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2024年上海市中考数学徐汇区二模卷和参考答案

2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学试卷 2024.4（时间100分钟满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1．下列实数中，有理数是（A ）3；（B ）4；（C ）5；（D ）6． 2．下列单项式中，与单项式322b a 是同类项的是（A ）4ab −；（B ）232b a ；（C ）233a b ；（D ）c b a 222−． 3．已知一次函数b kx y +=的图像经过第一、二、四象限，那么直线k bx y +=经过（A ）第二、三、四象限；（B ）第一、二、三象限；（C ）第一、二、四象限；（D ）第一、三、四象限．4．如表1，记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（A ）甲；（B ）乙；（C ）丙；（D ）丁． 5．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，如果添加一个条件使得□ABCD 是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（A ）︒=∠+∠90ADO DAO ；（B ）ACD DAC ∠=∠；（C ）BAC DAC ∠=∠；（D ）ABC DAB ∠=∠． 6．如图，一个半径为cm 9的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了︒120，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（A ）π5 cm ；（B ）π6 cm ；（C ）π7cm ；（D ）π8cm ．表1 甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差统计表BOACD（第5题图）（第6题图）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．方程012=−−x x 的根是___▲___． 8．不等式组⎩⎨⎧>−−>−1)3(23,312x x x 的解集是___▲___．9．方程组⎩⎨⎧=−=+02,522y x y x 的解是____▲____．10．关于x 的一元二次方程012=−−mx x 根的情况是：原方程__▲___实数根．11．如果二次函数1422+−=x x y 的图像的一部分是上升的，那么x 的取值范围是▲_．12．如果反比例函数xy 4−=的图像经过点)2,(t t A −，那么t 的值是____▲_____． 13．如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任意取出三条，那么取出的三条线段能构成三角形的概率是__▲__．14．小杰沿着坡比4.2:1=i 的斜坡，从坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是▲米． 15．某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了100名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这100名家长的问卷真实有效），将这100份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有2000名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长有__▲__人．16．如图，梯形ABCD 中，AD BC //，CD AB =，AC 平分BAD ∠，如果AB AD 2=，a AB=，b AD =，那么AC 是_▲_（用向量a 、b 表示）． 17．如图，在ABC ∆中，6==AC AB ，4=BC ．已知点D 是边AC 的中点，将ABC ∆沿直线BD 翻折，点C 落在点E 处，联结AE ，那么AE 的长是_▲__． 18．如图，点A 是函数)0(8<−=x x y 图像上一点，联结OA 交函数)0(1<−=x xy 图像于点B ，点C 是x 轴负半轴上一点，且AO AC =，联结BC ，那么ABC ∆的面积是_▲_．（第16题图）D AB C（第17题图）AB C （第15题图1）不管询问管理（第15题图2） 25℅ 从来不管严格管理稍加询问三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分） 19．（本题满分10分）计算：212218−+−−π．20．（本题满分10分）解方程：21416222+=−−−+x x x x ． 21．（本题满分10分）如图，⊙1O 和⊙2O 相交于点A 、B ，联结AB 、21O O 、2AO ，已知48=AB ，5021=O O ，302=AO ．（1）求⊙1O 的半径长；（2）试判断以21O O 为直径的⊙P 是否经过点B ，并说明理由． 22．（本题满分10分）A 市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）．（1）如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由；（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由． 23．（本题满分12分）如图，在菱形ABCD 中，点E 、G 、H 、F 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，AF AE =，CH CG =，AE CG ≠．（1）求证：GH EF //；（2）分别联结EG 、FH ，求证：四边形EGHF 是等腰梯形．（第23题图）E A B C DFGH （第21题图）AB1O 2O24．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(442>+−=a ax ax y 与x 轴交于点)0,1(A 和点B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）已知点),0(m M ，联结BC ，过点M 作BC MG ⊥，垂足为G ，点D 是x 轴上的动点，分别联结GD 、MD ，以GD 、MD 为边作平行四边形GDMN ．① 当23=m 时，且□GDMN 的顶点N 正好落在y 轴上，求点D 的坐标； ② 当0≥m 时，且点D 在运动过程中存在唯一的位置，使得□GDMN 是矩形，求m 的值．25．（本题满分14分）如图，在扇形OAB 中， 26==OB OA ，︒=∠90AOB ，点C 、D 是弧AB 上的动点（点C 在点D 的上方，点C 不与点A 重合，点D 不与点B 重合），且︒=∠45COD ．（1）①请直接写出弧AC 、弧CD 和弧BD 之间的数量关系；②分别联结AC 、CD 和BD ，试比较BD AC +和CD 的大小关系，并证明你的结论；（2）联结AB 分别交OC 、OD 于点M 、N ．①当点C 在弧AB 上运动过程中， BM AN ⋅的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求BM AN ⋅的值；②当5=MN 时，求圆心角DOB ∠的正切值．（第25题图）BA CDO2023学年第二学期徐汇区初三年级数学学科学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．D ； 6．B ．二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．1=x ； 8．2>x ； 9．⎩⎨⎧==1,2y x 或⎩⎨⎧−=−=1,2y x ； 10．有两个不相等的；11．1≥x ； 12．2±； 13．21； 14．50； 15．400；16．b a21+； 17．171710； 18．228−．三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19. 解：原式21)12(22−+−−=1122++−=2=．20．解：去分母，得216)2(2−=−+x x ；化简，得01032=−+x x ；解得 51−=x ，22=x ；经检验，2=x 是原方程的增根；所以，原方程的根是5−=x ．21．解：（1）联结1AO ，设21O O 与AB 的交点为C ． ∵⊙1O 和⊙2O 相交于点A 、B ，∴2421==AB AC ，AB O O ⊥21；在2ACO Rt ∆中，︒=∠902ACO ，∴182430222222=−=−=AC AO CO ；∴3218502211=−=−=CO O O CO ；在1ACO Rt ∆中，︒=∠901ACO ， ∴402432222211=+=+=AC CO AO ；即⊙1O 的半径长为40．（2）以21O O 为直径的⊙P 经过点B ．∵535030212==O O AO ，53301822==AO CO ； ∴22212AO CO O O AO =，又A O O C AO 212∠=∠； ∴21O AO ∆∽2ACO ∆；∴︒=∠=∠90221ACO AO O ；取21O O 的中点P ，联结AP 、BP ．∴1PO AP =；又21O O 垂直平分AB ，1PO AP BP ==； ∴以21O O 为直径的⊙P 经过点B ．22．解：（1）他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．∵单程送达比赛场地的时间是：)(15)(25.06015分钟小时==÷； ∴送完另4名学生的时间是：)(42)(45315分钟分钟>=⨯：∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．（2）方案不唯一．如：先将4名学生用车送达比赛场地，另外4名学生同时步行前往比赛场地，汽车到比赛场地后返回到与另外4名学生的相遇处再载他们到比赛场地．（用这种方案送这8名学生到达比赛场地共需时间约为4.40分钟）．理由如下：先将4名学生用车送达比赛场地的时间是：)(15)(25.06015分钟小时==÷ 此时另外4名学生步行路程是：25,125,05=⨯(千米)；设汽车与另外4名学生相遇所用时间为t 小时．则25.115605−=+t t ；解得5211=t （小时）13165=（分钟）；从相遇处返回比赛场地所需的时间也是13165（分钟）；所以，送这8名学生到达比赛场地共需时间为：4.4021316515≈⨯+（分钟）；又424.40<；所以，用这种方案送这8名学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地．23．证明：（1）联结BD ．∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD BC AD AB ===；又AF AE =，CH CG =，∴AD AF AB AE =，CDCHCB CG =； ∴BD EF //，BD GH //； ∴GH EF //．（2）∵BD EF //，∴AB AEBD EF =； ∵BD GH //，∴BCCGBD GH =；又AE CG ≠，∴GH EF ≠；又GH EF //，∴四边形EGHF 是梯形； ∵AF AD AE AB −=−,即DF BE =；又CH CD CG BC −=−，即DH BG =； ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B ∠=∠； ∴DHF BGE ∆≅∆；∴FH EG =； ∴梯形EGHF 是等腰梯形．24．解：（1）由题意，得044=+−a a ；解得34=a ；∴抛物线的表达式为4316342+−=x x y ； ∵抛物线的对称轴是直线2=x ，∴点)0,3(B ．（2）①由题意，得)4,0(C 、)23,0(M ，∴25=CM ； ∵四边形GDMN 是平行四边形，∴NM GD //；又点N 在y 轴上，∴OD NM ⊥；∴OD GD ⊥；在BOC Rt ∆中。

2024年上海市徐汇区中考二模数学试题(解析版)

2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学　试卷（时间100分钟满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1. 下列实数中，有理数是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查实数的分类及算术平方根，熟练掌握实数的分类及算术平方根是解题的关键；根据实数的分类可进行排除选项．，是无理数；故选B ．2. 下列单项式中，与单项式是同类项的是（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了同类项的定义，根据字母相同，字母的指数也相同的项叫做同类项，进行判断即可．【详解】解：与单项式是同类项的是；故选C ．3. 已知直线经过第一、二、四象限，则直线经过( )2=232a b 4ab -322a b 323b a 222a b c-232a b 323b a y kx b +＝y bx k +＝A. 第一、三、四象限B. 第一、二、四象限C. 第一、二、三象限D. 第二、三、四象限【答案】A 【解析】【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解．【详解】解：已知直线经过第一、二、四象限，则得到，那么直线经过第一、三、四象限．故选：A ．【点睛】此题考查一次函数图象与系数关系．解题关键在于注意理解：直线y=kx+b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限；k ＜0时，直线必经过二、四象限；b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．4. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm ）185180185180方差3.63.67.48.1根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】A 【解析】【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．【详解】∵=>=，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵=<<，∴选择甲参赛，故选A ．【点睛】此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，方差越小，成绩越稳定.的y kx b =+0,0k b <>y kx b =+x 甲x 丙x 乙x 丁2S 甲2S 乙2S 丙2S 丁5. 如图，的对角线、相交于点，如果添加一个条件使得是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，根据判定定理逐项判断即可．【详解】∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．则A 不符合题意；∵，∴，∴平行四边形菱形．则B 不符合题意；∵，∴．∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．则C 不符合题意；∵，∴．∵，∴，是 ABCD AC BD O ABCD 90DAO ADO ∠+∠=︒DAC ACD ∠=∠DAC BAC ∠=∠DAB ABC∠=∠90DAO ADO ∠+∠=︒90AOD ∠=︒AC BD ⊥ABCD DAC ACD ∠=∠AD CD =ABCD AB CD ACD BAC ∠=∠DAC BAC ∠=∠ACD DAC ∠=∠AD CD =ABCD AD BC ∥180BAD ABC ∠+∠=︒DAB ABC ∠=∠=90B A D ∠︒∴平行四边形是矩形．则D 正确．故选：D ．6. 如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（）A. cmB. cmC. cmD. cm【答案】B 【解析】【分析】本题考查了弧长公式．利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．【详解】解：根据题意，重物上升的高度为．故选：B ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.的解是________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程和二次根式的性质求解即可；【详解】，∴，∴，∴，∵，ABCD 9cm 120︒5π6π7π8π120︒()12096cm 180ππ⨯⨯==x 1x ==x 221x x -=()210x -=121x x ==210x -≥∴，∴；故答案是．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．8. 不等式组的解集是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．详解】解：，解①得：，解②得：，∴不等式组的解集是．9. 方程组的解是__________．【答案】或【解析】【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程，代入消元法，将方程组先转化为一元二次方程，再进行求解即可．【详解】解：由②得：③；把③代入①，得：，解得：，∴，∴方程组的解为：或；【12x ≥1x =1x =()2133231x x x ->⎧⎨-->⎩2x >()2133231x x x ->⎧⎪⎨-->⎪⎩①②2x >5x >-2x >22520x y x y ⎧+=⎨-=⎩21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩22520x y x y ⎧+=⎨-=⎩①②2x y =()2225y y +=1y =±22x y ==±21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩故答案为：或10. 关于的一元二次方程根的情况是：原方程______实数根．【答案】有两个不相等的【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：由题意得，，∴原方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的．11. 如果二次函数的图像的一部分是上升的，那么的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线开口向上，则当在对称轴右侧时，函数图像上升，所以求出函数的对称轴即可求解．【详解】解：，又抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，图像下降；当时，随的增大而增大，图像上升；二次函数的图像的一部分是上升的，，故答案为：．12. 如果反比例函数的图像经过点，那么的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查反比例函数图像上的点，将点代入函数解析式，求解即可．【详解】解：由题意，得：，21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩x 210x mx --=()200ax bx c a ++=≠240b ac ∆=->240b ac ∆=-=24<0b ac ∆=-()()2241140m m ∆=--⨯⨯-=+>2241y x x =-+x 1x ≥x ()22241211y x x x =-+=--∴1x <y x 1x ≥y x 2241yx x =-+∴1x ≥1x ≥4y x=-(,2)A t t -t (,2)A t t -()24t t ⋅-=-解得：；故答案为：．13. 如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是_______．【答案】【解析】【分析】根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可．【详解】∵从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段∴可能有：2、4、6；2、6、7；4、6、7；2、4、7四种可能性又∵构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边∴符合条件的有：2、6、7；4、6、7两种故概率为：故答案为：【点睛】本题考查构成三角形的条件以及概率的计算，掌握构成三角形的三边之间的关系是解题关键．14. 小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了米，那么他上升的高度是______米．【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握坡比的定义．设坡度的高为米，根据勾股定理列方程求解．【详解】解：设坡度的高为米，则水平距离为米，，解得：，故答案为：．15. 某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这名家长的问卷真实有效），将这份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长____人．t =1221=42121:2.4i =13050x x 2.4x ∴()2222.4130x x +=50x =501001*********【答案】【解析】【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是数形结合．先根据条形统计图计算出稍加询问的百分比，进而结合扇形统计图求出严格管理的百分比，最后利用样本估计总体即可求解．【详解】解：稍加询问的百分比：，严格管理的百分比：，持“严格管理”态度家长人数：（人），故答案为：．16. 如图，梯形中，，，平分，如果，，，那么是_______（用向量、表示）．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，向量的运算，解题的关键是熟练掌握这些知识．根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，结合，可得，最后根据，即可求解．【详解】解：设，的400551000.5555%÷==155%25%20%--=200020%400⨯=400ABCD BC AD ∥AB CD =AC BAD ∠2=AD AB AB a = AD b = AC a b12a b +AB BC =2AD BC =12BC AD =12AC AB BC a AD =+=+BAC α∠=平分，，，，，，，，，，故答案为：．17. 如图，在中，，．已知点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的长是_______．【解析】【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线分线段成比例，如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，可知，得，进而根据勾股定理可得，，得结合，，可知，再根据勾股定理即可求解，根据折叠的性质得是解决问题的关键．【详解】解：如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，∴，AC BAD ∠∴BAC CAD α∠=∠= BC AD ∥∴BCA DAC α∠=∠=∴BCA BAC ∠=∠∴AB BC = 2=AD AB ∴2AD BC =∴12BC AD =∴1122AC AB BC a AD a b =+=+=+ 12a b +ABC 6AB AC ==4BC =D AC ABC BD C E AE AE E C BD A AM BC ⊥D DN BC ⊥AM DN ∥AE 1AD MNCD CN==1CN MN ==DN =BD =1122BCD S BC DN BD OC =⋅=⋅△2CE OC ==DE DC =AD CD =AE CE ⊥AE CE ⊥E C BD A AM BC ⊥D DN BC ⊥AM DN ∥AE 122BM CM BC ===∵点是边的中点，即，∴，则为的中点，即，∴，，∵为点关于的对称点，∴，且，，则，∴，则∵，，∴，，又∵，∴，即，∴．18. 如图，点是函数图象上一点，连接交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，连接，那么的面积是_______．【答案】##【解析】D AC 132AD CD AC ===1ADMNCD CN==N CM 1CN MN==DN ==BD ==E C BD CE BD ⊥OC OE =DE DC =1122BCD S BC DN BD OC =⋅=⋅△DN BC OC BD ⋅===2CE OC ==DE DC =AD CD =DAE DEA ∠=∠DEC DCE ∠=∠180DAE DEA DEC DCE ∠+∠+∠+∠=︒90DEA DEC ∠+∠=︒AE CE ⊥AE ==A 8(0)y x x =-<OA 1(0)y x x=-<B C x AC AO =BC ABC 8-8-【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，反比例函数比例系数的几何意义得，，证得，由此得，证得，然后根据等腰三角形的性质得，则，由此得得，进而可得的面积．【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如下图所示：点是函数图象上一点，点是反比例函数图象上的点，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，，轴，轴，，，，，，，即，，，，轴，，，A B x D E 4OAD S = 0.5OBE S = OAD OBE ∽2()OAD OBE S OA SOB= OA =1)ABC OBC S S = 28AOC OAD S S == 8ABC OBC S S += OBC S = ABC A B x D E A 8(0)y x x =-<B 1(0)y x x=-<1842OAD S =⨯= 110.52OBE S =⨯= AD x ⊥ BE x ⊥AD BE ∴∥OAD OBE ∴ ∽∴2OAD OBE S OA S OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴2480.5OA OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭OA ∴=1)AB OA OB OB OB ∴=-=-=-1AB OB = 1ABC OBC S AB S OB==- ()1ABC OBC S S ∴= AC AO = AD x ⊥OD CD ∴=28AOC OAD S S ∴==，即，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19.．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算法则．先计算零指数幂、化简二次根式、绝对值，再算加减即可．【详解】解：原式．20.解方程：【答案】【解析】【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤．先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解即可．详解】解：，，，【8ABC OBC S S ∴+= 1)8OBC OBC S S -+= OBC S ∴= 8ABC AOC OBC S S S ∴=-=- 8-10212π---21)1=--+11=+2=22161242x x x x +-=--+5x =-22161242x x x x +-=--+()22162x x +-=-244162x x x ++-=-，，，，检验，当时，，∴是原方程的解，当时，，∴不是原方程的解．21. 如图，和⊙相交于点、，连接、、，已知，，．（1）求的半径长；（2）试判断以为直径的是否经过点，并说明理由．【答案】（1）（2）以为直径的经过点，见解析【解析】【分析】本题主要考查了圆的相关性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．（1）连接，设与的交点为，根据题意可得，，在中，根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解；（2）根据题意并结合（1）可得，可证明，得到23100x x +-=()()520x x +-=50,20x x +=-=115,2x x =-=5x =-240x -≠5x =-2x =240x -=2x =1O 2O A B AB 12O O 2AO 48AB =1250O O =230AO =1O 12O O P B 4012O O P B 1AO 12O O AB G 1242AG AB ==12O O AB ⊥2Rt AGO 2GO 1GO 1Rt AGO 1AO 22122AO GO O O AO =122O AO AGO ∽，取的中点，连接、，推出，结合垂直平分，即可求解．【小问1详解】解：连接，设与的交点为．和⊙相交于点、，，，，在中，，；，在中，，；即的半径长为；【小问2详解】以为直径的经过点．，，，又，，，取的中点，连接、，，12290O AO AGO ∠=∠=︒12O O P AP BP 1AP PO =12O O AB 1AO 12O O AB G 1O 2O A B 48AB =∴1242AG AB ==12O O AB ⊥2Rt AGO 290AGO ∠=︒∴218GO ===∴1122501832GO O O GO =-=-=1Rt AGO 190AGO ∠=︒∴140AO ===1O 4012O O P B 212303505AO O O ==22183305GO AO ==∴22122AO GO O O AO =212AO O O A G ∠=∠∴122O AO AGO ∽∴12290O AO AGO ∠=∠=︒12O O P AP BP ∴1AP PO =又垂直平分，，以为直径的经过点．22. A 市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时千米，人步行的平均速度是每小时千米（上、下车时间忽略不计）．（1）如果该小汽车先送名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由；（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由．【答案】（1）不能，见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；（1）根据题意分别求出单程送达比赛场地的时间和另外送4名学生的时间，进而问题可求解；（2）设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时，根据题意可得，进而求解即可．【小问1详解】解：他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．∵单程送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟）；∴送完另名学生的时间是：（分钟）（分钟）；∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．【小问2详解】解：先将名学生用车送达比赛场地，另外名学生同时步行前往比赛场地，汽车到比赛场地后返回到与另外名学生的相遇处再载他们到比赛场地．（用这种方案送这名学生到达比赛场地共需时间约为分钟）．理由如下：先将名学生用车送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟），12O O AB 1BP AP PO ==∴12O O P B 84154260544t 56015 1.25t t +=-15600.25÷=15=415345⨯=42>444840.4415600.25÷=15=此时另外名学生步行路程是：(千米)；设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时．则；解得（小时）（分钟）；从相遇处返回比赛场地所需的时间也是（分钟）；所以，送这名学生到达比赛场地共需时间为：（分钟）；又；所以，用这种方案送这名学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地．23. 如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，．（1）求证：；（2）分别连接、，求证：四边形是等腰梯形．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等腰梯形的判定（1）连结，可得，，进而即可得到结论；（2）欲证明四边形是等腰梯形，只需推知，，即可．【小问1详解】证明：连结．450.25 1.25⨯=4t 56015 1.25t t +=-1152t =16513=16513816515240.413+⨯≈40.442<8ABCD E G H F AB BC CD DA AE AF =CG CH =CG AE ≠EF GH ∥EG FH EGHF BD AE AF AB AD =CG CH CB CD=EGHF EF GH ≠EF GH ∥EG FH =BD∵四边形是菱形，∴；又，，∴，；∴，；∴．【小问2详解】证明：连接∵，∴；∵，∴；又，∴；又，∴四边形是梯形；∵,即；又∵，即；∵四边形是菱形，ABCD AB AD BC CD ===AE AF =CG CH =AE AF AB AD=CG CH CB CD =EF BD ∥GH BD ∥EF GH ∥,EG FHEF BD ∥EF AE BD AB=GH BD ∥GH CG BD BC =CG AE ≠EF GH ≠EF GH ∥EGHF AB AE AD AF -=-BE DF =BC CG CD CH -=-BG DH =ABCD∴；∴；∴；∴梯形是等腰梯形．24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形．① 当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标；② 当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值．【答案】（1）；点（2）①；②的值为或【解析】【分析】（1）把点A 的坐标代入表达式求出a 的值即可得到函数表达式，进而根据对称性求出点B 的坐标；（2）①在中，，则；得到；过点作，垂足为．在中，，；证明四边形是矩形，则；即可得到答案；②根据m 的取值分三种情况分别进行解答即可．【小问1详解】解：把代入，得，B D ∠=∠()SAS BGE DHF ≅ EG FH =EGHF xOy 244(0)y ax ax a =-+>x (1,0)A B yC B (0,)M m BC M MG BC ⊥GD x GD MD GD MD GDMN 32m =GDMN N y D 0m ≥D GDMN m 2416433y x x =-+(3,0)B 6(,0)5D m 037Rt CGM △90CGM ∠=︒cos CG MCG CM ∠=54cos 225CG CM MCG =⋅∠=⨯=G GH OC ⊥H Rt CGH △90CHG ∠=︒36sin 255GH CG HCG =⋅∠=⨯=GDOH 65OD GH ==(1,0)A 244(0)y ax ax a =-+>440a a -+=解得；∴抛物线的表达式为；∵抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴交于点和点，∴点．【小问2详解】①由题意，得，，∴；∵四边形是平行四边形，∴；又点在轴上，∴，∴，在中，，∴，∴，；在中，，∴；∴；过点作，垂足为．43a =2416433y x x =-+1632423x -=-=⨯244(0)y ax ax a =-+>x (1,0)A B (3,0)B (0,4)C 3(0,)2M 52CM =GDMN GD NM ∥N y NM OD ⊥GD OD ⊥Rt BOC 90BOC ∠=︒5BC ==4cos 5OC OCB BC ∠==3sin 5OB OCB BC ∠==Rt CGM △90CGM ∠=︒cos CG MCG CM∠=54cos 225CG CM MCG =⋅∠=⨯=G GH OC ⊥H在中，，；∵，∴四边形是矩形，∴；∴．②当时，根据不同取值分三种情况讨论：当时，即点与点重合时，符合题意；当时，如图情况符合题意，取的中点P ，以为直径作圆P ，则在圆上，此时圆P 和x 轴有唯一切点D ，符合题设条件，则，∵，由①知，，则，则，∵，,∴，解得；当时，可得，所以符合题意的不存在；综合、、，符合题意的的值为或．【点睛】此题考查了二次函数的综合题，考查了解直角三角形，切线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，分类讨论是解题的关键．25. 如图，在扇形中，，，点、是弧上的动点（点在点的上方，点不与点重合，点不与点重合），且．Rt CGH △90CHG ∠=︒36sin 255GH CG HCG =⋅∠=⨯=90GDO DOH GHO ∠=∠=∠=︒GDOH 65OD GH ==6(,0)5D 0m ≥m i 0m =M O ii 04m <<MG MG ,N D OH PD PM ==()3sin 425MG MC OCB m PM =⋅∠=-=CMG OCB ∠=∠sin sin CMG OCB ∠=∠()9sin 450MH PM OCB m =∠=-OH MH OM MH m =+=+PM OH =93(4)(4)5010m m m -+=-37m =iii 4m ≥OH PM >m i ii iii m 037OAB OA OB ==90AOB ∠=︒C D AB C D C A D B 45COD ∠=︒（1）①请直接写出弧、弧和弧之间的数量关系；②分别连接、和，试比较和的大小关系，并证明你的结论；（2）分别交、于点、．①当点在弧上运动过程中，的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求的值；②当时，求圆心角的正切值．【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）①的值不变，；②或．【解析】【分析】（1）①根据“同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”即可得到答案；②在弧上取点连接，使得，可得，根据角的和差关系可得，则，即可得到答案；（2）①证明，即可得到答案；②过点在下方作，截取，连接、，证得，可得，进一步证得，则可得，由勾股定理和线段的和差关系可得，联立解得，过点N 作于点F ，则，利用勾股定理求得，，根据正切的概念计算即可．【小问1详解】解：①，，，；②．证明如下：AC CD BD AC CD BD AC BD +CD AB OC OD M N C AB AN BM ⋅AN BM ⋅5MN =DOB ∠ AC C BD D +=AC BD CD +>AN BM ⋅72AN BM ⋅=1tan 3DOB =∠1tan 2DOB ∠=CD E OE COE AOC ∠=∠AC CE =DOE BOD ∠=∠BD DE =BMO AON ∽△△O OB BOM AOM ∠=∠'OM OM '=BM 'NM '()SAS OBM OAM ' ≌90NBM OBA OBM '∠=∠+∠='︒()SAS ONM OMN ' ≌22225MN AM BN ==+7AM BN +=BN NF OB ⊥NF BF =NF OF 90AOB ∠=︒Q 45COD ∠=︒904545AOC BOD AOB COD ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒ D B AC C D +∴=AC BD CD +>在弧上取点连接，使得，；、可得；，，；；．【小问2详解】解：①的值不变，．，，；，，；；；．②如图，CD E OE COE AOC ∠=∠∴AC CE =CE DE CE DE CD +> 45COE DOE ∠+∠=︒∴904545AOC BOD ∠+∠=︒-︒=︒∴DOE BOD ∠=∠∴BD DE =∴AC BD CD +>AN BM ⋅72AN BM ⋅= OA OB =90AOB ∠=︒∴45OAB OBA ∠=∠=︒ 45OMB OAB AOM AOM ∠=∠+∠=︒+∠45AON COD AOM AOM ∠=∠+∠=︒+∠∴OMB AON ∠=∠∴BMO AON ∽△△∴BM BO AO AN=∴72AN BM AO BO ⋅=⋅==过点在下方作，截取，连接、，，，，，；又，，，，；，；解得或；过点N 作于点F ，则，，，，设，则，当时，在中，，即，解得：O OB BOM AOM ∠=∠'OM OM '=BM 'NM ' AO BO =∴()SAS OBM OAM ' ≌∴BM AM '=45OBM OAB ∠=∠='︒∴90NBM OBA OBM '∠=∠+∠='︒45M ON COD ∠=︒=∠'ON ON =∴()SAS ONM OMN ' ≌∴M N MN '=∴222222MN M N BM BN AM BN =='+=+' 551257AM BN AB MN +=-=-==-=2225AM BN +=3BN =4BN =NF OB ⊥90NFB ∠=︒45ABO ∠=︒ 45BNF ∴∠=︒NF BF ∴=BF x =OF x =3BN =Rt NFB △222BF NF BN +=229x x +=x =OF ∴==；当时，在中，，即，解得：，．【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．1tan 3NF O O F D B ∴==∠=4BN =Rt NFB △222BF NF BN +=2216x x +=x=OF ∴==1tan 2NF O O D F B ===∠∴。

