初三数学讲义圆
初三九年级上册_圆的概念和性质辅导讲义(学生版)
初三九年级上册_圆的概念和性质辅导讲义知识图谱圆的相关概念知识精讲知识精讲一．圆的相关概念1.圆的概念（1）描述性定义:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径；（2）集合性定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径；（3）圆的表示方法:用符号 表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O”，读作“圆O”；（4）同圆、同心圆、等圆：①圆心相同且半径相等的圆叫同圆；②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；③能够重合的两个圆叫做等圆．2.弦与弧的相关概念：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍；（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的圆弧记作 AB，读作弧AB；（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角与圆周角（1）圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角；①将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧；②圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；（2）圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．三点剖析一．考点：圆的相关概念二．重难点：1.圆的两种定义的理解；2.弦心距、优弧、圆周角等陌生概念的理解与记忆．三．易错点：1.圆是一条封闭曲线并不包含所围成图形内部部分；2.弓形只是由弧和弦所构成不包含半径；3.同圆、等圆、同心圆的联系与区别．圆的相关概念例题例题1、判断：（1）直径是弦，弦是直径（）（2）半圆是圆弧（）（3）长度相等的弧是等弧（）（4）能够重合的弧是等弧（）（5）圆弧分为优弧和劣弧（）（6）优弧一定大于劣弧（）（7）半径相等的圆是等圆（）例题2、设想有一根铁丝套在地球的赤道上，刚好拉紧后，又放长了15米，并使得铁丝均匀地离开地面．则下面说法中比较合理的是（）A.你只能塞过一张纸 B.你只能塞过一只书包C.你能钻过铁丝 D.你能直起身体走过铁丝随练随练1、下列说法中，结论错误的是（）A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧随练2、过圆上一点可以做出圆的最长弦的条数是（）A.1条 B.2条 C.3条D.无数条随练3、如图，O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE OB =，74AOC ∠=︒，则E ∠=．垂径定理知识精讲一．垂径定理1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2.推论1：（1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．补充说明：做题过程中，定理与推论1（1）可以直接使用，而推论1（2）、（3）需证明后再使用．三点剖析一．考点：垂径定理二．重难点：利用垂径定理求圆的半径、弦长和弦心距．三．易错点：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题垂径定理例题例题1、在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm ，则油的最大深度为（）A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm例题2、如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于E ，1CE =寸，10AB =寸，则直径CD 的长为（）A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸例题3、如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分．如果M 是O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交O 于点E ，并且4CD =，6EM =，求O 的半径．例题4、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水面最深地方的高度为2cm ，则该输水管的半径为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm例题5、⊙O 的半径为10，两平行弦AC ，BD 的长分别为12，16，则两弦间的距离是（）A.2B.14C.6或8D.2或14随练随练1、如图，⊙O 的弦AB 垂直半径OC 于点D ，∠CBA=30°，OC=3cm ，则弦AB 的长为（）A.9cmB.3cmC.cmD.cm随练2、如图，ABC ∆内接于O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结论AB DE AE BE OD DE AEO C ⊥==∠=∠①，②，③，④， 12AE AEB=⑤，正确结论的是随练3、如图，当圆形桥孔中的水面宽度AB 为8米时，弧ACB 恰为半圆．当水面上涨1米时，桥孔中的水面宽度A B ''为（）15米 B.215米 C.217米 D.不能计算随练4、如图，在梯形ABCD 中，AB DC ∥，AB BC ⊥，2cm AB =，4cm CD =．以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离是多少？弧，弦，圆心角之间的关系知一推二知识精讲一．圆心角、弧、弦之间的关系1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弧也相等．若AOB A OB ''∠=∠，则 AB A B ''=，AB A B ''=，AM A M ''=．2.推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．二．应用1.在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答；2.有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距；3.在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角；4.有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（1）连过弧中点的半径；（2）连等弧对的弦；（3）作等弧所对的圆心角三点剖析一．考点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系二．重难点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系三．易错点：1.两条弧存在倍数关系，但所对应的弦并不是存在相同的倍数关系；2.判断题中，注意题中前提条件，必须是在等圆或同圆中．弧，弦，圆心角之间的关系知一推二例题例题1、下列说法中正确的是（）①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦相等；③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．A.①③ B.②④ C.①④ D.②③例题2、如图，以ABC ∆的边BC 为直径的O 分别交AB AC 、于点D E 、，连结OD OE 、，若65A ∠=︒，则DOE ∠=．例题3、如图，AB 、CD 为⊙O 的直径， AC CE=，（1）试说明BD CE =；（2）若连结BE ，问BE 与CD 平行吗？请说明理由．随练随练1、如图所示，点D 是弦AB 的中点，点C 在⊙O 上，CD 经过圆心O ，则下列结论中不一定正确的是（）A.CD ⊥ABB.∠OAD=2∠CBDC.∠AOD=2∠BCDD.弧AC=弧BC随练2、如图，A ，B ，C ，D 均为⊙O 上的点，且AB CD =，则下列说法不正确的是（）A.AOB COD ∠=∠B.AOC BOD ∠=∠C.AC BD =D.OC CD=随练3、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC ，则∠ABC=___________．拓展拓展1、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A.45（）cm B.9cm C.45 D.62cm拓展2、下列说法正确的有（）①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；③度数相等的弧叫做等弧；④优弧大于劣弧；⑤直角三角形的外心是其斜边中点．A.①②③④⑤B.①②⑤C.①②③⑤D.②④⑤拓展3、如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围为____cm≤OP≤____cm．拓展4、如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA=时，△PAD为等腰三角形．拓展5、在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，^^^AC CD BD==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是__________．拓展6、如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm．拓展7、在⊙O 中，点C 是劣弧AB 的中点，则线段AB 和线段AC 的大小为（）A.2AB AC =B.2AB AC >C.2AB AC< D.无法确定拓展8、如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是弧ACB 上一点，D 、E 是弧AB 上不同的两点（不与A 、B 两点重合），则D E ∠+∠的度数为（）A.mB.1802m︒-C.902m ︒+D.2m 拓展9、如图，在半径为2的⊙O 中，弦AB=2，⊙O 上存在点C ，使得弦AC=22BOC=______________°．拓展10、如图9A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是弧 AB 的中点，求证四边形OACB 是菱形．图9。
