高二理科数学期中考试卷及答案
2023-2024学年河北省部分高中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√322．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√557．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．−748．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为1012．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= ． 14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ ．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值．20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，M ，Q 分别为AC ，A 1B 1的中点，且MQ ⊥AB ． （1）证明：MC 1⊥AB ．（2）若BB 1＝4，MQ =√15，求平面MB 1C 1与平面MC 1Q 夹角的余弦值．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√32解：将l 的方程转化为y =−2√33x +√33，则l 的斜率为−2√33． 故选：A ．2．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）解：因为方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，所以42+22+4m ＞0，解得m ＞﹣5． 故选：B ．3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：椭圆E ：x 29+y 25=1，可知a ＝3，因为P 是椭圆E 上一点，所以|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6﹣|PF 1|＝4． 故选：D ．4．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →解：因为P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，P A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，令AB ＝a ，AC ＝b ，P A ＝c ，则A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，b ，0），D(0，34b ，14c)， 则AC →=(0，b ，0)，BD →=(−a ，34b ，14c)，所以BD →在AC →方向上的投影向量为AC →⋅BD →|AC →|⋅AC →|AC →|=34b 2|b|⋅AC →|b|=34AC →．故选：A ．5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）解：∵O 1与O 2相交， ∴|r ﹣5|＜|O 1O 2|＜|r +5|， 又|O 1O 2|＝7，∴|r ﹣5|＜7＜|r +5|，解得2＜r ＜12． 故选：D ．6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√55解：由题意得，BA →=(2，2，0)，BC →=(2，0，−1)，则BA →在BC →上的投影向量的模为|BA →⋅BC →||BC →|=√5，则点A 到直线BC 的距离为√|BA →|2−(|BA →⋅BC →||BC →|)2=√(√8)2−(4√5)2=2√305． 故选：A ．7．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．−74解：由已知直线l 的方程为y =b ax ，即bx ﹣ay ＝0，点F （c ，0），则|FA|=|bc|√b +(−a)2=b ，因为FB →=BA →，所以B 为线段AF 的中点，则|BF|=b2， 设双曲线C 的左焦点为F 1，则|BF 1|=2a +b2， 在△BFF 1中，由余弦定理可得：cos ∠BFF 1=|BF|2+|FF 1|2−|BF 1|22|BF||FF 1|=b 24+4c 2−(2a+b 2)22×b2×2c=2b−ac， 又cos ∠BFF 1=bc ，所以a ＝b ，故l 的斜率为1， 故选：B ．8．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117解：√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8=√(x −9)2+y 2+√(x −2)2+(y −2)2， 该式表示直线l ：2x ﹣y +2＝0上一点到P （9，0），Q （2，2）两点距离之和的最小值． 而P ，Q 两点在l 的同一侧，设点P 关于l 对称的点P ′（x 0，y 0），则{y 0−0x 0−9=−122×x 0+92−y 0+02+2=0，解得{x 0=−7y 0=8，∴P ′（﹣7，8），故√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8≥|P′Q|=√(−7−2)+(8−2)2=3√13． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→解：BC →−A 1A →=AD →+AA 1→=AD 1→，A 正确，B 不正确，又因为EF →=12A 1C 1→，故C 正确，D 不正确． 故选：AC ．10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：A ．取m ＝1，则直线l ：y ＝x +1与曲线C ：x 2+y 2＝1满足图中的位置关系，因此A 正确； B ．联立{y =mx +1x 2+my 2=1，化为（1+m 3）x 2+2m 2x +m ﹣1＝0，若直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1有交点，则Δ＝4m 4﹣4（1+m 3）（m ﹣1）＝m 3﹣m +1＞0． 由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，满足Δ＞0，因此B 正确；C ．由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，直线l 与椭圆应该有交点，因此C 不正确；D ．由图可知：直线l 经过点（1，0），则m ＝﹣1，联立{y =−x +1x 2−y 2=1，化为x ＝1，y ＝0，即直线l 与双曲线的交点为（1，0），因此D 正确． 故选：ABD ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为10解：A 、B 选项，由椭圆的定义得，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，已知|PF 1|=43|PF 2|，解得|PF 1|=87a ，|PF 2|=67a ，由cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=4c 2−47a 2247ac=35， 整理得5a 2+18ac ﹣35c 2＝0，即（a +5c ）（5a ﹣7c ）＝0，则a ＝﹣5c （舍去）或a =75c ，即c a=57，故椭圆E 的离心率为57，故A 正确，B 不正确；C 选项，由a =75c ，得|F 1F 2|=2c =107a ，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，故PF 1⊥PF 2，故C 正确； D 选项，由PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2内切圆的半径为2，得2c ＝2a ﹣4，因为a =75c ，所以c ＝5，即椭圆E 的焦距为10，故D 正确． 故选：ACD ．12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63解：设F ，G 在平面ABCD 的投影分别为AB ，BC 的中点R ，S ，由于AF =√5，AB ＝4，所以F 到平面ABCD 的距离为FR =√AF 2−(12AB)2=1， 由于上、下两层等高，所以P 到平面ABCD 的距离为2，又FG =RS =12AC =2√2，由于GS ＝FR ＝1，BS =RB =12×4=2 所以BG =GC =√GS 2+BS 2=√5=BF =AF ，所以△AFB ≌△BGC ，同理可得△CDH ≌△ADE ≌△AFB ≌△BGC ，△BFG ≌△CHG ≌△DEH ≌△AEF ， 则点B 到FG 的距离为√BF 2−(12FG)2=√(√5)2−(√2)2=√3，则△ABF 的面积为12AB ⋅FR =12×4×1=2，△BFG 的面积为12×2√2×√3=√6，故该几何体的表面积4×2+4×√6+4×4+2√2×2√2+2√2×4=32+8√2+4√6，故A 正确； 将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上， 且A 、B 、C 、D ，N 、P 、Q 、M 均在球面上，设球心到下底面ABCD 的距离为x ， 由于四边形MNPQ 为边长为2√2的正方形，四边形ABCD 为边长为4的正方形， 则其对角线长度分别为4，4√2，则(2√2)2+x 2=22+(2−x)2，解得x ＝0，则该球体的半径为2√2，体积为4π3×(2√2)3=64√2π3，故B 错误；以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C （4，4，0），P （2，0，2），B （4，0，0），F （2，0，1），G （4，2，1），M （2，4，2），CP →=(−2，−4，2)，BF →=（﹣2，0，1），BG →=(0，2，1)，BM →=（﹣2，4，2）， 平面ABF 的一个法向量为m →=（0，1，0），则cos ＜CP →，m →＞=−42√6=−√63，设直线CP 与平面ABF 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜CP →，m →＞|=√63，故直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63，故C 正确； 设平面BFG 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅BF →=−2x 1+z 1=0n →⋅BG →=2y 1+z 1=0，令x 1＝1，得n →=（1，﹣1，2）， 则点M 到平面BFG 的距离为|n →⋅BM →||n →|=222=√63，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= 5 ． 解：由题可知，N （3，0，4），则ON →=(3，0，4)，∴|ON →|=√32+42=5． 故答案为：5．14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ 1 ．解：由题可知（m +1）+（m 2﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝1或m ＝﹣1（舍去），∴m ＝1． 故答案为：1．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 √3x −y =0 ．解：圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1①，则圆心C （0，1）， 以C （0，1），M （√3，0）为直径的圆的方程为：(x −√32)2+(y −12)2=1②，①﹣②可得，√3x −y =0，故直线AB 的方程为√3x −y =0． 故答案为：√3x −y =0．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为7√111111．解：设I ∩AA 1＝P ，连接NP ，MP ，直线NP 即为直线l ．易证得MP ∥CN ，由AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，得AP =13AA 1，以D 为坐标原点，DA ．DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝6，则得：N （0，0，3），P （6，0，2），A （6，0，0），C 1（0，6，6）， NP →=（6，0，﹣1），AC 1→=（﹣6，6，6）， 所以得：|cos ＜NP →，AC 1→＞|=|NP →⋅AC 1→||NP →|⋅|AC 1→|=37×63=7√111111，故直线与直线 AC 1 所成角的余弦值为7√111111．故答案为：7√111111． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值． 解：（1）因为a ＝1，所以l 1：x +y +1＝0，l 2：2x +4y ﹣4＝0，即x +2y ﹣2＝0， 联立{x +y +1=0x +2y −2=0解得{x =−4y =3，故直线l 1与l 2的交点坐标为（﹣4，3）．（2）因为l 1∥l 2，所以2a 2﹣a ﹣3＝0，解得a ＝﹣1或a =32， 当a ＝﹣1时，l 1与l 2重合，不符合题意． 当a =32时，l 1与l 2不重合，符合题意． 故a =32．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．解：（1）证明：因为E ，F 分别为P A ，PC 的中点， 所以BE →=12BA →+12BP →，BF →=12BC →+12BP →， 所以BG →=BD →+DG →=BD →+23DP →=BD →+23(BP →−BD →)=13BD →+23BP →=13BA →+13BC →+23BP →=23(12BA →+12BP →)+23(12BC →+12BP →)=23BE →+23BF →， 故B ，E ，G ，F 四点共面；（2）由正四棱锥的对称性知，V 1＝2V E ﹣PBG ，V 2＝2V A ﹣PBD ， 设点E 到平面PBG 的距离为d 1，点A 到平面PBD 的距离为d 2，由E 是P A 的中点得d 2＝2d 1， 由DG →=2GP →得S △PBD ＝3S △PBG ，所以V 1V 2=V E−PBG V A−PBD=13S △PBG ⋅d 113S △PBD ⋅d 2=16．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值． 解：（1）设M （x ，y ），则Q （x ，0）， 因为PQ →=2PM →，则P （x ，2y ）， 因为P 在圆C 上，所以x 2+（2y ）2＝12， 故E 的方程为x 212+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若A ，B 是E 上两点，则{x 1212+y 123=1x 2212+y 223=1， 两式相减得x 12−x 2212+y 12−y 223=0，即y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)．因为线段AB 的中点坐标为(−85，25)，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=1，所以k AB ＝1，则直线AB 的方程为y ＝x +2．联立方程组{y =x +2x 212+y 23=1，整理得5x 2+16x +4＝0，其中Δ＞0， 则x 1+x 2=−165，x 1x 2=45， |AB|=√1+12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√225． 20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，由图形可得A（﹣8，0），B（8，0），D（0，4），设该圆的半径为r米，则r2＝82+（r﹣4）2，解得r＝10，圆心为（0，﹣6），故该圆弧所在圆的方程为x2+（y+6）2＝100．