(4_6)部分习题和解答

本教材习题和参考答案及部分习题解答

第四章

4.1已知物体一点的六个应力分量为： 50x a σ=，0y

σ=，30z a σ=-，75yz a τ=-，80zx a τ=，50xy a τ=

试求法线方向余弦为112n =，122

n =

，3n 的微分面上的总应力T 、正应力n σ和

剪应力n τ。

解：应力矢量T 的三个分量为

11106.57i i T n a σ==，228.033T a =-，318.71T a =-

总应力111.8T a 。 正应力26.04n i i

T n a σ==。

剪应力108.7n a τ。

4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n 和m ，在这两个面上的应力矢量分别为1T 和2T ，试证12⋅=⋅T m T n 。 证：利用应力量的对称性，可得

12()()ij i j ji i j n m n m σσ⋅=⋅⋅===⋅⋅=⋅T m n σm m σn T n 。证毕。

4.3某点的应力量为

01211210x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y σ及该平面的单位法向矢量。 解：设要求的单位法向矢量为i n ，则按题意有 0ij j n σ=

即

2320n n +=，1230y n n n σ++=，1220n n += (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 2(22)0y n σ-=

上式有两个解：20n =或1y

σ=。若20n =，则代入式(a)中的三个式子，可得

1n =30n =，这是不可能的。所以必有1y σ=。将1y σ=代入式(a)，利用1i i n n =，

可求得

=n

4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，

试验证应力分量 22(arctg )x y xy

A C x x y

σ=--++ 22(arctg )y

y xy

A B x x y

σ=-+++

0z yz xz σττ===，2

22

xy y A x y τ=-+

满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数A 、B 和C 。 解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。 在0y =的边界上，有边界条件 0()y y q σ==-，0()0xy y τ==

所给的应力分量xy τ自动满足上面的第二个条件。将y σ的表达式代入上面的第一个条件，得

AB q =- (1) 在上斜面上，有

tg y x β=-，所以斜面上的应力分量可以简化成

(sin cos )x A C σβββ=++，(sin cos )x A B σβββ=-+，

2sin xy A τβ=-，0z yz xz σττ=== (2)

斜面上的外法向方向余弦为

1sin n β=-，2cos n β=-，30n = (3) 将式(2)和(3)代入边界条件0ij j n σ=，得

(sin cos )cos 0

C A AB βββββ+=--=⎧⎨

⎩ (4)

联立求解(1)和(4)，得

tg q

A ββ

=

-，tg B ββ=-，C β=-

4.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为 x ax by σ=+，y

cx dy σ=+，0z σ=，

0yz xz ττ==，xy dx ay x τγ=---

γ和1γ分别是坝身和水的比重。求常数a 、b 、c 、d ，使上述应力分量满足边界条件。

解：在0x =的边界上，有边界条件 01()x x y σγ==-，0()0xy x τ==

将题中的应力分量代入上面两式，可解得：0a =，1b γ=-。 在左侧的斜面上，tg x y β=，外法向方向余弦为 1cos n β=，2sin n β=-，30n =

把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件0ij j

n σ=，可解得：

21ctg d γβγ=-，21ctg (2ctg )c βγγβ=-。

4.6物体的表面由

(,,)0f x y z =确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷

(,,)p x y z ，试写出其边界条件。

解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为

n 或

i

n

按题意，边界条件为 p ⋅=σn n 因此

即 f p f ⋅∇=∇σ

上式的指标形式为 ,,ij

j i f pf σ=。

4.7如图4.10所示，半径为a 的球体，一半沉浸在密度为ρ的液体，试写出该球的全部

边界条件。

解：球面的外法向单位矢量为

i i

x a a ==

r n e 或 i i x n a

= 当0z ≤时，有边界条件

⋅=σn 0 即 ⋅=σr 0 或 0ij j x σ=。

当0z ≥时，球面上的压力为gz ρ，其中g 为重力加速度，边界条件为 gz σρ⋅=-n n 即 gz ρ⋅=-σr r 或 ij j i x gzx σρ=-。

4.8物体的应力状态为ij

ij σσδ=，其中σ为矢径r 的函数。(1)证明物体所受的体积力是

有势力，即存在一个函数ψ，使ψ=-∇f ；(2)写出物体表面上的面力表达式。

解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以

,,i i i i σσσσ=-∇⋅=-∇⋅=-⋅=-=-∇f σI I e e

所以，只要令ψσ=，就有ψ=-∇f 。

(2)表面上的面力为 σσ=⋅=⋅=T n σn I n 或 i

j T n σ=。

4.9已知六个应力分量ij σ中的30i σ=，求应力量的不变量并导出主应力公式。

解：应力量的三个不变量为：1x y I σσ=+，2

2x y xy I σστ=-，30I =。

特征方程是

3212122()0I I I I σσσσσσ-+=+=- 上式的三个根即三个主应力为0σ=和

2

x y

σσσ+=

4.10已知三个主应力为1σ、2σ和3σ，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三

角形，其法向单位矢量为

1n ，2n ，3n = 求八面体各个面上的正应力0σ和剪应力0τ。

解：01231

()3

ij i j n n σσσσσ==++，

ij j i n σ=T e ，222

1232223

i i T n σσσσ++=⋅==T T ，