对数平均与高考压轴题_
对数平均数
高考又见对数平均数在历年的高考压轴题中我们总是能见到对数平均数的影子。
2018年高考理科数学全国Ⅰ卷的压轴题最后一问，实际上就是对数平均数不等式的应用。
加强对对数平均数的理解，无疑能对我们解决压轴题有很大的帮助。
对于a>b>0，我们把ba ba ln ln --称作a 与b 的对数平均数，并且有：算术平均数>对数平均数>几何平均数，即：2b a +>ba ba ln ln -->ab 证明方法Ⅰ（几何证明）：如图，分别过A(a,0)、B(b,0)、C(2b a +,0)、D(ab ,0)作x 轴的垂线，与函数y=x1交于F 、G 、E 、H 四点，过E 作函数的切线，分别与BG 、AF 交于M 、N 两点。
比较曲边四边形GBAF 的面积S 1与梯形MBAN 的面积S 2，得S 1>S 2，其中：S 1=⎰ab dx x1=ln a-ln b ，S 2=2AN BM +•AB=CE •AB=ba +2•(a-b) ∴ ln a-ln b>ba +2•(a-b)即：2b a +>ba b a ln ln --……①比较梯形GBDH 的面积S 3与曲边四边形GBDH 的面积S 4，得S 3>S 4，其中：S 3=21(GB+HD)•BD=21(b 1+ab 1)(ab -b)=abb a 2- S 4=⎰abb dx x 1=ln ab -ln b=2ln ln b a +-ln b=2ln ln ba - ∴abb a 2->2ln ln b a -即：ba ba ln ln -->ab ……②综合①②，得：2b a +>ba ba ln ln -->ab (a>b>0)证明方法Ⅱ（函数证明）： 令f(x)=2ln x +12+x -1 (x>1)，则有： f`(x)=x 21-2)1(1+x =22)1(24)1(+-+x x x x =22)1(2)1(+-x x x >0 ∴ f(x)>f(1)=0，即：2ln x +12+x -1>0， 令x=b a ，代入整理得： 2ln ln b a ->b a b a +-即：2b a +>ba b a ln ln --……①令g(x)=x-2•ln x-x1(x>1)，则有：g`(x)=1-x 2+21x=22)1(x x ->0∴ g(x)>g(1)=0，即x-2•ln x-x1>0， 令x=b a ，代入整理得：abba ->ln a-ln b即：ba ba ln ln -->ab ……②综合①②，得：2b a +>ba ba ln ln -->ab (a>b>0)经过上述证明，我们对对数平均数有了一定的了解，接下来看一看2018年高考数学理科全国Ⅰ卷第21题：已知函数f(x)=x1-x+a •ln x (1) 讨论f(x)的单调性；(2) 若f(x)存在两个极值点x 1、x 2，求证：2121)()(x x x f x f --<a-2第一问略。
高三一轮复习精题组对数与对数函数(有详细答案)
§2.6 对数与对数函数1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5. ( √)(2)2log510＋log50.25＝5. ( ×)(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2. ( √)(4)log2x2＝2log2x. ( ×)(5)当x>1时，log a x>0. ( ×)(6)当x>1时，若log a x>log b x，则a<b. ( ×) 2．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案 D解析a＝log36＝1＋log32＝1＋1log23，b＝log510＝1＋log52＝1＋1log25，c＝log714＝1＋log72＝1＋1log27，显然a>b>c.3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x·2lg yC ．2lg x ·lg y＝2lg x＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案 D 解析 2lg x·2lg y＝2lg x ＋lg y＝2lg(xy )．故选D.4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．答案 (－12，＋∞)解析 函数f (x )的定义域为(－12，＋∞)，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－12，＋∞)．5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )>0的解集为________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. ∴f (log 18x )>0⇒log 18x <－13或log 18x >13⇒x >2或0<x <12，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)若x ＝log 43，则(2x－2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f (log 312)的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))；f (log 312)可利用对数恒等式进行计算．答案 (1)D (2)A解析 (1)由x ＝log 43，得4x＝3，即2x＝3，2－x ＝33，所以(2x －2－x )2＝(233)2＝43.(2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f (log 312)＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f (f (1))＋f (log 312)＝2＋3＝5.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为________．答案124解析 因为2＋log 23<4， 所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)， 而3＋log 23>4，所以f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23＝18×13＝124. 题型二 对数函数的图象和性质例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 213)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．b <c <aD ．a <b <c思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象；(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的． 答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C. (2)log 213＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 213)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47<log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125>532＝2>log 49， 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， 且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (0.2－0.6)<f (log 213)<f (log 47)，即c <b <a .思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a(2)已知函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________. 答案 (1)A (2)2 2解析 (1)b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ，故c <b <a .(2)f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1b ＝a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2.题型三 对数函数的应用例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪 f (x )恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a 来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32a ＝32，故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f (x )＝log 4(4x－1)．(1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间[12，2]上的值域．解 (1)由4x－1>0，解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间[12，2]上递增，又f (12)＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在[12，2]上的值域为[0，log 415]．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <a <cD ．a <c <bA ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b(3)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b思维启迪 (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 30.3＝log 3103的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.(3)因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数． 因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减； 因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减． 因为1<20.2<2,0<log π3<1，log 39＝2， 所以0<log π3<20.2<log 39， 所以b >a >c ，选A. 答案 (1)C (2)C (3)A温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．2．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． 失误与防范1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数)．2．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值A 组 专项基础训练一、选择题 1．函数y ＝2－xlg x的定义域是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <1或1<x <2}C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |0<x <1或1<x ≤2}答案 D解析 要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0x >0lg x ≠0，解得0<x <1或1<x ≤2，∴定义域为{x |0<x <1或1<x ≤2}． 2．函数y ＝lg|x －1|的图象是( )答案 A解析 ∵y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1lg (1－x )，x <1.∴A 项符合题意．3．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 21-，则 ( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1.∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e21-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .4．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C⇒a >1或－1<a <0.5．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13D ．(3，＋∞)答案 D解析 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数， ∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数， 因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D. 二、填空题 6．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________________．答案 {x |－1<x ≤0或x >2}解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2.综上所述，x 的取值范围为－1<x ≤0或x >2.8．若log 2a 1＋a 21＋a<0，则a 的取值范围是____________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a<1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1. 当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a>1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1. 所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.B 组 专项能力提升1．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是 () A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x <1，∴－1<x <0.2．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有()A ．f (13)<f (2)<f (12) B ．f (12)<f (2)<f (13) C ．f (12)<f (13)<f (2) D ．f (2)<f (12)<f (13) 答案 C解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)． 3．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________.答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16.4．设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b .(1)求方程f (x )＝1的解；(2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1. (3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f (a ＋b 2)所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.(1)解 由f (x )＝1得，lg x ＝±1，所以x ＝10或110. (2)证明 结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b ＋b 2>21b ·b 2＝1(因1b≠b )． (3)证明 由已知可得b ＝(a ＋b 2)2，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b 2＋b 2＋2－4b ＝0， g (b )＝1b 2＋b 2＋2－4b ， 因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.5．已知函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 21t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 21t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减， 故函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，a 2]上单调递增． 又因为函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧ a ≥22，2－2a ＋a ≥0，即22≤a ≤2(2＋1)．。
2025高中数学八大核心知识函数指数型函数取对数问题--2024高考数学压轴大题秒杀(解析版)
