计算机图形学课件：第9讲-5-1二维坐标变换

变换前：(x, y, z)；变换后 : (x', y', z' )
x' a11x a12 y a13z a14
y'
z
'
a21x a31x
a22 y a23z a24 a32 y a33z a34
1 0x 0 y 0z 1
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Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学
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Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学
本章内容
如何使用户坐标系下定义的图形在屏幕上显示出来
二维几何变换 二维观察流程 三维几何变换 投影变换 三维显示流程
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逆变换：
T 1
1 0
0 1
tx
t
y
0 0 1
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旋转变换（1）
二维旋转是将物体沿平面内的圆弧路径重 定位。 旋转变换效果演示
•需要指定旋转角和旋转基准点的位置：
•旋转角的正值定义基准点逆时针旋转 •负值则以顺时针方向旋转物体 •默认情况下以坐标原点为旋转基准点
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几何变换基础：齐次坐标
(homogeneous coordinate)
(x, y) (hx, hy, h) (x, y, z) (hx, hy, hz, h)
通常令h 1
h0 h0
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y
'
1 0
0 1
1 0 0
称 T 为平移矩阵。
t t
x y
.
x y
~
T
P
1 1
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平移变换（3）
图形的平移：刚体变换
物体上各点做同样的平移操作
图形关键点的平移及图形重定义
第五章 图形变换及显示
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为什么要进行图形变换
光栅图形
工程师绘图
工程师甲 工程师乙
？
图形定义空间: 屏幕
？
？的解决： 图形变换
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第一节 二维几何变换
平移变换 旋转变换 缩放变换 反射变换 错切变换 复合变换 坐标系变换 变换的光栅方法
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变换的表示:变换矩阵
x' y'
c11x c21x
c12 y c22 y
x' x tx
y
'
y
ty
其中(tx , ty )T 称为平移向量
该式可写成向量形式：
x' y'
x y
tx t y
平移变换效果演示
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平移变换（2）
采用齐次坐标方式描述为：
P'
x'
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绕任意基准点的旋转变换（3）
设基准点为：(x0, y0 )，则变换可复合实现
矩阵表示
引入齐次坐标后
x' a11 a12 a13 a14 x
y'
a21
a22
a23
a24
y
z' 1
aaHale Waihona Puke Baidu411
a32 a42
a33 a43
a34 a44
z 1
[0 0 0 1]
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续:
W
P
x
y
例:在XYW 齐次坐标空间中,点 P( X, Y, W ) 在 W = 1 平面上 的投影是(X, Y)
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3D变换的代数表示
说明：变换的两种实现方式
图形固定，坐标系变换
坐标系固定，图形变换 在固定坐标系下对点集的变换，等价于对该坐标系进行相应的逆变换
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续
证明： 假设固定坐标系下进行的变换表示为矩阵T1，变换前后的点集记为A，B. 则 B=AT1,. 若图形固定不变，则变换前后需采用不同的基底（分记为X和X’）表示图形 即BX’=AX, 因此， X’=T1-1X
c13 c23
旋转、比 例、错切
平移
x'
y
'
c11 c21
c12 c22
1 0 0
投影
c13 x
c23
y
1 1
整体比例
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平移变换（1）
平移指将物体沿直线路径从一个坐标位置移到 另一个坐标位置的重定位，即
坐标变换的作用
例：
y kxb
xc
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坐标变换
若{1,2，,n}与{1，2，, n}是n维
线性空间V的两组基,它们的关系是： (1, 2,, n ) (1,2,,n )A，称其为V的基变换。 称A为由基{1,2,,n}到{1, 2,, n}的过渡矩阵。 设V中向量关于这两组基的坐标分别是(x1, x2,, xn ) 及( y1, y2 ,, yn )，则：( y1, y2 ,, yn ) (x1, x2 ,, xn )(A1)T 称其为相应于上述基变换的坐标变换。
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绕坐标原点的旋转变换（2）
使用齐次坐标表示为：P' R( ) P
其中： R( )
cos sin
sin cos
0 0
0
0 1
R 称为旋转变换矩阵
逆变换: R( )
(x', y') (x, y)