弗洛伊德算法详解
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法（Floyd算法）是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法，以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。
该算法的基本思想是通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引入一个矩阵S，矩阵S中的元素a[i][j]表示顶点i（第i个顶点）到顶点j（第j个顶点）的距离。
具体步骤如下：
1.初始化S。
矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞。
实际上，就是将图的原始矩阵复制到S中。
2.以顶点A（第1个顶点）为中介点，若a[i][j]>a[i][0]+a[0][j]，则设置a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。
请注意，在具体使用中，可能需要根据问题的具体情况对该算法进行适当的调整。
Floyd算法
Floyd算法Floyd算法是一种经典的图论算法，用于求解带权有向图中任意两个顶点之间的最短路径问题。
该算法由美国数学家罗伯特·弗洛伊德（Robert Floyd）于1962年提出，因此得名为Floyd算法。
Floyd算法是一种动态规划算法，它采用了“分治”的思想，将问题分解为更小的子问题，然后逐步解决子问题，最终得到解决整个问题的结果。
本文将从算法的背景、基本思想、实现方法及优缺点等方面对Floyd 算法进行详细阐述和分析。
一、算法的背景在讲Floyd算法之前，我们先来了解一下最短路径问题。
顾名思义，最短路径问题就是在给定图中找到两个给定节点之间的一条最短路径，也就是路径上各边权值之和最小的路径。
这个问题在现实生活中有很多应用，比如网络路由、地图路径规划、航线安排等等。
在数学和计算机科学领域中，我们可以通过图论的方法来描述和解决这个问题。
一般来说，给定一张带权有向图G=(V, E)，其中V表示节点的集合，E表示边的集合。
每条边E(i,j)的权重为w(i,j)，表示从节点i到节点j的距离或成本。
那么最短路径问题就是在图中找到从节点s到节点t的一条最短路径P，并且P上的边权之和最小。
最初求解的思路是按照类似深度优先搜索的方式，逐个遍历所有路径，然后依次比较它们的距离，找到最短路径。
但这种方式显然是不可行的，因为它的时间复杂度非常高。
所以，我们需要设计一种更高效的算法，以求得最短路径问题的最优解。
二、算法的基本思想Floyd算法就是一种高效地解决最短路径问题的方法。
它采用了“动态规划”的思想，通过逐步求解子问题，最终得到完整的最短路径。
而解决子问题的方式则是采用了“分治”的思想，将问题分解为更小的子问题，然后逐步解决。
具体地说，Floyd算法采用了“中转节点”的概念，我们可以将问题转化为这样一个子问题：对于每个节点i和节点j，假设我们已经知道了它们之间的最短路径长度为d[i][j]，那么考虑一下节点k作为中转节点，它可以为i和j之间的路径P提供一个“中转服务”，将P拆分为两条路径：i-->k和k-->j。
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法一、佛洛伊德算法简介佛洛伊德算法（Floyd Algorithm），又称弗洛伊德算法，是一种用于寻找加权图中所有顶点之间最短路径的算法。
该算法由英国计算机科学家David Floyd于1967年提出，主要用于解决带权有向图和带权无向图中的最短路径问题。
二、佛洛伊德算法与最短路径算法的关系佛洛伊德算法与最短路径算法密切相关，但它不同于Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
后两种算法主要用于求解单源最短路径，而佛洛伊德算法可以同时求解图中所有顶点之间的最短路径。
三、佛洛伊德算法的基本原理1.假设图中所有顶点已按照某种顺序编号，边的权值均为非负数。
2.初始化一个距离矩阵，将矩阵中所有元素设为无穷大（表示尚未确定最短路径）。
3.对于每个顶点k，遍历图中的所有顶点i和j，尝试将顶点k作为其他两点之间的中间点，更新距离矩阵中的距离值。
4.重复步骤3，直到所有顶点之间的最短路径都被求解出来。
四、佛洛伊德算法的应用场景1.带权有向图和带权无向图的最短路径问题。
2.网络路由规划：在计算机网络中，用于寻找最优路径，提高数据传输效率。
3.物流配送：在物流领域，用于优化配送路线，降低运输成本。
五、佛洛伊德算法的优缺点优点：1.可以同时求解图中所有顶点之间的最短路径。
2.算法稳定性较好，适用于大规模图计算。
缺点：1.计算复杂度高，时间复杂度为O(nm)，其中n为顶点数，m为边数。
2.空间复杂度较高，需要存储整个距离矩阵。
六、佛洛伊德算法在现实生活中的应用案例1.地图导航：利用佛洛伊德算法计算出行路线，为用户提供最优路径。
2.物流配送：通过佛洛伊德算法优化配送路线，提高物流效率。
v 弗洛伊德算法
v 弗洛伊德算法弗洛伊德算法（Floyd’s algorithm），又称为插点法，是一种通过动态规划求解最短路径问题的算法。
该算法在图论中有着广泛的应用，能够快速求解出两点之间的最短路径。
本文将为大家介绍弗洛伊德算法的原理以及实际应用。
1. 算法原理弗洛伊德算法的核心思想是利用中间点来更新起点到终点的距离。
假设图中任意两点之间的距离都为$d[i][j]$，则我们假设存在一个中间点$k$，可以将起点$i$和终点$j$之间的最短路径分成两部分，即起点到中间点的路径$d[i][k]$和中间点到终点的路径$d[k][j]$。
所以我们可以得到如下的状态转移方程：$$d[i][j]=\min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])$$通过不断地更新所有点之间的最短路径，我们最终可以得到所有节点之间的最短路径。
2. 算法实现弗洛伊德算法的实现中，最重要的一步就是更新状态转移方程。
具体来说，我们需要使用三层循环嵌套遍历所有点，将当前节点到所有其他节点的最短距离更新一遍即可。
下面就是使用 Python 语言实现弗洛伊德算法的代码片段：```pythonn = len(graph)for k in range(n):for i in range(n):for j in range(n):graph[i][j] = min(graph[i][j], graph[i][k] +graph[k][j])```在这段代码中，$graph$是一个$n \times n$的矩阵，表示所有节点之间的距离。
其中$n$是节点的数量。
3. 算法应用弗洛伊德算法的主要应用是求解带权图中各个节点之间的最短路径。
在实际生活中，我们可以将节点看作是城市，将距离看作是两个城市之间的道路距离。
这样，就可以使用弗洛伊德算法来计算任意两座城市之间的最短路程，帮助人们规划出更加便捷的旅行路线。
另外，在计算机网络中，弗洛伊德算法也被广泛应用于路由协议的设计中。
