初三数学圆经典终极讲义
初三数学圆的经典讲义
圆之马矢奏春创作目录一．圆的界说及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的界说及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆心是它的对称中心.考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的年夜小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.直径是圆中最年夜的弦.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.弧：圆上任意两点间的部份叫做弧.弧分为半圆,优弧、劣弧三种.（请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形.弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段.（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,获得直角三角形.如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在.考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系有三种.①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内⇔d＜r；【典范例题】例1 在⊿ABC 中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CM是AB边上的中线,以点C为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系,并说明你的理由.例2．已知,如图,CD是直径,∠B,且AB=OC,求∠A的度数.例3 ⊙O平面内一点P和⊙O3cm,最年夜为8cm,则这圆的半径是例4 在半径为5cm的圆中,弦则AB和CD的距离是几多？例5 如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,EB=2cm,30=∠CEA,求CD 的长． 例6.已知：⊙O 的半径0A=1,弦AB 、AC 的长分别为3,2,求BAC 的度数． 【考点速练】1.下列命题中,正确的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C ．任何一个四边形都有一个外接圆D ．等腰三角形的外心一定在它的外部2．如果一个三角形的外心在它的一边上,那么这个三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三3．圆的内接三角形的个数为（ ）A ．1个B ．2C ．3个D ．无数个4．三角形的外接圆的个数为（ ）A ．1个B ．2C ．3个D ．无数个5．下列说法中,正确的个数为（ ）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4A B D CO ·E个6.与圆心的距离不年夜于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括鸿沟)；B.圆的内部(不包括鸿沟)； C.圆； D.圆的内部(包括鸿沟)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.即是6cmB.即是12cm；C.小于6cmD.年夜于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残缺轮片同样年夜小的圆形轮片,需要知道它的半径,用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保管作图痕迹）11.如图,已知在ABCA,AB=3cm,AC=4cm,以∠90=∆中,︒点A为圆心,AC长为半径画弧交CB的延长线于点D,求CD 的长．12、如图,有一圆弧开桥拱,拱的跨度CD ＝4cm,那么拱形的半径是＿＿m.13、△ABC 中,AB=AC=10,BC=12,则它的外接圆半径是＿＿. 14、如图,点P 是半径为5的⊙O 内一点,且OP ＝3,在过点P 的所有的⊙O 的弦中,弦长为整数的弦的条数为＿＿.15.思考题如图所示,已知⊙O 的半径为10cm,P 是直径AB 上一点,弦CD 过点P,CD=16cm,过点A 和B 分别向CD 引垂线AE和BF,求AE-BF 的值.【作业】日期 姓名完成时间成果 1、在半径为2的圆中,弦长即是的弦的弦心距为 ____2. △ABC的三个极点在⊙O上,且AB=AC=2,∠BAC=120º,则⊙O的半径=__,BC=___.3． P 为⊙O 内一点,OP=3cm,⊙O 半径为5cm,则经过P· A B DC E PF O点的最短弦长为_________；•最长弦长为_______．4. 如图,A,B,C 三点在⊙O上,且AB 是⊙O的直径,半径OD⊥AC,垂足为F,若∠A=30º,OF=3,则OA=______ ,AC=______,BC=_________.5.如图5,为直径是52cm 圆柱形油槽,装入油后,油深CD 为16cm,那么油面宽度AB=____6.如图6, ⊙O中弦AB⊥AC,D,E分别是AB,AC 的中点.⑴若AB=AC,则四边形OEAD 是形;⑵若OD=3,半径5 r ,则AB=_cm,AC=___ _cm7.如图7,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E,已知AE=8cm,EB=4cm,∠CEA=30°,则CD 的长为_________． (5) (6)(7)二．垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,而且平分弦所对的两条孤．推论1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦,而且平FA D CBO分弦所对的两条孤．②弦的垂直平分线经过圆心,而且平分弦所对的两条孤．③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦,而且平分弦所对的另一条孤．推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．垂径定理及推论1中的三条可概括为：① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点,都可以推得其它两点【典范例题】例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,且CNM AMN ∠=∠．求证：AB=CD ． 例2已知,不外圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点,AB 是⊙O 的直径,AE⊥l 于E,BF⊥l 于F.求证：CE=DF ．例3 如图所示,⊙O 的直径AB ＝15cm,有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A,点D 与B不重合）,且CE⊥CD 交AB 于E,DF⊥CD 交AB 于F.（1）求证：AE ＝BF（2）在动弦CD 滑动的过程中,四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值,请给出证明, ABD C O · NM若不是,请说明理由.例4 如图,在⊙O 内,弦CD 与直径AB 交成045角,若弦CD 交直径AB 于点P,且⊙O 半径为1,试问：22PD PC 是否为定值？若是,求出定值；若不是,请说明理由.【考点速练】 1.已知⊙O 的半径为2cm,弦AB 长cm 32,则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）.A ．1cm B.2cm C.cm 2D.cm 3cm3．如图1,⊙O 的半径为6cm,AB 、CD 为两弦,且AB⊥CD,垂足为点E,若CE=3cm,DE=7cm,则AB 的长为（ ）A ．10cm B.8cm C.cm 24D.cm 284.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ）A ．0个 B.1个 C.2个D.3个5．如图2,同心圆中,年夜圆的弦交AB 于C 、D 若A BCD P O ..AB=4,CD=2,圆心O 到AB 的距离即是1,那么两个同心圆的半径之比为（ ） A ．3:2 B.5:2 C.5:2D.5:46.等腰三角形腰长为4cm,底角为 30,则外接圆直径为（ ）A ．2cm B.4cm C.6cmD.8cm7.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是. 8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,9.如图,直径为1000mm 份）,水面的宽度AB 为10.如图,已知△ABC 以C 为圆心,CA 为.11.已知:如图,在⊙O 中,C CA D E CB ·图1 A ·OC D B倍,C 为弧AB 的中点,AB 、OC 相交于点M.试判断四边形OACB 的形状,并说明理由.12.如图所示,在⊙O 中,弦AB⊥AC,弦BD⊥BA,AC、BD 交直径MN 于E 、F.求证：ME=NF.13.（思考题）如图,1o Θ与2o Θ交于点A,B,过A 的直线分别交1o Θ,2o Θ于M,N,C 为MN 的中点,P 为21O O 的中点,求证：PA=PC.【作业】日期 姓名完成时间成果 1.已知⊙O 的直径AB=10cm,弦CD⊥AB,垂足为M.且OM=3cm,则CD=.2．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点,且D0=3cm,则过点D 的所有弦中,最小的弦AB=cm.3.若圆的半径为2cm,圆中一条弦长为32cm,则此弦所对应弓形的弓高是.4.已知⊙O 的弦AB=2cm,圆心到AB 的距离为n,则⊙O 的半径R=,⊙O 的周长为. ⊙O 的面积为.5．在⊙O 中,弦AB=10cm,C 为劣孤AB 的中点,OC 交AB 于D,CD=1cm,则⊙O 的半径是. 6．⊙O中,AB 、CD是弦,且AB∥CD,且AB=8cm,CD=6cm,⊙O 的半径为5cm,连接AD 、BC,则梯形ABCD 的面积即是.7．如图,⊙O 的半径为4cm,弦AB 、CD 交于E·OA BDCEF M N1O AB2OMNC P点,AC=BC,OF⊥CD 于F,OF=2cm,则 ∠BED=.8．已知⊙O 的半径为10cm,弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF 之间的距离为. 三．圆周角与圆心角【考点速览】 考点1圆心角：极点在圆心的角叫圆心角,圆心角的度数即是它所对的弧的度数.Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由. 圆周角：极点在圆周上,角两边和圆相交的角叫圆周角.两个条件缺一不成．Eg: 判断下列图示中,各图形中的角是不是圆周角,并说明理由 考点2定理：一条弧所对的圆周角即是它所对的圆心角的一半．Eg: 如下三图,请证明. 考点3 4. 推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等．· A EFB C DO②半圆（或直径）所对的圆周角是直角,︒90的圆周角所对的弦是直径．③如果三角形一边上的中线即是这边的一半,那么这个三角形是直角三角形．经典例题例1：下图中是圆周角的有.是圆心角的有 .例2：如图,∠A是⊙O的圆周角,且∠A＝35°,则∠OBC=_____.例3圆心角∠AOB=100°,则∠ACB=．的直径,点C D E，，都在⊙O上,若∠B+=∠º．OA BCBE FCDGO例２例5：如图2,⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ,40EOD ∠=,则DCF ∠=．例6：已知：如图,AD•是⊙O 的直径,∠ABC= 30 °,则∠CAD=_______．例7：已知⊙O 中,30C ∠=,2cm AB =,则⊙O 的半径为cm ．例8 已知：如图所示,ABC ∆是⊙O 的内接三角形,⊙O 的直径BD 交AC 于E,AF⊥BD 于F,延长AF 交BC 于G ．求证：BC BG AB ⋅=2考点练习1.如图,已知ACB ∠是⊙O 的圆周角,50ACB ∠=︒,则圆心角AOB ∠是（ ）A ．40︒ B. 50︒C. 80︒D. 100︒2.已知：如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形,点P 是劣弧CD ⌒上分歧于点C 的任意一点,则∠BPC 的度数是（ ）CA· OBD CG F1 EA ．45°B ．60°C ．75°D ．90°3.△ABC 中,∠A＝30°,∠B＝60°,AC＝6,则△ABC 外接圆的半径为（ ） A ．32B ．33C ．3D ．34.圆的弦长与它的半径相等,那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°5.如图所示,AB 是⊙O 的直径,AD ＝DE,AE 与BD 交于点C,则图中与∠BCE 相等的角有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6.下列命题中,正确的是（ ）①极点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数即是圆心角度数的一半；③90的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等A ．①②③B ．③④⑤C ．①②⑤BEDA COD ．②④⑤7.如图,⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆,⊙O 的半径为2,则等边三角形ABC 的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．25 8.如图,△ABC 内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD 为 ⊙O 的直径,AD=6,则BC ＝.9.如图9,有一圆形展厅,在其圆形边缘上的点A 处装置了一台监视器,它的监控角度是65．为了监控整个展厅,最少需在圆形边缘上共装置这样的监视 器台.10.如图,量角器外沿上有A 、B 两点,它们的读数分别是70°、40°,则∠1的度数为.11.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,∠BAC=30°,点P 在线段OB 上运动.设∠ACP=x,则x 的取值范围是. 12.如图所示,小华从一个圆形场地的A 点动身,沿着与半径OA 夹角为α的方向行走,走参加地边缘B 后,再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走.依照这种方式,小华第五次走参加地边缘时处于弧AB 上,此时∠AOE＝56°,则α（第9题） A65 °°ABOC x P的度数是.13.