第二章 简单线性回归模型
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计量经济学第2章 简单线性回归模型
1.1回归分析与回归函数
对回归的现代解释与古典意义有很大的不同 定义：是关于研究一个叫做被解释变量（Y）的变量
对另一个或多个叫做解释变量（X）的变量的依赖 关系，其用意在于通过后者的已知或设定值去估计 或预测前者的均值。其中“依赖关系”，反映在一 定的函数形式上：
注意： E(Y X ) F(X1, X2,, Xk )
1.1回归分析与回归函数
1855年，高尔顿发表《遗传的身高 向平均数方向的回归》一文，他和 他的学生通过观察1078对夫妇，以 每对夫妇的平均身高作为自变量， 取他们的一个成年儿子的身高作为 因变量，分析儿子身高与父母身高 之间的关系。 发现： 当父母越高或越矮时，子女的身高 会比一般儿童高或矮，但是，当父 母身高走向极端，子女的身高不会 象父母身高那样极端化，其身高要 比父母们的身高更接近平均身高， 即有“回归”到平均数去的趋势。
其中，μ为随机误差项(stochastic error)或随机扰动 项(stochastic disturbance )，表明除X之外影响Y的因素： 忽略无数可能事件的影响 测量误差
1.1回归分析与回归函数
例：假定E(Y|Xi)对X是线性的：
E(Y Xi ) 1 2 Xi 线性总体回归函数
-1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 Nhomakorabea1.2 Y
因而，要进一步研究变量之间的相关关系，就需要学习回归 分析方法。
1.1回归分析与回归函数
二、回归分析
“回归”这个词最早由英国生物学家高尔顿在遗传学
中提出。
法兰西斯·高尔顿（1822.2.16－1911.1.17）， 英国人类学家、生物统计学家、英国探险家、 优生学家、心理学家、差异心理学之父，也 是心理测量学上生理计量法的创始人，遗传 决定论的代表人物。 高尔顿平生著书15种，撰写各种学术论文220 篇，涉猎范围包括地理、天文、气象、物理、 机械、人类学、民族学、社会学、统计学、 教育学、医学、生理学、心理学、遗传学、 优生学、指纹学、照像术、登山术、音乐、 美术、宗教等，是一位百科全书式的学者。
二简单线性回归模型
• 当不满足小样本性质时，需进一步考察估 计量的大样本或渐近性质： • （4）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大 时，是否它的均值序列趋于总体真值； • （5）一致性，即样本容量趋于无穷大时， 它是否依概率收敛于总体的真值； • （6）渐近有效性，即样本容量趋于无穷大 时，是否它在所有的一致估计量中具有最 小的渐近方差。
二. 普通最小二乘法（OLS）
• 给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要 求样本回归函数尽可能好地拟合这组值. • 普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS） 给出的判断标准是：二者之差的平方和
ˆ Q Yi - Y i
1
n
Y - ˆ
将样本回归线看成总体回归线的近似替代
总体：Yi = E(Y∣Xi）+ ui =β1+β2 Xi + ui 样本：
ˆ ˆ X ˆ Y i 1 2
ˆ Y i
为E(Y∣Xi）的估计量,也就是样本条件均值
ˆ 为β 的估计量 i i
样本回归函数的函数形式应与设定的总体回归函数的函数形式一致。
每 月 家 庭 人 均 消 费 支 出 Y
E(Y∣X i ) 2098 2414
每 月 家 庭 人 均 收 入 X 4000 4500 5000 5500 6000 6500 2269 2304 2646 2917 3068 3383 2364 2435 2819 3028 3488 3797 2424 2467 2934 3166 3689 4109 2473 2726 3028 3321 3755 4261 2523 2828 3131 3527 3899 4546 2581 2946 3244 3690 3920 4757 2675 2976 3408 3829 4253 4771 2716 3150 3496 3993 4441 4872 2817 3174 3522 4174 4673 2936 3349 3677 4350 4764 2954 3384 3776 4474 3025 3514 3919 3136 3658 4119 3327 3747 2730 3047 3363 3679 3995 4312
【西南财大课件计量经济学】第二章简单线性回归模型
i
i
注：令 x X X
i
i
y Y Y
i
i
ˆ Y ˆ X
1
2
(ˆ2
(
Xi X )(Yi Y (Xi X )2
)
S XY
S
2 X
)
ˆ
x i
y i
2
x 2
i
Yˆi ˆ1 ˆ2 Xi
截距项 ˆ ：当解释变量为零时，被解释变量的取值； 1
变动 斜ˆ 个率单项位ˆ。2：当解释变量每变动一个单位时，被解释变量平均 2 25
样本回归函数的表现形式：
Yˆi ˆ1 ˆ2 Xi
(2.1.7)
Yi ˆ1 ˆ2 Xi ei (2.1.8)
yˆi ˆ2xi
(2.2.16) (离差表现形式)
注： yˆi Yˆi Y
去估计
Yi 1 2 X i i
E(Y X i ) 1 2 X i
18
第二节 简单线性回归模型的最小二乘法
一、古典（基本）假定
简单线性回归模型： Y X u
i
1
2i
i
(一) 对变量和模型的假定
1）重复抽样中，解释变量X 是一组固定的值或虽然是随机的， i
这些数据是否能揭示出Whitney公司所做的报纸广告带来的真 实收益？
5
广告费与销售额的散点图
2600000
2400000
2200000
2000000
1800000
1600000 0
10000 20000 30000 40000 50000 X1
Y
6
广告费与市场占有率的散点图
简单线性回归模型 PPT课件
• 我们可以通过写出关于y和x的一个方程来 消除这些疑惑。一个简单的方程是：
• y = b0 + b1x + u…………(2.1)
• 且假定方程(2.1)在我们所关注的某个总体 中成立，它定义了一个简单线性回归模型 (simple linear regression model)。因为它把 两个变量x和y联系起来，所以又把它叫做 两变量或者双变量线性回归模型。我们现 在来讨论等式(2.1)中每个量的含义。
• 在写出用x解释y的模型时，我们要面临三 个问题。
– 首先，既然两个变量之间没有一个确切的关系， 那么我们应该如何考虑其他影响y的因素呢？ – 第二，y和x的函数关系是怎样的呢？ – 第三，我们怎样知道是否抓住了在其他条件不 变的情况下y和x之间的关系（如果这是我们所 追求的目标的话）呢？
简单回归模型的定义
关于u和x的关系的关键性假定
• 需要一个关键假设来约定u和x之间 的关系。我们希望关于x的信息不会 透露关于u的任何信息，也就是说， 两者应该是完全无关的。
