时，1122n n -<+，从而得到f n =z ；（2）解题③的要点是：当n 为正整数时，111(1)1n n n n =-++. 14．【解析】根据题意，由二次根式的性质，可知a 的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：当b ＞0时，=；当b ＜0时，=.故答案为：.解析：220202a b b a b b 当时当时⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩【解析】根据题意，由二次根式的性质，可知a 的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：当b ＞0= 当b ＜0=故答案为：220202a b b a b b ⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩当时当时. 15．8+2【解析】根据配方法，由完全平方公式可知x+y==（）2-2，然后把+=+，=-整体代入可得原式=（+）2-2（-）=5+3+2-2+2=8+2.故答案为：8+2.解析：【解析】根据配方法，由完全平方公式可知x+y=2222+=+-）2整体代入可得原式=2-2）故答案为：16．5【解析】试题解析：由题可知，∴，∴，∴，①②得，，解方程组得，∴．故答案为：5.解析：5【解析】试题解析：由题可知3030m n m n -+≥⎧⎨--≥⎩， ∴3m n +=，0=，∴35200m n p m n p +--=⎧⎨--=⎩①②， ①-②得2620m n +-=，31m n +=， 解方程组331m n m n +=⎧⎨+=⎩得41m n =⎧⎨=-⎩， ∴4(1)5p m n =-=--=．故答案为：5.17．-2【详解】∵x+=7，∴x-1+=6，∴（x-1）-2+=4，即 =4，又∵1＜x ＜2,∴=-2，故答案为-2.【点睛】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是 解析：-2【详解】∵x+11x -=7，∴x-1+11x -=6，∴（x-1）-2+11x -=4，即2 =4， 又∵1＜x ＜2,∴， 故答案为-2.【点睛】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求的式子对已知的式子进行变形.18．【分析】原来的一列数即为，，，，，，于是可得第n个数是，进而可得答案．【详解】解：原来的一列数即为：，，，，，，∴第100个数是．故答案为：．【点睛】本题考查了数的规律探求，属于常考解析：【分析】，，于是可得第n进而可得答案．【详解】，∴第100 ．故答案为：【点睛】本题考查了数的规律探求，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质、找到规律是解题的关键．19．【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x，进而可得y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x－3≥0，3－x≥0，∴x=3，∴y=﹣2，∴．故答案为：．【点睛】解析：1 9【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x，进而可得y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x－3≥0，3－x≥0，∴x=3，∴y=﹣2，∴2139y x -==． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和负整数指数幂的运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．20．【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=，y=-3，代入可得=-2××3=-15.解析：15-【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=52，y=-3，代入可得2xy =-2×52×3=-15. 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。
人教八年级数学下册-二次根式(附习题)
探索新知
思考 （1）面积为3 的正方形的边长为___3____，面积为
S 的正方形的边长为___S____．
被开方数都大于0
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130
m2，则它的宽为__6_5___m．
被开方数可
（3）一个物体从高处自由落下，落以到是地分面数所用的
时间 t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系
（1）3的平方根是___3___
（2）3的算术平方根是___3____
（3）5 有意义吗？为什么？ 0 呢？
（4）一个非负数a的算术平方根应表示为__a___a___0__
正数有两个平方根且互为相反数；
平方根的性质：0有一个平方根就是0；
负数没有平方根.
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
新课导入
我们知道二次根式 a 中a≥0，那么二次 根式 a 还有哪些性质呢？
学习目标
（1）知道 a ≥0(a≥0)，会用非负数的性质
解题.
a
（2）会用公式 a2 =a(a≥0)进行计算.
（3）知道形如 的化简方法及结果.
探索新知
知识点 1 二次根式的性质 探究 当a>0时，a 是什么数？ a 0 当a=0时，a 是什么数？ a 0 当 a 有意义时，a是什么数? a≥0
2.使 x 3 有意义的x的取值范围是 x≥-3 .