九年级圆所有知识点讲解
九年级圆所有知识点讲解圆是几何学中的一个重要概念，广泛应用于数学以及日常生活中。
在九年级的数学课程中，我们学习了许多与圆相关的知识点，包括圆的定义、圆的性质、圆的方程、弧长和扇形面积等。
本文将对这些知识点进行逐一讲解，帮助同学们深入理解圆。
一、圆的定义圆是指平面上到定点的距离恒定的一组点的集合。
其中，定点称为圆心，距离称为半径。
记作圆O，圆心为O，半径为r。
二、圆的性质1. 圆上任意两点到圆心的距离相等。
2. 圆的半径相等的两个或多个圆是同心圆。
3. 圆的半径垂直于圆上的切线。
4. 圆的直径是圆上任意两点的最大距离，且等于两倍的半径。
5. 圆的切线垂直于半径。
三、圆的方程1. 利用圆心和半径表示圆的方程：圆的方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
2. 利用直线与圆的方程表示圆的方程：若直线y = kx + c与圆(x - a)² + (y - b)² = r²有两个相交点，则k² + 1 ≠ 0，并且满足：(1) 4b²(k² + 1) - 4(ac + b² - r²)(k² + 1) > 0；(2) b - ka - c ≠ 0。
四、弧长和扇形面积1. 弧长：弧长是指圆上的一段弧的长度。
弧长与圆心角度数的关系是：弧长 = 圆周长 × (圆心角度数 / 360°)。
2. 扇形面积：扇形是指由圆心和圆上弧所围成的图形。
扇形面积与圆心角度数的关系是：扇形面积 = 圆的面积 × (圆心角度数 / 360°)。
通过以上对九年级圆的知识点的讲解，希望同学们能够对圆的定义、性质、方程以及弧长和扇形面积等方面有更深入的理解。
掌握这些知识点，对于解决与圆相关的数学问题将会更加得心应手。
初中九年级数学圆的讲义
初中九年级数学圆的讲义圆一、基本概念与性质在平面内把线段OP绕着端点O旋转一周，端点P所形成的图形叫做圆。
其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径。
以点O为圆心的圆，记作⊙O ，读作圆O 。
点和圆的位置关系：如果⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则d>r时，点P在__________d=r时，点P在__________d<r时，点p在__________< p="">圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
弦与弧连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，是圆最长的弦。
圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，符号：以C、D为端点的弧，记作，读作圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
顶点在圆心的角叫做圆心角，顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角。
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，能够互相重合的两个圆叫做等圆，能够互相重合的弧叫做等弧。
同圆或等圆的半径相等。
圆心角、弧、弦之间的关系：1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
2.推论：在同圆或等圆中，若两条弧相等，那么它们所对的圆心角和弦都相等。
在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的圆心角和弧都相等。
3.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
圆心角与圆周角的关系：1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
2.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°圆周角所对的弦是直径。
垂径定理：1.垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧确定圆的条件：1.经过一点A作圆2.经过A、B两点作圆3.经过A、B、C三点作圆——a)当三点位于一条直线时b)当三点不在一条直线上时4.结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆三角形的三个顶点确定一个圆。
(完整版)初三数学圆的经典讲义
圆目录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线, 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理（选学）圆与圆的位置关系圆的有关计算一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
M A B C DOEBC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
(完整word版)初三数学圆的经典讲义
圆目录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线, 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理（选学）圆与圆的位置关系圆的有关计算一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
M A B C DOEBC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
九年级圆基础知识点圆讲义
一对一讲课教案一、圆的概念：1. 描述性概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．2 圆的表示方式：通经常使用符号⊙表示圆，概念中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O⊙”，读作“圆O”．3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等．1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2. 直径：通过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4. 弧：圆上任意两点间的部份叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．5. 等弧：在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧．6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．1. 圆心角：极点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，咱们也称如此的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2. 圆周角：极点在圆上，而且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：若是三角形一边上的中线等于这边的一半，那么那个三角形是直角三角形．4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，若是两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量别离相等．一、圆的对称性1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是通过圆心的任意一条直线．2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心．3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，不管绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合．二、垂径定理1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的两条弧．2. 推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线通过圆心，而且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，而且平分弦所对的另一条弧．3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．练习题；1.判定：（1）直径是弦，是圆中最长的弦。