关于u和x的关系的关键性假定
• 因为u和x是随机变量，所以我们能够在任 何给定的x值下得到u的条件分布。具体地 说，对于任何一个x值，我们都能够在x的 值所描述的总体剖面上求得u的期望（或平 均）值。因此，一种好的方法是对给定x时 u的期望值作出假定。 • 故关键的假定是：u的平均值不依赖于x值。 也即： E(u|x) = E(u) = 0…… (2.6) • 也就意味着： E(y|x) = b0 + b1x
y ie ld b 1 fe r tiliz e r
• 例2.2 一个简单的工资方程 • 以下模型表示一个人的工资水平与他的可测教育水 平及其他非观测因素的关系：
• y = b0 + b1x + u…………(2.1)
• 且假定方程(2.1)在我们所关注的某个总体 中成立，它定义了一个简单线性回归模型 (simple linear regression model)。因为它把 两个变量x和y联系起来，所以又把它叫做 两变量或者双变量线性回归模型。我们现 在来讨论等式(2.1)中每个量的含义。
• 在写出用x解释y的模型时，我们要面临三 个问题。
– 首先，既然两个变量之间没有一个确切的关系， 那么我们应该如何考虑其他影响y的因素呢？ – 第二，y和x的函数关系是怎样的呢？ – 第三，我们怎样知道是否抓住了在其他条件不 变的情况下y和x之间的关系（如果这是我们所 追求的目标的话）呢？
简单回归模型的定义
关于u和x的关系的关键性假定
• 需要一个关键假设来约定u和x之间 的关系。我们希望关于x的信息不会 透露关于u的任何信息，也就是说， 两者应该是完全无关的。
关于u和x的关系的关键性假定
• 因为u和x是随机变量，所以我们能够在任 何给定的x值下得到u的条件分布。具体地 说，对于任何一个x值，我们都能够在x的 值所描述的总体剖面上求得u的期望（或平 均）值。因此，一种好的方法是对给定x时 u的期望值作出假定。 • 故关键的假定是：u的平均值不依赖于x值。 也即： E(u|x) = E(u) = 0…… (2.6) • 也就意味着： E(y|x) = b0 + b1x
y ie ld b 1 fe r tiliz e r
• 例2.2 一个简单的工资方程 • 以下模型表示一个人的工资水平与他的可测教育水 平及其他非观测因素的关系：
庞浩计量经济学第二章简单线性回归模型
最小二乘法的应用
在统计学和计量经济学中，最 小二乘法广泛应用于估计线性 回归模型，以探索解释变量与 被解释变量之间的关系。
通过最小二乘法，可以估计出 解释变量的系数，从而了解各 解释变量对被解释变量的影响 程度。
最小二乘法还可以用于时间序 列分析、预测和数据拟合等场 景。
最小二乘法的局限性
最小二乘法假设误差项是独立同分布 的，且服从正态分布，这在实际应用 中可能不成立。
最小二乘法无法处理多重共线性问题， 当解释变量之间存在高度相关关系时， 最小二乘法的估计结果可能不准确。
最小二乘法对异常值比较敏感，异常 值的存在可能导致参数估计的不稳定。
04
模型的评估与选择
R-squared
总结词
衡量模型拟合优度的指标
详细描述
R-squared，也称为确定系数，用于衡量模型对数据的拟合程度。它的值在0到1之间，越接近1表示模型拟合越 好。R-squared的计算公式为(SSreg/SStot)=(y-ybar)2 / (y-ybar)2 + (y-ybar)2，其中SSreg是回归平方和， SStot是总平方和，y是因变量，ybar是因变量的均值。
数据来源
本案例的数据来源于某大型电商 平台的销售数据，包括商品的销 售量、价格、评价等。
数据处理
对原始数据进行清洗和预处理， 包括处理缺失值、异常值和重复 值，对分类变量进行编码，对连 续变量进行必要的缩放和转换。
模型建立与评估
模型建立
基于处理后的数据，使用简单线性回 归模型进行建模，以商品销售量作为 因变量，价格和评价作为自变量。
线性回归模型是一种数学模型， 用于描述因变量与一个或多个 自变量之间的线性关系。它通 常表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + ε
第二章 简单线性回归模型
第二章 简单线性回归第一节 概述一 两个变量之间的关系让我们在给定一个变量的条件下，研究另一个变量与给定变量的关系。
在给定变量条件下，变量Y 与给定变量X 的关系主要有两种关系：一种是变量Y 与变量X 由方程)(X f Y =所决定的确定性函数关系。
对于变量X 的定义域中的任一给定值，在变量Y 的值域中都有一个唯一确定的值与给定值相对应。
这种关系是我们在数学中早已研究过的函数关系，而且我们在宏观经济学和微观经济学中的研究的变量之间的关系在形式上往往以函数关系的形式出现。
另一种关系是在变量X 的值给定的条件下，变量Y 的值并不是完全确定的，而是以某个值为中心的一个完整的概率分布，而这个中心与给定变量X 的关系则是完全确定的。
我们称这种关系为随机性关系。
显然，这两种关系是全然不同的。
为了明确这两种关系的区别我们通过一个假想的例子来说明。
假设我们在课堂上进行一系列实验以决定某种玩具在不同价格的需求量。
用t p 表示该种玩具在时刻t 的价格，t q 表示该种玩具在时刻t 的需求量.首先，我们假设经过实验得到如下结果。
上述结果表示在价格为25的任何时刻，需求量都为1，在价格为20的任何时刻，需求量都为3，在价格为15的任何时刻，需求量都为5，等等。
这些结果所表明的需求量与价格之间的关系就是确定性关系。
这种关系可用下列线性方程表示：t t p q 4.011-= (2.1)其次，我们假设经过实验得到下列结果。
表2.1t p t q25 ⎪⎩⎪⎨⎧的时刻实验中有的时刻实验中有的时刻实验中有25% 2%05 125% 020 ⎪⎩⎪⎨⎧的时刻实验中有的时刻实验中有的时刻实验中有25% 4%05 325% 25 ⎪⎩⎪⎨⎧的时刻实验中有的时刻实验中有的时刻实验中有25% 10%05 925% 8上述结果表示在价格为25的时刻中，有25%的需求量为0，50%的需求量为1，25%的需求量为2；在价格为20的时刻中，有25%的需求量为2，50%的需求量为3，25%的需求量为4；……；在价格为5的时刻中，有25%的需求量为8，50%的需求量为9，25%的需求量为10。
2简单线性回归模型
简单线性回归模型第二章学习要点一简单线性回归模型的设定二简单线性回归模型的基本假定三简单线性回归模型参数的估计方法四参数估计量的统计性质五拟合优度的度量六回归系数的区间估计和假设检验七回归模型预测八eviews应用经济变量间的相互关系确定性的函数关系
第二章
简单线性回归模型
学习要点
一、简单线性回归模型的设定 二、简单线性回归模型的基本假定 三、简单线性回归模型参数的估计方法 四、参数估计量的统计性质 五、拟合优度的度量 六、回归系数的区间估计和假设检验 七、回归模型预测 八、EViews应用
Yi
ui
X
ui Yi E(Yi X i ) Yi 1 2 X i
3、样本回归函数（SRF）