（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则(d2)2+(6+1.6)2=102，解得d=2√42.24．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5＜2√42.24．隧道能并排通过4辆该种汽车；若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5＞2√42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，A1B1的中点，且MQ⊥AB．（1）证明：MC1⊥AB．（2）若BB1＝4，MQ=√15，求平面MB1C1与平面MC1Q夹角的余弦值．（1）证明：因为△A1B1C1是等边三角形，Q为A1B1的中点，所以C1Q⊥A1B1，又AB∥A1B1，所以C1Q⊥AB，因为MQ⊥AB，C1Q∩MQ＝Q，所以AB⊥平面MC1Q，又MC1⊂平面C1MQ，所以MC1⊥AB；（2）解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得MN∥C1Q，则MN⊥AB，且MN=√32，由BB 1＝4，得QN =3√72，因为MQ =√15，所以MQ 2+MN 2＝QN 2， 即MQ ⊥MN ，又MQ ⊥AB ，从而MQ ⊥平面ABC ，以M 为坐标原点，MN 所在直线为x 轴，MQ 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M （0，0，0），B 1（0，1，√15），C 1（−√3，0，√15）， 则MB 1→=（0，1，√15），MC 1→=（−√3，0，√15）， 设平面MB 1C 1的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅MB 1→=y +√15z =0m →⋅MC 1→=−√3x +√15z =0，令z ＝1，得m →=(√5，−√15，1)，由图可知，n →=（0，1，0）是平面MC 1Q 的一个法向量，设平面MB 1C 1与平面MC 1Q 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=√1521=√357．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．解：（1）∵F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点，∴{a 2+b 2=10409a2−69b2=1，解得a 2＝4，b 2＝6，∴E 的方程为x 24−y 26=1．（2）证明：设T （1，m ），由题意得直线l 1的斜率存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ﹣m ＝k （x ﹣1），则直线l 2的方程为y ﹣m ＝﹣k （x ﹣1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立方程组{y −m =k(x −1)x 24−y 26=1，整理得（3﹣2k 2）x 2+（4k 2﹣4km ）x ﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12＝0，Δ＝（4k 2﹣4km ）2﹣（12﹣8k 2）（﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12）＝﹣72k 2﹣48km +24m 2+144＞0， 则x 1+x 2=4k 2−4km 2k 2−3，x 1x 2=2k 2−4km+2m 2+122k 2−3，|AT |=√1+k 2|x 1−1|，|BT |=√1+k 2|x 2﹣1|，|CT |=√1+k 2|x 3﹣1|，|DT |=√1+k 2|x 4﹣1|， ∴|AT ||BT |＝（1+k 2）|（x 1﹣1）（x 2﹣1）|＝（1+k 2）|x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1| ＝（1+k 2）|2k 2−4km+2m 2+122k 2−3−4k 2−4km 2k 2−3+1|＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3|，同理，|CT ||DT |＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3，∴|AT||DT|=|CT||BT|，∴△ACT ∽△DBT ，∴∠ABD ＝∠ACD ．。
高二理科数学下册期中检测试卷及答案
～第二学期期中考试高二数学试题（理科）注意事项：1． 本试卷共4页，包含填空题（第1～14题，共14题）、解答题（第16～20题，共6题）二部分。
本次考试时间为120分钟，满分160分。
考试结束后，只需将答题纸交回。
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号、班级等信息用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。
3． 作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
参考公式：线性回归方程系数公式：,)())((211^∑∑==---=ni i ni i ix x y y x xb x b y a ^^-=.样本相关系数公式：,)()())((21211∑∑∑===----=ni i ni ini i iy y x xy y x xr卡方统计量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直 接填写在答题纸指定位置. 1.化简=+-ii11 ▲ . 2．=-3545C A .3．已知,11ni im-=-其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m . 4.在回归分析中，对于y x ,随机取到的n 对数据),,2,1)(,(n i y x i i =样本相关系数r 具有下列哪些性质：①;1≤r ②r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越弱;③r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越强；④r 越接近于0，y x ,的线性相关程度越强，请写出所有正确性质的序号： .5.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 .①若2χ的观测值满足2χ≥6.635,我们有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100人吸烟的人中必有99患有肺病;②从独立性检验可知有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99％的可能患有肺病;③其从统计量中得知有95％的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5％的可能性使得推判出现错误.6.某地区的年财政收入x 与年支出y 满足线性回归模型ε++=bx a y （单位：亿元），其中.5.0,2,8.0≤==εa b 如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过 .7.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有 种.8．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AC AB ,互相垂直，则三角形边长之间满足关系：.222BC AC AB =+若三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .9．已知推理：“因为△ABC 三边长依次为3，4，5，所以△ABC 是直角三角形”.若将其恢复成完整的三段论，则大前提是 . 10.观察下列等式：,),4321(16941,321941),21(41,11 +++-=-+-++=+-+-=-=由此推测第n 个等式为 .（不必化简结果） 11.已知,12121=-==z z z z 则21z z +等于 .12.在复平面内，Ｏ是原点，,,表示的复数分别为,51,23,2i i i +++-那么表示的复数为 .13.设正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),1(21nn n a a S +=推测出n a 的表达式为 . 14.将正奇数排列如右表所示，其中第i 行第j 个数表示为),,(**N j N i a ij ∈∈例如.932=a 若,2009=ij a 则=+j i .二、解答题：本大题共６小题，共90分.在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题14分）已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=当实数m 取什么值时，复数z 是： （１） 零；（２）纯虚数； （３）.52i z +=16.（本小题１４分）先解答（１），再通过结构类比解答（２） （１） 求证：;tan 1tan 1)4tan(xxx -+=+π（２） 设R x ∈且,)(1)(1)1(x f x f x f -+=+试问：)(x f 是周期函数吗？证明你的结论.17.(本小题１４分)设有编号为１，２，３，４，５的五个球和编号为１，２，３，４，５的五个盒子，现将这五个球放入５个盒子内.（１） 只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（２） 没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？18.（本小题１６分）设,1,*>∈n N n 用数学归纳法证明：.131211n n>++++19.(本小题16分)某电脑公司有６名产品推销员，其中５名推销员的工作年限与年推销金额数据如下表：（１） 求年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数（精确到小数点后两位）； （２） 求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；（３） 若第６名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额. (参考数据：;02.104.1≈由检验水平0.01及,32=-n 查表得.59.001.0=r )20.（本小题16分０设Q P ,是复平面上的点集，{}{}.,2,05)(3P z iz Q z z i z z z P ∈===+-+⋅=ωω（１）Q P ,分别表示什么曲线？（２）设,,21Q z P z ∈∈求21z z -的最大值与最小值.2019－2019学年度第二学期期中考试高二数学答题纸一．填空题：（本题共14小题，每题5分，共70分）1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12.13. 14.二．解答题：（本题共6题，共90分,请写出必要的解答或证明过程）15题：（本题14分）16题：（本题14分）17题.（本题14分）…18题：（本题16分）…19题：（本题16分）20题：（本题16分）高二理科数学参考答案一、填空题1. i -；2. 110；3. i +2；4. ①③；5. ③；6. 10.5亿元；7. 81； 8. 2222ACD ABC ABD BCD S S S S ∆∆∆∆++=；9. 一条边的平方等于其它两条边平方和的三角形是直角三角形； 10. )321()1()1(4321121222n n n n ++++-=⋅-++-+--- ；11.12. i 44-；13. 1--=n n a n ；14. 60二、解答题15. 解：（1）由⎩⎨⎧=-+=-0320)1(2m m m m 可得m=1； …………4分（2）由⎩⎨⎧≠-+=-0320)1(2m m m m 可得m=0； …………8分（3）由⎩⎨⎧=-+=-5322)1(2m m m m 可得m=2； …………12分综上：当m=1时，复数z 是0；当m=1时，复数z 是纯虚数；当m=2，复数z 是i 52+． …………14分 16. 解：（Ⅰ）xx x x x tan 1tan 14tantan 14tantan )4tan(-+=-+=+πππ； …………4分 （Ⅱ）)(x f 是以4为其一个周期的周期函数． …………6分∵)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)1)1(()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=++=+， …………10分 ∴)()2(1)2)2(()4(x f x f x f x f =+-=++=+， …………12分所以)(x f 是周期函数，其中一个周期为4． …………14分 17. 解：（1）只有一个盒子空着，则有且只有一个盒子中投放两个球，另外3只盒子中各投放一个球，先将球分成2，1，1，1的四组，共有25C 种分法， …………4分再投放到五个盒子的其中四个盒子中，共有45A 种放法，所以满足条件的投放方法共有4525A C =1200（种）； …………8分（2）五个球投放到五个盒子中，每个盒子中只有一个球，共有55A 种投放方法，而球的编号与盒子编号全相同的情况只有一种，所以球的编号与盒子编号不全相同的投放方法共有155-A =119（种）． …………14分18. 证明：记)(n f ＝+++31211…n1+（*N n ∈，n ＞1）， …………2分（1）当n ＝2时，211)2(+=f ＞2，不等式成立； …………6分（2）假设n ＝k （*N k ∈，k ≥2）时，不等式成立， …………8分 即)(k f ＝+++31211…k1+＞k ，则当n ＝k +1时，有)1(+k f ＝)(k f +11+k ＞k +11+k ＝11)1(+++k k k＞11++k k ＝1+k …………12分∴当n ＝k +1时，不等式也成立. …………14分 综合（1），（2）知，原不等式对任意的*N n ∈（n ＞1）都成立. …………16分 19. 解：(Ⅰ)由∑=--ni i iy y x x1))((=10，∑=-n i i x x 12)(=20，21)(∑=-ni i y y =5.2，可得98.02.52010≈⨯=r ， …………4分∴年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数约为0.98． …………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，98.0=r ＞01.0959.0r =,∴可以认为年推销金额y 与工作年限x 之间具有较强的线性相关关系. …………8分设所求的线性回归方程为a bx y+=ˆ，则4.0,5.0==a b . …………10分 ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为4.05.0ˆ+=x y. …………12分 (Ⅲ) 由(Ⅱ) 可知，当11x =时, 4.05.0ˆ+=x y= 0.5×11+ 0.4 = 5.9万元， ∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元． …………16分 20. 解：（1）设yi x z +=（R y x ∈,）， …………2分 则集合=P {),(y x ︱05622=+-+y y x }＝{),(y x ︱4)3(22=-+y x }，故P 表示以（0，3）为圆心，2为半径的圆； …………6分第11页 共11页 设yi x +=ω（R y x ∈,），P i y x z ∈+=00（R y x ∈00,）且iz 2=ω，…………8分 则⎩⎨⎧=-=0022x y y x …………10分 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x y y x 212100代入4)3(22=-+y x 得16)6(22=++y x ，故Q 表示以（－6，0）为圆心，4为半径的圆； …………12分（2）21z z -表示分别在圆Q P ,上的两个动点间的距离，又圆心距53=PQ ＞2+4， 故21z z -最大值为6+35，最小值为35－6． …………16分。