初三数学圆经典终极讲义
一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？MABCDOEB CB例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm,ο30=∠CEA ， 求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数．例7.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m 。
初三数学圆经典讲义
圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线, 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
M AB C DOEB AC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
初三数学圆的经典讲义
一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试的定义及相关概念【考点速览】考点 1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点 2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点 3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点 4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。
考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外 d > r；②点在圆上d=r ；③点在圆内 d < r；典型例题】例 1 在⊿ABC中，∠ ACB=90 ° ,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5 为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD是直径，EOD=84，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。
例 3 ⊙O平面内一点P和⊙ O上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm，则这圆的半径是________ cm。
完整word版,关于初三数学圆的经典讲义
圆目录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线, 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理（选学）圆与圆的位置关系圆的有关计算一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
M A B C DOEBC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
九年级圆知识点讲解
九年级圆知识点讲解圆是几何学中非常重要的一种图形，它的性质和应用广泛存在于我们的日常生活中。
在九年级数学课程中，学生需要了解和掌握圆的相关知识点。
本文将从圆的定义、性质以及圆的应用三个方面进行讲解。
一、圆的定义圆是由一个平面上到一点距离相等的所有点的集合。
一个圆由一个圆心和一个半径组成。
圆心表示为O，半径表示为r，用符号表示圆为O(r)。
二、圆的性质1. 圆的直径与周长的关系圆的直径是连接圆上任意两点并经过圆心的线段，它的长度等于圆的半径的两倍（2r）。
而圆的周长是圆上所有点到圆心的距离之和，等于直径的π倍（2πr）。
2. 圆的面积圆的面积是圆内部的所有点与圆心的距离之和，即π倍的半径平方（πr^2）。
其中，π是一个近似值，约等于3.14159。
3. 弧长和扇形面积圆的一部分称为弧。
弧长是弧上的长度，它的计算方法是通过圆的周长与圆心角的比例求得。
扇形是由圆心和两个半径所围成的部分，扇形的面积可以通过圆的面积与圆心角的比例求得。
三、圆的应用1. 圆的测量和绘制在实际测量中，我们常常需要使用直尺、圆规等工具来测量和绘制圆形物体。
合理运用圆的性质可以帮助我们准确测量圆形物体的直径、周长和面积。
2. 圆的相关公式运用在解决几何题目和问题时，常常需要根据已知条件利用圆的相关公式进行推导和计算。
例如，在计算圆环的面积时，可以通过内圆和外圆的面积差求得。
3. 圆的运动学应用圆形轨迹在物理学和工程学中也有广泛的应用。
例如，天体运动研究中的行星轨迹、汽车轮胎的运动轨迹等。
总结：本文从圆的定义、性质以及应用三个方面对九年级圆的知识点进行了讲解。
合理运用圆的性质和公式，可以帮助我们解决各种实际问题和几何题目。
通过掌握圆的相关知识，学生能够在数学学习中更好地理解和应用几何知识。
希望本文对九年级学生的圆知识点学习有所帮助。
初三数学圆的经典讲义
圆之五兆芳芳创作目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计较十二．圆的根本综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆心是它的对称中心.考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.直径是圆中最大的弦.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧.弧分为半圆，优弧、劣弧三种.（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所组成的封锁图形.弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段.（请务必注意在圆中一条弦将圆联系为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不克不及再固定的办法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形.如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在.考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种.＞r＜r；【典型例题】例1 在⊿ABC=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C A,B,M三点辨别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由.例2．已知，如图，CDO于B，且AB=OC，求∠A的度数.例 3 ⊙O平面内一点P，最大为8cm，则这圆的半径是例4 在半径为5cm的圆中，弦，则AB 和CD的距离是多少？例 5 如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，求CD的长．例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、的度数．【考点速练】1.下列命题中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C．任何一个四边形都有一个外接圆D．等腰三角形的外心一定在它的外部2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个 B．2 C．3个D．无数个4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个 B．2 C．3个D．无数个5．下列说法中，正确的个数为（）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包含鸿沟)；B.圆的内部(不包含鸿沟)；； D.圆的内部(包含鸿沟)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )；8.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( )9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( )10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保存作图陈迹）11.AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．12CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m.13、△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是＿＿. 14、如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有的⊙O 的弦的弦的条数为＿＿.如图所示,已知⊙O 的半径为10cm ，P AB 上一点,弦CD 过点P,CD=16cm,过点A 和B CD 引垂线AE 和BF,求AE-BF 的值. 【作业】日期 姓名完成时间成绩1、在半径为2的圆中，弦长等于2. △ABC 的三个顶点在⊙O 上,且O 的半径=__,BC=___.3． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为_________；•最长弦长为_______．4. 如图,A,B,C 三点在⊙O 上,且AB 是⊙O 的直径,半径OD ⊥AC,垂足为F,若∠A=30º,OF=3,则OA=______ ,AC=______,BC=_________.5.如图5,为直径是52cm 圆柱形油槽,装入油后,油深CD 为16cm,那么油面宽度AB=____ , ⊙O 中弦AB ⊥AC,D,E 辨别是AB,AC 的中点.FA DC B O⑴若AB=AC,则四边形OEAD 是形;⑵若OD=3,则AB=_cm,AC=___ _cm7.如图7，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=8cm ，EB=4cm ，∠CEA=30°，则CD 的长为_________．(5) (6) (7)二．垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤．推论1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤．推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等． 垂径定理及推论1中的三条可归纳综合为：① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点 【典型例题】例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦，M 、N 辨别是AB 、CD 的中点，且求证：AB=CD ．例2O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE E ，BF F.求证：CE=DF ．例3 如图所示，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A ，点D 与B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于E ，DF ⊥CD 交AB 于F. （1）求证：AE ＝BF（2）在动弦CD 滑动的进程中，四边形CDEF 的面积是否为定值？若A BD C O· NM是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由.例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径AB CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由. 【考点速练】⊙O 的半径为2cm ，弦AB 中点的距离为（ ）. A ．3．如图1，⊙O 的半径为6cm ，AB 、CD 为两弦，且AB ⊥CD ，垂足为点E ，若CE=3cm ，AB ） A ．4.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ）5．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB 于C 、D 若AB=4，CD=2，圆心O 到AB 1 ） A ．6.等腰三角形腰长为4cm,则外接圆直径为（ ） A ．2cm B.4cm C.6cm D.8cm7.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值规模是.8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是____m.9.如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为800mm ，求水的最大深度CD ．10.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 于D ，则11.已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径AB 的中点,AB 、OC 相交于点M.试判断四边形. 12.如图所示，在⊙O 中，弦AB ⊥AC ，弦BD 交直径MN 于E 、F.求证：ME=NF.M,N ，C 为MN 的中点，P D CA A D EC B ·O 图1A ·OC D B图2B【作业】日期 姓名完成时间成绩⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD ⊥AB ，垂足为M.且OM=3cm ，则CD=. 2．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点，且D0=3cm ，则过点D 的所有弦中，最小的弦AB=cm.3.若圆的半径为2cm，则此弦所对应弓形的弓高是.⊙O 的弦AB=2cm,圆心到AB 的距离为n,则⊙O 的半径R=，⊙O 的周长为. ⊙O 的面积为.5．在⊙O 中，弦AB=10cm ，C OC 交AB 于D ，CD=1cm ，则⊙O 的半径是.6．⊙O 中，AB 、CD 是弦，且AB ∥CD ，且AB=8cm ，CD=6cm ，⊙O 的半径为5cm ，连接AD 、BC ，则梯形ABCD 的面积等于.7．如图，⊙O 的半径为4cm ，弦AB 、CD 交于E 点，AC=BC ，OF ⊥CD 于F ，OF=2cm ，则 ∠BED=.8．已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN ∥EF ，且MN=12cm ，EF=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为. 三．圆周角与圆心角【考点速览】 考点1 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数.Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角.两个条件缺一不成．Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由 考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． Eg: 如下三图，请证明. 考点3 4. 推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．· A EF BCD O径．③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．经典例题例1.是圆心角的有 .例2：如图，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝35°,则∠OBC=_____.O的都在⊙O上，若．2，⊙O例6：已知：如图，AD•是⊙O•的直径，∠ABC=•30•°，则∠CAD=_______．例7：已知⊙O O例8 O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G考点练习1.如图，已⊙O的圆周角（）A（例１）例２CA2.已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD⌒上不合于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°3.△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝6，则△ABC 外接圆的半径为（ ） A ．32B ．33C ．3D ．34.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ） A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．60°5.如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6.下列命题中，正确的是（ ）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等A ．①②③B ．③④⑤C ．①②⑤D ．②④⑤ 7.如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC 的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．258.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC =120°，AB =AC ，BD 为 ⊙O 的直径，AD =6，则BC ＝.9.