统计模型在数学建模的应用
数学建模预测共享单车使用次数统计模型
数学建模预测共享单车使用次数统计模型共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式，是一种新型绿色环保共享经济。
本案例使用K近邻回归算法对共享单车使用量进行回归预测。
所采用的数据集是共享单车使用量数据集，该数据集共有16个字段，731条数据，记录了不同日期、节假日、天气条件下的共享单车使用情况。
本案例通过数据可视化、数据字段统计、数据预处理以及构建K 近邻回归模型实现了较为良好回归预测性能。
读取数据集，该数据集是共享单车使用量数据集，其中包含了731 条共享单车使用信息，每一条共享单车使用信息包含单车使用的日期（具体日期、季节、年份、月份、节假日是否为工作日等）和当日的天气信息（温度、湿度、风速等）。
此外，记录当日单车使用总量的字段CNT=未注册用户使用量casual+注册用户使用量registered。
数学建模之统计模型
数学建模之统计模型主讲：张伟内容概要•统计模型概要•参数检验•非参数检验•方差分析一、统计模型（Statistical Model）1. 概念有些过程无法用理论分析方法导出其模型，但可通过试验或直接由工业过程测定数据，经过数理统计求得各变变量之间的函数关系，称为统计模型数学建模就是利用数学方法来解决实际问题。
常用模型：最大似然估计、回归分析、聚类分析、非参数估计等软件：SPSS统计软件2.建模背景案例1：眼科病床的合理安排（2009年B题）该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。
该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。
案例2：葡萄酒的评价问题（2012年A题）二、参数检验（Parametric Tests）当总体分布已知（如总体为正态分布），根据样本数据对总体分布的统计参数进行推断。
主要目的（1）估计参数的取值，（2）对参数进行某种统计检验。
这类问题往往用参数检验来进行统计推断。
（单个或多个参数）.某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖当机器正常时,某日开工后为检验包装机是否正常,包装的糖9袋,称得净重为(公斤):0.497 0.506 0.518 0.524 0.4980.511 0.520 0.515 0.512问机器是否正常?案例3：重是一个随机变量X ,且),(~2σμN X 其均值为μ=0.5公斤,标准差σ=0.015公斤.随机地抽取它所（α=0.05）提出假设寻求统计量写出拒绝域进行检验解题思路：求解:SPSS软件或是Excel三、非参数检验（Nonparametric Tests）当总体分布未知，根据样本数据对总体分布的统计参数进行推断。
主要目的（1）估计参数的取值；（2）对参数进行某种统计检验。
这类问题往往用参数检验来进行统计推断。
（单个或多个参数）.1.单样本检验（拟合性检验）样本观测值总体分布（1）卡方检验寻求方法拟合（2）二项分布检验（3）K-S检验注：主要服从分布：离散型分布，正态分布，指数分布等案例1中：病床的合理安排需要做数据分析，拟合以下两个重要的指标：（1）病人到达人数服从Poisson分布，分布检验，分布参数提取；（2）术后住院时间分布：正态分布or Г分布or 经验分布；案例2中问题1：首先，通过单样本K-S检验确定葡萄酒评分数据的概率分布；然后再做显著性检验。
初中数学中的数学建模如何应用数学解决实际问题
初中数学中的数学建模如何应用数学解决实际问题数学建模是数学教育中的一项重要内容，它将数学的知识与实际问题相结合，通过运用数学方法的建模过程，解决实际问题，并提高学生的综合素质。
在初中数学中，数学建模的应用十分重要，它能够培养学生的创新思维、实际应用能力和团队合作精神。
本文将介绍初中数学中的数学建模在实际问题中的应用。
一、数学建模在交通出行中的应用交通出行是我们日常生活中关系到方便快捷的问题，而数学建模可以帮助我们解决交通出行中的一些实际难题。
比如，我们可以利用数学模型来分析交通流量，预测交通状况，为城市交通规划提供科学依据；还可以通过数学模型来设计交通信号灯的配时方案，优化交通运行效果，减少交通拥堵。
二、数学建模在环境保护中的应用环境保护是当今社会的一个重要课题，而数学建模可以帮助我们分析环境问题，提供解决方案。
例如，我们可以利用数学模型来研究空气质量，分析污染物的扩散规律，为环境监测和治理提供依据；还可以通过数学模型来优化垃圾处理系统，合理规划垃圾收集和处理的路线，减少环境污染。