高二下学期期中考试理科数学试卷含答案(共5套)
高二下学期理科数学期中考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-，则AB 等于（ ）A ．[]1,6-B ．(]1,6C ．[)1,-+∞D ．[]2,3 2．复数201811z i i=++在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（0a >且1a ≠）. 则下列命题为真命题的是( )A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨ 4．已知平面向量,a b 满足3a =， 23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π5．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：240ax y +-=与直线2l ：()120x a y +++=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1D ．27．执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框 中，应填入（ ） A ．?n k < B ．?n k > C ．?n k ≥ D ．?n k ≤8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．121B ．49C ．92D ．39．某城市关系要好的A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）A. 48种B. 36种C. 24种D. 18种 10．已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ）A ． π16B ．π8 C. π4 D ．425π11．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为C 的左、右焦点， 212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C 的离心率为（ ）A ．2或3B ．2或3C ．2D ．212．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则()1f =（ ）A. 12-B. 0C. 12D. 1第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2-=⎰**** .14．5(2)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 **** ．（用数字表示） 15．若sin 2cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α= **** ． 16．对任一实数序列),,,(321 a a a A =，定义新序列),,,(342312 a a a a a a A ---=∆，它的第n 项为n n a a -+1，假设序列)(A ∆∆的所有项都是1，且02212==a a ，则=2a **** ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()cos 2cos b C a c B =-. （1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值．18．(本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据),(i i y x （6,,2,1 =i ）如下表所示：已知变量,x y 具有线性负相关关系，且3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲：544+=x y ；乙：1064+-=x y ；丙：1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出,a b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率．19．(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =， 121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =， 1n n n b b a n +=+-. （1）证明：{}n a n -是等比数列； （2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T ．20．(本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ． （1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==， PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)22,1(P ，且离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）设21,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点B A ,，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.（1）若0>a ，且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若320<<a ，判断函数)(x f 的零点个数并证明．高二下学期理科数学期中考试参考答案及评分标准13、2π； 14、10 ； 15、8； 16、100. 11、【解析】由于12PF F ∆为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于22b PF a =，所以212b PF a a =+，故外接圆半径为21122b PF a a=+.设内切圆半径为r ，根据三角形的面积公式，有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭，解得2b r ac =+，故两圆半径比为22:2.52b b a a a c ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，化简得()()()1230e e e +--=，解得2e =或3e =.12、【解析】曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，所以()'11f =- ，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，可得1x >时， ()()2'0,f x xf x +>01x <<时， ()()2'0f x xf x +<，令()()()2,0,,g x x f x x =∈+∞ ()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦，可得1x >时，()'0,g x >01x <<时，()'0g x <，可得函数()g x 在1x =处取得极值， ()()()'121'10,g f f ∴=+=， ()()111'122f f ∴=-⨯=，故选C.17、【解析】 (1)由()cos 2cos b C a c B =-，得()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=-⋅sin()2sin cos sin B C A B A ∴+=⋅=，又sin 0A ≠, 1cos 2B ∴=， 又0B π<<, 3B π∴=. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2212a c ac =+-，∵222a c ac +≥，∴12ac ≤，当且仅当a c ==∴11sin 12222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=即ABC ∆面积的最大值为.……………………10分18、解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系， ∴甲是错误的. 又∵3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的.由3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，得8=a ，90=b . ……………………6分（2）由计算得不是“理想数据”有3个，即(5,84),(7,80),(9,68)，从6个检测数据中随机抽取2个，共有2615C =种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有233C =中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：341155P =-=.……………………12分19、【解析】（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列. …………………4分 （2）由（1）得()11122n n n a n a --=-⋅=，又1n n n b b a n +=+-12n n n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥12b =满足上式. 2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分20、【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥． ………………4分 （2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以13,22AO PA PO PA ==， 因为3PA AB =，所以36BO PA =． 如图，分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立所示空间直角坐标系， 设6PA =，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,0,0O A B C -，()0,3,0,D -()3330,0,33,,0,22P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以()9330,23,0,,0,,22DB AH ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()3,3,0,3,0,33AB AP =-=-．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111230933022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令11x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223303330n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令23x =，则223,1y z ==，所以()23,3,1n =，记二面角P AM N --的大小为θ，θ为锐角 则1212122339cos cos ,13213n n n n n n θ⋅====⋅⋅ 所以二面角P AM N --的余弦值为3913．……………………12分21、解析：（1）由题意，知22111,22a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩考虑到222a b c =+，解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………3分 （2）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2212x y +=， 整理得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=.由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->，得2221k m >-. ①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412kmx x k+=-+，21222(1)12m x x k -=+. 因为(1,0)F -，所以1111AF y k x =+，1221AF y k x =+. 因为1212211y yk x x =+++，且11y kx m =+，22y kx m =+， 所以12()(2)0m k x x -++=.因为直线AB ：y kx m =+不过焦点(1,0)F -，所以0m k -≠， 所以1220x x ++=，从而242014km k -+=+，即12m k k=+. ② 由①②得2212()12k k k>+-，化简得||2k > ③ 焦点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离211|2|2k d ++===.令t =||2k >t ∈.于是23132()2t d t t t+==+.考虑到函数13()()2f t t t=+在上单调递减，则(1)f d f <<2d <<.所以d的取值范围为2). ……………………12分22、解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1.…………………4分 (2)∵320<<a ，ax e x f x+-=1)('， 记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x， 知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，1'(1)01f e a=->+， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ， 即01)('000=+-=ax ex f x ， 于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增.∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=，当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. …………12分高二（下）理科数学期中考试试卷一、单选题（共12题；共60分）1．()()121-1x +=⎰A. 212+π B. 214+πC. 12+πD. 21+π2．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（）A.12 B. 23 C. 35D. 34 3．设复数z 满足()11z i i +=-，则z =（） A. 2i -- B. 1i -- C. 2i -+ D. 1i -+4．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[42ππ，），则点P横坐标的取值范围为()A. 12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B. []10-，C. []01， D. 12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 5．已知函数，在区间（0，1）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是A. （15，B. [15，C. （，6） D. （，66．若,则下列不等式恒成立的是 ( )A.B.C. D.7．函数f(x)＝x 3＋ax 2+bx ＋a 2在x=1处的极值为10，则数对（a,b ）为( )A. （-3,3）B. （-11,4）C. （4，-11）D.（-3,3）或（4，-11） 8.