3.下列各式中一定是二次根式的是( B )
A. x 1
B. ( x 1)2
C. a2 1
D. 1 x
4.二次根式
1 a
中，字母a的取值范围是(
二次根式知识点及例题
第十六章 二次根式知识点一、二次根式1.定义0)a ≥二次根号下的a 叫做被开方数．注意：(1)二次根号的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号．(2)二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0． (3)根指数是2，这里的2可以省略不写．(4)形如0)a ≥的式子也是二次根式，它表示b例题：!1.下列各式中，一定是二次根式的是 ．12x ⎫<⎪⎭练习：1.下列各式中，一定是二次根式的是 ．0,0)x y ≥≥知识点二、二次根式有意义的条件1.0a ≥0a <2.从具体的情况总结，如下：(1)0A ≥；(2)⋅⋅⋅有意义的条件：000A B N ≥⎧⎪≥⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪≥⎩；?(3)0A >；(4)二次根式作为分式的分子如B A有意义的条件：00A B ≥⎧⎨≠⎩．例题：1.当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义．11x +练习：知识点三、二次根式的性质（重点，难点）性质10)a ≥具有双重非负性，它即表示二次根式，又表示非负数a 的算式平方根，具体描述为：0；a 是非负数． 注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数必须同时为0．、例题：@练习：则2015)(yx 的值为________．3.已知a ,b 4b +，求a ，b 的值．·2210b b -+=，求221a b a +-的值．性质2：2(0)a a=≥，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身．注意：不能忽略0a≥这一限制条件，导致类似24=-的错误．性质3(0)(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩，即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，(0)a a=≥；(0)a a-<．&注意：不要认为a2-的错误．2的区别与联系：例题：1.计算：(1) 2(2)2(3) 2(-(4)22.计算：'(1)23()5(2)23()5- (3)2(6)- (4)2(3.14)π-3.当m <3时，2(3)m -=_______．4.设三角形的三边长为a ，b ，c ，试化简：2222()()()()a b c a b c b a c c b a +++--+-----．、练习： 1.计算：(1) 2( 3.4) (2) 2( 3.4)- (3)2(3)π- (4) 2(4)π-2.若23a <<，则22(2)(3)a a ---等于（ ）~A . 52a -B . 12a -C . 25a -D . 21a - 3.已知实数a b 、在数轴上的位置如图所示，化简：222+()a b a b +-．4.已知a 2224a a a +--的值．$知识点四、二次根式的乘除1.二次根式的乘法法则0,0)a b ab a b =≥≥．提示：(1)在设计二次根式运算时没有特备说明，所有字母都表示正数；(2),a b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的． 推广a b cd abcd =()0,0,0,0a b c d ≥≥≥≥．2.ab ab =a b （0,0a b ≥≥）．#例题： 1.计算：(1)62⨯ (2) )32(276-⨯ (3))196()121(-⨯-(4))33)(31(+- (5) 38xy y 8y y！2.化简：(1)1259⨯ (2) 24323.(1)比较的大小__________， (2)比较3655与的大小__________． 练习： 1.计算： (1) )196()121(-⨯- (2) )33)(31(+- (3) 329y (4) 9y xy@2.化简：(1)12116⨯ (2) 96323.比较6456与的大小__________，(2)比较8338与的大小__________． 3.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
专题01二次根式(5个知识点7种题型1个易错点)(解析版)
专题01二次根式（5个知识点7种题型1个易错点）【目录】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：二次根式的概念二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a （a ≥0）是一个非负数；学习要求：理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．【变式1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，1x 0x >），，1x y+0,0x y ³³）．0x >）、0,0x y ³³1x 、1x y+不是二次根式．的根指数分别为3、4，不是二次根式；1x 、1x y+是分式，不是二次根式．【变式2】下列各式中，二次根式的个数有 （）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B ．当0x <时就不是．【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．知识点2：二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．注意：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零；③零没有零次幂．【例2】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1；（2．【答案】（1）12x ³；（2）2x £．【解析】（1）由12102x x -³³，得：；（2）由202x x -³£，得：．【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．【变式】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1；（2．【答案】（1）0x >；（2）2x <．【解析】（1）由100x x x ì³ï>íï¹î，得：； （2）由102220x x x ì-³ï<-íï-¹î，得：．【总结】考查式子有意义的条件，式子有意义的时候式子的每一个部分都有意义．知识点3：二次根式的性质性质1(0)a a =³；性质2：2(0)a a =³；性质3=（0a ³，0b ³）；性质4=（0a ³，0b >）．【例3】求下列二次根式的值：（1；（2；（3（4．【答案】（1）4；（2）5；（3）4）3p -．【解析】（14==；（25==；（3===（433p p =-=-．【总结】考查二次根式的性质1，确保开方出来的结果非负．【例4】计算下列各式的值：（1）2；（2）； （3）2；（4）2；（5）2；（6）22-；（7）2(0)x ³；（8）2 ；（9）2．【答案】（1）18；（2）23；（3）916；（4）0；（5）14；（6）30-；（7）1x +；（8）2a ；（9）221a a ++．【解析】根据二次根式性质2即可得出结果，注意（5）小题中两部分分别平方．【总结】考查二次根式的性质2．【例5】化简：（1（20)m ³；（3）（4【答案】（1）32）；（3）232y x ；（4）2-【解析】（1）由二次根式非负性3270x ³，可得0x ³，原式3==；（2）由二次根式非负性3120mn ³，结合0m ³，可得0n ³，原式===；（3）原式=223642y y x x ==；（4）由二次根式非负性33240x y -³，即有()30xy £，可得0xy £，原式2==-．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【例6】化简：（10)y <；（2）．【答案】（1）；（2【解析】（1）原式=(136y´-=；（2）原式() ()xx><，∴=．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质3、性质4，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．(0)0(0)(0)a aaa a>=-<î．【例7】（2022秋•虹口区校级月考）已知，则x的取值范围是（ ）A．B．C．D．