如图,已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点,AB ＝BC,BD 交AC 于点E,连接CD 、AD ． （1）求证：DB 平分∠ADC；（2）若BE ＝3,ED ＝6,求AB 的长．14.如图所示,已知AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO=∠BCD ．（2）若EB=8cm ,CD=24cm ,求⊙O 的直径．15.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB＝90°,AC＝12,AD 是△ABC 的角平分线,过A 、C 、D 边AB 交于点E,连接DE. （1）求证：AC ＝AE ；（2）求△ACD 外接圆的半径.16.已知：如图等边ABC △的一点（端点除外）,延长BP 至D （1）若AP 过圆心O ,PDC △角形？并说明理由．（2）若AP 不外圆心O ,如图②,PDC △又是什么三角形？为什么？【考点速览】圆心角, 弧,弦,:在同圆或等圆中,弦相等,推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. （务必注意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示,点O 是∠EPF 的平分线上一点,以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和C 、D,求证：AB=CD ．例2、已知：如图,EF 为⊙O的直径,过EF 上一点P 作弦AB 、CD,且∠APF=∠CPF. 求证：PA=PC.例3．如图所示,在ABC ∆中,∠A=︒72,⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长,求∠BOC.例4．如图,⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A,且图①图②ABEFOPC12D·OA BCBC=DE ．求证：AC=AE ．例5．如图所示,已知在AB=CB,∠ABC=︒120,OD⊥AB 于求证：ODE ∆是等边三角形．综合练习 一、选择题1．下列说法中正确的是（ ） A 、相等的圆心角所对的弧相等 B 、相等的弧所对的圆心角相等C 、相等的弦所对的弦心距相等D 、弦心距相等,则弦相等2．如图,在⊙O 中,AB 的度数是︒50,∠OBC=︒40,那么∠OAC 即是（ ） A 、︒15 B 、︒20 C 、︒25D 、︒303．P 为⊙O 内一点,已知OP=1cm,⊙O 的半径r=2cm,则过P 点弦中,最短的弦长为（ ）A 、1cmB 、3cmC 、32cm D 、4cm4．在⊙O 中,AB 与CD 为两平行弦,AB >CD,AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120,若⊙O 的半径为6,则AB 、CD 两弦相距（ ）A 、3B 、6C 、13+ D 、333±·O图ABCAB C O DE5.如图所示,已知△ABC 是等边三角形,以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E. （1）试说明△ODE 的形状；（2）如图2,若∠A=60º,AB≠AC,则①的结论是否仍然成立,说明你的理由.6 如图,△ABC 是等边三角形,⊙O 过点B,C,且与BA 、CA 的延长线分别交于点D 、E.弦DF∥AC,EF 的延长线交BC 的延长线于点G. （1）求证：△BEF 是等边三角形； （2）BA=4,CG=2,求BF 的长.7 已知：如图,∠AOB=90°,C、D 是弧AB 的三等分点,AB 分别交OC 、OD 于点E 、F.求证：AE=BF=CD. 【作业】日期 姓名完成时间成果1.如图1,ABC ∆内接于⊙O ,445==∠，AB C 则⊙O 的半径为（ ）. A ．22 B ．4 C ．32D ．52.如图2,在⊙O 中,点C 是AB 的中点, 40=∠A ,则BOC∠即是（ ）. A ． 40 B ． 50 C ．70D ． 803.如图3,A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点,且D 是AB 的中点,CDA B CODE· AOB E DC G F如图1如图2如图 3如图4如图5交OB 于E, 55,100=∠=∠OBC AOB ,OEC ∠= 度.4.如图4,已知AB 是⊙O 的直径,C 、D 是⊙O 上的两点, 130=∠D ,则BAC ∠的度数是 .5.如图5,AB 是半圆O 的直径,E 是BC 的中点,OE 交弦BC 于点D,已知BC=8cm,DE=2cm,则AD 的长为 cm. 6．如图所示,在⊙O 中,AB 是直径,CO⊥AB,D 是CO 的中点,DE∥AB．求证:EC=2EA五．圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补,外角即是内对角. 圆内接梯形为等腰梯形,圆内接平行四边形为矩形.判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可. 【典范例题】 例1 （1）已知圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,求∠D 的度数．（2）已知圆内接四边形ABCD 中,如图所示,AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A、∠B、∠C、∠D 的度数．例2 四边形ABCD 内接于⊙O ,点P 在CD 的延长线上,且AP∥BD．求证：AD AB BC PD ⋅=⋅例3 如图所示,ABC ∆是等边三角形,D 是BC 上任一点．求证：DB+DC=DA ．A BOD EC ·ADCBO P· ABC D O例4 AB 是⊙O的直径,弦DE⊥AB,弦AF 和DE 的延长线交于C,连结DF 、EF, 求证：FE FD FA FC ⋅=⋅例 5 如图所示,在ABC ∆中,AB=AC,过A 点的直线与ABC ∆的外接圆交于E,与BC 的延长线交于D ．求证：ED AD AC AD ⋅=-22【考点速练】1．圆内接四边形的对角,而且任何一个外角都它的内对角．2．已知四边形ABCD内接于⊙O,则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2::7,且最年夜的内角为． 3．如右图,已知四边形ABCD 内接于⊙O,AE⊥CD 于E,若∠ABC=︒130,则∠DAE=．4．已知圆内接四边形ABCD 的∠A、∠B、∠C 的外角度数比为2:3:4, 则∠A=,∠B=．5．圆内接梯形是梯形,圆内接平行四边形是． 6．若E 是圆内接四边形ABCD 的边BA 的延长线上一点,BD=CD,∠EAD=︒55,则∠BDC=．7．四边形ABCD 内接于圆,∠A、∠C 的度数之比是5:4,∠B 比∠D 年夜︒30,则∠A=.∠D=．8．圆内接四边形ABCD 中,∠A、∠B、∠C 的度数比是2：3：6,则∠D 的度数是（ ）A·BCDO ·ABCDE O · ABCEDOA 、︒5.67B 、︒135C 、︒5.112D 、︒1109．如图1所示,圆的内接四边形ABCD,DA 、CB 延长线交于P,AC 和BD 交于Q,则图中相似三角形有（ ） A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对10．如果圆的半径是15,那么它的内接正方形的边长即是（ ） A 、215B 、315C 、2315 D 、2215 11．下列四边形中,有外接圆的四边形是（ ） A 、有一个角为︒60的平行四边形 B 、菱形C 、矩形D 、直角梯形12．如图2,四边形ABCD 是圆的内接四边形,如果BCD 的度数为︒240,那么∠C 即是（ ） A 、︒120B 、︒80C 、︒60D 、︒4013．若四边形ABCD内接于圆,且∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n,则（ ） A 、5m=4n B 、4m=5n C 、m+n=9D、m=n=︒18014．如图,已知⊙O 的半径为2,弦AB 的长为32,点CAC BPQ AD B C· O图2与点D 分别是劣弧AB 与优弧ADB 上任一点（点C 、D 均不与A 、B 重合）. (1)求ACB ∠；(2)求三角形ABD 的最年夜面积．15．如图所示,已知△ABC 内接于⊙O,A B=AC,点D 为劣弧BC上一动点（不与B 、A 、C 重合）,直线AD 与BC 交于E 点,连结BD 、DC.（1）求证:BD·DC=DE·DA；（2）若将D 改为优弧BAC 上一动点（不与B 、A 、C 重合）,其他条件均不改变,则（1）中的结论还成立吗？请画图并证明你的结论.【作业】日期 1．过四边形ABCD 极作∠B+∠D ︒>180,则D A 、圆上 B 、圆内定2．如图1,若AC=AD,那么圆中相等的圆周角所有的对数共有（ ） A 、5对B 、6对C 、7对D 、8对3．如图2,已知ABC ∆的外角∠BCD 的平分线CE 交ABC ∆的外接圆于E,则ABE ∆是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形D 、等腰三角形 ABCODAA4．如图3,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,AE 是⊙O 的弦,且AE⊥CD,若∠B=︒120,则∠DAE 为（ ） A 、︒60 B 、︒30C 、︒50D 、︒705．已知：如图所示,四边形ABCD 内接于⊙O,BD 是⊙O 直径,若∠DAC=︒60,BC=337,AD=5．求AC 的长．六．会用切线,能证切线考点速览： 考点1直线与圆的位置关系考点2切线：经过半径外端而且垂直于这条半径的直线是圆的切线.ABCD图1A · BCDE O图3 ABCDE图2 · A BDCO符号语言Array∵ OA⊥ l 于A, OA为半径∴ l 为⊙O的切线考点3判断直线是圆的切线的方法：①与圆只有一个交点的直线是圆的切线.②圆心到直线距离即是圆的半径的直线是圆的切线.③经过半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线.（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点4切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点获得垂直） 经典例题：例1.如图,△ABC 内接于⊙O, AB 是 ⊙O 的直径,∠CAD＝ ∠ABC,判断直线AD 与⊙O 的位置关系,并说明理由.例2.如图,OA=OB=13cm,AB=24cm,⊙O 的半径为5cm,AB 与⊙O 相切吗？为什么?例3.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,切点为A 、B,C 是⊙O 上一点,若∠P＝40., 求∠C 的度数.例4．如图所示,ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,以AC 为直径作⊙O 交AB 于D,E 为BC 中点.求证：DE 是⊙O 的切线．例5．（2010深圳）如图10,以点M （－1,0圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、－ 33x － 533与⊙M 相切于点H,交x 轴于点E,交y 轴于点F ．（1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（3B分）（2）如图11,弦HQ 交x 轴于点P,且DP:PH ＝3:2,求cos∠QHC 的值；（3分）（3）如图12,点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C重合）,连接BK 交⊙M 于点T,弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a,始终满足MN·MK ＝a,如果存在,请求出a 的值；如果不存在,请说明理由．（3分）中考链接1.如图,在以O 为圆心的两个同心圆中,AB 经过圆心O,且与小圆相交于点A,与年夜圆相交于点B,小圆的切线AC 与年夜圆相交于点D,且CO 平分∠ACB.试判断BC 所在直线与小圆的位置关系,并说明理由.图10图11图122. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90. ,点O在AB上,以O 为圆心,OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E,且∠CBD= ∠A,判断BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论.3. (2009深圳)如图,AB是⊙O的直径,AB=10,DC切⊙O 于点C,AD⊥DC,垂足为D,AD交⊙O于点E.（1）求证：AC平分∠BAD；3,求DC的长.（2）若sin∠BEC=54．（2008深圳）如图,点D是⊙O一点,点B在⊙O上,且AB＝AD＝AO．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若点E是劣弧BC上一点,AE与且△BEF的面积为8,2,求△ACF的面积．cos∠BFA＝3课堂速练（1）1．判断①垂直于半径的直线是圆的切线.………………………………（）②过半径外真个直线是圆的切线.………………………………（）③与圆有公共点的直线是圆的切线.……………………………（）④圆的切线垂直于半径.…………………………………………（）2．如图,AC切⊙O于点A,∠BAC＝37.,则∠AOB的度数为（）A. 64.B. 74.C. 83.D. 84.3. 如图,AB与⊙O相切于B,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,若∠A＝36.．则∠C＝______4．如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一ABC5C,∠BAC＝50.,∠ACD=______6．如图,AB为⊙O的直径,BC切⊙O于B,CO交⊙O于点D,AD E,7．（2006xoy中,B点M在x轴的正半轴上, ⊙M交x轴于A B、两点,交y轴于C D、两点,且C为弧AE的中点,AE交y轴于G点,若点A的坐标为（－2,0）,AE8(1)求点C的坐标.(2)连结MG BC、,求证：MG∥BC(3)如图10-2,过点D作⊙M的切线,交x轴于点P.动OF的比值是否发生变点F在⊙M的圆周上运动时,PF动,若不变,求出比值；若变动,说明变动规律.七．切线长定理考点速览：考点1切线长概念：经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长．切线长和切线的区别切线是直线,不成怀抱；而切线长是切线上一条线段的长,而圆外一已知点到切点之间Array的距离,可以怀抱．考点2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．要注意：此定理包括两个结论,如图,PA、PB切⊙O 于A、B两点,①PA=PB ②PO平分APB∠．考点3两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线即是腰长．