上海市2024年普陀区中考数学二模试卷

一、选择题1. 上海市2024年普陀区中考数学二模试卷是同类二次根式的是（）A.B.C.D.2. 下列运算正确的是（） A . +=a a a 342B . −=a a 32C . ⋅=a a a 332D . ÷=a a a 323. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（） A . =x 02B . −=x 102C . −+=x x 2202D . −+=x x 21024. 已知正比例函数=y kx （k 是常数，≠k 0）的图像经过点A （2,6），那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图像上的是（） A . −−1,3)(B . −1,3)(C .（6,2）D . −6,2)(5. 已知ABC 中，AH 为边BC 上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断ABC 是等腰三角形的是（） A . BH =HCB . ∠BAH =∠CAHC . ∠B =∠HACD . ABHAHCSS=6. 如图1，在ABC 中，∠ACB =90°，G 是ABC 的重心，点D 在边BC 上，⊥DG GC ，如果BD =5，CD =3，那么BCCG的值是（） A.B.C.D.二、填空题7. 计算：=a332)(________________9. 不等式组⎩−>⎨⎧+>x x 120360的解集是______________10. 已知反比例函数=−xy k 1的图像位于第二、四象限，那么k 的取值范围是_______________ 11. 已知一个角的余角是这个角的两倍，那么这个角的补角是_______________度12. 现有四张分别是等边三角形、菱形、直角梯形、等腰梯形的纸片，从这四张纸片中任意抽取一张恰好是轴对称图形的概率是_______________13. 已知直线=+y x 24与直线y =1相交于点A ，那么点A 的横坐标是________________14. 在直角坐标平面内，将点A 先向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到点B ，如果点A 和点B 恰好关于原点对称，那么点B 的坐标是_______________15. 学校为了解本校九年级学生阅读课外书籍的情况，对九年级全体学生进行“最喜欢阅读的课外书籍类型”的问卷调查（每人只选一个类型），如图2是收集数据后绘制的扇形图，如果喜欢阅读漫画类书籍所在扇形的圆心角是72°，喜欢阅读小说类书籍的学生有72人，那么该校九年级喜欢阅读科技类书籍的学生有__________________人16. 如图3，梯形ABCD 中，AD //BC ，过点A 作AE //DC 分别交BD 、BC 于点F 、E ，=BC BE 32，设 ,AD a AB b ==，那么向量FE 用向量,a b 表示为______________17. 已知正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 在直线BC 上（点E 在点F 的左侧），∠EAF =45°，如果BE =1，那么CF 的长是______________18. 如图4，在ABC 中，AB =AC =5，=B 5cos 4，分别以点B 、C 为圆心，1为半径长作,B C ，D 为边BC 上一点，将ABD 和B 沿着AD 翻折得到'AB D 和'B ，点B 的对应点为点B '，AB '与边BC 相交，如果'B 与C 外切，那么BD =________________三、解答题19. 计算：⎝⎭⎪−++⎛⎫−4281221220. 解方程：−++=x x x x9326221. 如图5，在ABC 中，∠B =2∠C ，点D 在边BC 上，AB =AD =13，BC =23. （1）求BD 的长；（2）求tanC 的值.22. 甲外卖平台的外卖员小张看到乙外卖平台外卖员小王的月工资收入比自己高，于是想跳槽去乙外卖平台工作，如果不考虑其他因素，仅根据以下信息，请你帮助小张来决策是否需要跳槽到乙外卖平台，并说明理由.信息一：甲、乙两个外卖平台的税前月工资收入计算方式相同，如下：税前月工资收入=（每日底薪+每单提成⨯日均送单数）⨯月送单天数—当月违规扣款（其中这两个外卖平台每个月的月送单天数均相同）信息二：乙外卖平台外卖员小王的月工资单如下表：信息三：如图6-1，随机抽取了小张在甲外卖平台若干天的日均送单数绘制成条形图；如图6-2，根据小张在一年中每月的违规送单数绘制成条形图23. 已知：如图7，四边形ABCD 中，AB //CD ，点E 在边AD 上，CE 与BA 的延长线交于点F ，=AB EDFA AE. （1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（2）联结FD ，分别延长FD 、BC 交于点G ，如果=⋅FC FD FG 2，求证：⋅=⋅AD CG BF CD .24. 在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线=−+≠y a x m n a 02)()(与x 轴交于点A 、B ，抛物线的顶点P 在第一象限，且∠APB =90°.（1）当点P 的坐标为（4,3）时，求这个抛物线的表达式；（2）抛物线=−+≠y a x m n a 02)()(表达式中有三个待定系数，求待定系数a 与n 之间的数量关系；（3）以点P 为圆心，P A 为半径作P ，P 与直线=+y x n 2相交于点M 、N ，当点P 在直线=y x 21上时，用含a 的代数式表示MN 的长.25. 如图9，在梯形ABCD 中，AD //BC （AD <BC ），∠A =90°，BC =CD =6，将梯形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转，使点B 与点D 重合，此时点A 、D 的对应点分别是点E 、F . （1）当点F 正好落在AD 的延长线上时，求∠BCD 的度数；（2）联结AE ，设==AD x AE y ,. ①求y 关于x 的函数解析式；②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形，设∠BCF 是一个正多边形的中心角，联结BD ，请说明以线段BD 、AE 为边的正多边形是双同正多边形的理由，当这两个正多边形的面积比是4:5时，求双同正多边形的边数.一、选择题1. D2. C3. B4. A5. C6. 参考答案D二、填空题7. a 968. =x 3 9. −<<x 221 10. k <1 11. 150 12. 43 13. −2314.（2,3） 15. 27 16. 42a b +33 17. 38或5818. −44三、解答题 19.1020. =x 6 21.（1）10 （2）3222. 不需要 23.（1）证明略（2）证明略 24.（1）=−−+y x 34312)( （2）+=an 10（3）=−aMN 2 25.（1）60°（2）①=y②十二条边。

2024届上海市虹口区初三二模数学试卷(含答案)

2024届上海市虹口区初三二模数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）2024.4注意：1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．下列各数中，无理数是A ．211；B ．3.14159；C；D ．.1.2．2．如果关于x 的一元二次方程220x x m -+=有实数根，那么实数m 的取值范围是A ．m ＞1；B ．m ＜1；C ．m ≥1；D ．m ≤1．3．已知二次函数2(4)y x =--，如果函数值y 随自变量x 的增大而减小，那么x 的取值范围是A ．x ≥4；B ．x ≤4；C ．x ≥-4；D ．x ≤-4．4．下列事件中，必然事件是A ．随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数；B ．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上；C ．在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球；D ．在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于180°．5．如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和AD 上，BE =2，AF=6，如果AE ∥CF ，那么△ABE 的面积为A ．6；B ．8；C ．10；D ．12．6．在□ABCD 中，BC =5，S □ABCD =20．如果以顶点C 为圆心，BC 为半径作⊙C ，那么⊙C 与边AD 所在直线的公共点的个数是A ．3个；B ．2个；C ．1个；D ．0个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7=▲.8．分解因式：229a b -=▲.9．不等式52x +≤3(2)x +的解集是▲．10．函数y =的定义域是▲．11．将抛物线2(2)1y x =-+先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为FD图1E B AC①②▲．12．在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样．如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为0.25，那么白球的个数是▲．厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为y （厘米），燃烧的时间为t （分钟），那么y 关于t 的函数解析式为▲（不写定义域）．15．如图3，已知正六边形螺帽的边长是4cm ，那么与该螺帽匹配的扳手的开口a 为▲cm ．16．如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，设a AB = ，AC＝b ，那么用向量a 、b表示向量EF 17．如图5，在□ABCD 中，AB =7，BC =8，P 为圆心，AP 为半径作⊙P ．点Q 在边BC 上，以点Q 为圆心，CQ CQ 的长为▲．18．如图6，在扇形AOB 中，∠AOB =105°沿着BC 翻折，点O 的对称点D恰好落在弧AB 上，再将弧AD 沿着CD 翻折至弧A 1D （点A 1是点A 的对称点），那么OA 1的长为▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）先化简，再求值：22214(1)33m m m m m -+÷-++，其中m ．20．（本题满分10分）解方程组：2226,20.x y x xy y -=⎧⎨--=⎩图3图5如图7，一次函数图像与反比例函数图像相交于点A（m，2）和点B（2，-4），与y轴交于点C．点D（-1，n）在反比例函数图像上，过点D作x轴的垂线交一次函数图像于点E．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△CDE的面积．22.（本题满分10分）根据以下素材，完成探索任务．图7OyCBxADEC K图8②GE图8③BCDEFG(K图9CA B DE 如图9，在Rt △ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得DB=CB ，过点A 、D 分别作AE ∥BC ，DE ∥BA ，AE 与DE 相交于点E ，联结BE ．（1）求证：BE ⊥CD ；（2）联结AD 交BE 于点F ，联结CE 交AD于点G ．如果∠FBA =∠ADB ，求证：AG AB =．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）新定义：已知抛物线2y ax bx c =++（其中abc ≠0），我们把抛物线2y cx ax b =++称为2y ax bx c =++的“轮换抛物线”．例如：抛物线y ＝2x 2+3x +1的“轮换抛物线”为y ＝x 2+2x +3．已知抛物线C 1：24(45)y mx m x m =+-+的“轮换抛物线”为C 2，抛物线C 1、C 2与y 轴分别交于点E 、F ，点E 在点F 的上方，抛物线C 2的顶点为P ．（1）如果点E 的坐标为（0，1），求抛物线C 2的表达式；（2）设抛物线C 2的对称轴与直线38y x =+相交于点Q ，如果四边形PQEF 为平行四边形，求点E 的坐标；（3）已知点M （-4，n ）在抛物线C 2上，点N 坐标为（-2，172-），当△PMN ∽△PEF 时，求m 的值．备用图Oy x图10②图10①A BDC E PF 图10②备用图ABDC25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）①小题5分，第（2）②小题5分）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在射线DA 上，点F 在射线AB 上，联结CE 、DF 相交于点P ，∠EPF =∠ABC ．（1）如图10①，如果AB=CD ，点E 、F 分别在边AD 、AB 上．求证：AF DFDE CE；（2）如图10②，如果AD ⊥CD ，AB =5，BC =10，cos ∠ABC =35．在射线DA 的下方，以DE 为直径作半圆O ，半圆O 与CE 的另一个交点为点G ．设DF 与弧EG 的交点为Q ．①当DE =6时，求EG 和AF 的长；②当点Q 为弧EG参考答案2024.4说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．C2．D3．A4．D5．B6．B二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．-28．(3)(3)a b a b +-9．x ≤210．x ＞-111．2(5)3y x =--12．613．78014．300.3y t =-15．16．3344a b-+ 17．371418．8-三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=2(1)1(3)3m m m m m --÷++2(1)3(3)1m m m m m -+=⋅+-1m m-=把x =代入，原式===20．解：由②得，20x y -=或0x y +=将它们与方程①分别组成方程组，得：26,20.x y x y -=⎧⎨-=⎩26,0.x y x y -=⎧⎨+=⎩分别解这两个方程组，得原方程组的解为114,2;x y =⎧⎨=⎩222,2.x y =⎧⎨=-⎩．∴原方程组的解为114,2;x y =⎧⎨=⎩222,2.x y =⎧⎨=-⎩．（代入消元法参照给分）21．解：设反比例函数解析式为(0)ky k x=≠把点B 代入k y x =，得42k-=，解得8k =-∴反比例函数解析式为8y x=-把点A 代入8y x =-，得82m=-，解得4m =-∴点A （-4，2）设一次函数解析式为'('0)y k x b k =+≠，把点A 、B 代入，得24',42'.k b k b =-+⎧⎨-=+⎩解得'1,2.k b =-⎧⎨=-⎩∴一次函数解析式为2y x =--（2）把点D (1,)n -代入8y x=-中，可得8n =∴D (1,8)-把x=-1代入2y x =--中，得1y =-∴点E (1,1)--∴199122CDE S =⨯⨯=△22．解：（1）根据题意，在Rt △ABH中，60AH ==25125:121:605BH i AH ====答：斜坡AB 的坡比为121:5．（2）过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为点Q ，过点F 作FJ ⊥PQ ，垂足为点J ，FJ 与EC 相交于点I由题意可得，∠BPQ =∠QBM 即5tan 12BPQ ∠=在Rt △BPQ 中，cos 6PQ BP BPQ =∠=sin 2.5BQ BP BPQ =∠=可得四边形DFIC 、DFJQ 是矩形∴DF=IC=JQ=1∴EI=2.5，PJ=5IJ=CQ =10+2.5=12.5PB CDEF J MQ I可得EC ∥PQ ∴JI PJ E FI F =设CD=x ，则FI=x ∴2.5512.5x x =+得x=12.5答：小张距大巴车尾EC 的距离CD 为12.5米．23．证明：（1）∵AE ∥BC ，DE ∥BA∴四边形AEDB 是平行四边形∴AE=BD ∵BD=CB ∴AE=CB∵AE ∥BC ∴四边形AEBC 是平行四边形∵∠C =90°∴四边形AEBC 是矩形∴BE ⊥CD （2）∵∠FBA =∠ADB又∵∠DAB =∠BAF ∴△ABD ∽△AFB∴AB ADAF AB=∵四边形AEDB 是平行四边形∴12AF AD=∴12AB ADABAD =∴AD ∵AE ∥BC∴AE AG CD GD =∵AE=CB=BD ∴12AE CD =∴12AG GD=∴13AG AD=∵AD∴AG AB =24．解：（1）把点E 代入C 1，得m =1C 1：241y x x =-+C 2：2+41y x x =-（2）C 2：24(45)y mx mx m =++-2(2)5m x =+-∴点P （-2，-5）把x=-2代入38y x =+得2y =∴点Q （-2，2）由题意可得点E （0，m ），点F （0，4m -5）∵点E 在点F 的上方∴35EF m =-+∵四边形PQEF 为平行四边形∴EF =PQ∴735m =-+解得m =23-∴点E 203-（，（3）由题可得，点M 与点F 关于对称轴直线x=-2对称∴∠MPN =∠FPN ∵直线x =-2∥y 轴∴∠NPF =∠PFE∴∠MPN =∠PFE ∵△PMN ∽△PEF∴PN PF PM EF =或PN EFPM PF =①当PN PF PM EF =时，122解得1m =-或1732②当PN EF PM PF =时，122=解得56m =综上所述，1m =-或1732或5625．解：（1）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD∴∠ABC =∠DCB ，∠A =∠ADC ∵∠EPF =∠ABC∴∠EPF =∠DCB∵∠EPF =∠DEC+∠EDP ，∠DCB =∠DCE+∠ECB 又∵AD ∥BC∴∠DEC=∠ECB∴∠EDP=∠DCE ∴△ADF ∽△DCE∴AF DFDE CE=（2）①过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ，过点O 作OM ⊥EC ，垂足为点M在Rt △ABH 中，sin 4AH AB ABC =∠=，cos 3BH AB ABC =∠=可得CD=AH =4，AD=CH =7在Rt △EDC 中，42tan 63CD DEC DE ∠===，可得cos DEC ∠=在Rt △OEM中，cos EM OE DEC =∠=∵OM ⊥EC∴2EG EM ==联结OC ，可得OC=5=AB 可得△ADF ∽△OCE ∴AF ADOE CO=∴735AF =∴215AF =②联结OQ 交EC 于N∵点Q 为弧EG 的中点∴OQ ⊥EC在Rt △PQN 中，tan ∠EPF =43∴tan ∠NQP =34∵OD=OQ∴∠ODQ=∠OQP∴tan ∠ODQ =tan ∠NQP =34过点O 作OM ⊥DQ ，垂足为点M 设OD=5k ，则OM=3k ，DM=4k ，DQ=8k 可得QI=324855k k ⋅=，DI =325k ∴OI =327555k k k -=，在Rt △OIQ 中，cot ∠IOQ =724OI QI =∴tan ∠DEC =cot ∠IOQ =724在Rt △DEC 中，DE 96=tan 7DC DEC =∠在AD 上取点D’，使得CD’=AB 可得△ADF ∽△D’CE ∴''AF ADD E CD =∴796537AF =-∴=15AF。

2024上海闵行区初三二模数学试卷及答案

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2024年中考数学第二次模拟考试+解析(上海卷)

2024年中考第二次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在下列图形中，为中心对称图形的是( ) A ．等腰梯形 B ．平行四边形 C ．正五边形 D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A 、C 、D 都不符合；是中心对称图形的只有B ．故选B ．2．下列方程有实数根的是A ．4x 20+=B 1=−C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=−− 【答案】C【详解】A ．∵x4＞0，∴x4+2=0B ．，无解，故本选项不符合题意；C ．∵x2+2x−1=0，∆ =8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1xx −=11x −，可得x=1，经检验x=1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．故选C ．3．计算：AB BA +=（） A ．AB ； B ．BA ；C ．0；D ．0．【答案】C【分析】根据零向量的定义即可判断．【详解】AB BA +=0．故选C ．4．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．5．下列命题中，假命题是（）A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．【答案】C【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．【详解】A是真命题；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．6．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A ．4<OB <7 B ．5<OB <7C ．4<OB <9D ．2<OB <7【答案】A【分析】作⊙A 半径AD ，根据含30度角直角三角形的性质可得4OA =，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，即可得结论．【详解】解：设⊙A 与直线OP 相切时的切点为D ， ∴AD OP ⊥，∵∠POQ=30°，⊙A 半径长为2，即2AD =， ∴24OA AD ==，当⊙B 与⊙A 相切时，设切点为C ，如下图，∵5BC =，∴4(52)7OB OA AB =+=+−=，∴若⊙B 与⊙A 内含，则OB 的取值范围为47OB <<．故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 7．分解因式：2218m −= ．【答案】()()233m m +−/()()233m m −+【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：2218m −=2（m2-9） =2（m+3）（m -3）．故答案为：2（m+3）（m -3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8．x −的解是．【答案】x ＝﹣1．【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．【详解】把方程两边平方得x+2＝x2，整理得（x ﹣2）（x+1）＝0，解得：x ＝2或﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．故本题答案为：x ＝﹣1．【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根． 9．函数y =x 的取值范围是．【答案】0x ≥且2x ≠【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．【详解】解：由题意可知：020x x ≥⎧⎨−≠⎩，解得：0x ≥且2x ≠，故答案为：0x ≥且2x ≠．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b ==，那么BG = （用a b 、表示）. 【答案】23a b−+. 【详解】试题分析： ∵在△ABC 中，点G 是重心，AD b =，∴23AG b=，又∵BG AG AB =−，AB a =，∴2233BG b a a b =−=−+；故答案为23a b −+．考点：1．平面向量；2．三角形的重心．11．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是 . 【答案】13【详解】解: 列树状图得共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是13.12．在方程2234404x x x x+−+=−中，如果设y=x 2﹣4x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．【答案】2430y y ++=【分析】先把方程整理出含有x2-4x 的形式，然后换成y 再去分母即可得解．【详解】方程2234404x x x x +−+=−可变形为x2-4x+214x x −+4=0,因为24y x x =−，所以340y y ++=，整理得，2430y y ++=13．如果⊙O 1与⊙O 2内含，O 1O 2＝4，⊙O 1的半径是3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是．【答案】7r >/7r <【分析】由题意，⊙O1与⊙O2内含，则可知两圆圆心距d r r <−小大，据此代入数值求解即可．【详解】解：根据题意，两圆内含，故34r−>，解得7r>．故答案为：7r>．【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键．14．某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x，那么可列方程是．【答案】100（1＋x）2＝200【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，即可列出关于x的一元二次方程．故答案为：100（1＋x）2＝200【详解】设平均每月的增长率为x，根据题意可得：100（1＋x）2＝200．故答案为：100（1＋x）2＝200．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．15．菱形ABCD中，已知AB＝4，∠B：∠C＝1：2，那么BD的长是．【答案】【分析】根据题意画出示意图（见详解），由菱形的性质可得BO＝12BD，BD⊥AC，在Rt△ABO中，由cos∠ABO即可求得BO，继而得到BD的长．【详解】解：如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB CD∥，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC：∠BCD＝1：2，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，BO＝12BD，BD⊥AC．在Rt△ABO中，cos∠ABO＝BOAB＝，∴BO＝AB⋅cos∠ABO＝4×＝∴BD＝2BO＝故答案为：【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数求解线段长度是解题的关键．16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC = ．【答案】10【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，解出即可得出OC的长．【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16∴AD=12AB=8，在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2解得：r=10故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD 中，10AB =，12BC =，5CD =，3tan 4B =，那么边AD 的长为．【答案】9【分析】连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，由3tan 4B =，10AB =，可得AE=6，BE=8，并求出AC 的长，作CF AD ⊥交AD 于F 点，可证B DCF ∠=∠，最后求得AF 和DF 的长，可解出最终结果．【详解】解：如图，连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点， 3tan 4B =，10AB =，∴3tan 4AE B BE ==，设AE=3x ，BE=4x ，∴222AE BE AB+=，则()()2223425100x x x +==，解得x=2，则AE=6，BE=8，又12BC =，∴CE=BC -BE=4，∴AC ==作CF AD ⊥交AD 于F 点，+=90B D ∠∠︒，90D DCF ∠+∠=︒，∴B DCF ∠=∠，3tan 4B ==tan DCF ∠=DF CF ，又5CD =，∴同理可得DF=3，CF=4，∴6AF ==，∴AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．18．如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，⊙O是以BC为直径的圆，如果⊙O与⊙A相切，那么⊙A的半径长为．2=+可得结论；【分析】分两种情况：①如图，A与O内切，连接AO并延长交A于E，根据AE AO OE=−可得结论．②如图，A与O外切时，连接AO交A于E，同理根据AE OA OE【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：①如图1，A与O内切时，连接AO并延长交O于E，O 与A 相内切，E ∴为切点，122OE BC ∴==，90ACB ∠=︒，根据勾股定理得：OA ，2AE OA OE ∴=+；即A 2；②如图2，A 与O 外切时，连接AO 交O 于E ，同理得2AE AO OE =−，即A 2，综上，A 22．2．【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出AE 是A 的半径．第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10()()()202201cot 453sin 30π−−︒+−−︒ ．【答案】【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．202201(cot 45)(3)(sin30)π−−︒++−−︒202211(1)1()2−=−+−112=−=【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，解题的关键是准确熟练地化简各式．20．（10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =23， AD ∶DB =1∶2.（1）求△ABC 的面积；（2）求CE ∶DE .【答案】解：（1）；（2）31.【详解】试题分析：（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH 和AH 的长，从而可以求得△ABC 的面积；（2）根据三角形的相似和题意可以求得CE ：DE 的值．试题解析：解：（1）∵AB=AC=6，cosB=23，AH 是△ABC 的高，∴BH=4，∴BC=2BH=8，=∴△ABC 的面积是；2BC AH ⋅=（2）作DF ⊥BC 于点F ．∵DF ⊥BH ，AH ⊥BH ，∴DF ∥AH ，∴AD HF CE CHAB HB DE HF ==，．∵AD ：DB=1：2，BH=CH ，∴AD ：AB=1：3，∴13HF HB =，∴31CE CH BH DE HF HF ===，即CE ：DE=3：1．点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y ＝kx的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，已知点A 的纵坐标为2．经过点A 且与正比例函数y ＝kx 的图象垂直的直线交反比例函数y ＝kx的图象于点B （点B 与点A 不是同一点）．(1)求k 的值； (2)求点B 的坐标．【答案】(1)2(2)（4，12）【分析】（1）根据题意得到22k k =，解方程求得k ＝2；（2）先求得A 的坐标，根据正比例函数的解析式设直线AB 的解析式为y12=−x+b ，把A 的坐标代入解得b 52=，再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B 的坐标．【详解】（1）解：∵点A 是反比例函数y kx =的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，点A的纵坐标为2， ∴22kk =， ∴2k ＝4，解得k ＝±2， ∵k ＞0， ∴k ＝2；（2）∵k ＝2， ∴反比例函数为y2x =，正比例函数为y ＝2x ，把y ＝2代入y ＝2x 得，x ＝1， ∴A （1，2）， ∵AB ⊥OA ，∴设直线AB 的解析式为y12=−x+b ，把A 的坐标代入得2112=−⨯+b ，解得b52=，解21522y xy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩得12x y =⎧⎨=⎩或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴点B 的坐标为（4，12）．待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线AB 的解析式，本题属于中等题型．22．（10分）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD 的上底BC 表示主跨桥，两腰AB ，CD 表示桥两侧的斜梯，A ，D 两点在地面上，已知AD ＝40m ，设计桥高为4m ，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A 左侧25m 点P 处有一棵古树，有关部门划定了以P 为圆心，半径为3m 的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m ，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN 作为轮椅坡道，坡道终点N 在左侧的新斜梯上，并在点N 处安装无障碍电梯，坡道起点M 在AP上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．表：轮椅坡道的最大高度和水平长度【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m(2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡A B''的水平距离A E'进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．【详解】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点A'和点D'，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点B'，射线FC过点C'，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，B'E＝5m，∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即AE＝1：2.4，∴AE＝4×2.4＝9.6（m），又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AE＝DF＝9.6m，∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），AB10.4（m）＝CD，∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．（2）解：∵斜坡A B ''的坡度为1：4，即B E A E ''＝1：4，∴A 'E ＝5×4＝20（m ）， ∴A A '＝20﹣9.6＝11.4（m ），A 'G ＝4NG ＝4×0.9＝3.6（m ），∴AG ＝11.4﹣3.6＝7.8（m ），点M 到点G 的最多距离MG ＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m ）， ∵14.2＜14.4，∴轮椅坡道的设计不可行．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B Ð=°，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE=CE ．即可以利用“AAS”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE ADCB AC =．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．又∵E 是AC 中点， ∴AE=CE ，∴在AED △和CEF △中，ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌， ∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵//AD BC ， ∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅， ∴AE ADCB AC =， ∴ADE CAB ∽△△， ∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥． ∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =−++与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD ，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的表达式； (2)联结DF ，求cot ∠EDF 的值；(3)点P 在直线l 上，且∠EDP =45°，求点P 的坐标．【答案】(1)2312355y x x =−++；(2)cot 2EDF ∠=；(3)(4,6)或3(4,)2−．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）证明()OAD HDE AAS ∆∆≌，再根据全等三角形的性质得1EH OD ==，3DH OA ==，可得(4,1)E ，(4,3)F ，求出3FH DH ==，则45DFH ∠=︒，DF =E 作EK DF ⊥于K，根据等腰直角三角形的性质可得KF KE =DK DF KF =−=，在Rt DKE ∆中，根据余切的定义即可求解；（3）分两种情形①点P 在点E 的上方时；②点P 在点E 的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．【详解】（1）解：把点(0,3)A ，点(5,0)B 代入235y x bx c=−++，得：15503b c c −++=⎧⎨=⎩，解得：1253b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2312355y x x =−++；（2）解：如图：90AOD ADE DHE ∠=∠=∠=︒，90ADO OAD ∴∠+∠=︒，90ADO EDH ∠+∠=︒，OAD EDH ∴∠=∠，AD DE =，()OAD HDE AAS ∴∆∆≌，1EH OD ∴==，3DH OA ==， (4,1)E ∴，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线2312355y x x =−++于点F ．(4,3)F ∴，3FH ∴=，3FH DH ∴==，90DHE ∠=︒，45DFH ∴∠=︒，DF =过点E 作EK DF ⊥于K ，312EF =−=，KF KE ∴=，DK DF KF ∴=−=在Rt DKE ∆中，cot 2DK EDF KE ∠=；（3）解：①当点P 在点E 的上方时，45EDP DFH ∠=∠=︒，DEP ∠是公共角，EDF EPD ∴∆∆∽，∴EF EDED EP =，2ED EF EP ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =−，又2EF =，ED102(1)y ∴=−，解得6y =，∴点P 的坐标为(4,6)；②当点P 在点E 的下方时，45EDP DFP ∠=∠=︒，DPF ∠是公共角，PED PDF ∴∆∆∽，∴PE DPPD FP =，2DP PE PF ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =−，3FP y =−，DP ，29(1)(3)y y y ∴+=−−，解得32y =−，∴点P 的坐标为3(4,)2−；综上所述，当45EDP ∠=︒时，点P 的坐标为(4,6)或3(4,)2−．【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质． 25．（14分）如图，半径为1的⊙O 与过点O 的⊙P 相交，点A 是⊙O 与⊙P 的一个公共点，点B 是直线AP 与⊙O 的不同于点A 的另一交点，联结OA ，OB ，OP ．(1)当点B 在线段AP 上时， ①求证：∠AOB ＝∠APO ；②如果点B 是线段AP 的中点，求△AOP 的面积；(2)设点C 是⊙P 与⊙O 的不同于点A 的另一公共点，联结PC ，BC ．如果∠PCB ＝α，∠APO ＝β，请用含α的代数式表示β．【答案】(1)①见解析；② (2)β＝60°﹣23β【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ，则∠AOB ＝∠APO ；②首先利用△AOB ∽△APO ，得OA ABAP OA =，可得AP 的长，作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH x ，利用勾股定理列方程求出OH 的长，从而得出AH ，即可求得面积；（2）联结OC ，AC ，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，再利用SSS 说明△OAP ≌△OCP ，得∠OAP ＝∠OCP ，从而解决问题．【详解】（1）①证明：∵OA ＝OB ， ∴∠OAB ＝∠OBA ， ∵PA ＝PO ， ∴∠BAO ＝∠POA ， ∴∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ， ∴∠AOB ＝∠APO ；②解：∵∠AOB ＝∠APO ，∠OAB ＝∠PAO ，∴△AOB ∽△APO ， ∴OA AB AP OA =， ∴OA2＝AB•AP ＝1，∵点B 是线段AP 的中点，∴AP作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH x ，由勾股定理得，12﹣x22x ）2，解得x ＝，∴OH ＝4，由勾股定理得，AH ，∴△AOP 的面积为1122OP AH ⨯⨯=＝；（2）解：如图，联结OC ，AC ，∵∠AOB ＝∠APO ，∴∠AOB ＝β，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，∴∠OCP＝β+α，∵OA＝OC，AP＝PC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OAP＝∠OCP＝β+α，在△OAP中，2（α+β）+β＝180°，∴β＝60°﹣23．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．。