已知对于任意恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A. 0B. 1C.D.9.函数f（x）= 的大致图象是（）A. B.C. D.10.已知函数，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（）A. cB. a+b+cC. 8a+4b+cD. 3a+2b11.设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.12.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共20分）13.若，则= ________14.球的直径为，当其内接正四棱柱的体积最大时的高为________.15.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是________.16.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为________.三、解答题（共6题；共70分）17.已知．(满分10分) （1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间．18.已知函数，．（满分10分）（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.19.已知三棱锥A BCD -如图所示，其中90BAD BDC ∠=∠=︒，ADB DBC ∠=∠，面ABD 垂直面CBD.（满分14分）（1）证明：AB DC ⊥；（2）若E 为线段BC 的中点，且1AD =，tan 6CAD ∠=，求二面角B AD E --的余弦值.20.已知椭圆C1的方程为+ =1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．（满分12分）（1）求双曲线C2的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2 ，求直线l的方程．21.已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．（满分12分）22.已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a为实数）．（满分12分）（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[ ，e]上的最大值和最小值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），g（x）=f（x）﹣2ax＜0恒成立，求实数a的取值范围．19、（满分14分）20. （满分12分）21、（满分12分）答案解析部分1,B 2,B 3,A 4,D 5,B 6,C 7,C8.【答案】C【解析】【解答】依题意得令，则,当时，，当时，，所以函数先增后减，最小值为，所以.故答案为:C.9.【答案】C【解析】【解答】解：∵f（x）= ，当x=0时，f（0）=﹣3，故排除AB当x= 时，f（）=0，故排除D，故选：C10.【答案】C【解析】【解答】由导函数的图象可知，在处取得极小值，.f(2)=8a+4b+c故答案为：C。
2023-2024学年天津市南开大学附中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市南开大学附中高二（上）期中数学试卷一、单选题（每题3分，共30分）1．完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法，其中N＝（）A．m+n B．m n C．n m D．m×n2．设随机变量X～N（2，σ2），P（0＜X＜4）＝0.4，则P（X＜0）＝（）A．0.25B．0.35C．0.3D．0.73．已知P（AB）=215，P（A）=25，那么P（B|A）等于（）A．475B．13C．23D．344．已知定义在[0，3]上的函数f（x）的图像如图，则不等式f′（x）＜0的解集为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（0，1）∪（2，3）5．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（）A．1−C904C1004B．C100C904+C101C903C1004C．C101C1004D．C101C903C10046．已知随机变量的分布列如表：若E（X）＝1，则D（X）＝（）A．0.1B．0.2C．0.4D．0.67．学校食堂分设有一、二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（ ） A ．0.18B ．0.28C ．0.42D ．0.658．已知f （x ）＝（x ﹣3）e x ，则f （x ）（ ） A ．在（﹣∞，∞）上单调递增 B ．在（﹣∞，1）上单调递减C ．有极大值﹣e 2，无极小值D ．有极小值﹣e 2，无极大值9．已知二项式（a √x +1√x3n ）（a ＞0）的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中x 2项的系数为84，则a 为（ ） A ．2B ．1C ．15D ．31010．已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的均值为（ ） A ．24181B ．26681C ．27481D ．67081二、填空题（每题3分，共15分） 11．A 72C 102= ．12．函数y ＝f （x ）的图象在点P （5，f （5））处的切线方程是y ＝﹣x +8，则f （5）+f ′（5）＝ ． 13．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的条件下，第2次也抽到理科题的概率为 ．14．若（x 2+1）•（x ﹣1）8＝a 0+a 1（x ﹣2）+a 2（x ﹣2）2+⋯+a 10（x ﹣2）10，则a 1+a 2+⋯+a 10＝ ． 15．曲线y =e 12x 在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为．三、解答题（第16题8分，第17题8分，第18题12分，第19题12分，第20题15分，共18分） 16．（8分）求下列函数的导数． （1）y ＝cos （1+x 2）； （2）y ＝ln （2x 2+x ）．17．（8分）已知(ax 2+1x)n 的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为﹣1．（1）求n 和a 的值； （2）求展开式中x﹣4项的系数；（3）求(2x−1x2)(ax2+1x)n的展开式中的常数项．18．（12分）6个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（结果用数字表示）（1）其中甲、乙必须相邻；（2）其中甲、乙、丙3人两两不相邻；（3）其中甲不站排头，乙不站排尾；（4）其中甲、乙中间有且只有1人；（5）其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列（可以不相邻）．19．（12分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得﹣1分．现从盒内任取3个球．（1）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；（2）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．20．（15分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x．（I）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＞0，证明：当0＜x＜1a时，f（1a+x）＞f（1a−x）；（Ⅲ）若函数y＝f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．2023-2024学年天津市南开大学附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每题3分，共30分）1．完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法，其中N＝（）A．m+n B．m n C．n m D．m×n解：根据题意，N＝m+n．故选：A．2．设随机变量X～N（2，σ2），P（0＜X＜4）＝0.4，则P（X＜0）＝（）A．0.25B．0.35C．0.3D．0.7解：∵随机变量X～N（2，σ2），P（0＜X＜4）＝0.4，∴P（0＜X＜2）＝0.2，P（X＜2）＝0.5，∴P（X＜0）＝P（X＜2）﹣P（0＜X＜2）＝0.5﹣0.2＝0.3．故选：C．3．已知P（AB）=215，P（A）=25，那么P（B|A）等于（）A．475B．13C．23D．34解：∵P(AB)=215，P(A)=25，∴根据条件概率公式，可得P（B|A）=P(AB)P(A)=21525=13故选：B．4．已知定义在[0，3]上的函数f（x）的图像如图，则不等式f′（x）＜0的解集为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（0，1）∪（2，3）解：结合函数图象可知，当1＜x＜2时，f（x）单调递减，即f′（x）＜0，故选：B．5．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（）A．1−C904C1004B．C100C904+C101C903C1004C．C101C1004D．C101C903C1004解：从这批产品中抽取4个，则事件总数为C1004个，其中恰好有一个二等品的事件有C101•C903个，根据古典概型的公式可知恰好有一个二等品的概率为C101C903C1004，故选：D．6．已知随机变量的分布列如表：若E（X）＝1，则D（X）＝（）A．0.1B．0.2C．0.4D．0.6解：由分布列的性质，可得0.2+a+b＝1，解得a+b＝0.8 ①，∵E（X）＝1，∴0×0.2+1×a+2×b＝1，即a+2b＝1 ②，联立①②解得a＝0.6，b＝0.2，D（X）＝（0﹣1）2×0.2+（1﹣1）2×0.6+（2﹣1）2×0.2＝0.4．故选：C．7．学校食堂分设有一、二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（）A．0.18B．0.28C．0.42D．0.65解：学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为0.5×0.6+0.5×0.7＝0.65．故选：D．8．已知f（x）＝（x﹣3）e x，则f（x）（）A ．在（﹣∞，∞）上单调递增B ．在（﹣∞，1）上单调递减C ．有极大值﹣e 2，无极小值D ．有极小值﹣e 2，无极大值解：f （x ）＝（x ﹣3）e x ，则f '（x ）＝e x +（x ﹣3）e x ＝（x ﹣2）e x ， 令f ′（x ）＞0，解得x ＞2；令f ′（x ）＜0，解得x ＜2；则f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故A 、B 错误； 由单调性可得：f （x ）有极小值为f （2）＝﹣e 2，无极大值，故C 错误，D 正确． 故选：D ．9．已知二项式（a √x +1√x3n ）（a ＞0）的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中x 2项的系数为84，则a 为（ ） A ．2B ．1C ．15D ．310解：由题意知：C n4=C n 5，所以n ＝9，设x 2项为第r +1项，则x2的系数为C 9r •a 9﹣r •x 9−r2•x−r3=C 9r •a9﹣r⋅x 27−5r 6，由题意得27−5r6=2，解得r ＝3，所以C 93•a 6＝84， 而C 93=9×8×73×2×1=84，∴a 6＝1，a ＞0， 所以a ＝1， 故选：B ．10．已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的均值为（ ） A ．24181B ．26681C ．27481D ．67081解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为（13）2+（23）2=59．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分． 此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响． 从而有P （ξ＝2）=59，P （ξ＝4）=59×49=2081．ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮，P（ξ＝6）＝（49）2=1681．故E（ξ）＝2×59+4×2081+6×1681=26681．故选：B．二、填空题（每题3分，共15分）11．A72C102=1415．解：根据题意，原式=7×610×92=1415．故答案为：14 15．12．函数y＝f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝2．解：∵y＝﹣x+8，∴y′＝﹣1，即f′（5）＝﹣1，又∵f（5）＝﹣5+8＝3，∴f（5）+f′（5）＝3﹣1＝2，故答案为2．13．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的条件下，第2次也抽到理科题的概率为12．解：∵5道题中有3道理科题和2道文科题，则第一次抽到理科题的前提下，第2次抽到理科题的概率P=24=12故答案为：1 214．若（x2+1）•（x﹣1）8＝a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+⋯+a10（x﹣2）10，则a1+a2+⋯+a10＝2555．解：令x＝2，可得a0=(22+1)×(2−1)8=5，令x＝3，可得a0+a1+a2+⋯⋯+a10=(32+1)×(3−1)8=2560，则a1+a2+…+a10＝2560﹣5＝2555．故答案为：2555．15．曲线y=e 12x在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为e2．解：y′=12√ex，y′|x＝4=12e2∴曲线y=e 12x在点（4，e2）处的切线方程为y﹣e2=12e2（x﹣4）即y=12e2x﹣e2令x＝0，得y＝﹣e2，令y＝0，得x＝2∴此切线与坐标轴所围三角形的面积为12×2×e2＝e2故答案为e2三、解答题（第16题8分，第17题8分，第18题12分，第19题12分，第20题15分，共18分）16．（8分）求下列函数的导数．（1）y＝cos（1+x2）；（2）y＝ln（2x2+x）．解：（1）设u＝1+x2，则y＝cos u，故y′x=y′u⋅u′x=(cosu)′⋅(1+x2)′=−sinu⋅2x=−2xsin(1+x2)；（2）设u＝2x2+x，则y＝lnu，故y′x=y′u⋅u′x=(lnu)′⋅(2x2+x)′=1u⋅(4x+1)=4x+12x2+x．17．（8分）已知(ax2+1x)n的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为﹣1．（1）求n和a的值；（2）求展开式中x﹣4项的系数；（3）求(2x−1x2)(ax2+1x)n的展开式中的常数项．解：（1）由条件可得{2n=128(a+1)n=−1，解得{n=7a=−2，（2）(ax2+1x)n=(−2x2+x−1)7，∵（﹣2x2+x﹣1）7展开式的通项为：T k+1=C7k(−2x2)7−k(x−1)k=C7k(−2)7−k x14−3k，k=0，1，2，⋯，7，∴当14﹣3k＝﹣4，即k＝6时，x﹣4项的系数为C76(−2)=−14，（3）(2x−1x2)(ax2+1x)n=(2x−x−2)(−2x2+x−1)7，＝2x（﹣2x2+x﹣1）7﹣x﹣2（﹣2x2+x﹣1）7，∴①当14﹣3k＝﹣1即k＝5时，2x⋅C75(−2)2x−1=168；②当14﹣3k＝2即k＝4时，−x−2⋅C74(−2)3x2=280；∴所求的常数项为168+280＝448．18．