三、数学建模在经济管理中的应用经济管理是社会运行的基础，而数学建模可以帮助我们分析经济问题，制定有效的管理策略。
举例来说，我们可以利用数学模型来分析市场供求关系，预测产品销售量，为企业的生产计划和市场决策提供参考；还可以通过数学模型来优化生产过程，降低生产成本，提高企业效益。
四、数学建模在社会调查中的应用社会调查是了解社会现象和社会问题的重要手段，而数学建模可以帮助我们统计调查数据，分析得出结论。
例如，我们可以利用数学模型来分析人口统计数据，揭示人口的增长趋势和分布规律，为城市规划和社会保障提供参考；还可以通过数学模型来分析社会心理调查数据，了解人们对特定问题的态度和观点，为社会问题的解决提供建议。
综上所述，初中数学中的数学建模能够应用数学方法解决实际问题，并为实际应用提供科学依据。
通过数学建模的学习，可以培养学生的创新思维和实际应用能力，提高他们解决实际问题的能力。
数学建模统计模型教学教案
数学建模统计模型教学教案一、教学内容本节课的教学内容选自人教版高中数学选修23第二章第四节“回归分析”和第三章第三节“独立性检验”。
具体内容包括：1. 回归直线方程的求法及应用；2. 相关系数的概念及其应用；3. 独立性检验的方法及其应用。
二、教学目标1. 理解回归直线方程、相关系数的概念，学会求回归直线方程和计算相关系数；2. 掌握独立性检验的方法，并能运用独立性检验解决实际问题；3. 培养学生的数据分析能力、数学建模能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：回归直线方程的求法、相关系数的计算、独立性检验的方法及应用；2. 教学重点：回归直线方程的求法、相关系数的计算、独立性检验的方法。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔；2. 学具：教材、笔记本、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：以“调查某班级学生的身高和体重关系”为例，引导学生思考如何利用数学模型描述身高和体重之间的关系；2. 讲解回归直线方程的求法：通过示例，讲解最小二乘法求回归直线方程的步骤，让学生掌握求回归直线方程的方法；3. 讲解相关系数的概念及计算方法：解释相关系数的概念，演示如何利用计算器计算相关系数，让学生理解相关系数的作用；4. 应用练习：让学生运用回归直线方程和相关系数解决实际问题，如预测某学生的体重；5. 讲解独立性检验的方法：通过示例，讲解独立性检验的步骤，让学生掌握独立性检验的方法；6. 应用练习：让学生运用独立性检验解决实际问题，如判断“性别与购买意愿是否独立”；六、板书设计1. 回归直线方程的求法；2. 相关系数的概念及其计算方法；3. 独立性检验的方法。
七、作业设计1. 求下列数据的回归直线方程：身高（x）：165, 170, 172, 175, 180体重（y）：60, 62, 64, 66, 682. 计算下列数据的相关系数：身高（x）：165, 170, 172, 175, 180体重（y）：60, 62, 64, 66, 683. 某班级有男生20人，女生15人，男生中有12人购买了某商品，女生中有8人购买了该商品。
数学建模方法详解
数学建模方法详解数学建模是指利用数学方法来研究和分析实际问题，并通过构建数学模型来描述和解决这些问题的过程。
数学建模具有很高的理论性和广泛的应用性，可以应用于科学、工程、经济等众多领域。
下面详细介绍几种常用的数学建模方法。
一、优化建模方法优化建模方法是指在给定的约束条件下，寻求其中一种目标函数的最优解。
该方法常用于生产、运输、资源分配等问题的优化调度。
优化建模的一般步骤包括确定决策变量、建立目标函数和约束条件、制定求解算法以及分析和验证最优解。
二、动力系统建模方法动力系统建模方法是指将实际问题转化为一组微分方程或差分方程，研究系统在时间上的演化规律。
该方法可以用于描述和预测物理、生物、经济等多个领域的系统行为。
动力系统建模的关键在于建立正确的微分方程或差分方程，并选择合适的求解方法。
三、决策分析建模方法决策分析建模方法是指将决策问题转化为数学模型，并采用数学方法进行决策分析和评估。
该方法常用于风险管理、投资决策、供应链管理等领域。
决策分析建模的关键在于准确描述决策者的目标和偏好，并选择合适的决策规则进行决策分析。
四、统计建模方法统计建模方法是指利用统计学理论和方法来描述和分析实际问题。
该方法多用于数据分析、预测和模式识别等领域。
统计建模的过程包括收集数据、建立概率模型、估计模型参数以及进行模型检验和应用。