样本回归线： 对于X 的一定值，取得 Y 的样本观测值，可计算其条件均 值，样本观测值条件均值的轨迹称为样本回归线。 样本回归函数： 如果把应变量 Y的样本条件均值表示为解释变量 X 的某种 函数，这个函数称为样本回归函数（SRF）。
i
X)
2
1
(4)
wi X i
x x
Xi
x
Xi X
x (X X ) x
2 i i 2 i
X i2 XX i
2
x
xi2
2 i
1
◆
最小二乘估计量b的无偏估计量
（1）b1
i 1
n
n
xi
x
i 1
n
2 i
Yi
i 1
n
xi
2 x i i 1 n
2wn 1wn u n 1u n ) n 1 2 2 2 Var (b1 ) u wi u n 2 i 1 x i
第二章
简单线性回归模型
学习要点
一、简单线性回归模型的设定 二、简单线性回归模型的基本假定 三、简单线性回归模型参数的估计方法 四、参数估计量的统计性质 五、拟合优度的度量 六、回归系数的区间估计和假设检验 七、回归模型预测 八、EViews应用
Yi
ui
X
ui Yi E(Yi X i ) Yi 1 2 X i
3、样本回归函数（SRF）
样本回归线： 对于X 的一定值，取得 Y 的样本观测值，可计算其条件均 值，样本观测值条件均值的轨迹称为样本回归线。 样本回归函数： 如果把应变量 Y的样本条件均值表示为解释变量 X 的某种 函数，这个函数称为样本回归函数（SRF）。
i
X)
2
1
(4)
wi X i
x x
Xi
x
Xi X
x (X X ) x
2 i i 2 i
X i2 XX i
2
x
xi2
2 i
1
◆
最小二乘估计量b的无偏估计量
（1）b1
i 1
n
n
xi
x
i 1
n
2 i
Yi
i 1
n
xi
2 x i i 1 n
2wn 1wn u n 1u n ) n 1 2 2 2 Var (b1 ) u wi u n 2 i 1 x i
第二章简单线性回归模型1-文档资料
r XY
(X X)( Y Y)
i 1 i i
n
(X X) (Y Y)
2 i 1 i i 1 i
n
n
0
2
二、回归分析 （一）产生渊源 “回归”这个词最早由高尔顿在遗传学研究中提出来。 高尔顿是达尔文的表弟，是一名英格兰 维多利亚时代的文艺复兴人、人类学家、 优生学家、热带探险家、地理学家、发明家、 气象学家、统计学家、心理学家和遗传学家。 在统计学方面，高尔顿提出了“回归”和 “相关”的概念。
序号 X Y 1 2 3 4 5 0 1 6 7 8 1 0 9 10 11 12 0 1 13 14 15 16 0 17 18 19 20 1 0 21 22 23 0 1 24 25 26 27 1 0 28 29 30 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.66 0.87 0.97 0.25 0.5 0.97 0.87 -0.75 -0.5 -0.25 -0.66-0.87-0.97 0.25 0.5 0.75 0.66 0.87 0.97 0.97 0.87 0.25 0.5 -0.66-0.87-0.97 -0.75 -0.5 -0.25 -0.97-0.87-0.66 0.25 0.5 0.75 -0.97-0.87-0.66 -1 -0.75 -0.5 -0.25
北 京 天 津 河 北 山 西 内蒙古 辽 宁 吉 林 黑龙江 上 海 江 苏 浙 江 安 徽 福 建 江 西 山 东 河 南
湖 湖 广 广 海 重 四 贵 云 西 陕 甘 南 藏 西 肃 海 夏 疆
r XY
(X X)( Y Y)
i 1 i i
t r XY
检验准则： 当 t t (n 时，拒绝原假设，认为变量之间具有显著的相关关系。 2)
Chapter 2 简单线性回归模型
2. 相关分析是对称（symmetric）对待 X 和 Y 不区分解释变量（自变量）和被解释变量（因变量） ，两个变量都是随机的 例：统计考试成绩和数学考试成绩相关系数
四、回归分析与因果关系 1. 回归分析研究一个变量对另一个变量统计上的依存关系，但是并不表明 两个变量之间有因果关系。
2. 因果关系的建立一定是来自于统计关系之外，最终应该来自于理论。 （所 以要有经济理论） 例：降水量与产量 统计上并没有否定以下回归关系的存在 降水量 = beta0 + beta1*产量 + error 但是直觉告诉我们产量并不能决定降水量，产量并不是降水量的原因。
Variance: var X ≡ E X
μ
E X
2
μ
Covariance: Cov X, Y ≡ E X
μ
Y
μ
E XY
E X E Y
3. 线性相关系数（correlation coefficient） 总体（population）相关系数 Corr X, Y Cov X, Y Var X Var Y
(2) 回归线: 对于每一个 X 的取值，都有 Y 的条件期望 E(Y|Xi)与之对应，代表这些 Y 的 条件期望的点的轨迹所形成的直线或曲线，称为回归线。
Y 的条件分布：当解释变量 X 取某固定值时（条件） ，Y 的值不确定，Y 的不同取值形成一定的分布，即 Y 的条件分布。
Y 的条件期望：对于 X 的每一个取值，对 Y 所形成的分布确定其期望或 均值，称为 Y 的条件期望或条件均值，E(Y|X)
3. 用 x 的变化解释 y 的变化要解决的三个问题 问题 1：因为两个变量之间的关系是非精确的关系（not exact relationship） ， 如何让其它因素也影响 y？ ε 代表影响 y 的其他因素
第二章-简单线性回归模型-计量经济学
Y
● Y 的条件期望
对于X 的每一个取值， 对Y 所形成的分布确
定其期望或均值，称
为Y 的条件期望或条
件均值 E(Y Xi )
Xi
X
17
回归线与回归函数
●回归线:
对于每一个 X 的取值， Y 都有 Y 的条件期望
E(Y Xi ) 与之对应，
代表这些 Y 的条件期
望的点的轨迹所形成
的直线或曲线，称为
1874 1906 1068 2066 2185 2210 2289 2313 2398 2423 2453 2487 2586
2110 2225 2319 2321 2365 2398 2487 2513 2538 2567 2610 2710
2388 2426 2488 2587 2650 2789 2853 2934 3110
2436 2588 2672 2736 2801 2893 2902 3027 3155 3260
5300
2765 2853 2900 3021 3065 3146 3278 3305 3423
5800
3022 3156 3401 3669
26
析：
家庭消费支出主要取决于家庭可支配收入，但不是唯一取决于家 庭可支配收入，还会受到其他各种不确定性因素的影响，因而可支配 收入相同的不同家庭的消费支出各不相同。
总体回归曲线与总体回归函数
给定解释变量条件下被解释变量的期望轨迹称为总体回 归曲线（population regression curve），或总体回归线 （population regression line）。
