九年级上册数学圆章节知识点总结
九年级上册数学书圆的知识点总结
九年级上册数学书中圆的知识点总结1. 圆的概念：圆是一个由曲线包围的形状，它由一个中心点（称为圆心）和到这个中心的固定距离（称为半径）的所有点组成。
这个形状可以看作是线段OA 绕着它的一个端点O旋转一周后，另一个端点A所形成的轨迹。
2. 圆心和半径：在同一个圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦长度相等，所对的弧长度相等，所对的弦的弦心距（即从圆心到弦的垂线段的长度）也相等。
这个规律是由于圆本身的性质决定的，它反映了圆的一个重要特性。
3. 弧、弦的关系：在同一个圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
这个规律在证明一些几何定理时非常有用，它帮助我们理解圆中的角度和线段之间的关系。
4. 垂径定理：如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径会平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这个定理是圆中一个重要的定理，它在证明一些与弦有关的定理时非常有用。
5. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
这个定理是圆中一个基本的定理，它帮助我们理解圆中的角的关系。
6. 切线：切线是指与圆只有一个公共点的直线。
这个公共点称为切点。
切线在几何学中有着重要的应用，它可以用来证明一些关于圆的定理。
7. 切线定理：垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。
这个定理帮助我们判断哪些直线是圆的切线，以及如何找到圆的切线。
8. 三角形的外接圆与外心：任何一个三角形都有一个外接圆和外心。
外接圆的半径等于三角形外心的半径。
这个知识点帮助我们理解三角形的性质以及如何找到三角形的外接圆和外心。
9. 圆与正多边形：正多边形的各边长度都相等，各内角也相等。
这个知识点可以帮助我们理解正多边形的性质以及如何计算它们的面积和周长。
10. 反证法：在证明一个几何命题时，如果直接证明有困难，可以先假设命题不成立，然后推导出与已知事实或已证明的定理矛盾的结果，从而证明假设不成立，命题得证。
反证法是一种有效的证明方法，它在几何学中经常被使用。
初三上册数学圆的知识点归纳总结
初三上册数学圆的知识点归纳总结数学中的圆是一种重要的几何图形，在初中数学的学习中也占据着重要的地位。
下面对初三上册数学中关于圆的知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。
一、圆的定义和性质1. 定义：圆是一个平面上与一个固定点距离相等的点的集合。
2. 元素：圆心、半径、弦、弧、切线等。
3. 性质：(1) 圆上所有点到圆心的距离相等。
(2) 圆上的弦的垂直平分线通过圆心。
(3) 圆上的任意一条弧都小于或等于圆周长的一半。
二、圆的线段关系1. 半径与弦：如果一个线段的两个端点都在圆上，且其中一个是圆心，那么这个线段就是半径；如果这个线段的两个端点都在圆上但不是圆心，那么这个线段就是弦。
2. 弦的性质：(1) 通过圆心的弦是直径，直径是圆上最长的弦。
(2) 在同一个圆或等圆中，等长的弦所对的圆心角相等。
(3) 如果一个弦与另一个弦交于圆内的一点，那么两个弦所对的弧相等。
三、圆的圆周角和弧度制1. 圆周角的定义：以圆心为顶点的角，角的两边是圆上的两条弧。
圆周角的度数等于所对的圆弧的度数。
2. 弧度制：将圆的一周等分为360份，每份称为一度，每度又等分为60分，每分又等分为60秒。
弧度是用弧长等于半径的圆周长所对应的角中的弧所对应的角。
3. 弧度制与角度的换算：(1) 1度= π/180弧度(2) 1弧度≈ 57.3度四、切线与切线定理1. 切线定义：如果一条直线与圆相交于圆上的一点，且在该点处的切线与这条直线垂直，那么这条直线就是圆的切线。
2. 切线定理：切线与半径垂直。
(1) 如果一条直线与圆相交于圆上的一点，并且通过圆心，那么这条直线就是切线。
(2) 反之，如果一条直线与圆相交于圆上的一点，并且与通过圆心的切线垂直，那么这条直线就通过圆心，也是切线。
五、圆的面积和周长1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径。
2. 圆的面积公式：A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示半径。
九年级上册圆知识点总结
九年级上册圆知识点总结圆是几何学中的一个基本概念，是平面上所有与一个给定点距离相等的点的集合。
在九年级上册的学习中，我们对圆的性质、定理和计算有了更深入的理解。
本文将对九年级上册涉及到的圆的相关知识点进行总结和归纳。
1. 圆的定义圆是平面上由一个固定点到平面上所有其他点的距离相等的点的集合。
这个固定点被称为圆心，到圆心的距离被称为半径。
2. 圆的要素一个圆由圆心和半径两个要素来确定。
圆心用大写字母O表示，半径用小写字母r表示。
圆可以记作O(r)。
3. 圆的性质（1）圆上任意两点与圆心的距离相等。
（2）半径相等的圆互为同心圆。
（3）圆与直线相交的点到圆心的距离等于与该线相切的点到圆心的距离。
4. 圆的划分在九年级上册学习中，我们学习了将圆分为弧、弦、切线、割线等不同的部分，它们具有不同的性质和定理。
（1）弧：圆上的一段弧，可以通过圆心角来确定，弧上的点的个数决定了这段弧的长度。
（2）弦：圆上连接两个点的线段，是一个圆的直径的一部分。
（3）切线：与圆有且仅有一个交点的直线。
（4）割线：与圆有两个交点的直线。
5. 圆的定理在九年级上册的学习中，我们学习了一些关于圆的重要定理：（1）相交弧定理：两条交叉的弦所对应的弧相等。
（2）相等弧定理：两个互相对应的相等弧所对应的圆心角相等。
（3）同弧其他定理：同弧上的角、弦、切线、割线等性质可以相互关联。
（4）切线与半径的关系：过圆外一点引圆的切线与该点到圆心的半径垂直。