五、图论建模方法图论建模方法是指利用图论的理论和方法来描述和分析网络结构和关联关系。
该方法常用于社交网络分析、路径规划、电力网络优化等领域。
图论建模的关键在于构建网络模型，并选择适当的图算法进行分析和优化。
六、随机模型建模方法随机模型建模方法是指利用随机过程和概率论的理论和方法来描述和分析随机现象。
该方法常用于金融风险管理、信号处理、系统可靠性评估等领域。
随机模型建模的关键在于建立正确的随机过程模型，并进行概率分布和随机变量的分析。
七、模拟建模方法模拟建模方法是指利用计算机仿真技术来模拟和分析实际问题。
数学建模中的统计方法
数据的描述性统计
分布形态的统计量：偏度（skewness）、峰度(kurtosis) 偏度：RV标准化的三阶中心距。反映分布的对称性 >0,右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边多 峰度：随机变量标准化的四阶中心距。
>3,表示分布有沉重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数据
92年施肥方案数据分析：
SSe ( X ij - X i )2
i 1 j 1 n m
自由度ve = m(n – 1) = N – m
总变差的分解
SS A n ( X i - X )
i 1 m 2
SSe ( X ij - X i )2
i 1 j 1
n
m
SST ( X ij - X ) [( X ij - X i ) + ( X i - X )]2
r n
r
组内离差平方和：SS E ( X ij - X . j )
j 1 i 1
2
SST=SSA+SSE
四、基本步骤
step1：明确观测变量和控制变量。
step2：剖析观测变量的方差。
step3：通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例， 推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
平均值 0.142 0.153 0.161 0.183 0.174
在方差分析中，把所有数据之间的差异叫 做总变差。产生总变差的原因有两类，一 类是条件变差（本例中即是酸度的影响）， 另一类就是试验误差。方差分析解决这个 问题的办法就是：
1 、从总变差中区分出试验变差和条件变差， 也就是将不同因素的影响给区分开来。 2、利用F检验比较这两个变差的大小，确定 出主要变差。 3 、根据主要的变差，去选择较好的分析条 件，或确定进一步试验的方向。
数学建模统计模型教学教案
数学建模统计模型教学教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模与统计》第十章，具体内容为第一节的统计模型。
详细内容包括描述统计和推断统计的基础知识，重点探讨如何构建线性回归模型，以及如何运用该模型进行数据的预测和分析。
二、教学目标1. 理解并掌握描述统计和推断统计的基本概念和方法；2. 学会构建线性回归模型，并运用模型对实际问题进行预测和分析；3. 培养学生的数据分析能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：线性回归模型的构建和应用。
教学重点：描述统计和推断统计的基本概念，以及线性回归模型的构建和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔；2. 学具：教材、练习本、计算器。
五、教学过程1. 引入：通过展示一组实际数据，引出描述统计和推断统计的概念，激发学生的兴趣。
2. 知识讲解：a. 简要介绍描述统计和推断统计的基本概念；b. 详细讲解线性回归模型的构建方法和应用。
3. 例题讲解：a. 演示如何构建线性回归模型；b. 结合实际案例，展示如何运用线性回归模型进行预测和分析。
4. 随堂练习：a. 让学生独立完成一组实际数据的描述统计分析；b. 引导学生构建线性回归模型，并对数据进行预测和分析。
六、板书设计1. 描述统计和推断统计的概念；2. 线性回归模型的构建方法；3. 线性回归模型的应用案例；4. 随堂练习的解答。
七、作业设计1. 作业题目：a. 对一组实际数据进行描述统计分析；b. 根据给定的数据，构建线性回归模型，并进行预测和分析。
2. 答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对描述统计和推断统计的概念掌握情况，以及对线性回归模型构建和应用的理解程度。