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法摘要：1.佛洛伊德算法简介2.算法原理与流程3.应用领域4.优缺点分析5.我国在相关领域的研究与进展正文：佛洛伊德算法是一种基于人工智能的文本生成算法，它的核心思想是通过学习大量文本数据，生成与输入文本相似的自然语言文本。
该算法由深度学习领域的专家们提出，并在近年来逐渐成为自然语言处理领域的研究热点。
1.佛洛伊德算法简介佛洛伊德算法，又称为变分自编码器（Variational Autoencoder, VAE），是一种生成模型。
它通过将输入文本编码成低维度的“潜在空间”，再从潜在空间中采样一个向量，最后将该向量解码成生成文本。
这种方法使得模型能够在学习过程中捕捉到输入文本的语义信息，从而生成与原始文本相似的自然语言文本。
2.算法原理与流程（1）编码器：将输入文本编码成低维度的潜在空间。
（2）采样器：在潜在空间中随机采样一个向量。
（3）解码器：将采样向量解码成生成文本。
（4）损失函数：衡量生成文本与原始文本之间的差距。
3.应用领域佛洛伊德算法广泛应用于自然语言处理领域，包括文本生成、机器翻译、对话系统等。
通过学习大量文本数据，该算法能够生成连贯、通顺的自然语言文本，为各种应用场景提供有力支持。
4.优缺点分析优点：（1）生成文本质量高，具有较强的语义表达能力。
（2）能够捕捉到输入文本的潜在语义结构，较好地满足自然语言生成的需求。
缺点：（1）训练过程可能需要大量的计算资源和时间。
（2）生成文本可能存在一定的随机性，导致多样性不足。
5.我国在相关领域的研究与进展近年来，我国在自然语言处理领域取得了显著的研究成果。
不仅提出了许多具有创新性的算法，还在国际竞赛中取得了优异成绩。
同时，我国政府和企业也在大力支持人工智能技术的发展，为相关领域的研究提供了有力保障。
总之，佛洛伊德算法作为一种先进的文本生成方法，在自然语言处理领域具有广泛的应用前景。
弗洛伊德（Floyd）算法
弗洛伊德（Floyd）算法最短路径问题：从某个顶点出发到达另外⼀个顶点的所经过的边的权重和最⼩的⼀条路径弗洛伊德算法解决最短路径问题1.基本思想（1）计算图中各个顶点之间的最短路径，每⼀个顶点都是出发访问点，所以需要将每⼀个顶点看做被访问顶点，求出从每⼀个顶点到其他顶点的最短路径（2）所有顶点都作为中间节点遍历⼀次，每次遍历将各个顶点经过中间节点到另⼀个节点的距离，与不经过该节点的距离相⽐较，若经过中间节点的距离更⼩，就更新距离表与前驱关系（3）时间复杂度O(n3)，所有顶点作为出发点、中间节点、终点，每个顶点都要遍历3次2.步骤（1）设置顶点 a 到顶点 b 的最短路径已知为 L ab，顶点 b 到 c 的最短路径已知为 L bc，顶点 a 到 c 的路径为 L ac，则 a 到 c 的最短路径为：min ( ( L ab + L bc ), L ac )，b 的取值为图中所有顶点，则可获得 a 到 b 的最短路径（2）⾄于 a 到 b 的最短路径 L ab或者 b 到 c 的最短路径 L bc，是以同样的⽅式获得（3）三个点为同⼀顶点时：中间顶点为⾃⾝；三个点是不同顶点时：中间顶点是终点的前驱节点；两个顶点直接连通时：中间节点为出发点代码实现import java.util.Arrays;public class Floyd {//弗洛伊德算法解决最短路径问题public static final int BLOCK = 65535;//表⽰顶点之间不直接连通public static void main(String[] args) {char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//顶点到⾃⾝距离为0int[][] matrix = {{0, 5, 7, BLOCK, BLOCK, BLOCK, 2},{5, 0, BLOCK, 9, BLOCK, BLOCK, 3},{7, BLOCK, 0, BLOCK, 8, BLOCK, BLOCK},{BLOCK, 9, BLOCK, 0, BLOCK, 4, BLOCK},{BLOCK, BLOCK, 8, BLOCK, 0, 5, 4},{BLOCK, BLOCK, BLOCK, 4, 5, 0, 6},{2, 3, BLOCK, BLOCK, 4, 6, 0}};Graph graph = new Graph(matrix, vertex);graph.floyd();graph.result();}}//带权⽆向图class Graph {public char[] vertex;//存放顶点public int[][] matrix;//保存各个顶点到其它顶点的距离，初始为直接连接的距离，算法计算后为最短距离public int[][] relay;//保存中间结点//构造器public Graph(int[][] matrix, char[] vertex) {this.vertex = vertex;this.matrix = matrix;this.relay = new int[vertex.length][vertex.length];//三个点为同⼀顶点时：中间顶点为⾃⾝；三个点是不同顶点时：中间顶点是终点的前驱节点；两个顶点直接连通时：中间节点为出发点for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {Arrays.fill(relay[i], i);//初始中间顶点为⾃⾝}}//显⽰算法结果public void result() {for (int k = 0; k < vertex.length; k++) {for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {System.out.println(vertex[k] + " 到 " + vertex[i] +" 最短路径 " + matrix[k][i] +" 中间结点 " + vertex[relay[k][i]]);}System.out.println();}}//弗洛伊德算法public void floyd() {int temp;//保存i到j的距离for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {//出发点ifor (int j = 0; j < matrix.length; j++) {//中间顶点jfor (int k = 0; k < matrix.length; k++) {//终点ktemp = matrix[i][j] + matrix[j][k];//求从i出发，经过k，到达j的距离 if (temp < matrix[i][k]) {matrix[i][k] = temp;//更新距离relay[i][k] = relay[j][k];//更新中间顶点}}}}}}。
弗洛伊德算法实用技巧
弗洛伊德算法实用技巧弗洛伊德算法（Floyd's Algorithm），又称为最短路径算法，是一种用于求解图中各顶点之间最短路径的算法。
它以其简洁高效的特点而被广泛应用于图论和网络优化领域。
本文将介绍弗洛伊德算法的原理及其在实际问题中的应用技巧。
一、弗洛伊德算法原理弗洛伊德算法的核心思想是采用动态规划的方法，通过逐步更新每一对顶点之间的最短路径长度，直到得到所有顶点之间的最短路径。
具体步骤如下：1. 初始化最短路径矩阵：以邻接矩阵的形式表示图的边权重，初始化一个大小为n×n的矩阵D，其中n为顶点个数。