2024年上海市长宁区中考数学二模试卷及答案解析

2024年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．（4分）下列是最简二次根式的是（）A．B．C．D．．2．（4分）关于一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况，正确的是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根3．（4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（）A．y＝2x2B．C．y＝﹣2x D．y＝2x+14．（4分）为了解某公司的收入水平，随机挑选五人的月工资进行抽样调查，月工资（单位：元）分别是3000，4000，5000，6000，50000，那么能够较好的反映他们收入平均水平的是（）A．中位数B．标准差C．平均数D．众数．5．（4分）如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（）A．B．∠AOD＝3∠BOC C．AC＝2CD D．OC⊥BD6．（4分）下列命题是假命题的是（）A．对边之和相等的平行四边形是菱形B．一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形C．一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形D．被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2﹣2＝．8．（4分）截至2023年底，全国高铁营业里程约为45000公里，这个数45000用科学记数法表示为．9．（4分）函数的定义域为．10．（4分）方程的解是．11．（4分）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为．12．（4分）如果二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后经过原点，那么m的值为．13．（4分）在1，2，3中任取两个不重复的数字组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率是．14．（4分）为了解某校六年级300名学生来校的方式，随机调查了该校六年级50名学生同一天来校的方式，并绘制了如图所示的饼状图，那么估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有_____名．15．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝2AD，点E是AC的中点，联结DE，设向量，，如果用、表示，那么＝．16．（4分）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F不与点C重合），且∠EAF＝45°，那么的值为．17．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，将△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，如果点A在DE的延长线上，且CE∥AB，那么∠CAE的余弦值为．18．（4分）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，如果△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：．21．（10分）如图，⊙O经过平行四边形ABCD的顶点B，C，D，点O在边AD上，AO＝3，OD＝5．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求∠D的正弦值．22．（10分）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动商店优惠方式甲所购商品按原价打八折乙所购商品按原价每满300元减80元设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题：（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式（不必写出函数定义域）；（2）购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值；（3）顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围．23．（12分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AD，点E在边AD上（点E不与点A、D重合），点F在边CD上，且∠ABD＝∠EBF＝∠C．（1）求证：；（2）联结EF，与BD交于点G，如果BG＝EG，求证：四边形BEDF为等腰梯形．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴、线段BC交于点D、E．①当CF＝DF时，求CD的长；②联结AC，如果△ACF的面积是△CDE面积的3倍，求点F的坐标．25．（14分）已知在△ABC中，CA＝CB，AB＝6，cos∠CAB＝，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交边AC于点D（点D不与点A、C重合）．（1）当AD＝4时，判断点B与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点C作CE⊥OD，交OD延长线于点E．以点E为圆心，EC为半径作⊙E，延长CE，交⊙E 于点C′．①如图1，如果⊙O与⊙E的公共弦恰好经过线段EO的中点，求CD的长；②联结AC′、OC，如果AC′与△BOC的一条边平行，求⊙E的半径长．2024年上海市长宁区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可．【解答】解：A、＝，故不符合题意；B、＝＝，故不符合题意；C、是最简二次根式，符合题意；D、＝＝5，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．2．【分析】先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣3）＝13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质及正比例函数的性质、二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、函数y＝2x2中，当x＜0时y随x的增大而减小，不符合题意；B、函数y＝﹣中，在每一象限内y随x的增大而增大，不符合题意；C、函数y＝﹣2x中，y随x的增大而减小，不符合题意；D、函数y＝2x+1中，y随x的增大而增大，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数的性质、一次函数的性质及正比例函数的性质、二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．4．【分析】利用平均数，中位数、众数和给出的数据分别进行分析，即可得出答案．【解答】解：根据给出的数据可得，中位数根据能够较好的反映他们收入平均水平．故选：A．【点评】此题考查了平均数、众数、中位数和标准差，众数是指一组数据中出现次数最多的数据；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．5．【分析】分别根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定判断即可．【解答】解：A、∵OB⊥AC，∴＝，故不符合题意；B、∵＝，∴∠AOB＝∠COB，∵BC＝CD，∴∠BOC＝∠DOC，∴∠AOD＝3∠BOC，故不符合题意；C、∵∠AOB＝∠BOC＝∠DOC，∴∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD，∵BD＜BC+CD＝2CD，∴AC＜2CD，故符合题意；D、∵OB＝OC，BC＝DC，∴OC⊥BD，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．【分析】根据菱形的判定定理判断即可．【解答】解：A、∵平行四边形的对边相等，∴对边之和相等舒，邻边线段，∴平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题；B、根据菱形的面积公式可知：一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题；C、一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形，是真命题，不符合题意；D、有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不一定是菱形，故被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形是假命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】根据负整数指数幂法则进行解题即可．【解答】解：2﹣2＝．故答案为：．【点评】本题考查负整数指数幂，掌握运算法则是解题的关键．8．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：45000＝4.5×104．故答案为：4.5×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．10．【分析】方程两边平方得出x﹣1＝9，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边平方，得x﹣1＝9，解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解．故答案为：x＝10．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．11．【分析】设，则原方程转化为y﹣＝2，再方程两边都乘3y即可．【解答】解：，设，则原方程转化为：y﹣＝2，方程两边都乘3y，得3y2﹣1＝6y，即3y2﹣6y﹣1＝0．故答案为：3y2﹣6y﹣1＝0．【点评】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．12．【分析】求出函数图象向右平移3个单位后的函数解析式，再由函数图象过原点即可得出m的值．【解答】解：二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后的解析式为y＝（x﹣3）2+m，∵二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后经过原点，∴（0﹣3）2+m＝0，解得m＝﹣9．故答案为：﹣9．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的关键．13．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这个两位数是素数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：123112132212333132共有6种等可能的结果，其中这个两位数是素数的结果有：13，23，31，共3种，∴这个两位数是素数的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．14．【分析】总人数乘以样本中步行人数所占比例即可．【解答】解：估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有300×（1﹣12%﹣32%﹣26%）＝90（名），故答案为：90．【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．15．【分析】首先由向量的知识，得到与的值，即可得到的值．【解答】解：在△ABC中，，，则＝﹣＝﹣．∵BD＝2AD，点E是AC的中点，∴＝＝，＝＝﹣，∴＝+＝+﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查向量的知识．解题的关键是注意数形结合思想的应用．16．【分析】通过证明△BAE∽△CAF，可得．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB，∠ABD＝∠ACD＝45°，∠BAC＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．17．【分析】由△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，点A在DE的延长线上，且CE∥AB，得∠ACE＝∠BAC＝D＝x°，得3x+90＝180，得∠CAE＝x＝30°，得∠CAE的余弦值为．【解答】解：由△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，点A在DE的延长线上，且CE∥AB，得∠ACE＝∠BAC＝∠D＝x°，由△ADC中，∠ACB＝90°，得3x+90＝180，得∠CAE＝x＝30°，得∠CAE的余弦值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题关键是正确应用旋转的性质．18．【分析】当⊙O与AB、AC相切时（切点是M、N），⊙O与△ABC的三边有4个公共点，连接OM，由△AOM∽△ABH，得到OM：BH＝AO：AB，即可求出OM＝3.2，当⊙O′与AB、AC分别有一个公共点，与BC有两个公共点时（⊙O′不过B、C两点），△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，于是得到当4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，即可得到答案．【解答】解：如图，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝10，∴HB＝HC＝BC＝×16＝8，∴AH＝＝6，设O是△ABC的重心，∴AO＝AH＝4，当⊙O与AB、AC相切时（切点是M、N），⊙O与△ABC的三边有4个公共点，连接OM，∴OM⊥AB，∴∠AMO＝∠AHB＝90°，∵∠OAM＝∠BAH，∴△AOM∽△ABH，∴OM：BH＝AO：AB，∴OM＝8＝4：10，∴OM＝3.2，∴重心圆的半径r＝3.2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，如图，过作AK⊥BC于K，∵∵AB＝AC＝10，∴KB＝KC＝BC＝×16＝8，∴AK＝＝6，设O′是△ABC的重心，∴AO′＝AH＝4，∴KO′＝6﹣4＝2，∴BO′＝＝2，当⊙O′与AB、AC有一个公共点，与BC有两个公共点时（⊙O′不过B、C两点），△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，∴当4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，∴重心圆的半径r＝3.2或4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，故答案为：r＝3.2或4＜r＜2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的重心，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是要分两种情况讨论．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：原式＝2+（﹣+3）﹣2+＝2﹣＝4．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．20．【分析】把②变形为（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，可得x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，故原方程组相当于和，分别解两个二元一次方程组可得原方程组的解．【解答】解：由②得：（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，∴x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，∴原方程组相当于和，分别解两个二元一次方程组可得原方程组的解为和．【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用因式分解法“降次“，把二元二次方程组变形为两个二元一次方程组．21．【分析】（1）过O点作OE⊥BC，如图，先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝8，AD∥BC，再利用垂径定理得到BE＝CE＝4，接着利用勾股定理计算出OE＝3，然后利用平行四边形的面积公式求解；（2）先证明四边形OECF为矩形得到CF＝OE＝3，OF＝CE＝4，所以DF＝1，再利用勾股定理计算出CD，然后根据正弦的定义求解．【解答】解：（1）过O点作OE⊥BC，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝3+5＝8，AD∥BC，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝4，在Rt△OEC中，OE＝＝＝3，∴平行四边形ABCD的面积＝8×3＝24；（2）∵OF∥CE，OE⊥CE，CF⊥OF，∴四边形OECF为矩形，∴CF＝OE＝3，OF＝CE＝4，∴DF＝OD﹣OF＝5﹣4＝1，在Rt△CDF中，CD＝＝＝，∴sin D＝＝＝．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和解直角三角形．22．【分析】（1）根据甲商店实际付款是原价的0.8倍列出函数解析式；（2）根据题意可知300≤x＜500，然后按活动价列出等式，解方程即可；（3）分当300≤x＜600和600≤x＜900两种情况列出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）根据题意得：y＝0.8x，∴y关于x的函数解析式为y＝0.8x；（2）若x＜300，则甲商店按原价打八折，乙商店按原价，此时实际付款金额不可能相等，∴300≤x＜500，∴0.8x＝x﹣80，解得x＝400；（3）当300≤x＜600时，x﹣80＜0.8x，解得x＜400，∴300≤x＜400；当600≤x＜900时，x﹣160＜0.8x，解得x＜800，∴600≤x＜800，综上所述，x的取值范围为300≤x＜400或600≤x＜800．【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键是列出函数解析式和不等式．23．【分析】（1）由AD∥BC，BD⊥AD，得∠ADB＝∠DBC＝90°，而∠ABD＝∠EBF＝∠C，可推导出∠ABE＝∠DBF，∠A＝∠BDF，进而证明△ABE∽△DBF，则＝；（2）将＝，变形为＝，因为∠ABD＝∠EBF，所以△ABD∽△EBF，得∠ADB＝∠EFB，再证明△BGF∽△EGD，得＝＝＝1，则BF＝ED，FG＝DG，所以∠GDF＝∠GFD，由∠BGE ＝2∠GEB＝2∠GFD，证明∠GEB＝∠GFD，则BE∥DF，所以四边形BEDF为等腰梯形．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BD⊥AD，∴∠ADB＝∠DBC＝90°，∵∠ABD＝∠EBF＝∠C，∴∠ABD﹣∠DBE＝∠EBF﹣∠DBE，∴∠ABE＝∠DBF，∵∠A+∠ABD＝90°，∠BDF+∠C＝90°，∴∠A＝∠BDF，∴△ABE∽△DBF，∴＝．（2）证明：联结EF，与BD交于点G，∵＝，∴＝，∵∠ABD＝∠EBF，∴△ABD∽△EBF，∴∠ADB＝∠EFB，∵∠BGF＝∠EGD，∠GFB＝∠GDE，BG＝EG，∴△BGF∽△EGD，∠GBE＝∠GEB，∴＝＝＝1，∴BF＝ED，FG＝DG，∴∠GDF＝∠GFD，∵∠BGE＝∠GBE+∠GEB＝2∠GEB，∠BGE＝∠GDF+∠GFD＝2∠GFD，∴2∠GEB＝2∠GFD，∴∠GEB＝∠GFD，∴BE∥DF，∴四边形BEDF为等腰梯形．【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△ABE∽△DBF及△ABD∽△EBF是解题的关键．24．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①当CF＝DF时，则点F在CD的中垂线上，则（6﹣m+6）＝﹣m2+2m+6，即可求解；②证明△EMD∽△FNA，得到DE：AF＝DM：AN＝1：3，则＝（m+2），即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6；（2）由抛物线的表达式得，点A（﹣2，0）、C（0，6），设点F（m，﹣m2+2m+6），由点A（﹣2，0）、F的坐标得，直线AF的表达式为：y＝﹣（m﹣6）（x+2），则点D（0，6﹣m），①当CF＝DF时，则点F在CD的中垂线上，则（6﹣m+6）＝﹣m2+2m+6，解得：m＝0（舍去）或5，则CD＝6﹣（6﹣m）＝m＝5；②由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，联立上式和AF的表达式得：﹣x+6＝﹣（m﹣6）（x+2），解得：x＝＝DM，由点F的坐标得，AN＝m+2，∵△ACF的面积是△CDE面积的3倍，则DE：AF＝1：3过点D作DM∥x轴，作EM⊥DM，过点F作FN⊥x轴，则△EMD∽△FNA，则DE：AF＝DM：AN＝1：3，则＝（m+2），解得：m＝﹣4（舍去）或4，即点F（4，6）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、三角形相似、中垂线的性质等，有一定的综合性，难度适中．25．【分析】（1）借助垂径定理，利用cos A表示出AO和BO，通过比较AO和BO的大小确定点与圆的位置关系；（2）①需要紧扣∠CDE＝∠A，结合连心线和公共弦的性质可以发现圆E和圆O是等圆，借助相似三角形的性质或锐角三角函数，用含k的代数式表示出CD、AD，从而求解；②当AC′∥CB时，过点C′作C′N⊥AD，证明出∠C′AD＝∠C′DA，在Rt△C′NC中，cos∠C'CN＝＝，得到，解得，则；当AC′∥OC，延长OE交AC′延长线于点F，由AC′∥OC，得到，解得或5（舍去），则CE＝4k＝．【解答】解：（1）点B在⊙O内；理由如下：过点O作OH⊥AC，垂足为点H，∵OH过圆心，OH⊥AD，∴，∵OH⊥AC，∴∠AHO＝90°，在Rt△AOH中，，∴，∵AB＝6，∴，∵OB＜AO，∴点B在⊙O内；（2）过点C作CM⊥AB，垂足为M，如图2，∵AC＝BC，CM⊥AB，∴，在Rt△ACM中，，∴AC＝5，∵OA＝OD，∴∠CAB＝∠ODA，又∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CAB＝∠CDE，∵，在Rt△CDE中，∠CED＝90°，，设DE＝3k，CD＝5k，则，∴AD＝5﹣k，①两圆的交点记为P、Q，连接PE，PO，如图3，⊙O与⊙E相交，PQ是公共弦，∴OE垂直平分PQ，即OE⊥PQ，∵PQ经过OE的中点，∴PQ垂直平分OE，∴PE＝PO，即CE＝AO，，在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，∴，∵，∴，解得，∴；②由于点A在直线AB上，∴AC′不可能与OB平行，则当AC′∥CB时，过点C′作C′N⊥AD，如图4，∵AC＝CB，∴∠CAB+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣2∠CAB，∵AC′∥CB，∴∠C′AD＝∠ACB＝180°﹣2∠CAB，∵DE⊥CC′，CE＝C′E，∴DC′＝DC，∴∠CDE＝∠C′DE，∵∠C′DA+∠C′DE+∠CDE＝180°，∴∠C′DA＝180°﹣2∠CDE，∵∠CAB＝∠CDE，∴∠CAD＝∠CDA，∵C′N⊥AD，∴，∴，在Rt△C′NC中，，∴，∴，∴；当AC∥OC，延长OE交AC延长线于点F，如图5，∵AC′∥OC，∴，∴OE＝EF，∴，DE＝3k，∴，∴，∴，∵AC′∥OC，∴，∴，解得或5（舍去），∴，综上：或．【点评】本题考查了圆和三角形相结合的问题，锐角三角函数，点与圆的位置关系，相交两圆的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，构造直角三角形，并灵活运用勾股定理是解答本题的关键。

2024年上海市金山区中考数学二模试卷+答案解析

2024年上海市金山区中考数学二模试卷一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.单项式的系数和次数分别是()A.和2B.和3C.2和2D.2和32.下列多项式分解因式正确的是()A. B.C. D.3.关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是()A. B. C. D.4.在气象学上，每天在规定时段采集若干气温的平均数是当天的平均气温，连续5天的平均气温在以上，这5天中的第1个平均气温大于以上的日期即为春天的开始，那么下列表述正确的是()A.这5天中每天采集的若干气温中最高气温一定都大于B.这5天中每天采集的若干气温中最低气温一定都大于C.这5天中每天采集的若干气温的中位数一定都大于D.这5天中每天采集的若干气温的众数一定都大于5.在四边形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点下列说法能使四边形ABCD为菱形的是ㅤㅤA. B.C. D.6.下列命题中真命题是()A.相等的圆心角所对的弦相等B.正多边形都是中心对称图形C.如果两个图形全等，那么他们一定能通过平移后互相重合D.如果一个四边形绕对角线的交点旋转后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

7.计算：______.8.已知，______.9.已知关于x的方程，则______.10.不等式的解集是______.11.若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式解析式也称表达式为__________.12.从1到10这十个自然数中抽取一个数，这个数是素数的概率是______.13.在中，和互余，那么______14.正n边形的内角等于外角的5倍，那么______.15.如图，已知平行四边形ABCD中，，，E为AD上一点，，那么用，表示______.16.数据显示，2023年全球电动汽车销量约1400万辆，其中市场份额前三的品牌和其它品牌的市场份额扇形统计图如图所示，那么其它品牌的销量约为______万辆.17.如图，在中，，，D是AB的中点，把沿CD所在的直线翻折，点B落在点E处，如果，那么______.18.如图，在中，，，，以点C为圆心作半径为1的圆C，P是AB上的一个点，以P为圆心，PB为半径作圆P，如果圆C和圆P有公共点，那么BP的取值范围是______.三、解答题：本题共7小题，共78分。

2024年上海市青浦区中考数学二模试卷+答案解析

2024年上海市青浦区中考数学二模试卷一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是()A.B.C.D.2.下列计算正确的是()A. B.C.D.3.下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是()A.B.C.D.4.某兴趣小组有5名成员，身高厘米分别为：161，165，169，163，增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是()A.平均数不变，方差不变 B.平均数不变，方差变小C.平均数不变，方差变大D.平均数变小，方差不变5.已知四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是()A. B.C.，D.，6.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过O 作AC 的垂线交AD 于点E ，EC 与BD 相交于点F ，且，那么下列结论错误的是()A. B.C.D.二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

7.分解因式：______.8.方程的解是______.9.函数的定义域是______.10.如果关于x的方程有实数根，那么实数c的取值范围是______.11.如果将抛物线向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是______.12.甲、乙两位同学分别在A、B、C三个景点中任意选择一个游玩，那么他们选择同一个景点的概率是______.13.某校有2000名学生参加了“安全伴我行”的宣传教育活动.为了解活动效果，随机从中抽取m名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为A，B，C，D四个等级，将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表.请根据以上信息，估计该校共有______名学生的成绩达到A等级.成绩频数分布表等级成绩x频数A nB117C32D814.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼BC的高度为______米用含、、m的式子表示15.如图，在中，中线AD、BE相交于点F，设，，那么向量用向量、表示为______.16.如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角，那么这个正多边形的中心角是______度.17.正方形ABCD的边长为1，E为边DC的中点，点F在边AD上，将沿直线EF翻折，使点D落在点G处，如果，那么线段DF的长为______.18.在矩形ABCD中，，，AC与BD相交于点经过点B，如果与有公共点，且与边CD没有公共点，那么的半径长r的取值范围是______.三、解答题：本题共7小题，共78分。

2024上海初三二模数学试卷分类《24题二次函数综合题》

图11上海市2024届初三二模数学试卷分类汇编——24题二次函数综合题【2024届·宝山区·初三二模·第24题】1.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图11），已知开口向下的抛物线224y ax x =-+经过点()0,4P ，顶点为A ．（1）求直线PA 的表达式；（2）如果将POA ∆绕点O 逆时针旋转90︒，点A 落在抛物线上的点Q 处，求抛物线的表达式；（3）将（2）中得到的抛物线沿射线PA 平移，平移后抛物线的顶点为B ，与y 轴交于点C ．如果PC =2，求tan PBC ∠的值．第24题图备用图如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线333y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线211:3C y x bx c =++经过点B 和点()1,0C ，顶点为D ．（1）求抛物线1C 的表达式及顶点D 的坐标；（2）设抛物线与x 轴的另一个交点为E ，若点P 在y 轴上，当90PED ∠=︒时，求点P 的坐标；（3）将抛物线1C 平移，得到抛物线2C ．平移后抛物线1C 的顶点D 落在x 轴上的点M 处，将MAB ∆沿直线AB 翻折，得到QAB ∆，如果点Q 恰好落在抛物线2C 的图像上，求平移后的抛物线2C 的表达式．图9如图9，在直角坐标平面xOy 中，抛物线22y ax ax c =-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴正半轴交于点C ，顶点为P ，点A 坐标为()1,0-．（1）写出这条抛物线的开口方向，并求顶点P 的坐标（用a 的代数式表示）；（2）将抛物线向下平移后经过点()0,1，顶点P 平移至'P ．如果锐角'CP P ∠的正切值为12，求a 的值；（3）设抛物线对称轴与x 轴交于点D ，射线PC 与x 轴交于点E ，如果EDC BPE ∠=∠，求此抛物线的表达式．备用图新定义：已知抛物线2y ax bx c =++（其中0abc ≠），我们把抛物线2y cx ax b =++称为2y ax bx c=++的“轮换抛物线”．例如：抛物线2231y x x =++的“轮换抛物线”为223y x x =++．已知抛物线()21:445C y mx m x m =+-+的“轮换抛物线”为2C ，抛物线1C 、2C 与y 轴分别交于点E 、F ，点E 在点F 的上方，抛物线2C 的顶点为P ．（1）如果点E 的坐标为()0,1，求抛物线2C 的表达式；（2）设抛物线2C 的对称轴与直线38y x =+相交于点Q ，如果四边形PQEF 为平行四边形，求点E 的坐标；（3）已知点()4,M n -在抛物线2C 上，点N 坐标为12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当PMN PEF ∆∆∽时，求m 的值．图9【2024届·黄浦区·初三二模·第24题】5.（本题满分12分）问题：已知抛物线2:2L y x x =-．抛物线W 的顶点在抛物线L 上（非抛物线L 的顶点）且经过抛物线L的顶点，请求出一个满足条件的抛物线W 的表达式．（1）解这个问题的思路如下：先在抛物线L 上任取一点（非顶点），你所取的点是①；再将该点作为抛物线W 的顶点，可设抛物线W 的表达式是②；然后求出抛物线L 的顶点是③_；再将抛物线L 的顶点代入所设抛物线W 的表达式，求得其中待定系数的值为④；最后写出抛物线W 的表达式是⑤；（2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W ，请再写出一个抛物线W 的表达式；（3）如果问题中抛物线L 和W 在x 轴上所截得的线段长相等，求抛物线W 的表达式．图8【2024届·嘉定区·初三二模·第24题】6.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy （如图8）中，已知抛物线23y ax bx =++经过点()1,0A 、()2,3B -两点，与y轴的交点为C 点，对称轴为直线l ．（1）求此抛物线的表达式；（2）已知以点C 为圆心，半径为CB 的圆记作圆C ，以点A 为圆心的圆记作圆A ，如果圆A 与圆C 外切，试判断对称轴直线l 与圆A 的位置关系，请说明理由；（3）已知点D 在y 轴的正半轴上，且在点C 的上方，如果BDC BAC ∠=∠，请求出点D 的坐标．第24题图【2024届·金山区·初三二模·第24题】7.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）已知：抛物线2y x bx c =++经过点()3,0A 、()0,3B -，顶点为P ．（1）求抛物线的解析式及顶点P 的坐标；（2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q 在直线AB 上，且点Q 在y 轴右侧．①若点B 平移后得到的点C 在x 轴上，求此时抛物线的解析式；②若平移后的抛物线与y 轴相交于点D ，且BDQ ∆是直角三角形，求此时抛物线的解析式．第24题图如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于直线52x =对称，且经过点()0,3A 和点()3,0B ，横坐标为4的点C 在此抛物线上．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、AC ，求tan BAC ∠的值；（3）如果点P 在对称轴右方的抛物线上，且45PAC ∠=︒，过点P 作PQ y ⊥轴，垂足为Q ，请说明APQ BAC ∠=∠，并求点P 的坐标．第24题图在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线212y x bx c =++与x 轴相交于()1,0A -、B 两点，且与y 轴交于点()0,2C -．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点D 是x 正半轴上一点，2ADC ACO ∠=∠，且四边形AQCD 是菱形，请直接写出点D 和点Q 的坐标（不需要说明理由）；（3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．如果点E 是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t ，且四边形ACBE 是凹四边形（线段AE 与线段BC 不相交），求t 的取值范围．第24题图【2024届·浦东新区·初三二模·第24题】10.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，抛物线21:C y x =-+bx c +经过点A 、B 两点，顶点为点C ．（1）求b 、c 的值；（2）如果点D 在抛物线1C 的对称轴上，射线AB 平分CAD ∠，求点D 的坐标；（3）将抛物线1C 平移，使得新抛物线2C 的顶点E 在射线BA 上，抛物线2C 与y 轴交于点F ，如果BEF∆是等腰三角形，求抛物线2C 的表达式．图811.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线()2y a x m n =-+（0a ≠）与x 轴交于点A 、B ，抛物线的顶点P 在第一象限，且90APB ∠=︒．（1）当点P 的坐标为()4,3时，求这个抛物线的表达式；（2）抛物线()2y a x m n =-+（0a ≠）表达式中有三个待定系数，求待定系数a 与n 之间的数量关系；（3）以点P 为圆心，PA 为半径作⊙P ，⊙P 与直线2n y x =+相交于点M 、N ．当点P 在直线12y x =上时，用含a 的代数式表示MN 的长．第24题图12.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-的图像与x 轴交于点()3,0A -和点()1,0B ，与y 轴交于点C ，D 是线段OA 上一点．（1）求这条抛物线的表达式和点C 的坐标；（2）如图，过点D 作DG x ⊥轴，交该抛物线于点G ，当DGA DGC ∠=∠时，求GAC ∆的面积；（3）点P 为该抛物线上第三象限内一点，当1OD =，且45DCB PBC ∠+∠=︒时，求点P 的坐标．图813.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）如图8，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A 、点()0,2B ，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，且顶点C 在线段AB 上（与点A 、B 不重合）．（1）求b 、c 的值；（2）将抛物线向右平移m （0m >）个单位，顶点落在点P 处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点D ，联结PD ，交x 轴于点E ．①如果2m =，求ODP ∆的面积；②如果EC EP =，求m 的值．第24题图14.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax =-+（0a >）与x 轴交于点()1,0A 和点B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）已知点()0,M m ，联结BC ，过点M 作MG BC ⊥，垂足为G ，点D 是x 轴上的动点，分别联结GD 、MD ，以GD 、MD 为边作平行四边形GDMN ．①当32m =时，且GDMN 的顶点N 正好落在y 轴上，求点D 的坐标；②当0m ≥时，且点D 在运动过程中存在唯一的位置，使得GDMN 是矩形，求m 的值．第24题图1第24题图2【2024届·杨浦区·初三二模·第24题】15.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题9分）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l 外有一点H ，圆Q 经过点H 且与直线l 相切，则称圆Q 是点H 与直线l 的点切圆.阅读以上材料，解决问题：已知直线OA 外有一点P ，PA OA ⊥，4OA =，2AP =，圆M 是点P 与直线OA 的点切圆．（1）如果圆心M 在线段OP 上，那么圆M 的半径长是．（直接写出答案）（2）如图2，以O 为坐标原点、OA 为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，点P 在第一象限，设圆心M 的坐标是(),x y ．①求y 关于x 的函数解析式；②点B 是①中所求函数图像上的一点，联结BP 并延长交此函数图像于另一点C ．如果:1:4CP BP =，求点B 的坐标．第24题图【2024届·长宁区·初三二模·第24题】16.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =++与x 轴分别交于点A 、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点()0,6C ，其对称轴为直线2x =．（1）求该抛物线的表达式；（2）点F 是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF 分别与y 轴、线段BC 交于点D 、E ．①当CF DF =时，求CD 的长；②联结AC ，如果ACF ∆的面积是CDE ∆面积的3倍，求点F 的坐标．。