2. 拓展延伸：a. 探讨其他统计模型（如非线性回归、时间序列分析等）在实际问题中的应用；b. 引导学生参加数学建模竞赛，提高解决实际问题的能力。
重点和难点解析1. 线性回归模型的构建方法；2. 线性回归模型在实际问题中的应用；3. 课后作业的设计与答案。
数学建模方法及其应用
数学建模方法及其应用
数学建模方法是将现实问题抽象化为数学模型，通过符号、计算、推理和实验等手段进行研究解决问题的方法。
数学建模方法的应用十分广泛，包括经济学、工程学、物理学、计算机科学、生物学等领域。
1. 经济学领域：数学建模方法在经济学中的应用包括宏观经济模型、金融市场模型、产业研究模型等，可以帮助经济学家预测经济走势、分析市场趋势、评估政策效果等。
2. 工程学领域：数学建模方法在工程学中的应用包括流体力学模型、热传导模型、结构力学模型、控制系统模型等，可以用来优化设计、预测性能、进行稳定性分析等。
3. 物理学领域：数学建模方法在物理学中的应用包括量子力学模型、场论模型、统计物理模型等，可以帮助物理学家研究物理现象、发掘物理规律、解释实验结果等。
4. 计算机科学领域：数学建模方法在计算机科学中的应用包括图论模型、优化算法模型、人工智能模型等，可以用于解决最优化问题、分类问题、自然语言处理等任务。
5. 生物学领域：数学建模方法在生物学中的应用包括遗传学模型、成因变异模
型、癌症模型等，可以用于预测疾病风险、优化治疗方案、研究基因组学等问题。
总之，数学建模方法是一种十分有价值的计算工具，在各个领域都得到广泛的应用和推广。
数学中的统计建模
数学中的统计建模统计建模是数学中的一门重要学科，它通过运用概率论、统计学和数学建模的方法来对实际问题进行分析和解决。
本文将介绍统计建模的基本概念、应用领域以及一些常见的统计建模方法。
一、统计建模的基本概念统计建模是指利用统计学的基本原理和方法来建立数学模型，以对未知的数据或事件进行预测和分析。
它通过收集和整理数据，运用概率分布、假设检验、回归分析等统计工具，建立一个合理的数学模型来揭示数据背后的规律和关系。
二、统计建模的应用领域1. 经济学领域：统计建模在经济学中有着广泛的应用，如宏观经济预测、金融风险评估、市场调研等。
通过对历史数据的分析，可以建立经济模型，利用这些模型来预测未来的经济趋势。
2. 医学领域：统计建模在医学研究中扮演着重要的角色。
例如，利用生物统计学的方法，可以对药物的疗效进行评估，通过对医疗数据的分析可以建立疾病预测模型，帮助医生做出正确的诊断和治疗方案。
3. 社会科学领域：统计建模在社会调查和研究中发挥着重要作用。
通过对社会数据的分析，可以建立社会行为模型，帮助研究者更好地理解社会现象的规律，从而制定相应的政策和措施。
三、常见的统计建模方法1. 线性回归：线性回归是最常见的统计建模方法之一，它用于分析自变量与因变量之间的线性关系。
通过最小二乘法，可以得到最佳拟合的回归方程，并利用这个方程来进行预测和推断。
2. 逻辑回归：逻辑回归是一种广义线性模型，常用于对二分类问题的建模。
它通过对数据进行适当的变换，将线性回归模型转化为逻辑回归模型，从而用于预测和分类。
3. 时间序列分析：时间序列分析是对时间相关数据进行建模和预测的方法。
利用时间序列分析，可以揭示数据的趋势、周期性和季节性变化，从而进行未来的预测与分析。
4. 聚类分析：聚类分析是对数据进行分类和分组的方法，它通过衡量数据之间的相似性或距离来将数据分为不同的类别。
聚类分析在市场细分、用户画像等领域有着广泛的应用。
总结：统计建模是数学中的一门重要学科，它在各个领域中都有着广泛的应用。
概率论与数理统计在数学建模中的应用
概率论与数理统计在数学建模中的应用概率论与数理统计在数学建模中的应用——国 冰。
第一节 概率模型一、初等概率模型初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题：1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型设某种机器的工作系统由N 个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性，在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作)明显地，备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低. 因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量，使整个系统的工作可靠性最大? 这是一个整体系统的可靠性问题.我们假设第i 个部件上装有i x 个备用件(1,2,,)i N =,此时该部件正常工作的概率为()i p x ，那么整个系统正常工作的可靠度便可用1()ni i p p x ==∏ （9.1）来表示.又设第i 个部件上的每个备用件的费用为i C ，重量为i W ，并要求总费用不超过C ，总重量不超过W ，则问题的数学模型便写成为1max ()ni i p p x ==∏合理的决策必须具备三个条件：（1）目标合理；（2）决策结果满足预定目标的要求；（3）决策本身符合效率、满意、有限合理、经济性的原则。