或【解答】解：等式左边＝|2﹣3|x||，它要等于2+3x，则x≤0且2+3x≥0，所以≤x≤0．故选：B．【变式】（2022秋•浦东新区校级月考）若m，n为任意实数，则下列各式成立的是（ ）A ．＝m+nB．+＝m+nC．＝D．【解答】解：＝|m+n|，A错误；+＝|m|+|n|，B错误；≠+，C错误；＝（m+n）2，D正确，故选：D．知识点5：化简二次根式利用二次根式的性质进行化简；化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用二次根式的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【变式1】化简：（100)ab bc ><，；（20)a b <<【答案】（1）-；（2）22a b -．【解析】（1=-； （2）原式=2222a b a b -=-．【变式2】化简下列二次根式：（100)x y ³³，；（2（3(0)a a -<．【答案】（1）5 （2） 3.14p -； （3）2a -．【解析】（15==（2 3.14 3.14p =-=-π；（32a a a a -=--=-．【方法二】实例探索法题型1：求二次根式被开方数中所含字母的取值范围2.若11)--有意义，则x 的取值范围是______．【答案】10x x ³¹且．【解析】∵11)--=，∴01010x x ³³ìí¹-¹î，解得：．3.求使下列二次根式有意义的实数x 的取值范围．（1；（2【答案】（1）1x ³或0x <；（2）12x ³-且1x ¹．【解析】（1）由110x -+³，得1x ³或0x <； （2）由21010x x +³ìí-¹î，得12x ³-且1x ¹．4.2成立，求a 的取值范围．【答案】24a ££．24a a +=-+-，由此进行分类讨论：①当2a <时，原式=()()2462a a a -+-=-；②当24a ££时，原式=()()242a a -+-=；③当4a >时，原式=()()2426a a a -+-=-；综上所述，可知a 的取值范围是24a ££．题型3：利用数轴和二次根式的性质进行化简或计算5．（2022秋•虹口区校级月考）设实数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是（ ）A ．﹣2a +bB ．2a +bC ．﹣bD ．b【解答】解：根据数轴上a ，b 的值得出a ，b 的符号，a ＜0，b ＞0，a +b ＞0，∴＝﹣a +a +b ＝b ，故选：D ．6.已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应点位置如图所示：__________．【答案】2c -．【解析】根据点在数轴上的位置，可得0c b a <<<，由此0a c ->，0b a -<，0b c +<，原式=()()()2a c b a b c a c b a b c a c b a b c c ---++=-+--+=-+---=-．题型4：利用二次根式的非负性求值7．（2022秋•奉贤区期中）已知x ，y 为实数，且，求xy 的平方根．【解答】解：由题意得，，解得x ＝27，则y ＝，∴xy ＝＝9，∴9的平方根是±＝±3．8.若,x y 是实数，且2y <++，化简22y y --．【答案】1-．【解析】根据二次根式有意义的条件，可得：210120x x -³ìí-³î，即得：210x -=，由此可知2y <，所以22y y --=()212y y --=--．9.已知3y =，求22x xy y -+的值．【答案】7．【解析】根据二次根式的非负性，可知2020x x -³ìí-³î，由此20x -=，即2x =，此时3y =，原式=2222337-´+=．10.若a 、b是实数，且13b +1-+【答案】46b -+．【解析】根据二次根式的非负性，可知3030a a -³ìí-³î，由此30a -=，即3a =，此时13b <，原式=()()231213346b b a b b b -+-+=-+-+=-+．11.0=，求()x x y +的值．【答案】9．【解析】由题意得：203280x y x y -=ìí+-=î， \21x y =ìí=î． \()()2219xx y +=+=．12.若z+=+，求z 的值．【答案】3358．【解析】 Q 20160x y -+³， ∴2016x y +³．又 Q 20160x y --³， \2016x y +£， \2016x y +=．\0+=．即35230125302x y z x y z +--=ìí+-=îL L （）（）， 解得：220143358x y z =ìï=íï=î．题型5：根据二次根式的值是整数，求字母的取值13．（2022秋•奉贤区校级期中）已知是正整数，则实数n 的最大值为 ．【解答】解：由题意可知12﹣n 是一个完全平方数，且不为0，最小为1，所以n 的最大值为12﹣1＝11．题型6：二次根式与三角形的综合15.在△ABC 中，a b c 、、2c a b --．【答案】33c a b --．【解析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可知0a b c -+>，0c a b --<，原式=()()22a b c c a b a b c c a b -+---=-++--22233a b c c a b c a b =-++--=--．16.在△ABC 中，a b c 、、0=，求最大边c 的取值范围．【答案】814c £<．【解析】根据题意，即为60a -+=，由此60a -=，80b -=，解得：6a =，8b =，根据三角形三边关系，且c 为最大边，可知b c a b £<+，即814c £<．17.解下列各式：（1）已知0a a +=（2）a b c 、、+．【答案】（1）12a -；（2）3a b c +-．【解析】（1）由0a a +=，即a a =-，可得0a £，原式=1112a a a a a -+=--=-；（2）根据三角形三边关系，可知0a b c --<，0b c a -+>，0c b a --<，原式=a b c b c a c b a--+-++--3b c a b c a a b c a b c =+-+-+++-=+-．18.（1）在△ABC 中，a b c 、、0=，求最大边c 的取值范围；（2）已知实数x y 、，满足2()x y +22x y +的平方根．【答案】（1）814c £<；（2）±．【解析】（1）根据题意，即为60a -+=，由此60a -=，80b -=，解得：6a =，8b =，根据三角形三边关系，且c 为最大边，可知b c a b £<+，即814c £<．（2）由题意得：2()0x y +=，∴053160x y x y +=ìí--=î，解得：22x y =ìí=-î，∴==±．题型7：二次根式的性质的应用19.（1（2）；（3）2-；（4）(1)x -【答案】（1； （23）；（4）【解析】（1=；（2）（3）（4）=．20.将x 移到根号内，不改变原来的式子的值：（11)x >；（2）(2)x x ->．【答案】（12）1．【解析】（1==；（2）(1x -==．【方法三】差异对比法易错点：忽略隐含条件，误将负数移到根号外21．（2022秋•虹口区校级期中）已知a ＜0，则二次根式化简后的结果为（ ）A ．aB ．aC ．﹣aD ．﹣a【解答】解：∵a＜0，﹣a2b≥0，∴a＜0，b≤0，∴＝﹣a．故选：D．22．（2022秋•虹口区校级期中）已知a＜0，那么可化简为（ ）A．2b B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，∴原式＝，故选：D．23．（2022秋•静安区校级期中）已知xy＜0，化简二次根式的值是（ ）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知﹣xy2≥0．因为y2＞0，所以﹣x≥0，所以x≤0，又因为xy＜0，所以x＜0，y＞0，所以＝＝．故选：C．24．（2022秋•青浦区校级期中）化简：（a＜0）＝ ．【解答】解：原式＝．故答案为：．25．（2022秋•嘉定区校级月考）化简：＝ ．【解答】解：∵﹣a4b3≥0，∴b≤0，∴＝﹣a2b，故答案为：﹣a2b．【方法四】成功评定法一、单选题三、解答题222 =-++--a b c c a b =--．33c a b。
八年级初二数学 二次根式知识点及练习题含答案