指数型函数取对数问题考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点, 在导数解答题中有些指数型函数，直接求导运算非常复杂或不可解，这时常通过取对数把指数型函数转化对数型函数求解，特别是涉及到形如a f x 的函数取对数可以起到化繁为简的作用，此外有时取对数还可以改变式子结构，便于发现解题思路，故取对数的方法在解高考导数题中有时能大显身手.解题秘籍(一)等式两边同时取对数把乘法运算转化为对数运算，再构造函数通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算，这种运算法则的改变或能简化运算，或能改变运算式子的结构，从而有利于我们寻找解题思路，因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对数运算比指数运算来得方便，对一个等式两边取对数是解决含有指数式问题的常用的有效方法.1(2024届辽宁省大连市高三上学期期初考试)已知函数f x =ln x+1 ax.(1)讨论f x 的单调性；(2)若ex1x2=ex2x1(e是自然对数的底数)，且x1>0，x2>0，x1≠x2，证明：x21+x22>2.2025高中数学八大核心知识函数指数型函数取对数问题--2024高考数学压轴大题秒杀（解析版）(二)等式或不等式两边同时取对数把乘积运算运算转化为加法运算，形如f a g b =h c f a >0,g b >0,f c >0 或f a g b >h c 的等式或不等式通过两边取对数，可以把乘积运算，转化为加法运算，使运算降级.2(2024届辽宁省名校联盟高三上学期联考)已知a >0，b ∈R ，函数f x =ax ln x 和g x =b ln x +1 的图像共有三个不同的交点，且f x 有极大值1．(1)求a 的值以及b 的取值范围；(2)若曲线y =f x 与y =g x 的交点的横坐标分别记为x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3．证明：x 23x 1x 2<e 2b -2．(三)把比较a,b a>0,b>0转化为比较ln a,ln b的大小比较两个指数式的大小，有时可以通过取对数，利用对数函数的单调性比较大小，如比较n n+1,n+1nn∈N∗,n>2的大小，可通过取对数转化为比较n+1ln n,n ln n+1的大小，再转化为比较ln n n,ln n+1n+1的大小，然后可以构造函数f x =ln xx，利用f x 的单调性比较大小.3一天，小锤同学为了比较ln1.1与110的大小，他首先画出了y=ln x的函数图像，然后取了离1.1很近的数字1，计算出了y=ln x在x=1处的切线方程，利用函数y=ln x与切线的图像关系进行比较. (1)请利用小锤的思路比較ln1.1与110大小(2)现提供以下两种类型的曲线y=ax2+b,y=kx+t，试利用小锤同学的思路选择合适的曲线，比较πe, e3的大小.三、典例展示1(2021全国甲卷高考试题)已知a>0且a≠1，函数f(x)=x aa x(x>0)．(1)当a=2时，求f x 的单调区间；(2)若曲线y=f x 与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围．2(2023届新疆高三第三次适应性检测)已知函数f(x)=ax2+(a+1)x ln x-1，g(x)=f(x) x．(1)讨论g x 的单调性；(2)若方程f(x)=x2e x+x ln x-1有两个不相等的实根x1,x2，求实数a的取值范围，并证明e x1+x2>e2x1x2．(1)求f x 的极值；(2)若f x 有两个零点a，b，且a<b，求证：e b+1b<2e m．4设函数f x =-ln x.(1)设λ1、λ2≥0且λ1+λ2=1，求证：对任意的x1、x2>0，总有xλ11xλ22≤λ1x1+λ2x2成立；(2)设x i>0，λi>0i=1,2,⋅⋅⋅,n，且ni=1λi=1，求证：xλ11xλ22⋅⋅⋅xλn n≤λ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λn x n.(1)讨论g(x)的单调性；(2)若f x +2x≥g x +x a，对任意x∈(1,+∞)恒成立，求a的最大值；6已知函数f(x)=x ln x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且a b=b a，证明：2e <1a+1b<1．跟踪检测1已知函数f (x )=x ln x +a ,(a ∈R )．(1)求函数f x 的单调区间；(2)当0<a <1e时，证明：函数f x 有两个零点；(3)若函数g (x )=f (x )-ax 2-x 有两个不同的极值点x 1,x 2(其中x 1<x 2)，证明：x 1⋅x 22>e 3．2形如y =f (x )g (x )的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得ln y =ln f (x )g (x )=g (x )ln f (x )，两边对x 求导数，得y y =g (x )ln f (x )+g (x )f x f x，于是y =f (x )g (x )g (x )ln f (x )+g (x )f x f x.已知f (x )=2e x ln x ，g (x )=x 2+1.(1)求曲线y =f (x )在x =1处的切线方程；(2)若h (x )=f (x )，求h (x )的单调区间；(3)求证：∀x ∈(0,+∞),f (x )≥g (x )恒成立.3已知函数f(x)=e x2ln x(x>0)．(1)求f(x)的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数x1,x20<x1<x2满足f x1=f x2=e k．(i)求k的取值范围(ⅱ)证明x e2-2e2≤e-e21x1．4已知f(x)=ln x-x，g(x)=mx+m.(1)记F(x)=f(x)+g(x)，讨论F(x)的单调区间；(2)记G(x)=f(x)+m，若G(x)有两个零点a，b，且a<b.请在①②中选择一个完成.①求证：2e m-1>1b+b；②求证：2e m-1<1a+a5已知a∈R，f(x)=x⋅e-ax，(其中e为自然对数的底数).(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)若a>0，函数y=f(x)-a有两个零点x，x2，求证：x21+x22>2e.6已知函数f x =axe-x a≠0存在极大值1 e.(1)求实数a的值；(2)若函数F x =f x -m有两个零点x1，x2x1≠x2，求实数m的取值范围，并证明：x1+x2>2.7已知函数f(x)=x(e2x-a),g(x)=bx+ln x.(1)若y=2x是曲线y=f(x)的切线，求a的值；(2)若g(x)有两不同的零点，求b的取值范围；(3)若b=1，且f(x)-g(x)≥1恒成立，求a的取值范围.8已知函数f(x)=ax ln x，a∈R．(1)当a=1时，①求f(x)的极值；②若对任意的x≥e都有f(x)≥mxe m x，m>0，求m的最大值；(2)若函数g(x)=f(x)+x2有且只有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2>e2．9已知函数f(x)=x ln x-ax2-x，g(x)=f(x)x，a∈R．(1)讨论g(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2x1<x2，证明：x41x2>e3．(e=2.71828⋯为自然对数的底数)10已知函数f x =e x-a ln xx-a(e为自然对数的底数)有两个零点．(1)若a=1，求f x 在x=1处的切线方程；(2)若f x 的两个零点分别为x1,x2，证明：e2-x1-x2-x1x2<0．11已知函数h x =x-a ln x a∈R.(1)若h x 有两个零点，a的取值范围；(2)若方程xe x-a ln x+x=0有两个实根x1、x2，且x1≠x2，证明：e x1+x2>e2 x1x2.12已知函数f x =e x-2t-ln x+2(1)若x=1是f x 的极值点，求t的值，并讨论f x 的单调性；(2)当t≤1时，证明：f x >2.指数型函数取对数问题考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点, 在导数解答题中有些指数型函数，直接求导运算非常复杂或不可解，这时常通过取对数把指数型函数转化对数型函数求解，特别是涉及到形如a f x 的函数取对数可以起到化繁为简的作用，此外有时取对数还可以改变式子结构，便于发现解题思路，故取对数的方法在解高考导数题中有时能大显身手.解题秘籍(一)等式两边同时取对数把乘法运算转化为对数运算，再构造函数通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算，这种运算法则的改变或能简化运算，或能改变运算式子的结构，从而有利于我们寻找解题思路，因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对数运算比指数运算来得方便，对一个等式两边取对数是解决含有指数式问题的常用的有效方法.1(2024届辽宁省大连市高三上学期期初考试)已知函数f x =ln x+1 ax.(1)讨论f x 的单调性；(2)若ex1x2=ex2x1(e是自然对数的底数)，且x1>0，x2>0，x1≠x2，证明：x21+x22>2.【解析】(1)函数f(x)=ln x+1ax的定义域为(0,+∞)，求导得则f(x)=-ln xax2，由f (x)=0得x=1，若a<0，当0<x<1时，f (x)<0，则f(x)单调递减，当x>1时，f (x)>0，则f(x)单调递增，若a>0，当0<x<1时，f (x)>0，则f(x)单调递增，当x>1时，f (x)<0，则f(x)单调递减；所以当a<0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减.(2)由ex1x2=ex2x1，两边取对数得x2ln x1+1=x1ln x2+1，即ln x1+1x1=ln x2+1x2，由(1)知，当a=1时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，f(x)max=f(1)=1，而f1e=0，x>1时，f(x)>0恒成立，因此当a=1时，存在x1,x2且0<x1<1<x2，满足f x1=f x2，若x2∈[2,+∞)，则x21+x22>x22≥4>2成立；若x2∈(1,2)，则2-x2∈(0,1)，记g(x)=f(x)-f(2-x)，x∈(1,2)，则g (x)=f (x)+f (2-x)=-ln xx2-ln(2-x)(2-x)2>-ln xx2-ln(2-x)x2=-ln[-(x-1)2+1]x2>0，即有函数g(x)在(1,2)上单调递增，g(x)>g(1)=0，即f(x)>f(2-x)，于是f x1=f x2>f2-x2，而x2∈(1,2)，2-x2∈(0,1)，x1∈(0,1)，函数f(x)在(0,1)上单调递增，因此x1>2-x2，即x1+x2>2，又x 21+1>2x 21=2x 1,x 22+1>2x 22=2x 2，则有x 21+1+x 22+1>2x 1+x 2 >4，则x 21+x 22>2，所以x 21+x 22>2.(二)等式或不等式两边同时取对数把乘积运算运算转化为加法运算，形如f a g b =h c f a >0,g b >0,f c >0 或f a g b >h c 的等式或不等式通过两边取对数，可以把乘积运算，转化为加法运算，使运算降级.2(2024届辽宁省名校联盟高三上学期联考)已知a >0，b ∈R ，函数f x =ax ln x 和g x =b ln x +1 的图像共有三个不同的交点，且f x 有极大值1．(1)求a 的值以及b 的取值范围；(2)若曲线y =f x 与y =g x 的交点的横坐标分别记为x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3．证明：x 23x 1x 2<e 2b -2．【解析】(1)因为a >0，x ∈0,+∞ ，所以当x ≥1时，f x =ax ln x ，f x =a ln x +a >0，所以f x 在1,+∞ 上单调递增，无极大值；当x ∈0,1 时，f x =-ax ln x ，f x =-a ln x +1 ，所以当x ∈0,1e时，f x >0，f x 单调递增，当x ∈1e ,1时，f 'x <0，f x 单调递减，所以x =1e为极大值点，所以f 1e=-a ⋅1e ⋅ln 1e=1，解得a =e ．因为f x ，g x 图像共有三个不同的交点，所以方程ex ln x =b ln x +1 有三个不等正实根．设t =ln x +1，则x =e t -1，且当x >0时，t 与x 一一对应，所以问题转化为关于t 的方程e t t -1 =b t 有三个不等实根．又0不满足方程e t t -1 =b t ，所以方程b =t -1te t有三个实根．设h t =t -1te t ，则函数h t =t -1t e t与函数y =b 的图像有三个交点，当t ≥1或t <0时，h t =t -1te t，∴h t =t 2-t +1t2e t>0，所以h t 在-∞,0 ，1,+∞ 上单调递增；当0<t <1时，h t =-t -1 ett，ht =-t 2-t +1t 2e t<0，所以h t 在0,1 上单调递减．当t ≠0，t ≠1时，h t >0，而h 1 =0；当t →-∞时，h t =1-1te t→0，无论t >0还是t <0，当t →0时，都有h t =1-1te t→+∞，当t →+∞时，h t =1-1te t→+∞．根据以上信息，画出函数h t 的大致图像如下图所示，所以当b >0时，函数h t =t -1te t与函数y =b 的图像有三个交点，故b 的取值范围为0,+∞ ．(2)证明：要证x 23x 1x 2<e 2b -2，只需证2ln x 3-ln x 2+ln x 1<2b -2，只需证2ln x 3+1 -ln x 2+1 +ln x 1+1 <2b ．设(1)中方程的b =t -1te t三个根分别为t 1，t 2，t 3，且t 1<t 2<t 3，t i =ln x i +1，i =1，2，3，从而只需证明2t 3-t 2+t 1<2b ．又由(1)的讨论知t 1<0，0<t 2<1，t 3>1．下面先证明e x ≥x +1，设φx =e x -x -1，则φ x =e x -1．当x >0时，φ x >0，φx 在0,+∞ 上单调递增，当x <0时，φ x <0，φx 在-∞,0 上单调递增，所以φx ≥φ0 =0，所以当x ≠0时，e x >x +1，从而当t ≠0，t ≠1时，h t =t -1te t >t -1tt +1 ．又由(1)知h t 在-∞,0 ，1,+∞ 上单调递增，h t 在0,1 上单调递减．所以当t>1时，h t >t2-1t=t-1t，令b=t-1t，解得t=b+b2+42，由h t3=b<hb+b2+42得t3<b+b2+42；当0<t<1时，h t >1t-t，令b=1t-t，解得t=-b+b2+42，由h t2=b<h-b+b2+42得t2>-b+b2+42；当t<0时，h t >t-1t，令b=t-1t，解得t=b-b2+42，由h t1=b<hb-b2+42得t1<b-b2+42．综上，2t3-t2+t1<b+b2+4--b+b2+42+b-b2+42=2b，得证．(三)把比较a,b a>0,b>0转化为比较ln a,ln b的大小比较两个指数式的大小，有时可以通过取对数，利用对数函数的单调性比较大小，如比较n n+1,n+1nn∈N∗,n>2的大小，可通过取对数转化为比较n+1ln n,n ln n+1的大小，再转化为比较ln n n,ln n+1n+1的大小，然后可以构造函数f x =ln xx，利用f x 的单调性比较大小.3一天，小锤同学为了比较ln1.1与110的大小，他首先画出了y=ln x的函数图像，然后取了离1.1很近的数字1，计算出了y=ln x在x=1处的切线方程，利用函数y=ln x与切线的图像关系进行比较. (1)请利用小锤的思路比較ln1.1与110大小(2)现提供以下两种类型的曲线y=ax2+b,y=kx+t，试利用小锤同学的思路选择合适的曲线，比较πe, e3的大小.【解析】(1)构造函数f(x)=ln x-x+1，由f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，得f(x)≤f(1)=0，即ln x≤x-1，取x=1，得ln1.1<0.1(2)通过取对数，把比较πe,e3的大小转化为比较e lnπ与3的大小，即比较lnπ与3e大小选y=ax2+b，令y=ln x与y=ax2+b公切于e则有ln e=ae2+b1e=-2ae3⇒a=-e22,b=32，∴y=-e22x2+3 2记g (x )=ln x +e 22x 2-32,g (x )=1x -e 2x 3=x 2-e 2x 3，∴g (x )在(0,e )上单调递减，在(e ,+∞)上单调递增,∴g (x )≥g (e )=0,∴ln x ≥-e 22x 2+32∴lnπ>-e 22π2+32，下证：32-e 22π2>3e 只需证3e +e 22π2<32∵3e +e 22π2<32.7+(2.72)22×(3.1)2=109+(2.72)22×(3.1)2只需证 2.723.1 2<79∵2.723.1<0.88,(0.88)2=0.7744而79=0.777>0.7744,∴lnπ>3e，即πe >e 3选y =kx +t ，通过取对数，把比较πe ,e 3的大小转化为比较e lnπ与3的大小，即比较lnπ与3e大小，即较ln1π与-3e大小令y =ln x 与y =kx +t 切于1e，则有ln 1e =k 1e +t e =k⇒k =e ,t =-2,∴y =ex -2令g (x )=ln x -ex +2,g (x )=1x -e =1-ex x∴g (x )在0,1e上单调递增，在1e ,+∞ 上单调递减,∴g (x )≤g 1e =0,∴ln x ≤ex -2，当x =1e取等∴ln 1π≤e π-2下证e π-2<-3e ，只需证e π+3e<2∵e π+3e <2.723.1+32.7<0.88+109，∵2-109=89=0.8 >0.88,∴ln 1π<-3e ,∴lnπ>3e,∴πe >e 3.三、典例展示1(2021全国甲卷高考试题)已知a >0且a ≠1，函数f (x )=x aa x (x >0)．(1)当a =2时，求f x 的单调区间；(2)若曲线y =f x 与直线y =1有且仅有两个交点，求a 的取值范围．【解析】(1)当a =2时，f x =x 22x ,f x =2x ⋅2x -x 2⋅2x ln22x 2=x ⋅2x 2-x ln2 4x ,令f 'x =0得x =2ln2,当0<x <2ln2时，f x >0,当x >2ln2时，f x <0,∴函数f x 在0,2ln2上单调递增；2ln2,+∞ 上单调递减；(2)f x =x a a x=1⇔a x =x a⇔x ln a =a ln x ⇔ln x x =ln a a ,设函数g x=ln x x ,则g x =1-ln xx2,令g x =0，得x =e ,在0,e 内g x >0,g x 单调递增；在e ,+∞ 上g x <0,g x 单调递减；∴g x max =g e =1e,又g 1 =0，当x 趋近于+∞时，g x 趋近于0，所以曲线y =f x 与直线y =1有且仅有两个交点，即曲线y =g x 与直线y =aln a有两个交点的充分必要条件是0<ln a a <1e,这即是0<g a <g e ,所以a 的取值范围是1,e ∪e ,+∞ ．