3.2 复振幅的分布及角谱的传播

[
]
cos α cos β ∞ ∞ Az , z = ∫ ∫ U z (x, y, z ) exp − j 2π ( f x x + f y y ) dxdy λ , λ −∞ −∞
[
]
cos α cos β U ( x , y , z ) = ∫ ∫ Az , z exp j 2π ( f x , x + f y y ) dxdy −∞ −∞ λ , λ （1） 2 2 在所有无源的点上，U必须满足亥姆霍兹方程 (∇ + k )U = 0 将式（1）代入亥姆霍兹方程，则有
3.2.3 衍射孔经对角谱的作用
Ui(x0y0)
Ut(x0y0)
Ut(x,y)=Ui(x,y)·t (x,y) t(x0y0)
cosα cosβ cosα cosβ cosα cosβ At = Ai ∗T λ , λ λ , λ λ , λ
∞ ∞
[
]
cos α cos β ∇ + k Az , z exp j 2 π ( f x x + f y y ) = 0 λ , λ （2） 由于A 对空域坐标仅是z的函数 由于 z(fx,fy)对空域坐标仅是 的函数，所以有 对空域坐标仅是 的函数，
卷积起一个展宽作用，上式说明衍射孔经对入射光波的角 谱的作用有展宽，即出射光中除了有原入射光相同的传播方向 的平面波外，还增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。
复振幅分布的空间频率以平面波传播方向的角度为宗量，称为角谱 角谱
3.2.2 平面波角谱的传播 U0(x,y,o) x Uz(x,y,z)
z y A0(fx, fy) Az(fx, fy)
∞ ∞ cos α cos β A0 ,0 = ∫ ∫ U 0 ( x, y ,0 ) exp − j 2π ( f x x + f y y ) dxdy λ , λ −∞ −∞
2π
λ
z 1− (λ fx ) − (λ f y )
2
2
对 (λfx)2+(λfy)2=1的指数基元，该频率的指数基元相当于传播 方向垂直于Z轴的平面波，它们在z方向净能量流为零。 对 (λfx)2+(λfy)2>1的指数基元,
cos α Az λ cos β
,
λ
µ =
cos α , z = A0 λ
如果把传播过程的作用也看作一个系统的作用，那末公式 就是表征这个系统的频率域变换关系。
2 cos α cos β cos α cos β 2 2π , z = A0 , 0 exp j Az z 1 − (λ f x ) − (λ f y ) λ λ , λ λ , λ
（3）
公式（3）就是频谱函数A0(fx, fy)和Az(fx, fy)的关系式。
对上式的物理意义进行讨论。对U0(x,y,0)进行傅里叶变换， 分解成各种空间频率(fx，fy)的指数基元，每种基元的权重密度 为A0(fx,fy)。 频率为(fx，fy)的指数基元，相当于方向余弦cos(α)=λfx, cos(β)=λfy的平面波，方向余弦必须满足(λfx)2+(λfy)2<1的指数基 元，才能真正对应于空间某一确定方向传播的平面波。 对于U0(x,y,0)中满足(λfx)2+(λfy)2<1的指数基元，经过距离Z 的传播以后，在观察面上仍是该频率的指数基元，权重密度也 不变，只是位相改变了
[
]
此方程的一个特解是z=0时的频谱函数G0(fx, fy) ，于是方程的解 Az(fx, fy)可写作
2 2 cos α cos β cos α cos β 2π Az z 1 − 1( λ f x ) − ( λ f y ) , z = A0 , 0 exp j λ λ , λ λ , λ
cos β
,
λ
, 0 exp [− µ z ]
2π
λ
(λ
fx
)
2
+ (λ f y
)
2
−1
由于µ是正实数所以对于一切满足(λfx)2+(λfy)2>1的(fx，fy)，所 对应的波动分量，将随Z的增大按指数exp(-µZ)急剧衰减，在几个波 倏逝波。 长的距离内衰减为0，对应于这些(fx，fy)波分量称为倏逝波 倏逝波
Az ( f x , f y )
2 2 2π = exp j z 1− (λ fx ) − (λ f y ) = H ( fx , f y ) A0 ( f x , f y ) λ
可以求得表征这个系统变换特征的传递函数。 能求出H(fx ，fy)这个事实本身就说明了与自由传播等效的系 统是一个线性空不变系统.
[
]
3.2.1 复振幅分布的角谱
∞ ∞
A( f x , f y , z ) = ∫
−∞ −∞
∫
U (x, y, z ) exp − j 2π (xf x + yf y ) dxdy
cos α
[
]
Q fx =
λ
, fy =
cos β
λ
y dxdy
cosα cos β ∞ ∞ cos β cosα A , , z = ∫ ∫ U (x, y, z ) exp− j 2π x+ λ λ y −∞ −∞ λ λ
3.2 复振幅分布的角谱及角谱的传播 对平面上光场的复振幅分布做二维付里叶变换可得其频谱布分
A( f x , f y , z ) =
∞ ∞
∫ ∫
−∞
−∞
U ( x , y , z ) exp − j 2π (xf x + yf y ) dxdy
[
]
由于各不同空间频率的付里叶分量可以看成沿不同方向传播的 由于各不同空间频率的付里叶分量可以看成沿不同方向传播的 复振幅布分的角谱。 平面波，因此空间频谱又被称为平面波谱即复振幅布分的角谱 平面波，因此空间频谱又被称为平面波谱即复振幅布分的角谱。 上式就是光场U(x,y,z) 复振幅布分的角谱。 逆变换 U ( x , y , z ) =
∫ ∫
−∞
∞
∞
−∞
A ( f x , f y , z ) exp j 2π (xf x + yf y ) df x df y
[
]
U(x,y,z) 可以理解为一系列不同空间频率的基元函 之和 可以理解为一系列不同空间频率的基元函数之和 基元函数 基元函
exp j 2π (xf x + yf y ) 的空间频率 x ，fy 的空间频率f
[
[
]
]
∂ exp j 2π( f x x + f y y ) ∂y = ( j 2πf y )exp j 2π( f x x + f y y )
[
]
[
]
Hale Waihona Puke ∂ exp j 2π( f x x + f y y ) = 0 ∂z
[
]
将以上结果代入式（ 2 ）中得，
d 2 cos α cos β 2π 2 2 Az ,z+ 1 − (λ f x ) − (λ f y ) A z ( f x , f y ) = 0 2 dz λ , λ λ
光的传播过程也可看作一个系统的作用. 有传递函数
2π 2 2 z 1 − 1(λ f x ) − (λ f y ) exp j λ H ( fx, fy ) = 0 fx + fy <
2 2
1
λ2
其它
系统的作用是一个滤波器 传递函数的模为1,各频率分量的振幅没有影响，但要 引入与频率有关的相移。
(
2
2
)
[
]
∂ ∂ Az ( f x , f y ) = Az ( f x , f y ) = 0 ∂x ∂y ∂ d Az ( f x , f y ) = Az ( f x , f y ) ∂z dz
对于指数函数exp[j2π(fx，fy)]有

∂ exp j 2π( f x , x + f y y ) ∂x = ( j 2πf x ) exp j 2π( f x x + f y y )