若顶点i和顶点j之间存在边，则D[i][j]的值为边的权重；若不存在边，则D[i][j]的值为一个较大的数（如∞）。
2. 进行顶点中转：对于每一对顶点i和j，以顶点k作为中转点，更新D[i][j]的值，使其等于D[i][k] + D[k][j]和D[i][j]中的较小值。
即，若通过顶点k的路径更短，则更新D[i][j]的值。
3. 重复进行中转：依次选择每一个顶点作为中转点，进行步骤2的操作。
当所有顶点均作为中转点完成一次中转后，得到的矩阵D即为最终的最短路径矩阵。
二、弗洛伊德算法应用技巧1. 求解最短路径：弗洛伊德算法可以用于求解有向图或无向图中任意两点之间的最短路径。
通过获取最短路径矩阵D，即可得到任意一对顶点之间的最短路径长度。
2. 检测负权回路：在求解最短路径的过程中，若在最终的最短路径矩阵D中存在D[i][i]为负数的情况，则说明图中存在负权回路，即图中存在一个环路，其权重之和为负数。
该特性可用于识别图中是否存在负权回路。
3. 网络拓扑排序：弗洛伊德算法可以用于进行网络拓扑排序。
在求解最短路径的过程中，通过检测矩阵中的负权回路，可以得到顶点的拓扑排序结果。
拓扑排序用于评估任务执行的顺序，从而实现任务的优化调度。
4. 交通网络优化：弗洛伊德算法可以用于优化交通网络的设计。
通过将道路或路径作为图中的边，顶点表示城市或路口，权重表示通行距离或时间，利用最短路径矩阵D，可以评估不同路径的通行效率，从而优化道路规划和交通流量调度。
佛洛依德路径平滑算法（floyd）
佛洛依德路径平滑算法（floyd） 常见的a*算法的结果是⼀串⽤来表⽰所经过的路径点坐标。
但是这样的路径通常是有“锯齿”的，并不符合现实中的智能表现。
因此，需要进⼀步的进⾏平滑处理，⽐如佛洛依德算法~ 算法原理很简单，分为两步： 1.去掉相邻的共线的点 2.去掉多余的拐弯的点 第⼀步实现起来很简单，只需要遍历⼀下，计算两个向量的⽅向是否相同。
第⼆步的实现稍微⿇烦⼀点，遍历所有的点，去掉两个可以直接通过的点之间的点。
有点绕。
其实是很经典的画直线算法，找两个点作为端点画⼀条线，这条先经过的⽹格如果都是可同⾏的，那么我们就认为在路径中这两个点中间的那些点是多余的。
其实第⼆步就可以完成优化，但是计算量⽐较⼤。
所以先通过第⼀步来减少⼀部分计算量~下⾯是代码：#region floyd//----------------------------------------弗洛伊德路径平滑--------------------------------------//public List<Vector3> Floyd( List<Vector3> path){if (path == null){return path;}int len = path.Count;//去掉同⼀条线上的点。
if (len > 2){Vector3 vector = path[len -1] - path[len - 2];Vector3 tempvector;for (int i = len - 3; i>= 0; i--){tempvector = path[i+1] - path[i];if (Vector3.Cross(vector, tempvector).y == 0f){path.RemoveAt(i+1);}else{vector = tempvector;}}}//去掉⽆⽤拐点len = path.Count;for (int i = len-1; i >= 0; i--){for (int j = 0; j<= i-1; j++){if (CheckCrossNoteWalkable(path[i],path[j])){for (int k = i-1; k>=j; k--){path.RemoveAt(k);}i=j;//len = path.Count;break;}}}return path;}float currentY; // ⽤于检测攀爬与下落⾼度//判断路径上是否有障碍物public bool CheckCrossNoteWalkable(Vector3 p1, Vector3 p2){currentY = p1.y; //记录初始⾼度，⽤于检测是否可通过bool changexz = Mathf.Abs(p2.z - p1.z) > Mathf.Abs(p2.x - p1.x);if (changexz){float temp = p1.x;p1.x = p1.z;p1.z = temp;temp = p2.x;p2.x = p2.z;p2.z = temp;}if (!Checkwalkable(changexz, p1.x, p1.z)){return false;}float stepX = p2.x > p1.x ? Tilesize : (p2.x < p1.x ? -Tilesize : 0);float stepY = p2.y > p1.y ? Tilesize : (p2.y < p1.y ? -Tilesize : 0);float deltay = Tilesize * ( (p2.z - p1.z) / Mathf.Abs(p2.x - p1.x) );float nowX = p1.x + stepX/2;float nowY = p1.z - stepY/2;float CheckY = nowY;while (nowX != p2.x){if(!Checkwalkable(changexz, nowX, CheckY)){return false;}nowY += deltay;if(nowY >= CheckY + stepY){CheckY += stepY;if (!Checkwalkable(changexz, nowX, CheckY)){return false;}}nowX += stepX;}return true;}private bool Checkwalkable(bool changeXZ, float x, float z){int mapx = (MapStartPosition.x < 0F) ? Mathf.FloorToInt(((x + Mathf.Abs(MapStartPosition.x)) / Tilesize)) : Mathf.FloorToInt((x - MapStartPosition.x) / Tilesize);int mapz = (MapStartPosition.y < 0F) ? Mathf.FloorToInt(((z + Mathf.Abs(MapStartPosition.y)) / Tilesize)) : Mathf.FloorToInt((z - MapStartPosition.y) / Tilesize);if (mapx < 0 || mapz < 0 || mapx >= Map.GetLength(0) || mapz >= Map.GetLength(1)){return false;}Node note;if (changeXZ){note = Map[mapz, mapx];}else{note = Map[mapx, mapz];}bool ret = note. walkable && ( (note.yCoord - currentY <= ClimbLimit && note.yCoord >= currentY) || (currentY - note.yCoord <= MaxFalldownHeight && currentY >= note.yCoord) );if (ret){currentY = note.yCoord;}return ret;}#endregion end floyd。