6. 圆的计算在九年级上册学习中，我们学习了一些用于计算圆的相关公式：（1）圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。
（2）圆的面积公式：A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。
（3）扇形、弧段的面积计算：扇形和弧段的面积可以通过相应的圆心角来计算。
7. 圆的应用圆是几何学中广泛应用的概念，在实际生活中也有很多应用。
例如，在建筑和设计中，圆的概念可以用来描述和构造圆形建筑物和物体；在工程测量中，圆的性质可以用来测量和设计曲线和弧线；在物理学中，圆的运动轨迹可以用来描述物体的运动状态等等。
九年级圆章节知识点总结
九年级圆章节知识点总结圆是中学数学中一个重要的几何概念，它的相关知识点在九年级的数学学习中经常出现。
本文将对九年级圆章节的知识点进行总结和梳理，帮助同学们更好地掌握圆的相关知识。
一、圆的定义和性质1. 定义：圆是由平面上到一个确定点的距离都相等的所有点的集合。
2. 圆心和半径：圆心是圆的中心点，用O表示；半径是圆心到圆上任一点的距离，用r表示。
3. 直径和弦：直径是通过圆心的一条线段，用d表示；弦是圆上的一条线段，连接两点，用AB表示。
4. 弧和弧长：弧是圆上的一段弯曲部分，用AB表示；弧长是弧所占据的圆的周长的长度比例。
二、圆的相关定理1. 相等定理：圆心角相等的弧相等；等弧对应的弧相等。
2. 弧度：圆周角为360°，对应的弧长为2πr。
3. 同圆弧：如果两个弧在同一个圆上，则这两个弧叫做同圆弧，且它们的弧长相等。
4. 弧的夹角公式：夹在同一弧上的圆心角相等。
5. 锐角和钝角：圆心角小于180°则为锐角，大于180°则为钝角。
三、弦的性质1. 弦分割圆：弦AB分割圆为两个弧，即AB和AB'，且它们的圆心角相等。
2. 弦的性质：等长的弦对应的圆心角相等；同一个圆上，离圆心较远的弧所对圆心角较小，离圆心较近的弧所对圆心角较大。
3. 弧与弦的关系：在同一个圆上，对任意弦来说，在此弦上的弧所对的圆心角所对的弧长大于不在此弦上的弧所对的圆心角所对的弧长。
四、切线的性质1. 切线的定义：切线是与圆只有一个交点的线。
2. 切线与半径的关系：过圆外一点做圆的切线，切点与圆心连线是切线的垂线。
3. 切线与弦的关系：圆的切线与弦的切点处的切线相等。
五、定理的应用1. 弦切角定理：圆上的切线和半径所夹的角是直角。
2. 弧切角定理：圆上的切线和此切点处的弧所夹的角是半弧对应的圆心角。
3. 切线定理：两条相交的切线所夹的角等于对角所对的圆心角的一半。
六、九年级圆章节例题练习1. 已知圆的半径为8cm，求其周长和面积。
九年级上册数学圆章节知识点总结
与圆相关的基本知识和计算一、知识梳理：（一）：圆及圆的有关概念1.圆：到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆；2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧；3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，它是圆的最长的弦；4.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角；（二）圆的有关性质：1.对称性：①圆是中心对称图形，其对称中心是圆心；②圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；2.垂径定理及其推论：（1）、垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；（2）、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；3.圆心角、弧、弦之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；（2）推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等。
4.圆周角与圆心角的关系（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；（2）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，090的圆周角所对的弦是直径；5.圆内接四边形对角互补。
（三）点与圆的位置关系1、点和圆的位置关系如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系．(1)d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内．2、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（四）直线与圆的位置关系1、(1)直线与圆的位置关系有关概念①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．(2)用数量关系判断直线与圆的位置关系如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交d＜r(如图(1)所示)；(2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示)；(3)直线l和⊙O相离d＞r(如图(3)所示)．2、切线(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．(3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．(4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．（五）三角形的外接圆和内切圆1、三角形的外接圆（1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．(2)三角形外心的性质：①三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等．②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是惟一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．2、三角形的内切圆与三角形的内心①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等．(六)：圆的有关计算（一）正多边形与圆1、正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