（12分）6个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（结果用数字表示）（1）其中甲、乙必须相邻；（2）其中甲、乙、丙3人两两不相邻；（3）其中甲不站排头，乙不站排尾；（4）其中甲、乙中间有且只有1人；（5）其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列（可以不相邻）．解：（1）甲乙相邻，直接将甲乙捆绑，有A22A55=240种排法；（2）根据题意，分2步进行分析，①将除甲、乙、丙之外的3人进行全排列，有A33种情况，排好后，有4个空位，②在4个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有A43种情况，则共有A33A43=144种排法；（3）根据题意，分2种情况讨论：①甲站在排尾，剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有A55种排法，②甲不站在排尾，则甲有4个位置可选，有A41排法，乙不能在排尾，也有4个位置可选，有A41种排法，剩余4人进行全排列，安排在其他4个位置，有A44种排法，则此时有A41A41A44种排法；故甲不站排头，乙不站排尾的排法有A55+A41A41A44=504种；（4）根据题意，分3步进行分析：①先将甲、乙全排列，有A22种情况，②在剩余的4个人中任选1个，安排在甲乙之间，有A41种选法，③将三人看成一个整体，与其他3人进行全排列，有A44种排法，则甲、乙中间有且只有1人共有A22A41A44=192种排法；（5）根据题意，分2步进行分析：①在6个位置中任取3个，安排除甲、乙、丙之外的3人，有A63种排法，②将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有1种排法，则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有A63=120种．19．（12分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得﹣1分．现从盒内任取3个球．（1）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；（2）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．解：（1）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，现从盒内任取3个球．基本事件总数n=C93=84，取出的3个球中至少有一个红球包含的基本事件个数m=C93−C73=49，∴取出的3个球中至少有一个红球的概率P=mn=4984=712．（2）规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得﹣1分．取出的3个球得分之和恰为1分包含的情况有两种：①1红2白，包含的基本事件个数为m1=C21C32=6，②2红1黑，包含的基本事件个数为m2=C22C41=4，∴取出的3个球得分之和恰为1分的概率P=m1+m2n=6+484=542．（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，则ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）=C6384=2084=521，P（ξ＝1）=C31C6284=4584=1528，P（ξ＝2）=C32C6184=1884=314，P（ξ＝3）=C3384=184．∴ξ的分布列为：20．（15分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x．（I）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＞0，证明：当0＜x＜1a时，f（1a+x）＞f（1a−x）；（Ⅲ）若函数y＝f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1x −2ax+(2−a)=−(2x+1)(ax−1)x，①若a＞0，则由f′（x）＝0，得x=1a，且当x∈（0，1a）时，f′（x）＞0，当x∈（1a，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1a ）单调递增，在（1a，+∞）上单调递减；②当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增；（II）设函数g（x）＝f（1a+x）﹣f（1a−x），则g（x）＝ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，g′（x）=a1+ax +a1−ax−2a=2a3x21−a2x2，当x∈（0，1a）时，g′（x）＞0，而g（0）＝0，所以g（x）＞0，故当0＜x＜1a时，f（1a+x）＞f（1a−x）；（III）由（I）可得，当a≤0时，函数y＝f（x）的图象与x轴至多有一个交点，故a＞0，从而f（x）的最大值为f（1a），不妨设A（x1，0），B（x2，0），0＜x1＜x2，则0＜x1＜1a＜x2，由（II）得，f（2a−x1）＝f（1a+1a−x1）＞f（x1）＝f（x2）＝0，又f（x）在（1a，+∞）单调递减，∴2a−x1＜x2，于是x0=x1+x22＞1a，由（I）知，f′（x0）＜0．第11页（共11页）。
高二年级期中考试数学试卷(理科)(及答案)
高二年级期中考试数学试卷（理科）(及答案)考试时间：120分钟共150分第I 卷（模块卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知过点A （－2，m ）和B （－8,4）的直线与直线01-2y x 平行，则m 的值为（）A. 0B. －8C. 2D. 102. 圆4)2(22yx 与圆91)()2(22y x的位置关系为（）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离3. 关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是（）A. 若M b M a //,//，则b a //B. 若a b M a ,//，则Mb C. 若,,a M bM 且,la lb ，则l MD. 若N a M a//,，则MN 4. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A.122B. 144C.12D.1425. 若直线10x y 与圆22()2xa y有公共点，则实数a 的取值范围是（）A.3,1B.1,3 C.3,1 D. ),1[]3,(6. 如图，在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（）A. BC//平面PDFB. DF ⊥平面PAEC. 平面PDF ⊥平面ABCD. 平面PAE ⊥平面ABC7. 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于A.46 B.410 C.22 D.238. 如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（）A. 点H 是△A 1BD 的垂心B. AH 垂直平面CB 1D 1C. AH 的延长线经过点C 1D. 直线AH 和BB 1所成角为45°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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高二期中理科数学试卷10、 若 f ( x)1 x2 b ln( x 2)在 (-1,+ ) 上是减函数，b 的取 范 是（）2第 I 卷 （ , 共 60 分）A. [ 1,)B.( 1, )C.( , 1]D.( , 1)一、 （共12 小 ，每小 5 分，共 60 分）11、点 P 是曲 yx 2ln x上任意一点 , 点 P 到直 yx 2 的距离的最小 是（）51、复数的共 复数是 ()2i(A)１(B)2(C)２(D) 2 2A 、 i 2B 、 i 2C 、2 iD 、 2 i'12、 于 R 上可 的任意函数 f （ x ），且3f (1) 0若 足（ － ）， 必有（）2、 已知 f(x)=x· sinx，f '(1) )x1 f（ x ）>0=(A ． f （0）＋ f （2） 2 f （ 1）B ． f （ 0）＋ f （2） 2 f （ 1）1+cos1 B.1 sin1+cos1 C.1 D.sin1+cos1C ． f （0）＋ f （2） > 2 f （ 1）D． f （0）＋ f （ 2） 2 f （ 1）A.3 sin1-cos133第Ⅱ卷 （非 , 共 90 分）3、 设 aR ，函数 fe xae x 的导函数为 f ' xx，且 f ' x是奇函数，则 a 为 （）5 分，共 20分）二．填空 （每小A ．0B． 1 C．2D． -124、 定积分1x13、 f (x)x , x [0,1]， 02f ( x) dx =( 2 x e ) dx 的值为（ ）2 x, x(1,2]A 2 eB e CeD2 e ．． ．1．14、若三角形内切 半径r ，三 a,b,c 三角形的面S（r a b c ）；1 112(n ≥ 2， n ∈N * )的 程中，由5、利用数学 法 明不等式1＋ 2 ＋ 3＋⋯2n － 1<f(n) n ＝ k 到 n＝ k ＋ 1 ，左 增加了 ()利用 比思想：若四面体内切球半径R ，四个面的面S 1， S 2， S 3， S 4 ；A ． 1B ． kk －1k四面体的体V=C ．2D ． 22，其中 i 是虚数 位， |z|＝ ______.15、若复数 z ＝6、由直 y= x - 4，曲 y2x 以及 x 所 成的 形面 （）1＋ 3i16、已知函数 f(x) ＝ x 3＋ 2x 2－ ax ＋ 1 在区 (－ 1,1)上恰有一个极 点， 数 a 的取 范_____．4025B.13C.D.1570 分）A.2三、解答 （本大 共37、函数 f (x)x 3ax 2bx a 21 有极 10,点 (a, b)（）17、（ 10 分） 实数 m 取怎样的值时，复数z m3 (m 22m 15)i 是：在 x（ A ） (3,3) （ B ） (4,11) （ C ） (3,3) 或 ( 4,11)（ 1）实数？（ 2）虚数？（ 3）纯虚数？（D ）不存在18、（ 12 分）已知函数f ( x) x33x .8、函数 f(x) ＝ x 2－ 2lnx 的 减区 是 ( )3, 3] 上的最大 和最小 . A ． (0,1]B ． [1，＋∞ )C ． (－∞，－ 1]∪ (0,1]D ．[ －1,0)∪ (0,1]（ 1）求函数 f ( x) 在 [29、 已知f ( x1) 2 f ( x) , f (1)，猜想 的表达式（ ）（ 2） 点 P(2,6)作曲 y f ( x) 的切 ，求此切 的方程 .f (x) 2 1 （ x N *）f (x ）A. f (x)2 x4 ； B.f ( x)2； C.f (x)1； D.f ( x)2 .2x 1x 12x 11 1 又因 f (3)18, f ( 1) 2, f (1)3919、（ 12 分）在各 正的数列a n 中 , 数列的前 n 和 S n 足 S n2, f ( )，a n,282a n⑴求 a 1 , a 2 , a 3 ；所以当 x3 ， f (x) min 18 当 x1 ， f (x)max2 ⋯⋯⋯⋯ 6 分y ( x o 33(x o 2a n（ II ） 切点 Q( x o , x o 3 3x o ) ， 所求切 方程 3x o ) 1)(x x o )⑵由⑴猜想数列的通 公式 , 并用数学 法 明你的猜想由于切 点 P(2, 6) ，6 ( x o 33x o ) 3( x o21)(2 x o ) ，220、（ 12 分）已知函数 f ( x) x 3 ax 2 bx c 在 x 与 x 1 都取得极解得 x o 0 或 x o3 所以切 方程y3x 或 y 6 24( x 2) 即(1) 求 a, b 的 与函数 f ( x) 的 区33x y 0 或 24 x y54 0(2) 若 x[ 1,2] ，不等式 f (x) 2⋯⋯⋯⋯ 12 分c 恒成立，求 c 的取 范21、（ 12 分）已知函数f ( x) 2x 3 3x 2 3.（ 1）求曲 yf ( x) 在点 x 2 的切 方程；（ 2）若关于 x 的方程 fxm 0 有三个不同的 根，求 数m 的取 范 . 19 . 解 : ⑴易求得 a 11, a 2 2 1, a 3 32⋯⋯⋯⋯ 2 分f xa 2xxln x ，其中 a0 ．⑵猜想 a nn n1(n N *)22、（ 12分）已知函数x， g⋯⋯⋯⋯ 5 分xa 的 ；（ 1）若 x1 是函数 h xf xg x 的极 点，求 数明 : ①当 n 1 , a 111, 命 成立（ 2）若 任意的 x 1 , x 21， e （ e 自然 数的底数）都有fx 1 ≥ g x 2 成立，求 数 a的取 范 ．②假 nk , a k k k 1 成立 ,n k1 ,ak 1Sk 1S k1(a k 11 ) 1(a k 1 )参考答案2ak 12a k1、 D 2 、 B 3 、 D 4 、 A 5 、D 6 、 A 7 、 B 8 、 A 9 、 B 10 、 C 11 、B 12 、 C11)1 ( kk 11 11k ,51(a k 1ak 1 2)( a k 1)13、14、S 3 +S 4）15 、116、 [ －1,7)2kk 12ak 16R （S 1 S 2317. 解：（1）当 m 22m 15 0 ，即 m 3 或 m 5 时，复数 Z 为实数；（3 分） （ 2）当 m 22m 15 0 ，即 m3 且 m5 时，复数 Z 为虚数；（ 7 分）（ 3）当 m22m15 0,且 m - 3 0 ，即 m 3 时，复数 Z 为纯虚数；（ 10 分） 18. 解：（ I ） f '( x) 3( x 1)( x 1) ，当 x[ 3, 1) 或 x (1, 3] ， f '(x) 0 ，[ 3,1],[1, 3] 函数 f (x) 的 增区22 当 x( 1,1) ， f '(x)0 ， [ 1,1] 函数f (x) 的 减区所以 , a k 2 1 2 ka k 1 1 0 , ak 1k 1 k .即 n k1 , 命 成立 .由①②知 , nN * , a nnn 1 . ⋯⋯⋯⋯ 12 分20. 解：（ 1） f ( x) x 3 ax 2 bx c, f ' ( x) 3x 2 2axb由 f '( 2 )12 4 ab 0 ， f '(1)3 2a b 0 得 a1, b23 9 32f ' ( x) 3x 2x 2 (3x 2)( x1) ，函数 f ( x) 的 区 如下表：(, 2) 2( 2,1) (1, )333f '( x)f ( x)极大极小所以函数 f ( x) 的 增区 是 (, 2) 与 (1,) , 减区 是 ( 2,1) ；⋯⋯⋯⋯ 6 分33 （ 2） f ( x)x 31 x 22xc, x [ 1,2] ，当 x2， f ( 2)22 c233 27 极大 ，而f (2) 2 c ， f (2)2 c 最大 ，要使f ( x)c 2, x [ 1,2]恒成立， 只需要c 2f (2) 2 c ，得 c 1,或 c2 ⋯⋯⋯⋯ 12 分21 解：（ 1） f ( x) 6x 26x, f (2) 12, f (2)7, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分∴曲 y f ( x) 在 x2 的切 方程 y 7 12( x 2) ，即 12x y 170 ；⋯⋯ 4 分（ 2） g (x)2x 3 3x 2 m 3, g (x) 6x 2 6x 6x(x 1)令 g ( x) 0, x 0 或 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x, g ( x), g( x) 的 化情况如下表x(,0) 0 (0,1)1(1,)g ( x)g( x) Z 极大] 极小Z当 x 0, g (x) 有极大 m 3; x1, g( x) 有极小 m 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分由 g(x) 的 知，当且 当g(0) 0g(1) ,m 3 0 m2 ，即2, 3m 0函数 g(x) 有三个不同零点， 点 A 可作三条不同切 .所以若 点A 可作曲 yf ( x) 的三条不同切 ， m 的范 是 ( 3,2) . ⋯⋯⋯⋯ 12 分22. 解：（ 1）解法 1： ∵ hx 2xa2ln x ，其定 域0，，xa2∴ h x1．2x 2 x∵ x 1 是函数 h x 的极 点，∴ h1 0 ，即 3a20 ．∵ a0 ，∴ a3 ．当 a 3 ， x1 是函数 h x的极 点，∴ a3 ．解法 2： ∵ h xa 2ln x ，其定 域0，， 2xxa 2∴ h x12．x 2x令 h x0 ，即 2 a 2 1 0 ，整理，得 2x 2x a 2 0 ．x 2x∵ 1 8a 2 0 ，∴ hx0 的两个 根 x 1 11 8a 211 8a 24（舍去）， x 24，当 x 化 ， hx ， hx 的 化情况如下表：x 0,x 2x 2x 2 ,h x —＋h x]极小Z依 意，11 8a2 1，即 a 23 ，4∵ a 0 ，∴ a 3 ．（ 2）解： 任意的 x , x1，e 都有 f x ≥ g x成立等价于 任意的 x , x2 1， e 都12121有f x≥ gx．minmax当 x ［ 1， e ］ ， gx1 0 ．1x∴函数 g xx ln x 在 1，e 上是增函数．∴ g xmaxg ee 1 ．∵ f x1a 2x ax a1, e ， a 0 ．22，且 xxxx a x a①当 0 a 1且 x［1， e ］ ， f x0 ，x2∴函数 f xxa 2在［ 1， e ］上是增函数，x∴ fxminf 11 a2 .由 1 a 2≥ e 1a≥ e ，，得又 0 a 1，∴ a 不合 意．②当 1≤ a ≤ e ，x a x a若 1≤ x ＜ a ，则 f xx 2 0 ，x a x a若 a ＜ x ≤ e ，则 f xx20 ．∴函数 f xxa 2 上是减函数，在a ，e 上是增函数．在 1,ax∴f xfa 2a.min由 2a ≥ e 1，得 a ≥e 1，2又 1≤ a ≤ e ，∴e 1≤ a ≤ e ． 2③当 a e 且 x［ 1， e ］时， f x a x axx 20 ，∴函数 f xa 2在 1， e 上是减函数．xx∴ fxf ee a 2 .minea2由eeae ，≥，得 ≥e 1又 ae ，∴ a e ．综上所述， a 的取值范围为 e 1．2 ,。
