希尔伯特黄变换

（1）由IMF分量的一系列瞬时频率 (k=0,1,2,…,n)，
可以充分反映出 u(t) 的瞬时频率特征。
（2）基于IMF分量的展开，可以得到一个可变幅度与 可变频率的信号描述方法，从而打破固定幅度与固定 频率的傅里叶级数展开的限制。
（3）与传统信号分解算法相比，最大的优点是其自适 应性。EMD 方法将信号分解为若干个IMF 以及一个余 项的和，各IMF 代表了原信号的合乎物理特征的时频 结构，且IMF 是在分解过程中根据原信号的固有属性 自适应地产生，而非在分解之前预先指定，EMD 方法 不但在时间和频率具有局部自适应性，作为表示的基 的IMFs 的结构也是自适应的。
[5]罗奇峰, 石春香. Hilbert—Huang 变换理论及其计算 中的问题[J]. 同济大学学报: 自然科学版, 2003, 31(6): 637-640.
EMD优缺点
EMD优点 EMD存在的问题
EMD算法改进 模态混叠 基本模式分量筛分停止条件 端点效应
EMD的优点
EMD有以下优点：
k
当物体以角速度沿半径作绕原点的圆周运动时， 其在直径上投影P的运动是一简谐运动：
s t =a0 cos t =a0 cost
而实际中，物体绕原点运动的半径往往不为 常数，运动的角速度也不均匀，则投影P的表达 式变为：
s t =a tcos t
其瞬时频率为： f t = t 1 d t
狭义平稳：随机过程的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起 点无关。 对任意正整数n和任意实数τ， n维概率密度函数满足：
f n x1 , x2 , xn ;t1 , t2 ,tn f n x1 , xn ;t1 , t2 ,tn
平稳过程的统计特性不随时间的推移而不同。
广义平稳随机过程：信号的均值与方差均与时间无关；自相关 函数只与时间间隔有关。
[4]胡劲松.面向旋转机械故障诊断的经验模态分解时频 分析方法及实验研究[博士学位论文].杭州：浙江大学， 2003.
[5]鈡佑明，秦树人，汤宝平.一种振动信号新变换法的 研究.振动工程学报，2002,15（2）：231~238.
二、模态混叠
模式混叠是指一个IMF（Intrinsic Mode Function）中包含差异极大的 特征时间尺度，或者相近的特征时间尺 度分布在不同的IMF中，导致相邻的2 个IMF波形混叠，相互影响，难以辨认。
本征模态函数IMF
• 本征模态函数的定义 • 本征模态函数的数学模型
一、可实现系统的网络函数与希尔伯特变换
可实现系统是因果系统，其冲激响应为：
h t h t u t 即: h t 0 t 0
其傅里叶变换，即频率响应为：
H ( ) H e j R jX ( )
那么，其瞬时频率为：
f t= t
1
d t
2 2 dt
三、本征模态函数IMF
Hilbert变换处理实信号有局限性。
对于如下二分量信号：
x t x1 t x2 t =A1e j1t A2e j2t
式中A1和A2恒定，而w1和w2都为正。
当w1=10，w2=20时， 分别取A1=0.2，A2=1和A1=-1.2, A2=1时， 接着对x(t)作Hilbert变换，就能得到两 个条件下，x(t)的瞬时频率-时间图。
SD 0.3 否
是
ci t hj t
rit ri1tcit
ri t 是否单调或常量？
否
是
结束
[5]
[3]
时频谱和边际谱[4] 上式给出了各幅度和频率的时间函数。
参考文献
[1]钟佑明, 秦树人. Hibert—Huang 变换中的理论研究 [J]. 振动与冲击, 2002, 21(4): 13-17.