迪杰斯特拉和弗洛伊德算法
迪杰斯特拉和弗洛伊德算法1. 简介迪杰斯特拉（Dijkstra）算法和弗洛伊德（Floyd）算法是图论中两个重要的最短路径算法。
最短路径问题是图论中的经典问题之一，它的目标是找到两个节点之间的最短路径。
迪杰斯特拉算法是由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出的，用于解决带权有向图中的单源最短路径问题。
它采用了贪心策略，通过逐步扩展已找到的最短路径来逐步确定最短路径。
弗洛伊德算法是由美国计算机科学家Robert W. Floyd于1962年提出的，用于解决带权有向图中的多源最短路径问题。
它采用了动态规划的思想，通过逐步更新所有节点之间的最短路径来求解最短路径问题。
2. 迪杰斯特拉算法2.1 算法思想迪杰斯特拉算法通过维护一个距离数组和一个已访问数组来求解最短路径。
距离数组用于记录源节点到其他节点的最短距离，已访问数组用于标记已经确定最短路径的节点。
算法的基本思想是从源节点开始，每次选择一个距离最小且未访问过的节点，将其标记为已访问，并更新与其相邻节点的最短距离。
重复这个过程，直到所有节点都被标记为已访问。
2.2 算法步骤迪杰斯特拉算法的具体步骤如下：1.创建一个距离数组dist[]，用于记录源节点到其他节点的最短距离。
初始时，将源节点到其他节点的距离都设置为无穷大，将源节点的距离设置为0。
2.创建一个已访问数组visited[]，用于标记已经确定最短路径的节点。
初始时，将所有节点的已访问状态都设置为false。
3.重复以下步骤，直到所有节点都被标记为已访问：–选择一个距离最小且未访问过的节点u。
–将节点u标记为已访问。
–更新与节点u相邻节点v的最短距离：•如果通过节点u可以获得比dist[v]更短的距离，则更新dist[v]为新的最短距离。
4.最终，距离数组dist[]中记录的就是源节点到其他节点的最短距离。
2.3 算法示例假设有一个带权有向图如下所示：2(1)-->--(3)| / |4 | / | 1| / |(0)-->--(2)3源节点为节点0，我们希望求解源节点到其他节点的最短路径。
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法（最新版）目录1.弗洛伊德算法的背景和定义2.弗洛伊德算法的应用领域3.弗洛伊德算法的优势和局限性4.弗洛伊德算法的实际应用案例5.弗洛伊德算法的未来发展正文1.弗洛伊德算法的背景和定义弗洛伊德算法（Freud Algorithm）是一种用于情感分析的算法，起源于心理学领域，由奥地利心理学家西格蒙德·弗洛伊德（Sigmund Freud）的理论发展而来。
该算法主要基于弗洛伊德的心理分析理论，通过分析文本中的情感词汇和语义关系，对文本的情感倾向进行判断。
2.弗洛伊德算法的应用领域弗洛伊德算法在许多领域都有应用，如社交媒体分析、评论分析、市场调查等。
在这些领域中，了解用户的情感倾向对于企业或组织制定策略和优化产品至关重要。
弗洛伊德算法可以帮助分析大量文本数据，快速准确地判断用户的情感倾向。
3.弗洛伊德算法的优势和局限性弗洛伊德算法的优势在于其对情感词汇和语义关系的分析能力强大，能较为准确地判断文本的情感倾向。
然而，它也存在局限性。
首先，由于情感分析涉及到的主观因素较多，算法的准确性受到一定影响。
其次，弗洛伊德算法需要大量的训练数据和较高的计算能力，对计算机硬件和软件的要求较高。
4.弗洛伊德算法的实际应用案例一个典型的弗洛伊德算法应用案例是社交媒体分析。
社交媒体上用户的评论和观点对企业的品牌形象和产品销售具有重要影响。
通过使用弗洛伊德算法分析用户的评论，企业可以了解用户对其产品和服务的满意度，从而及时调整策略和优化产品。
另一个实际应用案例是市场调查。
通过分析调查问卷中的情感词汇和语义关系，弗洛伊德算法可以帮助企业了解消费者对某个产品或服务的态度，为产品定位和市场推广提供依据。
5.弗洛伊德算法的未来发展随着自然语言处理技术的不断进步，弗洛伊德算法在未来将继续优化和发展。
一方面，算法的准确性将得到提高，可以更好地识别和分析情感词汇和语义关系。
另一方面，随着计算能力的提升，弗洛伊德算法可以处理更多的文本数据，满足不同场景和领域的需求。
算法12--最短路径--弗洛伊德(Floyd)算法
D(2) [i][j] = min{D(1) [i][j], D(1) [i][2]+D(1) [2][j]}
6
0123
V2 8 V3
8
0 1 1920 43 0
3
4 52
ADA(((-32101)))==
8
11021 0 98 2 3 45 0 687
1 2
9
V0
V1
8
8
90 110 6 0 3
12
5.算法实现
• 图用邻接矩阵存储 • edge[ ][ ]存放最短路径长度 • path[i][j]是从Vi到Vj的最短路径上Vj前一顶点序号
void floyd ( ){
for ( int i = 0; i < n; i++ ) //矩阵dist与path初始化
for ( int j = 0; j < n; j++ ) { //置A(-1)
例题：
6 A4 3 11
C
初始：
0 6
4 0
11 2
3 0 B
路径： BA CA
AB AC BC
2 0 4 11
加入A： 6 0 2 37 0
AB AC
路径： BA
BC
CA CAB
04 6 加入B： 6 0 2
37 0
AB ABC
路径： BA
BC
CA CAB
04 6 加入C： 5 0 2
37 0
AB ABC
8
0092 3 45 0 687
1 2
9
V0
V1
8
8
0160 3
1
以D(0)为基础，以V1为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法摘要：1.引言2.佛洛伊德算法的概念和原理3.佛洛伊德算法的应用领域4.佛洛伊德算法的优缺点5.结论正文：1.引言佛洛伊德算法，是一种经典的图论算法，由奥地利心理学家、精神分析学创始人西格蒙德·佛洛伊德于20 世纪初提出。
该算法主要应用于寻找无向图的最大环、最小生成树、最短路径等问题。
本文将从佛洛伊德算法的概念和原理、应用领域、优缺点等方面进行介绍。
2.佛洛伊德算法的概念和原理佛洛伊德算法是一种基于图的搜索算法，其基本思想是以图的顶点为起点，沿着边的方向进行搜索，不断更新路径，直到找到目标顶点或者无法继续搜索为止。
在搜索过程中，佛洛伊德算法记录下所有可能的路径，以及这些路径的长度。
通过比较这些路径的长度，可以找到最短路径。
3.佛洛伊德算法的应用领域佛洛伊德算法广泛应用于图论的各种问题中，如寻找无向图的最大环、最小生成树、最短路径等。
其中，最短路径问题是佛洛伊德算法应用最为广泛的领域之一。
在实际应用中，佛洛伊德算法可以帮助我们快速找到网络中最短路径，从而提高网络传输效率、降低运输成本等。