2(2023届新疆高三第三次适应性检测)已知函数f (x )=ax 2+(a +1)x ln x -1，g (x )=f (x )x．(1)讨论g x 的单调性；(2)若方程f (x )=x 2e x +x ln x -1有两个不相等的实根x 1,x 2，求实数a 的取值范围，并证明e x 1+x 2>e 2x 1x 2．【解析】(1)因为g (x )=ax +(a +1)ln x -1x，所以g x =a +a +1x +1x 2=(x +1)(ax +1)x 2(x >0)，当a ≥0时，g x >0，所以g (x )在区间(0,+∞)上单调递增，当a <0时，令g x >0，得0<x <-1a ；令g x <0，得x >-1a，所以g (x )在区间0,-1a上单调递增，在区间-1a ,+∞ 上单调递减，综上当a ≥0时，g (x )在区间(0,+∞)上单调递增，当a <0时，g (x )在区间0,-1a上单调递增，在区间-1a ,+∞ 上单调递减.(2)方程f (x )=x 2e x +x ln x -1，即ax +a ln x =xe x ，等价于a ln xe x =xe x ，令t =xe x >0，其中x >0，则a ln t =t ，显然t ≠1，令h t =tln t，则ht =ln t-1ln2t，所以h t 在区间0,1上单调递减，且由x→0时h t <0可得在区间0,1上h(t)<0，h t 在区间(1,e)上单调递减，在区间(e,+∞)上单调递增，所以h(t)极小值=h(e)=e，因为方程f(x)=x2e x+x ln x-1有两个实根x1,x2，所以关于t的方程a=tln t有两个实根t1，t2，且t1=x1e x1，t2=x2e x2，所以a∈(e,+∞)，要证e x1+x2>e2x1x2，即证x1e x1⋅x2e x2>e2，即证t1t2>e2，只需证ln t1+ln t2>2，因为t1=a ln t1t2=a ln t2，所以t1-t2=a ln t1-ln t2t1+t2=a ln t1+ln t2，整理可得t1+t2t1-t2=ln t1+ln t2ln t1-ln t2，不妨设t1>t2>0，则只需证ln t1+ln t2=t1+t2t1-t2lnt1t2>2，即ln t1t2>2t1-t2t1+t2=2t1t2-1t1t2+1，令s=t1t2>1，p(s)=ln s-2(s-1)s+1，其中s>1，因为p s =1s-4(s+1)2=(s-1)2s(s+1)2>0，所以p s 在区间(1,+∞)上单调递增，所以h(s)>h(1)=0，故e x1+x2>e2x1x2．3已知函数，f x =ln x-x+m，m∈R．(1)求f x 的极值；(2)若f x 有两个零点a，b，且a<b，求证：e b+1b<2e m．【解析】(1)函数f x 的定义域为0,+∞，f x =1x-1．当0<x<1时，f x >0，则f x 在0,1上单调递增；当x>1时，f x <0，则f x 在1,+∞上单调递减，所以函数f x 的极大值为f1 =m-1，无极小值．(2)令f x =0，则m=x-ln x．设h x =x-ln x x>0，则h'x =1-1x=x-1x，易知函数h x 在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增．又h1 =1，所以h x ≥1，又f x 有两个零点，所以m >1．因为a <b ，所以0<a <1<b ．要证e b +1b <2e m ，即证2e m -1>b +1b，即证ln2+m -1>lnb 2+1b=ln b 2+1 -ln b ．又f b =0，则m =b -ln b ，故即证ln2+b -ln b -1>ln b 2+1 -ln b ，即证ln2-1>ln b 2+1 -b ．设t b =ln b 2+1 -b ，b >1，则t 'b =2b b 2+1-1=-b -1 2b 2+1<0，所以t b 在1,+∞ 上单调递减，所以t b <t 1 =ln2-1，故e b +1b<2e m 得证．4设函数f x =-ln x .(1)设λ1、λ2≥0且λ1+λ2=1，求证：对任意的x 1、x 2>0，总有x λ11x λ22≤λ1x 1+λ2x 2成立；(2)设x i >0，λi >0i =1,2,⋅⋅⋅,n ，且ni =1λi =1 ，求证：x λ11x λ22⋅⋅⋅x λn n ≤λ1x 1+λ2x 2+⋅⋅⋅+λn x n .【解析】(1)证明：x λ11x λ22≤λ1x 1+λ2x 2⇔ln x λ11x λ22 ≤ln λ1x 1+λ2x 2 ⇔λ1ln x 1+λ2ln x 2≤ln λ1x 1+λ2x 2 ⇔f λ1x 1+λ2x 2 ≤λ1f x 1 +λ2f x 2 .不妨设0<x 1≤x 2，令g x =λ1f x +λ2f x 2 -f λ1x +λ2x 2 =ln λ1x +λ2x 2 -λ1ln x -λ2ln x 2，其中0<x ≤x 2，则g x =λ1λ1x +λ2x 2-λ1x =λ1x -λ1λ1x +λ2x 2 λ1x +λ2x 2 x =λ1x -λ1x -λ2x 2 λ1x +λ2x 2 x =λ1λ2x -x 2 λ1x +λ2x 2 x≤0，所以，函数g x 在区间0,x 2 上单调递减，因为x 1∈0,x 2 ，则g x 1 ≥g x 2 =ln x 2-ln x 2=0，所以，g x 1 =ln λ1x 1+λ2x 2 -λ1ln x 1-λ2ln x 2≥0，即λ1ln x 1+λ2ln x 2≤ln λ1x 1+λ2x 2 ，所以，当λ1、λ2≥0且λ1+λ2=1，对任意的x 1、x 2>0，总有x λ11x λ22≤λ1x 1+λ2x 2成立.(2)证明：x i >0，λi >0i =1,2,⋅⋅⋅,n ，且ni =1λi =1 ，要证x λ11x λ22⋅⋅⋅x λnn ≤λ1x 1+λ2x 2+⋅⋅⋅+λn x n .即证λ1ln x 1+λ2ln x 2+⋯+λn ln x n ≤ln λx 1+λ2x 2+⋯+λn x n ，即f λ1x 1+λ2x 2+⋅⋅⋅+λn x n ≤λ1f x 1 +λ2f x 2 +⋅⋅⋅+λn f x n ，当n=2时，由(1)可知，不等式成立，假设当n=k k≥2,k∈N∗时不等式成立，即fλ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λk x k≤λ1f x1+λ2f x2+⋅⋅⋅+λk f x k，则当n=k+1时，设x k=λkλk+λk+1x k+λk+1λk+λk+1x k+1，由(1)可得f x k≤λkλk+λk+1f x k+λk+1λk+λk+1f x k+1，则fλ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λk x k+λk+1x k+1=fλ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λk-1x k-1+λk+λk+1x k≤λ1f x1+⋅⋅⋅+λk-1f x k-1+λk+λk+1f x k≤λ1f x1+⋅⋅⋅+λk f x k+λk+1f x k+1，这说明当n=k+1时，结论也成立，故对任意的n∈N∗，fλ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λk x n≤λ1f x1+λ2f x2+⋅⋅⋅+λn f x n，所以，-lnλ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λn x n≤-λ1ln x1-λ2ln x2-⋯-λn ln x n，因此，λ1ln x1+λ2ln x2+⋯+λn ln x n≤lnλx1+λ2x2+⋯+λn x n，故当x i>0，λi>0i=1,2,⋅⋅⋅,n，且ni=1λi=1时，xλ11xλ22⋅⋅⋅xλn n≤λ1x1+λ2x2+⋅⋅⋅+λn x n.5已知函数f(x)=e x,g(x)=x+a ln x,a∈R(1)讨论g(x)的单调性；(2)若f x +2x≥g x +x a，对任意x∈(1,+∞)恒成立，求a的最大值；【解析】(1)g (x)=1+ax=x+ax(x>0)，当a≥0时，g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增；当a<0时，令g′(x)>0，解得x>-a，令g′(x)<0，解得0<x<-a，∴g(x)在(0,-a)上单调递减，在(-a,+∞)上单调递增；综上，当a≥0时，g(x)在(0,+∞)上单调递增；当a<0时，g(x)在(0,-a)上单调递减，在(-a,+∞)上单调递增；(2)f(x)+2x≥g(x)+x a即为e x+x≥a ln x+x a，即e x+ln e x≥ln x a+x a，设h(x)=ln x+x(x>0)，则h (x)=1x+1=x+1x，易知函数h(x)在(0,+∞)上单调递增，而h(e x)≥h(x a)，所以e x≥x a(两边取对数)，即x≥a ln x，当x>1时，即为a≤xln x，设φ(x)=xln x(x>1)，则φ (x)=ln x-1ln2x，易知函数φ(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，∴φ(x)≥φ(e)=e，∴a≤e，即a的最大值为e．6已知函数f (x )=x ln x ．(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a ，b 为两个不相等的正数，且a b =b a ，证明：2e <1a +1b <1．【解析】 (1)f (x )=ln x +1，定义域为(0,+∞)，由f (x )=0，解得x =1e ，由f (x )>0，解得x >1e，由f (x )<0，解得0<x <1e，所以f (x )的单调递增区间为1e ,+∞，单调递减区间为0,1e．(2)∵a ，b 为两个不相等的正数，且a b =b a ，∴b ln a =a ln b ，即1a ln 1a =1b ln 1b，由(1)可知f (x )min =f 1e =-1e，且f (1)=0，x →0时，f (x )→0，则令x 1=1a ,x 2=1b，则x 1,x 2为f (x )=k 的两根，且k ∈-1e ,0 ，不妨设x 1∈0,1e ,x 2∈1e ,1 ，则2e -x 1>1e，先证2e <x 1+x 2，即证x 2>2e -x 1，即证f x 2 =f x 1 >f 2e-x 1 ，令h (x )=f (x )-f 2e -x，即证在x ∈0,1e上，h (x )>0，则h (x )=f (x )-f 2e -x =ln x +ln 2e -x +2=ln -x 2+2ex +2，h (x )在0,1e上单调递增，即h (x )<h 1e =0，∴h (x )<0在0,1e上恒成立，即h (x )在0,1e 上单调递减，h (x )>h 1e =0，∴f (x )>f 2e -x，即可得x 2>2e-x 1；再证x 1+x 2<1，即证1e<x 2<1-x 1，由(1)f (x )单调性可得证f x 2 =f x 1 <f 1-x 1 ，令φ(x )=f (x )-f (1-x ),x ∈0,1e，φ (x )=ln x +ln (1-x )+2=ln -x 2+x +2，φ (x )在0,1e上单调递增，∴φ (x)=φ 1e>0，且当x→0,φ (x)<0，所以存在x0使得φ x0=0，即当x∈0,x0时，φ (x)<0,φ(x)单调递减，当x∈x0,1 e时，φ (x)>0,φ(x)单调递增，又有x→0,φ(x)<0，且φ1e=f1e -f1-1e<0，所以φ(x)<0恒成立，∴x 1+x2<1，则2e<1a+1b<1，即可证得．四、跟踪检测1已知函数f(x)=x ln x+a,(a∈R)．(1)求函数f x 的单调区间；(2)当0<a<1e时，证明：函数f x 有两个零点；(3)若函数g(x)=f(x)-ax2-x有两个不同的极值点x1,x2(其中x1<x2)，证明：x1⋅x22>e3．【解析】(1)f x =ln x+1,x>0，当0<x<1e时，fx <0，当x>1e时，fx >0，所以函数f x 在0,1 e上递减，在1e,+∞上递增，所以函数f x 的单调区间为0,1 e和1e,+∞；(2)证明：由(1)知f x min=f1e=-1e+a，因为0<a<1e，所以f1e<0，又当x→0+时，f x >0，f e =e+a>0，所以函数在0,1 e上存在一个零点，在1e,e上存在一个零点，所以函数f x 有两个零点；(3)证明：g(x)=f(x)-ax2-x=x ln x--ax2-x+a,(x>0)，则g x =ln x-2ax，因为函数g(x)有两个不同的极值点x1,x2(其中x1<x2)，所以ln x1=2ax1，ln x2=2ax2，要证x 1⋅x 22>e 3等价于证ln x 1⋅x 22 >ln e 3，即证ln x 1+2ln x 2>3，所以3<ln x 1+2ln x 2=2ax 1+4ax 2=2a x 1+2x 2 ，因为0<x 1<x 2，所以2a >3x 1+2x 2，又ln x 1=2ax 1，ln x 2=2ax 2，作差得ln x 1x 2=a x 1-x 2 ，所以a =ln x1x 2x 1-x 2，所以原不等式等价于要证明2ln x1x 2x 1-x 2>3x 1+2x 2，即2ln x 1x 2<3x 1-x 2 x 1+2x 2，令t =x 1x 2,t ∈0,1 ，则上不等式等价于要证：2ln t <3t -1t +2,t ∈0,1 ，令h t =2ln t -3t -1t +2,t ∈0,1 ，则ht =2t -9t +2 2=2t 2-t +8t t +2 2>0,t ∈0,1 ，所以函数h t 在0,1 上递增，所以h t <h 1 =0，所以2ln t <3t -1t +2,t ∈0,1 ，所以x 1⋅x 22>e 3．2形如y =f (x )g (x )的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得ln y =ln f (x )g (x )=g (x )ln f (x )，两边对x 求导数，得y y =g(x )ln f (x )+g (x )f x f x，于是y =f (x )g (x )g(x )ln f (x )+g (x )f x f x.已知f (x )=2e x ln x ，g (x )=x 2+1.(1)求曲线y =f (x )在x =1处的切线方程；(2)若h (x )=f (x )，求h (x )的单调区间；(3)求证：∀x ∈(0,+∞),f (x )≥g (x )恒成立.【解析】(1)由幂指函数导数公式得f (x )=2e x ln x (ln x +1)，所以f (1)=2，又f (1)=2，所以，曲线y =f (x )在x =1处的切线方程为y =2x .(2)h (x )=f (x )=2e x ln x (ln x +1),x ∈(0,+∞)，则h (x )=2e x ln x (ln x +1)+2e x ln x (ln x +1) =2e x ln x (ln x +1) (ln x +1)+2e x ln x ⋅1x=2e x ln x (ln x +1)2+1x>0，所以h (x )的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间.(3)构造F (x )=f (x )-g (x )，x ∈(0,+∞)，则F (x )=f (x )-g (x )=2e x ln x (ln x +1)-2x ，令H (x )=F (x )=2e x ln x (ln x +1)-2x ,x ∈(0,+∞)，所以H (x )=2e x ln x (ln x +1)2+e(x -1)ln x-1 ，因为x -1与ln x 同号，所以(x -1)ln x ≥0，所以e (x -1)ln x-1≥0，又e x ln x (ln x +1)2≥0，所以H (x )≥0，所以H (x )即F (x )为(0,+∞)上增函数，又因为F (1)=0，所以，当x ∈(0,1)时，F (x )<F (1)=0；当x ∈(1,+∞)时，F (x )>F (1)=0.所以，F (x )为(0,1)上减函数，为(1,+∞)上增函数，所以，F (x )min =F (1)=0，即F (x )=f (x )-g (x )≥0，因此，∀x ∈(0,+∞),f (x )≥g (x )恒成立，即证.3已知函数f (x )=e x 2ln x (x >0)．(1)求f (x )的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数x 1,x 20<x 1<x 2 满足f x 1 =f x 2 =e k ．(i )求k 的取值范围(ⅱ)证明x e 2-2e2≤e-e 21x 1．【解析】(1)函数f (x )=e x 2ln x (x >0)的导函数为f (x )=xe x 2ln x (2ln x +1).当x ∈0,e -12时，f(x )<0，所以函数f (x )单调递减；当x ∈e -12,+∞ 时，f (x )>0，所以函数f (x )单调递增.所以x =e-12为f (x )的极值点.(2)因为有且仅有两个不相等的实数x 1,x 20<x 1<x 2 满足f x 1 =f x 2 =e k ，所以x 12ln x 1=x 22ln x 2=k .(i )问题转化为m (x )=x 2ln x -k 在(0,+∞)内有两个零点,则m x =x 1+2ln x .当x∈0,e-1 2时, m x <0,m(x)单调递减；当x∈e-12,+∞时, m x >0,m(x)单调递增.若m(x)有两个零点,则必有m e-1 2<0,解得：k>-12e.若k≥0,当0<x<e-12时,m x =x2ln x-k≤x2ln x<0,无法保证m(x)有两个零点；若-12e<k<0,又m e1k>0,m e-12<0，m1 =-k>0,故存在x1∈e 1 k,e-12使得m x1 =0,存在x2∈e-12,1使得m x2 =0.综上可知, k∈-12e ,0.(ⅱ)设t=x2x1则t∈(1,+∞).将t=x2x1代入x12ln x1=x22ln x2,可得ln x1=t2ln t1-t2，ln x2=ln t1-t2(*).欲证:x e2-2e2≤e-e21x1，需证ln xe2-2e2≤ln e-e2x1即证ln x1+(e2-2e)ln x2≤-e2，将(*)代入，则有(t2+e2-2e)ln t1-t2≤-e2，则只需要证明：(x+e2-2e)ln x1-x≤-e(x>1)，即ln x≥e x-1x+e2-2e(x>1).构造φ(x)=x-1ln x-xe-e+2，则φ (x)=ln x-x-1xln2x-1e，φ(x)=(x+1)2(x-1)x+1-ln xx2ln3x(x>1).令ω(x)=2(x-1)x+1-ln x(x>1)，则ω (x)=-(x-1)2x(x+1)2<0.所以ω(x)<ω(1)=0，则φ (x)<0，所以φ(x)在1,+∞内单减.