所谓风险型决策是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策存在一定的风险.①风险决策模型的基本要素决策者——进行决策的个人、委员会或某个组织.在问题比较重大和严肃时，通常应以后者形式出现.方案或策略——参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略. 如渔民要决定出海打鱼与否便是两个方案或称两个策略.准则——衡量所选方案正确性的标准.作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断.对收益讲，期望效益值越大的方案越好；反之对于损失来讲，期望效益值越小的方案越好.事件或状态——不为决策者可控制的客观存在的且将发生的自然状态称为状态(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人所不可控因素.结果——某事件(状态)发生带来的收益或损失值.②风险决策方法•利用树形图法表示决策过程具有直观简便的特点，将其称为决策树的方法.•充分利用灵敏度分析(即优化后分析)方法对决策结果作进一步的推广和分析.决策树一般都是自上而下的来生成的。
生活中的数学建模
作为一名数学教授，我很乐意为您列举一些生活中的数学建模示例。
数学建模是将实际问题转化为数学模型，并使用数学方法进行分析和求解的过程。
以下是一些常见的数学建模应用：1. 交通流量优化：通过数学建模，可以研究交通流量、拥堵情况以及交通信号优化，以提高道路交通效率和减少拥堵。
2. 股票市场预测：数学建模可以应用于股票市场的预测和分析，利用统计学、时间序列分析等方法来预测股票价格的走势。
3. 医学影像处理：数学建模在医学影像处理中起着重要的作用，如在计算机断层扫描（CT）和磁共振成像（MRI）等领域中，用于图像重建、噪声滤除等方面。
4. 环境保护：数学建模可应用于环境保护领域，如空气污染模型、水资源管理模型，以及气候变化模型等，帮助预测和评估环境影响。
5. 供应链优化：数学建模可以用于优化供应链管理，包括库存管理、运输路线优化、订单分配等，以提高效率和降低成本。
6. 市场营销策略：数学建模在市场营销中也有应用，如市场分析、顾客行为建模，以及定价策略等，帮助企业做出更明智的决策。
7. 网络安全：数学建模在网络安全领域中用于密码学、加密算法的设计与分析，以及网络攻击和防御策略的建立。
8. 城市规划：数学建模可用于城市规划，如交通规划、土地利用规划，以及人口增长模型等，帮助设计更可持续和宜居的城市环境。
9. 能源管理：数学建模可应用于能源管理领域，如电力系统调度、能源供需平衡、能源消耗优化等，以提高能源利用效率和减少能源浪费。
10. 人群行为模拟：数学建模可以用于模拟和预测人群的行为，如人流模型、交通拥堵模拟、疾病传播模型等，有助于制定合理的城市规划和紧急应对措施。
11. 资源分配：数学建模在资源分配领域有广泛应用，如水资源分配、食物供应链优化、医疗资源调配等，以确保资源的公平合理分配和最优利用。
12. 金融风险管理：数学建模在金融领域中扮演关键角色，如风险评估模型、投资组合优化、衍生品定价等，有助于管理和降低金融风险。
数学建模：建立统计模型进行预测
费用统计表
1个月工资 2个月工资 3个月工资
全职工资
/人
/人
/人
2 000
4 800
7 500
15 840
7
3
13
10
14 000 14 400 97 500 158 400
313 175
培训费用
875 33 28 875
从计算结果可以看出，总费用会比全部雇用临时工少350 RMB，因为培训费用虽然 可以减少 8 750 RMB，但是工资却增加 8 400 RMB，所以在培训费用较高的情况下， 多雇用全职员工可减少总费用；在培训费用较低的情况下，就尽量少雇用全职员 工．例如：当培训费用减少至700 RMB时，若雇用10名全职工，总费用将增加 5 000 RMB.
