初三数学讲义圆

初三数学讲义圆 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

初三数学讲义（10）（圆）

知识梳理：

1.圆定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合

2. 垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

（不

能直接用）即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD

3. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；

③OC OF =；④ 弧BA =弧BD

4. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

B

D

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相

等的圆周角所对的弧是等弧；

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角

所

对的弧是半圆，所对的弦是直径。 5. 圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外

角等于它的内对角。 6. 切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不

可

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。7、切线长定理

B

A

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA、PB是的两条切线

∴PA PB

=

PO平分BPA

∠

基本问题：

1.如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝3，PB＝1，那么∠APC等于（）（A）

15（B）

30（C）

45（D）

60

1题 2题

2. 等腰△ABC的顶角A＝120°，腰AB＝AC＝10，△ABC的外接圆半径等于（）

A. 20

B. 15

C. 10

D. 5

3. 已知P为⊙O内一点，且OP＝3cm，如果⊙O的半径是4cm，那么过P点的最短弦等于（）A. 2cm B. 3cm C. 7cm D. 27cm

4. 下列判断正确的是（）

①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直线也平分弦所对的两条弧

③弦的中垂线必定平分弦所对的两条弧；④平分一条弧的直线必定平分这条弧所

对的弦

5. 圆的半径等于4cm

，圆内一条弦长，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等

于_____________；

A

F

B

E

C

D

6. 如图，在矩形ABCD 中，

AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝ （ ）A.

63. B. 23. C. 1

3

. D. 1010.

6题 7题

7. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝

1，，则⊙O 的半径等于（）（A ）54（B ）45（C ）43（D ）6

5

8. 如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE=OB ， ∠AOC=84°，则∠E 等于( )

° ° ° ° 拓展问题：

9.如图，AB 是半圆的直径，点C 平分⌒AB

，点D 平分⌒AC ，DB 、CA 交于点E ，则=BE

DE

______.

9题 10题

E

10. 如图，在ABC 中，C=90，D 、E 分别是BC 上的两个三等分点，以D 为圆心的圆过点E ，且交AB 于点F ，此时CF 恰好与⊙D 相切于点F. 如果AC=24

5

，那么⊙D 的半径=__________.

11. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，DP 交AC 于点Q ，若QP=QO ，则

QA

QC

的值为 ． 12. 如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，H 为边AC 、AB 上的高BD 、CE 的交点，在BD 上取点M ，使BM=CH ． (1) 求证：∠BOC=∠BHC ； (2) 求证：△BOM ≌△COH ； (3) 求

OH

MH

的值 综合问题

13.如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠A BC ．（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =3

2，tan ∠AEC =3

5，求圆的直径．

14. 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD PA ，垂足为D .(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；

(2) 若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度.

15. 如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，AE =2，ED =4，

(1)求证：△ABE ∽△ADB ；(2)求AB 的长；

(3)延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．

16. 如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；

（2）试探究线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系，并加以证明；