2024年上海市闵行区中考数学二模试卷及答案解析

2024年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列实数中，有理数是（）A．π﹣3B．﹣1C．D．2．（4分）下列运算正确的是（）A．a+a＝a2B．a•a＝2a C．（2a）3＝8a3D．（﹣a2）3＝a6 3．（4分）下列函数中，y的值随着x的值增大而增大的是（）A．B．y＝﹣x+2C．y＝x﹣2D．4．（4分）某班级的一个小组6名学生进行跳绳测试，得到6名学生一分钟跳绳个数分别为166，160，160，150，134，130，那么这组数据的平均数和中位数分别是（）A．150，150B．155，155C．150，160D．150，155 5．（4分）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝5，AC＝12，以点A，点B，点C为圆心的⊙A，⊙B，⊙C的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（）A．点B在⊙A上B．⊙A与⊙B内切C．⊙A与⊙C有两个公共点D．直线BC与⊙A相切6．（4分）在矩形ABCD中，AB＜BC，点E在边AB上，点F在边BC上，联结DE、DF、EF，AB＝a，BE＝CF＝b，DE＝c，∠BEF＝∠DFC，以下两个结论：①（a+b）2+（a ﹣b）2＝c2；②．其中判断正确的是（）A．①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：＝．8．（4分）单项式2xy2的次数为．9．（4分）不等式组的解集是．10．（4分）计算：＝．11．（4分）分式方程的解是．12．（4分）已知关于x的方程x2+2x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．13．（4分）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金x两，1只羊值金y两，那么可列方程组为．14．（4分）某校在实施全员导师活动中，对初三（1）班学生进行调查问卷，学生最期待的一项方式是：A畅谈交流心得；B外出郊游骑行；C开展运动比赛；D互赠书签贺卡．根据问卷数据绘制统计图如图，扇形统计图中表示D的扇形圆心角的度数为．15．（4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，，那么梯形ABCD的中位线长为．16．（4分）已知二次函数的解析式为y＝x2+bx+1，从数字0，1，2中随机选取一个数作为b的值，得到的二次函数图象的顶点在坐标轴上的概率是．17．（4分）如图，在△ABC中，BC、AC上的中线AE、BD相交于点F，如果∠BAE＝∠C，那么的值为．18．（4分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，，D为边AB上一动点，将DA 绕点D旋转，使点A落在边AC上的点E处，过点E作EF⊥DE交边BC于点F，联结DF，当△DEF是等腰三角形时，线段CF的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）先化简，再求值：，其中．21．（10分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在边AB上，点E、F在边AC上，GD∥AC，∠DGF＝∠DEF，∠B＝∠GFE．（1）求证：四边形EDGF是平行四边形；（2）求证：．22．（10分）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征．时间x8时11时14时17时20时y1自西向东交通量（辆/分钟）1016222834y2自东向西交通量（辆/分钟）2522191613（1）请用一次函数分别表示y1与x、y2与x之间的函数关系．（不写定义域）（2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为v＝y1+y2，车流量大的方向交通量为v m，经查总阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．23．（12分）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动．活动一：如图1，展示了一种用尺规作⊙O的内接正六边形的方法．①在⊙O上任取一点A，以A为圆心、AO为半径作弧，在⊙O上截得一点B；②以B为圆心，AO为半径作弧，在⊙O上截得一点C；再如此从点C逐次截得点D、E、F；③顺次联结AB、BC、CD、DE、EF、FA．（1）根据正多边形的定义，我们只需要证明，．（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形ABCDEF是正六边形．活动二：如图2，展示了一种用尺规作⊙O的内接正五边形的方法．①作⊙O的两条互相垂直的直径PQ和AF；②取半径OP的中点M；再以M为圆心、MA为半径作弧，和半径OQ相交于点N；③以点A为圆心，以AN的长为半径作弧，与⊙O相截，得交点B．如此连续截取3次，依次得分点C、D、E，顺次联结AB、BC、CD、DE、EA，那么五边形ABCDE是正五边形.（2）已知⊙O的半径为2，求边AB的长，并证明五边形ABCDE是正五边形．（参考数据：，，，，si．）24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，与x轴相交于A（﹣1，0）、B两点，且与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点D是x轴正半轴上一点，∠ADC＝2∠ACO，且四边形AQCD是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）；（3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形ACBE是凹四边形（线段AE与线段BC不相交），求t的取值范围．25．（14分）如图，OB是⊙O的半径，弦AB垂直于弦BC，点M是弦BC的中点，过点M 作OB的平行线，交⊙O于点E和点F．（1）如图1，当AB＝BC时．①求∠ABO的度数；②联结OE，求证：∠OEF＝30°；（2）如图2，联结OE，当AB≤BC时，tan∠OEF＝x，，求y关于x的函数关系式并直接写出定义域．2024年上海市闵行区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可．【解答】解：π﹣3、、是无理数，﹣1是有理数．故选：B．【点评】本题考查有理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】A．根据合并同类项法则进行合并，然后判断即可；B．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；C．根据积的乘方法则进行计算，然后判断即可；D．根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可．【解答】解：A．∵a+a＝2a，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；B．∵a•a＝a2，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；C．∵（2a）3＝8a3，∴此选项计算正确，故此选项符合题意；D．∵（﹣a2）3＝﹣a6，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、积的乘方和幂的乘方法则．3．【分析】根据一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【解答】解：A、y＝是反比例函数，∵1＞0，故在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；B、y＝﹣x+2是一次函数，k＝﹣2＜0，故y随着x增大而减小，不符合题意；C、y＝x﹣2是一次函数，k＝2＞0，故y随着x增大而增大，符合题意；D、y＝﹣是反比例函数，∵﹣1＜0，故在第一象限内y随x的增大而增大，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，一次函数的性质是解题的关键．4．【分析】根据中位数和算术平均数的定义列式求解即可．【解答】解：这组数据的平均数为×（166+160+160+150+134+130）＝150，中位数为＝155，故选：D．【点评】本题主要考查算术平均数和中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．5．【分析】根据点圆的位置关系的判定方法，圆与圆的位置关系的判定方法以及切线的判定方法逐项进行判断即可．【解答】解：A．⊙A的圆心到点B的距离AB＝5，而⊙A的半径是5，因此点B在⊙A 上，所以选项A不符合题意；B．⊙A的半径AB＝5，而⊙B的半径为10，两个圆心之间的距离AB＝10﹣5＝5，所以⊙A与⊙B内切，因此选项B不符合题意；C．⊙A的半径AB＝5，而⊙C的半径为8，两个圆心之间的距离AC＝12，有12﹣5＜AC ＜12+5，即7＜AC＜17，所以⊙A与⊙C相交，即⊙A与⊙C有两个公共点，因此选项C 不符合题意；D．⊙A的圆心A到BC的距离为≈4.62＜5，所以直线BC与⊙A相交，因此选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，掌握点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系的判定方法是正确解答的关键．6．【分析】根据矩形的性质得到∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC根据全等三角形的性质得到BF＝CD＝a，EF＝DF，求得BC＝AD＝BF+CF＝a+b，推出△EFD是等腰直角三角形，根据勾股定理得到（a+b）2+（a﹣b）2＝c2故①正确；根据三角形的三边关系得到．故②正确；【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC，在△BEF与△CFD中，，∴△BEF≌△CFD（ASA），∴BF＝CD＝a，EF＝DF，∴BC＝AD＝BF+CF＝a+b，∵∠BEF+∠BFE＝∠BFE+∠CFD＝90°，∴△EFD是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，∵AE2+AD2＝DE2，∴（a+b）2+（a﹣b）2＝c2故①正确；∵EF＝DF＝DE＝c，BE+BF＝a+b，BE+BF＞EF，∴．故②正确；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键，二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】根据算术平方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，解答出即可；【解答】解：根据算术平方根的定义，得，＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．8．【分析】直接利用一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案．【解答】解：单项式2xy2的次数为：3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的次数确定方法是解题关键．9．【分析】求出各个不等式的解集，然后再根据判断不等式组解集的口诀“大小小大中间找”求出不等式组的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得x＜3，解不等式②，得x＞2，故不等式组的解集为2＜x＜3．故答案为：2＜x＜3．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．10．【分析】实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中，所以根据实数的运算法则解答即可．【解答】解：＝6﹣3+10+15＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了平面向量．此题属于平面向量的计算，属于基础题．11．【分析】先根据等式的基本性质，把分式方程化为整式方程，解方程求出x的值，然后进行检验，判断所求未知数是不是原分式方程的解即可．【解答】解：，方程两边同时乘x﹣1得：x2＝1，x＝±1，检验：当x＝1时，x﹣1＝0，∴x＝1不是原分式方程的解，当x＝﹣1时，x﹣1≠0，∴x＝﹣1是原分式方程的解，故答案为：x＝﹣1．【点评】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意：求出未知数的值后要检验．12．【分析】根据所给方程没有实数根，得出根的判别式小于零，据此可解决问题．【解答】解：由题知，因为关于x的方程x2+2x+m＝0没有实数根，所以Δ＝22﹣4m＜0，解得m＞1．故答案为：m＞1．【点评】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．13．【分析】根据“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两”，得到2个等量关系，即可列出方程组．【解答】解：由题意可得，，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．14．【分析】首先用A组人数除以A组所占的比重，求出被调查的总人数；再根据条形统计图求出被调查的D组人数，接着用D组人数除以总人数可以求出D组所占的比重；最后根据部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°，即可求出扇形统计图中表示D的扇形圆心角的度数．【解答】解：（1）16÷40%＝40（人）40﹣16﹣8﹣6＝10（人）10÷40＝25%25%×360°＝90°故答案为：90°【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，理解扇形统计图、条形统计图的意义和掌握部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°是解题的关键．15．【分析】作DE∥AC，从而得到四边形ACED为平行四边形，将两底的和转化为线段BE 的长，利用梯形的中位线定理求得答案即可．【解答】解：作DE∥AC交BC的延长线于点E，∵AD∥CE，∴四边形ACED为平行四边形，∴AD＝CE，DE＝AC＝2，ED⊥BD，AD+BC＝CE+BC＝BE＝＝＝4，∴梯形的中位线为：（AD+BC）＝×4＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的知识比较全面，需要用到梯形和三角形中位线定理以及平行四边形的性质．16．【分析】二次函数y＝x2+bx+1的顶点坐标为（，），则能使二次函数图象的顶点在坐标轴上的b的值为0和2，再利用概率公式计算即可．【解答】解：二次函数y＝x2+bx+1的顶点坐标为（，），从数字0，1，2中随机选取一个数作为b的值，能使二次函数图象的顶点在坐标轴上的有：0，2，∴从数字0，1，2中随机选取一个数作为b的值，得到的二次函数图象的顶点在坐标轴上的概率是．故答案为：．【点评】本题考查概率公式、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握概率公式、二次函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．17．【分析】连接DE，根据已知条件得到AD＝CD，BE＝CE，根据相似三角形的性质得到AF＝2EF，求得AF＝AE，AC＝AE，于是得到结论．【解答】解：连接DE，∵BC、AC上的中线AE、BD相交于点F，∴AD＝CD，BE＝CE，∴DE∥AB，DE＝，∴△DEF∽△BAF，∴＝，∴AF＝2EF，∴AF＝AE，∵∠ABC＝∠ABC，∠BAE＝∠C，∴△ABE∽△CBA，∴，∵BC＝2BE，∴AB＝，∴＝＝，∴AC＝AE，∴的值为＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．18．【分析】先根据题意画出示意图，再分别过点D和点F作AC边的垂线，构造出全等三角形，利用全等三角形的性质结合∠A的正切值即可解决问题．【解答】解：分别过点D和点F作AC边的垂线，垂足分别为M和N，∵∠DEF＝90°，DM⊥AC，FN⊥AC，∴∠DEM+∠FEN＝∠DEM+∠MDE＝90°，∠DME＝∠ENF，∴∠MDE＝∠FEN．在△DME和△ENF中，，∴△DME≌△ENF（AAS），∴FN＝ME，EN＝DM．在Rt△CNF中，sin C＝＝，∴设CF＝5x，FN＝3x，则NC＝．∴ME＝NF＝3x．在Rt△ABC中，sin C＝＝，又∵AB＝6，∴AC＝10，∴BC＝．∵DA＝DE，DM⊥AC，∴AM＝ME＝3x．又∵EN＝10﹣3x﹣3x﹣4x＝10﹣10x，∴DM＝EN＝10﹣10x．在Rt△ABC中，tan A＝．在Rt△ADM中，tan A＝，∴，解得x＝，经检验，x＝是原方程的解．∴CF＝5x＝．故答案为：．【点评】本题考查旋转的性质及解直角三角形，根据题意画出示意图并通过作垂线构造出全等三角形是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：＝2﹣1+2+（2﹣）＝2﹣1+2+2﹣＝+3．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．20．【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝+•＝+＝，当a＝时，原式＝＝＝3+2．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．21．【分析】（1）由点E、F在边AC上，GD∥AC，得GD∥EF，由∠DGF+∠GFE＝180°，且∠DGF＝∠DEF，得∠DEF+∠GFE＝180°，所以DE∥FG，即可根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形EDGF是平行四边形；（2）由DE∥FG，得∠DEC＝∠GFE，而∠B＝∠GFE，所以∠DEC＝∠B，而∠C＝∠C，即可证明△DEC∽△ABC，得＝，所以＝．【解答】（1）证明：∵点E、F在边AC上，GD∥AC，∴GD∥EF，∴∠DGF+∠GFE＝180°，∵∠DGF＝∠DEF，∴∠DEF+∠GFE＝180°，∴DE∥FG，∴四边形EDGF是平行四边形．（2）证明：DE∥FG，∴∠DEC＝∠GFE，∵∠B＝∠GFE，∴∠DEC＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△DEC∽△ABC，∴＝，∵DE＝GF，∴＝．【点评】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出DE∥FG及△DEC∽△ABC是解题的关键．22．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；＝y1+y2，求出v总关于x的函数关系式，分y1≥v总，y2≥v总两种情况（2）根据v总讨论，求出对应x的取值范围即可．【解答】解：（1）设y1＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．将x＝8，y1＝10和x＝11，y1＝16代入y1＝k1x+b1，得，解得，∴y1＝2x﹣6．设y2＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）．将x＝8，y2＝25和x＝11，y2＝22代入y2＝k2x+b2，得，解得，∴y2＝﹣x+33．＝y1+y2＝2x﹣6﹣x+33＝x+27．（2）v总当y1≥v总时，即2x﹣6≥（x+27），解得x≥18；当y2≥v总时，即﹣x+33≥（x+27），解得x≤9．∴8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东．【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键．23．【分析】（1）根据正多边形的定义可知需要证明AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，就可证明六边形ABCDEF是正六边形；（2）连接BF，OB，OC，OD，OE，求出OM，AM，MN，可得ON，AN，即可知，由AF为⊙O直径，可得，故∠AFB＝36°，证明△OAB≌△OBC（SSS），得到∠OBC＝∠OCB＝54°，同理可得△OCD≌△ODE≌△OAB，即可证明△EOA≌△AOB（SAS），从而AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC ＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB＝108°，五边形ABCDE是正五边形．【解答】解：（1）根据正多边形的定义，我们只需要证明AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，就可证明六边形ABCDEF是正六边形；故答案为：AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F；（2）连接BF，OB，OC，OD，OE，如图：根据题意，可得AF⊥PQ，OP＝OA＝2，∵点M为半径OP的中点，∴，∴，∵以M为圆心、MA为半径作弧，和半径OQ相交于点N，∴，∴，∴，∵以点A为圆心，以AN的长为半径作弧，与⊙O相截得交点B，∴，∵AF为⊙O直径，∴∠ABF＝90°，AF＝2×2＝4，∴，∴∠AFB＝36°，∴∠AOB＝2∠AFB＝72°，∵OA＝OB，∴，在△OAB和△OBC中，，∴△OAB≌△OBC（SSS），∴∠AOB＝∠BOC＝72°，∴∠OBC＝∠OCB＝54°，同理可得△OCD≌△ODE≌△OAB，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝72°，∴∠EOA＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD﹣∠DOE＝72°＝∠AOB，∵OE＝OA，OA＝OB，∴△EOA≌△AOB（SAS），∴EA＝AB，∠OEA＝∠OAE＝54°，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB＝54°×2＝108°，∴五边形ABCDE是正五边形．【点评】本题考查圆的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，正多边形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是读懂题意，掌握正多边形的定义．24．【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，﹣2）代入可解得b，c的值，即可得到抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2；（2）求出B（4，0），而A（﹣1，0），C（0，﹣2），可得AC2+BC2＝AB2，∠ACB＝90°，即得∠ACO＝∠CBO，而∠ADC＝2∠ACO，故∠ADC＝2∠OBC，可得∠DCB＝∠CBD，即可推得CD＝AD＝BD，D为AB的中点，从而D的坐标为（，0），由菱形性质，平移性质得Q的坐标为（﹣，﹣2）；（3）由可得抛物线的对称轴为直线，求出直线BC的解析式为，直线BC与对称轴的交点F坐标为（，﹣），直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2，直线AC与抛物线对称轴的交点M坐标为（，﹣5），由图可得或＜﹣5．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，﹣2）代入得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2；（2）如图：在中，令y＝0得，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B（4，0），∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），∴AB＝5，，，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵∠CBO+∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠CBO，∵∠ADC＝2∠ACO，∴∠ADC＝2∠OBC，∴∠ADC＝∠DCB+∠CBD＝2∠OBC，∴∠DCB＝∠CBD，∴∠DCB＝∠ACO，CD＝BD，∠DCB+∠DCA＝∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠DCA＝∠OAC，∴CD＝AD＝BD，∴D为AB的中点，∴D的坐标为（，0），∵四边形AQCD是菱形，∴AQ∥CD，∵把点C先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到点D，∴把点Q先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到点A，∴Q的坐标为（﹣，﹣2）；（3）如图：由可得抛物线的对称轴为直线，∴抛物线对称轴与x轴的交点D坐标为（，0），设直线BC的解析式为y＝kx﹣2，把B（4，0）代入得：0＝4k﹣2，解得：，∴直线BC的解析式为，当时，，∴直线BC与对称轴的交点F坐标为（，﹣），同法可得直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2，直线AC与抛物线对称轴的交点M坐标为（，﹣5），∵点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形ACBE是凹四边形，∴当点E在D，F之间或点E在点M下方时，满足题意，∴或＜﹣5．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形性质及应用，菱形性质及应用，凹四边形等知识，解题的关键是画出图形，运用数形结合思想解决问题．25．【分析】（1）①依据题意，连接AO，CO，先证明∠AOB+∠BOC＝180°，从而可得A，O，C三点共线，再结合AB＝BC，OA＝OC，可得OB平分∠ABC，又∠ABC＝90°，进而可以得解；②依据题意，连接OE，由EF∥OB，OB⊥AC，可得EF⊥AC，又BM＝MC，故，从而可得在Rt△OHE中，，最后可以判断得解；（2）依据题意，过点A作AG⊥OB与点G，过O点作OP⊥EF与点P．设半径为r，则OE＝r，由tan∠OEF＝x，故，再结合BM＝MC，EF∥OB，进而证得△AOG﹣△ONP，故，从而AG＝2OP＝，又AO＝r，进而可得，再由，可得，最后由AB≤BC，可得0＜y≤1，则有：（3），进而可以得解．【解答】（1）①解：连接AO，CO，∵AO＝BO，CO＝BO．∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB．∵2∠OAB+2∠OBC＝180°，且∠AOB＝2∠OBC，∠BOC＝2∠OAB，∴∠AOB+∠BOC＝180°．∴A，O，C三点共线．∵AB＝BC，OA＝OC，∴OB平分∠ABC．∵∠ABC＝90°，∴∠ABO＝45°．②证明：连接OE，∵EF∥OB，OB⊥AC，∴EF⊥AC．∵BM＝MC，∴．在Rt△OHE中，，∴∠OEF＝30°．（2）解：过点A作AG⊥OB与点G，过O点作OP⊥EF与点P．设半径为r，则OE＝r，∵tan∠OEF＝x，∴．∵BM＝MC，EF∥OB，∴，∠AOB＝∠ONP．又∵∠AGO＝∠OPN＝90°，∴△AOG﹣△ONP．∴．∴AG＝2OP＝．∵AO＝r，∴．∴．∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠OBC+∠OBA＝90°，∠GAB+∠OBA＝90°，∴∠GAB＝∠OBC＝∠OCB．∴．∴．∵AB≤BC，∴0＜y≤1，则有．∴．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题时要能熟练掌握并能灵活运用圆的相关性质解题是关键。

2024年上海市虹口区中考二模数学试题(解析版)

虹口区2023学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学练习卷（满分150分，考试时间100分钟）注意：1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）［下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．］1. 下列各数中，无理数是（）A. B. 3.14159 C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是对无理数定义的应用，熟练掌握理解无理数的定义是解此题的关键．根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．【详解】解：A、是分数，不是无理数，故本选项错误；B 、3.14159是小数，不是无理数，故本选项错误；C 是无理数，故本选项正确；D 、是循环小数，不是无理数，故本选项错误；故选C ．2. 关于一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程判别式与根情况的关系，列代数式求解即可．【详解】解：一元二次方程无实数根，的211 1.22111.2x 220x x m -+=m 1m <1m £m 1≥1m >220x x m -+=则判别式解得，故选：D ．【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根情况的关系，解题的关键是掌握相关基础知识，一元二次方程的判别式，当时有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根，当时，无实数根．3. 已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答．【详解】解：二次函数，，函数图象开口向下，对称轴为，时，函数值随自变量的增大而减小，故选：A ．4. 下列事件中，必然事件是（）A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上C. 在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球D. 在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于【答案】D【解析】【分析】本题考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．的()224240b ac m ∆=-=--<1m >()200ax bx c a ++=≠24b ac ∆=-0∆>Δ0=Δ0<()24y x =--y x x 4x ≥4x ≤4x ≥-4x ≤-()24y x =--()24y x =--4x =y x 4x ≥()24y x =--10-< ∴()24y x =--4x =∴4x ≥y x 180︒【详解】解：A 、随机购买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件；B 、抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝下，是随机事件；C 、在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球，是不可能事件；D 、在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于，是必然事件；故选D ．5. 如图，在正方形中，点、分别在边和上，，，如果，那么的面积为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，则，最后根据三角形面积计算公式求解即可．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，故选：B ．6. 在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个．180︒ABCD E F BC AD 2BE =6AF =AE CF ABE 90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥，，AECF 6AF CE ==8AB BC BE CE ==+=ABCD 90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥，，AE CF AECF 6AF CE ==8AB BC BE CE ==+=1128822ABE S AB BE =⋅=⨯⨯=△ABCD Y 5BC =20ABCD S = C BC C C AD【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d 、r 法则，熟练掌握法则是解题的关键．根据面积公式计算点C 到的距离d ，比较d 与半径的大小判断即可．【详解】解：如图，∵在平行四边形中，，，设点C 到的距离为d ，∴点C 到的距离，∴直线与圆C 相交，即有2个交点，故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）［请将结果直接填入答题纸的相应位置］7.=___．【答案】﹣2【解析】【分析】根据立方根的定义，求数a 的立方根，也就是求一个数x ，使得x 3=a ，则x 就是a 的立方根．【详解】∵（－2）3=－8，，故答案为：-28. 分解因式：_______．【答案】【解析】【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：AD BC ABCD 5BC =20ABCD S = AD AD 2054d =÷= 45BC<=AD 2-229a b -=()()33a b a b +-229a b -=()()33a b a b +-故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．9. 解不等式：，的解集为________.【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式；按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解．【详解】解：去括号，移项，合并同类项，化系数为1，故答案为：．10. 函数的定义域是【答案】＞【解析】【分析】定义域是指该函数的自变量的取值范围，根据二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；即可解答.【详解】定义域是指该函数的自变量的取值范围，二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；∴∴故答案为11. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并()()33a b a b +-()5232x x +≤+2x ≤()5232x x +≤+5263+≤+x x5362x x -≤-24x ≤2x ≤2x≤y =10x +>1x >-1x >-()221y x =-+()253y x =--用规律求函数解析式．根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式．【详解】解：抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为，即．故答案为：．12. 在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，那么白球的个数是________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了概率的定义．解题的关键与难点在于理解概率的定义，求出球的总数．随机摸出一个球是红球的概率是，可以得到球的总个数，进而得出白球的个数．【详解】解：设红、白球总共n 个，记摸出一个球是红球为事件A ，，白球有个故答案为：．13. 某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图，那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有________名．【答案】780【解析】【分析】本题主要考查了用样本估计总体，根据条形统计图获取信息是解题的关键．根据条形统计图直接得出家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，进而估计该校1200名学生参加家务劳动时间不少于2小时的学生人数即可求解．()221y x =-+()22314y x =--+-()253y x =--()253y x =--0.2520.25n=()20.25P A n==8n ∴=∴826-=6【详解】解：由题意得：被调查的40人中，家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有（名），故答案为：780．14. 一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为________（不写定义域）．【答案】【解析】【分析】本题主要考查由实际问题列一次函数的解析式，解题的关键是理解题意．根据题意先求出蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），即可直接进行求解．【详解】解：由题意可得：蜡烛长30厘米，经过50分钟其长度恰为原长的一半，经过50分钟蜡烛燃烧的长度为15厘米，蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），蜡烛的长为蜡烛燃烧前长度减去燃烧的长度，，故答案为：．15. 如图，正六边形螺帽的边长是，那么这个扳手的开口的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质．由螺帽是正六边形，可得是含角的直角三角形，再根据即可求出和．【详解】解：如图，连接,则，过点作于∴26120078040⨯=y t y t 300.3y t=-15500.3÷=∴∴15500.3÷=300.3y t \=-300.3y t =-4cm a 30︒ACD 30︒4AC =AD AB AB a AB =C CD AB ⊥D螺帽是正六边形，,．故答案为：16. 如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，连接，设，，那么用向量、表示向量________．【答案】【解析】【分析】本题考查了平面向量的问题，熟练掌握三角形法则是解题的关键，根据梯形的中位线定理及向量的三角形法则解答即可．【详解】解：，，，，， 120ACB ∴∠=︒CD AB ⊥AC BC=1120602ACD ∴∠=⨯︒=︒AD BD =4AC = 4AD AC ∴===22a AB AD ∴===⨯=ABCD AD BC ∥2BC AD =E F AB CD AC AB a =AC b = a b EF = 3344a b -+ AB a = AC b =BC BA AC a b \=+=-+ ,2AD BC BC AD = ∥111222AD BC a b \==-+,点、分别是边、的中点，，，，故答案为：．17. 如图，在中，，，．点在边上，，以点为圆心，为半径作．点在边上，以点为圆心，为半径作．如果和外切，那么的长为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查的是圆和圆的位置关系、解直角三角形的知识，作于点H ，连接，先求出，设，在中，根据勾股定理列方程即可解决．【详解】解：作于点H ，连接，，，，在中，，11112222DC DA AC AD AC a b b a b \=+=-+=-+=+ E F AB CD 111222EA BA AB a \==-=- 111244DF DC a b \==+ 11111332224444EF EA AD DF a a b a b a b æöæöç÷ç÷\=++=-+-+++=-+ç÷ç÷èøèø3344a b -+ ABCD Y 7AB =8BC =4sin 5B =P AB 2AP =P AP P Q BC Q CQ Q P Q CQ 37149214PH BC ⊥PQ 43PH BH ==，CQ a =Rt QPH △PH BC ⊥PQ 7AB = 2AP =725BP \=-=Rt BPH 4sin 5B =，，设，和外切，半径为2，，在中，，，解得：，故答案为：．18. 如图，在扇形中，，，点在半径上，将沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧（点是点A 的对称点），那么的长为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查翻折性质，圆的基本性质，等边三角形判定与性质、勾股定理的应用，连接，由翻折得，证出是等边三角形，设，在中，根据勾股定理列方程并解出进而求出结论．【详解】解：连接，455PH \=43PH BH \==，CQ a =P Qe Q P 2PQ a \=+Rt QPH △4,835PH HQ a a ==--=-()()222452a a ∴+-=+3714a =3714AOB 105AOB ∠=︒8OA =C OA BOC BC O D AB AD CD 1A D 1A 1OA 8-8-+OD 1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒，，OBD AC a =Rt COD AC OD由翻折得：，，，是等边三角形，，，设，则，在中，，，解得：（舍去），，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.先化简，再求值：，其中．【答案】【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键，注意化简过程中能因式分解要先因式分解．先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求值即可．【详解】解：1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒，，OC CD =OB OD = OBD ∴△60OBD ∴∠=︒3601051056090OCD \Ð=°-°-°-°=°AC a =1882OC a CD A O a =-==-，Rt COD 8OC CD a ==-()()222888a a ∴-+-=12888a a =-=+>(128288OA OA AC ∴=-=--=8-22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭m 1m m -22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭()()2134333m m m m m m -+⎛⎫=÷- ⎪+++⎝⎭；当．20. 解方程组：【答案】【解析】【分析】将第二个方程进行因式分解得到，然后令因式和因式分别为0即可求解.【详解】解：由题意可知：对方程②进行因式分解得：即或∴原方程组化为或解得或故原方程组的解为：或.【点睛】本题考查了因式分解的方法及二元方程组，熟练掌握常见的二元一次方程组的解法是解决此类题的关键.21. 如图，一次函数图像在反比例函数图像相交于点和点，与轴交于点．点在反比例函数图像上，过点作轴的垂线交一次函数图像于点．()()21133m m m m m --=÷++()()21331m m m m m -+=⨯+-1m m-=m =1m m -222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩121242,22x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩()(2)0+-=x y x y 2x y -x y +222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩①②()(2)0+-=x y x y 20x y -=0x y +=2620x y x y -=⎧⎨-=⎩260x y x y -=⎧⎨+=⎩1142x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=-⎩1142x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=-⎩(),2A m ()2,4B -y C ()1,D n -D x E（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求面积．【答案】（1）反比例函数为，一次函数解析式（2）【解析】【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式，三角形面积．（）利用待定系数法求解即可；（）先分别求出、、的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可．【小问1详解】解：设反比例函数为，把点代入得，，∴反比例函数为，把点，点代入，得，，∴，，∴点，点，设一次函数解析式，的CDE 8y x=-2y x =--9212C D E k y x=()2,4B -k y x=428k =-⨯=-8y x=-(),2A m ()1,D n -8y x =-82m =-881n =-=-4m =-8n =()4,2A -()1,8D -y cx d =+把点，点代入得，解得，∴一次函数解析式；【小问2详解】∵一次函数解析式，∴把点代入，得，∴，∴点，∵轴，∴点横坐标为，把代入得，∴∴，∴22. 根据以下素材，完成探索任务．探究斜坡上两车之间距离素材1图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米．素如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为的()4,2A -()2,4B -4224c d c d-=+⎧⎨=-+⎩12c d =-⎧⎨=-⎩2y x =--2y x =--()0,2C -,()1,D n -8y x =-881n =-=-8n =()1,8D -DE x ⊥E 1-1x =-2y x =--121y =-=-()1,1E --,189DE =+=119191222CDE S DE =⋅=⨯⨯= .BM AN AB BM AN ∥BM BH AB ECKG CK EC 3.5材2米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米．任务一如图①，求斜坡的坡比．问题解决任务二如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离．【答案】任务一：斜坡的坡比；任务二：米【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质，矩形判定与性质，任务一：根据勾股定理求出第三边进而求出坡度；任务二：作交延长线于点O ，作于点Q ，交于点R ，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明，根据性质求出结论即可．【详解】解：任务一：如图①，由题意得：在中，25米，斜坡长为65米，（米），斜坡的坡比；任务二：如图③，作交延长线于点O ，作于点Q ，交于点R ，为ECKG K B B P BP 6.5BP BM ⊥FD AB P E F EC CD AB 1:2.4i =12.5PO DB ⊥DB FQ PO ^CE FER FPQ ∽Rt ABH △BH AB 60AH \=∴AB 251:2.460BH i AH ===PO DB ⊥DB FQ PO ^CE则四边形为矩形，四边形为矩形，米，米，，为米，，解得：米，米，米，米，，，，，，解得：，经检验，是原方程的解，米．23. 如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，连接．CRQO FDCR,1RQ CO FR DC FD CR OQ\=====，3.51 2.5ER\=-=,90ABH PBO O HÐ=ÐÐ=Ð=°BP 6.525cos cos6.565BOPBO ABH\Ð==Ð=2.5BO=6PO\==615PQ∴=-=10 2.512.5RQ CO==+=,EC AB PQ AB^^ER PQ\∥FER FPQ\∽ER FRPQ FQ\=2.5512.5FRFR\=+12.5FR=12.5FR=12.5CD FR\==Rt ABC△90C∠=︒CB D DB CB=A DAE BC∥DE BA∥AE DE E BE（1）求证：；（2）连接交于点，连接交于点．如果，求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法．（1）先证四边形是平行四边形，得出从而证出四边形是矩形，即可证明结论；（2）设，算出，证明，求出，进而证出结论；【小问1详解】证明：，，四边形是平行四边形，，，，又，点D 在的延长线上，，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，；【小问2详解】解：如图，BE CD ⊥AD BE F CE AD G FBA ADB ∠=∠AG AB =AEDB AE CB =AEBC EF BF a ==AE =AEG DCG V ∽△AGAB = AE BD DE BA ∥∴AEDB ∴AE BD = BD CB =∴AE CB = AE BD CB ∴AE CB ∥∴AEBC 90C ∠=︒∴AEBC ∴BE CD ⊥四边形是平行四边形，，设，，，，，，，，，，，在中，，，，在中，，AEDB ,EF BF AF DF \==EF BF a ==FBA ADB Ð=Ð tan tan FBA ADB \Ð=ÐAE BF BE BD\=AE BD = 222AE a \=AE ∴=BD BC AE \==AE CD AEG DCG \ ∽12AE AG CD DG \==Rt DBF △DF ==AD \=AG \=Rt ABC △AB ==．24. 新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．（1）如果点的坐标为，求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；（3）已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质，（1）将点代入表达式，求出m 的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；AG AB \=AG AB \=2y ax bx c =++0abc ≠2y cx ax b =++2y ax bx c =++2231y x x =++223y x x =++1C ()2445y mx m x m =+-+2C 1C 2C y E F E F 2C P E ()0,12C 2C 38y x =+Q PQEF E ()4,M n -2C N 12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭PMN PEF △∽△m 241y x x =+-20,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭1m =-1732()0,1E（2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E 、F 坐标，并求出P 、Q 坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m 值，进而解决问题；（3）先求，结合求出的点P 、E 、F 坐标得出及，根据相似三角形性质得出关于m 的方程，解方程即可解决．【小问1详解】解：抛物线：与轴交于点坐标为，当，代入，得，，抛物线表达式为，抛物线的“轮换抛物线”为表达式为；【小问2详解】解：抛物线：，当时，，即与y 轴交点为，抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线表达式为，同理抛物线与y 轴交点为，抛物线对称轴为直线，当时，，抛物线的顶点坐标为，当时，，抛物线的对称轴与直线交点，点在点的上方，，解得：，2C PQ EF =()4,45M m --2PN 2PF 1C ()2445y mx m x m =+-+y E ()0,10x =1y =1m =451m \-=-∴1C 241y x x =-+∴1C 2C 241y x x =+-1C ()2445y mx m x m =+-+0x =y m =()0,E m 1C ()2445y mx m x m =+-+2C ∴2C ()2445y mx mx m =++-2C ()0,45F m -2C 422m x m=-=-2x =-5y =-∴2C ()25P --，2x =-382y x =+=∴2C 38y x =+()2,2Q - E F 45m m \>-53m <，四边形为平行四边形，，即，解得：，；【小问3详解】解：点在抛物线上，当时，，即，点坐标为，，，，，，，，，，解得：．25. 在梯形中，，点在射线上，点在射线上，连接、相交于点，．()4553EF m m m \=--=- PQEF PQ EF \=()2553m --=-23m =-20,3E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ ()4,M n -2C 4x =-()244545y mx mx m m =++-=-()4,45M m -- N 12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭()25P --，()0,E m ()0,45F m -()222125225724PN æöç÷\=-++-+=ç÷èø()()22222455416PF m m =-+-+=+()115325322PEF P S EF x m m =×=-´=- ()111557242222PMN M P S PN x x æöç÷=×-=´-+´-+=ç÷èø PMN PEF ∽222PEF PMN S PF PF S PN PN æöç÷\==ç÷èø 25341652524m m -+\=12171,32m m =-=ABCD AD BC ∥E DA F AB CE DF P EPF ABC ∠=∠（1）如图①，如果，点、分别在边、上．求证：；（2）如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆，半圆与的另一个交点为点．设与弧的交点为．①当时，求和的长；②当点为弧的中点时，求的长．【答案】（1）见解析（2）①；；②【解析】【分析】（1）根据等腰梯形的性质可得，，，根据三角形的外角性质得出，进而可得，即可证明，根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①同（1）证明，如图所示，过点作于点，连接，得出，，解直角三角形，分别求得，，进而根据相似三角形的性质求得的长；②根据题意画出图形，根据垂径定理得出，根据题意可设，，则，得出，设，则，则，在中，得出，根据得出，即可求解．【小问1详解】证明：∵梯形中，，，∴，，，又∵，∴AB CD =E F ADAB AF DF DE CE =AD CD ⊥5AB =10BC =3cos 5ABC ∠=DA DE O O CE G DF EG Q 6DE =EG AF Q EG AF EG =215AF =15B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠A EDC ∠=∠DEC BCE ∠=∠FPE CED EDP ∠=∠+∠ADF DCE ∠=∠ADF DCE ∽ADF PDE ∽A AM BC ⊥M DG cos DEC ∠=sin DEC ∠=EG EP AF OQ EQ ⊥EPF ABC α∠=∠=ODQ OQD β∠=∠=90αβ+=︒43tan tan 34αβ==12FR a =9AR a =15AF a =Rt DFR 16DR a =1697AD DR AR a a a =-=-=1a =ABCD AD BC ∥AB CD =B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠A EDC ∠=∠DEC BCE ∠=∠FPE CED EDP ∠=∠+∠EPF ABC∠=∠ADF DCE∠=∠∴，∴；【小问2详解】解：∵，∵，则∴∴∵∴又∵∴，如图所示，过点作于点，连接，∵，∴，则，，∵∴∵∴又∵∴，在中，∴∴，ADF DCE ∽AF DF DE CE=EPF ABC ∠=∠DPC EPF∠=∠180FPC DPC ∠+∠=︒180FPC B ∠+∠=︒180ECB PFB ∠+∠=︒ECB AFD∠=∠AD BC∥ECB DEC∠=∠EDP FDA∠=∠ADF PDE ∽A AM BC ⊥M DG 5AB =3cos 5ABC ∠=3BM =4AM =4sin 5AM ABC AB ∠==,AD BC AD CD⊥∥4CD AM==10BC =1037AD MC BC BM ==-=-=6DE =1AE=Rt EDC 6,4ED CD ==EC ===cos DE DEC EC ∠===sin DC DEC EC ∠===∵为直径∴∴，∴，∵∴∴②过点作于点，∵∴∵∴设，，则ED 90DGE ∠=︒cos 6EG ED DEC =⨯∠==sin 6DG ED DEC =∠==sin sin DG DG PD DPG ABC ====∠∠3cos 5PG PD DPG =∠==EP EG PG =-=ADF PDE∽AF AD PE PD=215D A PE AF PD ⋅===F FR AD ⊥R EQGQ =OQ EQ⊥OQ OD=ODQ OQD∠=∠EPF ABC α∠=∠=ODQ OQD β∠=∠=90αβ+=︒∵，则设，则∴∵∴设，则，∴，在中，∴又∵∴∴【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰梯形的性质，相似三角形的性质与判定，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．3cos os cos 5DPG EPF ABC ∠=∠=∠=35PG PD =3,5PG k PD k ==4GD k =43tan tan 34αβ==AD BC∥RAF α∠=12FR a =9AR a =15AF a =Rt DFR 3tan 4RF DR β==16DR a=1697AD DR AR a a a =-=-=7=1a =15AF =。