一、选择题1．下列计算结果正确的是（ ）A B ．3=C =D=2．下列各式计算正确的是（ ）A =B =C ．23=D 2=-3．下列各式中，运算正确的是（ ）A ＝﹣2B ＋C 4D ．＝24．x 的取值范围是（ ）A ．x≥2020B ．x≤2020C ．x> 2020D ．x< 20205．下列各式中,正确的是（ ）A B ．C =D = - 46．下列运算正确的是（ ）A ．52223-=y yB ．428x x x ⋅=C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2D =7． ）AB ．CD ．8．下列计算正确的是（ ）A =B =C 6=-D 1=9．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A B C D 10．下列计算正确的是（ ）A =B =C 4=D 3=-二、填空题11．+的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.12．已知|a ﹣2007|+2008a -=a ，则a ﹣20072的值是_____． 13．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.14．化简：321x15．若0xy >，则二次根式2y x -________． 16．使式子32x x -+有意义的x 的取值范围是______． 17．3a ，小数部分是b 3a b -=______.181262_____． 19．若实数23a =-，则代数式244a a -+的值为___. 20．观察分析下列数据：0，36，-3，231532的规律得到第10个数据应是__________．三、解答题21．计算：（18322（2）)((25225382+-+． 【答案】(1)52【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可.【详解】（18322=22422=（2）)((222+-+=2223--+ =5-4-3+2=022．小明在解决问题：已知2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵=2 ∴a ﹣2=∴（a ﹣2）2=3，a 2﹣4a+4=3∴a 2﹣4a=﹣1∴2a 2﹣8a+1=2（a 2﹣4a ）+1=2×（﹣1）+1=﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1（2）若，求4a 2﹣8a+1的值． 【答案】（1）9；（2）5．【解析】试题分析：（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得1===.(2)先对a 1 ，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2(1)a - 的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.解：（1）原式=1)+++⋯（2）∵1a ===，解法一：∵22(1)11)2a -=-= ，∴2212a a -+= ，即221a a -=∴原式=24(2)14115a a -+=⨯+=解法二∴ 原式=24(211)1a a -+-+24(1)3a =--211)3=--4235=⨯-=点睛：（1得22=-=-a b ，去掉根号，实现分母有理化.（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.23．计算②)21-【答案】① 【分析】 ①根据二次根式的加减法则计算；②利用平方差、完全平方公式进行计算．【详解】解：①原式＝②原式＝(5-2-＝【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键．24．计算下列各题（1）⎛÷ ⎝（2）2-【答案】(1)1;(2)．【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可；(2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可.(1)原式=1；(2)原式+2)．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.25．先化简再求值：（a ﹣22ab b a -）÷22a b a-，其中，b=1．【答案】原式=a b a b-=+【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可.【详解】 原式=()()222a ab b a a a b a b -+⨯+- =()()()2·a b a aa b a b -+- =a b a b-+，当，b=1时，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.26．（1）计算：21)-（2）已知a ，b 是正数，4a b +=，8ab =【答案】（1）5-2（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：（1）原式21)=-(31)(23)=---5=-；（2）原式=== a ，b 为正数，∴原式=把4a b +=，8ab =代入，则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．27．（1|5-+；（2）已知实数a 、b 、c 满足|3|a +=，求2(b a +的值．【答案】（1）5；（2）4【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可；（2）先根据二次根式有意义的条件确定b 的值，再根据非负数的和的意义确定a ，c 的值，然后再计算代数式的值即可．【详解】解：（15-+5)=+5=+5=（2）由题意可知：5050b b -≥⎧⎨-≥⎩, 解得5b =由此可化简原式得，30a +=30a ∴+=，20c -=3a ∴=-，2c =22((534b a ∴+=--=【点睛】可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．28．化简求值：212(1)211x x x x -÷-+++，其中1x =．【解析】分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 详解：原式2112,2111x x x x x x -+⎛⎫=÷- ⎪++++⎝⎭2112,211x x x x x -+-=÷+++ ()211,11x x x x -+=⋅-+ 1.1x =+当1x =时，11x ==+ 点睛：考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、分母有理化逐一进行计算判断即可．【详解】A不能合并，故A选项错误；B．-=B选项错误；C=D==D选项错误，故选C．【点睛】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，熟练掌握各运算法则是解题的关键．2．C解析：C【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【详解】2，故选项A错误；=2，故选项B错误；C. 23=，故选项C正确；2=，故选项D错误；故选C.【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．3．C解析：C【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．【详解】A、原式＝2，故该选项错误；B＝，故该选项错误；C4，故该选项正确；D故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则是解题关键．4．A解析：A【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】∴x-2020≥0，解得：x≥2020；故选：A．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．5．C解析：C【分析】根据算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法逐项判断即可．【详解】A4=，此项错误B、4=±，此项错误C==，此项正确D==故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法，掌握二次根式的运算法则是解题关键．6．D解析：D【分析】由合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A 、222523y y y -=，故A 错误；B 、426x x x ⋅=，故B 错误；C 、222()2a b a ab b --=++，故C 错误；D ==D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．7．C解析：C【解析】30， 故选C ．点睛：此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母有理化即可求解，比较简单，但是易出错，是常考题. 8．