描述总体回归曲线的函数称为总体回归函数 （population regression function）。
● Y 的条件期望
对于X 的每一个取值， 对Y 所形成的分布确
定其期望或均值，称
为Y 的条件期望或条
件均值 E(Y Xi )
Xi
X
17
回归线与回归函数
●回归线:
对于每一个 X 的取值， Y 都有 Y 的条件期望
E(Y Xi ) 与之对应，
代表这些 Y 的条件期
望的点的轨迹所形成
的直线或曲线，称为
1874 1906 1068 2066 2185 2210 2289 2313 2398 2423 2453 2487 2586
2110 2225 2319 2321 2365 2398 2487 2513 2538 2567 2610 2710
2388 2426 2488 2587 2650 2789 2853 2934 3110
2436 2588 2672 2736 2801 2893 2902 3027 3155 3260
5300
2765 2853 2900 3021 3065 3146 3278 3305 3423
5800
3022 3156 3401 3669
26
析：
家庭消费支出主要取决于家庭可支配收入，但不是唯一取决于家 庭可支配收入，还会受到其他各种不确定性因素的影响，因而可支配 收入相同的不同家庭的消费支出各不相同。
总体回归曲线与总体回归函数
给定解释变量条件下被解释变量的期望轨迹称为总体回 归曲线（population regression curve），或总体回归线 （population regression line）。
描述总体回归曲线的函数称为总体回归函数 （population regression function）。
第二章 简单线性回归模型
Y 的条件均值
E (Y X i )
55
75
95
115
135
155
175
195
215
235
之间的对应关系是： 家庭可支配收入 X 与平均消费支出 E ( Y X i ) 之间的对应关系是：
E ( Y X i ) = 15 + 2 X 3
i
的条件期望表示为解释变量的某种函数称为总体函数。 这种把总体应变量 Y 的条件期望表示为解释变量的某种函数称为总体函数。简记 PRF。 为 PRF。
（三）回归与相关的联系与区别
两者的区别在于： 用途不同—— ——相关分析是用相关系数去度量变量之间线性 （1）用途不同——相关分析是用相关系数去度量变量之间线性 关联的程度，而回归分析却要根据解释变量的确定值， 关联的程度，而回归分析却要根据解释变量的确定值，去估计和预测 被解释变量的平均值； 被解释变量的平均值； 变量性质不同—— ——相关分析中把相互联系的变量都作为随 （2）变量性质不同——相关分析中把相互联系的变量都作为随 机变量， 机变量， 而在回归分析中， 而在回归分析中， 假定解释变量在重复抽样中具有固定数值， 假定解释变量在重复抽样中具有固定数值， 是非随机的，被解释变量才是随机变量。 是非随机的，被解释变量才是随机变量。 对变量的因果关系处理不同—— ——回归分析是在变量因果关 （3）对变量的因果关系处理不同——回归分析是在变量因果关 系确定的基础上研究解释变量对被解释变量的具体影响，对变量的处 系确定的基础上研究解释变量对被解释变量的具体影响， 理是不对称的， 而在相关分析中， 把相互联系的变量都作为随机变量， 理是不对称的， 而在相关分析中， 把相互联系的变量都作为随机变量， 是对称的。 是对称的。
计量经济学(第二章简单线性回归)
Y SRF1 SRF2
X
样本回归线不是总体回归线，只是未知 总体回归线的近似。
1.6.3 残差 ei
定义：ei = Yi −Y i ∧ Y 那么有： i = Yi + ei 对上例，有：
∧
Yi = Yi + ei = β 1 + β 2 X i + ei
∧
∧
∧
回归分析的思路
样本
一定方法得出 近似看成是
零均值：E (Yi / X i ) = f ( X i ) Var (Yi / X i ) = σ 2 同方差： Cov 无自相关： (Yi , Y j ) = 0, i ≠ j 正态性： Yi ~ N ( f ( X i ), σ 2 )
2.2 普通最小二乘法（OLS）
基本思想 数学过程 估计结果
相关系数取值区间[-1，1]。 相关系数具有对称性，即 ρ xy = ρ yx； X,Y都是随机变量，相关系数只说明其 线性相关程度，不说明其非线性关系， 也不反映他们之间的因果关系； 样本相关系数是总体相关系数的样本估 计量； 简单线性相关包含了其他变量的影响。
1.3 回归分析和相关分析
1.3.1 回归分析 古典意义：高尔顿遗传学的回归概念； 现代含义：一个应变量对若干解释变 量依存关系的研究； 回归分析的目的：由固定的解释变量 去估计和预测应变量的平均值；
三种距离
Y A( X i , Yi ) 横向距离 纵 向 距离 距 离
∧
SRF A B
B( X i , Y i )
X
纵向距离 e i = Yi − Yi = Yi − β 过程
详见课本P24 举例：见Eviews练习1
2.2.3 OLS估计结果的离差形式
X
样本回归线不是总体回归线，只是未知 总体回归线的近似。
1.6.3 残差 ei
定义：ei = Yi −Y i ∧ Y 那么有： i = Yi + ei 对上例，有：
∧
Yi = Yi + ei = β 1 + β 2 X i + ei
∧
∧
∧
回归分析的思路
样本
一定方法得出 近似看成是
零均值：E (Yi / X i ) = f ( X i ) Var (Yi / X i ) = σ 2 同方差： Cov 无自相关： (Yi , Y j ) = 0, i ≠ j 正态性： Yi ~ N ( f ( X i ), σ 2 )
2.2 普通最小二乘法（OLS）
基本思想 数学过程 估计结果
相关系数取值区间[-1，1]。 相关系数具有对称性，即 ρ xy = ρ yx； X,Y都是随机变量，相关系数只说明其 线性相关程度，不说明其非线性关系， 也不反映他们之间的因果关系； 样本相关系数是总体相关系数的样本估 计量； 简单线性相关包含了其他变量的影响。
1.3 回归分析和相关分析
1.3.1 回归分析 古典意义：高尔顿遗传学的回归概念； 现代含义：一个应变量对若干解释变 量依存关系的研究； 回归分析的目的：由固定的解释变量 去估计和预测应变量的平均值；
三种距离
Y A( X i , Yi ) 横向距离 纵 向 距离 距 离
∧
SRF A B
B( X i , Y i )
X
纵向距离 e i = Yi − Yi = Yi − β 过程
详见课本P24 举例：见Eviews练习1
2.2.3 OLS估计结果的离差形式
第二章简单线性回归模型
取偏导数并令其为0，可得正规方程
( ei2 ) ˆ1
2
(Yi ˆ1 ˆ2 Xi ) 0
( ei2 ) ˆ2
2
(Yi ˆ1 ˆ2 Xi ) Xi 0
即
或整理得
Yi nˆ1 ˆ2 Xi
XiYi ˆ1
Xi ˆ2
X
2 i
ei 0 ei Xi 0
用克莱姆法则求解得以观测值表现的OLS估计量：