雇用一个月人数为7人，雇用二个月的人数为3人，雇用三个月人数为33人．
当培训降低至700 RMB/人时运算结果如下：
雇佣人数分配表
项目/月份 雇佣一个月人数 雇佣二个月人数 雇佣三个月人数 总雇佣人数
1月份
10
0
2月份
23
0
3月份
19
0
4月份
26
0
5月份
20
0
6月份
14
0
合计
112
0
0
10
0
23
5
19
14
15
5月份
0
0
0
0
6月份
0
0
0
0
合计
7
3
33
43
项目
费用 人数 合计 总费用
费用统计表
2个月工资/
1个月工资/人
数学建模案例分析第十章统计回归模型
岭回归原理及步骤
• 原理：岭回归是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方 法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘 法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数 更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的拟合要强于 最小二乘法。
岭回归原理及步骤
• 原理：岭回归是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方 法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘 法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数 更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的拟合要强于 最小二乘法。
一元线性回归
01
02
03
模型建立
一元线性回归模型用于描 述两个变量之间的线性关 系，通常形式为y=ax+b， 其中a和b为待估参数。
参数估计
通过最小二乘法等方法对 参数a和b进行估计，使得 预测值与实际观测值之间 的误差平方和最小。
假设检验
对模型进行假设检验，包 括检验模型的显著性、参 数的显著性等，以判断模 型是否有效。
线性回归模型检验
拟合优度检验
通过计算决定系数R^2等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差分析
对模型的残差进行分析，包括残 差的分布、异方差性检验等，以
判断模型的合理性。
预测能力评估
通过计算预测误差、均方误差等 指标，评估模型的预测能力。同 时可以使用交叉验证等方法对模
型进行进一步的验证和评估。
线性回归模型检验
逐步回归原理及步骤
01
3. 对模型中已有的自变量进行检 验，如果不显著则将其从模型中 剔除。
02
4. 重复步骤2和3，直到没有新的 自变量可以进入模型，也没有不显 著的自变量可以从模型中剔除。
基于贝叶斯统计的数学建模方法研究
基于贝叶斯统计的数学建模方法研究贝叶斯统计是一种基于概率理论的统计分析方法，其核心思想是通过利用先验概率与实验数据的条件概率相结合，更新对未知量的推断。
在数学建模领域，贝叶斯统计方法被广泛应用于模型参数估计、模型选择、不确定性分析等方面，为研究者提供了一种灵活且有效的分析工具和理论基础。
在数学建模中，我们往往需要根据已知数据和模型假设，推断出未知参数的可能取值，并对结果进行可信度评估。
传统的频率统计方法在面对数据不足、模型复杂、不确定性高等问题时，常常无法给出满意的结果。
而贝叶斯统计方法的特点正是能够通过先验分布的引入，对不确定性进行更加灵活的建模和推断。
首先，我们需要明确贝叶斯统计的基本原理。
贝叶斯定理是贝叶斯统计的核心公式，表达了在已有数据条件下，使用贝叶斯方法进行参数估计的推断过程。
它通过联合概率分布的积分，将先验概率与条件概率相结合，得到后验概率分布，从而对未知参数进行推断。
在具体建模过程中，我们首先需要定义一个参数模型，包括模型假设、参数转换函数等。
然后，通过贝叶斯定理，将参数的先验分布与似然函数相乘，得到后验分布。
此后，我们可以通过计算后验分布的均值、方差等统计量，对参数进行估计。
此外，我们还可以通过基于后验分布的抽样方法，如马尔可夫链蒙特卡洛(MCMC)方法，进行不确定性分析和模型选择。
贝叶斯统计方法在数学建模中的应用非常广泛。
例如，在图像识别中，我们可以利用贝叶斯方法对图像模型参数进行推断，从而实现对未知图像的分类和识别。
在金融风险管理中，我们可以利用贝叶斯方法对金融模型参数进行估计和预测，从而提高风险评估的准确性和可信度。
在医学诊断中，我们可以利用贝叶斯方法对疾病模型参数进行估计，从而提高对疾病的预测和治疗效果的评估。
此外，贝叶斯统计方法还有一些重要的拓展和扩展。
例如，层级贝叶斯模型可以用于处理多层次数据和分析复杂模型的参数；变分贝叶斯模型可以用于高效近似推断；非参数贝叶斯方法可以用于模型无参、自适应建模等场景。
人教A版高中数学选择性必修第三册 数学建模 建立统计模型进行预测
1.25
0.05· =0.5,
1.25
0.05x= ,即
0.05 +
1.25
x=5 时取等号,
+0.85≤-0.5+0.85=0.35.
∴该公司应该投入 5 万元宣传费,才能使得年利润与年宣传费的比值最大.
【变式训练2】 随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的喜爱,各大购物网
站为增加收入,促销策略越来越多样化,促销费用也不断增加,下表是某购物网站
7
7
=1
i=1
(2)根据散点图相应数据计算得 ∑ yi=1 074, ∑ xiyi=4 517,求 y 关于 x 的经验回
归方程.