又φ (e)=0，所以当x∈(1,e)时，有φ (x)>0，φ(x)单调递增；当x∈(e,+∞)时，有φ (x)<0，φ(x)单调递减；所以φ(x)≤φ(e)=0，因此x-1ln x-xe≤e-2，即ln x≤e x-1x+e2-2e(x>1).综上所述，命题得证.4已知f(x)=ln x-x，g(x)=mx+m.(1)记F(x)=f(x)+g(x)，讨论F(x)的单调区间；(2)记G(x)=f(x)+m，若G(x)有两个零点a，b，且a<b.请在①②中选择一个完成.①求证：2e m-1>1b+b；②求证：2e m-1<1a+a【解析】(1)函数的定义域为(0,+∞)，F (x)=1x+m-1，当m≥1时，F (x)>0，F(x)在(0,+∞)单调递增；当m<1时，令F (x)<0，解得x>11-m，令F(x)>0，解得0<x<11-m，∴F (x )在0,11-m单调递增，在11-m ,+∞ 单调递减； 综上，当m ≥1时，f (x )的单调递增区间为(0,+∞)；当m <1时，f (x )的单调递增区间为0,11-m ，单调递减区间为11-m,+∞ (2)证明：因为G (x )=ln x -x +m ，令G (x )=0，则m =x -ln x ，设t (x )=x -ln x (x >0)，则t (x )=1-1x =x -1x，函数t (x )在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，且x →0时，t (x )→+∞，当x →+∞时，t (x )→+∞，t (x )min =t (1)=1，∴m >1，又a <b ，则0<a <1<b ,若证①所证不等式，即2e m -1>b +1b，即证ln2+m -1>lnb 2+1b=ln b 2+1 -ln b ，又G (b )=0，则m =b -ln b ，故即证ln2+b -ln b -1>ln b 2+1 -ln b ，即证ln2-1>ln b 2+1 -b ，设h (b )=ln b 2+1 -b ，b >1，则h(b )=2b b 2+1-1=-(b -1)2b 2+1<0，∴h (b )在(1,+∞)上单调递减，∴h (b )<h (1)=ln2-1，即2e m -1>1b+b 得证；若证②所证不等式，即2em -1<a +1a ，即证ln2+m -1<ln a 2+1a，即证ln2+m -1<ln a 2+1 -ln a ，又G (a )=0，即m =a -ln a ，故即证ln2+a -ln a -1<ln a 2+1 -ln a ，即证ln2-1<ln a 2+1 -a ，设φ(a )=ln a 2+1 -a ，0<a <1，则φ(a )=2aa 2+1-1=-(a -1)2a 2+1<0，∴φ(a )在(0,1)单调递减，故φa >φ1 =ln2-1，即2e m -1<1a+a 得证.5已知a ∈R ，f (x )=x ⋅e -ax ，(其中e 为自然对数的底数).(1)求函数y =f (x )的单调区间；(2)若a >0，函数y =f (x )-a 有两个零点x ，x 2，求证：x 21+x 22>2e .【解析】(1)解：f ′(x )=e -ax -ax ⋅e -ax =e -ax (1-ax )∵a ∈R ，∴a <0时，f ′(x )=e -ax (1-ax )>0⇒x >1a ，f ′(x )=e -ax (1-ax )<0⇒x <1a∴a <0时，增区间为：1a ,+∞，减区间为：-∞,1a；a =0时，f ′(x )=e -ax (1-ax )=1>0，∴a =0时，增区间为：(-∞,+∞)；a >0时，f ′(x )=e -ax (1-ax )>0⇒x <1a ，f ′(x )=e -ax (1-ax )<0⇒x >1a，∴a >0时，增区间为：-∞,1a ，减区间为：1a,+∞ ；(2)因为a >0时，函数y =f (x )-a 有两个零点x 1，x 2，则两个零点必为正实数，f (x )-a =0⇔xe -ax =a 两边取对数ln x -ax =ln a故问题转化为ln x -ax =ln a 有两个正实数解；令g (x )=ln x -ax -ln a (x >0)则g ′(x )=1x -a (x >0)，g (x )在0,1a 单调递增，在1a ,+∞ 单调递减，且0<x 1<1a<x 2令G (x )=g (x )-g 2a -x ，x ∈1a,+∞ ，则G ′(x )=1x -a +12a -x -a =2x (2-ax )-2a >21a-2a =0所以G (x )在1a ,+∞ 单调递增，G (x )>G 1a=0又x 2>1a ，故g x 2 >g 2a -x 2 ，x 2∈1a,+∞ 又g x 1 =g x 2 ，所以g x 1 >g 2a-x 2 ，又0<x 1<1a <x 2，所以x 1，2a -x 2∈0,1a ，又g (x )在0,1a 单调递增，所以x 1+x 2>2a所以x 21+x 22>x 1+x 222>2a 2>2e ．6已知函数f x =axe -x a ≠0 存在极大值1e.(1)求实数a 的值；(2)若函数F x =f x -m 有两个零点x 1，x 2x 1≠x 2 ，求实数m 的取值范围，并证明：x 1+x 2>2.【解析】(1)f x =a ⋅xe xx ∈R ，f x =a 1-x ex，令f x =0⇒x =1，f 1 =a e =1e ⇒a =1，此时f x =1-xex ，f x 在-∞,1 上f x >0，f x 递增；在1,+∞ 上f x <0，f x 递减，所以当x =1时，f x 取得极大值为f 1 =1e符合题意，所以a =1.(2)由(1)知：f x 在-∞,1 上递增，在1,+∞ 上递减，极大值为f 1 =1e.f x =x e x，f 0 =0，当x <0时，f x <0；当x >0时，f x >0；当x →+∞时，f x →0.由于函数F x =f x -m 有两个零点x 1，x 2x 1≠x 2 ，所以0<m <1e.因为x 1，x 2x 1≠x 2 是F x 的两个零点，则x 1>0,x 2>0.所以F x 1 =F x 2 ，x 1e x 1=x 2ex 2，e x 2e x 1=x 2x 1,e x 2-x 1=x 2x 1，两边取对数得x 2-x 1=ln x 2x 1，要证x 1+x 2>2，只需证明x 2-x 1x 2+x 1<12ln x2x 1，即证x 2x 1-1x 2x 1+1<12ln x 2x 1，不妨设x 1<x 2，令x 2x 1=t ，则t ∈1,+∞ ，即证t -1t +1<12ln t 对t ∈1,+∞ 恒成立.令g t =12ln t -t -1t +1，g t =12t -2t +12=t -1 22t t +1 2>0，所以g t 在1,+∞ 上递增，所以g t >g 1 =0，即12ln t -t -1t +1>0，所以t -1t +1<12ln t .从而x 1+x 2>2成立.7已知函数f (x )=x (e 2x -a ),g (x )=bx +ln x .(1)若y =2x 是曲线y =f (x )的切线，求a 的值；(2)若g (x )有两不同的零点，求b 的取值范围；(3)若b =1，且f (x )-g (x )≥1恒成立，求a 的取值范围.【解析】(1)依题意，设切点为(x 0,2x 0)，则2x 0=x 0(e 2x 0-a )，f (x )=e 2x -a +x ⋅2e 2x ，于是得e 2x 0(2x 0+1)-a =2，则有x 0=0且a =-1，x 0≠0时，e 2x 0=a +2，(a +2)(2x 0+1)=a +2无解，所以a =-1；(2)由g (x )=0得-b =ln x x ，令h (x )=ln xx,x >0，则有h (x )=1-ln xx2,0<x <e 时h (x )>0,x >e 时h (x )<0，h (x )在(0,e )上递增，在(e ,+∞)上递减，h (x )max =h (e )=1e，又x >e 时，h (x )>0恒成立，于是得g (x )有两个不同的零点，等价于直线y =-b 与函数h (x )=ln xx,x >0图象有两个不同的公共点，即0<-b <1e ，-1e <b <0，所以g (x )有两不同的零点，b 的取值范围是-1e<b <0；(3)b =1,g (x )=x +ln x ,x >0，∀x >0,f (x )-g (x )≥1⇔x (e 2x -a )≥1+x +ln x ⇔a +1≤e 2x -1+ln xx，令φ(x )=e 2x-1+ln x x (x >0)，φ (x )=2e 2x+ln x x 2=2x 2e 2x +ln x x 2，令F (x )=2x 2e 2x +ln x ，F (x )=(4x 2+4x )e 2x +1x>0，即F (x )在(0,+∞)上递增，而F 14=e 8-ln4<0,F (1)=2e 2>0，即∃t ∈(0,1)，使得F (t )=0，0<x <t 时F (x )<0,φ (x )<0，x >t 时，F (x )>0,φ (x )>0，φ(x )在(0,t )上递减，在(t ,+∞)上递增，从而有φ(x )min =e 2t -1+ln tt，而F (t )=0，即2t 2e 2t +ln t =0，令t 2e 2t =p ，两边取对数得2t +2ln t =ln p ，则2p +ln t =0=2t +2ln t -ln p ，即有2p +ln p =2t +ln t ，显然函数y =2x +ln x 在(0,+∞)上单调递增，从而得p =t ，于是得t 2e 2t =t ⇔e 2t =1t 两边取对数 2t =-ln t ⇔ln t t=-2，φ(x )min =e 2t -1+ln t t =1t -1t -ln t t=2，所以a +1≤2，a ≤1.8已知函数f (x )=ax ln x ，a ∈R ．(1)当a =1时，①求f (x )的极值；②若对任意的x ≥e 都有f (x )≥m xe mx ，m >0，求m 的最大值；(2)若函数g (x )=f (x )+x 2有且只有两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1x 2>e 2．【解析】(1)①a =1时，f (x )=x ln x ，则f ′(x )=ln x +1(x >0)，令f ′(x )>0，解得：x >1e ，令f ′(x )<0，解得：0<x <1e，∴f (x )在0,1e递减，在1e ,+∞ 递增，故f (x )的极小值是f 1e =-1e ，没有极大值；②对任意x ≥e 都有f (x )≥m x e m x =e m x ln e m x，即f (x )≥f e mx 恒成立，由m >0，有mx>0，故e mx >1，由①知，f (x )在1e ,+∞ 单调递增，故x ≥e mx ，可得ln x ≥mx，即x ln x ≥m ，当x ≥e 时，f (x )的最小值是f (e )=e ，故m 的最大值是e ；(2)证明：要证x 1x 2>e 2，只需证明ln (x 1x 2)>2即可，由题意，x 1、x 2是方程ax ln x +x 2=0的两个不相等的实数根，又x >1，∴a ln x1+x1=0a ln x2+x2=0，消去a，整理得：ln(x1x2)=x1x2+1x1x 2-1⋅lnx1x2，不妨设x1>x2，令t=x1x2，则t>1，故只需证明当t>1时，t+1t-1⋅ln t>2，即证明ln t>2(t-1)t+1，设h(t)=ln t-2(t-1)t+1，则h′(t)=1t-2⋅t+1-(t-1)(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0，∴h(t)在(1,+∞)单调递增，从而h(t)>h(1)=0，故ln t>2(t-1)t+1，即x1x2>e2得证．9已知函数f(x)=x ln x-ax2-x，g(x)=f(x)x，a∈R．(1)讨论g(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2x1<x2，证明：x41x2>e3．(e=2.71828⋯为自然对数的底数)【解析】(1)g(x)=f(x)x=ln x-ax-1，g (x)=1x-a，①当a≤0时，g (x)>0，g(x)在(0,+∞)单调递增；②当a>0时，令g (x)=0解得x=1a，x∈0,1a时，g (x)>0，g(x)单调递增；x∈1a ,+∞时，g (x)<0，f(x)单调递减．综上，当a≤0时，g(x)在(0,+∞)单调递增；当a>0时，g(x)在0,1 a上单调递增，在1a,+∞上单调递减，(2)由题意知，f (x)=ln x-2ax，x1，x2是f (x)的两根，即ln x1-2ax1=0，ln x2-2ax2=0，解得2a=ln x1-ln x2x1-x2(*)，要证x41x2>e3，即证4ln x1+ln x2>3，即4⋅2ax1+2ax2>3，把(*)式代入得ln x1-ln x2x1-x24x1+x2>3x1<x2，所以应证ln x1x2<3x1-x24x1+x2=3x1x2-14x1x2+1，令t=x1x2，0<t<1，即证h(t)=ln t-3(t-1)4t+1<0(0<t<1)成立，而h (t)=1t-15(4t+1)2=16t2-7t+1t(4t+1)2=16t-7322+1564t(4t+1)2>0，所以h(t)在(0,1)上单调递增，所以h(t)<h(1)=0，所以命题得证．10已知函数f x =e x -a ln xx-a (e 为自然对数的底数)有两个零点．(1)若a =1，求f x 在x =1处的切线方程；(2)若f x 的两个零点分别为x 1,x 2，证明：e 2-x 1-x 2-x 1x 2<0．【解析】(1)当a =1时，f x =e x -ln x x -1，f x =e x -1-ln xx 2，又f 1 =e -1，所以切点坐标为1,e -1 ，切线的斜率为k =f 1 =e -1．所以切线方程为y -e -1 =e -1 x -1 ，即y =e -1 x (2)由已知得f x =xe x -a ln x +xx=0有两个不等的正实跟．所以方程xe x -a ln x +x =0有两个不等的正实根，即xe x -a ln xe x =0有两个不等的正实根，a ln xe x =xe x ①要证x 1x 2>e 2ex 1+x 2，只需证x 1e x 1 ⋅x 2e x 2 >e 2，即证ln x 1e x 1 +ln x 2e x 2>2，令t 1=x 1e x 1，t 2=x 2e x 2，所以只需证ln t 1+ln t 2>2，由①得a ln t 1=t 1，a ln t 2=t 2，所以a ln t 2-ln t 1 =t 2-t 1，a ln t 2+ln t 1 =t 2+t 1，消去a 得ln t 2+ln t 1=t 2+t 1t 2-t 1ln t 2-ln t 1 =t 2t 1+1ln t2t 1t 2t 1-1，只需证t 2t 1+1ln t2t 1t 2t 1-1>2，设0<t 1<t 2，令t =t 2t 1，则t >1，则t +1 ln tt -1>2，即证ln t +4t +1-2>0构建h t =ln t +4t +1-2>0则h t =1t -4t +12=t -1 2t t +1 2>0，所以h t 在1,+∞ 上单调递增，则h t >h 1 =0，即当t >1时，ln t +4t +1-2>0成立，所以ln t 1+ln t 2>2，即x 1e x 1⋅x 2e x 2>e 2，即x 1x 2>e 2ex 1+x 2，所以e2-x 1-x 2-x 1x 2<0，证毕．11已知函数h x =x -a ln x a ∈R .(1)若h x 有两个零点，a 的取值范围；(2)若方程xe x-a ln x +x =0有两个实根x 1、x 2，且x 1≠x 2，证明：e x 1+x 2>e 2x 1x 2.【解析】(1)函数h x 的定义域为0,+∞ .。
对数平均值的几何解释与探究(岳峻)
三、不等式链的证明
评注：涉及两个变量的不等式的证明，其解题策略耐人 寻味: 证法1是先将不等式逆推分析，进行等价转化，使得其 中的两个变量的特征、规律更明朗，然后将两个变量的比值 （或和、或差、或积）替换为新的一元变量，便于构造出新 的一元函数，再通过对新的一元函数求导，判断其单调性、 确定极值（或最值），达到解决问题的目的，可归结为 “化归-换元-构造-求导”； 证法2将地位均衡的两个变量之一作为主元，另外的一 个变量视为常量来处理，构造出一元函数，可归结为 “化归-主元-构造-求导”.
高考压轴题与对数平均值
一、对数平均值的概念
中学数学教育专家安振平在剖析2013年 陕西高考数学时指出，其压轴题的理论背景 是： 设 a, b 0, 则
ab a b ab 2 ln a ln b
其中
，
a b ln a ln b
被称之为对数平均值.
一、对数平均值的概念
对数平均值在现行高中教材没有出现， 但其蕴含着高等数学的背景，近几年的高考 压轴题中，频频出现。 安振平老师构造函数，借助于导数证明 了对数平均数的有关不等式，难度较大，为 此，本人作了一些探讨，以期对2016年的复 习迎考有所启发。
三、不等式链的证明
设函数 f x 1 x ln x 2 x 1 x 1 , 则
证法1：设 b a 0, a b ，则不等式等价于 骣 骣 b 鼢 b b 珑 1鼢 ln > 2 - 1 (a + b)(ln b - ln a) > 2(b - a) ? 珑 鼢 珑 桫 桫 a a a
ab
四、对数平均值的几何解释
（3）又 S矩形ABQX < S曲边梯形ABQP < S梯形ABQP ， < S矩形ABYP , 1 1骣 1 1÷ 1 ç + ÷ (b - a) < (b - a),L ③ 所以 b (b - a) < ln b - ln a < 2 ç ÷ ç 桫 a b a
利用对数平均不等式巧解一类数学压轴题
利用对数平均不等式巧解一类数学压轴题作者：行凯歌
来源：《新高考·高一数学》2018年第05期
基本不等式是高中数学中的重要内容，它往往和函数、导数、最值等聯系紧密，对学生的逻辑思维能力要求很高，倍受高考命题者的青睐.几何平均、算术平均是我们熟知的两个概念，对数平均虽然在教材中未提及，但是却在高考压轴题和各地模拟题中频频m现，因此，同学们要高度重视.如果以函数思想为指导，把一类双变量齐次函数问题转化为一元函数问题，再用导数为T具就能有效解决，而这个转化的思想就蕴含在对数平均不等式的证明之中.
一、知识介绍——对数平均不等式及证明
二、推广变形——对数平均不等式的常见变形形式
总之，与“对数平均”有关的证明题，常以压轴题的最后一问出现，综合性强，难度较高.同学们在解题时应简化思路与计算，领悟构造函数法在高考数学证明题中的无穷魅力，。
利用对数平均不等式破解极值点偏移问题
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利用对数平均不等式破解极值点偏移问题
作者：杨瑞强
来源：《中学数学杂志(高中版)》2016年第05期
近几年的高考数学压轴题中，经常出现与函数的极值点偏移有关的问题，由于这类问题的解决往往需要构造函数，技巧性较强，考生难于切入，在短时间内难以解决.如果我们借助对数平均不等式加以放缩，那么问题难度大大降低.下面谈谈利用这个不等式破解此类高考导数的压轴题.