高二上学期期中考试理科数学试卷Word版含答案
上学期期中考试高二理科数学试卷第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•* 21.设集合U^ { x | x ::： 5 , N }, M = { x| x —5x 6 = 0}，则?U M=（）.A. {1，4}B. {1，5}C. {2，3}D. {3，4}2•某样开设A类选修课4门，B类选修课2门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为（）.A. 12B. 16 C . 18 D . 203. 已知三条不重合的直线m,n,l和两个不重合的平面〉，：，有下列命题：① m//n, n :一侧m//:;②若I Irml且I _ m则I \:-③若I _ n, m _ n,则I //m④若x . W ：= m, n - , n _ m,贝V n I .工其中正确命题的个数为（）.A. 4 B . 3 C . 2 D . 14. 一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm）为（）.A . 48B . 64俯视图C. 80D . 1205. 如果函数f （x）=cos（wx •—）（w 0）的相邻两个零点之4间的距离为.，则，的值为（）6A . 3B . 6C . 12 D. 246 .阅读如图所示的程序框图，输出的S值为（）.A . 0B . 1+ 2C . 1 + 了D. 2—14x - y T0 乞0,7.设实数x,y满足条件x-2y，8_0,，若目标函数ax by （a 0,b 0）的最大值x - 0, y - 0数的正整数的个数是f （x ）在 R 是单调函数；②函数 f （x ）的最小值是-2 ；③方程f （x ） = b 恒有两个不等实根;④对任意x ＜：0,x 2 ：0且为=x 2，恒有f （' 立）f （x 2）成立.其中正确结论 2 2的个数为（ ）.A . 1B . 2C. 3D . 4[来源:]、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。
高二第二学期期中考试理科数学试卷含答案
高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集是实数集R ，2{|2730}A x x x =-+≤，2{|0}B x x a =+<，若()R C A B B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,)4-+∞ B ．1(,]4-∞- C ．1[,)4-+∞ D ．1(,)4-∞- 2.设复数122iz i-=-（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知a ，b 都是实数，则“4a b +≥”是“224a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 4.设1sin cos 2x x +=-（其中(0,)x π∈），则cos 2x 的值为（ ）A B ．5.已知l 、m 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l m ，l α，则m α B ．若αβ⊥，l α，则l β⊥ C.若l β⊥，αβ⊥，则l α D ．若l m ⊥，l α⊥，且m β⊥，则αβ⊥6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．36128π+B ．128π C.36 D ．3664π+7.某程序框图如图所示，若输入的100N =，该程序运行后输出的结果为（ ）A ．50B ．1012 C.51 D ．10328.某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（ ） A ．8 B ．16 C.24 D ．609.定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，(2)3f -=-，数列{}n a ，满足11a =-，且2n n S a n =+（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则56()()f a f a +=（ ） A ．-2 B ．3 C.-3 D ．210.如图为函数()f x =01x <<）的图象，其在点(,())M t f t 处的切线为l ，l 与y 轴和直线1y =分别交于点P 、Q ，点(0,1)N ，若PQN ∆的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为（ ）A ．110,427⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．110(,]227 C.110(,]227 D ．18(,)427 11.设点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，l 为12PF F ∆的内心，若11122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆+=，则该椭圆的离心率是（ ）A ．12 B．2C.2 D ．14 12.在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（ ） A．,1)5 B．5C.(5 D．[5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.设4(1)x -的展开式中2x 的系数为A ，则A = ．14.设a ，b 为两非零向量，且满足||||2a b +=，222a b a b ⋅=⋅，则两向量a ，b 的夹角的最小值为 ．15.已知正数x ，y 满足1910x y x y+++=，则x y +的最大值为 ． 16.设点(,)M x y 的坐标满足不等式组001x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，点(,)m n 在点(,)M x y 所在的平面区域内，若点(,)N m n m n +-所在的平面区域的面积为S ，则S 的值为 ．三、解答题 ：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的所对边的长分别为a 、b 、c，且a =3b =，sin 2sin C A =. （I ）求c 的值； （II ）求sin(2)3A π-的值.18. 设函数()kx f x x e =⋅（0k ≠）（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.19. 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S . （I ）求n a 及n S ； （II ）令211n n b a =-（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T .20. 如图（1）在等腰ABC ∆中，D ，E ，F 分别是AB ，AC 和BC 边的中点，120ACB ∠=︒，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A DC B --.(如图（2）)（I ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （II ）求二面角E DF C --的余弦值；（III ）在线段BC 是否存在一点P ，但AP DE ⊥？证明你的结论.21. 已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为2，Q 为椭圆C 的左顶点. （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）已知过点5(,0)6-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （i ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小；（ii ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.22. 已知函数2()ln()f x x ax =（0a >）（1）若2'()f x x ≤对任意的0x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，设函数()()f x g x x =，若1x ，21(,1)x e∈，121x x +<，求证41212()x x x x <+.试卷答案一、选择题1-5:CDAAD 6-10:AACBD 11、12：AA 二、填空题 13.6 14.3π15.8 16.1 三、解答题17.解：（I ）∵a =sin 2sin C A =，∴根据正弦定理sin sin c a C A =得：sin 2sin Cc a a A===（II ）∵a =3b =，c =∴由余弦定理得：222cos 2c b a A bc +-==， 又A 为三角形的内角，∴sin 5A ==， ∴4sin 22sin cos 5A A A ==，223cos 2cos sin 5A A A =-=，则4sin(2)sin 2coscos 2sin33310A A A πππ--=-=. 18.解：（1）'()(1)kx kx kxf x e kxe kx e =+=+（x R ∈）,且'(0)1f =，∴切线斜率为1， 又(0)0f =，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为0x y -=.（2）'()(1)kxf x kx e =+（x k ∈），令'()0f x =，得1x k=-， ○1若0k >，当1(,)x k ∈-∞-时，'()0f x <，()f x 单调递减；当1(,)x k ∈-+∞时，'()0f x >， ()f x 单调递增.○2若0k <，当1(,)x k ∈-∞-时，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,)x k∈-+∞时，'()0f x <， ()f x 单调递减.综上所述，0k >时，()f x 的单调递减区间为1(,)k -∞-，单调递增区间为1(,)k-+∞； 0k <时，()f x 的单调递增区间为1(,)k -∞-，单调递减区间为1(,)k-+∞19.解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所有有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13a =，2d =，所有32(1)21n a n n =+-=+；2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. （II ）由（I ）知21n a n =+，所以221111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ===⋅=--+-++， 所以数列{}n b 的前n 项和11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++， 即数列{}n b 的前n 项和4(1)n nT n =+.20.解：（I ）如图1在ABC ∆中，由E ，F 分别是AC ，AB 中点，得EF AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面EDF ，∴AB 平面DEF .（II ）∵AD CD ⊥，BD CD ⊥,∴ADB ∠是二面角A CD B --的平面角，∴AD BD ⊥， ∴AD ⊥平面BCD ， 取CD 的点M ，使EMAD ，∴EM ⊥平面BCD ，过M 作MN DF⊥于点N ，连接EN ，则EN DF ⊥， ∴MNE ∠是二面角E DF C --的平面角.设CD a =，则2AC BC a ==，AD DB ==， 在DFC ∆中，设底边DF 上的高为h 由Rt EMN ∆中，122EM AD ==，124MN h ==，∴tan 2MNE ∠= 从而cos 5MNE ∠=（III ）在线段BC 上不存在点P ，使AP DE ⊥，证明如下：在图2中，作AG DE ⊥，交DE 于G 交CD 于Q 由已知得120AED ∠=︒，于是点G 在DE 的延长线上，从而Q 在DC 的延长线上，过Q 作PQ CD ⊥交BC 于P ， ∴PA ⊥平面ACD ，∴PQ DE ⊥，∴DE ⊥平面APQ ，∴AP DE ⊥. 但P 在BC 的延长线上.图1图221.解：（I ）设椭圆C 的标准方程为22221x y a b+=（0a b >>），且222a b c =+.由题意，椭圆C 过点(0,1)1b =，c a =. 所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （II ）由（I ）得(2,0)Q -.设11(,)A x y ，22(,)B x y .（i ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-. 由226514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩即64(,)55A -，64(,)55B --（不妨设点A 在x 轴上方）. 则直线AQ 的斜率1，直线BQ 的斜率1-.因为直线AQ 的斜率与直线BQ 的斜率的乘积为1-，所以AQ BQ ⊥，所以2AQB π∠=.（ii ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()5y k x =+（0k ≠）由226()514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>.212221222402510014410025100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为11(2,)QA x y =+，22(2,)QB x y =+，116()5y k x =+，226()5y k x =+， 所以22212121212636(2)(2)(1)(2)()4525QA QB x x y y k x x k x x k ⋅=+++=++++++ 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+⨯++-++=++ ∴QA QB ⊥.