B解析：B【分析】根据二次根式加减运算和二次根式的性质逐项排除即可．【详解】与A 选项错误；===B 选项正确；321=-=，所以C 选项错误；与D 选项错误;故选答案为B ．【点睛】本题考查了二次根式加减运算和二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义和二次根式的性质是解答本题的关键．9．B解析：B【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；D、被开方数含分母，故D错误；故选B．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．10．B解析：B【分析】由二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A A错误；B=，故B正确；C==C错误；=，故D错误；D3故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．二、填空题11．【解析】【分析】根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a，b，c的三元方程组，解方程组即可.【详解】∵=∴，即．解得．【点睛】本题考查了解析：【解析】【分析】a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∴(22118=，即2222118235a b c =+++++． 2222352118,2120,2540,2144,a b c ab ac bc ⎧++=⎪=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩ 解得15,4,18.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩154181080abc ∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左、.12．2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形． 详解：∵|a ﹣2007|+=a ，∴a≥2008，解析：2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．详解：∵|a ﹣2007=a ，∴a ≥2008，∴a ﹣2007=a，=2007，两边同平方，得：a ﹣2008=20072，∴a ﹣20072=2008．故答案为：2008．点睛：解决此题的关键是能够得到a的取值范围，从而化简绝对值并变形．13．【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第解析：【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4，∴(5，4)与(9，4)故答案为14．【解析】根据二次根式的性质，化简为：-=-=-4；==.故答案为； .解析：【解析】根据二次根式的性质，化简为：故答案为；15．－【分析】首先判断出x，y的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：∵，且有意义，∴，∴．故答案为．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解析：【分析】首先判断出x，y的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：∵0xy > ∴00x y ＜，＜，∴x ==．故答案为．【点睛】 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．即(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩=（a ≥0，b >0）． 16．且【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．【详解】由题意得：，解得且，故答案为：且．【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分解析：3x ≤且2x ≠-【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．【详解】由题意得：2030x x +≠⎧⎨-≥⎩， 解得3x ≤且2x ≠-，故答案为：3x ≤且2x ≠-．【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．17．【详解】若的整数部分为a ，小数部分为b ，∴a=1，b=，∴a -b==1．故答案为1．解析：【详解】a，小数部分为b，∴a=1，b1，∴-b1)=1．故答案为1．18．6【分析】利用二次根式乘除法法则进行计算即可．【详解】＝＝＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．解析：6【分析】==进行计算即可．【详解】＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．19．3【解析】∵ =，∴=（a-2）2==3，故答案为3.解析：3【解析】∵a =∴244a a -+=（a-2）2=()222+=3， 故答案为3.20．6【分析】通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，可以得到第13个的答案．【详解】解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，，…，∴第13个答案为：．故答案为6． 解析：6【分析】 通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，可以得到第13个的答案．【详解】 解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，∴第13个答案为：131(1)3(131)6．故答案为6．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算以及学生的分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析)
初二二次根式所有知识点总结和常考题知识点：1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。
①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
②非负性2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、二次根式有关公式（1）)0()(2≥=a a a （2）a a =2（3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab（4）除法公式)0,0( b a ba b a ≥= 4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。
常考题：一．选择题（共14小题）1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≥﹣且x ≠1B ．x ≠1C ．D ．3．下列计算错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．估计的运算结果应在（ ）A ．6到7之间B ．7到8之间C ．8到9之间D ．9到10之间5．如果=1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥6．若=（x+y）2，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．78．化简的结果是（）A．B．C．D．9．k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n10．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定11．把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．12．已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．313．若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5二．填空题（共13小题）15．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= ．16．计算：的结果是．17．