经典例题：例1 已知PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点,若PO=13㎝,PED∆的周长为24㎝,求：①⊙O的半径；②若40APB∠=︒,EOD∠的度数．例2 如图,⊙O分别切ABC∆的三边ABD、E、F,若,,BC a AC b AB c===．（1）求AD、BE、CF的长；（2）当C∠半径r．例3且例与x,以点C为圆心与圆与x轴相切于点E,与直线AB相切于点F.（1）当四边形OBCE是矩形时,求点C的坐标；（2）如图乙,若⊙C与y轴相切于点D,求⊙C的半径r；（3）求m与n之间的函数关系式；（4）在⊙C 的移动过程中,能否使OEF ∆是等边三角形（只回答“能”或“不能”）？考点速练1：1．如图,⊙O 是ABC ∆的内切圆,D 、E 、F::4:3:2A B C ∠∠∠=,则DEF ∠=． FEC ∠=． 2．直角三角形的两条直角边为5㎝、12三角形的外接圆半径为㎝, 3．如图,直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 、G,且AB∥CD,若OB=6㎝,OC=8㎝,则BOC ∠=,⊙O 的半径=㎝,BE+CG=㎝． 4．如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,AB 交OP 于点M ,若2,OM cm AB PB ==,则⊙O 的半径是㎝． 考点速练（2） 1．如图,在Rt ABC ∆中,90,3,4C AC BC ∠=︒==,一点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E,与AC ⊙O 与BC 的另一个交点D,则线段BD 的长．2．如图,ABC ∆内接于⊙O,AB 为⊙O 直径,过C 点的切线交直径AB 的延长线于P,25BAC ∠=︒,则P ∠=．4、切线,A 点C 任一点,＿. 题1 题25、（山西）若直角三角形斜边长为10cm,其内切圆半径为2cm,则它的周长为_______.6、（贵阳）如图,⊙O 是Rt△ABC 的内切圆,∠ACB＝900,且AB ＝13,AC ＝12,则图中阴影部份的面积是（ ）A 、π-30B 、π230-C 、π330-D 、π430-7．连结圆的两条平行切线的切点的线段,是这个圆的．8.如图1,AB 是⊙O 的直径,直线MN 切半圆于C,AM⊥MN,BN⊥MN,若AM=a ,BN=b ,则AB=.9．如图2,AB 是⊙O 的直径,延长AB 到D,使BD=OB,DC切⊙O 于C,则∠D=,∠ACD=,若半径为r ,AC=．10．经过圆的直径两端点的切线必互相． 11.如图,在ABC ∆,10,8,90===∠AB AC C ,点P 在AC 上,AP=2,若⊙O 的圆心在线段BP 上,且⊙O 与AB 、AC 都相切,则⊙O 的半径是（ ）. A ．1 B ．45 C ．712 D ．4912.如图,四边形ABCD 是直角梯形,以垂直于底的腰AB为直径的⊙O 与腰CD 相切于E,若此圆半径为6㎝,梯形ABCD 的周长为38㎝,求梯形的上、下底AD 、BC 的长．八．三角形内切圆 · A B D C O 图2 M · CAO B N 图1 · A ODCE考点速览考点1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形．概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形．考点2三角形外接圆与内切圆比力：名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC；（2）外心纷歧定在三角形的内部．内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）内心在三角形内考点3求三角形的内切圆的半径1、直角三角形△ABC 内切圆⊙O 的半径为2c b a r -+=. 2、一般三角形①已知三边,求△ABC 内切圆⊙O 的半径r. （海伦公式S△＝)c s )(b s )(a s (s --- , 其中s=2c b a ++) 经典例题：例1．阅读资料：如图（1）,△ABC 的周长为L,内切圆O 的半径为r,连结OA,OB,△ABC 被划分为三个小三角形,用S△ABC 暗示△ABC 的面积．∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA又∵S△OAB =12AB·r,S△OBC =12BC·r,S△OCA=12AC·r∴S△ABC =12AB·r+12BC·r+12CA·r=12L·r（可作为三角形内切圆半径公式）（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5,12,13的三角形内切圆半径；（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆,如图（2）•且面积为S,各边长分别为a,b,c,d,试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆,且面积为S,各边长分别为a1,a2,a3,…an,合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．例2．如图,△ABC中,∠A=m°．（1）如图（1）,当O是△ABC的内心时,求∠BOC 的度数；（2）如图（2）,当O是△ABC的外心时,求∠BOC 的度数；（3）如图（3）,当O是高线BD与CE的交点时,求∠BOC的度数．例3．如图,Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,⊙I分别切AC,BC,AB于D,E,F,求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．考点速练1：1．如图1,⊙O内切于△ABC,切点为D,E,F．已知∠B=50°,∠C=60°, 连结OE,OF,DE,DF,那么∠EDF即是（）A．40° B．55° C．65° D．70°图 1 图 2 图32．如图2,⊙O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点,∠A=50°,∠C=60°, 则∠DOE=（）A．70° B．110° C．120° D．130°3．如图3,△ABC中,∠A=45°,I是内心,则∠BIC=（）A．112.5° B．112° C．125° D．55°4．下列命题正确的是（）A．三角形的内心到三角形三个极点的距离相等B．三角形的内心纷歧定在三角形的内部C．等边三角形的内心,外心重合D．一个圆一定有唯一一个外切三角形5．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,则它的内切圆与外接圆半径分别为（）A．1.5,2.5 B．2,5 C．1,2.5 D．2,2.56．如图,在△ABC中,AB=AC,内切圆O与边BC,AC,AB分别切于D,E,F．（1）求证：BF=CE；（2,求AC的长．7．如图,⊙I切△ABC的边分别为D,E,F,∠B=70°,∠C=60°,M是弧DEF上的动点（与D,E不重合）,∠DMF的年夜小一定吗？若一定,求出∠DMF的年夜小；若纷歧定,请说明理由．考点速练21．如图,在半径为R的圆内作一个内接正方形,•然后作这个正方形的内切圆,又在这个内切圆中作内接正方形,依此作到第n个内切圆,它的半径是（）A．（2）nR B．（12）nR C．（12）n－1RD．（2）n－1R2．如图,⊙O为△ABC的内切圆,∠C=90°,AO的延长线交BC于点D,AC=4,•DC=1,则⊙O的半径即是（）A．45B．54C．34D．563．如图,已知△ABC的内切圆⊙O分别和边BC,AC,AB 切于D,E,F,•如果AF=2,BD=7,CE=4．（1）求△ABC的三边长；（2）如果P为弧DF上一点,过P作⊙O的切线,交AB于M,交BC于N,求△BMN的周长．4．如图,⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M,N,G,H．（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系,并证明你的猜想；（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形,梯形的中位线长为m,其他条件不变,试用m暗示梯形的周长．5、思考题（选作）：如图,已知正三角形ABC的边长为2a．（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；。
中考数学-圆讲义及练习
第3讲圆知识点1 圆周角定理1. 圆的有关概念（1）圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
以点O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”．圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（3）直径：经过圆心的弦叫做直径．（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（5）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”．大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．2. 圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”．3. 圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．典例剖析例（1）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°（例（1）图）（例（2）图）（2）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．跟踪训练1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝．3．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝．过关精练1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（）A．140°B．130°C．120°D．110°（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．若∠BOC＝80°，则∠A等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°5．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（）A．25°B．35°C．15°D．20°（第5题图）（第6题图）（第7题图）（第8题图）6．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是（）A．70°B．80°C．110°D．140°7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．50°C．70°D．80°8．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠CBA＝70°，则∠D的度数是．9．如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为．（第9题图）（第10题图）10．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝度．知识点2 垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．典例剖析例（1）如图⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8B．12C．16D．2（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为．跟踪训练1．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．1（第1题图）（第2题图）2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．3．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（）A．B．2C．6D．83．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD 4．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．4（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在直径为10cm的⊙O中，BC是弦，半径OA⊥BC于点D，AD＝2cm，则BC的长为cm．6．如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB＝6，OE＝4，则直径CD＝．7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．知识点3 切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线性质的运用见切点，连半径，见垂直．例（1）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是（）A．2B．C．D．跟踪训练1．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD．若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为（）A．70°B．60°C．55°D．35°（第1题图）（第2题图）2．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B 作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则P A的长为（）A．4B．2C．3D．2.5过关精练1．如图AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°（第1题图）（第2题图）2．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．20°3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB 的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75°（第3题图）（第4题图）（第5题图）4．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°5．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O 交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°6．