（说明：正态性假定并不影响对参数的点估计，所以有时不列
入基本假定，但这对确定所估计参数的分布性质是需要的。且
根据中心极限定理，当样本容量趋于无穷大时，u
的分布会趋
i
近于正态分布。所以正态性假定有合理性）
5
在对 u i的基本假定下 Y 的分布性质
由于
Yi 1 2 X i ui
其中的 1, 2和 X i是非随机的， u i 是随机变量，因此
在给定X的条件下，u i的条件
方差为某个常数 2
Y
E(Y Xi )
Var(ui X i ) E[ui E(ui X i )]2 2
Xi X
3
假定3：无自相关假定:
随机扰动项 u i的逐次值互不相关
Cov(ui ,u j ) E[ui E(ui )][u j E(u j )]
E(uiu j ) 0
但与扰动项u是不相关的。(从变量X角度看是外生的) 注意: 解释变量非随机在自然科学的实验研究中相对 容易满足，经济领域中变量的观测是被动不可控的， X非随机的假定并不一定都满足。
2
2.对随机扰动项u的假定
假定1：零均值假定:
u 在给定X的条件下， i 的条件期望为零
E(ui Xi ) 0
假定2：同方差假定:
《计量经济学》第二章 简单线性回归模型
Yi 与 E(Yi Xi ) 不应有偏差。若偏
差 u i 存在，说明还有其他影响因素。
Xi
X
u i实际代表了排除在模型以外的所有因素对 Y 的影响。
◆性质 u i 是其期望为 0 有一定分布的随机变量
重要性：随机扰动项的性质决定着计量经济分析结
果的性质和计量经济方法的选择
19
引入随机扰动项 u i 的原因
数 是客观存在的特定数值。
●总体的两个变量 X 和 Y的全部数值通常不可能直接观测，所
以总体相关系数一般是未知的。
7
X和Y的样本线性相关系数：
如果只知道 X 和 Y 的样本观测值，则X和Y的样本线性
__
__
相关系数为： rXY
( Xi X )(Yi Y )
__
__
( Xi X )2 (Yi Y )2
如果能够通过某种方式获得 ˆ1 和 ˆ 2 的数值，显然: ● ˆ1和 ˆ 2 是对总体回归函数参数1 和2 的估计 ● Yˆ i 是对总体条件期望 E(Yi Xi ) 的估计
么，可以计算出总体被解释变量Y的条件期望 E(Y Xi ) ，
并将其表现为解释变量X的某种函数
E(Y Xi ) f (Xi )
这个函数称为总体回归函数（PRF） 本质: 总体回归函数实际上表现的是特定总体中被解释变 量随解释变量的变动而变动的某种规律性。 计量经济学的根本目的是要探寻变量间数量关系的规律,也 就要努力去寻求总体回归函数。
条件均值形式：
样本回归函数如果为线性函数，可表示为
Yˆi ˆ1 ˆ2 Xi
其中：Yˆi 是与 X i 相对应的 Y 的样本条件均值 ˆ1 和 ˆ2 分别是样本回归函数的参数
个别值（实际值）形式：
(完整版)第二章(简单线性回归模型)2-3答案
、判断题2 21. 当y y确定时，？ y越小，表明模型的拟合优度越好。
（F）2. 可以证明，可决系数R2高意味着每个回归系数都是可信任的。
（F）3. 可决系数R2的大小不受到回归模型中所包含的解释变量个数的影响。
（F）4. 任何两个计量经济模型的R2都是可以比较的。
（F）5. 拟合优度R2的值越大，说明样本回归模型对数据的拟合程度越高。
（T）6. 结构分析是R2高就足够了，作预测分析时仅要求可决系数高还不够。
（F ）7.通过R2的高低可以进行显著性判断。
(F)8.R2是非随机变量。
（F）二、单项选择题1. 已知某一直线回归方程的可决系数为0.64 , 则解释变量与被解释变量间的线性相关系数为(B )。
A.± 0.64B.± 0.8C.± 0.4D. ± 0.322. 可决系数R2的取值范围是（C）。
A.R2< -1B. R2> 1C.0< R2< 1D.—1 < R2< 13.下列说法中正确的是：（D ）A如果模型的R2很高，我们可以认为此模型的质量较好B如果模型的R2较低，我们可以认为此模型的质量较差C如果某一参数不能通过显著性检验，我们应该剔除该解释变量D如果某一参数不能通过显著性检验，我们不应该随便剔除该解释变量三、多项选择题1. 反映回归直线拟合优度的指标有（ACDE ）。
A. 相关系数 B .回归系数 C.样本可决系数D.回归方程的标准差E.剩余变差（或残差平方和）2•对于样本回归直线Y?= ?）?X j ,回归变差可以表示为（ABCDE ）。
A. （丫厂Y i）2 - （Y i- Y?）2B . ?2（X i - X）2C. R2（Y i-Y i）2 D . （Y?i-Y）2E.? （X i-X（Y i—Y i）2.3拟合优度的度量3•对于样本回归直线丫j=乙F列可决系数的算式中，正确的有(ABCDE )。
计量经济学课件：第二章 简单线性回归模型
第二章 简单线性回归模型第一节 回归分析与回归方程一、回归与相关 1、变量之间的关系（1）函数关系：()Y f X =，其中Y 为应变量，X 为自变量。
（2）相关关系或统计关系：当一个变量X 或若干个变量12,,,k X X X 变化时，Y 发生相应的变化（可能是不确定的），反之亦然。
在相关关系中，变量X 与变量Y 均为不确定的，并且它们之间的影响是双向的（双向因果关系）。
（3）单向因果关系：(,)Y f X u =，其中u 为随机变量。
在计量经济模型中，单一线性函数要求变量必须是单向因果关系。
在（单向）因果关系中，变量Y 是不确定的，变量X 是确定的（或可控制的）。
要注意的是，对因果关系的解释不是靠相关关系或统计关系来确定的，并且，相关关系与统计关系也给不出变量之间的具体数学形式，而是要通过其它相关理论来解释，如经济学理论。
例如，我们说消费支出依赖于实际收入是引用了消费理论的观点。
2、相关关系的类型 (1) 简单相关 (2) 复相关或多重相关 (3) 线性相关 (4) 非线性相关 (5) 正相关 (6) 负相关 (7) 不相关3、用图形法表示相关的类型上述相关类型可直观地用（EViews 软件）画图形来判断。
例如，美国个人可支配收入与个人消费支出之间的相关关系可由下列图形看出，它们为正相关关系。
15002000250030003500150020002500300035004000PDIP C E其中，PDI 为（美）个人可支配收入，PCE 为个人消费支出。
PDI 和PCE 分别对时间的折线图如下PROFIT 对STOCK 的散点图为05010015020025050100150STOCKP R O F I T其中，STOCK 为（美）公司股票利息，PROFIT 为公司税后利润，表现出明显的非线性特征。
以下是利润与股息分别对时间的序列图（或称趋势图）05010015020025020406080100120140GDP 对M2的散点图为02000040000600008000010000050000100000150000M2G D P其中M2为（中国）广义货币供应量，GDP 为国内生产总值。
计量经济学第二章 简单线性回归模型
这样的“规则和方法”有多种，最常用的是最小二乘 法（ordinary least squares, OLS）。
29
一、简单线性回归模型的基本假设 1、为什么要作基本假定？