九年级上册第二十章圆知识点总结
九年级上册第二十章圆知识点总结九年级上册第二十章是关于圆的知识点总结。
圆是几何中最基本的图形之一，它在我们的日常生活中无处不在。
无论是在建筑设计、艺术构图还是数学研究中，圆都扮演着重要的角色。
本篇文章将从圆的定义开始，逐步探讨圆的性质、相关定理以及应用领域。
一、圆的定义与性质圆可以定义为平面上所有到一个固定点（圆心）距离相等的点的轨迹。
圆由一个圆心和半径组成。
半径是从圆心到圆上任意一点的距离，而直径则是穿过圆心并且两端都在圆上的线段。
圆的直径是半径的两倍。
圆还具有下列性质：1. 圆的任意两条弦（圆上的线段）所对应的弧长相等。
2. 圆的任意一个角所对应的弧长都是所求角的圆心角的一半。
3. 圆上的一条弦和它所对应的弧如果互相垂直，那么称这条弦是圆的直径。
二、圆的相关定理1. 弦长定理：如果两条弦在同一个圆上，则这两条弦所对应的弧长相等当且仅当两弦互相垂直。
2. 弧度制：将弧长等于半径的圆心角定义为一个弧度。
一个圆的周长约等于6.28倍半径。
3. 同弧长相等定理：如果两个圆上的两个弧的弧长相等，那么这两个弧对应的圆心角也相等。
4. 圆周角定理：圆心角的度数等于其对应的弧度数除以弧度制下的π值。
5. 相切定理：一个切线与半径所对应的弧度相等。
三、圆的应用领域圆在几何学上的应用广泛。
在建筑设计中，设计师常常运用圆的性质来创建优雅的建筑形态。
例如，拱形屋顶和圆形窗户都是基于圆的几何性质来构建的。
在数学领域，圆的研究为我们提供了解决问题的工具，例如三角函数、微积分和复数运算等。
圆在物理学和自然科学的研究中也扮演着重要的角色。
物体在圆轨道上运动时，圆的性质使得我们可以运用旋转运动的定律来研究物体的运动轨迹和速度变化。
此外，圆形的地球形状也对地球科学的研究具有重要的影响。
虽然圆是几何学中最简单的图形之一，但它的应用和作用却深远而广泛。
从基础几何学到高级数学和科学领域，我们都能发现圆的存在和应用。
通过深入了解圆的性质和相关定理，我们可以更好地理解和应用圆的知识，为更深入的学习打下坚实基础。
九年级数学上册第二十四章 圆 知识归纳
九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注：圆心一般用字母O表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
直径一般用字母d表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。
半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。
圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。
计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。
90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
πr2，用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
周长计算公式1.、已知直径：C=πd 2、已知半径：C=2πr 3、已知周长：D=c\π4、圆周长的一半:1\2周长(曲线)5、半圆的长：1\2周长+直径面积计算公式：1、已知半径：S=πr平方2、已知直径：S=π（d\2）平方3、已知周长：S=π(c\2π)平方24.2 点和圆、直线和圆的位置关系1. 点和圆的位置关系① 点在圆内⇔点到圆心的距离小于半径 ② 点在圆上⇔点到圆心的距离等于半径 ③ 点在圆外⇔点到圆心的距离大于半径2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
九年级数学圆形知识点归纳
九年级数学圆形知识点归纳九年级数学学习中，我们接触到了许多有关圆形的知识。
本文将对这些知识进行归纳总结，以便更好地了解和掌握圆形的特性和运用。
一、圆的定义和性质圆是由平面上与一个固定点的距离相等的所有点组成的图形，这个固定点称为圆心，距离称为半径。
圆的性质有以下几个要点：1. 圆上的任意点与圆心的距离都相等。
2. 圆的直径是两个任意点在圆上连线的最长线段，它的长度是圆的半径的两倍。
3. 圆的弧是两个点在圆上连线所得到的曲线部分。
4. 圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于所对的弧所在圆周的度数。
二、圆的计算公式在解决圆的相关问题时，我们需要运用一些计算公式。
以下是常见的圆的计算公式：1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径，π取近似值3.14。
2. 圆的面积公式：S = πr²，其中S表示圆的面积。
三、圆的相关定理1. 同圆弧所对的圆心角相等。
2. 等弧所对的圆心角相等。
3. 在同一个圆或等圆中，圆心角大的所对的弧也大，圆心角小的所对的弧也小。
4. 在同一个圆或等圆中，与同一弧相交的弦所对的圆心角相等。
四、切线和切点的性质1. 切线是与圆只有一个交点的直线。
2. 在切点处，切线垂直于半径。
3. 半径和切线之间的夹角是直角。
五、圆锥和圆柱体1. 圆锥是以一个圆为底面，上方以一个顶点为端点的三维图形。
2. 圆柱体是以一个圆为底面，上下底面平行且等大小的三维图形。
六、几何图形的应用在生活中，我们经常会遇到一些与圆相关的几何图形。
以下是一些常见的应用场景：1. 钟表：钟表的表盘就是一个圆形，指针所指的位置是圆上的点。
2. 气球：气球形状都是圆形，用圆的表面面积计算气球的充气量。