如图9，有一圆形展厅，在其圆形边沿上的点A 处装置了一台监督器，它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边沿上共装置这样的监督 器台.10.如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数辨别是70°、40°，则∠1的度数为. 11.如图,AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =30°，点P 在线段OB ∠ACP =x ，则x 的取值规模是. 12.如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的标的目的行走，走到场地边沿B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的标的目的折向行走.依照这种方法，小华第五次走到场地边沿时处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是.B EDA C OA BC O（第9题） A65°°O AB OC xP13.如图，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD ．（1）求证：DB 平分∠ADC ；（2）若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长．14.如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且于点E ．连接AC 、OC 、BC ．（1．（2）若E BCD O15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90＝12，AD 是△ABC的角平分线，过A 、C 、D E ，连接DE.（1）求证：AC ＝AE；（2）求△ACD 16.（1理由．（2【考点速览】圆心角, 弧,弦,推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都辨别相等. （务必注意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边辨别交于A 、B 和C 、例2、已知：如图，EF 为⊙O AB 、CD ，且∠APF=∠CPF. 求证：PA=PC.例3三条弦等长，求∠BOC.B 图①图②AAB C ODE例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ．例5．如图所示，已知在⊙O 中，弦AB=CB ，∠ABC=︒120，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ．求证：ODE ∆是等边三角形．综合练习一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ）A 、相等的圆心角所对的弧相等B 、相等的弧所对的圆心角相等C 、相等的弦所对的弦心距相等D 、弦心距相等，则弦相等2．如图，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于（ ）A 、︒15B 、︒20C 、︒25D 、︒303．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为（ ） A 、1cm B 、3cm C 、32cm D 、4cm4．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角辨别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距（ ） A 、3 B 、6 C 、13+ D 、333±5.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 辨别交AB 、AC 于点D 、E.（1）试说明△ODE 的形状；（2）如图2，若∠A=60º，AB ≠AC ，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由.6 如图，△ABC 是等边三角形，⊙∥AC ，EF 的延长线交BC 的延长线于点G. （1）求证：△BEF 是等边三角形； （2）BA=4，CG=2，求BF 的长. 7 已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 辨别交OC 、OD 于点E 、F.求证：AE=BF=CD. ·O图A BCAB C O DE·A OE D FO ·CA EB D·O A DE BC如图 3如图4如图5【作业】日期 姓名完成时间成绩 1.如图1，ABC ∆内接于⊙O ，445==∠，ABC则⊙O 的半径为（ ）.A ．22B ．4C ．32D ．5 2.如图2，在⊙O 中，点C 是AB 的中点，40=∠A ，则BOC ∠等于（ ）. A ．40B ．50C ．70D ．803.如图3，A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点，且D 是AB 的中点，CD 交OB 于E ，55,100=∠=∠OBC AOB ，OEC∠= 度.4.如图4，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，130=∠D ，则BAC∠的度数是 .5.如图5，AB 是半圆O 的直径，E 是BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知BC=8cm,DE=2cm ，则AD 的长为 cm.6．如图所示，在⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ．求证:EC=2EA五．圆内接四边形 【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. 圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形. 判断四点共圆的办法之一：四边形对角互补便可. 【典型例题】例1 （1）已知圆内接四边形ABCD 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D 的度数．（2）已知圆内接四边形ABCD 中，如图所示，AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数．例 2 四边形ABCD 内接于⊙O ，点P 在CD 的延长线上，且AP ∥BD ．求证：AD AB BC PD ⋅=⋅例 3 ABC ∆是等边三角形，D 是BC 上任一点．求证：DB+DC=DA ．例4 AB 是⊙O 的直径，弦DE ⊥AB ，弦AF 和DE 的延长线交于C ，连结如图1 2A BOD EC·A D C BO P A ·A B CDODF、EF，例 5AB=AC，过A交于E，与BC的延长线交于D【考点速练】1．圆内接四边形的对角，并且任何一个外角都它的内对角．2．已知四边形ABCD内接于⊙O，则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2::7，且最大的内角为．3．如右图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CD于E，若∠DAE=．4．已知圆内接四边形ABCD的∠A、∠B、∠C的外角度数比为2:3:4，则∠A=，∠B=．5．圆内接梯形是梯形，圆内接平行四边形是．6．若E是圆内接四边形ABCD的边BA的延长线上一点，BD=CD，∠BDC=．7．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠C的度数之比是5:4，∠B比∠D A=.∠D=．8．圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数比是2：3：6,则∠D的度数是（）A B C D9．如图1所示，圆的内接四边形ABCD，DA、CB延长线交于P，AC 和BD交于Q，则图中相似三角形有（）A、1对B、2对C、3对D、4对10．如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（）A B C D11．下列四边形中，有外接圆的四边形是（）A B、菱形C、矩形D、直角梯形12．如图2，四边形ABCD是圆的内接四边形，如果BCD的度数为C等于（）A B C D13．若四边形ABCD内接于圆，且∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n，则·B C DEO·ABC E DO（ ）A 、5m=4nB 、4m=5nC 、m+n=9D 、142，弦AB 的长为C 与点D 辨别上任一点（点C 、D 均不与A 、B 重合）.(1)(2)求三角形ABD 的最大面积． 15．如图所示，已知△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，点D 为劣弧BC上一动点（不与B 、A 、C 重合），直线AD 与BC 交于E 点，连结BD 、DC.（1）求证:BD ·DC=DE ·DA ；（2）若将D 改成优弧BAC 上一动点（不与B 、A 、C 重合），其他条件均不改动，则（1）中的结论还成立吗？请绘图并证明你的结论.