优化设计作业2—螺栓优化

基于MATLAB优化工具箱优化设备的螺栓连接

1 前言

机械优化设计，就是在给定的环境条件下，在对机械产品的形态、几何尺寸关系以及其他因素的约束范围内，以机械系统的功能、强度和经济性等为优化对象，选取设计变量，建立目标函数和约束条件，并使目标函数获得最优值的一种现代设计方法。机械优化设计广泛的应用于齿轮、轴承、连杆、凸轮、机床等产品的设计中。处理优化问题，主要有两个步骤：首先要针对工程实际问题，建立数学模型；然后根据数学模型的特点选择优化方法及其计算程序，作必要的简化和加工，用计算机求得最优设计方案。

目前，已有很多成熟的优化方法程序可供选择，但它们各有自己的特点和适用范围；实际应用中必须注意优化方法或初始参数选择而带来的收敛性问题等。而MATLAB的优化工具箱则选用最佳方法求解、初始参数输入简单、语法符合工程设计语言要求，编程工作量少，优越性明显。

2 MATLAB 优化工具箱寻优的优点

MATLAB 语言是Math Works 公司开发的软件产品,是一种面向科学与工程的高级语言,运用它所提供的优化工具箱求解机械优化问题与传统的求解机械优化问题的方法相比有着很大的优越性:

(1) 利用MATLAB 优化工具箱来求解机械优化问题,可以避免由于我们优化方法选择不当而造成无法得到最优解或所求最优解并不理想的情况。在这个工具箱中,对每一种函数每一步的求解都是通过选择一种最佳方法来进行的。例如在求解约束优化问题时,我们一般的方法总是将其变换为较容易的子系统问题,然后求解,这种方法效率不高,在工具箱中此方法已被集中于对KT方程进行求解的方法所取代。在求解KT 方程时,选择的是序列二次规划(SQP) 方法,并通过BFGS算法来更新Hessian 矩阵。

(2) 利用MATLAB 优化工具箱来求解最优化问题,可以节省编制优化程序的时间。在用此工具箱解优化问题时,我们只需利用文件编辑器来编写目标函数及约束函数的M文件,然后调用相应的优化函数,系统即可自动运行求出最优解,对于无约束的优化问题只需在命令窗口中输入相应的目标函数及初值,直接调用相应函数即可。

(3)MATLAB 工具箱还提供给我们各种形式的输出结果。如我们将options 设置为1 时,就可以以表格的形式输出优化结果,其中包含了迭代次数、各个迭代阶段的函数值等。

(4) 利用option 参数还可以实现选择主要算法、选择搜索方向算法、控制有限微分梯度计算中变量x 扰动的水平等功能。

3. 算法举例

3.1 问题的提出

图示为一压气机气缸与缸盖连接的示意图。

已知气缸外径D1=400mm,内径D2=240mm，缸内工作压力p=8.5Mpa，螺栓材料为45Cr，抗

拉强度Mpa

1000

b

=

σ，屈服强度Mpa

320

s

=

σ，拉压疲劳极限Mpa

330

1-

=

σ，许用疲劳安全系数[7.1

]

S

a

=，取残余预紧力F

F6.1

''=，采用铜皮石棉密封垫片，螺栓相对刚度8.0

=

c

K。从安全、可靠、经济的角度来选择螺栓的个数n和螺栓的直径d。

3.2 目标函数

取螺栓组连接经济成本

n

C最小为目标。当螺栓的长度、材料和加工条件一定时，螺栓的总成本与n，d值成正比，故本问题优化设计的目标函数为

min

2

1

)

(x

x

nd

C

x

f

n

=

=

=

由此可见，设计变量为螺栓个数n和直径d为

n

x[=

1

[

]x

d T=T

x]

2

3.3 确定约束条件

（1）强度约束条件：螺栓在脉动载荷下工作，因此螺栓组连接须满足疲劳强度条件

()

()()

[]

a

a

a

S

K

K

S≥

+

+

-

+

=-

min

min

1

2

2

σ

σ

ψ

σ

ψ

σ

σ

σ

σ

σ

其中

a

σ为应力幅值;

min

σ为最小应力；

σ

K为疲劳极限综合影响系数，取

σ

K=4.4；

σ

ψ为应力折算系

数，取

σ

ψ=0.23.

气缸最大载荷p

D

P2

2

4

1

π

=

螺栓最大工作载荷

n

P

F

F+

=,,

，

2

1

max

4

1

d

F

π

σ+

螺栓最小工作载荷n

p

F

F

K

F

F/

8.0

,-

=

-

=

σ

,

2

1

,

min

4

1

D

F

π

σ=