如图，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，PO＝26cm，P A＝24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm（第6题图）（第7题图）7．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（）A．B．C．5D．8．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．（第8题图）（第9题图）9．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2C．3D．410．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为．（第10题图）（第11题图）（第12题图）11．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB＝．12．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A＝50°，则∠COD的度数为．13．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC ＝．（第13题图）（第14题图）（第15题图）14．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠C＝度．15．如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，∠B＝26°，则∠OCA＝度．16．如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB．若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝．（第16题图）（第17题图）17．已知：如图，CD是⊙O的直径，点A在CD的延长线上，AB切⊙O于点B，若∠A＝30°，OA＝10，则AB＝．知识点4 扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．例（1）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是．（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．跟踪训练1．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（）A．B．（2﹣）πC．πD．π3．如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为（结果保留π）．1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣2πB．8﹣C．8﹣2πD．8﹣4π（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．+3．如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣B．π+C．π+2D．2π﹣24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1B．4﹣πC．D．2（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π7．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣4B．C．π﹣2D．8．如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣4B．4π﹣8C．2π﹣8D．4π﹣4（第8题图）（第8 题图）（第10题图）9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．（第11题图）（第12题图）（第13题图）12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB 于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是（结果保留π）．14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．以A为圆心，AC长为第 11 页 共 12 页半径作弧，交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）（第14题图） （第15题图）16．如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA ＝2，那么图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．（第16题图） （第17题图） （第18题图）17．如图在正方形ABCD 中，点E 是以AB 为直径的半圆与对角线AC 的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为 ．18．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°．D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上．若OD ＝8，OE ＝6，则阴影部分图形的面积是 （结果保留π）．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为 ．（第19题图） （第20题图）20．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝2，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AB 边于点E ，且E 为AB 中点，则图中阴影部分的面积为 ．21．如图，在▱ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝30°，以点A 为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．22．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝，以点A为圆心，AB．为半径画弧，交AC于点D，则阴影部分的面积是第12 页共12 页。
初三数学圆的经典讲义之欧阳地创编
圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD是直径，B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
例 3 ⊙O 平面内一点P 和⊙3cm ，最大为8cm 例 4 在半径为5cm 的圆中，CD=8cm ，则AB 和CD 例 5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ，求CD 的长．例 6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． 【考点速练】1.下列命题中，正确的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C ．任何一个四边形都有一个外接圆D ．等腰三角形的外心一定在它的外部 A BDC O · E2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个5．下列说法中，正确的个数为（）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cmD.大于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）11.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．12CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m 。
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经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
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圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线, 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内⇔d＜r；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，∠AE 交⊙O 于B ，且AB=OC 数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 距离最小为3cm ，最大为8cm ，半径是_________cm 。
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圆目录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线, 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理（选学）圆与圆的位置关系圆的有关计算一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
M A B C DOEBC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
初三数学圆的经典讲义之欧阳理创编
圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD是直径，于B ，且AB=OC ，求∠A 例 3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 3cm ，最大为8cm 例 4 在半径为5cm 的圆中，弦CD=8cm ，则AB 和CD 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ，求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． 【考点速练】A BDC O · E1.下列命题中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C．任何一个四边形都有一个外接圆D．等腰三角形的外心一定在它的外部2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个 B．2 C．3个D．无数个4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个 B．2 C．3个D．无数个5．下列说法中，正确的个数为（）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O 上,则OA 的长( )A.等于6cmB.等于12cm ；C.小于6cmD.大于12cm8.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）11.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．12高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿13、△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是＿＿。
初三数学圆的经典讲义
圆之樊仲川亿创作目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆心是它的对称中心.考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.直径是圆中最大的弦.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧.弧分为半圆,优弧、劣弧三种.（请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所组成的封锁图形.弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段.（请务必注意在圆中一条弦将圆联系为两个弓形,对应两个弓高）固定的已经不克不及再固定的办法：求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形.如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在.考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系有三种.①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内⇔d＜r；【典型例题】例1 在⊿ABC 中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CM是AB边上的中线,以点C为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M三点辨别与⊙C有怎样的位置关系,并说明你的理由.例2．已知,如图,CD是直径,∠EODB,且AB=OC,求∠A的度数.例3 ⊙O平面内一点P和⊙O3cm,最大为8cm,则这圆的半径是例4 在半径为5cm的圆中,弦则AB和CD的距离是多少？例5 如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,EB=2cm,30=∠CEA,求CD 的长． 例6.已知：⊙O 的半径0A=1,弦AB 、AC 的长辨别为3,2,求BAC 的度数． 【考点速练】1.下列命题中,正确的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C ．任何一个四边形都有一个外接圆D ．等腰三角形的外心一定在它的外部2．如果一个三角形的外心在它的一边上,那么这个三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三3．圆的内接三角形的个数为（ ）A ．1个B ．2C ．3个D ．无数个4．三角形的外接圆的个数为（ ）A ．1个B ．2C ．3个D ．无数个5．下列说法中,正确的个数为（ ）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4A B D CO ·E个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包含鸿沟)；B.圆的内部(不包含鸿沟)； C.圆； D.