【作业】日期 1．过四边形ABCD B+∠D点在（ ）A 、圆上 B2．如图1，若 ）A 、5对B 、6对C 、7对D 、8对3．如图2BCD 的平分线CE E ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形4．如图3，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AE 是⊙O 的弦，且AE ⊥CD ，若∠DAE 为（ ） A B C D5．已知：如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O，BD 是⊙O 直径，若∠，AD=5．求AC 的长．六．会用切线，能证切线 考点速览： 考点1P 图1 ADBC· O 图2图1A ·BC DE O图3 ABCDE 图2·A B DCO A B C O DAA考点2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.符号语言∵ OA ⊥ l 于A ， OA 为半径∴ l 为⊙O 的切线 考点3判断直线是圆的切线的办法：①与圆只有一个交点的直线是圆的切线.②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线. ③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线.（请务必记住证明切线办法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径） 考点4切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直） 经典例题：例 1.如图，△ABC 内接于⊙O ， AB 是 ⊙O 的直径，∠CAD ＝ ∠ABC ，判断直线AD 与⊙O . 例 2.如图,OA=OB=13cm ，AB=24cm 5cm ，AB 与⊙O 相切吗？为什么?例3.如图,PA 、PB 是⊙O C 是⊙O 上一点，若∠P ＝40.， 求∠C 的度数. 例4．如图所示，中，以AC 为直径作⊙O 交AB 于D ，E 为DE 是⊙O 的切线．例5．（2010深圳）如图10，以点M （－1,0）为圆心的圆与y 轴、x轴辨别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－ 33x － 533与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ．（1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（3分）（2）如图11，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP :PH ＝3:2，求cos ∠QHC 的值；（3分）（3）如图12，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN ·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．（3分）中考链接1.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A ，与大圆相交于点B ，小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB.试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由.2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90. ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC 、AB 辨别交于点D 、E ，且∠CBD= ∠A ， 判断BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论.3. (2009深圳)如图，AB 是⊙O 的直径，AB=10，DC 切⊙O 于点C ，AD ⊥DC ，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E. （1）求证：ACBAD ；（2）若sin ∠DC 的长.4．（2008深圳）如图，点D 是⊙OB 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线．（2）若点E 是劣弧BC 上一点，，且△BEF 的面积为8， cos ∠BFA ACF 图10 图11图12课堂速练（1）1．判断①垂直于半径的直线是圆的切线.………………………………（）②过半径外端的直线是圆的切线.………………………………（）③与圆有公共点的直线是圆的切线.……………………………（）④圆的切线垂直于半径.…………………………………………（）2．如图，AC切⊙O于点A，∠BAC＝37.，则∠AOB的度数为（）A. 64.B. 74.C. 83.D. 84.3. 如图，AB与⊙O相切于B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A＝36.．则∠C＝______4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ABC=30.．过点A 作⊙O的切线交BC的延长线于点D，则∠CAD＝_______5OCDC，∠BAC＝6O O O于点D，AD 的延长线交BC于EA7．（10-1AE2，0(1)(2)(3)如图10-2说明变更纪律.七．切线长定理考点速览：考点1切线长概念：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长和切线的区别切线是直线，不成度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．考点2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的B切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO考点3两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 经典例题：例1 已知PA 、PB 、DE 辨别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13㎝，24㎝，求：①⊙O例2如图，⊙OE 、F ，若（1）求AD 、BE 、CF 的长；（2r ．B ，点E ，与直线AB 相切于点F.（1）当四边形OBCE 是矩形时，求点C 的坐标；（2）如图乙，若⊙C D ，求⊙C 的半径r ； （3）求m 与n 之间的函数关系式；（4）在⊙C 或“不克不及”）？考点速练1：1．如图，⊙O D2．直角三角形的两条直角边为512㎝，则此半径为㎝．3．如图，直线AB 、BC 、CD 辨别与⊙O 相切于点E 、F 、G ，且AB ∥CD ，若OB=6㎝，OC=8㎝，则BOC ∠=，⊙O 的半径=㎝，BE+CG=㎝．4．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AB 交OP 于点M ，若2,OM cm AB PB ==，则⊙O 的半径是㎝． 考点速练（2）1．如图，在Rt ABC ∆中，90,3,4C AC BC ∠=︒==，以BC 边上一点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E ，与AC 相切于C ，又⊙O 与BC 的另一个交点D ，则线段BD 的长．2．如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 为⊙O 直径，过C 点的切线交直径AB 的延长线于P ，25BAC ∠=︒，则P ∠=．4、（广西）PA 、PB是⊙O 切线，A 、B 切点，∠APB ＝780，点C 是⊙O 上异于A 、B 任一点，那么∠ACB ＝＿＿＿＿＿. 5、（山西）若直角三角形斜边长为10cm ，其内切圆半径为2cm ，则它的周长为_______. 6、（贵阳）如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠ACB ＝900，且AB ＝13，AC ＝12，则图中阴影部分的面积是（ ）A 、π-30B 、π230-C 、π330-D 、π430-7．连结圆的两条平行切线的切点的线段，是这个圆的．8.如图1，AB 是⊙O 的直径，直线MN 切半圆于C ，AM ⊥MN ，BN ⊥MN ，若AM=a ，BN=b ，则AB=.9．如图2，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到D ，使BD=OB ，DC 切⊙O 于C ，则∠D=，∠ACD=，若半径为r ，AC=． 10．经过圆的直径两端点的切线必相互．11.如图，在ABC ∆，10,8,90===∠AB AC C ，点P 在AC 上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB 、AC 都相切，则⊙O 的半径是（ ）.A ．1B ．45C ．712 D ．4912.如图，四边形ABCD 是直角梯形，以垂直于底的腰AB 为直径的⊙O 与腰CD 相切于E ，若此圆半径为6㎝，梯形ABCD 的周长为38㎝，求梯形的上、下底AD 、BC 的长．八．