2024年上海市浦东新区中考数学二模试卷及答案解析

2024年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列实数中，无理数是（）A．0B．C．πD．2．（4分）下列计算中，结果等于a2m的是（）A．a m+a m B．a m•a2C．（a m）m D．（a m）23．（4分）直线y＝﹣x+1经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限．4．（4分）如图，AB∥CD，∠D＝13°，∠B＝28°，那么∠E等于（）A．13°B．14°C．15°D．16°5．（4分）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．点D在边AB上，且，DE∥BC交边AC于点E，那么以E为圆心，EC为半径的⊙E和以D为圆心，BD为半径的⊙D的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．（4分）分解因式：a2﹣1＝．8．（4分）计算：+＝．9．（4分）方程＝x的解是x＝．10．（4分）如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是．11．（4分）在去掉大小王的52张扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是．12．（4分）沿着x轴的正方向看，如果抛物线y＝（k﹣1）x2+1在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是．13．（4分）正五边形的中心角的度数是．14．（4分）如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为．15．（4分）如图，小丽在大楼窗口A处测得校园内旗杆底部C的俯角为α度，窗口离地面高度AB＝h（米），那么旗杆底部与大楼的距离BC＝米（用α和h的式子表示）．16．（4分）如图，已知△ABC中，中线AM、BN相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为．17．（4分）如图，点A、C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且AB∥x轴，BC∥y轴，那么△ABC的面积等于．18．（4分）定义：四边形ABCD中，点E在边AB上，联结DE、EC，如果△DEC的面积是四边形ABCD面积的一半，且△BEC的面积是△ADE及△DCE面积的比例中项，我们称点E是四边形ABCD的边AB上的一个面积黄金分割点．已知：如图，四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，BC＞AD，如果点E是它的边AB上的一个面积黄金分割点，那么的值是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21．（10分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高．已知AB＝AC，BC＝，tan∠BAC ＝．（1）求AD的长；（2）如果点E是边AC的中点，联结BE，求cot∠ABE的值．22．（10分）某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等级的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，0≤a＜60为不合格、60≤a＜80为合格，80≤a＜90为良好，90≤a≤100为优秀）．根据图中的信息回答下列问题：（1）估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据；（2）小明对统计图进行了研究，得出了如下结论：①中位数一定落在80分﹣90分这一组内；②众数一定落在80分﹣90分这一组内；③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数．上述结论中错误的是（填序号）．（3）估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m 名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与（m﹣x）的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E是边DC上的任意一点（不与点D、C重合），AE交对角线BD于F，过点E作EG∥BC交BD于点G．（1）求证：DF2＝FG•BF；（2）当BD•DF＝2AD•DE时，求证：AE⊥DC．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、点B，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c经过点A、B两点，顶点为点C．（1）求b、c的值；（2）如果点D在抛物线C1的对称轴上，射线AB平分∠CAD，求点D的坐标；（3）将抛物线C1平移，使得新抛物线C2的顶点E在射线BA上，抛物线C2与y轴交于点F，如果△BEF是等腰三角形，求抛物线C2的表达式．25．（14分）已知：⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，线段O1O2的延长线交⊙O2于点C，CA、CB的延长线分别交⊙O于点D、E．（1）联结AB、DE，AB、DE分别与连心线O1O2相交于点H、点G，如图1，求证：AB ∥DE；（2）如果O1O2＝5．①如图2，当点G与O1重合，⊙O1的半径为4时，求⊙O2的半径；②联结AO2、BD，BD与连心线O1O2相交于点F，如图3，当BD∥AO2，且⊙O2的半径为2时，求O1G的长．2024年上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【解答】解：0，＝4是整数，是分数，它们都不是无理数；π是无限不循环小数，它是无理数；故选：C．【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a m+a m＝2a m，故此选项不合题意；B、a m•a2＝a m+2，故此选项不合题意；C、（a m）m＝，故此选项不合题意；D、（a m）2＝a2m，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．【分析】】根据一次函数图象与系数的关系，由k，b的符号直接判断直线所经过的象限．【解答】解：由于k＝﹣1＜0，b＝1＞0，故函数过一、二、四象限．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数解析式：y＝kx+b（k≠0），k、b的符号决定函数所经过的象限．4．【分析】先根据平行线的性质求出∠BCD的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝28°，∴∠BCD＝∠B＝28°．∵∠BCD是△CDE的外角，∠D＝13°，∴∠E＝∠BCD﹣∠D＝28°﹣13°＝15°．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．5．【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断即可．【解答】解：A．对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故A是假命题，不符合题意；B．对角线相等的平行四边形是矩形，故B是真命题，符合题意；C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C是假命题，不符合题意；D．对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，故D是假命题，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理．6．【分析】利用勾股定理求得AB，利用平行线的性质求得BD，CE，利用相似三角形的判定与性质求得DE，再利用圆心角等于两圆的半径之和时，两圆外切的性质解答即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵，∴AD＝，BD＝．∵DE∥BC，∴，∴EC＝1，AE＝3，∵DE∥BC，∴△AED∽△ACB，∴，∴DE＝，∴以E为圆心，EC为半径的⊙E和以D为圆心，BD为半径的⊙D的圆心距为，∵BD+EC＝1+＝，∴⊙E与⊙D的位置关系是外切．故选：B．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，圆与圆的位置关系的判定定理，熟练掌握圆与圆的位置关系的判定定理是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．故答案为：（a+1）（a﹣1）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．8．【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝﹣＝＝1．故答案为：1．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x+2＝x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【解答】解：原方程变形为：x+2＝x2即x2﹣x﹣2＝0∴（x﹣2）（x+1）＝0∴x＝2或x＝﹣1∵x＝﹣1时不满足题意．∴x＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法．10．【分析】根据根的判别式：Δ＝b2﹣4ac，来列出关于m的式子，再求出m的取值范围即可．【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×m＝36﹣4m，∵方程没有实数根，∴Δ＜0，即：36﹣4m＜0，解得m＞9，故答案为：m＞9．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据方程的根的情况，列出关于m的式子．11．【分析】直接利用概率公式计算．【解答】解：任意抽取一张牌，抽到梅花的概率＝．故答案为：．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．12．【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则k﹣1＜0，然后解不等式即可．【解答】解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2+1在y轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴k﹣1＜0，解得k＜1，故答案为：k＜1．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．13．【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可．【解答】解：正五边形的中心角为：＝72°．故答案为：72°．【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．14．【分析】设出梯形的上底长，直接运用梯形的中位线定理列出关于上底λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：设梯形的上底长为λ；由题意得：，解得：λ＝3，故答案为3．【点评】该题主要考查了梯形的中位线定理及其应用问题；应牢固掌握梯形的中位线定理并能灵活运用．15．【分析】根据题意可得：AB⊥BC，∠DAC＝α，DA∥BC，从而可得∠ACB＝∠DAC＝α，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：AB⊥BC，∠DAC＝α，DA∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝α，在Rt△ABC中，AB＝h米，∴BC＝＝（米），∴旗杆底部与大楼的距离BC为米，故选：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，列代数式，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．16．【分析】根据重心的性质可得AG＝2GM，BC＝2BM，利用三角形法则求出，进而可得到结果．【解答】解：∵中线AM、BN交于点G，∴AG＝2GM，BC＝2BM，∴GM＝AG，∵＝+，即＝+，∴＝2＝+2．故答案为：+2．【点评】本题考查了三角形的重心等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握及灵活运用．17．【分析】根据反比例函数的图象和性质，设B（m，），根据题意则A（﹣，），C（m，﹣），则有：AB＝m﹣（﹣），BC＝﹣（﹣）＝，利用三角形面积公式列式计算即可．【解答】解：点B在反比例函数的图象上，设B（m，），∵AB∥x轴，且点A、C在反比例函数的图象上∴A（﹣，），C（m，﹣），则有：AB＝m﹣（﹣），BC＝﹣（﹣）＝，＝．∴S△ABC故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象和性质，充分利用直线与坐标轴的平行关系设点的坐标是关键．18．【分析】过点E作EF∥AD，交CD于点F，设梯形的高为h，则EF•h，（AD+BC）h，利用新定义的规定得到EF为梯形ABCD的中位线，△ADE 和△BEC中AD，BC边上的高为h，利用三角形的面积公式求得三个三角形的面积，再利用新定义的规定得到关于BC的方程，解方程即可得出结论．【解答】解：过点E作EF∥AD，交CD于点F，如图，∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥CB．设梯形的高为h，则EF•h，（AD+BC）h．∵点E是四边形ABCD的边AB上的一个面积黄金分割点，∴，∴EFh＝（AD+BC）h，∴EF＝（AD+BC），∴EF为梯形ABCD的中位线，∴△ADE和△BEC中AD，BC边上的高为h．∴AD•h＝ADh，BC h＝BCh，×（AD+BC）h＝（AD+BC）h．∵点E是四边形ABCD的边AB上的一个面积黄金分割点，∴，∴＝ADh•（AD+BC）h．∴BC2﹣AD•BC﹣AD2＝0．∴BC＝AD（负数不合题意，舍去）．∴BC＝AD．∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了梯形的性质，梯形的中位线，三角形的面积，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝+2﹣+2+3＝﹣+2﹣+2+3＝7﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：由4x﹣2（x﹣1）＜4得：x＜1，由≤得：x≥﹣3，则不等式组的解集为﹣3≤x＜1，将解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．【分析】（1）设CD＝3x，AD＝4x，可用x表示出BD，再利用勾股定理即可解决问题．（2）过点E作AB的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．【解答】解：（1）∵tan∠BAC＝，且CD是边AB上的高，则设CD＝3x，AD＝4x，在Rt△ACD中，AC＝．∵AB＝AC，∴AB＝5x，则BD＝5x﹣4x＝x．在Rt△BCD中，（3x）2+x2＝（）2，解得x＝1（舍负），∴AD＝4x＝4．（2）过点E作AB的垂线，垂足为M，∵AC＝5，点E为AC中点，∴AE＝．在Rt△AEM中，tan∠BAC＝，∴EM＝，∴，则AM＝2，∴EM＝．则BM＝AB﹣AM＝5﹣2＝3．在Rt△BEM中，cot∠ABE＝．【点评】本题考查解直角三角形，熟知余切的定义及构造出合适的直角三角形是解题的关键．22．【分析】（1）由总人数乘以样本优秀率即可得到答案，再求解样本容量及60≤a＜70的人数，再求解扇形图中的各百分比补全图形即可；（2）根据中位数，众数，样本平均数的含义可得答案；（3）根据x与（m﹣x）的积恰好等于样本容量的15倍建立方程求解x，结合得分60分以下的学生有200×5%＝10可得答案．【解答】（1）解：∵（6+8）+35%＝40，∴40﹣2﹣8﹣9﹣8﹣6＝7，∵200×＝45，∴六年级参赛学生中成绩为良好的学生有45人；∵良好占9÷40＝22.5%，∴合格占1﹣22.5%﹣35%﹣5%＝37.5%补全条形图如下：（2）由40个数据，第20个，第21个数据落在80分一90分这一组，故①正确；众数是出现次数最多的数据，不一定落在80分—90分这一组内，故②不正确；仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；故③正确；从这两个统计图中不能准确求出样本的平均数，故④不正确；∴上述结论中错误的是②④；（3）由（1）得：m＝200×35%＝70，样本容量为40，∴x（70﹣x）＝40×15，整理得：x2﹣70x+600＝0，解得：x1＝10，x2＝60，∵得分60分以下的学生有200×5%＝10，∴x＝10合理．【点评】本题考查了从扇形图与条形图中获取信息和中位数，众数的含义，样本容量的概念，一元二次方程的解法，掌握以上基础知识是解本题的关键．23．【分析】（1）由菱形的性质得ED∥AB，则△EFD∽△AFB，得＝，由EG∥AD，证明△EFG∽△AFD，得＝，所以＝，即可证明DF2＝FG•BF；（2）连接AC交BD于点H，则BD＝2DH，由BD•DF＝2AD•DE，且AD＝DC，得2DH•DF＝2DC•DE，所以＝，而∠FDE＝∠CDH，即可证明△FDE∽△CDH，得∠DEF＝∠DHC＝90°，则AE⊥DC．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ED∥AB，∴△EFD∽△AFB，∴＝，∵EG∥BC，AD∥BC，∴EG∥AD，∴△EFG∽△AFD，∴＝，∴＝，∴DF2＝FG•BF．（2）证明：连接AC交BD于点H，则AC⊥BD，DH＝BH，∴BD＝2DH，∵BD•DF＝2AD•DE，且AD＝DC，∴2DH•DF＝2DC•DE，∴＝，∵∠FDE＝∠CDH，∴△FDE∽△CDH，∴∠DEF＝∠DHC＝90°，∴AE⊥DC．【点评】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）证明△DD′H为等腰直角三角形，则点D′在AB上，点D′代入上式得：m＝﹣（﹣2m）+3，即可求解；（3）当BE＝BF时，列出等式，即可求解；当BE＝EF或BF＝EF时，同理可解．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，2），则，解得：，即b＝1，c＝2；（2）由（1）知，抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2，则其对称轴为直线x＝，作点D关于直线AB的对称点D′，DD′交AB于点T，∵AB平分∠CAD，则DT＝TD′，过点D作x轴的平行线交AB于点H，连接D′H，∵∠OAB＝45°，则∠DHB＝45°，则△DTH为等腰直角三角形，同理可得：△D′TH为等腰直角三角形，则△DD′H为等腰直角三角形，则点D′在AB上，设点D（，m），则DH＝﹣m＝D′H，则点D′（﹣2m，m），由点A、C的坐标得，直线AC的表达y＝﹣x+3，将点D′代入上式得：m＝﹣（﹣2m）+3，解得：m＝，则点D（，）；（3）设点E（m，﹣m+2），则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2﹣m+2，当x＝0时，y＝﹣（x﹣m）2﹣m+2＝﹣m2﹣m+2，即点F（0，﹣m2﹣m+2），由点B、E、F的坐标得，BF＝m2+m，BE＝m，FE＝，当BE＝BF时，则m2+m＝m，解得：m＝0（舍去）或﹣1，则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣+1）2﹣+3；当BE＝EF或BF＝EF时，则m2+m＝或m＝，解得：m＝1（不合题意的值已舍去），即抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2+1，综上，抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2+1或y＝﹣（x﹣+1）2﹣+3．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到点的对称性、解直角三角形、等腰三角形的性质等，分类求解是解题的关键．25．【分析】（1）先证明CA＝CB，可得∠CAB＝∠CBA，再证明∠CAB＝∠D，可得AB∥DE；（2）①连接AO1，AO2，AE，AH，证明A，H，E三点共线，∠O2AH+∠O1AH＝∠O1AD+∠O1AH＝90°，再利用勾股定理求解即可；②过O1作O1M⊥AD于点M，过O2作O2N⊥AC于点N，由O1M∥O2N得出＝＝，设CN＝AN＝k，DM＝AM＝3k，根据平行线分线段成比例得出O2F＝3，O1F＝2，再根据平行线分线段成比例即可解答．【解答】（1）证明：由题意知O1O2⊥AB，AH＝BH，∴CA＝CB．∴∠CAB＝∠CBA，∵∠CAB+∠DAB＝180°＝∠DAB+∠E，∴∠CAB＝∠E，同理可得∠CBA＝∠D，∴∠CAB＝∠D，∴AB∥DE；（2）①如图，连接连接AO1，AO2，AE，AH，∵DE为⊙O1的直径，∴∠EAD＝90°＝∠EAC＝∠HAC，∴A．H．E三点共线，∵AB∥DE，AB⊥O1C，∴DE⊥O1C．∴∠AHO2+∠AHO1＝180°＝∠D+∠AHO1，∴∠AHO2＝∠D，∵O1A＝O1D，O2A＝O2H，∴∠D＝∠O1AD，∠O2AH＝∠O2HA，∴∠O1AD＝∠O2AH，∴∠O2AH+∠O1AH＝∠O1AD+∠O1AH＝90°．∵O1A＝4，O1O2＝5，∴O2A＝＝3；②如图，过O1作O1M⊥AD于点M，过O2作O2N⊥AC于点N，∵O1M∥O2N，∴＝＝，由垂径定理知CN＝AN，DM＝AM，设CN＝AN＝k，DM＝AM＝3k，∵BD∥AO2，∴，∵O2C＝2，∴O2F＝3，O1F＝5﹣3＝2，∵FO2垂直平分AB，BD∥AO2，∴FH＝O2F＝，∵＝＝，∴4+2O1G＝，∴O1G＝，【点评】本题考查的是两圆的位置关系，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成本来，作出合适的辅助线是解本题的关键。