4.佛洛伊德算法的优缺点佛洛伊德算法的优点在于其简单易懂、实现简单，且具有一定的效率。
特别是在规模较小的问题中，佛洛伊德算法的性能表现较好。
然而，佛洛伊德算法也存在一些缺点，如算法的复杂度较高，随着图规模的增大，计算时间将显著增加，可能导致算法无法在合理的时间内完成计算。
5.结论总的来说，佛洛伊德算法是一种具有广泛应用价值的图论算法。
尽管存在一些缺点，但在解决一些规模较小的图问题时，佛洛伊德算法仍然具有较高的效率和实用性。
Floyd（弗洛伊德）算法（C语言）
Floyd（弗洛伊德）算法（C语⾔）转载：Floyd算法的介绍算法的特点弗洛伊德算法是解决任意两点间的最短路径的⼀种算法，可以正确处理有向图或有向图或负权（但不可存在负权回路)的最短路径问题，同时也被⽤于计算有向图的传递闭包。
算法的思路通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引⼊两个矩阵，矩阵S中的元素a[i][j]表⽰顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。
矩阵P中的元素b[i][j]，表⽰顶点i到顶点j经过了b[i][j]记录的值所表⽰的顶点。
假设图G中顶点个数为N，则需要对矩阵D和矩阵P进⾏N次更新。
初始时，矩阵D中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞，矩阵P的值为顶点b[i][j]的j的值。
接下来开始，对矩阵D进⾏N次更新。
第1次更新时，如果”a[i][j]的距离” > “a[i][0]+a[0][j]”(a[i] [0]+a[0][j]表⽰”i与j之间经过第1个顶点的距离”)，则更新a[i][j]为”a[i][0]+a[0][j]”,更新b[i][j]=b[i][0]。
同理，第k次更新时，如果”a[i][j]的距离” >“a[i][k-1]+a[k-1][j]”，则更新a[i][j]为”a[i][k-1]+a[k-1][j]”,b[i][j]=b[i][k-1]。
更新N次之后，操作完成！补充：以下⾯图为例⼦，b[i][j]中存储的是Vi~Vj之间的中介点，b[i][j]初始值为j，⽐如V0~V3最短路径是V0-->V2-->V1-->v3，在计算最短路径时转换为V0-->V2的距离加上V2-->V3的最短距离，接下来类似于递归，V2-->V3的最短路径就是以V1为中介点，V2-->V1的距离加上V1-->V3的距离。
因此，b[0][3]=2实例说明将整体分为两个步骤1.计算metrixD矩阵(两顶点之间的最短距离)和P矩阵(两顶点的中介点)#include <stdio.h>#include <stdlib.h>void Create_metrixD_P(int** metrixD, int **P ,int VerNum, int EdgNum){int x, y, Weight, edg_count = 0;int i, j, k;for (i = 0; i < VerNum; ++i) {for (j = 0; j < VerNum; ++j) {metrixD[i][j] = INT_MAX;P[i][j] = j;}}while (edg_count < EdgNum) {scanf("%d%d%d", &x, &y, &Weight);metrixD[x - 1][y - 1] = Weight;edg_count++;}}//Floyd algorithmvoid Floyd(int **metirxD, int **P, int VerNum) {int n, x, y, temp = 0;//The triple loop looks for shortest paths and weightsfor (n = 0; n < VerNum; ++n) {for (x = 0; x < VerNum; ++x) {for (y = 0; y < VerNum; ++y) {//The distance between two vertices is compared to the distance through a vertextemp = (metirxD[x][n] == INT_MAX || metirxD[n][y] == INT_MAX) ? INT_MAX : (metirxD[x][n] + metirxD[n][y]);if (temp < metirxD[x][y]) {//Update matrix informationmetirxD[x][y] = temp;P[x][y] = n;}}}}}void Show_metrixD_P(int** metrixD, int **P, int VerNum){int x, y;printf("metrixD:\n");for (x = 0; x < VerNum; ++x) {for (y = 0; y < VerNum; ++y) {if (metrixD[x][y] == INT_MAX) {printf("∞ ");}else {printf("%d ", metrixD[x][y]);}}printf("\n");}printf("P:\n");for (x = 0; x < VerNum; ++x) {for (y = 0; y < VerNum; ++y) {printf("%d ", P[x][y]);}printf("\n");}}int main(void){int VerNum, EdgNum, i;int** metrixD, ** P;printf("Enter the number of vertices and edges:");scanf("%d%d", &VerNum, &EdgNum);metrixD = (int**)malloc(VerNum * sizeof(int));P = (int**)malloc(VerNum * sizeof(int));for (i = 0; i < VerNum; ++i) {metrixD[i] = (int*)malloc(VerNum * sizeof(int));P[i] = (int*)malloc(VerNum * sizeof(int));}printf("Input vertices and weights:");Create_metrixD_P(metrixD, P, VerNum, EdgNum);Floyd(metrixD, P, VerNum);Show_metrixD_P(metrixD, P, VerNum);for (i = 0; i < VerNum; ++i) {free(metrixD[i]);free(P[i]);}free(metrixD);free(P);return0;}2.