圆的内部(包含鸿沟)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cmD.大于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片,需要知道它的半径,用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保存作图痕迹）11.如图,已知在ABCA,AB=3cm,AC=4cm,以∠90=∆中,︒点A为圆心,AC长为半径画弧交CB的延长线于点D,求CD 的长．12、如图,有一圆弧开桥拱,拱的跨度CD ＝4cm,那么拱形的半径是＿＿m.13、△ABC 中,AB=AC=10,BC=12,则它的外接圆半径是＿＿. 14、如图,点P 是半径为5的⊙O 内一点,且OP ＝3,在过点P 的所有的⊙O 的弦中,弦长为整数的弦的条数为＿＿.15.思考题如图所示,已知⊙O 的半径为10cm,P 是直径AB 上一点,弦CD 过点P,CD=16cm,过点A 和B 辨别向CD 引垂线AE和BF,求AE-BF 的值.【作业】日期 姓名完成时间成绩 1、在半径为2的圆中,弦长等于的弦的弦心距为 ____2. △ABC的三个顶点在⊙O上,且AB=AC=2,∠BAC=120º,则⊙O的半径=__,BC=___.3． P 为⊙O 内一点,OP=3cm,⊙O 半径为5cm,则经过P· A B DC E PF O点的最短弦长为_________；•最长弦长为_______．4. 如图,A,B,C 三点在⊙O上,且AB 是⊙O的直径,半径OD⊥AC,垂足为F,若∠A=30º,OF=3,则OA=______ ,AC=______,BC=_________.5.如图5,为直径是52cm 圆柱形油槽,装入油后,油深CD 为16cm,那么油面宽度AB=____6.如图6, ⊙O中弦AB⊥AC,D,E辨别是AB,AC 的中点.⑴若AB=AC,则四边形OEAD 是形;⑵若OD=3,半径5 r ,则AB=_cm,AC=___ _cm7.如图7,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E,已知AE=8cm,EB=4cm,∠CEA=30°,则CD 的长为_________． (5) (6)(7)二．垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条孤．推论1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦,并且平FA D CBO分弦所对的两条孤．②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条孤．③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条孤．推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．垂径定理及推论1中的三条可归纳综合为：① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点,都可以推得其它两点【典型例题】例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦,M 、N 辨别是AB 、CD 的中点,且CNM AMN ∠=∠．求证：AB=CD ． 例2已知,不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点,AB 是⊙O 的直径,AE⊥l 于E,BF⊥l 于F.求证：CE=DF ．例3 如图所示,⊙O 的直径AB ＝15cm,有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A,点D 与B不重合）,且CE⊥CD 交AB 于E,DF⊥CD 交AB 于F.（1）求证：AE ＝BF（2）在动弦CD 滑动的过程中,四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值,请给出证明, ABD C O · NM若不是,请说明理由.例4 如图,在⊙O 内,弦CD 与直径AB 交成045角,若弦CD 交直径AB 于点P,且⊙O 半径为1,试问：22PD PC 是否为定值？若是,求出定值；若不是,请说明理由.【考点速练】 1.已知⊙O 的半径为2cm,弦AB 长cm 32,则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）.A ．1cm B.2cm C.cm 2D.cm 3cm3．如图1,⊙O 的半径为6cm,AB 、CD 为两弦,且AB⊥CD,垂足为点E,若CE=3cm,DE=7cm,则AB 的长为（ ）A ．10cm B.8cm C.cm 24D.cm 284.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ）A ．0个 B.1个 C.2个D.3个5．如图2,同心圆中,大圆的弦交AB 于C 、D 若A BCD P O ..AB=4,CD=2,圆心O 到AB 的距离等于1,那么两个同心圆的半径之比为（ ） A ．3:2 B.5:2 C.5:2D.5:46.等腰三角形腰长为4cm,底角为 30,则外接圆直径为（ ）A ．2cm B.4cm C.6cmD.8cm7.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值规模是. 8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,9.如图,直径为1000mm 分）,水面的宽度AB 为10.如图,已知△ABC 以C 为圆心,CA 为.11.已知:如图,在⊙O 中,C CA D E CB ·图1 A ·OC D B倍,C 为弧AB 的中点,AB 、OC 相交于点M.试判断四边形OACB 的形状,并说明理由.12.如图所示,在⊙O 中,弦AB⊥AC,弦BD⊥BA,AC、BD 交直径MN 于E 、F.求证：ME=NF.13.（思考题）如图,1o Θ与2o Θ交于点A,B,过A 的直线辨别交1o Θ,2o Θ于M,N,C 为MN 的中点,P 为21O O 的中点,求证：PA=PC.【作业】日期 姓名完成时间成绩 1.已知⊙O 的直径AB=10cm,弦CD⊥AB,垂足为M.且OM=3cm,则CD=.2．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点,且D0=3cm,则过点D 的所有弦中,最小的弦AB=cm.3.若圆的半径为2cm,圆中一条弦长为32cm,则此弦所对应弓形的弓高是.4.已知⊙O 的弦AB=2cm,圆心到AB 的距离为n,则⊙O 的半径R=,⊙O 的周长为. ⊙O 的面积为.5．在⊙O 中,弦AB=10cm,C 为劣孤AB 的中点,OC 交AB 于D,CD=1cm,则⊙O 的半径是. 6．⊙O中,AB 、CD是弦,且AB∥CD,且AB=8cm,CD=6cm,⊙O 的半径为5cm,连接AD 、BC,则梯形ABCD 的面积等于.7．如图,⊙O 的半径为4cm,弦AB 、CD 交于E·OA BDCEF M N1O AB2OMNC P点,AC=BC,OF⊥CD 于F,OF=2cm,则 ∠BED=.8．已知⊙O 的半径为10cm,弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF 之间的距离为. 三．圆周角与圆心角【考点速览】 考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数.Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由. 圆周角：顶点在圆周上,角两边和圆相交的角叫圆周角.两个条件缺一不成．Eg: 判断下列图示中,各图形中的角是不是圆周角,并说明理由 考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．Eg: 如下三图,请证明. 考点3 4. 推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等．· A EFB C DO②半圆（或直径）所对的圆周角是直角,︒90的圆周角所对的弦是直径．③如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形．经典例题例1：下图中是圆周角的有.是圆心角的有 .例2：如图,∠A是⊙O的圆周角,且∠A＝35°,则∠OBC=_____.例3圆心角∠AOB=100°,则∠ACB=．的直径,点C D E，，都在⊙O上,若∠B+=∠º．OA BCA BE FCDGO例２例5：如图2,⊙O 的直径CD 过弦EF的中点G ,40EOD ∠=,则DCF ∠=．例6：已知：如图,AD•是⊙O 的直径,∠ABC= 30 °,则∠CAD=_______．例7：已知⊙O 中,30C ∠=,2cm AB =,则⊙O 的半径为cm ．例8 已知：如图所示,ABC ∆是⊙O 的内接三角形,⊙O 的直径BD 交AC 于E,AF⊥BD 于F,延长AF 交BC 于G ．求证：BC BG AB ⋅=2考点练习1.如图,已知ACB ∠是⊙O 的圆周角,50ACB ∠=︒,则圆心角AOB ∠是（ ）A ．40︒ B. 50︒C. 80︒D. 100︒2.已知：如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形,点P 是劣弧CD ⌒上不合于点C 的任意一点,则∠BPC 的度数是（ ）CA· OBD CG F1 EA ．45°B ．60°C ．75°D ．90°3.△ABC 中,∠A＝30°,∠B＝60°,AC＝6,则△ABC 外接圆的半径为（ ） A ．32B ．33C ．3D ．34.圆的弦长与它的半径相等,那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°5.如图所示,AB 是⊙O 的直径,AD ＝DE,AE 与BD 交于点C,则图中与∠BCE 相等的角有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6.下列命题中,正确的是（ ）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等A ．①②③B ．③④⑤C ．①②⑤BEDA COD ．②④⑤7.如图,⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆,⊙O 的半径为2,则等边三角形ABC 的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．25 8.如图,△ABC 内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD 为 ⊙O 的直径,AD=6,则BC ＝.9.如图9,有一圆形展厅,在其圆形边沿上的点A 处装置了一台监视器,它的监控角度是65．为了监控整个展厅,最少需在圆形边沿上共装置这样的监视 器台.10.如图,量角器外沿上有A 、B 两点,它们的读数辨别是70°、40°,则∠1的度数为.11.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,∠BAC=30°,点P 在线段OB 上运动.设∠ACP=x,则x 的取值规模是. 12.如图所示,小华从一个圆形场地的A 点出发,沿着与半径OA 夹角为α的标的目的行走,走到场地边沿B 后,再沿着与半径OB 夹角为α的标的目的折向行走.依照这种方法,小华第五次走到场地边沿时处于弧AB 上,此时∠AOE＝（第9题） A65°°OABOC x P56°,则α的度数是.13.如图,已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点,AB ＝BC,BD 交AC 于点E,连接CD 、AD ． （1）求证：DB 平分∠ADC；（2）若BE ＝3,ED ＝6,求AB 的长．14.如图所示,已知AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO=∠BCD ．（2）若EB=8cm ,CD=24cm ,求⊙O 的直径．15.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB＝90°,AC＝12,AD 是△ABC 的角平分线,过A 、C 、D 边AB 交于点E,连接DE. （1）求证：AC ＝AE ；（2）求△ACD 外接圆的半径.16.已知：如图等边ABC △的一点（端点除外）,延长BP 至D （1）若AP 过圆心O ,PDC △角形？并说明理由．（2）若AP 不过圆心O ,如图②,PDC △又是什么三角形？为什么？【考点速览】圆心角, 弧,弦,:在同圆或等圆中,弦相等,推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都辨别相等. （务必注意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示,点O 是∠EPF 的平分线上一点,以O 为圆心的圆和角的两边辨别交于A 、B 和C 、D,求证：AB=CD ．例2、已知：如图,EF 为⊙O的直径,过EF 上一点P 作弦AB 、CD,且∠APF=∠CPF. 求证：PA=PC.例3．如图所示,在ABC ∆中,∠A=︒72,⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长,求∠BOC.例4．如图,⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A,且图①图②ABEFOPC12D·OA BCBC=DE ．求证：AC=AE ．例5．如图所示,已知在AB=CB,∠ABC=︒120,OD⊥AB 于求证：ODE ∆是等边三角形．综合练习 一、选择题1．下列说法中正确的是（ ） A 、相等的圆心角所对的弧相等 B 、相等的弧所对的圆心角相等C 、相等的弦所对的弦心距相等D 、弦心距相等,则弦相等2．如图,在⊙O 中,AB 的度数是︒50,∠OBC=︒40,那么∠OAC 等于（ ） A 、︒15 B 、︒20 C 、︒25D 、︒303．P 为⊙O 内一点,已知OP=1cm,⊙O 的半径r=2cm,则过P 点弦中,最短的弦长为（ ）A 、1cmB 、3cmC 、32cmD 、4cm4．在⊙O 中,AB 与CD 为两平行弦,AB >CD,AB 、CD 所对圆心角辨别为︒︒60,120,若⊙O 的半径为6,则AB 、CD 两弦相距（ ）A 、3B 、6C 、13+ D 、333±·O图ABCAB C ODE5.如图所示,已知△ABC 是等边三角形,以BC 为直径的⊙O 辨别交AB 、AC 于点D 、E. （1）试说明△ODE 的形状；（2）如图2,若∠A=60º,AB≠AC,则①的结论是否仍然成立,说明你的理由.6 如图,△ABC 是等边三角形,⊙O 过点B,C,且与BA 、CA 的延长线辨别交于点D 、E.弦DF∥AC,EF 的延长线交BC 的延长线于点G. （1）求证：△BEF 是等边三角形； （2）BA=4,CG=2,求BF 的长. 7 已知：如图,∠AOB=90°,C、D 是弧AB 的三等分点,AB 辨别交OC 、OD 于点E 、F.求证：AE=BF=CD. 【作业】日期 姓名完成时间成绩1.如图1,ABC ∆内接于⊙O ,445==∠，AB C 则⊙O 的半径为（ ）. A ．