2024年上海市静安区中考数学二模试卷及答案解析

2024年上海市静安区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．（4分）下列各数中，是无理数的为（）A．B．C．π0D．2．（4分）下列运算正确的是（）A．a2÷a3＝a﹣1B．C．（a2）3＝a5D．a3+a3＝a6 3．（4分）下列图形中，对称轴条数最多的是（）A．等腰直角三角形B．等腰梯形C．正方形D．正三角形4．（4分）一次函数y＝kx+b中，如果k＜0，b≥0，那么该函数的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断菱形ABCD是正方形的为（）A．∠AOB＝∠AOD B．∠ABO＝∠ADO C．∠BAO＝∠DAO D．∠ABC＝∠BCD 6．（4分）对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．（4分）计算：|1﹣|＝．8．（4分）函数的定义域是．9．（4分）方程的根为．10．（4分）如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是度．11．（4分）如果关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有实数根，那么a的取值范围是．12．（4分）反比例函数（其中m为任意实数）的图象在第象限．13．（4分）将一枚硬币连续抛两次，两次都是正面朝上的概率是．14．（4分）一位短跑选手10次100米赛跑的成绩如下：2次12″3，1次12″1，3次12″7，4次12″5，那么这10个数据的中位数是．15．（4分）在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，设，，那么向量用向量、表示为．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1与直线l2交于点C（0，1），它们的夹角为90°．直线l1交x轴负半轴于点A，直线l2与x轴正半轴交于点B（2，0），那么点A的坐标是．17．（4分）如果半径分别为r和2的两个圆内含，圆心距d＝3，那么r的取值范围是．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝17，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形AB1C1D1，使点D在直线B1C1上，那么线段BB1的长度是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）先化简，再求值：，其中．20．（10分）解不等式组，并写出它的整数解．21．（10分）已知：如图，CD是⊙O的直径，AC、AB、BD是⊙O的弦，AB∥CD．（1）求证：AC＝BD；（2）如果弦AB长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求CD的长．22．（10分）某区连续几年的GDP（国民生产总值）情况，如表所示：年份第1年第2年第3年第4年第5年GDP（百亿元）10.011.012.413.5■我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：A（1，10.0）、B（2，11.0）、C（3，12.4）、D（4，13.5）．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析．（1）根据点A、B的坐标，可得直线AB的表达式为y＝x+9．请根据点A、C坐标，求出直线AC的表达式；（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．）例如：分析直线AB，即f（x）＝x+9上的点，可知f（1）＝10，f（2）＝11，f（3）＝12，f（4）＝13，求得偏离方差：＝]＝0.1025．请依据以上方式，求出关于直线AC的偏离方差值：＝；问题：你认为在选用直线AB与直线AC进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？请写出所选直线的表达式：；根据此函数模型，预估该区第五年的GDP约为百亿元．23．（12分）已知：如图，直线EF经过矩形ABCD顶点D，分别过顶点A、C作EF的垂线，垂足分别为点E和点F，且DE＝DF，联结AC．（1）求证：AD2＝AE•AC；（2）联结BE和BF，求证：BE＝BF．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于直线对称，且经过点A （0，3）和点B（3，0），横坐标为4的点C在此抛物线上．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、AC，求tan∠BAC的值；（3）如果点P在对称轴右方的抛物线上，且∠PAC＝45°，过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q，请说明∠APQ＝∠BAC，并求点P的坐标．25．（14分）如图1，△ABC中，已知AB＝6，BC＝9，∠B为锐角，cos∠ABC＝．（1）求sin C的值；（2）如图2，点P在边AB上，点Q是边BC的中点，⊙P经过点A，⊙P与⊙Q外切，且⊙Q的直径不大于BC，设⊙P的半径为x，⊙Q的半径为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题条件下，联结PQ，如果△BPQ是等腰三角形，求AP的长．2024年上海市静安区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．【分析】根据无理数的定义，零指数幂及数的开方法则对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、＝2，2是有理数，不符合题意；B、是无理数，符合题意；C、π0＝1，1是有理数，不符合题意；D、是有理数，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是无理数，零指数幂及数的开方法则，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．2．【分析】分别根据同底数幂的除法法则，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、a2÷a3＝a﹣1，正确，符合题意；B、＝|a|，原计算错误，不符合题意；C、（a2）3＝a6，原计算错误，不符合题意；D、a3+a3＝2a3，原计算错误，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是同底数幂的除法法则，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则，熟知以上知识是解题的关键．3．【分析】先根据轴对称图形的定义确定各选项图形的对称轴条数，然后比较即可选出对称轴条数最多的图形．【解答】解：A、等腰直角三角形有1条对称轴；B、等腰梯形有1条对称轴；C、正方形有4条对称轴；D、正三角形有3条对称轴．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．4．【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可．【解答】解：当一次函数y＝kx+b中k＜0，b≥0，该函数的图象一定不经过第三象限，故选：C．【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．5．【分析】根据菱形到现在和正方形的判定定理即可得到结论．【解答】解：A、∵∠AOB＝∠AOD，∠AOB+∠AOD＝180°，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，故不能判断菱形ABCD是正方形；故A不符合题意；B、∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠ADC，∠ABD＝∠ADB＝，故不能判断菱形ABCD是正方形；故B不符合题意；C、∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AO⊥BD，∴∠BAO＝∠DAO，故不能判断菱形ABCD是正方形；故A不符合题意；D、∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝90°，∴菱形ABCD是正方形，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键．6．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可．【解答】解：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，是真命题；②在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，故本小题说法是假命题故选：A．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．【解答】解：|﹣|＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了实数的性质，是基础题，主要利用了绝对值的性质．8．【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查函数自变量的取值范围，掌握分式有意义，分母不为0是解题的关键．9．【分析】依据题意，x≥2，从而x＝1＞0，可得＝0，进而计算可以得解．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，∴x≥2．∴x﹣1＞0．∴＝0．∴x﹣2＝0．∴x＝2．故答案为：x＝2．【点评】本题主要考查了无理方程的意义，解题时要能根据二次根式的意义得出x的范围是关键．10．【分析】先根据正多边形的内角和求出边数，再求其中心角的度数即可．【解答】解：设这个正多边形的边数为n，由题意得，（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6，∴正六边形的中心角是360°÷6＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查了正多边形的内角和、边数、中心角，根据正多边形的内角和求出边数是解题的关键．11．【分析】根据一元二次方程的定义及一元二次方程根的判别式得出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有实数根，∴，解得a≤1且a≠0．故答案为：a≤1且a≠0．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．12．【分析】然后根据非负数的性质确定k＞0，再根据反比例函数的性质解答．【解答】解：∵反比例函数，∴k＝m2+1＞0，∴此反比例函数的图象在第一、三象限．故答案为：一、三．【点评】本题考查了反比例函数的性质，确定出k的正、负情况是解题的关键．13．【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，找出两次都是正面朝上的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有4种等可能的结果数，两次都是正面朝上的结果数为1，所以两次都是正面朝上的概率为，故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．14．【分析】根据中位数的定义求解即可．【解答】解：这组数据中第5、6个数据分别为12″5，12″5，所以这10个数据的中位数是12″5，故答案为：12″5．【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．15．【分析】首先利用三角形中位线定理求得EF＝AB，则AB＝2EF；然后由三角形法则求得＝﹣．代入求值即可．【解答】解：在△ABC中，∵点E、F分别是边AC、BC的中点，∴FE是△ABC的中点．∴EF＝AB．∴AB＝2EF．∵，，∴＝﹣＝﹣．∴＝2＝2﹣2．故答案为：2﹣2．【点评】本题主要考查了平面向量和三角形中位线定理，解题的突破口是利用三角形法则求得＝﹣．16．【分析】根据已知条件证得△ACO∽△CBO，再根据相似三角形的性质即可求出AO的长，从而得出点A的坐标．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∵x轴⊥y轴，∴∠COA＝∠COB＝90°，∴∠CAB+∠ACO＝90°，∴∠ABC＝∠ACO，∴△ACO∽△CBO，∴，∵点C（0，1），点B（2，0），∴CO＝1，BO＝2，∴，∴AO＝，∵点A在x轴的负半轴，∴点A的坐标是，故答案为：．【点评】本题考查了两直线相交的问题，点的坐标，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．【分析】根据圆心距d与两圆内含的性质得出d的取值范围即可．【解答】解：∵半径分别为r和2的两个圆内含，圆心距d＝3，∴r＞2，d＜r﹣2，∵d＝3，∴3＜r﹣2，得：r＞5，故答案为：r＞5．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，当d＞R+r时，两圆外离；当d＝R+r时，两圆外切；当d＜R+r时，两圆相交；当d＝R﹣r时，两圆内切；当d＞R﹣r时，两圆内含；18．【分析】根据题意，画出示意图，再根据图形旋转的性质，结合相似三角形的判定和性质即可解决问题．【解答】解：当点B1在矩形ABCD内部时，如图所示，由旋转可知，AB1＝AB＝8．在Rt△AB1D中，，所以DC1＝17﹣15＝2．在Rt△C1D1D中，．因为AB＝AB1，AD＝AD1，所以，又因为∠BAB1＝∠DAD1，所以△ABB1∽△ADD1，所以，所以BB1＝．当点B1在矩形ABCD外部时，如图所示，同理可得，＝，因为△ABB1∽△ADD1，所以，所以．综上所述，BB1的长为．故答案为：．【点评】本题考查旋转的性质及矩形的性质，能根据题意画出示意图，并对点B1的位置进行分类讨论是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．【分析】根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝，当x＝时，原式＝＝＝﹣．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．20．【分析】求出每个不等式的解集，进而得到不等式组的公共解集，从公共解集中找到整数解即可．【解答】解：．解不等式①得：﹣x≥﹣3，x≤3．解不等式②得：8x+9＞﹣x，9x＞﹣9，x＞﹣1．∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤3．∴不等式组的整数解为：0，1，2，3．【点评】本题考查求不等式组的整数解．得到不等式组的解集是解决本题的关键．用到的知识点为：求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．21．【分析】（1）过点O作OF⊥AB，延长OF交⊙O与点E，根据垂径定理得，，即，即可得出结论；（2）根据垂径定理得AF＝AB＝4，设OC＝OE＝OA＝r，则OF＝OE﹣EF＝r﹣2，根据勾股定理得（r﹣2）2+42＝r2，解方程即可．【解答】（1）证明：过点O作OF⊥AB，延长OF交⊙O与点E，∵CD是⊙O的直径，∴，，∴，即，∴AC＝BD；（2）解：∵OF⊥AB，∴AF＝AB＝4，设OC＝OE＝OA＝r，则OF＝OE﹣EF＝r﹣2，在Rt△AOF中，有OF2+AF2＝OC2，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5，∴CD＝2r＝10．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．22．【分析】（1）设直线AC的表达式为y＝kx+b，代入即可作答；（2）分析直线AC，即g（x）＝1.2x+8.8，分别求出g（1），g（1），g（1），g（1），进而求出偏离方差；根据偏离方差的实际意义即可写出所选直线的表达式；根据函数模型代入x＝5，作答即可．【解答】解：（1）设直线AC的表达式为y＝kx+b，根据题意，解得，∴直线AC的表达式为y＝1.2x+8.8；（2）分析直线AC，即g（x）＝1.2x+8.8，∴g（1）＝1.2×1+8.8＝10，g（2）＝1.2×2+8.8＝11.2，g（3）1.2×3+8.8＝12.4，g（4）＝1.2×4+8.8＝13.6，∴偏离方差＝＝0.0125，∵0.0125＜0.1025，∴直线AC更合适，当x＝5时，g（5）＝1.2×5+8.8＝14.8，故答案为：0.0125，y＝1.2x+8.8，14.8．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确运用．23．【分析】（1）由矩形的性质得∠ADC＝90°，由AE⊥EF于点E，CF⊥EF于点F，得∠AED＝∠DFC＝90°，可推导出∠EAD＝∠FDC，进而证明△AED∽△DFC，则＝＝，所以＝，再证明△ADC∽△AED，得＝，即可证明AD2＝AE•AC；（2）联结BD交AC于点G，则GA＝GC，所以GD是梯形ACFE的中位线，则GD∥AE，于是得∠GDF＝∠AEF＝90°，所以BD垂直平分EF，则BE＝BF．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵AE⊥EF于点E，CF⊥EF于点F，DE＝DF，∴∠AED＝∠DFC＝90°，∴∠EAD＝∠FDC＝90°﹣∠ADE，∴△AED∽△DFC，∴＝＝，∴＝，∵∠ADC＝∠AED，∴△ADC∽△AED，∴＝，∴AD2＝AE•AC．（2）证明：联结BD交AC于点G，则GA＝GC，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴AE∥CF，∵GA＝GC，DE＝DF，∴GD是梯形ACFE的中位线，∴GD∥AE，∴∠GDF＝∠AEF＝90°，∴BD垂直平分EF，∴BE＝BF．【点评】此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、线段的垂直平分线的性质等知识，证明△AED∽△DFC是解题的关键．24．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）先证得△AOB是等腰直角三角形，可得∠ABO＝45°，AB＝OA＝3，过点C 作CE⊥x轴于E，则∠BEC＝90°，CE＝1，OE＝4，进而证得△BCE是等腰直角三角形，可得∠CBE＝45°，BC＝CE＝，推出∠ABC＝90°，再运用三角函数定义即可求得答案；（3）连接AB，先证得∠APQ＝∠BAC，得出tan∠APQ＝tan∠BAC＝，即＝，设PQ＝m，则AQ＝m，可得OQ＝3+m，得出P（m，3+m），代入抛物线解析式求得m＝，即可求得答案．【解答】（1）解：∵抛物线关于直线对称，∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣）2+k，把A（0，3）、B（3，0）代入，得：，解得：，∴y＝（x﹣）2﹣＝x2﹣x+3，∴该抛物线的表达式为y＝x2﹣x+3；（2）解：在y＝x2﹣x+3中，令x＝4，得y＝×42﹣×4+3＝1，∴C（4，1），∵A（0，3）、B（3，0），∴OA＝OB＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，AB＝OA＝3，如图，过点C作CE⊥x轴于E，则∠BEC＝90°，CE＝1，OE＝4，∴BE＝OE﹣OB＝4﹣3＝1，∴BE＝CE，∴△BCE是等腰直角三角形，∴∠CBE＝45°，BC＝CE＝，∴∠ABC＝180°﹣∠ABO﹣∠CBE＝90°，∴tan∠BAC＝＝＝；（3）证明：如图，连接AB，由（2）知△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝45°，∵∠PAC＝45°，∴∠PAQ+∠BAC＝180°﹣∠BAO﹣∠PAC＝90°，∵PQ⊥y轴，∴∠PQA＝90°，∴∠PAQ+∠APQ＝90°，∴∠APQ＝∠BAC，∴tan∠APQ＝tan∠BAC＝，∴＝，设PQ＝m，则AQ＝m，∴OQ＝OA+AQ＝3+m，∴P（m，3+m），∵点P在对称轴右方的抛物线上，∴3+m＝m2﹣m+3，且m＞，解得：m＝，当m＝时，y＝×（）2﹣×+3＝，∴点P的坐标为（，）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题关键．25．【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，利用∠ABC的余弦值求出BD的长，再根据勾股定理依次求出AD和AC的长，即可求得sin C；（2）过Q作AB垂线交AB于M，根据勾股定理求出AQ的长，在根据三角函数的定义及勾股定理求出QM的长，根据两圆外切的性质，用x，y表示出PQ的长，最后根据勾股定理求出x和y的关系即可，然后根据⊙Q的直径不大于BC求出定义域即可；（3）根据腰的不同分类讨论，解方程求解x的值即可．【解答】解：（1）过A作AD⊥BC于D，如图：∵cos∠ABC＝，∴BD＝AB＝2，∴CD＝BC﹣BD＝7，AD＝＝4，∴AC＝＝9，∴sin C＝＝；（2）连接PQ，AQ，过Q作QM⊥AB于M，如图：∵Q是BC中点，∴BQ＝，∴DQ＝，∴AQ＝＝，∵cos∠ABC＝，∴BM＝BQ＝，∴AM＝，∴MQ＝＝3，∵⊙P与⊙Q外切，⊙P经过点A，∴PQ＝x+y，当P在AM上时，PM＝﹣x，当P在BM上时，PM＝x﹣，在Rt△PMQ中，PQ2＝PM2+MQ2，即（x+y）2＝（x﹣）2+18，整理得：y2+2xy+9x﹣＝0，∵x＞0，y＞0，∴y＝（0＜x＜）；∵⊙Q的直径不大于BC，∴y≤，∴≤，∴x≥1，∴y＝（1≤x＜）；（3）∵△BPQ是等腰三角形，当PQ＝BQ时，x+y＝，即+x＝，解得：x＝3或6（不在定义域内，舍去），当BQ＝BP时，＝6﹣x，解得：x＝，当PQ＝BP时，6﹣x＝，解得x无实数根，综上所述，AP的长为3或．【点评】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握三角函数的定义、一二元次方程的求解以及勾股定理的应用是本题解题的关键。

上海市2024年嘉定区中考数学二模试卷

一、选择题1. 下列实数中，属于有理数的是（上海市2024年嘉定区中考数学二模试卷） A.B . π2C .722D . ︒sin 602. 关于x 的方程−−=x x k 602（k 为常数）有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（） A . >−k 9且≠k 0B . >−k 9C . ≥−k 9且≠k 0D . ≥−k 93. 如果将抛物线=−y x 12)(向下平移2个单位，那么平移后的新抛物线与y 轴的交点坐标是（） A . −1,0)(B . −0,1)(C . −2,0)(D .（3,0）4. 已知一组数据x x x x ,,,1234，现将这组数据中的每一个数都减去常数≠a a 0)(，得到新的一组数据，如果这组数据与原数据比较，那么下列描述这组新数据的信息中正确的是（） A . 平均数改变，方差不变 B . 平均数改变，方差改变 C . 平均数不变，方差不变 D . 平均数不变，方差改变5. 下列命题正确的是（）A . 对角线相等的平行四边形是正方形B . 对角线相等的四边形是矩形C . 对角线互相垂直的四边形是菱形D . 对角线相等的梯形是等腰梯形 6. 在ABC 中，AB =AC =8，∠=B 4cos 1，以点C 为圆心，半径为6的圆记作圆C ，那么下列说法正确的是（）A . 点A 在圆C 外，点B 在圆C 上 B . 点A 在圆C 上，点B 在圆C 内 C . 点A 在圆C 外，点B 在圆C 内D . 点A 、B 都在圆C 外二、填空题7. 4的平方根是______________8. 计算：+−=a a 12)()(_______________9. 随着某产品制造技术的不断发展，某地区用于这个技术开发的资金约为5200000000元，这个数字用科学记数法表示为______________ 10. 不等式−>x 31的最小整数解是_______________ 11. 用换元法解方程−+=−x x x x 121时，如果设−=x y x 1，那么原方程可化为关于y 的整式方程是______________ 12. 如果反比例函数=≠xy k k0)(的图像经过点−−A 2,3)(，那么k 的值是________________ 13. 某校田径运动队共有20名男运动员，小杰收集了这些运动员的鞋号信息（见表1），那么这20名男运动员鞋号的中位数是________________14. 在不透明的盒子中装有六张形状相同的卡片，这六张卡片分别印有正方形、平行四边形、等边三角形、直角梯形、正六边形、圆等六种图形，如果从这不透明的盒子里随机抽出一张卡片，那么所抽到的这张卡片上的图形恰好为中心对称图形的概率是_______________ 15. 如图1，在中，线段AD 是边BC 上的中线，点E 是AD 的中点，设向量,AB a BC b ==，那么向量AE =________________（结果用,a b 表示）16. 如图2在正方形ABCD 的外侧作一个CDE ，已知DC =DE ，∠DCE =70°，那么∠AED 等于__________ 17. 如图3在圆O 中，AB 是直径，弦CD 与AB 交于点E ，如果AE =1，EB =9，∠AEC =45°，点M 是CD 的中点，联结OM ，并延长OM 与圆O 交于点N ，那么MN =________________18. 定义：如果三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做准直角三角形，已知在直角ACB 中，∠C =90°，AC =4，AB =12，如图4，如果点D 在边BC 上，且ADB 是准直角三角形，那么CD =______________三、解答题19. 1228−+20. 解方程组：2228120x y x xy y +=⎧⎨−−=⎩21. 某东西方向的海岸线上有A、B两个码头，这两个码头相距60千米（AB=60），有一艘船C在这两个码头附近航行.（1）当船C航行了某一刻时，由码头A测得船C在北偏东55°，由码头B测得船C在北偏西35°，如图5，求码头A与C船的距离（AC的长），其结果保留3位有效数字︒≈︒≈︒≈︒≈）（参考数据：sin350.5736,cos350.8192,tan350.7002,cot35 1.428（2）当船C继续航行了一段时间后，由码头A测得船C在北偏东30°，由码头B测得船C在北偏西15°，⊥），如图6，求CH的长，其结果保留根号船C到海岸线AB的距离是CH（即CH AB22. 某企业在2022年1至3月的利润情况见表2（1）如果这个企业在2022年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求2月份的利润；（2）这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润巍峨121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率.23. 如图7，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=DC，点P在四边形ABCD内部，PB=PC，联结P A、PD.（1）求证：APD是等腰三角形；（2）已知点Q在AB上，联结PQ，如果AP//CD，AQ=AP，求证：四边形AQPD是平行四边形.24. 在平面直角坐标系xOy （如图8）中，已知抛物线23y ax bx =++经过点()()1,0,2,3A B −两点，与y 轴的交点为C 点，对称轴为直线l . （1）求此抛物线的表达式；（2）已知以点C 为圆心，半径为CB 的圆记作圆C ，以点A 为圆心的圆记作圆A ，如果圆A 与圆C 外切，试判断对称轴直线l 与圆A 的位置关系，请说明理由；（3）已知点D 在y 轴的正半轴上，且在点C 的上方，如果∠BDC =∠BAC ，请求出点D 的坐标.25. 在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 在射线AB 上，联结CE 、BD . （1）如图9，当点E 是边AB 的中点，求∠ECD 的正切值；（2）如图10，当点E 在线段AB 的延长线上，联结DE 与边BC 交于点F ，如果AD =6，EFC 的面积等于EF 的长；（3）当点E 在边AB 上，CE 与BD 交于点H ，联结DE 并延长DE 与CB 的延长线交于点G ，如果AD =6，BCH 与以点E 、G 、B 所组成的三角形相似，求AE 的长.一、选择题1. C 2. B 3. B 4. A 5. D 6. C参考答案二、填空题7. ±28. a 2−a −29. 5.2⨯10910. x =511. y 2−2y +1=012. 6 13. 24.5 14.3215. 11a b +2416. 25°17. −518.三、解答题19.20. ⎩⎪⎩=−⎨⎨⎪⎧=⎪⎧y x 34832416⎪y 1=22x 1=21.（1）约49.2千米（2）+4522.（1）98元（2）10%23.（1）证明略（2）证明略24.（1）y =−x 2−2x +3（2）相离，说明略（3）D （0,7）25.（1）2（2（3）−9。

2024届上海市中考各区二模数学考试真题专项(函数概念、图象与性质)汇编(附答案)

2024届上海市中考各区二模数学考试真题专项（函数概念、图象与性质）汇编一、单选题1．（2024ꞏ上海黄浦ꞏ二模）已知第二象限内点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为3，那么点P 的坐标是（）A ．()23-，B ．()32-，C ．()23-，D ．()32-，2．（2024ꞏ上海静安ꞏ二模）一次函数y kx b =+中，如果0,0k b <≥，那么该函数的图像一定不经过（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2024ꞏ上海闵行ꞏ二模）下列函数中，y 的值随着x 的值增大而增大的函数是（） A ．1y x=B ．2y x =-+C ．2y x =-D ．1y x=-4．（2024ꞏ上海嘉定ꞏ二模）如果将抛物线2(1)y x =-向下平移2个单位，那么平移后抛物线与y 轴的交点坐标是（） A ．()1,0-B ．()0,1-C ．()2,0-D ．()3,05．（2024ꞏ上海虹口ꞏ二模）已知二次函数()24y x =--，如果函数值y 随自变量x 的增大而减小，那么x 的取值范围是（）A ．4x ≥B ．4x ≤C ．4x ≥-D ．4x ≤-6．（2024ꞏ上海黄浦ꞏ二模）反比例函数1y x=的图像有下述特征：图像与x 轴没有公共点且与x 轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（）A ．自变量0x ≠且x 的值可以无限接近0B ．自变量0x ≠且函数值y 可以无限接近0C ．函数值0y ≠且x 的值可以无限接近0D ．函数值0y ≠且函数值y 可以无限接近0 7．（2024ꞏ上海青浦ꞏ二模）下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（） A ．5xy =B ．5xy =-C ．5y x=D ．5y x=-8．（23-24九年级下ꞏ上海崇明ꞏ期中）下列函数中，如果0x >，y 的值随x 的值增大而减小，那么这个函数是（） A ．3y x = B ．3y x=-C ．23y x =--D ．221y x =-9．（23-24九年级下ꞏ上海宝山ꞏ期中）下列函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是（） A ．221y x =+ B ．221y x =-+ C ．1y x =+D ．1y x =-+10．（2024ꞏ上海普陀ꞏ二模）已知正比例函数y kx =(k 是常数，0k ≠)的图象经过点()2,6A ，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是( )A ．()1,3--B ．()1,3-C ．()6,2D ．()6,2-11．（2024ꞏ上海奉贤ꞏ二模）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（）①函数图像经过点(1,1)-；②图像经过第二象限；③当0x >时，y 随x 的增大而增大． A ．y x =-B ．2y x =-C ．1y x=-D ．21y x =-．12．（2024ꞏ上海长宁ꞏ二模）下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（）A ．22y x =B ．2y x=-C ．2y x =-D ．21y x =+二、填空题13．（2024ꞏ上海长宁ꞏ二模）函数2()2f x x =-的定义域为． 14．（2024ꞏ上海浦东新ꞏ二模）沿着x 轴的正方向看，如果抛物线2(1)1y k x =-+在y 轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是．15．（2024ꞏ上海青浦ꞏ二模）如果将抛物线21y x =+向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是． 16．（2024ꞏ上海虹口ꞏ二模）将抛物线()221y x =-+先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为．17．（2024ꞏ上海徐汇ꞏ二模）如果反比例函数4y x =-的图像经过点(,2)A t t -，那么t 的值是．18．（2024ꞏ上海金山ꞏ二模）反比例函数的图像经过点(1,2)-，则这个反比例函数的解析式是． 19．（2024ꞏ上海普陀ꞏ二模）已知直线24y x =+与直线1y =相交于点A ，那么点A 的横坐标是． 20．（23-24九年级下ꞏ上海崇明ꞏ期中）已知()23f x x =+，那么()2f -= ．21．（2024ꞏ上海徐汇ꞏ二模）如果二次函数2241y x x =-+的图像的一部分是上升的，那么x 的取值范围是．22．（2024ꞏ上海松江ꞏ二模）平移抛物线221y x x =++，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是．（只需写出一个符合条件的表达式）23．（2024ꞏ上海长宁ꞏ二模）如果二次函数2y x m =+的图象向右平移3个单位后经过原点，那么m 的值为．24．（2024ꞏ上海金山ꞏ二模）已知()11f x x =-，f = ．25．（2024ꞏ上海松江ꞏ二模）已知反比例函数(0ky k x=≠）的图像经过点(1,2)-，那么在每个象限内，y 随x 的增大而．（填“增大”或“减小”）26．（2024ꞏ上海黄浦ꞏ二模）将直线2y x =向上平移2个单位，所得直线与x 轴、y 轴所围成的三角形面积是． 27．（2024ꞏ上海松江ꞏ二模）一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度y （厘米）与所挂重物质量x （千克）是一次函数关系．又已知挂2千克重物时弹簧的长度为11厘米，挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千克重物时弹簧的长度为厘米．28．（2024ꞏ上海虹口ꞏ二模）一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为y （厘米），燃烧的时间为t （分钟），那么y 关于t 的函数解析式为（不写定义域）．29．（2024ꞏ上海静安ꞏ二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线1l 与直线2l 交于点()0,1C ，它们的夹角为90︒．直线1l 交x 负半轴于点A ，直线2l 与x 正半轴交于点()2,0B ，那么点A 的坐标是．30．（23-24九年级下ꞏ上海崇明ꞏ期中）新定义：我们把抛物线2y ax bx c =++，（其中0ab ≠）与抛物线2y bx ax c =++称为“关联抛物线”．例如：抛物线223y x x =++的“关联抛物线”为223y x x =++．已知抛物线21:694(0)C y ax ax a a =++->的“关联抛物线”为2C ，抛物线2C 的顶点为P ，且抛物2C 与x 轴相交于M 、N 两点，点P 关于x 轴的对称点为Q ，若四边形PMQN 是正方形，那么抛物线1C 的表达式为．31．（2024ꞏ上海闵行ꞏ二模）已知二次函数的解析式为21y x bx =++，从数字0，1，2中随机选取一个数作为b 的值，得到的二次函数图像的顶点在坐标轴上的概率是．32．（2024ꞏ上海浦东新ꞏ二模）如图，点A 、C 在反比例函数1y x =-的图象上，点B 在反比例函数2y x =的图象上，且AB x ∥轴，BC y ∥轴，那么ABC 的面积等于．33．（2024ꞏ上海徐汇ꞏ二模）如图，点A 是函数8(0)y x x =-<图象上一点，连接OA 交函数1(0)y x x =-<图象于点B ，点C 是x 轴负半轴上一点，且AC AO =，连接BC ，那么ABC 的面积是．三、解答题34．（2024ꞏ上海金山ꞏ二模）如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额1y （元）和销售量x （千克）的关系如射线1l 所示，成本2y （元）和销售量x （千克）的关系如射线2l 所示．(1)当销售量为千克时，销售额和成本相等； (2)每千克草莓的销售价格是元；(3)如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？35．（23-24九年级下ꞏ上海宝山ꞏ期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与反比例函数ky x=的图像交于点()2,C m ．(1)求反比例函数的解析式；(2)过点C 作x 轴的平行线l ，如果点D 在直线l 上，且3CD =，求ABD △的面积．36．（2024ꞏ上海黄浦ꞏ二模）网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零．(1)在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？(2)在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x 元的消费与实际总支付y 元间存在着依赖关系，当320375x <<时，写出y 关于x 的函数关系式；(3)广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由． 37．（2024ꞏ上海静安ꞏ二模）某区连续几年的GDP （国民生产总值）情况，如下表所示：年份第1年第2年第3年第4年第5年GDP （百亿元） 10.011.012.413.5■我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：()A 110.0，、()B 211.0，、()C 312.4，、()D 413.5，．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP ，可以尝试选择直线AB 、直线AC 等函数模型来进行分析．(1)根据点A 、B 的坐标，可得直线AB 的表达式为=9y x +．请根据点A 、C 坐标，求出直线AC 的表达式； (2)假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP 情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP 所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．）请依据以上方式，求出关于直线AC 的偏离方差值：2AC S =______；问题：你认为在选用直线AB 与直线AC 进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？请写出所选直线的表达式：______；根据此函数模型，预估该区第五年的GDP 约为______百亿元．38．（2024ꞏ上海奉贤ꞏ二模）如图，已知一次函数图像23y x =-与反比例函数图像ky x=交于点(2,)A m ．(1)求反比例函数的解析式；(2)已知点M 在点A 右侧的反比例函数图像上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，如果14AMN S =△，求点M 的坐标． 39．（23-24九年级下ꞏ上海崇明ꞏ期中）如图，正比例函数34y x =的图像与反比例函数(00)ky k x x=≠>，的图像相交于点(,3)A a ，点B 为直线OA 上位于点A 右侧的一点，且2OA AB =，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，交反比例函数的图像于点C ．(1)求反比例函数ky x=的解析式； (2)试判断ABC 的形状．40．（2024ꞏ上海青浦ꞏ二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x 辆，租车总费用为y 元．型号载客量（人/辆）租金（元/辆）甲 45 1500 乙331200(1)求y 与x 的函数解析式（不需要．．．写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？(3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 41．（2024ꞏ上海嘉定ꞏ二模）某企业在2022年1至3月的利润情况见表．月份数（x ）1 2 3利润数（y ）（万元） 96 ？ 100(1)如果这个企业在2022年1至3月的利润数y 是月份数x 的一次函数，求2月份的利润；(2)这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 42．（2024ꞏ上海长宁ꞏ二模）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动商店优惠方式甲所购商品按原价打八折乙所购商品按原价每满300元减80元设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x 元，请根据条件回答下列问题：(1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y 元，求y 关于x 的函数解析式（不必写出函数定义域）； (2)购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x 的值；(3)顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x 的取值范围．43．（2024ꞏ上海虹口ꞏ二模）如图，一次函数图像在反比例函数图像相交于点(),2A m 和点()2,4B -，与y 轴交于点C ．点()1,D n -在反比例函数图像上，过点D 作x 轴的垂线交一次函数图像于点E ．(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求CDE 的面积．44．（2024ꞏ上海闵行ꞏ二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征．时间x8时 11时 14时 17时 20时 1y 自西向东交通量（辆/分钟）10162228342y 自东向西交通量（辆/分钟）25 22 19 16 13(1)请用一次函数分别表示1y 与x 、2y 与x 之间的函数关系．（不写定义域）(2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为12v y y =+总，车流量大的方向交通量为m v ，经查阅资料得：当23m v v ≥总，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况，该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．参考答案一、单选题1．（2024ꞏ上海黄浦ꞏ二模）已知第二象限内点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为3，那么点P 的坐标是（）A ．()23-，B ．()32-，C ．()23-，D ．()32-，【答案】B【详细分析】本题考查点的坐标特点，根据第二象限内点的坐标特征和点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y 轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【过程详解】解：∵第二象限内点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为3，∴点P 的横坐标是3-，纵坐标是2， ∴点P 的坐标为()32-，．故选：B ．2．（2024ꞏ上海静安ꞏ二模）一次函数y kx b =+中，如果0,0k b <≥，那么该函数的图像一定不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【详细分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可．【过程详解】解：当一次函数y kx b =+中0k <，0b ≥，该函数的图象一定不经过第三象限，故选：C ．3．（2024ꞏ上海闵行ꞏ二模）下列函数中，y 的值随着x 的值增大而增大的函数是（） A ．1y x= B ．2y x =-+ C ．2y x =-D ．1y =-4．（2024ꞏ上海嘉定ꞏ二模）如果将抛物线2(1)y x =-向下平移2个单位，那么平移后抛物线与y 轴的交点坐标是（）A ．()1,0-B ．()0,1-C ．()2,0-D ．()3,0【答案】B【详细分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减、上加下减”的原则写出新抛物线解析式，然后令0x =，通过解解方程求解．【过程详解】解：把抛物线2(1)y x =-的图象向下平移2个单位，则平移后的抛物线的表达式为2(1)2y x =--，令0x =，则21(01)2y =--=-．所以所得抛物线与y 轴的交点的坐标为()0,1-．故选B ．5．（2024ꞏ上海虹口ꞏ二模）已知二次函数()24y x =--，如果函数值y 随自变量x 的增大而减小，那么x 的取值范围是（） A ．4x ≥B ．4x ≤C ．4x ≥-D ．4x ≤-【答案】A【详细分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数()24y x =--，可得()24y x =--函数图象开口向下，对称轴为4x =，函数值y 随自变量x 的增大而减小，则4x ≥，得以解答．【过程详解】解：二次函数()24y x =--， 10-< ，∴()24y x =--函数图象开口向下，对称轴为4x =， ∴4x ≥时，函数值y 随自变量x 的增大而减小，故选：A ．6．（2024ꞏ上海黄浦ꞏ二模）反比例函数1y x=的图像有下述特征：图像与x 轴没有公共点且与x 轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（）A ．自变量0x ≠且x 的值可以无限接近0B ．自变量0x ≠且函数值y 可以无限接近0C ．函数值0y ≠且x 的值可以无限接近0D ．函数值0y ≠且函数值y 可以无限接近0【答案】D【详细分析】本题考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的性质和题目条件，逐项详细分析判断即可【过程详解】解：A ．自变量0x ≠且x 的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意； B ．自变量0x ≠且函数值y 可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意； C ．函数值0y ≠且x 的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意； D ．函数值0y ≠且函数值y 可以无限接近0，与题目条件相符，正确，故该选项符合题意；故选：D ．7．（2024ꞏ上海青浦ꞏ二模）下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（） A ．5xy =B ．5xy =-C ．5y =D ．5y x=-8．（23-24九年级下ꞏ上海崇明ꞏ期中）下列函数中，如果0x >，y 的值随x 的值增大而减小，那么这个函数是（） A ．3y x = B ．3y x =-C ．23y x =--D ．221y x =-9．（23-24九年级下ꞏ上海宝山ꞏ期中）下列函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是（） A ．221y x =+ B ．221y x =-+ C ．1y x =+D ．1y x =-+【答案】D【详细分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项详细分析判断即可求解．【过程详解】解：A ．221y x =+，当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小；当0x >时，y 的值随x 值的增大而增大，故该选项不符合题意；B ．221y x =-+，当0x <时，y 的值随x 值的增大而增大；当0x >时，y 的值随x 值的增大而减小，故该选项不符合题意；C ．1y x =+，y 的值随x 值的增大而增大，故该选项不符合题意；D ．1y x =-+，y 的值随x 值的增大而减小，故该选项符合题意；故选：D ．10．（2024ꞏ上海普陀ꞏ二模）已知正比例函数y kx =(k 是常数，0k ≠)的图象经过点()2,6A ，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是( )A ．()1,3--B ．()1,3-C ．()6,2D ．()6,2- 【答案】A【详细分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由点A 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k 的值，进而可得出正比例函数解析式为3,y x =再分别代入各选项中点的横坐标，求出y 值，将其与纵坐标比较后即可得出结论．【过程详解】解：正比例函数(y kx k =是常数，0)k ≠的图象经过点()2,6A ，62k ∴=，解得：3k =，∴正比例函数解析式为3y x =；A ．当1x =-时，()313y =⨯-=-，∴点()1,3--在这个正比例函数图象上，选项A 符合题意；B ．当1x =时，313y =⨯=，33≠-，∴点()1,3-不在这个正比例函数图象上，选项B 不符合题意；C ．当6x =时，3618y =⨯=，182≠，∴点()6,2不在这个正比例函数图象上，选项C 不符合题意；D ．当6x =时，3618y =⨯=，182≠-，∴点()6,2-不在这个正比例函数图象上，选项D 不符合题意．故选：A ．11．（2024ꞏ上海奉贤ꞏ二模）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（）①函数图像经过点(1,1)-；②图像经过第二象限；③当0x >时，y 随x 的增大而增大．A ．y x =-B ．2y x =-C ．1y =-D ．21y x =-．12．（2024ꞏ上海长宁ꞏ二模）下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（）A ．22y x =B ．2y =-C ．2y x =-D ．21y x =+二、填空题13．（2024ꞏ上海长宁ꞏ二模）函数2()2f x x =-的定义域为．【答案】2x ≠【详细分析】本题考查了函数的定义域，熟练掌握概念是解题的关键．根据分母不为0，即可求解自变量的取值范围．【过程详解】解：由题意得，20x -≠，∴2x ≠，故答案为：2x ≠．14．（2024ꞏ上海浦东新ꞏ二模）沿着x 轴的正方向看，如果抛物线2(1)1y k x =-+在y 轴左侧的部分是上升的，那么k 的取值范围是．【答案】1k <【详细分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可．【过程详解】解：∵抛物线2(1)1y k x =-+在对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴10k -<，解得1k <．故答案为：1k <．15．（2024ꞏ上海青浦ꞏ二模）如果将抛物线21y x =+向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是．【答案】2=(3)+1y x -【详细分析】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解题的关键．根据函数图像平移的方法：左加右减，上加下减，即可得到答案．【过程详解】将抛物线21y x =+向右平移3个单位，所得新抛物线的表达式是2=(3)+1y x -．故答案为：2=(3)+1y x -．16．（2024ꞏ上海虹口ꞏ二模）将抛物线()221y x =-+先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为．【答案】()253y x =--【详细分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式．【过程详解】解：抛物线()221y x =-+先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为()22314y x =--+-，即()253y x =--．故答案为：()253y x =--．17．（2024ꞏ上海徐汇ꞏ二模）如果反比例函数4y =-的图像经过点(,2)A t t -，那么t 的值是．18．（2024ꞏ上海金山ꞏ二模）反比例函数的图像经过点(1,2)-，则这个反比例函数的解析式是．19．（2024ꞏ上海普陀ꞏ二模）已知直线24y x =+与直线1y =相交于点A ，那么点A 的横坐标是．20．（23-24九年级下ꞏ上海崇明ꞏ期中）已知()23f x x =+，那么()2f -= ．【答案】1-【详细分析】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式即可求解，看懂函数解析式是解题的关键．【过程详解】解：∵()23f x x =+，∴()()22231f -=⨯-+=-，故答案为：1-．21．（2024ꞏ上海徐汇ꞏ二模）如果二次函数2241y x x =-+的图像的一部分是上升的，那么x 的取值范围是．【答案】1x ≥【详细分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线开口向上，则当x 在对称轴右侧时，函数图像上升，所以求出函数的对称轴即可求解．【过程详解】解： ()22241211y x x x =-+=--，又抛物线开口向上， ∴当1x <时，y 随x 的增大而减小，图像下降；当1x ≥时，y 随x 的增大而增大，图像上升；二次函数2241y x x =-+的图像的一部分是上升的，∴1x ≥，故答案为：1x ≥．22．（2024ꞏ上海松江ꞏ二模）平移抛物线221y x x =++，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是．（只需写出一个符合条件的表达式）23．（2024ꞏ上海长宁ꞏ二模）如果二次函数2y x m =+的图象向右平移3个单位后经过原点，那么m 的值为．【答案】9-【详细分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的关键．求出函数图象向右平移3个单位后的函数解析式，再由函数图象过原点即可得出m 的值．【过程详解】解：二次函数2y x m =+的图象向右平移3个单位后的解析式为2(3)y x m =-+，二次函数2y x m =+的图象向右平移3个单位后经过原点，2(03)0m ∴-+=，解得9m =-．故答案为：9-．24．（2024ꞏ上海金山ꞏ二模）已知()1f x =，f = ．25．（2024ꞏ上海松江ꞏ二模）已知反比例函数(0k y k x=≠）的图像经过点(1,2)-，那么在每个象限内，y 随x 的增大而．（填“增大”或“减小”）26．（2024ꞏ上海黄浦ꞏ二模）将直线2y x =向上平移2个单位，所得直线与x 轴、y 轴所围成的三角形面积是．【答案】1【详细分析】根据函数图象“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案．本题考查了一次函数的几何变换，以及图象与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”．【过程详解】解：直线2y x =向上平移2个单位长度得到：22y x =+，令0y =，即220x +=，解得=1x -，令0x =，得2y =，27．（2024ꞏ上海松江ꞏ二模）一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度y （厘米）与所挂重物质量x （千克）是一次函数关系．又已知挂2千克重物时弹簧的长度为11厘米，挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千克重物时弹簧的长度为厘米．28．（2024ꞏ上海虹口ꞏ二模）一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为y （厘米），燃烧的时间为t （分钟），那么y 关于t 的函数解析式为（不写定义域）．【答案】300.3y t =-【详细分析】本题主要考查由实际问题列一次函数的解析式，解题的关键是理解题意．根据题意先求出蜡烛燃烧的速度为15500.3÷=（厘米/分），即可直接进行求解．【过程详解】解：由题意可得：蜡烛长30厘米，经过50分钟其长度恰为原长的一半，∴经过50分钟蜡烛燃烧的长度为15厘米，∴蜡烛燃烧的速度为15500.3÷=（厘米/分），蜡烛的长为蜡烛燃烧前长度减去燃烧的长度，300.3y t \=-，故答案为：300.3y t =-．29．（2024ꞏ上海静安ꞏ二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线1l 与直线2l 交于点()0,1C ，它们的夹角为90︒．直线1l 交x 负半轴于点A ，直线2l 与x 正半轴交于点()2,0B ，那么点A 的坐标是．30．（23-24九年级下ꞏ上海崇明ꞏ期中）新定义：我们把抛物线2y ax bx c =++，（其中0ab ≠）与抛物线2y bx ax c =++称为“关联抛物线”．例如：抛物线223y x x =++的“关联抛物线”为223y x x =++．已知抛物线21:694(0)C y ax ax a a =++->的“关联抛物线”为2C ，抛物线2C 的顶点为P ，且抛物2C 与x 轴相交于M 、N 两点，点P 关于x 轴的对称点为Q ，若四边形PMQN 是正方形，那么抛物线1C 的表达式为．∴ 4MH QH HN ===，∴ 8MN =，设抛物线2C ：2694(0)y ax ax a a =++->与x 轴交点(M 则1266b a x x a a +=-=-=-，129449c a x x a a a-===-， 221212124()4(6)4(9)MN x x x x x x a =-=+-=---=31．（2024ꞏ上海闵行ꞏ二模）已知二次函数的解析式为21y x bx =++，从数字0，1，2中随机选取一个数作为b 的值，得到的二次函数图像的顶点在坐标轴上的概率是．32．（2024ꞏ上海浦东新ꞏ二模）如图，点A 、C 在反比例函数1y x =-的图象上，点B 在反比例函数2y x=的图象上，且AB x ∥轴，BC y ∥轴，那么ABC 的面积等于．33．（2024ꞏ上海徐汇ꞏ二模）如图，点A 是函数8(0)y x x =-<图象上一点，连接OA 交函数1(0)y x x =-<图象于点B ，点C 是x 轴负半轴上一点，且AC AO =，连接BC ，那么ABC 的面积是．根据反比例函数比例系数的几何意义得：AD x ⊥ 轴，BE ⊥三、解答题34．（2024ꞏ上海金山ꞏ二模）如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额1y （元）和销售量x （千克）的关系如射线1l 所示，成本2y （元）和销售量x （千克）的关系如射线2l 所示．(1)当销售量为千克时，销售额和成本相等；(2)每千克草莓的销售价格是元；(3)如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？【答案】(1)20 (2)20(3)销售量为220千克，见过程详解【详细分析】本题考查了一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是一次函数表达式．（1）即图中两条射线交点所对应的x 值；（2）从图中发现销售20千克时，销售额为400元，即可求解；（3）依据利润=售价-成本，分别求出销售额1y ，成本2y 关于销售量x 的函数表达式，代入即可．【过程详解】（1）解：由图象可知当销售量为20千克时，销售额和成本相等，故答案为：20．（2）解：每千克草莓的销售价格为4002020÷=（元），故答案为：20．（3）解：设()()11122220,0y k x k y k x b k =≠=+≠，由题意得：120400k =，22220020400b k b =⎧⎨+=⎩，解得：2121020,200k k b =⎧=⎨=⎩ ， ∴1l 的解析式为120y x =，2l 的解析式为210200y x =+， ∵销售利润为2000元， ∴()20102002000x x -+=，解得220x =，∴如果销售利润为2000元，那么销售量为220千克．35．（23-24九年级下ꞏ上海宝山ꞏ期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与反比例函数ky x=的图像交于点()2,C m ．(1)求反比例函数的解析式；△的面积．(2)过点C作x轴的平行线l，如果点D在直线l上，且3CD=，求ABD36．（2024ꞏ上海黄浦ꞏ二模）网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零．(1)在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？(2)在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x 元的消费与实际总支付y 元间存在着依赖关系，当320375x <<时，写出y 关于x 的函数关系式；(3)广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由．【答案】(1)355(2)()32037520y x x <-<= (3)不是，理由见过程详解【详细分析】本题考查一次函数的应用，有理数混合运算的实际应用．（1）根据题意列式计算即可算得答案；（2）当320375x <<时，可使用4张代金券，故根据题意列出一次函数即可．（3）当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元，同理消费在75到80之间，团1张代金券都比不团要划算，即可得到理由．【过程详解】（1）解：根据题意有：()37548075355--=故在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了355元．（2）当320375x <<时，可使用4张代金券，故()4807520y x x =--=-()320375x <<．（3）如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”，理由如下∶当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元；同理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算；故如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”．37．（2024ꞏ上海静安ꞏ二模）某区连续几年的GDP （国民生产总值）情况，如下表所示：。