输出顶点之间的最短距离与路径#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define VEXNUM 5//Adjacency matrix: shows the distance between verticesint metirxD[VEXNUM][VEXNUM] = {INT_MAX,10, 5, INT_MAX,INT_MAX,INT_MAX,INT_MAX,2, 1, INT_MAX,INT_MAX,3, INT_MAX,9, 2,INT_MAX,INT_MAX,INT_MAX,INT_MAX,4,7, INT_MAX,INT_MAX,5, INT_MAX};//Path: passing vertex between two verticesint P[VEXNUM][VEXNUM] = {0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,0,1,2,3,4};//Floyd algorithmvoid Floyd() {int n, x, y, temp = 0;//The triple loop looks for shortest paths and weightsfor (n = 0; n < VEXNUM; ++n) {for (x = 0; x < VEXNUM; ++x) {for (y = 0; y < VEXNUM; ++y) {//The distance between two vertices is compared to the distance through a vertextemp = (metirxD[x][n] == INT_MAX || metirxD[n][y] == INT_MAX) ? INT_MAX : (metirxD[x][n] + metirxD[n][y]);if (temp < metirxD[x][y]) {//Update matrix informationmetirxD[x][y] = temp;P[x][y] = n;}}}}}void Show_Path() {int x, y, temp = 0;//Output the shortest path between two verticesfor (x = 0; x < VEXNUM - 1; ++x) {for (y = x + 1; y < VEXNUM; ++y) {printf("V%d-->V%d weight:%d path:V%d", x, y, metirxD[x][y], x);temp = P[x][y];while (temp != y) {printf("-->V%d", temp);temp = P[temp][y];}printf("-->V%d", y);printf("\n");}}}int main(void){Floyd();Show_Path();return0;}完整代码#include <stdio.h>#include <stdlib.h>void Create_metrixD_P(int** metrixD, int **P ,int VerNum, int EdgNum){int x, y, Weight, edg_count = 0;int i, j, k;for (i = 0; i < VerNum; ++i) {for (j = 0; j < VerNum; ++j) {metrixD[i][j] = INT_MAX;P[i][j] = j;}}while (edg_count < EdgNum) {scanf("%d%d%d", &x, &y, &Weight);metrixD[x - 1][y - 1] = Weight;edg_count++;}}//Floyd algorithmvoid Floyd(int **metirxD, int **P, int VerNum) {int n, x, y, temp = 0;//The triple loop looks for shortest paths and weightsfor (n = 0; n < VerNum; ++n) {for (x = 0; x < VerNum; ++x) {for (y = 0; y < VerNum; ++y) {//The distance between two vertices is compared to the distance through a vertextemp = (metirxD[x][n] == INT_MAX || metirxD[n][y] == INT_MAX) ? INT_MAX : (metirxD[x][n] + metirxD[n][y]);if (temp < metirxD[x][y]) {//Update matrix informationmetirxD[x][y] = temp;P[x][y] = n;}}}}}void Show_metrixD_P(int** metrixD, int **P, int VerNum){int x, y;printf("metrixD:\n");for (x = 0; x < VerNum; ++x) {for (y = 0; y < VerNum; ++y) {if (metrixD[x][y] == INT_MAX) {printf("∞ ");}else {printf("%d ", metrixD[x][y]);}}printf("\n");}printf("P:\n");for (x = 0; x < VerNum; ++x) {for (y = 0; y < VerNum; ++y) {printf("%d ", P[x][y]);}printf("\n");}}void Show_Path(int **metirxD, int **P, int VerNum) {int x, y, temp = 0;//Output the shortest path between two verticesfor (x = 0; x < VerNum - 1; ++x) {for (y = x + 1; y < VerNum; ++y) {printf("V%d-->V%d weight:%d path:V%d", x, y, metirxD[x][y], x); temp = P[x][y];while (temp != y) {printf("-->V%d", temp);temp = P[temp][y];}printf("-->V%d", y);printf("\n");}}}int main(void){int VerNum, EdgNum, i;int** metrixD, ** P;printf("Enter the number of vertices and edges:");scanf("%d%d", &VerNum, &EdgNum);metrixD = (int**)malloc(VerNum * sizeof(int));P = (int**)malloc(VerNum * sizeof(int));for (i = 0; i < VerNum; ++i) {metrixD[i] = (int*)malloc(VerNum * sizeof(int));P[i] = (int*)malloc(VerNum * sizeof(int));}printf("Input vertices and weights:");Create_metrixD_P(metrixD, P, VerNum, EdgNum);Floyd(metrixD, P, VerNum);Show_metrixD_P(metrixD, P, VerNum);Show_Path(metrixD, P, VerNum);for (i = 0; i < VerNum; ++i) {free(metrixD[i]);free(P[i]);}free(metrixD);free(P);return0;}。