22 B ．4 C ．32D ．52.如图2,在⊙O 中,点C 是AB 的中点, 40=∠A ,则BOC∠等于（ ）. A ． 40 B ． 50 C ．70D ． 803.如图3,A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点,且D 是AB 的中点,CDA B CO DE· AOB E DC G F如图1如图2如图 3如图4如图5交OB 于E, 55,100=∠=∠OBC AOB ,OEC ∠= 度.4.如图4,已知AB 是⊙O 的直径,C 、D 是⊙O 上的两点, 130=∠D ,则BAC ∠的度数是 .5.如图5,AB 是半圆O 的直径,E 是BC 的中点,OE 交弦BC 于点D,已知BC=8cm,DE=2cm,则AD 的长为 cm. 6．如图所示,在⊙O 中,AB 是直径,CO⊥AB,D 是CO 的中点,DE∥AB．求证:EC=2EA五．圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补,外角等于内对角. 圆内接梯形为等腰梯形,圆内接平行四边形为矩形.判断四点共圆的办法之一：四边形对角互补即可. 【典型例题】 例1 （1）已知圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,求∠D 的度数．（2）已知圆内接四边形ABCD 中,如图所示,AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A、∠B、∠C、∠D 的度数．例2 四边形ABCD 内接于⊙O ,点P 在CD 的延长线上,且AP∥BD．求证：AD AB BC PD ⋅=⋅例3 如图所示,ABC ∆是等边三角形,D 是BC 上任一点．求证：DB+DC=DA ．A BOD EC ·ADCBO P· ABC D O例4 AB 是⊙O的直径,弦DE⊥AB,弦AF 和DE 的延长线交于C,连结DF 、EF, 求证：FE FD FA FC ⋅=⋅例 5 如图所示,在ABC ∆中,AB=AC,过A 点的直线与ABC ∆的外接圆交于E,与BC 的延长线交于D ．求证：ED AD AC AD ⋅=-22【考点速练】1．圆内接四边形的对角,并且任何一个外角都它的内对角．2．已知四边形ABCD内接于⊙O,则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2::7,且最大的内角为．3．如右图,已知四边形ABCD 内接于⊙O,AE⊥CD 于E,若∠ABC=︒130,则∠DAE=．4．已知圆内接四边形ABCD 的∠A、∠B、∠C 的外角度数比为2:3:4, 则∠A=,∠B=．5．圆内接梯形是梯形,圆内接平行四边形是． 6．若E 是圆内接四边形ABCD 的边BA 的延长线上一点,BD=CD,∠EAD=︒55,则∠BDC=．7．四边形ABCD 内接于圆,∠A、∠C 的度数之比是5:4,∠B 比∠D 大︒30,则∠A=.∠D=．8．圆内接四边形ABCD 中,∠A、∠B、∠C 的度数比是2：3：6,则∠D 的度数是（ ）A·BCDO ·ABCDE O · ABCEDOA 、︒5.67B 、︒135C 、︒5.112D 、︒1109．如图1所示,圆的内接四边形ABCD,DA 、CB 延长线交于P,AC 和BD 交于Q,则图中相似三角形有（ ） A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对10．如果圆的半径是15,那么它的内接正方形的边长等于（ ） A 、215B 、315C 、2315 D 、2215 11．下列四边形中,有外接圆的四边形是（ ） A 、有一个角为︒60的平行四边形 B 、菱形C 、矩形D 、直角梯形12．如图2,四边形ABCD 是圆的内接四边形,如果BCD 的度数为︒240,那么∠C 等于（ ） A 、︒120B 、︒80C 、︒60D 、︒4013．若四边形ABCD内接于圆,且∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n,则（ ） A 、5m=4n B 、4m=5n C 、m+n=9D、m=n=︒18014．如图,已知⊙O 的半径为2,弦AB 的长为32,点CAC BPQ AD B C· O图2与点D 辨别是劣弧AB 与优弧ADB 上任一点（点C 、D 均不与A 、B 重合）. (1)求ACB ∠；(2)求三角形ABD 的最大面积．15．如图所示,已知△ABC 内接于⊙O,AB=A C,点D 为劣弧BC上一动点（不与B 、A 、C 重合）,直线AD 与BC 交于E 点,连结BD 、DC.（1）求证:BD·DC=DE·DA；（2）若将D 改成优弧BAC 上一动点（不与B 、A 、C 重合）,其他条件均不改动,则（1）中的结论还成立吗？请画图并证明你的结论.【作业】日期 1．过四边形ABCD 顶作∠B+∠D ︒>180,则D A 、圆上 B 、圆内及确定2．如图1,若AC=AD,那么圆中相等的圆周角所有的对数共有（ ） A 、5对B 、6对C 、7对D 、8对3．如图2,已知ABC ∆的外角∠BCD 的平分线CE 交ABC ∆的外接圆于E,则ABE ∆是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形D 、等腰三角形 ABCODAA4．如图3,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,AE 是⊙O 的弦,且AE⊥CD,若∠B=︒120,则∠DAE 为（ ） A 、︒60 B 、︒30C 、︒50D 、︒705．已知：如图所示,四边形ABCD 内接于⊙O,BD 是⊙O 直径,若∠DAC=︒60,BC=337,AD=5．求AC 的长．六．会用切线,能证切线考点速览： 考点1直线与圆的位置关系考点2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.ABCD图1A · BCDE O图3 ABCDE图2 · A BDCO符号语言Array∵ OA⊥ l 于A, OA为半径∴ l 为⊙O的切线考点3判断直线是圆的切线的办法：①与圆只有一个交点的直线是圆的切线.②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线.③经过半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线.（请务必记住证明切线办法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点4切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直） 经典例题：例1.如图,△ABC 内接于⊙O, AB 是 ⊙O 的直径,∠CAD＝ ∠ABC,判断直线AD 与⊙O 的位置关系,并说明理由.例2.如图,OA=OB=13cm,AB=24cm,⊙O 的半径为5cm,AB 与⊙O 相切吗？为什么?例3.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,切点为A 、B,C 是⊙O 上一点,若∠P＝40., 求∠C 的度数.例4．如图所示,ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,以AC 为直径作⊙O 交AB 于D,E 为BC 中点.求证：DE 是⊙O 的切线．例5．（2010深圳）如图10,以点M （－1,0圆与y 轴、x 轴辨别交于点A 、B 、C 、－ 33x － 533与⊙M 相切于点H,交x 轴于点E,交y 轴于点F ．（1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（3B分）（2）如图11,弦HQ 交x 轴于点P,且DP:PH ＝3:2,求cos∠QHC 的值；（3分）（3）如图12,点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C重合）,连接BK 交⊙M 于点T,弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a,始终满足MN·MK ＝a,如果存在,请求出a 的值；如果不存在,请说明理由．（3分）中考链接1.如图,在以O 为圆心的两个同心圆中,AB 经过圆心O,且与小圆相交于点A,与大圆相交于点B,小圆的切线AC 与大圆相交于点D,且CO 平分∠A CB.试判断BC 所在直线与小圆的位置关系,并说明理由.图10图11图122. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90. ,点O在AB上,以O 为圆心,OA长为半径的圆与AC、AB辨别交于点D、E,且∠CBD= ∠A,判断BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论.3. (2009深圳)如图,AB是⊙O的直径,AB=10,DC切⊙O 于点C,AD⊥DC,垂足为D,AD交⊙O于点E.（1）求证：AC平分∠BAD；3,求DC的长.（2）若sin∠BEC=54．（2008深圳）如图,点D是⊙O一点,点B在⊙O上,且AB＝AD＝AO．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若点E是劣弧BC上一点,AE与且△BEF的面积为8,2,求△ACF的面积．cos∠BFA＝3课堂速练（1）1．判断①垂直于半径的直线是圆的切线.………………………………（）②过半径外端的直线是圆的切线.………………………………（）③与圆有公共点的直线是圆的切线.……………………………（）④圆的切线垂直于半径.…………………………………………（）2．如图,AC切⊙O于点A,∠BAC＝37.,则∠AOB的度数为（）A. 64.B. 74.C. 83.D. 84.3. 如图,AB与⊙O相切于B,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,若∠A＝36.．则∠C＝______4．如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一ABC5C,∠BAC＝50.,∠ACD=______6．如图,AB为⊙O的直径,BC切⊙O于B,CO交⊙O于点D,AD E,7．（2006xoy中,B点M在x轴的正半轴上, ⊙M交x轴于A B、两点,交y轴于C D、两点,且C为弧AE的中点,AE交y轴于G点,若点A的坐标为（－2,0）,AE8(1)求点C的坐标.(2)连结MG BC、,求证：MG∥BC(3)如图10-2,过点D作⊙M的切线,交x轴于点P.动OF的比值是否产生变点F在⊙M的圆周上运动时,PF更,若不变,求出比值；若变更,说明变更规律.七．切线长定理考点速览：考点1切线长概念：经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长．切线长和切线的区别切线是直线,不成度量；而切线长是切线上一条线段的长,而圆外一已知点到切点之间Array的距离,可以度量．考点2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．要注意：此定理包含两个结论,如图,PA、PB切⊙O 于A、B两点,①PA=PB ②PO平分APB∠．考点3两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．经典例题：例1 已知PA、PB、DE辨别切⊙O于A、B、C三点,若PO=13㎝,PED∆的周长为24㎝,求：①⊙O的半径；②若40APB∠=︒,EOD∠的度数．例2 如图,⊙O辨别切ABC∆的三边ABD、E、F,若,,BC a AC b AB c===．（1）求AD、BE、CF的长；（2）当C∠=半径r．例3且例与x,以点C为圆心与圆与x轴相切于点E,与直线AB相切于点F.（1）当四边形OBCE是矩形时,求点C的坐标；（2）如图乙,若⊙C与y轴相切于点D,求⊙C的半径r；（3）求m与n之间的函数关系式；（4）在⊙C 的移动过程中,能否使OEF ∆是等边三角形（只回答“能”或“不克不及”）？考点速练1：1．如图,⊙O 是ABC ∆的内切圆,D 、E 、F::4:3:2A B C ∠∠∠=,则DEF ∠=． FEC ∠=． 2．直角三角形的两条直角边为5㎝、12三角形的外接圆半径为㎝, 3．如图,直线AB 、BC 、CD 辨别与⊙O 相切于点E 、F 、G,且AB∥CD,若OB=6㎝,OC=8㎝,则BOC ∠=,⊙O 的半径=㎝,BE+CG=㎝． 4．如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,AB 交OP 于点M ,若2,OM cm AB PB ==,则⊙O 的半径是㎝． 考点速练（2） 1．如图,在Rt ABC ∆中,90,3,4C AC BC ∠=︒==,一点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E,与AC ⊙O 与BC 的另一个交点D,则线段BD 的长．2．如图,ABC ∆内接于⊙O,AB 为⊙O 直径,过C 点的切线交直径AB 的延长线于P,25BAC ∠=︒,则P ∠=．4、切线,A 点C 任一点,＿. 题1 题25、（山西）若直角三角形斜边长为10cm,其内切圆半径为2cm,则它的周长为_______.6、（贵阳）如图,⊙O 是Rt△ABC 的内切圆,∠ACB＝900,且AB ＝13,AC ＝12,则图中阴影部分的面积是（ ）A 、π-30B 、π230-C 、π330-D 、π430-7．连结圆的两条平行切线的切点的线段,是这个圆的．8.如图1,AB 是⊙O 的直径,直线MN 切半圆于C,A M⊥MN,BN⊥MN,若AM=a ,BN=b ,则AB=.9．如图2,AB 是⊙O 的直径,延长AB 到D,使BD=OB,DC切⊙O 于C,则∠D=,∠ACD=,若半径为r ,AC=．10．经过圆的直径两端点的切线必互相． 11.如图,在ABC ∆,10,8,90===∠AB AC C ,点P 在AC 上,AP=2,若⊙O 的圆心在线段BP 上,且⊙O 与AB 、AC 都相切,则⊙O 的半径是（ ）. A ．1 B ．45 C ．712 D ．49 12.如图,四边形ABCD 是直角梯形,以垂直于底的腰AB为直径的⊙O 与腰CD 相切于E,若此圆半径为6㎝,梯形ABCD 的周长为38㎝,求梯形的上、下底AD 、BC 的长．八．三角形内切圆 · A B D C O 图2 M · CAO B N 图1 · A ODB CE考点速览考点1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形．概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形．考点2三角形外接圆与内切圆比较：名称确定办法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部．内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC辨别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）内心在三角形内考点3求三角形的内切圆的半径1、直角三角形△ABC内切圆⊙O的半径为2cbar -+=.2、一般三角形①已知三边,求△ABC内切圆⊙O的半径r.