化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ．18．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．19．定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= ．20．化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．21．计算：﹣﹣= ．22．三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为cm．23．如果最简二次根式与能合并，那么a= ．24．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是．（结果保留根号）25．实数p在数轴上的位置如图所示，化简= ．26．计算：= ．27．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．三．解答题（共13小题）28．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．29．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．30．先化简，再求值：，其中．31．先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．32．先化简，再求值：，其中．33．已知a=，求的值．34．对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的，为什么？35．一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．36．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．37．已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．38．计算或化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．39．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．40．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ =（+ ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2005•岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C． D．【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．【解答】解：因为：B、=4；C、=；D、=2；所以这三项都不是最简二次根式．故选A．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．2．（2013•娄底）式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C．D．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣且x≠1．故选A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．（2007•荆州）下列计算错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．【解答】解：A、==7，正确；B、==2，正确；C、+=3+5=8，正确；D、，故错误．故选D．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．4．（2008•芜湖）估计的运算结果应在（）A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．【解答】解：∵=4+，而4＜＜5，∴原式运算的结果在8到9之间；故选C．【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．5．（2011•烟台）如果=1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥【分析】由已知得1﹣2a≥0，从而得出a的取值范围即可．【解答】解：∵，∴1﹣2a≥0，解得a≤．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．6．（2009•荆门）若=（x+y）2，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求出x、y的值，再代入代数式即可．【解答】解：∵=（x+y）2有意义，∴x﹣1≥0且1﹣x≥0，∴x=1，y=﹣1，∴x﹣y=1﹣（﹣1）=2．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．（2012秋•麻城市校级期末）是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】本题可将24拆成4×6，先把化简为2，所以只要乘以6得出62即可得出整数，由此可得出n的值．【解答】解：∵==2，∴当n=6时，=6，∴原式=2=12，∴n的最小值为6．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案．8．（2013•佛山）化简的结果是（）A．B．C．D．【分析】分子、分母同时乘以（+1）即可．【解答】解：原式===2+．故选：D．【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．9．（2013•台湾）k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n【分析】根据二次根式的化简公式得到k，m及n的值，即可作出判断．【解答】解：=3，=15，=6，可得：k=3，m=2，n=5，则m＜k＜n．故选：D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．10．（2011•菏泽）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定【分析】先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出（a﹣4）和（a﹣11）的取值范围，再开方化简．【解答】解：从实数a在数轴上的位置可得，5＜a＜10，所以a﹣4＞0，a﹣11＜0，则，=a﹣4+11﹣a，=7．故选A．【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．11．（2013秋•五莲县期末）把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．【解答】解：∵成立，∴﹣＞0，即m＜0，原式=﹣=﹣．故选：D．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．12．（2009•绵阳）已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．3【分析】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．【解答】解：当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n=11．故选B．【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．13．（2005•辽宁）若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0，对a、b的取值范围进行判断．【解答】解：要使这个式子有意义，必须有﹣a≥0，ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴点（a，b）在第三象限．故选C．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，以及各象限内点的坐标的符号．14．（2013•上城区一模）已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【分析】原式变形为，由已知易得m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，然后整体代入计算即可．