3. 轮胎：轮胎是车辆底盘的重要组成部分，轮胎的结构和运动都与圆形有关。
通过对九年级数学圆形知识点的归纳总结，我们对圆形的定义、性质、计算公式、相关定理，以及在几何图形应用中的实际场景有了更深入的理解。
第二十四章圆(完整知识点)人教版九年级数学上册
第二十四章 圆一、圆的有关概念及表示方法 （一）圆的定义1、描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
2、集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
（二）圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作⨀O ，读作“圆O ”。
（三）圆具有的特性1、圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）。
2、到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
注：（1）确定一个圆需要两个因素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心[三点不共线(直径)]构成的三角形都是等腰三角形。
（四）圆的有关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
以AC 为端点的弦，记作：弦AC 。
注：圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径。
2、弧2.1圆上任意两点间的部分叫做圆弧、简称弧。
以A 、B 为端点的弧记作⨀AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
2.2圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，如图中的⨀ABC 。
小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的⨀AC。
注：（1）在一个圆中，任意一条弦都对着两条弧，任意一条弧只对着一条弦。
（2）弧包括优弧、劣弧、半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧。
3、同圆或等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
同圆或等圆的半径相等。
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
等弧是全等的，不仅仅是弧的长度相等。
5、同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
二、圆的有关性质 （一）垂直于弦的直径1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
名称 文字语言 符号语言 图示垂径 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
九年级上册数学圆知识点总结
九年级上册数学圆知识点总结
九年级上册数学圆知识点总结：
1. 圆的定义：圆是由平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点构成的集合。
2. 圆的元素：圆心、半径、直径、弦、圆弧、圆周。
3. 圆的性质：
- 圆心角：位于圆心的角，它所对应的弧度是1弧度。
圆心角的大小与所对应的弧度的弧长成正比。
- 弦长和圆心角：在同一个圆上的两个圆心角相等的弦所对应的弦长也相等。
- 弦的性质：相等的弧所对应的弦相等；一个圆只有一个直径，且直径是圆的最长弦。
- 弧度制：以圆心角所对应的弧长和半径长度的比值作为圆周角的单位，记作“rad”。
- 弧的长度：弧长等于圆周长的一部分。
4. 圆的位置关系：
- 圆内切：两个圆恰好内切，即两个圆的圆心距离等于两个圆半径之和。
- 圆外切：两个圆恰好外切，即两个圆的圆心距离等于两个圆半径之差。
- 圆的内外切：一个圆和一个直角三角形的两条直角边分别与该圆内切或外切。
5. 弦与弧的关系：
- 弦的垂直性质：圆上的两条直线垂直的充分必要条件是它们所对应的圆上的弦垂直。
- 弧的垂直性质：圆上的两条弦垂直的充分必要条件是它们所对应的圆上的弧垂直。
6. 圆的切线：
- 切线的定义：通过圆上一点且与圆相切的直线称为圆的切线。
- 切线的判定：过圆外一点引圆的半径，以这条半径为斜线作弧上另一点的切线，该切线与引半径垂直。
这些是九年级上册数学圆的一些基本知识点总结，包括圆的定义、性质、位置关系、弦与弧的关系以及切线相关内容。
希望对你的学习有帮助！。
九年级数学圆的知识点总结大全
一、圆的定义和性质1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
2.圆的要素：圆心、半径、圆周。
3.圆的性质：（1）半径相等的两个圆是同心圆；（2）同圆中，圆心角等于圆周角的1/2；（3）同弧上的两条弦所对的圆心角相等；（4）圆心角相等的弧相等；（5）相等弧所对的弦相等；（6）正多边形的内角和是定值，因此内接于一个圆的正多边形的各个内角相等；（7）直径是弦中最长的。
二、弧与圆周角1.弧的定义：圆上两点间的弧是以这两点为端点的两条互不相交的圆弧中，长的那一段。
2.弧的性质：（1）圆周角所对的弧是唯一确定的；（2）全周角所对的弧是定长的。
3.圆周角的定义：以圆心为端点的两条互不相交的射线所夹的角。
4.圆周角的度量：可以用角的度数来衡量。
三、切线与弦1.切线的定义：切线是与圆只有一个公共点的直线。
2.切线与半径的关系：切线与半径的关系是切线⊥半径。
3.弦的定义：两点之间的线段叫做弦。
4.弦的性质：（1）圆内的弦比它们所对的圆心角小，而且与一个圆心角的两个弧所对的弧一样；（2）相等的弦所对的圆心角相等。
四、相交弦定理1.弦上的点：如果一个点在弦上，则这个点到两个端点的距离相等。
2.相交弦定理：如果两个弦相交于圆内的一个点，则这两个弦上的两个点一定分别在另一个弦上的两侧。