所以QAB ∆为直角三角形.假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则||||QA QB =. 取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ⊥. 记点6(,0)5-为N .另一方面，点M 的横坐标2224520M k x k =-+，所以点M 的纵坐标26520M ky k=-+. 所以22222222101666660132(,)(,)0520520520520(520)k k k k QM QN k k k k k ++⋅=⋅=≠+++++所以QM 与NM 不垂直，矛盾.所以当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.22.解：（1）'()2ln()f x x ax x =+ 2'()2ln()f x x ax x x =+≤，及2ln()1ax x +≤在0x >上恒成立 设()2ln()1u x ax x =+-，2'()10u x x=-=，2x =，2x >时，单调减，2x <单调增，所以2x =时，()u x 有最大值(2)u(2)0u ≤，2ln 212a +≤，所以02a <≤（2）当1a =时，()()ln f x g x x x x ==，'()1ln 0g x x =+=，1x e=， 所以在1(,)e +∞上()g x 是增函数，1(0,)e 上是减函数因为11211x x x e<<+<，所以121212111()()ln()()ln g x x x x x x g x x x +=++>=即121121ln ln()x x x x x x +<+ 同理122122ln ln()x x x x x x +<+ 所以1212121212122121ln ln ()ln()(2)ln()x x x x x xx x x x x x x x x x +++<++=+++ 又因为122124x x x x ++≥，当且仅当“12x x =”时，取等号11 又1x ，21(,1)x e ∈，121x x +<，12ln()0x x +< 所以12121221(2)ln()4ln()x x x x x x x x +++≤+ 所以1212ln ln 4ln()x x x x +<+ 所以：41212()x x x x <+。
高二年级期中考试数学试卷(理科) 最终
（1）求椭圆 C 方程； （2）已知 O 为坐标原点， A 、B 为椭圆 C 上非顶点的不同两点，且直线 AB 不过原点，不垂直于
坐标轴.在下面两个条件中任选一个作为已知：
①直线 OA 与直线 OB
斜率之积
kOA
kOB
为定值
b2 a2
；
② OAB 的面积为定值 1 ab ； 2 uur uuur uuur
证明：存在常数 0 ，使得 OA OB OM ，且点 M 在椭圆 C 上，并求出 的值.
（22）(本大题共 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1 17, 0 F2 17,0 ，动点 M 满足
MF1 MF2 2 ,点 M 的轨迹为 C . （1）求 C 的方程； （2）设点 T 在直线 x 1 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A 、 B 两点和 P ， Q 两点，且
32 C．
13
31 D．
13
7．已知中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 8 的椭圆被直线 l ： y 1 x 8 截得的弦的中点的横 33
坐标为 2 ，则此椭圆的方程为（ ）
A． x2 y2 1 48 32
B． x2 y2 1 24 8
C． x2 y2 1 48 16
D． x2 y2 1 96 32
15. 4 3 3
试卷第 5页，共 6 页
16. ①③④
【解】①；以 x 代 x ， y 不变代入方程中得， (x)2 y2 3 (x)2 y2 x2 y2 3 x2 y2 ，
所以图形关于纵轴对称；
以 y 代 y ， x 不变代入方程中得， x2 ( y)2 3 x2 ( y)2 x2 y2 3 x2 y2 ，所以图形关于横轴
B． x y 2 0
年下学期高二期中联考数学(理)(扫描版)(附答案)
高二数学（理）参考答案一、BBCAC CADDA二、11、6116151413121122222<+++++ 12、1- ， 13、94， 14、⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21,23， 15、14191 三、16、证明：OA ⊥BC ∴OA ⊥BC OA ·BC ＝0 ∴OA ·（OC －OB ）＝0 ∴OA · OC － OA · OB ＝0 ①同理：由OB ⊥AC 得OB · OC － OB · OA ＝0 ②由①-②得OA ·OC — OB · OC ＝0 ∴OC ·（OA －OB ）＝0 ∴OC · BA ＝0 ∴OC ⊥BA∴OC ⊥ AB17、证明：①令1)(--=x e x f x，x>0则01)('>-=x e x f ，∴)(x f 在（0，∞+）上单调递增。
∴对任意),0(+∞∈x ，有)0()(f x f >而010)0(0=--=e f ∴0)(>x f即1+>x e x②令x x x g ln 1)(-+=，x>0 则x x x x g 111)('-=-=令0)('=x g ，得x=1当x 变化时，)('x g ，)(x g 的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,∞+) )('x g - 0 + )(x g ↘ 2 ↗ ∴2)1()(min ==g x g即对任意),0(+∞∈x 有 g(x)≥g(1)＞0∴x+1>lnx综上当x>0时，有x x e x ln 1>+>18、解：414111=⨯=s ；72741412=⨯+=s ；1031071723=⨯+=s ；134131011034=⨯+=s 。
猜想13+=n n s n 证明：（1）当n=1时，左边＝411=s 右边＝4113=+n n ，猜想成立。
高二第二学期期中考试数学试题理科
高二第二学期期中考试数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1、复数1ii -的共轭复数的虚部为（ ）A .1B .1-C .12D .12- 2、若2133adx a a =-+⎰，则实数a =（ ）A .2B .2-C .1D .1- 3、化简()()()()()()6543216115120115161x x x x x x -+-+-+-+-+-的结果 为（ ）4、函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个5、曲线21ln 3y x x =-在点1ln 32⎫-⎪⎭处切线的倾斜角的大小为（ ）6、如图，某人需从A 地到达B 地,图中的实线部分为可行路线，则路程最短的走法有（ ）A .15种B .20种C .25种D .30种7、已知()3f x x ax =-在[)1,+∞上是增函数，则实数a 最大值是（ ）A .0B .1C .2D .38、4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修一门，则恰有2人选修课程甲的的不同选法共有（ ）A .12种B .24种C .30种D .36种 9、已知33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c =（ ）A .2-或2B .9-或3C .1-或1D .3-或110、学校计划在5天里安排三节不同的选修课，且在同一天安排的选修课不超过2节，则不同的选修课安排方案有（ ）.A.60 种B.110种C.40 种D.120种11、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，()2x f x e ex a -=-+，则函数()f x 在1x =处的切线的方程是（ ）12、函数()f x 满足()00f =，其导函数()f x '的图象如右图所示，则()f x 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积是（ ）A.1B.43 C.2 D.83二、填空题（每小题5分，共20分） 13、若()102100121021x a a x a x a x -=++++，则3a = .14、若()2120x i x i m ++++=有实数根，i 是虚数单位，则实数m 的值为 .15、若函数()()3261f x x ax a x =++++有极值，则实数a 的取值范围是 16、函数()()f x x R ∈满足()11,f =且()f x 在R 上的导函数()12f x '>，则不等式()12x f x +<的解集是 . 三、解答题（共计70分）17、（10分）二项式32nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，第4项的二项式系数是第3项的二项式系数的2倍.（1）求n 的值，并求所有项的二项式系数的和； （2）求展开式中的常数项.18、（12分）已知函数()22ln 1.f x x x =-- （1）求()f x 的单调区间；（2）若1,2x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值.19、（12分）将5个不同的小球全部放入3个不同的盒子中.求：（1）恰有一个空盒的放法种数； （2）每盒不空的放法种数.20、（12分）已知函数()32f x x ax bx c =+++在213x x =-=与处都取得极值.（1）求,a b 的值（2）若关于x 的方程()f x =m 有两个不等实根，求m 的值； （3）若对于[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围.21、（12分）某车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？22、（12分）已知a R ∈，函数()ln 1.af x x x=+-（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （2）求()f x 在区间(]0,e 上的最小值.高二第二学期期中考试数学试题（理科）答案一、选择题（每小题5分，共60分） CBCAC ADBAD BB二、填空题（每小题5分，共20分）13、1680-； 14、2-； 15、36a a <->或 16、(),1-∞ 三、解答题（共6个小题，总计70分） 17、（1）83n =分；01288888822565C C C C ++++==分.（2）8481827k k k k T C x --+=分，3179212T =分.18、（1）增区间为()1,+∞，减区间为()0,16分；（2）最大值为2312e -分.19、（1）32241252351390C C A C C A +=（种）6分；（2）22133353135322150C C C A C A A ⋅+=（种）12分. 20、（1）1,2,42a b =-=-分；（2）由（1）知，()32122f x x x x c =--+，故()232f x x x '=--，令()20,,1;3f x x x '>-<>得或 令()20,13f x x '<-<<得，故()f x 的增区间为()2,,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭所以 ()f x 的极大值为23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2227c +，极小值为()312f c =-.因方程()f x m =有两个不等实根，所以322227m c m c =-=+或；…………………………8分（3）由（2）知，()f x 在21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上增，在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上减，在()1,2上增，故()f x 在223x x =-=或处取得最大值，又23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2227c +，()22f c =+，所以()f x 的最大值为2c +.因为()2f x c <在[]1,2-上恒成立，所以22,c c >+所以12c c <->或12分.21、（1）若两名老师傅都不选派，则有44545C C =种；…3分（2）若两名老师傅只选派1人，则有13414325425460C C C C C C +=种；…7分 （3）若两名老师傅都选派，则有224242233254254254120C C C C C C A C C ++=种. 故共有5+60+120=185种选派方法.……………………………12分22、（1）当1a =时，()()1ln 1,0,,f x x x x=+-∈+∞所以()()22111,0,.x f x x x x x -'=-+=∈+∞因此()12.4f '=即曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线的斜率为1.4又()12ln 22f =-，故所求的切线方程为44ln 240.x y -+-=…4分（2）因为()()221ln 1,a a x af x x f x x x x x -'=+-=-+=所以令()0,f x '=得.x a =…5分○1若()0,0,a f x '≤>则函数()f x 在区间()0,e 上单调递增，此时函数()f x 无最小值.……………7分○2若0,a e <<则当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在()0,a 上单调递减，当(],x a e ∈时，()0f x '>，函数()f x 在(),a e 上单调递增，所以当x a =时，函数()f x 取得最小值ln .a …………9分○3若,a e ≥则当(]0,x e ∈时，()0f x '≤，函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减，所以当x e =时，函数()f x 取得最小值.ae…………11分综上可知，当0a ≤时，函数()f x 在(]0,e 上无最小值. ；当0a e <<时，函数()f x 在(]0,e 上的最小值为ln .a 当a e ≥时，函数()f x 在(]0,e 上的最小值为.ae……………12分。
2024高二数学期中考试题及答案
2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。
A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。
2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。
3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。
4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。
5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。
6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。
7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。
8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。
9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。
10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。