● 只有对随机扰动的分布作出假定，才能确定 所估计参数的分布性质，也才可能进行假设 检验和区间估计 ●只有具备一定的假定条件，所作出的估计才 具有较好的统计性质。
Y Yi
Yi ei
SRF PRF
ˆ Y i
E (Yi X i )
ui
A
Xi
X
27
第二节 简单线性回归模型 的最小二乘估计
一、简单线性回归模型的基本假设 二、普通最小二乘估计（OLS） 三、OLS回归线的性质 四、最小二乘估计的统计性质
28
▼回归分析的主要目的：根据样本回归函 数SRF，估计总体回归函数PRF。
第二章 简单线性回归模型
主要内容： 回归分析概述 一元线性回归模型的参数估计 一元线性回归模型检验 一元线性回归模型预测 实例
离散变量的期望值定义为E(X)
2
• 方差的性质
方差
Var ( X ) E X i X 2
2
3
• 协方差的性质 协方差
Cov( XY ) E X i X Yi Y
i i __ 2 __ i i
__
__
2
其中： 分别是变量 X 和 Y 的样本观测值 X i和 Y __i X 和 Y 分别是变量 X 和 Y 样本值的平均值
8
相关系数的取值范围：-1≤≤1
>0 为正相关， < 0 为负相关； ||=0 表示不存在线性关系； 线性 ||＝1 表示完全线性相关； 线性 0<||<1表示存在不同程度线性相关： || < 0.4 为低度线性相关； 0.4≤ || ＜0.7为显著线性相关； 0.7≤|| ＜1.0为高度线性相关。
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11
都有Y的条件期望 ●回归线：对于每一个X的取值 X i ，都有 的条件期望 回归线：对于每一个 的取值 与之对应， 代表Y的条件期望的点的轨迹形成 E (Y X i ) 与之对应 ， 代表 的条件期望的点的轨迹形成 的直线或曲线称为回归线。 的直线或曲线称为回归线。 回归函数：被解释变量Y ●回归函数：被解释变量 的条件期望 E (Y X i ) 随 解释变量X的变化而有规律 解释变量 的变化而有规律 的变化，如果把 的条件期 的变化，如果把Y的条件期 望表现为 X 的某种函数 E(Y X i ) = f ( X i ) ， 这个函数称为回归函数。 这个函数称为回归函数。
6 6
3、相关程度的度量—相关系数
总体的全部数据都已知 都已知， 如果 X 和 Y 总体的全部数据都已知， X 和 Y 的方差和 协方差也已知， 协方差也已知，则 Cov( X , Y ) X和Y的总体线性相关系数： ρ = 和 的总体线性相关系数：
Var ( X )Var (Y )
-----Y的方差 其中： 其中： Var ( X ) -----X 的方差 Var (Y ) -----Y的方差 Cov ( X , Y ) -----X和Y的协方差 和 的协方差
特点： 特点：
●总体相关系数只反映总体两个变量 ●对于特定的总体来说， 对于特定的总体来说，
X 和 Y 的线性相关程度
是客观存在的特定数值。 数 是客观存在的特定数值。 的全部数值通常不可能直接观测， ●总体的两个变量 X 和 Y 的全部数值通常不可能直接观测，所 以总体相关系数一般是未知的。 以总体相关系数一般是未知的。
E (Y X i ) = α + βX i
14
1. 总体回归函数的概念
前提：假如已知所研究的经济现象的总体的被解释变量Y 前提：假如已知所研究的经济现象的总体的被解释变量 所研究的经济现象的总体的被解释变量 和解释变量X的每个观测值（通常这是不可能的！ 和解释变量 的每个观测值（通常这是不可能的！），那 的每个观测值 么，可以计算出总体被解释变量Y的条件期望 E (Y X i ) ， 可以计算出总体被解释变量 的条件期望 并将其表现为解释变量X的某种函数 并将其表现为解释变量X的某种函数
E (Y X i ) = f ( X i )
这个函数称为总体回归函数（ 这个函数称为总体回归函数（PRF） 总体回归函数 ） 本质: 本质: 总体回归函数实际上表现的是特定总体中被解释变 量随解释变量的变动而变动的某种规律性。 量随解释变量的变动而变动的某种规律性。 计量经济学的根本目的是要探寻变量间数量关系的规律, 计量经济学的根本目的是要探寻变量间数量关系的规律,也 就要努力去寻求总体回归函数。 就要努力去寻求总体回归函数。
第一节 回归分析与回归函数 一、相关分析与回归分析
（对统计学的回顾） 对统计学的回顾）
1、经济变量之间的相互关系
性质上可能有三种情况: 性质上可能有三种情况 ◆确定性的函数关系 确定性的函数关系 Y=f (X)
可用数学方法计算
◆不确定的统计关系 相关关系 不确定的统计关系—相关关系 不确定的统计关系 Y= f（X）+ε （ ） ◆没有关系 没有关系
1312 1340 1400 1548 1688 1738 1800 1902 1530 1619 1713 1750 1814 1985 2041 2186 2200 2312 1631 1726 1786 1835 1885 1943 2037 2078 2179 2298 2316 2387 2498 2689 1843 1974 2006 2265 2367 2485 2515 2689 2713 2898 2923 3053 3187 3286 2037 2210 2325 2419 2522 2665 2799 2887 2913 3038 3167 3310 3510 2277 2388 2526 2681 2887 3050 3189 3353 3534 3710 3834
9
4、回归分析
回归的古典意义 古典意义： 古典意义
高尔顿遗传学的回归概念 父母身高与子女身高的关系) ( 父母身高与子女身高的关系) 子女的身高有向人的平均身高"回归" 子女的身高有向人的平均身高"回归"的趋势
回归的现代意义 现代意义： 现代意义
一个被解释变量对若干个 解释变量依存关系的研究
回归的目的（实质）： 目的（实质） 目的
15
2.总体回归函数的表现形式 2.总体回归函数的表现形式
●条件期望表现形式 条件期望表现形式 例如Y的条件期望 E (Y X i ) 是解 例如 的条件期望 释变量X的线性函数，可表示为： 释变量 的线性函数，可表示为： 的线性函数
(ε为随机变量 为随机变量) 为随机变量 可用统计方法分析 不用分析
4
2、相关关系
◆ 相关关系的描述
最直观的描述方式——坐标图（散布图、散点图）） 坐标图（散布图、散点图）） 最直观的描述方式 坐标图
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
2
需要研究经济变量之间数量关系的方法