1极值点偏移的定义
对于函数y=f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点x0，方程f（x）=0的解为x1，x2，且a
（1）若x1+x22>x0，则称函数y=f（x）在区间（a，b）上极值点x0左偏，简称x0左偏；（2）若x1+x22
4转化策略与步骤
极值点偏移问题中，函数中多有形如ex和lnx的式子，并且极值点偏移问题实质是双变量的问题，而双变量的问题许多都可以回归对数平均.常利用对数平均不等式放缩解决，其转化的步骤有：
第一步：根据f（x1）=f（x2）建立等式；
第二步：如果等式含有参数，则消参；有指数的则两边取对数，转化为对数式；
第三步：通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式放缩求解.
作者简介杨瑞强（1979—），男，湖北黄冈人，中学一级教师，黄石市优秀班主任，黄石市优秀数学教师，主要从事数学教育与中学教学研究.近几年，在数学专业杂志上发表文章80余篇.。
2025届高考数学复习：历年优质真题专项(对数与对数函数)阶梯练习(附答案)
2025届高考数学复习：历年优质真题专项（对数与对数函数）阶梯练习[基础强化]一、选择题1．lg 52 ＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12 －1 ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3 2．函数y ＝log 12（3x －2） 的定义域是( ) A ．[1，＋∞) B ．⎝⎛⎭⎫23，＋∞ C ．⎣⎡⎦⎤23，1 D ．⎝⎛⎦⎤23，1 3．函数f (x )＝log 12 (x 2－2x )的单调递增区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，1)4．若函数f (x )＝(m －2)x a 是幂函数，则函数g (x )＝log a (x ＋m )(a >0且a ≠1)的图象过点( )A ．(－2，0)B ．(2，0)C ．(－3，0)D ．(3，0)5．已知55<84，134<85，设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b 6．若a >b ，则( ) A ．ln (a －b )>0 B ．3a <3b C ．a 3－b 3>0 D ．|a |>|b |7．已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则( ) A ．f (x )在(0，2)单调递增 B ．f (x )在(0，2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称8．若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >3，－2x ＋8，x ≤3 存在最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．[3 ，＋∞) C ．(1，3 ] D ．(0，3] 二、填空题10．[2024ꞏ全国甲卷(理)]已知a >1，且1log 8a －1log a 4 ＝－52 ，则a ＝________．11．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 x－log 2(x ＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________． 12．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22 )的值域为________．[能力提升]13．若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b 则( ) A ．a >2b B ．a <2b C ．a >b 2 D ．a <b 214．(多选)对于函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫1|x －2|＋1 ，下列说法正确的有( )A ．f (x ＋2)是偶函数B ．f (x ＋2)是奇函数C ．f (x )在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增D ．f (x )没有最小值15．(多选)[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p ＝20×lg pp 0，其中常数p 0(p 0>0)是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2B．p2>10p3C．p3＝100p0D．p1≤100p216．已知函数f(x)＝log a(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，若函数g(x)＝a x＋m－3的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________．参考答案[基础强化]一、选择题1．lg 52 ＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12 －1 ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3 答案：B答案解析：原式＝lg 52 ＋lg 4－2＝lg (52 ×4)－2＝1－2＝－1． 2．函数y ＝log 12（3x －2） 的定义域是( ) A ．[1，＋∞) B ．⎝⎛⎭⎫23，＋∞ C ．⎣⎡⎦⎤23，1 D ．⎝⎛⎦⎤23，1 答案：D答案解析：由题意得log 12 (3x －2)≥0，即0<3x －2≤1. ∴23 <x ≤1.3．函数f (x )＝log 12 (x 2－2x )的单调递增区间是( )A ．(－∞，0)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，1) 答案：A答案解析：函数f (x )＝log 12 (x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的单调增区间为(－∞，0).4．若函数f (x )＝(m －2)x a 是幂函数，则函数g (x )＝log a (x ＋m )(a >0且a ≠1)的图象过点( )A ．(－2，0)B ．(2，0)C ．(－3，0)D ．(3，0) 答案：A答案解析：∵f (x )＝(m －2)x a 为幂函数，∴m －2＝1，m ＝3， ∴g (x )＝log a (x ＋3)，又g (－2)＝0， ∴g (x )的图象过(－2，0).5．已知55<84，134<85，设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案：A答案解析：a ＝log 53∈(0，1)，b ＝log 85∈(0，1)，则a b ＝log 53log 85 ＝log 53ꞏlog 58<⎝⎛⎭⎫log 53＋log 582 2＝⎝⎛⎭⎫log 5242 2<1，∴a <b .又∵134<85，∴135<13×85，两边同取以13为底的对数得log 13135<log 13(13×85)，即log 138>45 ，∴c >45 .又∵55<84，∴8×55<85，两边同取以8为底的对数得log 8(8×55)<log 885，即log 85<45 ，∴b <45 .综上所述，c >b >a ，故选A. 6．若a >b ，则( ) A ．ln (a －b )>0 B ．3a <3b C ．a 3－b 3>0 D ．|a |>|b | 答案：C答案解析：通解：由函数y ＝ln x 的图象(图略)知，当0<a －b <1时，ln (a －b )<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确．故选C.优解：当a ＝0.3，b ＝－0.4时，ln (a －b )<0，3a ＞3b ，|a |<|b |，故排除A ，B ，D.故选C. 7．已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则( ) A ．f (x )在(0，2)单调递增 B ．f (x )在(0，2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称 答案：C答案解析：f (x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝ln [x (2－x )]＝ln (－x 2＋2x ). 设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0，2)， 则u ＝－x 2＋2x 在(0，1)上单调递增， 在(1，2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln (－x 2＋2x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减． ∴选项A 、B 错误；∵f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝f (2－x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴选项C 正确；∵f (2－x )＋f (x )＝[ln (2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln (2－x )]＝2[ln x ＋ln (2－x )]，不恒为0， ∴f (x )的图象不关于点(1，0)对称， ∴选项D 错误．8．若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )答案：B答案解析：由y ＝log a x 的图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.对于选项A ：y ＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13 x为减函数，A 错误；对于选项B ：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C ：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误； 对于选项D ：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误． 故选B.9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >3，－2x ＋8，x ≤3 存在最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．[3 ，＋∞) C ．(1，3 ] D ．(0，33 ] 答案：C答案解析：当x ≤3时，f (x )＝－2x ＋8单调递减，则f (x )≥f (3)＝2；当x >3时，f (x )＝log a x ，必须满足a >1，且log a 3≥2，得1<a ≤3 .故选C.二、填空题10．[2024ꞏ全国甲卷(理)]已知a >1，且1log 8a －1log a 4 ＝－52 ，则a ＝________．答案：64答案解析：因为1log 8a －1log a 4 ＝3log 2a －12 log 2a ＝－52 ，所以(log 2a ＋1)(log 2a －6)＝0.又a >1，故log 2a ＝6，解得a ＝64.11．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 x－log 2(x ＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________． 答案：8答案解析：因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫13 x，y ＝－log 2(x ＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 x－log 2(x ＋4)在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f (x )的最大值为f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2－log 2(－2＋4)＝9－1＝8．12．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22 )的值域为________． 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，32 答案解析：∵0<－x 2＋22 ≤22 ，∴log 2(－x 2＋22 )≤log 222 ＝32 .[能力提升]13．若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b 则( ) A ．a >2b B ．a <2b C ．a >b 2 D ．a <b 2 答案：B答案解析：2a ＋log 2a ＝22b ＋log 2b <22b ＋log 2(2b )， 令f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (a )<f (2b )， 又易知f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以a <2b ，故选B.14．(多选)对于函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫1|x －2|＋1 ，下列说法正确的有( )A ．f (x ＋2)是偶函数B ．f (x ＋2)是奇函数C ．f (x )在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增D ．f (x )没有最小值答案：AD答案解析：对于A ，B ，因为f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫1|x －2|＋1 ，故f (x ＋2)＝lg ⎝⎛⎭⎫1|x |＋1 ， 又f (－x ＋2)＝lg ⎝⎛⎭⎫1|－x |＋1 ＝lg ⎝⎛⎭⎫1|x |＋1 ，故f (x ＋2)为偶函数，故A 正确，B 错误．对于C ，因为f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫1|x －2|＋1 ＝⎩⎨⎧lg ⎝⎛⎭⎫1x －2＋1，x ＞2，lg ⎝⎛⎭⎫12－x ＋1，x ＜2，当x ∈(2，＋∞)时，因为y ＝1x －2在x ∈(2，＋∞)时单调递减，故y ＝1x －2 ＋1单调递减，所以y ＝lg ⎝⎛⎭⎫1x －2＋1 在区间(2，＋∞)上单调递减，故C 错误．对于D ，因为当x ∈(2，＋∞)时，y ＝lg ⎝⎛⎭⎫1x －2＋1 单调递减，同理当x ∈(－∞，2)时，y ＝lg ⎝⎛⎭⎫12－x ＋1 单调递增，当x →＋∞时，y →0，当x →－∞时，y →0，故f (x )没有最小值．故D 正确．15．(多选)[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p ＝20×lg pp 0，其中常数p 0(p 0>0)是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源 与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1≥p 2B ．p 2>10p 3C ．p 3＝100p 0D ．p 1≤100p 2 答案：ACD答案解析：16．已知函数f(x)＝log a(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，若函数g(x)＝a x＋m－3的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________．答案：[－1，＋∞)答案解析：∵函数f(x)＝log a(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，而f(0)＝0，∴f(－2)＝log a3＝－1，∴a＝13，∴g(x)＝⎝⎛⎭⎫13x＋m－3，令g(x)＝0，得x＝－m－1，则－m－1≤0，求得m≥－1，故m的取值范围为[－1，＋∞).。
太和中学(岳峻)
的应用
例4 （2015广州三模）记函数 H x 的图象为曲线 C. 设 A(x1, y1 ), B (x2 , y2 ) 为曲线 C 上的不同两点。如果在曲线 C 上存在点 M (x0 , y0 ), 使得： x + x2 （1） x0 = 1 . 2 （2）曲线 C 在点 M 处的切线平行于直线 AB,则称函数 H x 存在“中 值相依切线”. 1 2 f x ln x ax a 1 x a R, a 0 是否存在“中值 试问函数 相依切线”，请说明理由。 2 解析：假设函数 f x 存在“中值相依切线”， 则 kAB f x0 , 即 ln x ln x 1 x x 2 2 1 a x2 x1 a 1 a 2 1 a 1, x2 x1 2 x2 x1 2 化简可得： ln x2 ln x1 x x x x 2 , 由 2 1 2 1 知假设不成立。 ln x2 ln x1 2 x2 x1 x2 x1
三、不等式链的证明
证法2：设 b a 0, a b ，则不等式等价于 骣 骣 b 鼢 b b 珑 1鼢 ln > 2 - 1 (a + b)(ln b - ln a) > 2(b - a) ? 珑 鼢 珑 桫 桫 a a a 设函数 h(x) = (a + x)(ln x - ln a)- 2(x - a)(x > a), 则 x ln x ln a 1 x a a h x ln x ln a 1 , x x
由于 b a 0时，b >
五、不等式链的应用
1
b> b- a > a ( a > 0) ln b - ln a
第四章 指数函数与对数函数【压轴题专项训练】(解析版)
第四章指数函数与对数函数【压轴题专项训练】一、单选题1．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（）A ＝（－x ）12（x ＞0）B ＝y 13（y ＜0）C ．x12－y 23（x ＞0，y ＞0）D ．x 13－ （x ≠0）【答案】C 【分析】根据根式和分数指数幂的转化关系判断选项.【详解】对于A x 12，故A 错误；对于B ，当y ＜00，y 13＜0，故B 错误；对于C ，x12－y 23（x ＞0，y ＞0），故C 正确；对于D ，x 13－ （x ≠0），故D 错误.故选：C2．已知433a =，234b =，1325c =，则（）A ．b a c <<B ．c b a<<C ．b c a<<D ．a b c<<【答案】C 【分析】将式子转化为以13为指数的幂的形式，再根据幂函数的性质判断可得；【详解】解：()41143333381a ===，()21123334416b ===，1325c =，又因为幂函数13y x =在()0,x ∈+∞为单调增函数，所以a c b >>.故选：C 【点睛】本题幂函数的性质及指数幂的运算，属于中档题.3．下列各函数中，是指数函数的是（）A ．(3)xy =-B ．3xy =-C ．13x y -=D ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】利用指数函数的定义，形如：()0,1xy a a a =>≠即可求解.【详解】解：根据指数函数的定义知，()0,1xy a a a =>≠，A 选项底数错误，B 选项系数错误，C 选项指数错误；D 正确.故选：D 【点睛】本题考查了指数函数的定义，需掌握住指数函数的定义，即可求解.4．函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为（）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．()1,-+∞D ．(),1-∞-【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性”同增异减”计算可得；【详解】解：令21t x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，且函数21t x =-在(],0-∞上递减，所以函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为(],0-∞.故选：A 【点睛】本题考查指数型复合函数的单调性，属于基础题.5．若2log a b c =则（）A ．2b a c =B ．2c a b =C ．2c b a =D ．2a c b=【答案】B 【分析】利用对数式化指数式的方法求解即可.【详解】根据对数的定义，()22log ca b c a b =⇔=，即2c a b =故选：B.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关指数式与对数式的互化问题，正确解题的关键是指对式的互化公式.6．已知x ，y ，z 都是大于1的正数，0m >，log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，则log z m 的值为（）A ．160B ．60C ．2003D ．