三角形内切圆·A ED BO C 题1· A P B O C题2 · A B D C O图2M ·C A O BN图1· A OP B B BM · AODB E考点速览 考点1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 考点2三角形外接圆与内切圆比较：名称确定办法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC ； （2）外心不一定在三角形的内部． 内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA 、OB 、OC 辨别平分∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ； （3）内心在三角形内部．考点3求三角形的内切圆的半径1、直角三角形△ABC 内切圆⊙O 的半径为2c b a r -+=.2、一般三角形O 的半径r.S △)c s )(b s )(a s (s --- ， 其中s=2c b a ++)经典例题：例1．阅读资料：如图（1），△ABC 的周长为L ，内切圆O 的半径为r ，连结OA ，OB ，△ABC 被划分为三个小三角形，用S △ABC 暗示△ABC 的面积．∵S △ABC =S △OAB +S △OBC +S △OCA又∵S △OAB =12AB ·r ，S △OBC =12BC ·r ，S △OCA =12AC ·rBO E F D∴S△ABC···r·r（可作为三角形内切圆半径公式）（1）理解与应用：利用公式计较边长分为5，12，13的三角形内切圆半径；（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）•且面积为S，各边长辨别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长辨别为a1，a2，a3，…a n，公道猜测其内切圆半径公式（不需说明理由）．例2．如图，△ABC中，∠A=m°．（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；（2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．例3．如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I辨别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．考点速练1：1．如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A．40° B．55° C．65° D．70°图1 图2 图32．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（）A．70° B．110° C．120° D．130°3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（）° B．112° C．125° D．55°4．下列命题正确的是（）A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B．三角形的内心不一定在三角形的内部C．等边三角形的内心，外心重合D．一个圆一定有唯一一个外切三角形5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径辨别为（）6．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB辨别切于D，E，F．（1）求证：BF=CE；（2）若∠C=30°，AC的长．。
初三数学圆的经典讲义
圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
《初三数学圆》课件
本PPT课件将介绍圆的基本概念和性质，以及与圆相关的几何问题的解法和应 用实例。
什么是圆？
圆是一个平面上所有距离等于半径的点的集合。它具有无限个对称轴，且圆上的任意两点间的距离相等。
圆的基本性质
半径
半径是从圆心到圆上任意一点的线段，长度相 等。
弧长
弧长是圆上的一部分弧所对应的弧长，它的长 度与弧所对应的圆心角有关。
切线和切点
1
切线
切线是与圆只有一个交点的直线，与圆相切于该交点。
2
切点
切点是切线与圆相交的点，每一条切线只有一个切点。
弦和弦长
弦是圆上任意两点间的线段，弦切分圆上两个弧，弦长是弦的长度。
切线和弦的关系
当一条直线同时切一圆和过圆心时，这条直线就称为切线，切线与弦之间存在一定的关系。
弧度制与角度制的转换
圆的切线和切线长度的计算方法
通过圆的切线，我们可以计算切线的长度和切线与圆的位置关系，这对于解决几何问题很有用。
椭圆和双曲线的基本性质
除了圆外，椭圆和双曲线也是常见的圆锥曲线，它们具有一些独特的性质和特点。
椭圆和双曲线的图像
椭圆和双曲线的图像可以展现出它们的形状和特征，对于理解其性质有一定 的帮助。
圆锥曲线的方程和参数方程
圆锥曲线可以通过方程或参数方程描述，这些方程可以用来解决各种几何和 工程学上的问题。
圆锥曲线在几何和工程学中的应用
圆锥曲线在几何学和工程学中有广泛的应用，如天文学中的行星运动、抛物线天线反射和椭圆轨道等。
弧度制和角度制是角度的两种计量方式，它们之间可以通过角度的π倍关系进 行转换。
三角函数与圆
正弦定理
在任意三角形中，边与其对边 角的正弦值成比例。
人教版 九年级数学 与圆有关的位置关系讲义 (含解析)
第11讲与圆有关的位置关系知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习与圆有关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。
本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理，属于中考重点内容，也是难点之一，希望同学们能够好好学习，扎实基础。
知识梳理讲解用时：25分钟与圆有关的位置关系（1）点与圆的位置关系点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：⊙点P在圆外⊙d＞r⊙点P在圆上⊙d=r⊙点P在圆内⊙d＜r注意：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。
课堂精讲精练【例题1】到圆心的距离不大于半径的点的集合是（ ）。
A ．圆的外部B ．圆的内部C ．圆D ．圆的内部和圆【答案】D【解析】此题考查圆的认识以及点与圆的位置关系，根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合； 圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合．所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）． 故选：D ．讲解用时：3分钟解题思路：根据圆是到定点距离等于定长的点的集合，以及点和圆的位置关系即可解决。
教学建议：理解圆上的点、圆内的点和圆外的点所满足的条件。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：盱眙县校级月考 年份：2016秋 【练习1】已知Rt⊙ABC 中，⊙C=90°，AC=3，BC=7，CD⊙AB ，垂足为点D ，以点D 为圆心作⊙D ，使得点A 在⊙D 外，且点B 在⊙D 内，设⊙D 的半径为r ，那么r 的取值范围是 。
《初三数学圆》课件
圆和其他几何图形
总结词
利用圆的性质解决其他几何图形问题
详细描述
除了三角形和四边形，圆的性质还可以应用于其他几何图形问题中。例如，在解决与球 体、柱体、锥体等相关的问题时，可以通过引入辅助圆或利用圆的相关性质来简化问题
，提高解题效率。
THANKS
切线的性质
切线与半径垂直，切线与 半径相交于切点。
切线的判定
如果直线经过半径的外端 并且垂直于半径，那么这 条直线就是圆的切线。
切线的判定定理
01
切线的判定定理：如果一条直线同时满足以下 两个条件，则它是圆的切线
03
2. 与半径垂直。
02
1. 经过半径的外端；
04
应用：利用切线的判定定理可以判断一条直线是否 为圆的切线，从而确定切点。
圆心和半径
总结词
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
详细描述
圆心位于圆的中心，是圆的对称轴。 半径是从圆心到圆上任一点的线段， 所有的半径长度都相等。半径的长度 决定了圆的大小。
圆的性质
总结词
圆的性质包括其对称性、旋转不变性和相似性等。
详细描述
圆具有旋转不变性和对称性，这意味着旋转一个圆或其任何部分不会改变其形 状或大小。此外，相似的圆具有相同的面积和周长，但可以有不同的半径或圆 心位置。
《初三数学圆》ppt课件
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目录
• 圆的基本性质 • 圆的周长和面积 • 圆和直线的位置关系 • 圆的切线定理 • 圆的定理和推论 • 圆的综合应用
01
圆的基本性质
圆的定义
总结词
通过一个定点，在平面上作所有 与定点等距离的点的集合形成的 图形称为圆。
初三数学圆的经典讲义70637
圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆⇔ d＜r；【典型例题】例1 在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD是直径，︒=∠84EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。
例3 ⊙O平面一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是MAB CDOEBC_________cm 。
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初三数学讲义圆 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】初三数学讲义（10）（圆）知识梳理：1.圆定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合2. 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
（不能直接用）即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD3. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD4. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
BD即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
5. 圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
6. 切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
7、切线长定理BA切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA、PB是的两条切线∴PA PB=PO平分BPA∠基本问题：1.如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝3，PB＝1，那么∠APC等于（）（A）15（B）30（C）45（D）601题 2题2. 等腰△ABC的顶角A＝120°，腰AB＝AC＝10，△ABC的外接圆半径等于（）A. 20B. 15C. 10D. 53. 已知P为⊙O内一点，且OP＝3cm，如果⊙O的半径是4cm，那么过P点的最短弦等于（）A. 2cm B. 3cm C. 7cm D. 27cm4. 下列判断正确的是（）①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直线也平分弦所对的两条弧③弦的中垂线必定平分弦所对的两条弧；④平分一条弧的直线必定平分这条弧所对的弦5. 圆的半径等于4cm，圆内一条弦长，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________；AFBECD6. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝ （ ）A.63. B. 23. C. 13. D. 1010.6题 7题7. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（）（A ）54（B ）45（C ）43（D ）658. 如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE=OB ， ∠AOC=84°，则∠E 等于( )° ° ° ° 拓展问题：9.如图，AB 是半圆的直径，点C 平分⌒AB，点D 平分⌒AC ，DB 、CA 交于点E ，则=BEDE______.9题 10题E10. 如图，在ABC 中，C=90，D 、E 分别是BC 上的两个三等分点，以D 为圆心的圆过点E ，且交AB 于点F ，此时CF 恰好与⊙D 相切于点F. 如果AC=245，那么⊙D 的半径=__________.11. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，DP 交AC 于点Q ，若QP=QO ，则QAQC的值为 ． 12. 如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，H 为边AC 、AB 上的高BD 、CE 的交点，在BD 上取点M ，使BM=CH ． (1) 求证：∠BOC=∠BHC ； (2) 求证：△BOM ≌△COH ； (3) 求OHMH的值 综合问题13.如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠A BC ．（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =32，tan ∠AEC =35，求圆的直径．14. 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD PA ，垂足为D .(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；(2) 若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度.15. 如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，AE =2，ED =4，(1)求证：△ABE ∽△ADB ；(2)求AB 的长；(3)延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．16. 如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；（2）试探究线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tan∠F=12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．17.如图，已知⊙M与x轴交于A、D两点，与y轴正半轴交于B点，C是⊙M上一点，且A（-2，0），B（0，4），AB=BC。
（1）求M的坐标；（2）求四边形ABC D的面积；（3）过C点作弦CF交BD于E点,当BC=BE时，求CF的长度.课后作业1.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧AmB上的一点，则tan APB∠的值是【】A．1 B．2 C．3 D．32. 如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为【】A．3 B．4 C．32D．243. 如下图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是【】°°°°4. 如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于【】A40°B．50° C．60° D．70°5. 如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则【】A .EF>AE+BF B. EF<AE+BF =AE+BF ≤AE+BF6. 如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A, EC CB=，则下列结论中一定正确的有（）个.(1)BA⊥DA (2)OC∥AE (3)∠COE=2∠CAE (4)OD⊥AC7. 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，点M 在PB 上，且OM ∥AP ，MN ⊥AP ，垂足为N ．（1）求证：OM=AN ；（2）若⊙O 的半径R=3，PA=9，求OM 的长．8. 如图，AB 是⊙O 的弦，D 为OA 半径的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于点F ，且CE=CB ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接AF ，BF ，求∠ABF 的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=513，求⊙O 的半径． 9. 如图，在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，，5AB =，A 、B 两点的横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根． （1）求m 、n 的值；（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11CM CN +的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．作业答案：;；；；；；；8.48305，；9. 解：（1）5m =-，3n =-．32y x =+．（3）过点D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ．CD 为ACB ∠的平分线，DE DF ∴=． 由MDE MNC △∽△，有DE MD CN MN =由DNF MNC △∽△，有DF DNCM MN=1DE DF MD DNCN CM MN MN∴+=+=，即111CM CN DE +==。