五、余弦定理1.面积的性质：圆内、圆外的面积相等，夹在一个圆内的圆周弧的面积也相等。
2.余弦定理：在一个圆上，任意两条弧所对的圆心角的余弦值相等。
六、正多边形的面积公式1.正六边形的面积：正六边形的面积=3×（边长）²×√3÷22.正八边形的面积：正八边形的面积=2×（边长）²×√23.正十二边形的面积：正十二边形的面积=3×（边长）²×√34. 正十六边形的面积：正十六边形的面积=4×（边长）²×tan(22.5°)。
九年级上数学圆知识点总结
九年级上数学圆知识点总结数学是一门抽象而又实用的学科，在九年级上学期，学生们学习了很多与圆相关的知识。
本文将从圆的定义、性质、公式等方面总结九年级上数学圆的知识点。
一、圆的定义与性质1. 圆的基本定义：圆是由平面内距离一定的一个点到这个平面内任意点的距离都相等的点的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径。
圆心是圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。
3. 圆的直径：通过圆心的一条线段，且两个端点都在圆上。
直径是半径的两倍。
4. 圆的弧：圆上的一段曲线被称为圆弧。
圆弧可以用角度或弧长来表示。
5. 圆的弦：圆上的一条线段，并且两个端点都在圆上，这条线段被叫做圆的弦。
6. 圆的切线：与圆仅有一个交点的直线，这条直线与圆相切。
7. 圆与角度的关系：圆的弧对应的圆心角是圆弧所对应的圆心角的一半。
二、圆的公式1. 圆的周长：圆的周长可以通过直径或半径来计算。
如果已知圆的直径D，那么圆的周长C等于π乘以直径值，即C = πD。
如果已知圆的半径r，则圆的周长C等于2π乘以半径值，即C = 2πr。
2. 圆的面积：圆的面积可以通过半径来计算。
已知圆的半径r，则圆的面积A等于π乘以半径的平方，即A = πr²。
三、圆与其他几何图形的关系1. 圆与线段的关系：如果线段的两个端点都在圆上，那么这个线段是圆的弦。
2. 圆与直线的关系：如果直线与圆仅有一个交点，那么这条直线是圆的切线。
3. 圆与三角形的关系：圆内接于三角形是指三角形的三个顶点都在圆上，并且三边均是切线。
圆外接于三角形是指三角形的三个顶点都在圆上，并且圆的直径是三角形的一条边。
四、常见解题方法与技巧1. 圆的位置关系：通过观察圆与直线、线段、三角形之间的位置关系，可以运用相关的定理和性质进行解题。
2. 利用圆的对称性：圆具有轴对称性和中心对称性，可以利用这些对称性质进行解题。
3. 利用圆的比例关系：圆的周长和面积都与半径相关，可以通过比例关系进行运算和求解。
(完整版)九年级数学圆的知识点总结大全
第四章：《圆》一、知识回顾圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²—r²）(R是大圆半径,r是小圆半径)二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O为圆心.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上;3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外;三、直线与圆的位置关系A1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2)⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3)⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切(图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
图4图5推论1：(1）平分弦（不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
九年级数学上册圆的知识点总结
九年级数学上册圆的知识点总结一、圆的认识1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆（或圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长的点的集合）2.圆的表示方法：①圆心用字母O表示，半径用字母r表示；②弧用弧长表示，扇形用圆心角表示；③圆是一种曲线图形，圆上任意一点P到圆心的距离OP都等于半径r；④圆心角是指顶点在圆心上的角，圆心角的一边与圆相交，另一边与圆相切或相割；⑤在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；⑥半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
1.圆的各部分名称及性质：①圆心：将圆对折，两个折痕相交于一点，这一点叫做圆心。
圆心一般用字母O表示。
圆心决定圆的位置。
②半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
半径用字母r表示。
圆的半径决定圆的大小。
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
③直径：通过圆心且两个端点都在圆周上的线段叫做圆的直径。
直径用字母d表示。
直径是半径的2倍，同一个圆内所有的直径都相等。
直径是圆中最长的线段。
④弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
在同一个圆内最长的弦是直径。
直径是最长的弦。
⑤弧：经过圆上任意两点间的部分叫做弧。
在同一个圆内，能够互相重合的弧叫做等弧。
等弧只有在同一个圆里才能出现。
⑥扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
顶点在圆心上的扇形叫做圆心扇形，顶点在圆周上的扇形叫做圆周扇形。
在同一个圆里，由过一条弧的中点且垂直于这条弧所平分的那条弦与这条弧所组成的图形叫做弓形。
弓形的弧小于半圆的弧，弓形的弦大于半圆的弦。