320【答案】B 【分析】根据换底公式将log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，化为1log 24m x =，1log 40m y =，1log 12m xyz =，再根据同底数的对数的加减法运算即可得解.【详解】解：因为log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，所以1log 24m x =，1log 40m y =，1log 12m xyz =，即1log log log 12m m m x y z ++=，∴11111log log log 1212244060m m m x y z =--=--=，∴log 60z m =．故选：B ．7．函数()f x ）A ．[)1,+∞B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】根据对数的真数大于零，以及偶次根式下被开方数大于等于零，即可列出不等式组解出．【详解】由题可得，()13320log 320x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得213x <≤．所以函数()f x 的定义域是2,13⎛⎤⎥⎝⎦．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及对数函数的性质应用，属于容易题．8．已知235log log log 1x y z ==>，则2x，3y ，5z 的大小排序为（）A ．235x y z<<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x<<【答案】D 【分析】方法一：首先设235log log log 1x y z k ===>，利用指对互化，表示2x，3y ，5z ，再利用对数函数的图象判断大小；方法二：由条件可知2351log 1log 1log 0x y z -=-=-<，再利用对称运算，以及对数函数的图象和性质，比较大小.【详解】方法一：设235log log log 1x y z k ===>.则122k x-=，133ky -=，155k z -=，又10k -<，所以111235k k k --->>，可得532z y x<<.方法二：由235log log log 1x y z ==>.得2351log 1log 1log 0x y z -=-=-<，即235235log log log 0x y z==<，可得532z y x<<.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查由条件等式，比较大小，本题的关键是熟悉指对数运算公式，变形，以及指数和对数函数的图象.9．下面对函数121()log ,()2xf x xg x ⎛⎫== ⎪⎝⎭与()12h x x -=在区间()0,∞+上的衰减情况说法正确的是()A ．()f x 衰减速度越来越慢，()g x 衰减速度越来越快，()h x 衰减速度越来越慢B ．()f x 衰减速度越来越快，()g x 衰减速度越来越慢，()h x 衰减速度越来越快C ．()f x 衰减速度越来越慢，()g x 衰减速度越来越慢，()h x 衰减速度越来越慢D ．()f x 衰减速度越来越快，()g x 衰减速度越来越快，()h x 衰减速度越来越快【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中画出它们的图象后可得正确的选项.【详解】画出三个函数的图像如下图，由图像可知选C.因为三个函数都是下凸函数．故选：C.【点睛】当图像是一条直线的减函数时，是匀减速函数．当图像为上凸的增函数时减小速度是越来越快的．当图像为下凸的减函数时（如本题）减小速度是越来越慢的．10．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围（）A ．()1,0-B ．[]1,0-C ．（0，1）D ．[]0,1【答案】C 【分析】函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点，作出图象，即可求出实数m 的取值范围．【详解】因为函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点．作出函数()y f x =图象，由图可知，实数m 的取值范围是(0,1)．二、多选题11．已知函数(),()22x x x xf xg x ππππ---+==，则(),()f x g x 满足A ．()()()()f x g x g x f x -+-=-B ．()()x f x g x π--=C ．(2)2()()f x f x g x =D ．22[()][()]1f x g x -=【答案】AC 【分析】把函数式直接代入检验．【详解】A 正确，()()2x x f x f x ππ---==-，()()2x xg x g x ππ-+-==，所以()()()()f x g x g x f x -+-=-；B 不正确，()()2222x x x x xx f x g x ππππππ-----+--=-==-；C 正确，()()()22222222x x x x x xf x f xg x ππππππ-----+==⋅⋅=；D 不正确，()()22222222x x x x x x x x f x g x ππππππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=-=+⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎤⎣⎦⎝⎝⎡⎭⎭2212222x x x x x xππππππ---⎛⎫-+--=⋅=- ⎪⎝⎭．故选AC ．【点睛】本题考查指数函数的概念，考查幂的运算．属于基础题型．12．已知{}2,0,1,2,3a ∈-，则函数()()22e xf x a b =-+为减函数的实数a 的值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】AB由题意可得220a -<，结合已知条件即可求解.【详解】由函数()()22e xf x a b =-+为减函数，得220a -<，即a <<又{}2,0,1,2,3a ∈-，所以只有0a =，1a =满足题意.故选：AB.13．（多选）已知23a=，3log 2b =，则（）A ．2a b +>B ．1ab =C ．82339b b -+=D ．()911log 122a b a++=【答案】ABD 【分析】先求出2log 3a =，即可求出ab =1，再基本不等式判断A ，D 项先将原式化简即可；直接计算可判断C ．【详解】由23a=，得2log 3a =．23log og 31l 2ab =⨯=，故B 正确；由a ，0b >，且a b ¹得2a b +>，故A 正确；33331log log 2log 2log 2215333333222b b --+=+=+=+=，故C 错误；()3339111211log 2log log log 122222a b ab a a a a a a +++++===+=+，故D 正确．故选ABD ．14．下列点中，既在指数函数x y a =图象上，也在对数函数log a y x =的图象上的点可以是（）A ．(1,1)B ．(2,2)C ．(2,4)D ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD 【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，若点(1,1)在函数x y a =图象上，解得1a =，此时对数函数log a y x =不成立，不符合题意；对于B 中，若点(2,2)在函数x y a =图象上，解得a =y x =也过点(2,2)，所以符合题意；对于C 中，若点(2,4)在函数x y a =图象上，解得2a =，此时对数函数2log y x =不成立，不符合题意；对于D 中，若点11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数x y a =图象上，解得116a =，此时对数函数116log y x=也过点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，所以符合题意.故选：BD 三、填空题15．已知对数函数()2(1)()1log ,m f x m m x +=--则(27)f =_______.【答案】3【分析】根据对数函数的定义建立不等式，解之求得对数函数的解析式，再代入计算可得答案.【详解】因为()f x 是对数函数，故2111011m m m m ⎧--=⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得2m =，所以()3log f x x =，()327log 273f ==.故答案为：3.16．已知下列函数：①y ＝log 12(－x )(x ＜0)；②y ＝2log 4(x －1)(x ＞1)；③y ＝ln x (x ＞0)；④()2log a a y x +=，(x ＞0，a 是常数)．其中为对数函数的是________(只填序号)．【答案】③【分析】根据对数函数满足log a y x =，且0a >，1a ≠判定即可【详解】由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，ln x 的系数为1，自变量是x ，故③是对数函数；对于④，底数221124a a a ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，当12a =-时，底数小于0，故④不是对数函数．故答案为：③17．函数若函数()f x =的定义域是[)1,+∞，则a 的取值范围是________．【答案】()1,+∞【分析】结合指数函数性质可得．【详解】∵0x a a -≥，∴x a a ≥，∴当1a >时，1≥x ．故函数定义域为[)1,+∞时，1a >．故答案为：(1,)+∞．18．若a ＝2，b ＞0，则111211223332212a b a a b a a b b a b---⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为________．【答案】【分析】根据指数的运算公式以及立方差公式化简整理代入数据即可求出结果.【详解】原式331311322a b a b --⎛⎫⎛⎫=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭331311322a b a b --⎛⎫⎛⎫=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭331122a b a b --=++-322a=3222=⨯=故答案为：四、解答题19．已知11x x --=，其中0x >，求122121x x xx x x x---+-的值．【答案】1【分析】将11x x --=化为21x x =+，利用平方差公式分解因式后，代入21x x =+可得结果.【详解】由11x x --=可知21x x =+，所以1111222221122()()11x xx x x x x xx x x x x x x x --+--=--++--=211x x x x x -=++=1.20．已知a ，b ，c 满足346a b c ==.当a ，b ，c 均为正数，求证：221c a b=+.【答案】证明见解析【分析】设346a b c k ===，转化为对数，再利用换底公式证明.【详解】设346a b c k ===，所以346log ,log ,log a k b k c k ===，其中0k >，所以6222lg 6lg 36log lg lg c k k k ===，3421212lg 3lg 4lg 36log log lg lg lg a b k k k k k+=+=+=，所以221c a b=+.21．求函数22log (321)y x x =--的定义域．【答案】{}|1xx>【分析】根据对数的真数大于零，偶次方根的被开方数非负，分母不为零，得到不等式组，解得即可；【详解】解：由函数22log (321)y x x =--，可知23210210x x x ⎧-->⎨->⎩，解23210x x -->，即()()3110x x +->得1x >或13x <-，解210x ->得12x >；综上可得1x >.所以函数的定义域为：{|1}x x >.22．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10km ，大约有200根电线杆的线路，设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100m 范围内)?【答案】至多只要检测7次.【分析】结合二分法即可得到100002n≤100，解不等式即可求出结果.【详解】解：如图，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；……；由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为100002nm，则有100002n≤100，即2n≥100，又26＝64，27＝128，故至多只要检测7次就能找到故障地点所在区域．。
2025届新高考数学一轮复习精讲精练：对数与对数函数 (含新定义解答题)(分层精练)
（2）根据（1）求出的函数模型解不等式即可.
【详解】（1）若选用①，根据条件可得
a a
b0 b1
c c
100, 80,
，解得
a b
80 3
，
a b2 c 65,
4 c 20
所以
y
80
3 4
t
20,t
0
．
此时， y 随着 t 的增大而减小，符合生活实际；
若选用②，根据条件可得
1 x 0 【详解】由 x 0 0 x 1.
x 1
所以函数的定义域为： 0,1
故选：B
2．（2024 上·安徽六安·高一六安一中校考期末）设 a log2 0.3 ， b log0.3 0.2， c sin 37 ，
则 a，b，c 之间的大小关系是（ ）
A． a b c
B． b a c
C． , e
D． e,
【答案】B
【分析】根据题意，由条件可得 f x1 x1ex1 f x2 x2ex2 ，构造函数 g x f x xex ，
即可得到函数 g x 在 0, 上单调递增，结合函数的单调性求解不等式，即可得到结果.
【详解】由题意可知，当 x2
x1
0 时，有
由 f 1 e ， f lna 2e alna 可得 f ln a ln a elna f 1 1 e1，
即 g ln a g 1 ，所以 0 ln a 1，解得1 a e ，
即实数 a 的取值范围是 1,e .
故选：B
8．（2024
下·重庆·高三重庆八中校考开学考试）已知函数
f
r 100,
p
q
r
80,
4 p 2q r 65,
高考数学一轮复习 专题2.6 对数及对数函数练习(含解析)-人教版高三全册数学试题
第六讲 对数及对数函数一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log m na M ＝n mlog a M . 二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．考向一 对数的运算【例1】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝. （2）若3a=5b=225，则1a +1a = 。
（4）若log a 2=a ，log a 5=a ，则a 3a +a =( 。
【答案】（1）1 （2）12 （3）40【解析】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝lg 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg1 0004＋(1－lg 2)2·(2lg 2＋1) ＝lg 22·(3－2lg 2)＋(lg 22－2lg 2＋1)·(2lg 2＋1)＝1.（2）∵3a =5a =225∴a =log 3225, a =log 5225则1a +1a =log 2253+log 2255=log 22515=12 （3）∵log a 2=a ，log a 5=a ，∴a a =2，a a =5∴a 3a +a =a 3a ⋅a a =23⋅5=40【举一反三】1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为． 【答案】 a －2【解析】 log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 2．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝.【答案】 1【解析】 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得x log 63＝y log 64＝2， ∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1y ＝log 62，故2x ＋1y＝log 63＋log 62＝1.3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝.【答案】 10【解析】 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.4．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.【答案】 1【解析】 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.5.已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z，且1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．【答案】1【解析】 令a x ＝b y ＝c z＝k .由已知k >0且k ≠1，于是x lg a ＝y lg b ＝z lg c ＝lg k ，故1x ＝lg a lg k ，1y ＝lg b lg k ，1z ＝lg c lg k .因为1x ＋1y ＋1z ＝0，所以lg a ＋lg b ＋lg c lg k ＝0，即lg (abc )lg k ＝0.故lg(abc )＝0，得abc ＝1.6.设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．【答案】±55. 【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，log a C ·log b C ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1log Ca ＋1log Cb ＝3，1log Ca ·log Cb ＝1，于是有⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，log C a ·log C b ＝1，(log C a －log C b )2＝(log C a ＋log C b )2－4log C a ·log C b ＝32－4＝5，故log C a －log C b ＝± 5.于是log a bC ＝⎝⎛⎭⎪⎫log C a b －1＝1log C a －log C b ＝±55.7.方程33x －56＝3x －1的实数解为．【答案】 x ＝log 32【解析】 原方程可化为2(3x )2＋5·3x－18＝0，即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，得x ＝log 32.考向二 对数函数的判断【例2】函数a (a )=(a 2+a −5)log a a 为对数函数，则a (18)等于( ) A ．3 B ．−3 C ．−log 36 D ．−log 38 【答案】B【解析】因为函数a (a ) 为对数函数，所以函数a (a )系数为1，即a 2+a −5=1，即a =2或−3，因为对数函数底数大于0，所以a =2，a (a )=log 2a ，所以a (18)=−3。
对数与对数函数(6大压轴考法)解析版—2024-2025学年高一数学上学期(人教A版必修第一册)