显然，对旅游起决定性影响作用的是“ 显然，对旅游起决定性影响作用的是“中国居民的收 入水平”以及“入境旅游人数”等因素。 入水平”以及“入境旅游人数”等因素。 旅游业总收入” 居民平均收入” X1） “旅游业总收入”（Y）与“居民平均收入”（X1）或 入境旅游人数” X2）有怎样的数量关系呢？ 者“入境旅游人数”（X2）有怎样的数量关系呢？ 能否用某种线性或非线性关系式 Y= f ( X ) 去表现这 种数量关系呢? 具体该怎样去表现和计量呢 怎样去表现和计量呢? 种数量关系呢? 具体该怎样去表现和计量呢? 为了不使问题复杂化, 我们先在某些标准的(古典的) 为了不使问题复杂化, 我们先在某些标准的(古典的) 假定条件下，用最简单的模型，对最简单的变量间数 假定条件下，用最简单的模型， 量关系加以讨论
7
ρ
的数值是既定的， X 和 Y 的数值是既定的，总体相关系
X和Y的样本线性相关系数： 和 的样本线性相关系数：
的样本观测值， __和 的 如果只知道 X 和 Y 的样本观测值，则X和Y的样本线性 __ ∑ ( X i − X )(Yi − Y ) 相关系数为： 相关系数为： r = XY __ __ ( X i − X ) 2 ∑ (Yi − Y ) 2 ∑
计量经济学
第 二 章 简单线性回归模型
1
引子:中国旅游业总收入将超过3000亿美元吗？ 3000亿美元吗 引子:中国旅游业总收入将超过3000亿美元吗？
未来我国旅游需求将快速增长， 未来我国旅游需求将快速增长，根据中国政府所制定的 远景目标， 2020年 中国入境旅游人数将达到2.1 2.1亿人 远景目标，到2020年，中国入境旅游人数将达到2.1亿人 国际旅游外汇收入580亿美元，国内旅游收入2500 580亿美元 2500亿 次；国际旅游外汇收入580亿美元，国内旅游收入2500亿 美元。 2020年 中国旅游业总收入将超过3000亿美元， 3000亿美元 美元。到2020年，中国旅游业总收入将超过3000亿美元， 相当于国内生产总值的8% 11%。 8%至 相当于国内生产总值的8%至11%。
8
对相关系数的正确理解和使用
● 都是相互对称的随机变量， X和Y 都是相互对称的随机变量， rXY
= rYX
线性相关系数只反映变量间的线性相关程度， ● 线性相关系数只反映变量间的线性相关程度 ， 不 能说明非线性相关关系 样本相关系数是总体相关系数的样本估计值， ● 样本相关系数是总体相关系数的样本估计值 ， 由 于抽样波动，样本相关系数是随抽样而变动的随机变量， 于抽样波动，样本相关系数是随抽样而变动的随机变量， 其统计显著性还有待检验
Y ●被解释变量 Y 的条件期望： 条件期望：
对于 X 的每一个取值， 的每一个取值， 对 Y 所形成的分布确 定其期望或均值， 定其期望或均值，称
E (Y X i )
为 Y 的条件期望或条件均
Xi
X
表示。注意: 的条件期望是随X 值，用 E (Y X i ) 表示。注意:Y的条件期望是随X的变动而变动的
函数关系
11.2 11 10.8 10.6 10.4 10.2 10 0 2 4 6 8 10
相关关系(线性 相关关系 线性) 线性
35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15
相关关系(非线性 相关关系 非线性) 非线性
没有关系
5
相关关系的类型 类型
●
从涉及的变量数量看
简单相关 多重相关（复相关） 多重相关（复相关）
年中国旅行社发展研究咨询报告》 （来源：《2008年中国旅行社发展研究咨询报告》） 来源： 年中国旅行社发展研究咨询报告 （参考现状：第一产业占GDP的15%，建筑业占GDP 的7%） 参考现状：第一产业占 的 ，建筑业占 ）
●什么决定性因素能使中国旅游业总收入超过3000亿美元? 什么决定性因素能使中国旅游业总收入超过3000亿美元 什么决定性因素能使中国旅游业总收入超过3000亿美元 ●旅游业的发展与这种决定性因素的数量关系究竟是什么？ 旅游业的发展与这种决定性因素的数量关系究竟是什么？ 旅游业的发展与这种决定性因素的数量关系究竟是什么 ●怎样具体测定旅游业发展与这种决定性因素的数量关系 怎样具体测定旅游业发展与这种决定性因素的数量关系? 怎样具体测定旅游业发展与这种决定性因素的数量关系
(单位 元) 单位:元 单位 6000
3515 3721 3865 4026 4165 4380 4580
5000 5500
2469 2889 3090 3156 3300 3321 3654 3842 4074 4165 2924 3338 3650 3802 4087 4298 4312 4413
都有Y的条件期望 ●回归线：对于每一个X的取值 X i ，都有 的条件期望 回归线：对于每一个 的取值 与之对应， 代表Y的条件期望的点的轨迹形成 E (Y X i ) 与之对应 ， 代表 的条件期望的点的轨迹形成 的直线或曲线称为回归线。 的直线或曲线称为回归线。 回归函数：被解释变量Y ●回归函数：被解释变量 的条件期望 E (Y X i ) 随 解释变量X的变化而有规律 解释变量 的变化而有规律 的变化，如果把 的条件期 的变化，如果把Y的条件期 望表现为 X 的某种函数 E(Y X i ) = f ( X i ) ， 这个函数称为回归函数。 这个函数称为回归函数。
6 6
3、相关程度的度量—相关系数
总体的全部数据都已知 都已知， 如果 X 和 Y 总体的全部数据都已知， X 和 Y 的方差和 协方差也已知， 协方差也已知，则 Cov( X , Y ) X和Y的总体线性相关系数： ρ = 和 的总体线性相关系数：
Var ( X )Var (Y )
-----Y的方差 其中： 其中： Var ( X ) -----X 的方差 Var (Y ) -----Y的方差 Cov ( X , Y ) -----X和Y的协方差 和 的协方差
特点： 特点：
●总体相关系数只反映总体两个变量 ●对于特定的总体来说， 对于特定的总体来说，
X 和 Y 的线性相关程度
是客观存在的特定数值。 数 是客观存在的特定数值。 的全部数值通常不可能直接观测， ●总体的两个变量 X 和 Y 的全部数值通常不可能直接观测，所 以总体相关系数一般是未知的。 以总体相关系数一般是未知的。
E (Y X i ) = α + βX i
14
1. 总体回归函数的概念
前提：假如已知所研究的经济现象的总体的被解释变量Y 前提：假如已知所研究的经济现象的总体的被解释变量 所研究的经济现象的总体的被解释变量 和解释变量X的每个观测值（通常这是不可能的！ 和解释变量 的每个观测值（通常这是不可能的！），那 的每个观测值 么，可以计算出总体被解释变量Y的条件期望 E (Y X i ) ， 可以计算出总体被解释变量 的条件期望 并将其表现为解释变量X的某种函数 并将其表现为解释变量X的某种函数
E (Y X i ) = f ( X i )
这个函数称为总体回归函数（ 这个函数称为总体回归函数（PRF） 总体回归函数 ） 本质: 本质: 总体回归函数实际上表现的是特定总体中被解释变 量随解释变量的变动而变动的某种规律性。 量随解释变量的变动而变动的某种规律性。 计量经济学的根本目的是要探寻变量间数量关系的规律, 计量经济学的根本目的是要探寻变量间数量关系的规律,也 就要努力去寻求总体回归函数。 就要努力去寻求总体回归函数。
第一节 回归分析与回归函数 一、相关分析与回归分析
（对统计学的回顾） 对统计学的回顾）
1、经济变量之间的相互关系