二、点和圆的三种位置关系1.点和圆的三种位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP为d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r.1.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆.常用符号“（1）P （2）r （3）”表示.即要确定一个圆必须知道它的和圆的半径.若已知三点的位置关系是①②③,则可确定一个圆,若位置关系是①③,则可确定无数个圆；若是位置关系②,则不能确定一个圆,应先找出这三点所在直线的垂线段的中垂线,再根据垂径定理作出中垂线,它和三点确定的直线外一点和以该点为圆心,垂线段的长度为半径确定一个唯一的圆.若是位置关系③,则根据从直线外一点向这条直线所作的垂线段最短,确定垂足的位置,再根据垂径定理作出中垂线,它和三点确定的直线外一点和以该点为圆心,垂线段的长度为半径确定一个唯一的圆.若是位置关系①②,则以不共线的三点为三个顶点作三个三角形,这三个三角形的三条边分别两两相交且交点不重合的三个交点为三个圆心,以各顶点到相应交点的距离为半径作三个圆,这三个圆的公共部分即为以不共线的三点确定的圆的三个交点组成的图形,简称“三交圆”.若是位置关系①③,则以不共线的三点为三个顶点作三个三角形,这三个三角形的三条边分别两两相交且交点不重合的三个交点为三个圆心,以各顶点到相应交点的距离为半径作三个圆,这三个圆的公共部分即为以不共线的三点确定的圆的三个交点组成的图形,简称“三交圆”.若是位置关系②③,则不能确定一个唯一的圆.若是位置关系①②③也不能确定一个唯一的确定的唯一的确定的确定的确定的确定的确定的。
九年级数学圆的知识点总结大全
一、圆的基本概念和性质1.圆的定义：平面上的点到圆心的距离等于半径的点的集合。
2.圆的要素：圆心、半径、圆周。
3.圆的性质：a.对于圆上任意一点P和圆心O，OP是半径；b.圆上任意两点P和Q的半径相等；c.圆上两个不同的弧所对的圆心角相等；d.圆心角的度数等于它所对的弧的度数；e.圆的内切四边形的对角线互相垂直；f.圆的内切四边形的对边互相平行且相等；g.圆内接正方形的边长等于半径的2倍。
4.圆心角与弧的关系：a.弧所对的圆心角是其两倍；b.圆心角相等的弧相等；c.同弧度数的圆心角相等；d.弧需要圆的整个周长的弧数表示。
二、圆的运算1.圆周长：圆周长是圆周上的弧长，可以通过半径和直径推导得到。
2.圆的面积：圆的面积是圆心角度和圆的半径之间的数学关系，可以通过面积公式πr²计算得到。
三、圆的位置关系1.圆的判定：a.两个圆相交，如果两个圆的圆心距离小于半径之和但大于半径之差；b.两个圆相切，如果两个圆的圆心距离等于半径之和或半径之差；c.两个圆外离，如果两个圆的圆心距离大于半径之和；d.两个圆内含，如果一个圆完全位于另一个圆内部。
2.相切圆的性质：a.相切圆的切点在半径的连线上；b.相切圆的切线相互垂直；c.相切圆的切线公共切点的连线通过两个圆的圆心。
四、圆与线的位置关系1.弦的性质：a.弦和圆心连线垂直，那么弦是直径；b.弦的中点位于圆心。
2.弧与弦：a.弧上的两个弦相等，则它们所对的圆心角相等；b.两个等圆弧所对的圆心角相等；c.弦所夹的圆弧是圆心角的一半。
3.弦的长度：等于两个切线段的和。
4.直线和圆的位置关系：a.直线与圆相交于两点；b.直线与圆相切于一点；c.直线与圆不相交。
五、切线和切线长1.切线的定义：从圆外的一点引一条直线，直线与圆相交于该点，这条直线叫做切线。
2.切线的性质：a.切线与半径垂直；b.切线与切线垂直；c.相切圆的切线相互垂直。
3.切线长的计算：可以通过勾股定理得到切线长的计算公式。
新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)
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新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)1)相交圆的位置关系：两圆相交于两点，相切于一点，相离于两点.2)内切圆和外切圆的位置关系：内切圆和外切圆的切点在圆心连线上，内切圆和外切圆的圆心连线垂直于切点所在的直线.要点诠释：在解决两圆位置关系问题时，需要注意圆心的位置关系，切点的位置关系以及圆心连线与切点所在直线的垂直关系.要点二、切线及其性质1．切线的定义：过圆上一点，且与圆相交于该点的直线叫做圆的切线.2．切线的性质：1)切线与半径的关系：切线与过切点的圆的半径垂直.2)切线定理：切线与半径的关系可以推出切线定理：过圆外一点作圆的切线，切点与此点的连线垂直于切线.3)切线的判定方法：切线与圆的位置关系可以通过勾股定理、切线定理和判别式来进行判定.要点诠释：切线是圆的一个重要性质，切线定理是判定切线的重要工具，切线的判定方法可以根据具体情况选择不同的方法.要点三、圆的面积和弧长1．圆的面积公式：S=πr².2．弧长公式：L=αr(α为圆心角的度数).3．扇形的面积公式：S=(α/360°)πr².要点诠释：圆的面积公式和弧长公式是圆的基本公式，扇形的面积公式可以通过弧长公式和圆的面积公式来推导得出.要点四、圆锥的侧面积和全面积1．圆锥的侧面积公式：S=πrl.2．圆锥的全面积公式：S=πr(l+r).要点诠释：圆锥的侧面积公式和全面积公式是圆锥的基本公式，其中l为斜高，r为底面半径.1) 两个圆是轴对称图形，其对称轴是连接两圆心的直线。
2) 相交的两个圆的连心线垂直平分它们的公共弦，相切的两个圆的连心线经过切点。
4.与圆有关的角度1) 圆心角是以圆心为顶点的角度。
圆心角的度数等于它所对应的弧的度数。
2) 圆周角是顶点在圆上，两边都与圆相交的角度。
圆周角的性质包括：①圆周角等于它所对应的弧所对应的圆心角的一半；②同弧或等弧所对应的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等；③90度的圆周角所对应的弦为直径；半圆或直径所对应的圆周角为直角；④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角。
九年级上册圆知识点最全
九年级上册圆知识点最全圆是几何学中的重要概念之一，其知识点在九年级上册学习中占据了很大的比重。