此例说明，单分量信号进行Hilbert变换才能得 到有意义的频率。
有信号u1(t)和u2 (t)，其表达式为：
u1 t = cos 0t u2 t =c cos 0t
很明显， u1(t)和u2 (t)的瞬时频率皆为常量w0。 当c=0.5，w0=1时，对其作Hilbert变换。
此例说明，一个余弦信号，只有限制它局部对称 于零均值时，进行Hilbert变换才能得到有意义的 频率。
Huang提出了筛法过程的两种终止准则: 第一种是仿柯西收敛准则,即
当SD界于0.2一0.3之间时,筛选过程终止。 第二种是只要波形的极值点和过零点的数目相等时筛选过程 就终止的简单准则。（不满足对称性）
过程停止的条件还可以描述成：
（1）本征模态函数分量cn或余量rn变得比规定
的预定值小时；
（2）rn变成单调函数，从中再不能处理得出本
同理
x t -xˆ t h t
V
2
X
，
0
0 , 0
Hilbert变换
xˆ (t)
1
x
t
d
则可构成解析信号： v t x t jxˆ t =a t e j t
其中： a t x 2 t xˆ 2 t 1/2
t = arctan xˆ t / x t
由傅里叶变换的频率卷积定理，有：
H
1
2
H
1
j
那么
R ( ) jX
1
2
R
jX
1
j
1
2
R
X
1
j 2
X
R
1
R
jX
1
2
R
1
2
X
d
j
X
2
1
2
R
d
根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得
R( )
1
X
d
X
1
R
dLeabharlann Hilbert变换对因果系统系统函数 H ( ) 的实部与
2
在许多实际应用中，信号大多是非平稳的，其统计量（如均 值、相关函数、功率谱等）是时变的，这时采用传统的Fourier变 换并不能反映信号频谱随时间变化的情况，需引入新的处理信号 的数学工具，时频表示和时频分析是源于考虑信号的局部特性而 引入的。
例：Chirp信号（频率成分正比于时间变化的信号）
非平稳随机信号： 均值、方差及自相关函数等特征及频谱随时间变化。
3、时频分析方法
分析与处理平稳信号最常用的数学工具是Fourier分析。它建 立了信号从时域到频域变换的桥梁。它表征了信号从时域到频域 的一种整体（全局）变换。
X () x(t) e jtdt
x(t) 1 X ( )e jtd
虚部满足希尔伯特变换约束关系。 其实部与虚部不是相互独立的，实部
可以由虚部唯一的确定，反之亦然。
二、Hilbert变换
假设一个时间复信号： v t x t jxˆ t
根据时频对偶原理，存在一个变换对：
xˆ (t)
1
x t
d
x
t
1
xˆ t
d
V X jXˆ 0 ， 0
一、EMD算法改进
Hilbert-Huang变换的核心：EMD EMD分解的结果直接影响后续的信号
分析结果。由于EMD在计算信号的极 值包络线时，两次使用了三次样条插值 算法，该算法带来的问题是包络线的过 冲和欠冲。
具体改进方法
改进方法： 1、求取信号均值包络线的方法 余泊提出了基于信号局部特征的自适应时变滤波分解方法； 盖强等提出了极值域均值模式分解法，使用了局部信号中的所 有数据，因而可以得到正确的局部均值； Chen等提出了直接采用基于极值点滑动平均的B样条函数的 线性组合作为均值的方法。 2、从提高样条插值的拟合精度方法 胡劲松提出了基于高次样条插值的EMD算法,提高算法精度； 鈡佑明等提出了基于分段幂函数法插值的EMD算法，提高拟 合曲线的柔性。
Hilbert-Huang变换
主讲人：第一大组 组 员：
Hilbert,David (1862～1943) 德国著名数学家
黄锷 中国台湾海洋学家 2000年当选美国国家工程学院院士
一、基本概念引入
1、信号的分类
信号
确定性信号
非确定性信号
周期信号
简单周期信号 复杂周期信号
非周期信号 平稳随机信号
V X jXˆ
由傅里叶变换的共轭对称性，可知：
X = X * - ， Xˆ = Xˆ * -
Xˆ
=
jX jX
， ,
0 0
jX
sgn(
)
若令
H
j
sgn( )=
j， j,
0 0
则有 Xˆ X H
h
t
1 / 0
t
， ,
t t
0 0
xˆ t x t h t
EMD存在的问题
Hilbert-Huang变换在分析非稳定信号时具有 良好的自适应性，信号进行EMD分解得到的基本模 式分量，能够表现出信号内在的物理意义，该方法已 广泛应用于各个领域。但是，与小波变换等信号处理 方法相比， Hilbert-Huang变换仍处于发展阶段，其 理论及算法还需要完善。经验模态分解 EMD （Empirical Mode Decomposition）方法是 一种启发式算法，带有很大的经验成分。它在数学上 有许多根本性的问题尚未解决，主要的问题集中 EMD算法改进、模态混叠、基本模式分量筛分停止 条件、端点效应等四个方面。
相关参考文献
[1] 余泊.自适应时频分析方法及其在故障诊断中的应用 [博士学位论文].大连理工大学，1998.
[2]盖强，张海勇.一种消除局域波法中边界效应的新方 法. 大连理工大学学报，2002,42（1）：115~117.
[3] Chen Q H, Huang N E, Xu Y S. A B-spline approach for empirical mode decompositions. Advances in Computational Mathematics,2006(24):171~19.