弗洛伊德算法详解

弗洛伊德算法详解

算法的数据结构

弗洛伊德算法采用图的带权邻接矩阵存储结构。

算法基本思想

假设求顶点Vi到Vj的最短路径。弗洛伊德算法依次找从Vi到Vj，中间经过结点序号不大于0的最短路径，不大于1的最短路径，…直到中间顶点序号不大于n-1的最短路径，从中选取最小值，即为Vi到Vj的最短路径。

算法具体描述

若从Vi到Vj有弧，则从Vi到Vj存在一条长度为弧上权值（arcs[i][j]）的路径，该路径不一定是最短路径，尚需进行n次试探。

首先考虑从Vi到Vj经过中间顶点V0的路径（Vi，V0，Vj）是否存在，也就是判断弧（Vi，V0）和（V0，Vj）是否存在。若存在，则比较（Vi，Vj）和（Vi，V0，Vj）的路径长度取较短的为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于0的最短路径。

在此路径上再增加一个顶点V1，也就是说，如果（Vi，…V1）和

（V1，…Vj）分别是当前找到的中间顶点序号不大于0的最短路径，那么，（Vi，…V1，…Vj）就有可能是从Vi到Vj的中间顶点序号不大于1的最短路径。将它和已经得到的从Vi到Vj中间顶点序号不大于0的最短路径相比较，从中选出最短的作为从Vi到Vj中间顶点序号不大于1的最短路径。

然后，再增加一个顶点V2继续进行这个试探过程。

一般情况下，若（Vi，…Vk）和（Vk，…Vj）分别是从Vi到Vk和从Vk到Vj 的中间顶点序号不大于k-1的最短路径，则将（Vi，…，Vk，…Vj）和已经得到的从Vi到Vj的中间顶点序号不大于k-1的最短路径相比较，其长度最短者即为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于k的最短路径。

经过n次比较之后，最后求得的便是从Vi到Vj的最短路径。

按此方法可同时求得各对顶点之间的最短路径。

现定义一个n阶方阵序列

D（-1），D

（0），D

（1），…，D（k），…，D（n-1）

其中

D（-1）[i][j]=arcs[i][j]

D（k）[i][j]=Min{ D（k-1）[i][j], D（k-1）[i][k]+D（k-1）[k][j]}0≤k≤n-1

上述公式中，D

（1）[i][j]是从Vi到Vj的中间顶点序号不大于k的最短路径长度；D（n-1）[i][j]是从Vi到Vj的最短路径长度。

算法实现

void shortestpath_Floyd(MgraphG,pathmatrix &P[],Distancmatrix &D){

//用Floyd算法求有向网G中各对顶点v和w之间的最短路径P[v][w]及其带权路径长度D[v][w]。

//若P[v][w][u]为TRUE，则u是从v到w当前求得最短路径上的顶点。

For (v=0;v

For (w=0;w

D[v][w]=G.arcs[v][w];

For (u=0;u

If (D[v][w]

P[v][w][v]=true;P[v][w][w]=true;

}//if

}//for

for (u=0;u

for (v=0;v

for (w=0;w

if (D[v][u]+D[u][w]

For (I=0;I

P[v][w][I]=P[v][u][I]|| P[u][w][I];

}//if

}//shortestpath_Floyd