解:(1)根据题中散点图可知,散点均匀地分布在一条直线附近,且随着x的增
大y增大,故y与x成线性相关,且为正相关.
(2)依题意, =
=
1
×(1+2+3+4+5+6+7)=4,
②估算该公司应该投入多少宣传费,才能使得年利润与年宣传费的比值最大.
^
^
^
附:经验回归直线 = bx+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
^
∑ -
= =1
∑
=1
2
2 -
=
∑ ( -)( -) ^
=1
2
∑ ( -)
, = − .
^
^
(2)对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其经验回归直线 = x+的斜率和
^
截距的最小二乘估计分别为 =
∑ ( -)( -) ^
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对因变量的影响是否显著.
• 模型改进, 如增添二次项、交互项等. • 对因变量进行预测.
2 软件开发人员的薪金
建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系 . 分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考. 46名软件开发人员的档案资料
编 号 01 02 03 04 薪金 13876 11608 18701 11283 资 历 1 1 1 1 管 理 1 0 1 0 教 育 1 3 3 2 编 号 42 43 44 45 46 薪金 27837 18838 17483 19207 19346 资 历 16 16 16 17 20 管 理 1 0 0 0 0 教 育 2 2 1 2 1
销售 周期 1 2
29 30
3.80 3.70
3.85 4.25
5.80 6.80
0.05 0.55
7.93 9.26
基本模型
y ~公司牙膏销售量 x1~其他厂家与本公司价格差 x2~公司广告费用
y 10
9.5 9 8.5 8 7.5 7 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
e 与资历x1的关系
2000 1000
2000 1000 0 -1000
0
-1000
-2000
0
5
10
15
20
-2000
1
2
3
4
5
6
残差大概分成3个水平, 6种管理—教育组合混在 一起，未正确反映.
残差全为正,或全为负,管 理—教育组合处理不当. 应在模型中增加管理x2与 教育x3, x4的交互项 .
1 牙膏的销售量
问 题
建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型; 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量. 收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、 广告费用，及同期其他厂家同类牙膏的平均售价 .
本公司价 格 (元 ) 3.85 3.75 其他厂家 价格(元) 3.80 4.00 广告费用 (百万元) 5.50 6.75 价格差 （元） -0.05 0.25 销售量 (百万支) 7.38 8.51
模型求解 y a0 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4
参数 参数估计值 a0 11033 a1 546 a2 6883 a3 -2994 a4 148 R2=0.9567 F=226 置信区间 [ 10258 11807 ] [ 484 608 ] [ 6248 7517 ] [ -3826 -2162 ] [ -636 931 ] p<0.0001 s2=106
两模型销售量预测比较
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元
ˆ ˆ x ˆ x ˆ x2 ˆ y 0 1 1 2 2 3 2
ˆ 8.2933 预测区间 [7.8230，8.7636] 预测值 y
ˆ x ˆ x ˆ x2 ˆ xx ˆ 0 y 1 1 2 2 3 2 4 1 2
9
ˆ y
9
ˆ y
8.5
x2=6.5
0 0.2 0.4 0.6
8.5
8
8
7.5 -0.2
x1
7.5 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
x1
10 9.5 9 8.5 8 7.5 5
ˆ y
10.5 10
ˆ y
x1=0.2
6 7 8
9.5 9 8.5
x2
8
5
6
7
8
x2
交互作用影响的讨论
价格差 x1=0.1
ˆ y
10.5
价格差 x1=0.3
x2 7.5357
ˆ y
ˆ y
ˆ y
x1 0.1
10 9.5
价格优势会使销售量增加 加大广告投入使销售量增加 （ x2大于6百万元） 价格差较小时增 加的速率更大
9 8.5 8 7.5 5 6
x1=0.3
x1=0.1
7
8
x2
价格差较小时更需要靠 广告来吸引顾客的眼球
上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流
若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握 知道销售额在 7.82303.7 29（百万元）以上
模型改进
x1和x2对y 的影响独立 x1和x2对y 的影响有 交互作用
y 0 1 x1 2 x2 x
价格差x1=其他厂家价格x3-本公司价格x4 估计x3 调整x4 控制x1 通过x1, x2预测y 控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元
ˆ ˆ x ˆ x ˆ x2 8.2933 (百万支) ˆ y 0 1 1 2 2 3 2
销售量预测区间为 [7.8230，8.7636]（置信度95%）
中学：x3=1, x4=0 ； 大学：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0
假设
• 资历每加一年,薪金的增长是常数； • 管理、教育、资历之间无交互作用.