弗洛伊德算法
弗洛伊德算法弗洛伊德算法是一种“分治法”策略，可以利用多个子问题来解决一个大型问题。
它由密歇根大学的史蒂芬弗洛伊德（Stephen Floyd）于1960年提出，成为解决复杂问题的另一种有力方法。
弗洛伊德算法的工作原理是将原本复杂的问题拆分为一系列更小的子问题，分别解决它们，然后将子结果组合在一起得出最终的解决方案。
它结合了一般参考技术计算问题的思维方法，它有着广泛的应用，并在求解复杂的算法和系统设计问题上发挥着重要作用。
弗洛伊德算法有四大步骤：1、分解：通过分解复杂问题为多个子问题，便于求解。
2、解决子问题：通过编写算法，求解各个子问题。
3、合并：将子问题的结果合并得到最终的结果。
4、循环：如果子问题的解不能直接合并得到整个问题的解，那么可以将更小的子问题解决，如此循环解决，直到问题解决为止。
弗洛伊德算法既可以用来求解传统的算法问题，如最短路径问题，而且还可以用于大型程序设计，以解决复杂的信息处理问题。
弗洛伊德算法也可以用在求解约束优化问题，算法工程和学习理论等领域。
许多问题都可以用弗洛伊德算法来解决，它的用处非常广泛。
除了上述的应用，弗洛伊德算法还可以用在计算理论和建模研究中。
计算理论是处理计算问题的理论和方法的学科，它可以用弗洛伊德算法来解决特定的计算问题。
此外，通过分析建模，弗洛伊德算法也可以用在一些机器学习研究中，用来优化网络模型，以达到更好地优化。
另外，在具有线性时间复杂度的算法中，弗洛伊德算法也可以给出一个有效的解决方案。
比如，可以利用弗洛伊德算法快速计算最大公因数，以及使用弗洛伊德算法进行排序，如快速排序算法。
弗洛伊德算法也可以用在一些服务器配置中，用来解决位置优化问题和负载均衡问题。
总之，弗洛伊德算法是一种求解复杂问题的有效算法，它可以用来解决大量的问题，如求解约束优化问题，最大公因数问题，位置优化问题和负载均衡问题等。
弗洛伊德算法的使用范围很广，它可以应用于算法研究，服务器设计，机器学习研究，建模研究等多个领域，可以节约大量时间计算，更有效地处理复杂的问题，是一种有益的工具。
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法摘要：1.佛洛伊德算法简介2.算法原理与流程3.应用领域与实际案例4.优缺点分析5.我国对佛洛伊德算法的应用与发展正文：佛洛伊德算法是一种基于人工智能的图像识别算法，由英国计算机科学家和心理学家Gregory W.特征提出，并在1995 年首次发表。
该算法以著名心理学家西格蒙德·弗洛伊德（Sigmund Freud）的名字命名，旨在通过模拟人类大脑对图像的处理方式来实现图像识别。
1.佛洛伊德算法简介佛洛伊德算法是一种层次化的神经网络算法，它的核心思想是将图像分解成越来越小的区域，并对这些区域进行特征提取。
这些特征包括颜色、纹理、形状等，最终通过这些特征来实现图像识别。
2.算法原理与流程佛洛伊德算法主要包括以下几个步骤：（1）训练阶段：通过训练数据集学习特征提取方法和分类器；（2）图像预处理：对输入图像进行分割，形成越来越小的区域；（3）特征提取：对每个区域进行特征提取，包括颜色、纹理、形状等；（4）分类：利用训练好的分类器对提取的特征进行分类；（5）整合：将各个区域的分类结果整合成最终的分类结果。
3.应用领域与实际案例佛洛伊德算法广泛应用于图像识别、目标检测、分割等领域。
例如，在医学影像分析中，可以用于识别肿瘤、器官等；在安防领域，可以用于人脸识别、车牌识别等。
4.优缺点分析优点：（1）能够处理不同尺度的图像特征，具有较强的适应性；（2）能够处理多类别的分类问题；（3）具有较好的容错性，对于部分损坏的图像仍能进行识别。
缺点：（1）计算量较大，运行速度较慢；（2）对于大规模图像数据集，训练时间较长；（3）对于一些复杂的图像特征，提取效果不佳。
5.我国对佛洛伊德算法的应用与发展我国在图像识别领域对佛洛伊德算法进行了广泛研究和应用。
不仅在理论研究上取得了一定的进展，还在实际应用中取得了显著的效果。
弗洛伊德算法原理
弗洛伊德算法原理弗洛伊德算法，也称作Floyd-Warshall算法，是一种用来解决任意两点间最短路径的动态规划算法。
这个算法使用了一个二维数组来存储任意两个点之间的最短路径。
这个算法的思路比较简单，但就是因为它的时间复杂度为O(n^3)，所以实际上用来计算大规模的数据最短路径比较麻烦。
算法思路：1. 初始化任意两个点之间的距离，假设距离为d[i][j]。
2. 通过一个三重循环来计算任意两个点之间的最短距离。
假设其中一个点为k，则d[i][j]的值为min(d[i][j], d[i][k]+d[k][j])，其中i、j、k分别代表图中的三个点。
3. 最后的结果为d[i][j]，表示从点i到点j的最短距离。
算法过程：下面是一个3*3的图示，我们用0表示不存在的路径，用1、2、3、4、5、6来表示路径的长度，路径的方向为从上到下，从左到右。
1 2 3+---+---+---+1 | 0 | 1 |2 |+---+---+---+2 | 1 | 0 | 4 |+---+---+---+3 | 2 |4 | 0 |+---+---+---+1. 初始化任意两个点之间的距离，即d[i][j]的值。
如果两个点有路径可通，则该位置的值为路径长度，如果两个点之间不存在路径，则该位置的值被赋为无穷大。
1 2 3 1 2 3+---+---+---+ +---+---+---+1 | 0 | 1 |2 | | 0 | 1 | 2 |+---+---+---+ +---+---+---+2 | 1 | 0 | 4 | -> | 1 | 0 | 4 |+---+---+---+ +---+---+---+3 | 2 |4 | 0 | | 2 | 4 | 0 |+---+---+---+ +---+---+---+算法复杂度：时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2)。
弗洛伊德算法适用于有向图或者无向图，但不适用于带负权回路的图。
弗洛伊德循环检测算法
弗洛伊德循环检测算法
弗洛伊德循环检测算法（Floyd's cycle detection algorithm），
也称为龟兔赛跑算法（tortoise and hare algorithm），是一种用于检
测链表是否存在环的算法。
该算法由罗伯特·弗洛伊德于1967年提出。
算法思想：
弗洛伊德循环检测算法基于两个指针的移动，在每一步中，一个指针（乌龟）移动一步，而另一个指针（兔子）移动两步。
如果链表中存在环，那么这两个指针一定会相遇。
如果指针中的任何一个到达链表的末尾，说
明链表中不存在环。
算法实现：
1.设定两个指针，一个指向链表的头部，一个指向链表的下一个节点（头部的节点）。
2.在每一次循环中，乌龟指针向前移动一步，兔子指针向前移动两步。
3.如果链表中存在环，最终乌龟指针和兔子指针会相遇；如果链表中
不存在环，最终兔子指针会先达到链表的末尾。
4.相遇后，将乌龟指针重新指向链表的头部，并将移动步长由1更改
为1
5.两个指针再次向前移动，当它们再次相遇时，相遇的点就是链表中
的环的起点。