性质上可能有三种情况: 性质上可能有三种情况 ◆确定性的函数关系 确定性的函数关系 Y=f (X)
可用数学方法计算
◆不确定的统计关系 相关关系 不确定的统计关系—相关关系 不确定的统计关系 Y= f（X）+ε （ ） ◆没有关系 没有关系
1312 1340 1400 1548 1688 1738 1800 1902 1530 1619 1713 1750 1814 1985 2041 2186 2200 2312 1631 1726 1786 1835 1885 1943 2037 2078 2179 2298 2316 2387 2498 2689 1843 1974 2006 2265 2367 2485 2515 2689 2713 2898 2923 3053 3187 3286 2037 2210 2325 2419 2522 2665 2799 2887 2913 3038 3167 3310 3510 2277 2388 2526 2681 2887 3050 3189 3353 3534 3710 3834
9
4、回归分析
回归的古典意义 古典意义： 古典意义
高尔顿遗传学的回归概念 父母身高与子女身高的关系) ( 父母身高与子女身高的关系) 子女的身高有向人的平均身高"回归" 子女的身高有向人的平均身高"回归"的趋势
回归的现代意义 现代意义： 现代意义
一个被解释变量对若干个 解释变量依存关系的研究
回归的目的（实质）： 目的（实质） 目的
15
2.总体回归函数的表现形式 2.总体回归函数的表现形式
●条件期望表现形式 条件期望表现形式 例如Y的条件期望 E (Y X i ) 是解 例如 的条件期望 释变量X的线性函数，可表示为： 释变量 的线性函数，可表示为： 的线性函数
(ε为随机变量 为随机变量) 为随机变量 可用统计方法分析 不用分析
4
2、相关关系
◆ 相关关系的描述
最直观的描述方式——坐标图（散布图、散点图）） 坐标图（散布图、散点图）） 最直观的描述方式 坐标图
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
2
需要研究经济变量之间数量关系的方法
显然，对旅游起决定性影响作用的是“ 显然，对旅游起决定性影响作用的是“中国居民的收 入水平”以及“入境旅游人数”等因素。 入水平”以及“入境旅游人数”等因素。 旅游业总收入” 居民平均收入” X1） “旅游业总收入”（Y）与“居民平均收入”（X1）或 入境旅游人数” X2）有怎样的数量关系呢？ 者“入境旅游人数”（X2）有怎样的数量关系呢？ 能否用某种线性或非线性关系式 Y= f ( X ) 去表现这 种数量关系呢? 具体该怎样去表现和计量呢 怎样去表现和计量呢? 种数量关系呢? 具体该怎样去表现和计量呢? 为了不使问题复杂化, 我们先在某些标准的(古典的) 为了不使问题复杂化, 我们先在某些标准的(古典的) 假定条件下，用最简单的模型，对最简单的变量间数 假定条件下，用最简单的模型， 量关系加以讨论
7
ρ
的数值是既定的， X 和 Y 的数值是既定的，总体相关系
X和Y的样本线性相关系数： 和 的样本线性相关系数：
的样本观测值， __和 的 如果只知道 X 和 Y 的样本观测值，则X和Y的样本线性 __ ∑ ( X i − X )(Yi − Y ) 相关系数为： 相关系数为： r = XY __ __ ( X i − X ) 2 ∑ (Yi − Y ) 2 ∑
计量经济学
第 二 章 简单线性回归模型
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引子:中国旅游业总收入将超过3000亿美元吗？ 3000亿美元吗 引子:中国旅游业总收入将超过3000亿美元吗？
未来我国旅游需求将快速增长， 未来我国旅游需求将快速增长，根据中国政府所制定的 远景目标， 2020年 中国入境旅游人数将达到2.1 2.1亿人 远景目标，到2020年，中国入境旅游人数将达到2.1亿人 国际旅游外汇收入580亿美元，国内旅游收入2500 580亿美元 2500亿 次；国际旅游外汇收入580亿美元，国内旅游收入2500亿 美元。 2020年 中国旅游业总收入将超过3000亿美元， 3000亿美元 美元。到2020年，中国旅游业总收入将超过3000亿美元， 相当于国内生产总值的8% 11%。 8%至 相当于国内生产总值的8%至11%。
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对相关系数的正确理解和使用
● 都是相互对称的随机变量， X和Y 都是相互对称的随机变量， rXY
= rYX
线性相关系数只反映变量间的线性相关程度， ● 线性相关系数只反映变量间的线性相关程度 ， 不 能说明非线性相关关系 样本相关系数是总体相关系数的样本估计值， ● 样本相关系数是总体相关系数的样本估计值 ， 由 于抽样波动，样本相关系数是随抽样而变动的随机变量， 于抽样波动，样本相关系数是随抽样而变动的随机变量， 其统计显著性还有待检验
Y ●被解释变量 Y 的条件期望： 条件期望：
对于 X 的每一个取值， 的每一个取值， 对 Y 所形成的分布确 定其期望或均值， 定其期望或均值，称
E (Y X i )
为 Y 的条件期望或条件均
Xi
X
表示。注意: 的条件期望是随X 值，用 E (Y X i ) 表示。注意:Y的条件期望是随X的变动而变动的
函数关系
11.2 11 10.8 10.6 10.4 10.2 10 0 2 4 6 8 10
相关关系(线性 相关关系 线性) 线性
35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15
相关关系(非线性 相关关系 非线性) 非线性
没有关系
5
相关关系的类型 类型
●
从涉及的变量数量看
简单相关 多重相关（复相关） 多重相关（复相关）
年中国旅行社发展研究咨询报告》 （来源：《2008年中国旅行社发展研究咨询报告》） 来源： 年中国旅行社发展研究咨询报告 （参考现状：第一产业占GDP的15%，建筑业占GDP 的7%） 参考现状：第一产业占 的 ，建筑业占 ）
●什么决定性因素能使中国旅游业总收入超过3000亿美元? 什么决定性因素能使中国旅游业总收入超过3000亿美元 什么决定性因素能使中国旅游业总收入超过3000亿美元 ●旅游业的发展与这种决定性因素的数量关系究竟是什么？ 旅游业的发展与这种决定性因素的数量关系究竟是什么？ 旅游业的发展与这种决定性因素的数量关系究竟是什么 ●怎样具体测定旅游业发展与这种决定性因素的数量关系 怎样具体测定旅游业发展与这种决定性因素的数量关系? 怎样具体测定旅游业发展与这种决定性因素的数量关系
(单位 元) 单位:元 单位 6000
3515 3721 3865 4026 4165 4380 4580
5000 5500
2469 2889 3090 3156 3300 3321 3654 3842 4074 4165 2924 3338 3650 3802 4087 4298 4312 4413