（海伦公式S△＝)cs)(bs)(as(s---, 其中s=2cba++)经典例题：例1．阅读资料：如图（1）,△ABC的周长为L,内切圆O的半径为r,连结OA,OB,△ABC被划分为三个小三角形,用S△ABC暗示△ABC的面积．∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA又∵S△OAB =12AB·r,S△OBC =12BC·r,S△OCA=12AC·r∴S△ABC =12AB·r+12BC·r+12CA·r=12L·r（可作为三角形内切圆半径公式）（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5,12,13的三角形内切圆半径；（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆,如图（2）•且面积为S,各边长辨别为a,b,c,d,试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆,且面积为S,各边长辨别为a1,a2,a3,…an,合理猜测其内切圆半径公式（不需说明理由）．例2．如图,△ABC中,∠A=m°．（1）如图（1）,当O是△ABC的内心时,求∠BOC 的度数；（2）如图（2）,当O是△ABC的外心时,求∠BOC 的度数；（3）如图（3）,当O是高线BD与CE的交点时,求∠BOC的度数．例3．如图,Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,⊙I辨别切AC,BC,AB于D,E,F,求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．考点速练1：1．如图1,⊙O内切于△ABC,切点为D,E,F．已知∠B=50°,∠C=60°, 连结OE,OF,DE,DF,那么∠E DF等于（）A．40° B．55° C．65° D．70°图 1 图 2 图32．如图2,⊙O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点,∠A=50°,∠C=60°, 则∠DOE=（）A．70° B．110° C．120° D．130°3．如图3,△ABC中,∠A=45°,I是内心,则∠BIC=（）A．112.5° B．112° C．125° D．55°4．下列命题正确的是（）A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B．三角形的内心不一定在三角形的内部C．等边三角形的内心,外心重合D．一个圆一定有唯一一个外切三角形5．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,则它的内切圆与外接圆半径辨别为（）A．1.5,2.5 B．2,5 C．1,2.5 D．2,2.56．如图,在△ABC中,AB=AC,内切圆O与边BC,AC,AB辨别切于D,E,F．（1）求证：BF=CE；（2求AC的长．7．如图,⊙I切△ABC的边辨别为D,E,F,∠B=70°,∠C=60°,M是弧DEF上的动点（与D,E不重合）,∠DMF的大小一定吗？若一定,求出∠DMF的大小；若不一定,请说明理由．考点速练21．如图,在半径为R的圆内作一个内接正方形,•然后作这个正方形的内切圆,又在这个内切圆中作内接正方形,依此作到第n个内切圆,它的半径是（）A．（2）nR B．（12）nR C．（12）n－1RD．（2）n－1R2．如图,⊙O为△ABC的内切圆,∠C=90°,AO的延长线交BC于点D,AC=4,•DC=1,则⊙O的半径等于（）A．45B．54C．34D．563．如图,已知△ABC的内切圆⊙O辨别和边BC,AC,AB 切于D,E,F,•如果AF=2,BD=7,CE=4．（1）求△ABC的三边长；（2）如果P为弧DF上一点,过P作⊙O的切线,交AB于M,交BC于N,求△BMN的周长．4．如图,⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M,N,G,H．（1）猜测AB+CD与AD+BC有何数量关系,并证明你的猜测；（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形,梯形的中位线长为m,其他条件不变,试用m暗示梯形的周长．5、思考题（选作）：如图,已知正三角形ABC的边长为2a．（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；。
初三数学圆的经典讲义 (2)
例7：已知⊙O中， ， ，则⊙O的半径为 ．
例8 已知：如图所示， 是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G．求证：
考点练习
1.如图，已知 是⊙O的圆周角， ，则圆心角 是（ ）
（1）求证：AE＝BF
（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。
例4 如图，在⊙O内，弦CD与直径AB交成 角，若弦CD交直径AB于点P，且⊙O半径为1，试问： 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
【考点速练】
推论1：
①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤．
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．
③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤．
推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．
垂径定理及推论1中的三条可概括为：
1经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．
A．三点确定一个圆B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆
C．任何一个四边形都有一个外接圆 D．等腰三角形的外心一定在它的外部
2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形
3．圆的内接三角形的个数为（ ）
A．1个 B．2 C．3个D．无数个
【典型例题】
例1在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以 为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。
初三数学圆地经典讲义
适用标准文档圆目录圆的定义及有关观点垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线 ,能证切线切线长定理三角形的内切圆认识弦切角与圆幂定理〔选学〕圆与圆的地点关系圆的有关计算一．圆的定义及有关观点【考点速览】考点 1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点 2：确立圆的条件；圆心和半径①圆心确立圆的地点，半径确立圆的大小；②不在同一条直线上的三点确立一个圆；考点 3：弦：连结圆上随意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上随意两点间的局部叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
〔请务必注意区分等弧，等弦，等圆的观点〕弓形：弦与它所对应的弧所组成的关闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
〔请务必注意在圆中一条弦将圆切割为两个弓形，对应两个弓高〕固定的已经不可以再固定的方法：直角三角形。
如以下列图：考点 4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。
考点 5点和圆的地点关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d，那么点与圆的地点关系有三种。
①点在圆外d＞ r ；②点在圆上d=r ；③点在圆内 d ＜r ；【典型例题】例 1 在⊿ABC中，∠ACB=90° , AC=2, BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确立 A,B,M 三点分别与⊙ C有如何的地点关系，并说明你的原因。
AMB C例 2．，如图， CD是直径，EOD84 ，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。
EBDO C A例 3⊙ O平面内一点P 和⊙ O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，那么这圆的半径是_________cm。
例 4 在半径为 5cm的圆中，弦 AB∥ CD， AB=6cm， CD=8cm，那么 AB 和 CD的距离是多少？例 5如图,⊙ O的直径AB和弦CD订交于点E， AE=6cm，EB=2cm,CEA 30 ，求 CD的长．CA·E BOD例6.：⊙O的半径0A=1AB AC的长分别为2, 3，求BAC的度数．，弦、二．垂径定理及其推论【考点速览】考点 1垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，而且均分弦所对的两条孤．推论 1：①均分弦〔不是直径〕的直径重直于弦，而且均分弦所对的两条孤．②弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条孤．③均分弦所对的一条孤的直径, 垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条孤．推论 2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．垂径定理及推论1中的三条可归纳为：①经过圆心；②垂直于弦；③均分弦 ( 不是直径 ) ；④均分弦所对的优弧；⑤均分弦所对的劣弧．以上五点此中的随意两点，都能够推得其他两点适用标准文档例 1如图AB、CD是⊙ O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且AMN C NM ．求证： AB=CD．A CM N·OB D例 2 ，可是圆心的直线l交⊙ O于 C、D两点， AB是⊙ O的直径， AE⊥l于 E，BF⊥l于F。
初三数学圆的经典讲义之欧阳与创编
圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，O 于B ，且AB=OC ，求∠A 例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 3cm ，最大为8cm 例4 在半径为5cm 的圆中，弦CD=8cm ，则AB 和CD 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ，求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． 【考点速练】A BDC O · E1.下列命题中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C．任何一个四边形都有一个外接圆D．等腰三角形的外心一定在它的外部2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个 B．2 C．3个D．无数个4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个 B．2 C．3个D．无数个5．下列说法中，正确的个数为（）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm ；C.小于6cmD.大于12cm8.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）11.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．12拱高CD ＝4cm 13、△ABC 中，AB=AC=10BC=12，则它的外接圆半径是＿＿。
初三数学圆的经典讲义之欧阳治创编
圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内⇔ d＜r；【典型例题】例1 在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM 是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD是直径，⊙O于B，且AB=OC，求∠A例3 ⊙O平面内一点P和⊙O3cm，最大为8cm例 4 在半径为5cm的圆中AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ，求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． 【考点速练】1.下列命题中，正确的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C ．任何一个四边形都有一个外接圆D ．等腰三角形的外心一定在它的外部2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（ ）A ．1个B ．2C ．3个D ．无数个 4．三角形的外接圆的个数为（ ）A ．1个B ．2C ．3个D ．无数个5．下列说法中，正确的个数为（ ）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定A BDC O · E一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cmD.大于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）11.如图，已知在ABCA，AB=3cm，∠90∆中，︒=AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度拱高CD ＝4cm13、△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是＿＿。
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圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线, 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内⇔d＜r；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD是直径，AE交⊙O于B，且AB=OC，求例3 ⊙O平面内一点P和⊙O最小为3cm，最大为8cm_________cm。