线性回归模型
y a0 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4
a0, a1, …, a4是待估计的回归系数，是随机误差
参数估计值 0 29.1133 1 11.1342 2 -7.6080 3 0.6712 4 -1.4777 R2=0.9209 F=72.7771
置信区间 [13.7013 44.5252] [1.9778 20.2906 ] [-12.6932 -2.5228 ] [0.2538 1.0887 ] [-2.8518 -0.1037 ] p<0.0001 s2=0.0490
鼠标移动十字线(或下方窗口输入)可改变x1, x2, ˆ 及预测区间 左边窗口显示预测值 y
牙膏的销售量
建立统计回归模型的基本步骤
• 根据已知数据从常识和经验分析, 辅之以作图,
决定回归变量及函数形式(先取尽量简单的形式). • 用软件(如MATLAB统计工具箱)求解. • 对结果作统计分析: R2,F, p, s2是对模型整体的评价, 回归系数置信区间是否含零点，用于检验回归变量
2 3 2
参数
0 1 2 3
R2=0.9054 参数
2 y 0 1 x1 2 x2 3 x2 4 x1 x2
参数估计值 17.3244 1.3070 -3.6956 0.3486 F=82.9409
置信区间 [2 28.9206] [0.6829 1.9311 ] [-7.4989 0.1077 ] [0.0379 0.6594 ] p<0.0001 s2=0.0426
正态分布随机变量）
2 y 0 1 x2 2 x2
7.5 x 2
模型求解 MATLAB 统计工具箱 2 y 0 1 x1 2 x2 3 x2 由数据 y,x1,x2估计
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)
y的90.54%可由模型确定 p值远小于=0.05
2的置信区间包含零点
F值远超过F检验的临界值 模型从整体上看成立 x2对因变量y 的 影响不太显著
(右端点距零点很近)
x22项显著
可将x2保留在模型中
ˆ ˆ x ˆ x ˆ x2 销售量预测 y ˆ 0 1 1 2 2 3 2
alpha(置信水平,0.05) 参数估计值 0 17.3244 1 1.3070 2 -3.6956 3 0.3486 R2=0.9054 F=82.9409 参数
Stats~ 检验统计量 R2,F, p,s2
2 结果分析 y 0 1 x1 2 x2 3 x2
ˆ 8.3272 预测值 y
预测区间 [7.8953，8.7592] 预测区间长度更短
ˆ 略有增加 y
ˆ 与x1,x2关系的比较 两模型 y ˆ x ˆ x ˆ x2 ˆ xx ˆ ˆ x ˆ x ˆ x2 y ˆ ˆ y 0 1 1 2 2 3 2 4 1 2 0 1 1 2 2 3 2
进一步的模型 增加管理x2与教育x3, x4的交互项
y a0 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 a5 x2 x3 a6 x2 x4
参数 参数估计值 置信区间 a0 [11044 11363] 11204 a1 [486 508] 497 a2 [6841 7255] 7048 a3 [-1939 -1514] -1727 a4 [-545 –152] -348 a5 [-3372 -2769] -3071 a6 [1571 2101] 1836 R2=0.9988 F=554 p<0.0001 s2=3104
y 0 1 x1 2 x2 x
2 3 2
y 0 1 x1
y 10
9.5 9 8.5 8 7.5 7 5 5.5 6 6.5 7
x1
y~被解释变量（因变量） x1, x2~解释变量(回归变量, 自变量)
0, 1 , 2 , 3 ~回归系数 ~随机误差（均值为零的
完全二次多项式模型
2 2 y 0 1 x1 2 x2 3 x1 x2 4 x1 5 x2
MATLAB中有命令rstool直接求解
ˆ y
10 9.5 9 8.5 8 7.5 0 0.2 0.4 5.5 6 6.5 7
ˆ ( ˆ , ˆ , ˆ , ˆ , ˆ , ˆ) 从输出 Export 可得 0 1 2 3 4 5
资历增加1年 薪金增长546 管理人员薪金 多6883 中学程度薪金比 更高的少2994
R2,F, p 模型整体上可用
x1~资历(年) x2 = 1~ 管理， x2 = 0~ 非管理 中学：x3=1, x4=0; 大学：x3=0, x4=1; 更高：x3=0, x4=0.