【解答】解：m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，原式====3．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．二．填空题（共13小题）15．（2004•山西）实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= 1 ．【分析】根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出a﹣1与0，a﹣2与0的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简．【解答】解：根据数轴上显示的数据可知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，∴|a﹣1|+=a﹣1+2﹣a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了数轴，绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．二次根式的化简规律总结：当a≥0时，=a；当a≤0时，=﹣a．16．（2013•南京）计算：的结果是．【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．17．（2013•泰安）化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ﹣6 ．【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可．【解答】解：（﹣）﹣﹣|﹣3|=﹣3﹣2﹣（3﹣），=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题主要考查了二次根式的化简与混合运算，正确化简二次根式是解题关键．18．（2006•广安）如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= 5 ．【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴3a﹣8=17﹣2a，解得：a=5．【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义．19．（2007•芜湖）定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= 6 ．【分析】认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．【解答】解：∵x@y=，∴（2@6）@8=@8=4@8==6，故答案为：6．【点评】解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．20．（2014•荆州）化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算得到原式=2﹣，然后合并即可．【解答】解：原式=2×﹣4××1=2﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．21．（2014•广元）计算：﹣﹣= ﹣2 ．【分析】分别进行分母有理化、二次根式的化简，然后合并求解．【解答】解：==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次根式的加减法，本题涉及了分母有理化、二次根式的化简等运算，属于基础题．22．（2013•宜城市模拟）三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为5cm．【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为++，化简合并同类二次根式．【解答】解：这个三角形的周长为++=2+2+3=5+2（cm）．故答案为：5+2（cm）．【点评】本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题．23．（2012秋•浏阳市校级期中）如果最简二次根式与能合并，那么a= 1 ．【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【解答】解：根据题意得，1+a=4a﹣2，移项合并，得3a=3，系数化为1，得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．24．（2006•宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是2﹣2 ．（结果保留根号）【分析】根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为+、，所以矩形的面积是为（+）•=2+6，即可求得矩形内阴影部分的面积．【解答】解：矩形内阴影部分的面积是（+）•﹣2﹣6=2+6﹣2﹣6=2﹣2．【点评】本题要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系，是解决问题的关键．25．（2003•河南）实数p在数轴上的位置如图所示，化简=1 ．【分析】根据数轴确定p的取值范围，再利用二次根式的性质化简．【解答】解：由数轴可得，1＜p＜2，∴p﹣1＞0，p﹣2＜0，∴=p﹣1+2﹣p=1．【点评】此题从数轴读取p的取值范围是关键．26．（2009•泸州）计算：= 2 ．【分析】运用二次根式的性质：=|a|，由于2＞，故=2﹣．【解答】解：原式=2﹣+=2．【点评】合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．27．（2011•凉山州）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5 ．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用﹣a表示．再分别代入amn+bn2=1进行计算．【解答】解：因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以2a+b=3﹣0.5=2.5．故答案为：2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．三．解答题（共13小题）28．（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．【分析】（1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．【解答】解：（1）=，=；（2）原式=+…+=++…+=．【点评】学会分母有理化的两种方法．29．（2014•张家界）计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2，然后合并即可．【解答】解：原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2=﹣7+3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．30．（2009•广州）先化简，再求值：，其中．【分析】本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值．【解答】解：原式=a2﹣3﹣a2+6a=6a﹣3，当a=时，原式=6+3﹣3=6．【点评】本题主要考查整式的运算、平方差公式等基本知识，考查基本的代数计算能力．注意先化简，再代入求值．31．（2005•沈阳）先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．【解答】解：原式===；当x=1+，y=1﹣时，原式=．【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．32．（2010•莱芜）先化简，再求值：，其中．【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．本题注意x﹣2看作一个整体．【解答】解：原式====﹣（x+4），当时，原式===．【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．33．（2008•余姚市校级自主招生）已知a=，求的值．【分析】先化简，再代入求值即可．【解答】解：∵a=，∴a=2﹣＜1，∴原式=﹣=a﹣1﹣=a﹣1+=2﹣﹣1+2+=4﹣1=3．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．34．