2024年上海黄浦区初三二模数学试卷和答案

上海黄浦区2024年九年级学业水平考试模拟考数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）2024年4月考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是（）A.提取公因式法B.公式法C.十字相乘法D.分组分解法2.已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，那么点P的坐标是（）23-， D.A.()23-，B.()32-，C.()()-，323.如图，一个3×5的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（）A.型号1B.型号2C.型号3D.型号44.对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是（）A.这组数据的平均数B.这组数据的中位数C.这组数据的众数D.这组数据的标准差5.反比例函数1y x=的图像有下述特征：图像与x 轴没有公共点且与x 轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（）A.自变量0x ≠且x 的值可以无限接近0B.自变量0x ≠且函数值y 可以无限接近0C.函数值0y ≠且x 的值可以无限接近0D.函数值0y ≠且函数值y 可以无限接近06.小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（）A.结论1、结论2都正确B.结论1正确、结论2不正确；C.结论1不正确、结论2正确D.结论1、结论2都不正确．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.100的平方根是_______________；8.计算：32()a -=____．9.方程x =的解是________．10.已知关于x 的方程210x mx +-=，判断该方程的根的情况是________．11.将直线2y x =向上平移2个单位，所得直线与x 轴、y 轴所围成的三角形面积是________．12.一副52张的扑克牌（无大、小王）被任意打乱后背面朝上放在桌上，小华先从中抽取1张，取得的是黑桃A ．然后小王从剩下的牌中再任意抽取1张，他恰好抽到A 的概率是________．13.小黄对学校提供午餐中的主食、荤菜、蔬菜和汤，开展了一次满意度调查．他利用中午休息时间，随机对学校中50名学生做了问卷调查，汇总数据如下表．如果学校共有1400名学生，那么全校对午餐中主食满意的学生约有________名．类别主食荤菜蔬菜汤满意人数16520814.现有一张矩形纸片，其周长为36厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为2厘米的正方形，然后沿虚线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的体积是48立方厘米，设原矩形纸片的长是x 厘米，那么可列出方程为________．15.如图，D 、E 分别是ABC 边AB 、AC 上点，满足2AD BD =，ADE ABC =∠∠．记BA a = ，BC b = ，那么向量BE =________（用向量a 、b 表示）．16.如图，正六边形MNPQRS 位于正方形ABCD 内，它们的中心重合于点O ，且MN BC ∥已知正方形ABCD 的边长为a ，正六边形MNPQRS 的边长为b ，那么点P 到边CD 的距离为________．（用a 、b 的代数式表示）17.如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形ABCD ，内部形成一个小正方形MNPQ ．如果正方形MNPQ 的面积是正方形ABCD 面积的一半，那么．ABM ∠的正切值是________．18.如图，D 是等边ABC 边BC 上点，23BD CD =∶∶，作AD 的垂线交AB 、AC 分别于点E 、F ，那么AE AF =∶________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：(011tan602024202432---+．20.解不等式组：250,412023x x x-≤⎧⎪--⎨+<⎪⎩21.如图，D 是ABC 边AB 上点，已知BCD A ∠=∠，5AD =，4BD =．（1）求边BC 的长；（2）如果ACD CBD ∽△△（点A 、C 、D 对应点C 、B 、D ），求ACB ∠的度数．22.网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零．（1）在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？（2）在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x 元的消费与实际总支付y 元间存在着依赖关系，当320375x <<时，写出y 关于x 的函数关系式；（3）广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由．23.如图，M 、N 分别是平行四边形ABCD 边AD 、BC 的中点，对角线BD 交AN 、CM 分别于点P 、Q ．（1）求证：13PQ BD =；（2）当四边形ANCM 是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形ABCD 的形状特征．24.问题：已知抛物线L ：22y x x =-，抛物线W 的顶点在抛物线L 上（非抛物线L 的顶点）且经过抛物线L 的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W 的表达式．（1）解这个问题的思路如下：先在抛物线L 上任取一点（非顶点），你所取的点是①；再将该点作为抛物线W 的顶点，可设抛物线W 的表达式是②；然后求出抛物线L的顶点是③；再将抛物线L 的顶点代入所设抛物线W 的表达式，求得其中待定系数的值为④；最后写出抛物线W 的表达式是⑤．（2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W ，请再写出一个抛物线W 的表达式．（3）如果问题中抛物线L 和W 在x 轴上所截得的线段长相等，求抛物线W 的表达式．25.已知：如图，ABC 是圆O 的内接三角形，AB AC =， AB 、 AC 的中点分别为M 、N ，MN 与AB 、OA 、AC 分别交于点P 、T 、Q ．（1）求证：OA MN ；（2）当ABC 是等边三角形时，求ATOT的值；（3）如果圆心O 到弦BC 、MN 的距离分别为7和15，求线段PQ 的长．黄浦区2024年九年级学业水平考试模拟考数学试卷含答案（满分150分，考试时间100分钟）2024年4月考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是（）A.提取公因式法B.公式法C.十字相乘法D.分组分解法【答案】A【解析】【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是提取公因式法．【详解】解：多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是提取公因式法．故选∶A．2.已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，那么点P的坐标是（）23-， D.A.()23-，B.()32-，C.()()32-，【答案】B【解析】【分析】本题考查点的坐标特点，根据第二象限内点的坐标特征和点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y 轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【详解】解：∵第二象限内点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为3，∴点P 的横坐标是3-，纵坐标是2，∴点P 的坐标为()32-，．故选：B ．3.如图，一个3×5的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L ”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（）A.型号1B.型号2C.型号3D.型号4【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是平移，旋转，理解平移与旋转现象在生活中的应用是解本题的关键．【详解】解：把型号4逆时针旋转90︒，再通过平移可把图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠；故选D4.对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是（）A.这组数据的平均数B.这组数据的中位数C.这组数据的众数D.这组数据的标准差【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了平均数，根据平均数是反映一组数据的平均水平的量即可解答．【详解】解：对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是这组数据的平均数，故选：A ．5.反比例函数1y x=的图像有下述特征：图像与x 轴没有公共点且与x 轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（）A.自变量0x ≠且x 的值可以无限接近0B.自变量0x ≠且函数值y 可以无限接近0C.函数值0y ≠且x 的值可以无限接近0D.函数值0y ≠且函数值y 可以无限接近0【答案】D 【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的性质和题目条件，逐项分析判断即可【详解】解：A ．自变量0x ≠且x 的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意；B ．自变量0x ≠且函数值y 可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意；C ．函数值0y ≠且x 的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意；D ．函数值0y ≠且函数值y 可以无限接近0，与题目条件相符，正确，故该选项符合题意；故选：D ．6.小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（）A.结论1、结论2都正确B.结论1正确、结论2不正确；C.结论1不正确、结论2正确D.结论1、结论2都不正确．【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误．【详解】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确；如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确；故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.100的平方根是_______________；【答案】10±【解析】【分析】根据平方根的性质计算，即可得到答案．【详解】100的平方根10010==±故答案为：10±．【点睛】本题考查了平方根的知识；解题的关键是熟练掌握平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．8.计算：32()a -=____．【答案】6a 【解析】【分析】根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘法则”处理．【详解】解：326()a a -=，故答案为：6a 【点睛】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键．9.方程2x x =+的解是________．【答案】2x =【解析】【分析】本题考查无理方程的求法，把方程两边平方求解，再检验即可得到答案．【详解】解：把方程两边平方得：22x x +=，整理得：()()210x x -+=，解得：2x =或=1x -，经检验，2x =是原方程的解．故答案为：2x =．10.已知关于x 的方程210x mx +-=，判断该方程的根的情况是________．【答案】有两个不相等的实数根【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，先计算()2241140m m ∆=-⨯⨯-=+>，再判断即可．【详解】解：∵210x mx +-=，∴()2241140m m ∆=-⨯⨯-=+>，∴该方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的实数根．11.将直线2y x =向上平移2个单位，所得直线与x 轴、y 轴所围成的三角形面积是________．【答案】1【解析】【分析】根据函数图象“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案．本题考查了一次函数的几何变换，以及图象与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”．【详解】解：直线2y x =向上平移2个单位长度得到：22y x =+，令0y =，即220x +=，解得=1x -，令0x =，得2y =，所以直线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为：(1,0)-与(0,2)，所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为1121 2⨯⨯=．故答案为：1．12.一副52张的扑克牌（无大、小王）被任意打乱后背面朝上放在桌上，小华先从中抽取1张，取得的是黑桃A．然后小王从剩下的牌中再任意抽取1张，他恰好抽到A的概率是________．【答案】3 51【解析】【分析】本题主要考查了根据概率公式求概率，由题意得剩下的牌有51上，其中牌A还有3张，根据概率公式即可求解．【详解】解：由题意得剩下的牌有51上，其中牌A还有3张，∴小王从剩下的牌中再任意抽取1张，他恰好抽到A的概率是3 51．故答案为：3 51．13.小黄对学校提供午餐中的主食、荤菜、蔬菜和汤，开展了一次满意度调查．他利用中午休息时间，随机对学校中50名学生做了问卷调查，汇总数据如下表．如果学校共有1400名学生，那么全校对午餐中主食满意的学生约有________名．类别主食荤菜蔬菜汤满意人数165208【答案】448【解析】【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用总体乘以对午餐中主食满意的学生占比即可求出答案．【详解】解：根据题意16 140044850⨯=（名）故答案为：448．14.现有一张矩形纸片，其周长为36厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为2厘米的正方形，然后沿虚线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的体积是48立方厘米，设原矩形纸片的长是x厘米，那么可列出方程为________．【答案】()()241448x x --=【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．设原矩形纸片的长是x cm ，表示长方体纸盒的长、宽、高，然后根据体积列出方程即可．【详解】解：设原矩形纸片的长是x cm ，则宽为18x -（）cm ，长方体纸盒的长为()4x -cm ，宽为14x -（）cm ，高为2cm ，由长方体体积是48立方厘米得：()()241448x x --=．故答案为：()()241448x x --=．15.如图，D 、E 分别是ABC 边AB 、AC 上点，满足2AD BD =，ADE ABC =∠∠．记BA a = ，BC b = ，那么向量BE = ________（用向量a 、b 表示）．【答案】1233a b + 【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定，相似三角形的判定以及性质，向量的知识．由ADE ABC =∠∠判定出DE BC ∥，由平行线的得出23AE AC =，再根据向量得知识即可得出BE ．【详解】解：∵ADE ABC =∠∠，∴DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽,∵2AD BD =，∴2AE EC =，∴23AE AC =，∴()22123333BE BA AE BA AC BA AB BC BC =+=+=++=+ ，∵BA a = ，BC b = ∴1233BE a b =+ ，故答案为：1233a b + ．16.如图，正六边形MNPQRS 位于正方形ABCD 内，它们的中心重合于点O ，且MN BC ∥已知正方形ABCD 的边长为a ，正六边形MNPQRS 的边长为b ，那么点P 到边CD 的距离为________．（用a 、b 的代数式表示）【答案】12a b -【解析】【分析】本题考查的是正多边形与圆，熟记正多边形的性质是解本题的关键，如图，连接OD ，ON ，OP 并延长与CD 交于点K ，由正多边形的性质结合MN BC ∥，可得12DK OK a ==，OP PN b ==，OK CD ⊥，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OD ，ON ，OP 并延长与CD 交于点K ，∵正六边形MNPQRS 位于正方形ABCD 内，它们的中心重合于点O ，且MN BC ∥，∴OPN 为等边三角形，OK CD ⊥，12DK CK a ==，45DOK ODK ∠=∠=︒，∴12DK OK a ==，OP PN b ==，∴12PK a b =-，故答案为：12a b -17.如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形ABCD ，内部形成一个小正方形MNPQ ．如果正方形MNPQ 的面积是正方形ABCD 面积的一半，那么．ABM ∠的正切值是________．【答案】23##32+【解析】【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理以及解直角三角形，设MB b =，AM a =，则tan 1a ABM b ∠=<，根据面积可列出()()22212b a a b -=+，整理得4a b b a +=，求得23a b =±【详解】解：设MB b =，AM a =，则tan 1a ABM b∠=<，∴222AB a b =+，MN b a =-，∵12MNPQ ABCD S S =正方形正方形，即()()22212b a a b -=+整理得：224a b ab +=，变形得：4a b b a +=，令a x b =，则1b a x =，∴原始14x x +=，解得，2x =，∴2a b =±，∴21a b =+>（舍去），∴tan 2a ABM b ∠==-18.如图，D 是等边ABC 边BC 上点，23BD CD =∶∶，作AD 的垂线交AB 、AC 分别于点E 、F ，那么AE AF =∶________．【答案】7:8##78【解析】【分析】如图，过D 作DG AD ⊥交AB 于G ，延长GD 交AC 于H ，过D 作DM AB ⊥于M ，作DN AC ⊥于N ，设2BD m =，则3CD m =，可得54AM m m m =-=，37522AN m m m =-=，AD ==，证明ADM AGD ∽，2191944m AG m m ==，同理可得387AH m =，证明AEF AGH ∽△△，可得=AE AF AG AH ，从而可得答案．【详解】解：如图，过D 作DG AD ⊥交AB 于G ，延长GD 交AC 于H ，过D 作DM AB ⊥于M ，作DNAC ⊥于N ，∵ABC 为等边三角形，23BD CD =∶∶，∴60B ACB ∠=∠=︒，30BDM CDN ∠=︒=∠，设2BD m =，则3CD m =，∴5AB AC m ==，BM m =，32CN m =，∴3DM m =，332DN m =，∴54AM m m m =-=，37522AN m m m =-=，2219AD AM DM m =+=，∵90AMD ADG ∠=︒=∠，MAD GAD ∠=∠，∴ADM AGD ∽，∴AD AMAG AD =，∴2191944m AG m m ==，同理：ADN AHD ∽，∴AD AN AH AD =，∴21938772m AH mm ==，∵EF AD ⊥，GH AD ⊥，∴EF GH ∥，∴AEF AGH ∽△△，∴=AE AF AG AH ，∴19743887m AE AGAF AH m ===；故答案为：7:8【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：(01tan602024--- ．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，化简绝对值以及二次根式的分母有理话，计算零次幂，最后再算加减法．【详解】解：(01tan602024---11=--+11=-+=20.解不等式组：250,412023x x x -≤⎧⎪--⎨+<⎪⎩【答案】5102x -<≤【解析】【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，分别解两个不等式，再根据“同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小无解了”取解集．【详解】解：250,412023x x x -≤⎧⎪⎨--+<⎪⎩①②解①得：52x ≤，解②得：10x >-，∴不等式组的解集为：5102x -<≤．21.如图，D 是ABC 边AB 上点，已知BCD A ∠=∠，5AD =，4BD =．（1）求边BC 的长；（2）如果ACD CBD ∽△△（点A 、C 、D 对应点C 、B 、D ），求ACB ∠的度数．【答案】（1）6（2）90︒【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，勾股定理的逆定理等知识点．（1）证明BCD BAC ∽△△，由相似的性质可得出BC BD BA BC =，然后计算出BA ，代入求值即可．（2）由ACD CBD ∽△△得出220CD =，由勾股定理的逆定理得出90CDB ∠=︒，进一步得出90CDA ∠=︒，90∠+∠=︒A DCA 由等量代换即可求出90DCA BCD ∠+∠=︒，即ACB ∠的度数．【小问1详解】解：∵BCD A ∠=∠，B B ∠=∠，∴BCD BAC ∽△△，∴BC BD BA BC=，∴2BC BA BD=⋅∵5AD =，4BD =，∴9BA AD BD =+=，∴29436BC BA BD =⋅=⨯=，∴6BC =．【小问2详解】∵ACD CBD ∽△△，∴CD AD BD CD=，∴220CD AD BD =⋅=，∵222046+=，即222CD BD BC +=∴BCD △是直角三角形，且90CDB ∠=︒，∴90CDA ∠=︒，∴90∠+∠=︒A DCA ，∵BCD A ∠=∠，∴90DCA BCD ∠+∠=︒，即90ACB ∠=︒．22.网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零．（1）在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？（2）在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x 元的消费与实际总支付y 元间存在着依赖关系，当320375x <<时，写出y 关于x 的函数关系式；（3）广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由．【答案】（1）355（2）()32037520y x x <-<=（3）不是，理由见详解【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，有理数混合运算的实际应用．（1）根据题意列式计算即可算得答案；（2）当320375x <<时，可使用4张代金券，故根据题意列出一次函数即可．（3）当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元，同理消费在75到80之间，团1张代金券都比不团要划算，即可得到理由．【小问1详解】解：根据题意有：()37548075355--=故在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了355元．【小问2详解】当320375x <<时，可使用4张代金券，故()4807520y x x =--=-()320375x <<．【小问3详解】如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”，理由如下∶当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元；同理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算；故如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”．23.如图，M 、N 分别是平行四边形ABCD 边AD 、BC 的中点，对角线BD 交AN 、CM 分别于点P 、Q ．（1）求证：13PQ BD =；（2）当四边形ANCM 是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形ABCD 的形状特征．【答案】（1）见详解（2）45,135,ABC BAC ∠=︒∠=︒BC =【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线所截线段成比例以及正方形的性质，（1）根据平行四边形的性质和中点得到AMCN 是平行四边形，有∥AN CM ，则有12BP BN BQ BC ==和12DQ DM DP AD ==，即可得到结论．（2）由正方形的性质得到AN NC =，90ANB ∠=︒，结合中点AN NB =，则有45,135,ABC BAC ∠=︒∠=︒22AN AB =，进一步可得BC =．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,BC AD BC AD =∥，∵M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∴AM NC =，11,22BN BC DM AD ==，∴四边形AMCN 是平行四边形，∴∥AN CM ，则12BP BN BQ BC ==，即BP PQ =，同理12DQ DM DP AD ==，即DQ PQ =，13PQ BD =．【小问2详解】如图，由（1）知，,BN NC =∵四边形ANCM 是正方形，∴AN NC =，90ANB ∠=︒，∴AN NB =，则45,135,ABC BAC ∠=︒∠=︒22AN AB =，即BC =．24.问题：已知抛物线L ：22y x x =-，抛物线W 的顶点在抛物线L 上（非抛物线L 的顶点）且经过抛物线L 的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W 的表达式．（1）解这个问题的思路如下：先在抛物线L 上任取一点（非顶点），你所取的点是①；再将该点作为抛物线W 的顶点，可设抛物线W 的表达式是②；然后求出抛物线L 的顶点是③；再将抛物线L 的顶点代入所设抛物线W 的表达式，求得其中待定系数的值为④；最后写出抛物线W 的表达式是⑤．（2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W ，请再写出一个抛物线W 的表达式．（3）如果问题中抛物线L 和W 在x 轴上所截得的线段长相等，求抛物线W 的表达式．【答案】（1）2y x =-（2）()22y x =--（3）()2211y x =-+或()2211y x =-++【解析】【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．（1）根据题目所给方法，给定顶点坐标为()0,0计算即可解题；（2）仿照（1）中的方法，给定坐标为()2,0计算即可解题；（3）抛物线W 的顶点坐标为()()2,21m m m m -≠，把抛物线L 的顶点是()1,1-代入求出a 的值，然后再根据抛物线L 和W 在x 轴上所截得的线段长相等得到抛物线M 过()1,0m +，代入得2120m m -+-=，求出m 值，即可得到解析式．【小问1详解】先在抛物线L 上任取一点（非顶点），你所取的点是()0,0；再将该点作为抛物线W 的顶点，可设抛物线W 的表达式是2y ax =；然后求出抛物线L 的顶点是()1,1-；再将抛物线L 的顶点代入所设抛物线W 的表达式，求得其中待定系数的值为1a =-；最后写出抛物线W 的表达式是2y x =-．【小问2详解】解：222(1)1y x x x =-=--，∴抛物线L 的顶点是()1,1-，取抛物线W 的顶点坐标为()2,0，设抛物线W 的解析式为()22y a x =-，把()1,1-代入得：1a =-，∴抛物线W 的解析式为()22y x =--；【小问3详解】解：令0y =，则220x x -=，解得：10x =，22x =，∴抛物线L 在x 轴上所截得的线段长为2，设抛物线W 的顶点坐标为()()2,21m m mm -≠，设解析式为()222y a x m m m =-+-，把()1,1-代入得：()22121a m m m -+-=-，整理得()()2110a m +-=，即1a =-，∴()222y x m m m =--+-，又∵抛物线L 和W 在x 轴上所截得的线段长相等，∴抛物线M 在x 轴上所截得的线段长为2，∴抛物线M 过()1,0m +，代入得2120m m -+-=，解得：1m =或1m =+，∴抛物线的解析式为()211y x =--+或()211y x =-++．25.已知：如图，ABC 是圆O 的内接三角形，AB AC =， AB 、AC 的中点分别为M 、N ，MN 与AB 、OA 、AC 分别交于点P 、T 、Q ．（1）求证：OA MN ⊥；（2）当ABC 是等边三角形时，求AT OT的值；（3）如果圆心O 到弦BC 、MN 的距离分别为7和15，求线段PQ 的长．【答案】（1）见详解（2）1（3）15301111【解析】【分析】（1）连接,OM ON ，由题意得 AM AN=，则点A 在MN 的中垂线上，结合圆的性质得点O 在MN 的中垂线上，则OA 垂直平分MN 即可；（2）连接,,OC ON AN ，由圆周角定理得120AOC ∠=︒，证得AON 是等边三角形，则有OA MN ⊥，可得AT OT =即可；（3）连接OM 交AB 于点G ，延长AO 交BC 于点H ，由（1）得OA MN ⊥，同理BA MO ⊥，且12AG AB =，结合cos OG OT AOG AO OM ∠==，设圆O 的半径为r ，利用cos AH AG BAH AB AO ∠==和22215AG r =-，整理得到()22215r AH r -=⋅，进一部分分当MN 与BC 位于元O 得两侧和当MN 与BC 位于元O 得同侧求解即可．【小问1详解】证明：连接,OM ON ，如图，由题意得 AM AN=，则点A 在MN 的中垂线上，∵OM ON =，∴点O 在MN 的中垂线上，则OA 垂直平分MN ，那么，OA MN ⊥；【小问2详解】连接,,OC ON AN ，如图，∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ∠=︒，∴120AOC ∠=︒，∵OA OC ON ==，点N 为 AC 的中点，∴60AON ∠=︒，∴AON 是等边三角形，∵OA MN ⊥，∴AT OT =，∴1AT OT =；【小问3详解】连接OM 交AB 于点G ，延长AO 交BC 于点H ，如图，由（1）得OA MN ⊥，同理BA MO ⊥，且12AG AB =，∵cos OGOTAOG AO OM ∠==，OA OM =，∴15OG OT ==，设圆O 的半径为r ，∵cos AH AG BAH AB AO∠==，2222215AG AO OG r =-=-，∴22AG AH AO =⋅，即()22215r AH r -=⋅，当MN 与BC 位于元O 得两侧时，则7AH r =+，()()222157r r r -=+⋅，解得25r =，18r =-（舍去），则32AH =，251510AT AO OT =-=-=，24BH ==，∵tan PT BH PAT AT AH ∠==，∴241510322BH PT AT AH =⋅=⨯=，则215PQ PT ==；当MN 与BC 位于元O 得同侧时，如图，则7AH r =-，()()222157r r r -=-⋅，解得18r =，25r =-（舍去），则11AH =，18153AT AO OT =-=-=，BH ==∵tan PT BH PAT AT AH ∠==，∴311BH PT AT AH =⋅==则2PQ PT ==故线段PQ 的长为15．【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆的性质和解直角三角形，第三问主要分情况讨论．。

