线性代数知识点总结(供参考)
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线性代数知识点总结
第一章 行列式
第一节：二阶与三阶行列式
把表达式11221221a a a a -称为1112
2122
a a a a 所确定的二阶行列式，并记作11122112a a a a ，
即1112
112212212122
.a a D a a a a a a =
=-结果为一个数。（课本P1）
同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数
表11
121321
222331
32
33
a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作1112132122
23313233
a a a a a a a a a 。 即11
1213
21
222331
32
33
a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---
二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3） 注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。 利用行列式计算二元方程组和三元方程组：
对二元方程组1111221
2112222
a x a x
b a x a x b +=⎧⎨
+=⎩
设1112
2122
a a D a a =
≠11212
22
b a D b a =
11
1
2212
.a b D a b =
则1
12
2
221
111122122
b a b a D x a a D
a a =
=，
11
1
2122
211122122
.a b a b D x a a D
a a =
=（课本P2） 对三元方程组111122133121122223323113223333
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩，
设11
1213
21
222331
32
33
0a a a D a a a a a a =≠，
1
121312
22233
32
33b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a D a b a a b a =，11121321
22231
32
3
a a
b D a a b a a b =， 则11D x D =
，22D
x D =，33D x D
=。（课本上没有） 注意：以上规律还能推广到n 元线性方程组的求解上。
第二节：全排列及其逆序数
全排列：把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列）。
n 个不同的元素的所有排列的总数，通常用P n (或A n )表示。（课本P5）
逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。 排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）
计算排列逆序数的方法： 方法一：分别计算出排在1,2,
,1,n n - 前面比它大的数码之和即分别算出1,2,,1,n n
-这n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。 方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）
第三节：n 阶行列式的定义
定义：n 阶行列式11
1212122212
=
n n n n nn
a a a a a a D a a a 等于所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积
12
12n p p np a a a 的代数和，其中p 1 p 2 … p n 是1， 2， … ，n 的一个排列，每一项的符号由其
逆序数决定。()
()
111211222211221122010
n t n n nn nn nn
a a a a a D a a a a a a a =
=-=也可简记为
()det ij a ，其中ij a 为行列式D 的（i ，j 元）
。（课本P6） 根据定义，有()
(
)
12
1212
11
121212221212
1=
=
-∑n n n
n t p p p n p p np p p p n n nn
a a a a a a D a a a a a a
说明：
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;
2、n 阶行列式是!n 项的代数和;