对数与对数函数（6大压轴考法）目录解题知识必备................................................................................................................1压轴题型讲练................................................................................................................3题型一、对数式的化简与求值....................................................................................3题型二、对数函数的图像............................................................................................6题型三、对数（型）函数过定点问题........................................................................9题型四、对数（型）函数的定义域与值域..............................................................12题型五、对数（型）函数的单调性与最值..............................................................17题型六、对数（型）函数与不等式..........................................................................23压轴能力测评（15题） (28)一、对数的概念1、定义：一般地，如果x a N =（0，且1a ¹），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2、对数的基本性质①当0a >，且1a ¹时，x a N =Ûlog a x N =．②负数和0没有对数，即0>N .③特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ¹）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ¹）．二、常用对数与自然对数1、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，简记为lg ；2、自然对数：以无理数 2.71828e =×××为底的对数称为自然对数，简记为ln三、对数的运算性质1、运算性质：0>a ,且1¹a ，0,0>>N M（1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式a bb c c a log log log =(a ＞0，且a ¹1；c ＞0，且c ¹1；b ＞0)．3、可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =××a c b c b a ；③b b a na n log log =； ④b nmb a ma n log log =；⑤b b a alog log 1-=.四、对数函数的概念1、定义：函数y =log a x （0a >且1a ¹）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域为()0,¥+．2、特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =.（2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =.五、对数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值的变化当0＜x ＜1时，y ＜0；当x ＞1时，y ＞0当0＜x ＜1时，y ＞0；当x ＞1时，y ＜0性质单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数【小结】当1a >时，图象呈上升趋势；当01a <<时，图象呈下降趋势；当1a >时，a 越大，图象向右越靠近x 轴；01a <<时，a 越小，图象向右越靠近x 轴.六、判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如log (01)a y x a a =>¹且的形式，即必须满足以下条件（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量x七、对数值比较大小的常用方法1、同底：可直接利用单调性求解；2、不同底：一种方法是化为同底，另一种方法是寻找中间量；3、不同底单同真数：可利用图象的高低与底数的大小关系来解决，或利用换底公式化为同底再进行比较；4、底数和真数都不相同：常借助中间量-1,0,1来进行比较；5、如果底数为字母：要分类讨论，进行分类讨论时，要做到不重不漏。
2025年高考数学一轮复习-2.6-对数与对数函数-专项训练【含答案】
2025年高考数学一轮复习-2.6-对数与对数函数-专项训练（原卷版）[基础强化]一、选择题1．lg 52＋2lg 2－(12)－1＝()A ．1B ．－1C ．3D ．－32．函数y ＝log 12（3x －2）的定义域是()A ．[1，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．23，1D ．(23，1]3．函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的单调递增区间是()A ．(－∞，0)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，1)4．若函数f (x )＝(m －2)x a 是幂函数，则函数g (x )＝log a (x ＋m )(a >0且a ≠1)的图像过点()A ．(－2，0)B ．(2，0)C ．(－3，0)D ．(3，0)5．[2024·江西省高三联考]设a ＝log 0.222022，b ＝sin (sin 2022)，c ＝20220.22则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <b <a 6．[2024·河北省高三二模]已知x ＝(43)54，y ＝log 45，z ＝log 34，则x 、y 、z 的大小关系为()A ．y >x >zB ．x >y >zC ．z >x >yD ．x >z >y7．已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则()A ．f (x )在(0，2)上单调递增B ．f (x )在(0，2)上单调递减C ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图像关于点(1，0)对称8．若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()9．[2024·重庆市高三质量检测]若函数f (x )＝log a (－3x 2＋4ax －1)有最小值，则实数a 的取值范围是()A ．(32，1)B ．(1，3)C ．(0，32)D ．(3，＋∞)二、填空题10．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________.11．函数f (x )x－log 2(x ＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________．12．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________.[能力提升]13．[2024·江西省九江市二模]牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．如果物体的初始温度为T 0，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足T －T c ＝(12)t h (T 0－T c )，其中T c 是环境温度，h 为常数．现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m 分钟后，该物体的温度降至30℃，则m 的值约为(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)()A ．2.9B ．3.4C ．3.9D ．4.414．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A．1.5B．1.2C．0.8D．0.615．[2024·江西省高三一模]纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展．许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算．0123451248163267891011641282565121024204812 (19202122)4096 (524288104857620971524194304)232425…83886081677721633554432…如512×1024，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘．这两者的积，其实就是2的个数做一个加法．所以只需要计算9＋10＝19.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了．若x＝log4(20211226×1314520)，则x落在区间()A．(15，16)B．(22，23)C．(42，44)D．(44，46)16．已知函数f(x)＝log a(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，若函数g(x)＝a x＋m－3的图像不经过第一象限，则m的取值范围为________参考答案与解析1．B原式＝lg 52＋lg 4－2＝lg －2＝1－2＝－1.2．D 由题意得log 12(3x －2)≥0，即0<3x －2≤1.∴23<x ≤1.3．A 函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的单调增区间为(－∞，0).4．A ∵f (x )＝(m －2)x a 为幂函数，∴m －2＝1，m ＝3，∴g (x )＝log a (x ＋3)，又g (－2)＝0，∴g (x )的图像过(－2，0).5．A 因为a ＝log 0.222022<log 0.2210.22＝－1，－1<b ＝sin (sin 2022)<1，c ＝20220.22>20220＝1，所以a <b <c .故选A.6．D ∵y ＝log 45>1，z ＝log 34>1，∴y z ＝log 45log 34＝log 45·log 43≤(log 45＋log 432)2＝(log 4152)2＝(log 415)2<(log 44)2＝1，即z >y ，∵43＝log 3343，而(343)3＝34＝81>43＝64，∴43＝log 3343>log 34，又43＝(43)1<(43)54，∴x >z ，综上，x >z >y .7．C f (x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝ln [x (2－x )]＝ln (－x 2＋2x ).设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0，2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln (－x 2＋2x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．∴选项A 、B 错误；∵f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图像关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确；∵f (2－x )＋f (x )＝[ln (2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln (2－x )]＝2[ln x ＋ln (2－x )]，不恒为0，∴f (x )的图像不关于点(1，0)对称，∴选项D 错误．8．B 由y ＝log a x 的图像可知1，所以a ＝3.对于选项A ：y ＝3－x x为减函数，A 错误；对于选项B ：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C ：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误；对于选项D ：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.9．A 依题意a ∈(0，1)∪(1，＋∞)且－3x 2＋4ax －1>0，所以Δ＝16a 2－12>0，解得a >32或a <－32，综上可得a ∈(32，1)∪(1，＋∞)，令－3x 2＋4ax －1＝0的根为x 1、x 2且x 1<x 2，u (x )＝－3x 2＋4ax －1，y ＝log a u ，若a ∈(1，＋∞)，则y ＝log a u 在定义域上单调递增，u (x )＝－3x 2＋4ax －1在(x 1，2a 3)上单调递增，在(2a 3，x 2)上单调递减，根据复合函数的单调性可知，f (x )＝log a (－3x 2＋4ax －1)在(x 1，2a 3)上单调递增，在(2a 3，x 2)上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若a ∈(32，1)，则y ＝log a u 在定义域上单调递减，u (x )＝－3x 2＋4ax －1在(x 1，2a 3)上单调递增，在(2a 3，x 2)上单调递减，根据复合函数的单调性可知，f (x )＝log a (－3x 2＋4ax －1)在(x 1，2a 3)上单调递减，在(2a 3，x 2)上单调递增，所以函数在x ＝2a 3取得最小值，所以a ∈(32，1).10．－7解析：∵f (3)＝log 2(9＋a )＝1，∴9＋a ＝2，a ＝－7.11．8解析：因为函数y x，y ＝－log 2(x ＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，f (x )x －log 2(x ＋4)在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f (x )的最大值为f (－2)－2－24)＝9－1＝8.－∞，32解析：∵0<－x 2＋22≤22，∴log 2(－x 2＋22)≤log 222＝32.13．B 由75－15＝(12)1h (105－15)，有(12)1h ＝23，又30－15＝(12)m h (75－15)，有(12)m h ＝14，即(23)m ＝14，则m lg 23＝lg 14，解得m ＝－lg 4lg 2－lg 3＝2lg 2lg 3－lg 2≈3.4.14．C 4.9＝5＋lg V ⇒lg V ＝－0.1⇒V ＝10－110＝11010≈11.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.15．B x ＝log 4(20211226×1314520)＝12log 2(20211226×1314520)，设20211226＝2m ，1314520＝2n ，由表格得知：220＝1048576，221＝2097152，224＝16777216，225＝33554432，所以24<m <25，则20<n <21，所以m ＋n ∈(44，46)，log 2(20211226×1314520)∈(44，46)，则x ＝12log 2(20211226×1314520)∈(22，23).16．[－1，＋∞)解析：∵函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，而f (0)＝0，∴f(－2)＝log a3＝－1，∴a＝13，∴g(x)x＋m－3，令g(x)＝0，得x＝－m－1，则－m－1≤0，求得m≥－1，故m的取值范围为[－1，＋∞).。
例谈对数平均不等式在高考中的应用
例谈对数平均不等式在高考中的应用数平均不等式在高考中的应用：
1. 三角函数的考题：在高考三角函数考题中，运
用到数平均不等式时并不多见，但是其中仍有一
些细节上的应用，如果考生掌握了数平均不等式，可以简化不少三角函数的解答步骤，有助于整体
的解答，提高考试的得分。
2. 方程的求解：数平均不等式在解方程的过程中
有重要的作用，考生可以在对函数变换时使用数
平均不等式，求解方程最终结果，可以得到解析
解，比较直接有利于及时正确求解题目，节省算法步骤，保证题目正确率高。
3. 网络题：在高考考网络题时，考生可以利用数平均不等式，对一些网络变量进行最优排列，保证网络的节点变换的有效性，同时可以精确计算网络的最短路径，及时准确地完成题目。
4. 统计题：统计学中数平均不等式的应用也是重要的，当考生在分析统计数据时，可以用数平均不等式公式迅速给出结论，更直接精确地推出假设概率，充分发挥数学的优势，更能反映考试中统计数据的实际含义，提高题目的得分。
总结来看，数平均不等式不仅广泛应用于高考数
学考题，而且在高考中有着巨大的作用，考生要
熟练掌握数平均不等式的应用，深入理解数理科
学的思想，在高考中发挥特长，取得更高的成绩。
对数平均值的几何解释与探究(岳峻)
ab
四、对数平均值的几何解释
（3）又 S矩形ABQX < S曲边梯形ABQP < S梯形ABQP ， < S矩形ABYP , 1 1骣 1 1÷ 1 ç + ÷ (b - a) < (b - a),L ③ 所以 b (b - a) < ln b - ln a < 2 ç ÷ ç 桫 a b a
综上可知：
2(b - a) 1 b- a 1 骣 1 1÷ 1 ç < ln b - ln a < < ç + ÷ (b - a) < (b - a) < (b - a) ÷ ç 桫 b a+ b a ab 2 a b
即 b>
a+ b b- a > > 2 ln b - ln a
ab >
2 1 1 + a b
二、对数平均值的不等式链
设 b a 0, a b，则
a+ b b- a b> > > 2 ln b - ln a
ab >
2 1 1 + a b
>a
三、不等式链的证明
a+ b b- a > 下面以 为例加以证明。 2 ln b - ln a
思路1：由于 a , b 为两个独立的变量，如果能 够变形为一个整体，那么就可以构造两个变量的 比值（或差值）通过换元转化为一元变量，再利 用导数这个工具证明此不等式.
五、不等式链的应用
1
b> b- a > a ( a > 0) ln b - ln a
的应用
解析：将以上各不等式左右两边分别相加得： 2 2 2 2 2 ln 2n 1 3 5 7 2n 1 2n 1
2023 届高考数学专项(对数与对数函数)经典好题练习(附答案)
2023 届高考数学专项(对数与对数函数)经典好题练习1.(历年山东烟台模拟,1)已知集合A=x 14≤2x ≤4,B=y y lgx ,x 110,则A ∩B=( )A.[-2,2]B.(1,+∞)C.(-1,2]D.(-∞,-1]∪(2,+∞)2.(历年辽宁大连一中考前模拟,理7)已知a ,b 是非零实数,则“a>b ”是“ln |a|>ln |b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(历年山东济宁二模,6)设a=14log 213,b=120.3,则有( )A.a+b>abB.a+b<abC.a+b=abD.a-b=ab4.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据:lg 3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.10935.(历年山东德州二模,6)已知a>b>0,若log a b+log b a=52,a b =b a ,则a b=( ) A.√2 B.2 C.2√2 D.46.(多选)有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若e =ln x ,则x=e 2;④ln(lg 1)=0.其中正确的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 7.(多选)若函数f (x )=log a (ax-3)在[1,3]上单调递增,则a 的取值可以是( )A.6B.3C.4D.58.(多选)设f (x )=lg 21-x+a 是奇函数,则使f (x )<0的x 的取值可能为( )A.-1B.-13C.0D.-129.log 24+log 42= ,log a b+log b a (a>1,0<b<1)的最大值为 . 10.当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2<log a x 恒成立,则a 的取值范围为 . 11.若函数f (x )=log x ,x 2,-x 2x -2,x 2(a>0,且a ≠1)的值域是(-∞,-1],则实数a 的取值范围是 .12.函数f(x)=log2√xꞏlo g√ 2x的最小值为.13.(历年山东青岛二模,7)已知非零实数a,x,y满足lo g x<lo g y<0,则下列关系式恒成立的是()A.1x2 1 1y2 1B.x+y>yx xyC.1|a| 1x<1|a| 1yD.y x>x y14.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z15.(历年山东模考卷,8)若a>b>c>1,且ac<b2,则()A.log a b>log b c>log c aB.log c b>log b a>log a cC.log c b>log a b>log c aD.log b a>log c b>log a c16.(历年山东菏泽一模,8)已知大于1的三个实数a,b,c满足(lg a)2-2lg a lg b+lg b lg c=0,则a,b,c的大小关系不可能是()A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c17.(历年河北保定一模,理12)设函数f(x)=log0.5x,若常数A满足:对∀x1∈[2,22 020],存在唯一的x2∈[2,22 020],使得f(x1),A,f(x2)成等差数列,则A=()A.-1 010.5B.-1 011C.-2 019.5D.2 020参考答案1.C 由不等式142x ≤4,得-2≤x ≤2,即A={x|-2≤x ≤2}.