下面将全面介绍九年级上册关于圆的各个知识点，包括定义、性质、定理等内容，帮助学生更好地理解和掌握圆的相关知识。
1. 圆的定义圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成的图形。
圆由圆心和半径确定，其中圆心是一个固定的点，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆的符号表示圆常用一个字母加一个圆圈表示，例如圆O可以表示为⭕(O)。
3. 圆的性质(1) 在同一个平面上，圆内任意两点都与圆心的距离相等。
(2) 圆上所有的点与圆心的距离都相等。
(3) 圆的半径相等的两个圆是同心圆。
4. 圆的元素(1) 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。
(2) 圆的半径：圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
(3) 圆的直径：过圆心的两个相对点之间的距离，通常用字母d表示，直径等于半径的两倍。
(4) 圆的弦：圆上的两个点之间的线段，通常用字母AB表示。
(5) 圆的弧：圆上两个点之间的部分，通常用字母AB表示。
弧也可以表示为一段曲线。
(6) 圆的切线：与圆相切且在切点处与圆相切的线段。
5. 圆的定理(1) 圆的四个组成部分：半径、直径、弦、弧。
(2) 在同一个圆中，半径相等，直径是两倍的半径。
(3) 在同一个圆中，位于原弦之间且两弦的端点相连的两个弧是相等的。
(4) 在同一个圆中，位于圆心角上的弧是原弦的两倍。
(5) 位于圆心角上的弧大于位于同一个圆上其他的弧。
(6) 圆与定点的直线相交，相交点到圆心的距离等于定点到圆心的距离。
6. 圆的应用圆的应用非常广泛，涉及到生活的各个方面。
在建筑设计中，圆形的窗户、圆顶等都可以为建筑增添美感和独特性。
在数学科研中，圆的性质和定理被广泛应用于几何学的研究和解决问题。
此外，圆的概念也运用在电子、通信、机械等众多领域，为各种设备和技术的实现提供了基础。
以上是九年级上册关于圆的知识点的全面介绍，希望通过这篇文章的阅读，学生们能够更好地理解和掌握圆的相关知识，并能在学习和生活中灵活应用，进一步提升数学水平。
人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结
人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
九年级数学上册 《 圆的知识点归纳总结大全》
一、圆的定义。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的元素。
1、半径：圆上一点与圆心的连线。
2、直径：连接圆上两点且经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点的线段（注：直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。（注：半圆周也是弧。）
（2）△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，⊙O切△ABC三边于点D、E、F。
求：AD、BE、CF的长。
（3）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c。求内切圆的半径r。
（4）S△ABC=
14、（补充）
（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，两边与圆相交的角（注：圆周角的两边是弦。）
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（2）直径所对的圆周角是直角。
（3）若圆周角为直角，那么它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d
7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
2)、
9、平面直角坐标系中，A（x1，y1）、B（x2，y2）。 则AB=
初中数学九年级上圆的知识点
初中数学九年级上圆的知识点圆是初中数学九年级上的一个重要知识点，下面将从圆的定义、圆的性质、圆的相关定理以及圆的应用等方面进行论述。
一、圆的定义圆是平面上的重要几何图形之一，是由与一个定点距离相等的所有点构成的集合。
这个定点称为圆心，距离称为半径，用字母r表示。
圆通常用圆的轮廓线表示，在数学表达中用字母O表示。
二、圆的性质1. 圆的任意两点到圆心的距离相等。
这意味着圆上的每一个点到圆心的距离都相等，即圆的半径。
2. 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离。
直径的长度是半径的两倍。
3. 圆的弦是圆上任意两点之间的线段。
弦不一定通过圆心，可以在圆内或圆外。
4. 圆上的切线垂直于半径。
切线是与圆相切的线，与圆的切点处的半径垂直。
三、圆的相关定理1. 弧与角的关系圆上的弧对应的圆心角是两个端点在圆心所对应的角，它们的度数相等。
2. 弧长与圆周角的关系圆的弧长是圆心角所对应的弧所在圆的一部分的长度，弧长等于这个圆心角所对应的圆周角度数的比值。
3. 弦长与弦心角的关系弦上的弦长是弦心角所对应的弦所在圆的一部分的长度，弦长等于这个弦心角所对应的圆周角度数的比值的2倍。
4. 割线定理割线是两个切点之间的线段，割线上的两个切线段长度乘积等于这条割线与这两个切点之间的弦段长度乘积。
四、圆的应用1. 圆的测量圆的周长等于圆周上的任意一段弧长，即C=πd或C=2πr，其中d为直径，r为半径。
圆的面积等于圆内所包围的面积，即S=πr²。
2. 圆的位置关系两个圆之间的位置关系可以分为外切、内切、相交、相离四种情况，通过判断两个圆心的距离与两个圆的半径之间的关系可以确定两个圆的位置关系。
3. 圆的轴对称与旋转对称圆具有轴对称性和旋转对称性，利用这个特性可以解决一些与圆相关的问题。
综上所述，圆是初中数学九年级上的重要知识点，通过对圆的定义、性质、相关定理和应用进行论述，可以帮助同学们更好地理解和掌握圆的知识，提高数学学科的学习成绩。