三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。
2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。
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2012-2013年两英中学高二第二学期期中测试试题数 学 （理 科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集U =R ，集合{|22}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则=⋂B A （ ）A ．(0,2)B ．(0,2]C ．[0,2]D ．[0,2)2. 若复数(1-i )(a +i )是实数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 3. 已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为（ ）A ．5 D ．13 4. 函数ln xy x=在区间()1,+∞上（ ） A ．是减函数 B C ．有极小值 D 5. 阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k A ．2 B ．3 C ．4 D ．56. 设p ：0m ≤，q ：关于x 的方程20x x m +-=有实数根，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D 7. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 的分配方法种数为（ ）A ．96B ．114C ．128D ．136NMD 1C 1B 1A1DCBA图3(度)1501401101008. 如图2所示,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2, 长为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动, 另一端点 N 在正方形ABCD 内运动, 则MN 的中点的轨迹的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 图2 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 9.为了了解某地居民月均用电 的基本情况, 抽取出该地区若 干户居民的用电数据, 得到频率分布直方图如图3所示, 若 月均用电量在区间[)110,120 上共有150户, 则月均用电量 在区间[)120,150上的居民共有 户10. 以抛物线2:8C y x =上的一点A 为圆心作圆，若该圆经过抛物线C 的顶点和焦点，那么该圆的方程为 . 11. 如果1()nx x+展开式中，第四项与第六项的系数相等， 则n = ，展开式中的常数项的值等于 . 12. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知3,,3c C π==2a b =, 则b 的值为 . 13. 某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师最多是 名.14. 在极坐标系中，若过点()1,0且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB = .甲DC BAF E乙DBA三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.（本小题满分12分）已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ).(1) 当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值; (2) 若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan θ的值.16.（本小题满分12分）某地区预计从2011年初开始的第x 月，商品A 的价格)6912(21)(2+-=x x x f （ 12,≤∈x N x ，价格单位：元），且第x 月该商品的销售量12)(+=x x g （单位：万件）.（1）2011年的最低价格是多少？（2）2011年的哪一个月的销售收入最少？17.（本小题满分14分） 如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=oo105ADC ∠=o,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）求BF 与平面ABC 所成角的正弦； （3）求二面角B －EF －A 的余弦．18.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3e =，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上的动点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：kk 21⋅为定值；（Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若OPOMλ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．19.（本小题满分14分） 设函数2312)(bx ax ex x f x ++=-，已知2-=x 和1=x 为)(x f 的极值点. （1）求a 和b 的值； （2）设2332)(x x x g -=， 试比较)(x f 与)(x g 的大小.20.（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足如图所示的程序框图．(Ⅰ)写出数列}{n a 的一个递推关系式； (Ⅱ)证明：}3{1n n a a -+是等比数列， 并求}{n a 的通项公式；(Ⅲ)求数列)}3({1-+n n a n 的前n 项和n T ．2012-2013年两英中学高二第二学期期中测试试题数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共6小题，每小题5分，满分30分．说明：第11小题写对一个答案给3分. 9. 325 10. ()(2219x y -+±= 11. 8，70三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos2x x =+22x x ⎫=⎪⎪⎭24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. … 3分 ∴当2242x k πππ+=+,即(8x k k ππ=+∈Z )时,函数()f x… 5分(2)解法1:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. …… 6分 ∴1cos 23θ=. …… 7分 ∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 23θ==. …… 8分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==…… 9分∴22tan 1tan θθ=-…… 10分2tan 0θθ+=. ∴)(1tan 0θθ-=.∴tan θ=或tan θ=不合题意,舍去)… 11分 ∴tan θ=. … 12分解法2: ∵8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=. …… 7分 ∴212cos 13θ-=. … 8分∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴cos θ=. …… 9分∴sin 3θ==. … 10分 ∴sin tan cos 2θθθ==. … 12分解法3:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=. ∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 23θ==. …… 8分∴sin tan cos θθθ=22sin cos 2cos θθθ= … 10分 sin 21cos 2θθ=+2=. … 12分 16．（本小题满分12分）【解析】（1）∴+-=],33)6[(21)(2x x f Θ当6=x 时，)(x f 取得最小值， 即第6月的价格最低，最低价格为16.5元；………………………4分 （2）设第x 月的销售收入为y （万元），依题意有)82875(21)12)(6912(2132+-=++-=x x x x x y ，……………6分)5)(5(23)753(212-+=-='x x x y Θ，…7分 所以当51≤≤x 时0≤'y ，y 递减当125≤≤x 时0≥'y ，y 递增，…9分 所以当5=x 时，y 最小，即第5个月销售收入最少. ………11分 答：2011年在第5月的销售收入最低. …………12分 17. （本小题满分14分）（1）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠=o∴45ADB ∠=o,90ABC ∠=o即AB BD ⊥-----------------------------------------------------------------yX--------------2分在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC ，且平面ABD I平面BDC＝BD∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD． -----4分又90DCB∠=o，∴DC⊥BC,且AB BC B=I∴DC⊥平面ABC．----------5分（2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点∴EF//CD，又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，垂足为点E∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角-------------------------------------7分在图甲中，∵105ADC∠=o, ∴60BDC∠=o,30DBC∠=o设CD a=则2,BD a BC==,BF==,1122EF CD a==-9分∴在Rt△FEB中，1sin4aEFFBEFB∠===即BF与平面ABC所成角的正弦值为4．---------------------------------10分解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD a=，则2,BD AB a==BC=，可得(0,0,0),(2,0,0)B D a,(0,0,2)A a,3(,0)2C a，(,0,)F a a，∴1(,,0)2CD a=u u u r,(,0,)BF a a=u u u r-----8分设BF与平面ABC所成的角为θ，由（1）知DC⊥平面ABC∴21cos()24||||aCD BFCD BFπθ⋅-===⋅u u u r u u u ru u u r u u u u r∴sin4θ=-----------10分（3）由（2）知 FE⊥平面ABC，又∵BE⊂平面ABC，AE⊂平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角------------------------------------12分在△AEB中，12AE BE AC====∴2221cos27AE BE ABAEBAE BE+-∠==-⋅即所求二面角B －EF －A 的余弦为17-．-------------14分 （其他解法请参照给分） 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222x y b +=， ∵直线20x y -+=与圆相切，∴d b ==，即b = -------------1分又c e a ==，即a =，222a b c =+，解得a =1c =， 所以椭圆方程为22132x y +=． -------------3分 （Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(A，B ，则2200132x y +=，即2200223y x =-，则1k =2k =， ------------------4分即22200012222000222(3)2333333x x y k k x x x --⋅====----， ∴k k 21⋅为定值23-． ----------6分（Ⅲ）设(,)M x y，其中[x ∈．由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++， 整理得2222(31)36x y λλ-+=，其中[x ∈． --------8分①当3λ=时，化简得26y =， 所以点M的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段；--9分②当λ≠时，方程变形为2222166313x y λλ+=-，其中[x ∈， ------11分当03λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x ≤≤的部分；1λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤≤部分；当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆． ---------------14分 19．（本小题满分14分）解：（1）)23()2(232)(12121b ax x x xe bx ax e x xe x f x x x +++=+++='---，（2分）由2-=x 和1=x 为)(x f 的极值点，得⎩⎨⎧='=-'.0)1(,0)2(f f （4分）即 ⎩⎨⎧=++=+-,0233,026b a b a （5分） 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,31b a （7分）（2）由（1）得231231)(x x ex x f x --=-， 故)(3231)()(12232312x e x x x x x e x x g x f x x -=+---=---. （8分）令x ex h x -=-1)(，则1)(1-='-x e x h . （9分）令0)(='x h ，得1=x . （10分）)(x h '、)(x h 随x 的变化情况如下表： （12分）由上表可知，当1=x 时，)(x h 取得极小值，也是最小值；即当),(+∞-∞∈x 时，)1()(h x h ≥，也就是恒有0)(≥x h . （13分）又02≥x ，所以0)()(≥-x g x f ，故对任意),(+∞-∞∈x ，恒有)()(x g x f ≥.（14分） 20． 解：（Ⅰ）由程序框图可知，121==a a ，n n n a a a 6512-=++ KK KK 2分 （Ⅱ）由)3(23112n n n n a a a a -=-+++，且2312-=-a a 可知，数列}3{1n n a a -+是以2-为首项，2为公比的等比数列，可得n n n a a 231-=-+，即21223211-⋅=++n n n n a a ，Θ)12(231211-=-++nn n n a a ，又21121-=-a ， ∴数列}12{-nn a 是以21-为首项，23为公比的等比数列， ∴1)23(2112--=-n nn a ，132--=n n na KK KK 9分（Ⅲ）Θn n n n a n 2)3(1⋅=+-, ∴nn n T 2...22212⋅++⋅+⋅=①,1322...22212+⋅++⋅+⋅=n n n T ②, 两式相减得21(22...2)2n n n T n +=----+⋅()111212222212n n n n n n +++-=-+⋅=-+⋅-22)1(1+-=+n n KK KK 14分。