因为函数y=lg x 单调递增,且x>110,所以y>-1,即B={y|y>-1},则A ∩B=(-1,2].故选C .2.D 由于ln |a|>ln |b|,则|a|>|b|>0.由a>b 推不出ln |a|>ln |b|,比如a=1,b=-2,有a>b ,但ln |a|<ln |b|;反之,由ln |a|>ln |b|推不出a>b ,比如a=-2,b=1,有ln |a|>ln |b|,但a<b.故“a>b ”是“ln |a|>ln |b|”的既不充分也不必要条件.故选D .3.A a=14log 213=log 21314=log 23-14>log 24-14=-12,b=120.3>120.5=√22,∴ab<0,a+b>0,∴a+b>ab ,故选A .4.D设M N =x=33611080,两边取对数,得lg x=lg33611080=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x ≈1093.28,即与MN最接近的是1093.故选D . 5.B ∵log a b+log b a=52,∴log a b+1log a b52,解得log a b=2或log a b=12,若log a b=2,则b=a 2,代入a b =b a 得a=(a 2)a =a 2a , ∴a 2=2a ,又a>0,∴a=2,则b=22=4,不合题意; 若log a b=12,则b=√a ,即a=b 2,代入a b =b a 得(b 2)b =b 2b =,∴2b=b 2,又b>0,∴b=2,则a=b 2=4,∴a b=2.故选B .6.AB 因为lg 10=ln e =1,lg(lg 10)=lg 1=0,lg(ln e)=lg 1=0,所以①②均正确;若e =ln x ,则x=e e ,故③错误;因为lg 1=0,而ln 0没有意义,故④错误.故选AB .7.ACD 由于a>0,且a ≠1,∴u=ax-3为增函数,∴若函数f (x )为增函数,则f (x )=log a u 必为增函数,因此a>1.又y=ax-3在[1,3]上恒为正,∴a-3>0,即a>3,故选ACD . 8.BD 由f (-x )=-f (x ),即lg21 x+a =-lg21-x+a ,21 x +a=21-x+a -1,即2 a ax 1 x1-x2 a -ax,则1-x 2=(2+a )2-a 2x 2恒成立,可得a 2=1,且(a+2)2=1,解得a=-1,∴f (x )=lg 1 x1-x,定义域为(-1,1).由f (x )<0,可得0<1 x1-x<1,∴-1<x<0.故选BD .9.52-2 因为log 24+log 42=log 222+lo g 2=2+1252.由换底公式可得log b a=1log a b,因为a>1,0<b<1,所以log a b<0,log b a<0,所以log a b+log b a=-[(-log a b )+(-log b a )]≤-2,当且仅当log a b=log b a 时,等号成立,故log a b+log b a 的最大值为-2. 10.(1,2] 设f 1(x )=(x-1)2,f 2(x )=log a x ,要使当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2<log a x 恒成立,只需f 1(x )=(x-1)2在(1,2)上的图像在f 2(x )=log a x 的下方即可,如图所示.当0<a<1时,显然不成立.当a>1时,如图,要使在区间(1,2)上, f 1(x )=(x-1)2的图像在f 2(x )=log a x 图像的下方,只需f 1(2)≤f 2(2), 即(2-1)2≤log a 2.即log a 2≥1,则1<a ≤2,即a 的取值范围为(1,2]. 11.12,1 x ≤2时,f (x )=-x 2+2x-2=-(x-1)2-1,f (x )在(-∞,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减,∴f (x )在(-∞,2]上的最大值是f (1)=-1,所以f (x )的值域是(-∞,-1];又当x>2时,log a x ≤-1,故0<a<1,且log a 2≤-1,∴12a<1,故实数a 的取值范围为12,1.12.-14由题得,x>0,∴f (x )=log 2√x lo g √ 2x=12log 2x ꞏlog 24x 2=12log 2x ꞏ(log 24+2log 2x )=log 2x+(log 2x )2=log 2x+122-14-14.当且仅当x=√22时,有f (x )min =-14.13.D 因a 2+1>1,且lo g x<lo g y<0,由对数函数的单调性,得0<x<y<1,令x=14,y=12,将x=14,y=12代入选项,得A,B,C 不成立,D 成立,故选D .14.D 由2x =3y =5z ,同时取自然对数,得x ln 2=y ln 3=z ln 5.由2x 3y2ln33ln2ln9ln8>1,可得2x>3y.再由2x 5z2ln55ln2ln25ln32<1,可得2x<5z.所以3y<2x<5z ,故选D .15.B 因为a>b>c>1,且ac<b 2,令a=16,b=8,c=2,则log c a=4>1>log a b ,故A,C 错误;log c b=3>log b a=43,故D 错误,B 正确.故选B.16.D 令f (x )=x 2-2x lg b+lg b lg c ,则lg a 为f (x )的零点,且该函数图像的对称轴为x=lg b ,故Δ=4lg 2b-4lg b lg c ≥0.因为b>1,c>1.故lg b>0,lg c>0.所以lg b ≥lg c ,即b ≥c.又f (lg b )=lg b lg c-lg 2b=lg b (lg c-lg b ),f (lg c )=lg 2c-lg b lg c=lg c (lg c-lg b ),若b=c ,则f (lg b )=f (lg c )=0.故lg a=lg b=lg c ,即a=b=c.若b>c ,则f (lg b )<0,f (lg c )<0,利用二次函数图像,可得lg a<lg c<lg b ,或lg c<lg b<lg a ,即a<c<b ,或c<b<a.故选D .17.A 因为对∀x 1∈[2,22 020],存在唯一的x 2∈[2,22 020],使得f (x 1),A ,f (x 2)成等差数列,所以2A=f (x 1)+f (x 2),即2A-f (x 1)=f (x 2).因为f (x )=log 0.5x 在[2,22 020]上单调递减,可得f (x )在[2,22 020]的值域为[-2 020,-1],故y=2A-f (x )在(0,+∞)单调递增,可得其在区间[2,22 020]的值域为[2A+1,2A+2 020].由题意可得[2A+1,2A+2 020]⊆[-2 020,-1],即2A+1≥-2 020,且2A+2 020≤-1,解得A ≥-2 0212,且A ≤-2 0212,可得A=-2 0212.故选A .。
例谈对数平均不等式在高考中的应用_邓军民
GUAN G D ONG JIAO YU GAO ZHONG 例谈对数平均不等式在高考中的应用高中数学教材上的算术几何平均不等式是大家最熟悉的常用不等式，对这个不等式加强之后的对数平均不等式大家可能见得比较少，笔者在此借助近几年的高考题及自主招生题，谈谈这个不等式的简单应用．对数平均不等式的基本内容如下：当a＞0，b＞0，且a≠b时，有：ab姨＜a－bln a－ln b ＜a＋b2．证明：由对称性，不妨设a＞b＞0，（1）∵a－bln a－ln b ＜a＋b2圳ln a－ln b＞2（a－b）a＋b圳ln ab＞2（ab－1）ab＋1圳ln x＞2（x－1）x＋1（x＝ab＞1），构造函数f（x）＝ln x－2（x－1）x＋1（x＞1），则f′（x）＝（x－1）2x（x＋1），∵x＞1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（1，＋∞）单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0，所以可知a－bln a－ln b＜a＋b2成立．（2）∵ab姨＜a－bln a－ln b圳ln a－ln b＜a－bab姨圳ln ab＜ab－1ab姨圳2ln x＜x－1x（x＝ab姨＞1），构造函数g（x）＝2ln x－（x－1x）（x＞1），则g′（x）＝－（1x－1）2，∵x＞1，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（1，＋∞）单调递减，∴g（x）＜g（1）＝0，所以可知ab姨＜a－bln a－ln b成立．综上所述，当a＞0，b＞0，且a≠b时，有：ab姨＜a－bln a－ln b＜a＋b2．■邓军民11．阅读下面材料，根据要求作文。
有一个信者在屋檐下躲雨，看见一位禅师正撑伞走过，于是就喊道：“禅师！普度一下众生吧！带我一程如何？”禅师道：“我在雨里，你在檐下，而檐下无雨，你不需要我度。
”信者立刻走出檐下，站在雨中，说道：“现在我也在雨中，该度我了吧！”禅师：“我也在雨中，你也在雨中，我不被雨淋，因为有伞；你被雨淋，因为无伞。
所以不是我度你，而是伞度我，你要被度，不必找我，请自找伞！”说完便走了！要求全面理解材料，但可以选择一个侧面、一个角度构思作文。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)对数与对数函数(精练：基础+重难点)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第11练对数与对数函数（精练）【A组在基础中考查功底】．．．．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案.【详解】依题意ππ),,22y x x⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，cos x为偶函数，则ln(cos)x为偶函数，令1()44g b a b b b=+=+，根据对勾函数的图像与性质易得所以()(1)5g b g >=．故4a b +>故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数要求积的最大值，．．．．【答案】A【分析】先求出定义域，由)x 为偶函数，结合函数在数值的正负，排除BC ，结合函数图象的走势，排除D ，得到正确答案【详解】()22ln x x f x =变形为，定义域为()(,00,∞-U当01a <<时，函数()lg f x x =在函数()πsin2x g x =在[]0,a 上单调递增，所以所以π1sin22a a a M m -==，解得15．（2023·上海·高三专题练习）若实数x 、y 满足lg x m =、110m y -=，则xy =______________．【答案】10【分析】根据指数式与对数式的关系，将lg x m =转化为指数式，再根据指数运算公式求值.【详解】由lg x m =，得10m x =，所以1110101010m m m m xy -+-=⋅==，【B组在综合中考查能力】A ．14B ．15C ．16D ．【答案】D【分析】根据题意可得()10145n-%≤，两边取对数能求出冷轧机至少需要安装轧辊的对数【详解】厚度为10α=mm 的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n 对轧辊后厚度为【C组在创新中考查思维】则函数()y f x =的图象关于直线令()t f x =因为函数()()()2g x f x af x =+由题意可知，4cos 25θ=，所以22tan 3tan 2,1tan 4θθθ==-解得tan 因为θ为锐角，所以tan 3,1θ=由对称性，不妨取直线AD 进行研究，则直线。
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2( x 2 -x 1) a a 2 = ( x2 +b ( x 2 - x 1)= ( x2 + 2 -x 1 ) x 2 +x 1 2 2 2 a x 2 +bx ) bx 2) ( ln x 2 -ln x 1 . 1 =y 2 -y 1 = 2 1 x 2 -x 1 x 1 +x 2 所以 = . ln x 2 ln x 1 2 注意到 x 1 <x 2 , 由对数平均与算术平均的大小 关系 , 上式是不成立的 . 所 以假设不成立 , 故 C1 在 点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行 . 高考 数学 辽宁 卷连 续三 年的高 考压 轴题 ( 例 2 —例 4 , 例 7) 都可利用对数平均与算术 、几何平均 不等式来证明 , 实属罕见 . 例2 ( 2009 年高考数学辽宁卷理科第 21 题) 1 已知函数 f ( x) = x 2 -ax + ( a -1) ln x , a >1 . 2 ( Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性 ; ( Ⅱ) 证 明 : 若 a <5 , 则 对任 意 x 1 , x 2 ∈ ( 0, +∞ ) , x 1 ≠ x2 , 有 f( x 1) -f ( x2 ) >1. x 1 -x 2 解析 ( Ⅰ)略 ; 关于 ( Ⅱ) 的证明 , 标准答案及
≥2 =2
⑤ a1 - a =
( a11) . 由 1 < a <5
2
-1 <
a1 -1 <1
( a11) >1 , 所以
f( x1 ) -f ( x 2) >-1 . x 1 -x 2
例3 ( 2010 年高考数学辽宁卷文科第 21 题) 已知函数 f ( x) = ( a +1) ln x +ax 2 + 1. ( 1)讨论函数 f ( x) 的单调性 ; ( 2) 设 a ≤ -2 . 证明: 对 任 意 x1 , x 2 ∈ ( 0,
a b -1 x1 a 2( ) ln x > 2( ) ( 其中 x = ) . a x+ 1 b +1 b x -1 构造函数 f ( x )=ln x -2 ( x >1) ,则 x +1)(
2 1 4 ( x -1) f′ ( x) =x 2= 2. ( x+ 1) x ( x +1) 因为 x >1 时 , f′ ( x) >0 , 所以函数 f ( x) 在区
1 , 取 k =1 , 2 , …, n , 得 到 n 个不等式 , 两边叠 k +1 加 , 化简 得 1 + 1 + 1 + … + 1 > ln ( n +1 )+ 2 3 n n ( n ≥1) . 2( n+ 1) 例6 ( 2011 年高考数学湖南卷文科第 22 题) 设函数 f ( x) =x 1 -a ln x ( a ∈ R) x ( Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性 ; ( Ⅱ)若 f ( x) 有两个极值点 x 1 和 x 2 , 记过点 A ( x1 , f( x 1) ) , B( x2 , f( x2 ) ) 的直线的斜率为 k . 问: 是否存在 a , 使得 k =2 -a ? 若存在 , 求出 a 的值 ; 若不存在 , 请说明理由 . 简析 ( Ⅰ)略 ; ( Ⅱ) 由( Ⅰ) 知 , a >2 且 x 1 x 2 = 1. 因为 f ( x 1 )- f (x 2 )= x 1 - x 2 + a( ln x 1 ln x 2) , f( x 1) -f ( x 2) 1 =1 + x 1 -x 2 x1x2 ln x 1 -ln x 2 ln x 1 -ln x 2 a· = 2 -a· . x 1 -x 2 x 1 -x 2 所以 k = 若存在 a , 使得 k = 2 -a , 则 x 1 -x 2 = x1 x2 . ln x 1 -ln x 2 ln x 1 ln x 2 = 1. 即 x 1 -x 2 x 1 -x 2 x1x2
·专论荟萃· Leabharlann 数学通讯 — 2012 年第 11 期 ( 下半月)
35 f( x 1) -f ( x 2) x1 - x2
a b ( a ≥b > 0) b a 3 链接高考压轴题 ln a ln b ≤
④
大多数教辅资料采用的是将不等式 >1 进行下述的变形 : 不妨 设 x 1 > x 2 >0 ,
f( x1 ) -f ( x 2) > -1 x 1 -x 2 f( x 1 )+ x 1 >
f( x 1 )- f ( x 2)> -( x1 -x2) f( x 2) + x2 ,
然后证明函 数 F ( x )= f ( x )+ x 在区 间 ( 0, +∞ ) 单调递增 . 这样的解法确实巧妙 、简洁 , 需要解题者具有灵 活的应变能力 . 在欣赏这个妙解的同时 , 一定会有人 提出这样的问题 : 有没有直接的解法 ? 最近文[ 2] 也 指出 : “ 当我 们看 到要证 明的 不等式 时 , 首先 想到 ( x1 , f( x 1) ) 和( x2 , f ( x 2) ) 是函数图象上两点的坐 标 , 而证明的不等式就是在函数图象上任取两点斜 率的取值范围 , 这其实是不等式的几何背景 , 但如何 确定函数图象 上任意两点斜率的最小 值是有难度 的” , 但笔者认为利用对数平均 — 算术平均不等式 , 就可突破难点 . f( x 1) -f ( x2 ) x 1 -x 2 = x1 + x2 ln x 1 ln x 2 + ( a -1) · x -x -a 2 1 2 x 1 +x 2 ln x 1 ln x 2 · ( a1) -a 2 x 1 -x 2 x 1 +x 2 ln x 1 ln x 2 · -a . 2 x 1 -x 2 由算术平均与对数平均的不等关系式 ① 得 a -1· x 1 +x 2 x 1 -x 2 > 2 ln x 1 ln x 2 x 1 +x 2 ln x 1 -ln x 2 · > 1 2 x1 - x2 所以 f( x 1) -f ( x 2) >2 x 1 -x 2
2. 1 对数平均与算术平均 、 几何平均的大小关系 a +b L( a , b) ≤ 2 L( a , b) ≥ ab 等式 ①, ② 等号成立) , 不等 式 ① ln a -ln b > 2 ( a -b) a ln > a +b b ① ②
证明 由对称性不妨设 a >b ( 当 a =b 时 , 不
∵ a <1 时 , a +1 < 0, a < 0, f( x 1) -f ( x 2) ∴ x1 - x2 ln x 1 -ln x 2 =( a+ 1) +a ( x 1 +x 2) x1 - x2 ln x 1 -ln x 2 =( a+ 1) + a( x 1 +x 2 ) x1 - x2 ≥ 2 = 2 > 2 ln x 1 -ln x 2 ( a +1) · a( x 1 +x 2) x 1 -x 2 ln x 1 -ln x 2 x 1 +x 2 2 a( a +1) · · x 1 -x 2 2 2 a( a +1) . ( 注: 上面利用了 ⑤ 式) ∴2 2a( a+ 1) ≥ 4 a ≤2. 故 a 的取值范围是( -∞, 2] . 例5 ( 2010 年高考数学湖北卷理科第 21 题) 已知函数 f ( x )=ax + b +c ( a >0) 的图象在 点 x ( 1 , f( 1) ) 处的切线方程为 y =x -1 . ( Ⅰ)用 a 表示出 b , c ; ( Ⅱ)若 f ( x) ≥ ln x 在[ 1 , +∞ ) 上恒成立 , 求 a 的取值范围 ; ( Ⅲ)证明 : 1+ n ( n≥ 1) . 2( n +1) 简析 ( Ⅰ)略 ; ( Ⅱ) 略; ( Ⅲ)于不等式 ④ 中取 a = ( k +1) , b =k ( k∈ N +) 得 2( ln ( k +1)-ln k )≤ k+ 1 k 1 = + k k+ 1 k
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数学通讯 — 2012 年第 11 期 ( 下半月) ·专论荟萃·
+∞ ) , f( x1 ) -f ( x 2) ≥ 4 x 1 -x 2 . 例4 ( 2010 年高考数学辽宁卷理科第 21 题) 已知函数 f ( x) = ( a+ 1) ln x +ax 2 +1 . ( 1)讨论函数 f ( x) 的单调性 ; ( 2) 设 a < - 1 . 如 果 对 任 意 x 1 , x2 ∈ ( 0, +∞ ) , f( x 1) -f ( x 2) ≥4 x 1 -x 2 , 求 a 的取值 范围 . 下面仅讨论例 4 . 解析 ( 1)略 ; ( 2)当 x 1 =x 2 时 , 不等式成立 , 取等号 ; 当 x 1 ≠x 2 时 , f ( x 1) -f ( x 2 ) ≥4 x 1 - x 2 恒成立 f( x 1) -f ( x 2) ≥ 4. x1 - x2 min
间[ 1 , +∞ ) 上单调递增 , 故 f ( x) >f ( 1) = 0. 从而不 等式 ①成立 . 不等式 ② ln a -ln b < b a a -b ab ln a a < b b
1 a 2ln x <x - ( 其中 x = ) . x b
1 构造函数 g ( x) =2ln x ( x - )( x >1) ,则 x 2 1 1 2 g′ ( x) =x 1 - 2 =( 1 -x ) . x 因为 x >1 时 , g′ ( x) <0 , 所以函数 g ( x) 在区 间[ 1 , +∞) 单调递减 , 故 g ( x) <g ( 1) =0 . 从而不 等式 ②成立 . 有了不等式 ①, ②我们就可将不等式链 ( ＊ ) 加 密为 : H( a , b) ≤G( a , b) ≤L( a , b) ≤A ( a , b) ≤S ( a , b)( 当且仅当 a =b 时取等号) 2. 2 对数平均不等式的等价形式 2( a -b) ln a -ln b ≥ ( a ≥b > 0) a +b ③ ( ＊＊ )