高二理科数学期中考试卷及答案

2012-2013年两英中学高二第二学期期中测试试题

数 学 （理 科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集U =R ，集合{|22}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则=⋂B A （ ）

A ．(0,2)

B ．(0,2]

C ．[0,2]

D ．[0,2)

2. 若复数(1-i )(a +i )

是实数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为（

） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 3. 已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为（ ）

A ．5 D ．13 4. 函数ln x

y x

=

在区间()1,+∞上（ ） A ．是减函数 B C ．有极小值 D 5. 阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

6. 设p ：0m ≤，q ：关于x 的方程2

0x x m +-=

有实数根，则p ⌝

是q 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D 7. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 的分配方法种数为（ ）

A ．96

B ．114

C ．128

D ．136

N

M

D 1

C 1

B 1

A

1

D

C

B

A

图3

(度)

150

1401101008. 如图2所示,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2, 长

为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动, 另一端点 N 在正方形ABCD 内运动, 则MN 的中点的轨迹的面积为（ ）

A ．4π

B ．2π

C ．π

D ．

2

π 图2 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 9.为了了解某地居民月均用电 的基本情况, 抽取出该地区若 干户居民的用电数据, 得到频

率分布直方图如图3所示, 若 月均用电量在区间[)110,120 上共有150户, 则月均用电量 在区间[)120,150上的居民

共有 户

10. 以抛物线2

:8C y x =上的一点A 为圆心作圆，

若该圆经过抛物线C 的顶点和焦点，那么该圆的方程为 . 11. 如果1()n

x x

+

展开式中，第四项与第六项的系数相等， 则n = ，展开式中的常数项的值等于 . 12. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为

a 、

b 、

c ，已知3,,3

c C π

==

2a b =, 则b 的值为 . 13. 某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须

满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪

-≤⎨⎪<⎩

则该校招聘的教师最多是 名.

14. 在极坐标系中，若过点()1,0且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，

则AB = .

甲

D

C B

A

F E

乙

D

B

A

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.（本小题满分12分）

已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ).

(1) 当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值; (2) 若θ

为锐角，且83

f πθ⎛⎫

+= ⎪

⎝

⎭，求tan θ的值.

16.（本小题满分12分）

某地区预计从2011年初开始的第x 月，商品A 的价格)6912(2

1)(2

+-=

x x x f （ 12,≤∈x N x ，价格单位：元）

，且第x 月该商品的销售量12)(+=x x g （单位：万件）.（1）2011年的最低价格是多少？

（2）2011年的哪一个月的销售收入最少？

17.（本小题满分14分） 如图甲，在平面四边形ABCD 中，

已知45,90,A C ∠=∠=o

o

105ADC ∠=o

,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，

使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；

（2）求BF 与平面ABC 所成角的正弦； （3）求二面角B －EF －A 的余弦．

18.（本小题满分14分）

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为3e =，以原点为圆心，椭圆短半轴

长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上

的动点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：k

k 2

1

⋅为定值；

（Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若OP

OM

λ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

19.（本小题满分14分） 设函数231

2

)(bx ax e

x x f x ++=-，

已知2-=x 和1=x 为)(x f 的极值点. （1）求a 和b 的值； （2）设23

3

2)(x x x g -=

， 试比较)(x f 与)(x g 的大小.

20.（本小题满分14分）

已知数列}{n a 满足如图所示的程序框图．(Ⅰ)写出数列}{n a 的一个递推关系式； (Ⅱ)证明：}3{1n n a a -+是等比数列， 并求}{n a 的通项公式；

(Ⅲ)求数列)}3({1

-+n n a n 的前n 项和n T ．