（2002•辽宁）对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的，为什么？【分析】因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，故错误的是乙．【解答】解：甲的解答：a=时，﹣a=5﹣=4＞0，所以=﹣a，正确；乙的解答：因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，错误；因此，我们可以判断乙的解答是错误的．【点评】应熟练掌握二次根式的性质：=﹣a（a≤0）．35．（2011•上城区二模）一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．【分析】把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：（1）周长=++==，（2）当x=20时，周长=，（或当x=时，周长=等）【点评】对于第（2）答案不唯一，但要注意必须符合题意．36．（2005•台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．【分析】（1）代入计算即可；（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算．【解答】解：（1）s=，=；p=（5+7+8）=10，又s=；（2）=（﹣）=，=（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c），=（2p﹣2a）（2p﹣2b）•2p•（2p﹣2c），=p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），∴=．（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）【点评】考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力．37．（2009秋•金口河区期末）已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．【分析】观察，显然，要求的代数式可以变成x，y的差与积的形式，从而简便计算．【解答】解：∵，，∴xy=×2=，x﹣y=∴原式=（x﹣y）2+xy=5+=．【点评】此类题注意变成字母的和、差或积的形式，然后整体代值计算．38．（2010秋•灌云县校级期末）计算或化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．【分析】（1）先化简，再运用分配律计算；（2）先化简，再根据乘除法的法则计算．【解答】解：（1）原式==6﹣12﹣6=6﹣18；（2）原式=﹣×=﹣3a2b2×=﹣a2b．【点评】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．39．（2013秋•故城县期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【解答】解：根据，可得m=13，n=42，∵6+7=13，6×7=42，∴==．【点评】解题关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式．40．（2013•黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= m2+3n2，b= 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 =（ 1+ 1 ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．【解答】解：（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．。
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二次根式的知识点汇总
知识点一：二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：
若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简
时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即
；
2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，
一定有意义；
3、化简时，先将它化成
，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：
与
的异同点1、不同点：
与
表示的意义是不同的，
表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在
中
，而
中a 可以是正实数，
0，负实数。
但
与
都是非负数，即
，。
因而它的运算的结果是有差别的，
，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，
=
；
时，
无意义，而
.
知识点七：同类二次根式
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
知识点八:二次根式的运算：
（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
ab =a ·b （a≥0，b≥0）；
b b a a =（b≥0，a>0）．
（3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适
用于二次根式的运算．
练习题 （做出正确选择 并写出题目的知识点） 1.下列二次根式中，的取值范围是3x ≥的是（ ）
A.3x -
B.62x +
C.26x -
D.1
3x -
2. 要使式子
有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．x ＞0
B ．x ≥-2
C ．x ≥2
D ．x ≤2 3.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A.xy 2
B.2ab
C.21
422x x y +
4.若
2(21)12a a
-=-，则（ ）
A ．＜12B.≤12C.＞12 D. ≥1
2
5.下列二次根式,不能与12合并的是( )
A.48
B.18
C.
31
1
D.75-
7. 如果最简二次根式38a -与172a -能够合并，那么a 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8.已知
, 则2xy 的值为（ ）
A ．15-
B ．15
C ．152-
D.15
2
9.下列各式计算正确的是（ ） A. B. C.
D.
10.等式
2
111x x x -⋅+=-成立的条件是（ ） A.1x > B.1x <- C.≥D.≤
11.下列运算正确的是（ ） A.235=
- B.
31
2914
= C.822-= D.
()
5
2522
-=-
12.已知24n 是整数，则正整数n 的最小值是（ ） A.4 B.5 C.6 D.2
14.化简:=
32
；
23
18(0,0)x y x y >>= .
15.
.
16. 比较大小:10 3； 22______.
17．已知：一个正数的两个平方根分别是22-a 和4-a ，则a 的值是 ． 18.计算：
________；
22
512+ ．
19.已知a 、b 为两个连续的整数，且28a b <<，则a b += ．
20.直角三角形的两条直角边长分别为、，则这个直角三角形的斜边长为________，面积为________ .
21.若实数
y
x,满足2
2(3)0
x y
-+-=,则xy的值为.
22. 已知实数x ，y满足|x-4|+ =0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．24.（6分）计算：
（1）
1
2712
3
-+
；（2）
1
(4875)1
3
-⨯
；
(3) |-6|- –；(4)-
25.（6分）先化简，再求值：÷（2＋1），其中=2－1.
26.（6分）先化简，后求值：(3)(3)(6)
a a a a
+---，其中
11
22
a=+
.
27.（6分）已知
23,23
x y
=-=+，求下列代数式的值：
（1）
22
2
x xy y
++
；(2)
22
x y
-
.
28.( 08，济宁)若，则的取值范围是
A．B．C．D．
29. 化简：（1）9的结果是；（2）123
-的结果是；
（3）
8
2
5-= （4））5x-2x=_____ _；
（5）
3＋（5－3）=_________；（6）；（7）＝________；（8）．。