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九年级上册数学圆章节知
识点总结
Prepared on 21 November 2021
与圆相关的基本知识和计算
一、知识梳理：
（一）：圆及圆的有关概念
1.圆：到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆；
2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧；
3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，它是圆的最长的弦；
4.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；
5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角；
（二）圆的有关性质：
1.对称性：圆是中心对称图形，其对称中心是圆心；圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；
2.垂径定理及其推论：
（1）、垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；
（2）、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；3.圆心角、弧、弦之间的关系
（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；（2）推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等。
4.圆周角与圆心角的关系
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；
（2）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，0
90的圆周角所对的弦是直径；
5.圆内接四边形对角互补。
（三）点与圆的位置关系
1、点和圆的位置关系
如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系．
(1)d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内．
2、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
（四）直线与圆的位置关系
1、(1)直线与圆的位置关系有关概念
①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．
②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．
③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
(2)用数量关系判断直线与圆的位置关系
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：
(1)直线l和⊙O相交d＜r(如图(1)所示)；
(2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示)；
(3)直线l和⊙O相离d＞r(如图(3)所示)．
2、切线
(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
(3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
(4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
（五）三角形的外接圆和内切圆
1、三角形的外接圆
（1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
(2)三角形外心的性质：
①三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等．
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是惟一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．
2、三角形的内切圆与三角形的内心
①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．
②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等．
(六)：圆的有关计算
（一）正多边形与圆
1、正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、任何正多边形都有一个外接圆和内切圆，这两个圆是同心圆，正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心；如果一个正n 边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形，其中心就是对称中心；
3、边数相同的正多边形相似，它们的周长的比等于它们的相似比，面积的比等于它们相似比的平方；
4、正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形；正n 边形的中心角等于外角等于n
3600
； （二） 弧长与扇形面积
1、在半径为R 的圆中，0n 圆心角所对的弧长l=
180n ℜπ; 2、在半径为R 的圆中，圆心角为0n 的扇形面积扇形S =360
n 2
R π；半径为R ，弧长为l 的扇形面积为扇形S =R l 2
1;
3、侧面积：设圆锥的母线长为l，底面积的半径为r，那么圆的侧面积展开得到的扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πrl+πr2。