算法分析：
算法应用：
算法的改进：
总结：
弗洛伊德循环检测算法是一种简单且有效的算法，用于检测链表是否存在环。
它基于两个指针的移动，在线性时间内完成检测。
这种算法的思想灵活且易懂，应用广泛。
同时，该算法还是其他更复杂的环检测算法的基础。
对于任何问题，我们都应该充分理解并掌握这种经典的算法。
floyd判圈法
Floyd判圈法一、引言在计算机科学中，Floyd判圈法（Floyd’s cycle-finding algorithm）是一种用于判断有向图中是否存在环的算法。
该算法由罗伯特·弗洛伊德（Robert W. Floyd）于1967年提出，因此得名。
Floyd判圈法通过使用两个指针在图中移动来判断是否存在环，并且可以找到环的起点。
二、算法原理Floyd判圈法的原理非常简单，主要分为以下几个步骤：1.定义两个指针，一个快指针（每次移动两步）、一个慢指针（每次移动一步）。
2.快指针从起点开始移动，慢指针从起点的下一个节点开始移动。
3.如果存在环，快指针最终会追上慢指针，两个指针会相遇。
4.如果不存在环，快指针会提前到达终点。
三、算法步骤下面详细介绍Floyd判圈法的具体步骤：1. 初始化指针设定两个指针，一个指向图中的起点，另一个指向起点的下一个节点。
slow_pointer = head.nextfast_pointer = head.next.next2. 移动指针通过不断移动指针来判断是否存在环。
while slow_pointer != fast_pointer:slow_pointer = slow_pointer.nextfast_pointer = fast_pointer.next.next3. 判断是否存在环当两个指针相遇时，即存在环，否则不存在环。
if slow_pointer == fast_pointer:return Trueelse:return False4. 寻找环的起点如果存在环，需要找到环的起点。
此时，将慢指针重新指向起点，快指针保持在相遇点，然后两个指针同时每次移动一步，直到相遇。
slow_pointer = headwhile slow_pointer != fast_pointer:slow_pointer = slow_pointer.nextfast_pointer = fast_pointer.nextreturn slow_pointer四、算法分析Floyd判圈法的时间复杂度为O(n)，其中n表示链表的节点数。
迪杰斯特拉和弗洛伊德算法
迪杰斯特拉和弗洛伊德算法
迪杰斯特拉（Dijkstra）算法和弗洛伊德（Floyd）算法都是常用的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它从起始节点开始，逐步找到所有节点的最短路径。
它的时间复杂度为O(ElogV)，其中E表示边的数量，V表示节点的数量。
迪杰斯特拉算法适用于有向无环图和无权图，不能处理负权边。
弗洛伊德算法是一种动态规划算法，它通过对每个节点的最短路径进行状态转移，计算出所有节点之间的最短路径。
它的时间复杂度为O(V^3)，其中V表示节点的数量。
弗洛伊德算法适用于有向图和有权图，可以处理负权边。
总的来说，迪杰斯特拉算法适用于有向无环图和无权图，而弗洛伊德算法适用于有向图和有权图。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的算法。
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弗洛伊德算法详解
算法的数据结构
弗洛伊德算法采用图的带权邻接矩阵存储结构。
算法基本思想
假设求顶点Vi到Vj的最短路径。
弗洛伊德算法依次找从Vi到Vj，中间经过结点序号不大于0的最短路径，不大于1的最短路径，…直到中间顶点序号不大于n-1的最短路径，从中选取最小值，即为Vi到Vj的最短路径。
算法具体描述
若从Vi到Vj有弧，则从Vi到Vj存在一条长度为弧上权值（arcs[i][j]）的路径，该路径不一定是最短路径，尚需进行n次试探。
首先考虑从Vi到Vj经过中间顶点V0的路径（Vi，V0，Vj）是否存在，也就是判断弧（Vi，V0）和（V0，Vj）是否存在。
若存在，则比较（Vi，Vj）和（Vi，V0，Vj）的路径长度取较短的为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于0的最短路径。
在此路径上再增加一个顶点V1，也就是说，如果（Vi，…V1）和
（V1，…Vj）分别是当前找到的中间顶点序号不大于0的最短路径，那么，（Vi，…V1，…Vj）就有可能是从Vi到Vj的中间顶点序号不大于1的最短路径。
将它和已经得到的从Vi到Vj中间顶点序号不大于0的最短路径相比较，从中选出最短的作为从Vi到Vj中间顶点序号不大于1的最短路径。
然后，再增加一个顶点V2继续进行这个试探过程。
一般情况下，若（Vi，…Vk）和（Vk，…Vj）分别是从Vi到Vk和从Vk到Vj 的中间顶点序号不大于k-1的最短路径，则将（Vi，…，Vk，…Vj）和已经得到的从Vi到Vj的中间顶点序号不大于k-1的最短路径相比较，其长度最短者即为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于k的最短路径。
经过n次比较之后，最后求得的便是从Vi到Vj的最短路径。
按此方法可同时求得各对顶点之间的最短路径。
现定义一个n阶方阵序列
D（-1），D
（0），D
（1），…，D（k），…，D（n-1）
其中
D（-1）[i][j]=arcs[i][j]
D（k）[i][j]=Min{ D（k-1）[i][j], D（k-1）[i][k]+D（k-1）[k][j]}0≤k≤n-1
上述公式中，D
（1）[i][j]是从Vi到Vj的中间顶点序号不大于k的最短路径长度；D（n-1）[i][j]是从Vi到Vj的最短路径长度。
算法实现
void shortestpath_Floyd(MgraphG,pathmatrix &P[],Distancmatrix &D){
//用Floyd算法求有向网G中各对顶点v和w之间的最短路径P[v][w]及其带权路径长度D[v][w]。
//若P[v][w][u]为TRUE，则u是从v到w当前求得最短路径上的顶点。
For (v=0;v<G.vexnum;++v)//各对顶点之间路径和距离初始化
For (w=0;w<G.vexnum;++w){
D[v][w]=G.arcs[v][w];
For (u=0;u<G.vexnum;++u)P[v][w][u]=false;
If (D[v][w]<INFINITY){//从v到w有直接路径
P[v][w][v]=true;P[v][w][w]=true;
}//if
}//for
for (u=0;u<G.vexnum;++u)
for (v=0;v<G.vexnum;++v)
for (w=0;w<G.vexnum;++w)
if (D[v][u]+D[u][w]<D[v][w]){//从v经u到w的一条路径更短D[v][w]= D[v][u]+D[u][w]；
For (I=0;I<G.vexnum;++I)
P[v][w][I]=P[v][u][I]|| P[u][w][I];
}//if
}//shortestpath_Floyd。