例4 在半径为5cm的圆中，弦AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？例5 如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm, 30=∠CEA，求CD的长．例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为3,2，求BAC∠的度数．【考点速练】1.下列命题中，正确的是（）A BDCO·EA．三点确定一个圆B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C．任何一个四边形都有一个外接圆D．等腰三角形的外心一定在它的外部2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个5．下列说法中，正确的个数为（）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．A．1个B．2个C．3个D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cmD.大于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）11.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．12＝16cm ，拱高CD ＝4cm 半径是＿＿m 。
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圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，且AB=OC ，求∠A 的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 为8cm ，则这圆的半径是例4 在半径为5cm 的圆中，弦则AB 和CD 的距离是多少？例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ，求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数．【考点速练】1.下列命题中，正确的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C ．任何一个四边形都有一个外接圆 D ．等腰三角形的外心一定在它的外部2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ）A B D C O · EA．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个 B．2 C．3个D．无数个4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个 B．2 C．3个D．无数个5．下列说法中，正确的个数为（）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cmD.大于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）11.如图，已知在ABC∆中，︒=∠90A，AB=3cm，AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长．12＝4cm，那么拱形的半径是＿＿m。
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圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 最大为8cm ，则这圆的半径是例 4 在半径为5cm CD=8cm ，则AB 和CD 例 5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ，求CD 的长．例 6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． 【考点速练】1.下列命题中，正确的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C ．任何一个四边形都有一个外接圆D ．等腰三角形的外心一定在它的外部 A BDC O · E2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个 B．2 C．3个D．无数个4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个 B．2 C．3个D．无数个5．下列说法中，正确的个数为（）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cmD.大于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）11.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．12CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m 。
初三数学圆的经典讲义-复习巩固
【典型例题】 例 1 如图 AB、 CD是⊙ O的弦， M、 N 分别是 AB、CD的中点，且
AMN
CNM ．
求证： AB=CD．
A
C
M
N
·
O
B
D
例 2 已知，不过圆心的直线 l 交⊙ O于 C、D 两点， AB 是⊙ O的直径， AE⊥ l 于 E，BF⊥ l 于 F。求证： CE=DF．
B O?
2． D 是半径为 5cm的⊙ O内的一点，且 D0=3cm，则过点 D的所有弦中，最小的弦 AB= cm.
3. 若圆的半径为 2cm，圆中一条弦长为 2 3 cm，则此弦所对应弓形的弓高是
.
4. 已知⊙ O的弦 AB=2cm,圆心到 AB 的距离为 n, 则⊙ O的半径 R=
，⊙ O的周长为 .
⊙ O的面积
.
D
A
P
。
O
B
C
【考点速练】
1. 已知⊙ O的半径为 2cm，弦 AB 长 2 3cm ，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（
）.
A ． 1cm B.2cm C.
2cm D.
3cm cm
3．如图 1，⊙ O的半径为 6cm， AB、 CD为两弦，且 AB⊥ CD，垂足为点 E，若 CE=3cm，DE=7cm，则 AB的长 为（ ）
求 CD的长．
C
30 ，
A
·E B
O
D
例 6. 已知：⊙ O的半径 0A=1，弦 AB、 AC的长分别为 2 , 3 ，求 BAC 的度数．
【考点速练】
1. 下列命题中，正确的是（
）
A ．三点确定一个圆
B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆
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一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？MABCDOEB CB例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ， 求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数．例7.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m 。
.思考题如图所示,已知⊙O 的半径为10cm ，P 是直径AB 上一点,弦CD 过点P,CD=16cm,过点A 和B 分别向CD 引垂线AE 和BF,求AE-BF 的值.AB DCO· EC BDA·AB DCEP FO二．垂径定理及其推论【考点速览】 考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤． 推论1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤． 推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等． 垂径定理及推论1中的三条可概括为：① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且CNM AMN ∠=∠． 求证：AB=CD ．例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。
求证：CE=DF ．A B DC O· NMl•问题一图1 OHFE D CBA l•问题一图2O H F E DC BAl•问题一图3OH FE D C BA例3 如图所示，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A ，点D 与B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于E ，DF ⊥CD 交AB 于F 。
（1）求证：AE ＝BF（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。
例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径AB 交成045角，若弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1，试问：22PD PC + 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.A BCDPO。
例5.如图所示，在⊙O 中，弦AB ⊥AC ，弦BD ⊥BA ，AC 、BD 交直径MN 于E 、F.求证：ME=NF.例6.（思考题）如图，1o Θ与2o Θ交于点A ，B ，过A 的直线分别交1o Θ，2o Θ于M,N ，C 为MN 的中点，P 为21O O 的中点，求证：PA=PC.三．圆周角与圆心角【考点速览】 考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
·OA BDC E F MN1O AB2OMNC P圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。
两个条件缺一不可．Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．Eg: 如下三图，请证明。
13.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．（1）求证：DB平分∠ADC；（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．14.如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ．（1）求证：∠ACO =∠BCD ．（2）若E B =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径．15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，CB ＝12，AD 是△ABC 的角平分线，过A 、C 、D 三点的圆与斜边AB 交于点E ，连接DE 。
（1）求证：AC ＝AE ；（2）求△ACD 外接圆的半径。
16.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ⋂上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？B图① 图②【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和C 、D ，求证：AB=CD ．ABEFOPC12D例2、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF 。
求证：PA=PC 。
例3．如图所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ．例5．如图所示，已知在⊙O 中，弦AB=CB ，∠ABC=︒120，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ． 求证：ODE ∆是等边三角形．·OABCO ·CAE BD·O A DE BCABCODE例6.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E 。
（1）试说明△ODE 的形状；（2）如图2，若∠A=60º，AB ≠AC ，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由。
例7弦DF ∥AC ，EF 的延长线交BC 的延长线于点G. （1）求证：△BEF 是等边三角形； （2）BA=4，CG=2，求BF 的长.例8已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。
求证：AE=BF=CD 。
ABCODE· A OBE DC GF六．会用切线，能证切线考点速览： 考点1直线与圆的位置关系考点2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
符号语言∵ OA ⊥ l 于A ， OA 为半径∴ l 为⊙O 的切线考点3判断直线是圆的切线的方法：①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。
②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径） 考点4切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）1、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若AB=3,BC=4,DE=DC，求⊙O的半径．2.如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使BED C∠=∠．（1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；3.如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．（1）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切．（2）在（1）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求DE的长；DCA O BE D4.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）求证：BC=21AB ；5.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过A 、E 两点, 交AD 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：BC 与⊙O 相切；（2）当∠BAC =120°时，求∠EFG 的度数6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，（1）若∠AED ＝45º．试判断CD 与⊙O 的关系，并说明理由．（2）若∠AED=60º,AD=4，求⊙O 半径。