2024年上海市杨浦区中考数学二模试卷及答案解析

2024年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列根式中，的同类二次根式是（）A．B．C．D．2．（4分）已知a＞b，下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．2﹣a＜2﹣b C．2a＜2b D．a﹣b＜0 3．（4分）如果k＜0，b＜0，那么一次函数y＝kx+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（4分）已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（）A．0B．2C．3D．55．（4分）下列命题中，真命题的是（）A．四条边相等的四边形是正方形B．四个内角相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直的矩形是正方形6．（4分）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转，点A、B分别落在点D、E处，如果点A、D、E在同一直线上，那么下列结论错误的是（）A．∠ADC＝60°B．∠ACD＝60°C．∠BCD＝∠ECD D．∠BAD＝∠BCE 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：6a3÷2a2＝．8．（4分）在实数范围内因式分解x2﹣3＝．9．（4分）函数的定义域是．10．（4分）如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是．11．（4分）布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是．12．（4分）若反比例函数的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是．13．（4分）根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程．14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的中点，CE与对角线BD相交于点F，设向量，向量，那么向量＝.（用含、的式子表示）15．（4分）近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影．已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份．据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的40%，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是元．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交边BC于点D，如果BD ＝4CD，那么tan B＝．17．（4分）如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是厘米．18．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝5，以AD为半径的圆A和以CD为半径的圆C相交于点D、E，如果点E到直线BC的距离不超过3，设AD的长度为m，则m的取值范围是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：（）﹣1+（）0﹣2+|1﹣|．20．（10分）解方程组：．21．（10分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝9，，点G是△ABC的重心，延长AG交边BC于点D，以G为圆心，GA为半径的圆分别交边AB、AC于点E、F．（1）求AG的长；（2）求BE的长．22．（10分）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6：00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象．根据图象提供的信息回答下列问题：（1）图中的a＝，b＝；（2）求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；（3）她们能否在中午12：30之前到达目的地？请说明理由．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BD＝BC，∠DBC的平分线交AD延长线于点E，交CD于点F．（1）求证：四边形BCED是菱形；（2）联结AC交BF于点G，如果AC⊥CE，求证：AB2＝AG•AC．24．（12分）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题；已知直线OA外有一点P，PA⊥OA，OA＝4，AP＝2，圆M是点P与直线OA的点切圆．（1）如果圆心M在线段OP上，那么圆M的半径长是（直接写出答案）．（2）如图2，以O为坐标原点、OA为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，点P在第一象限，设圆心M的坐标是（x，y）．①求y关于x的函数解析式；②点B是①中所求函数图象上的一点，联结BP并延长交此函数图象于另一点C．如果CP：BP＝1：4，求点B的坐标．25．（14分）已知以AB为直径的半圆O上有一点C，CD⊥OA，垂足为点D，点E是半径OC上一点（不与点O、C重合），作EF⊥OC交弧BC于点F，联结OF．（1）如图1，当FE的延长线经过点A时，求的值；（2）如图2，作FG⊥AB，垂足为点G，联结EG．①试判断EG与CD的大小关系，并证明你的结论；②当△EFG是等腰三角形，且，求的值．2024年上海市杨浦区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】将各式化为最简二次根式后判断被开方数是否相同即可．【解答】解：与不是同类二次根式，则A不符合题意；与不是同类二次根式，则B不符合题意；＝2，它与不是同类二次根式，则C符合题意；＝3，它与不是同类二次根式，则D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查同类二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】根据不等式的性质逐项判断即可．【解答】解：已知a＞b，两边同乘﹣1得﹣a＜﹣b，则A不符合题意；两边同乘﹣1，再同时加2得2﹣a＜2﹣b，则B符合题意；两边同乘2得2a＞2b，则C不符合题意；两边同时减b得a﹣b＞0，则D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．3．【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可．【解答】解：当一次函数k＜0，b＜0，经过第二三四象限，不经过第一象限，故选：A．【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．4．【分析】当总数个数是奇数的话，按从小到大的顺序，取中间的那个数就是这组数据的中位数．而一组数a，2，4，1，6的中位数是4，所以前3个数是1，2，4，那么剩下的两个就是a，6，这样就知道a与4的大小关系．【解答】解：根据题意，得a，2，4，1，6的中位数是4，所以前3个数是1，2，4，那么剩下的两个就是a，6，所以a可以是大于或大于4的任意一个数．故选：D．【点评】本题考查了中位数的意义．如果总数个数是奇数的话，按从小到大的顺序，取中间的那个数；如果总数个数是偶数个的话，按从小到大的顺序，取中间那两个数的平均数．5．【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【解答】解：A、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项命题错误，不符合题意；B、四个内角相等的四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项命题错误，不符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是是菱形，不一定是正方形，故本选项命题错误，不符合题意；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，命题正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．【分析】由旋转的性质可得△ABC≌△DEC，则CD＝CA，∠BAC＝∠EDC＝120°，得出∠ADC＝60°，进而得出△ADC是等边三角形，即可判断选项A，B，D结论正确．【解答】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转，点A、B分别落在点D、E处，∴△ABC≌△DEC，∴CD＝CA，∠BAC＝∠EDC＝120°，得∴∠ADC＝60°，故A正确；∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD＝60°，故B正确，∴∠DAC＝60°，∠BAE＝60°，∵∠BCE＝∠ACD＝60°，∴∠BAD＝∠BCE，故D正确；∵∠ECD＝∠BCA，BC不一定平分∠ACD，∴∠BCD不一定等于∠ECD，故选：C．【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的想知识解题关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．【分析】根据整式除法的运算法则计算即可．【解答】解：6a3÷2a2＝3a．故答案为：3a．【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握整式除法的运算法则是关键．8．【分析】根据平方差公式分解因式即可．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查了实数范围内分解因式，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．9．【分析】本题考查了函数式有意义的x的取值范围．一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．【解答】解：根据题意得到：x﹣1＞0，解得x＞1．故答案为：x＞1．【点评】判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．10．【分析】由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝36﹣4m≥0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4m＝36﹣4m≥0，解得：m≤9．故答案为：m≤9．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．11．【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：∵布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，其中4是合数，∴从布袋中随机抽一个小球，这个小球上的数字是合数的概率是，故答案为：．【点评】本题考查了概率公式以及合数，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．12．【分析】根据反比例函数的性质可得m﹣1＞0，再解不等式即可．【解答】解：∵图象在每一个象限中y随着x的增大而减小，∴m﹣1＞0，解得：m＞1，故答案为：m＞1．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．13．【分析】根据上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，列方程即可．【解答】解：根据题意得，4.32（1+x）2＝4.72，故答案为：4.32（1+x）2＝4.72．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．14．【分析】根据平面向量的平行四边形法则结合相似三角形对应边成比例即可求解．【解答】解：∵量，向量，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE∥BC，∴△DEF∽BCF，∴，∵E是边AD的中点，AD＝BC，∴，∴BF＝BD，∴，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正确得出BF＝BD是解题的关键．15．【分析】分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解．【解答】解：其中18元的占总份数的40÷160＝25%，其中20元的占总份数的1﹣40%﹣25%＝35%，15×40%+18×25%+20×35%＝17.5（元），即食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是17.5元．故答案为：17.5．【点评】本题考查了百分数的应用，解题的关键是求出相应的百分比．16．【分析】连接AD，根据垂直平分线的性质可知AD＝DB，根据勾股定理求出AC的值，即可求解tan B．【解答】解：连接AD，∵BD＝4CD，设CD＝x，则BD＝4x，BC＝5x，∵AB的垂直平分线交边BC于点D，∴AD＝DB＝4x，∴AC＝＝＝x，∴tan B＝＝，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，正确记忆相关知识点是解题关键．17．【分析】根据正方形和正八边形的性质以及勾股定理列方程求解即可》【解答】解：如图，设EF＝x厘米，则AE＝AQ＝＝（3﹣x）厘米，由勾股定理得，AQ2+AE2＝QE2，即（3﹣x）2+（3﹣x）2＝x2，解得x＝6﹣6，或x＝﹣6﹣6（舍去），即正八边形的边长为（6﹣6）厘米，故答案为：（6﹣6）．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正方形，正八边形的性质以及勾股定理是正确解答的关键．18．【分析】如图，当E在AB的左侧时，连接AC，AE，CE，过E作ER⊥BC于R，作ES ⊥AB于S，如图，当E在AB的右侧时，连接AC，AE，CE，过E作EH⊥BC于H，交AD于Q，再分别求解m的值，从而得到答案．【解答】解：如图，当E在AB的左侧时，连接AC，AE，CE，过E作ER⊥BC于R，作ES⊥AB于S，∵已知矩形ABCD，AB＝5，AD＝m，∴四边形ERBS为矩形，AD＝CB＝m，AB＝CD＝5，∵ES＝BR，ER＝BS＝3，∴AS＝5﹣3＝2，∵A，C为圆心，∴AC是DE的垂直平分线，∴AD＝AE＝m，CD＝CE＝5，∵ER＝3，∴CR＝＝4，∴ES＝BR＝4﹣m，在Rt△AES中，m2＝（4﹣m）2+22，解得：m＝，如图，当E在AB的右侧时，连接AC，AE，CE，过E作EH⊥BC于H，交AD于Q，∵已知矩形ABCD，AB＝5，AD＝m，∴AD＝CB＝m，AB＝CD＝5，四边形CDQH为矩形，∴QH＝CD＝5，同理可得：AD＝AE＝m，CD＝CE＝5，∵EH＝3，∴QD＝CH＝＝4，∴AQ＝m﹣4，∵EQ＝5+3＝8在Rt△AEQ中，m2＝（m﹣4）2+82，∴m＝10，综上所述：点E到直线BC的距离不超过3，则≤m≤10；故答案为：≤m≤10．【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理的应用，两圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等，确定临界点是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】根据实数的运算和指数幂运算法则计算即可．【解答】解：原式＝+1﹣+﹣1＝﹣2＝．【点评】本题考查的是实数的运算和指数幂，熟练掌握其运算法则是解题的关键．20．【分析】先化简组中的第二个方程，得两个二元一次方程与组中的第一个方程得新方程组，求解即可．【解答】解：，由②，得（x﹣2y）2＝4，∴x﹣2y＝±2．当x+2y＝12，x﹣2y＝2时，x＝7，y＝2.5；当x+2y＝12，x﹣2y＝﹣2时，x＝5，y＝3.5．∴原方程组的解为或．【点评】本题考查了二元二次方程组，把组中的二元二次方程化为一元一次方程，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．21．【分析】（1）由重心的性质得到D是BC中点，AG＝AD，由锐角的余弦求出BD＝3，由勾股定理求出AD＝＝6，得到AG＝×6＝4；（2）连接EG，过G作GH⊥AE于H，由等腰三角形的性质得到AE＝2AH，由锐角的余弦求出AH的长，即可得到AE的长，即可得到BE的长．【解答】解：（1）∵G是△ABC的重心，∴D是BC中点，AG＝AD，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∵cos B＝＝，AB＝9，∴BD＝3，∴AD＝＝6，∴AG＝×6＝4；（2）连接EG，过G作GH⊥AE于H，∵GA＝GE，∴AE＝2AH，∵∠AHG＝∠ADB＝90°，∠GAH＝∠BAD，∴∠AGH＝∠B，∴cos∠AGH＝cos B＝，∴＝，∵AG＝4，∴GH＝，∴AH＝＝，∴AE＝2AH＝，∴BE＝9﹣＝．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的重心，关键是由重心的性质得到AG＝AD，由锐角的余弦求出GH的长．22．【分析】（1）根据图象求出a的值，根据“离目的地的路程＝家与目的地之间的距离﹣行驶的路程”可计算b的数值；（2）利用待定系数法求解即可；（3）当y＝0时求出对应x的值，计算出到达目的地的时间，从而作出判断即可．【解答】解：（1）a＝2+1＝3，b＝480﹣80×2＝320，故答案为：3，320．（2）设提速后y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．将坐标（3，320）和（5，120）代入y＝kx+b，得，解得，∴提速后y关于x的函数解析式为y＝﹣100x+620．（3）能．理由如下：当她们到达目的地时，y＝0，得﹣100x+620＝0，解得x＝6.2，6.2小时＝6时12分，∴她们于12：12分到达目的地．【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数的解析式是本题的关键．23．【分析】（1）根据角平分线定义可得∠DBF＝∠CBF，根据平行线的性质可得∠CBF＝∠DEF，等量代换可得∠DBF＝∠DEF，于是BD＝DE，又因为BC∥DE，所以四边形BCED是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；（2）如图，设BD与AC交于点H，根据等腰梯形的性质可得∠ABC＝∠DCB，根据BD＝BC，可得∠BCD＝∠BDC，根据菱形的性质和垂直的定义可得∠DFG＝90°，∠DHG＝90°，根据四边形的内角和为360°，可得∠BDC+∠HGF＝180°，又因为∠BGA+∠HGF＝180°，可得∠BGA＝∠BDC，于是∠ABC＝∠BGA，再根据∠BAC＝∠GAB即可得到△ABC ∽△AGB，利用相似三角形对应边的比相等即可得证．【解答】证明：（1）∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠CBF，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠DEF，∴∠DBF＝∠DEF，∴BD＝DE，∵BC∥DE，∴四边形BCED是平行四边形，∵BD＝BC，∴平行四边形BCED是菱形；（2）如图，连接AC，交BD于点H，交BE于点G，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB，∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC，∴∠ABC＝∠BDC，∵四边形BCED是菱形，∴BE⊥CD，BD∥CE，∴∠DFG＝90°，∵AC⊥CE，∴AC⊥BD，∴∠DHG＝90°，∵∠BDC+∠HGF+∠DHG+∠DFG＝360°，∴∠BDC+∠HGF＝180°，∴∠BGA+∠HGF＝180°，∴∠BGA＝∠BDC，∴∠ABC＝∠BGA，∵∠BAC＝∠GAB，∴△ABC∽△AGB，∴，∴AB2＝AG•AC．【点评】本题考查了等腰梯形性质、等腰三角形的判定和性质、菱形的判定和性质定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．24．【分析】（1）作MB⊥x轴于点B，则MB＝MP＝r，可证得△OBM∽△OAP，从而，从而，从而求得r；（2）①根据圆心M到P的距离等于点P到x轴的距离得出（x﹣4）2+（y﹣2）2＝y2，化简得出结果；②设点B（m，n），C（a，b），从而得出n＝①，接PA，作BD⊥x轴，作CE⊥PA，交BD于D，可证得△CEP∽△CDB，从而，即，从而得出a＝，b＝，代入解析式得出＝（）2+1②，由①②得出m，n，进而得出结果．【解答】解：如图1，作MB⊥x轴于点B，则MB＝MP＝r，∵PA⊥x轴，∴MB∥PA，∴△OBM∽△OAP，∴，∴，∴r＝，故答案为：；（2）①由题意得，圆心M到P的距离等于点P到x轴的距离，∴（x﹣4）2+（y﹣2）2＝y2，∴y＝；②如图2，设点B（m，n），C（a，b），∴n＝①，连接PA，作BD⊥x轴，作CE⊥PA，交BD于D，∴PA∥BD，∴△CEP∽△CDB，∴，∴，∴a＝，b＝，∴＝（）2+1②，由①②得，，，∴B（8，5）或（0，5）．【点评】本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．25．【分析】（1）利用垂径定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；（2）①延长FE交⊙O于点M，延长FG交⊙O于点N，延长CD交⊙O于点H，连接MN，OH，ON，OM，利用垂径定理，三角形的中位线定理得到EG＝MN，利用垂径定理得到CD＝DH＝CH，再利用四边形的内角和定理和邻补角的性质得到∠AOC＝∠EFG，再利用相等的圆心角所对的弧相等的性质，等弧对等弦的性质得到CH＝MN，则结论可得；②利用分类讨论的方法分三种情况解答：Ⅰ．当EF＝EG时，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可；Ⅱ．当FG＝EF时，过点E作EH⊥AB于点H，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可；Ⅲ．当FG＝EG时，则FG＝4k，连接FC，利用矩形的判定与性质和勾股定理解答即可．【解答】解：（1）当FE的延长线经过点A时，∵EF⊥OC，∴AE＝FE＝AF，∠A+∠AOE＝90°．∵CD⊥OA，∴∠C+∠AOE＝90°，∴∠A＝∠C．在△AOE和△COD中，，∴△AOE≌△COD（ASA），∴AE＝CD，∴CD＝AF，∴；（2）①EG与CD的大小关系为：EG＝CD．理由：延长FE交⊙O于点M，延长FG交⊙O于点N，延长CD交⊙O于点H，连接MN，OH，ON，OM，如图，∵OE⊥FM，∴EF＝EM．∵AB为直径，FG⊥AB，∴FG＝GN．∴EG为△FMN的中位线，∴EG＝MN．∵AB为直径，CD⊥OA，∴CD＝DH＝CH．∵OC＝OH，OA⊥CH，∴∠COH＝2∠COD．∵∠FEO＝∠FGO＝90°，∴∠EFG+∠EOG＝180°．∵∠AOC+∠EOG＝180°，∴∠AOC＝∠EFG，∴∠COH＝2∠EFG．∵∠MON＝2∠EFG，∴∠MON＝∠COH，∴．∴CH＝MN，∴EG＝CD；②∵，sin∠COD＝，∴设CD＝4k，则OC＝5k，∴OD＝＝3k．Ⅰ．当EF＝EG时，由（2）①知：EG＝CD＝4k，∴EF＝4k，OF＝OC＝5k，∵EF⊥OC，∴OE＝＝3k．∴OE＝OD，∴＝1；Ⅱ．当FG＝EF时，过点E作EH⊥AB于点H，如图，在Rt△FEO和Rt△FGO中，，∴Rt△FEO≌Rt△FGO（HL），∴OE＝OG，设OE＝OG＝m，∵，∴，∴EH＝m，∴OH＝m，∴HG＝m．∵EH2+GH2＝EG2，∴，∴m＝k，∴OE＝k．Ⅲ．当FG＝EG时，则FG＝4k，连接FC，如图，∵CD＝FG＝4k，CD⊥AB，FG⊥AB，∴四边形CDGF为矩形，∴CF＝DG．在Rt△CDO和Rt△FGO中，，∴Rt△CDO≌Rt△FGO（HL），∴OD＝OG＝3k，∴FC＝DG＝6k，设OE＝x，则CE＝OC﹣OE＝5k﹣x，∵EF2＝CF2﹣CE2，EF2＝OF2﹣OE2，∴（6k）2﹣（5k﹣x）2＝（5k）2﹣x2，∴x＝k，∴OE＝k．∴＝．综上，当△EFG是等腰三角形，且，的值为1或或．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，添加适当的辅助线和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键。

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动点之角度
(2015 二模崇明)24．（本题满分12分，每小题各6分）
如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）已知点M 在y 轴上，OMB OAB ACB ∠+∠=∠，求点M 的坐标．
(2015 二模奉贤)24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）
已知：在平面直角坐标系中，抛物线x ax y +=2
的对称轴为直线x =2，顶点为A ．（1）求抛物线的表达式及顶点A 的坐标；（2）点P 为抛物线对称轴上一点，联结OA 、OP ．
①当OA ⊥OP 时，求OP 的长；
②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ，联结OB ，当∠OAP =∠OBP 时，求点B 的坐标．
（第24题图）
（备用图）
x
y
O (2015 二模杨浦)24．(本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分，)
已知：在直角坐标系中，直线y =x +1与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，抛物线
21
()2
y x m n =-+的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C 。

（1）若点C （非顶点）与点B 重合，求抛物线的表达式；
（2）若抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且CD ⊥AB ，求∠CAD 的正切值；（3）在第（2）的条件下，在∠ACD 的内部作射线CP 交抛物线的对称轴于点P ，使得∠DCP =∠CAD ，求点P 的坐标。

动点之相似
(2015 二模宝山嘉定) 24．（本题满分12分，每小题满分各4分）
已知平面直角坐标系xOy （图9），双曲线)0(≠=
k x
k
y 与直线2+=x y 都经过点),2(m A ．
（1）求k 与m 的值；
（2）此双曲线又经过点)2,(n B ，过点B 的直线BC 与直线2+=x y 平行交y 轴于点C ，联结AB 、AC ，求△ABC 的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线2+=x y 与y 轴交于点D ，在射线CB 上有一点E ，如果以点A 、C 、E 所组成的三角形与△ACD 相似，且相似比不为1，求点E 的坐标．（第24题图）图9
(2015 二模金山)24．（本题满分12分）
已知抛物线)0(82
≠-+=a bx ax y 经过)0,2(-A ，)0,4(B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线)0(82≠-+=a bx ax y 的解析式，并求出顶点P 的坐标；（2）求APB ∠的正弦值；
（3）直线2+=kx y 与y 轴交于点N ，与直线AC 的交点为M ，当MN C ∆与AOC ∆相似时，求点M 的坐标．
动点之面积
(2015 二模黄浦)24. （本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）
如图7，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为（a ，3）（其中a >4)，射线OA 与反比例函数12y x =
的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12
y x
=的图像上，且AB //x 轴，AC //y 轴．
O
x
y
(2015 二模静安青浦)24．（本题满分12分，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分4分）
如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线c ax ax y +-=22与x 轴的正半轴相交于点A 、与y 轴的正半轴相交于点B ，它的对称轴与x 轴相交于点C ，且∠OBC =∠OAB ，AC =3．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果点D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，
且2:3:=∆∆AFG ADG S S ，求点D
(2015 二模长宁)24．（本题满分12分）
如图，已知抛物线
222
2
-+-=t tx x y 的顶点A 在第四象限，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，
C 是线段AB 上一点(不与A 、B 重合)，过点C 作C
D ⊥x 轴于点D ，并交抛物线于点P . （1）若点C 的横坐标为1，且是线段AB 的中点，求点P 的坐标；
（2）若直线AP 交y 轴负半轴于点E ，且AC =CP ，求四边形OEPD 的面积S 关于t 的函数解析
式，并写出定义域；
（3）在（2）的条件下，当△ADE 的面积等于2S 时，求t 的值.
（第24题图）
动点之直角、等腰三角形存在性
(2015 二模普陀) 如图10，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图像经过点
()1,0A -，()4,0B ，()0,2C ．点D 是点C 关于原点的对称点，联结BD ，点E 是x 轴
上的一个动点，设点E 的坐标为(m , 0)，过点E 作x 轴的垂线l 交抛物线于点P ．（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点E 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点Q ．当四边形CDQP 是平行四边形时，求m 的值；
（3）是否存在点P ，使△BDP 是不以BD 为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
(2015 二模松江)24．（本题满分12分，每小题各4分）
如图，二次函数bx x y +-=2
的图像与x 轴的正半轴交于点A （4，0），过A 点的直线与
y 轴的正半轴交于点B ，与二次函数的图像交于另一点C ，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H ．设
二次函数图像的顶点为D ，其对称轴与直线AB 及x 轴分别交于点E 和点F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果CE =3BC ，求点B 的坐标；
（3）如果△DHE 是以DH 为底边的等腰三角形，求点E 的坐标．
图10备用
图
x
动点之梯形
(2015 二模徐汇)24．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，开口向上的抛物线与x 轴交于点A （－1，0）和点B （3，0），D 为抛物线的顶点，直线AC 与抛物线交于点C （5，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E 在x 轴上，且AEC ∆和AED ∆相似，求点E 的坐标；
（3）若直角坐标平面中的点F 和点A 、C 、D 构成直角梯形，且面积为16，试求点F 的坐标．
其他
(2015 二模闵行)24．（本题满分12分，其中每小题各4分）
如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y ax ax =--与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点A 的坐标为（-3，0）．点D 在线段AB 上，AD = AC ．（1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB 为半径的圆D 与圆C 外切，求圆C 的半径；（3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上．如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求BN CN
的值．
（第24题图）
(2015 二模浦东)24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）已知：如图，直线y =kx +2与x 轴的正半轴相交于点A （t ,0）、与y 轴相交于点B ，抛物线c bx x y ++-=2经过点A 和点B ，点C 在第三象限内，且AC ⊥AB ，tan ∠ACB =2
1．（1）当t =1时，求抛物线的表达式；
（2）试用含t 的代数式表示点C 的坐标；
（3）如果点C 在这条抛物线的对称轴上，求t 的值．
（第24题图）。