对数平均与高考压轴题_

≥2 =2
⑤ a1 - a =
( a11) . 由 1 < a <5
2
-1 <
a1 -1 <1
( a11) >1 , 所以
f( x1 ) -f ( x 2) >-1 . x 1 -x 2
例3 ( 2010 年高考数学辽宁卷文科第 21 题) 已知函数 f ( x) = ( a +1) ln x +ax 2 + 1. ( 1)讨论函数 f ( x) 的单调性 ; ( 2) 设 a ≤ -2 . 证明: 对 任 意 x1 , x 2 ∈ ( 0,
2
2( x 2 -x 1) a a 2 = ( x2 +b ( x 2 - x 1)= ( x2 + 2 -x 1 ) x 2 +x 1 2 2 2 a x 2 +bx ) bx 2) ( ln x 2 -ln x 1 . 1 =y 2 -y 1 = 2 1 x 2 -x 1 x 1 +x 2 所以 = . ln x 2 ln x 1 2 注意到 x 1 <x 2 , 由对数平均与算术平均的大小 关系 , 上式是不成立的 . 所 以假设不成立 , 故 C1 在 点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行 . 高考 数学 辽宁 卷连 续三 年的高 考压 轴题 ( 例 2 —例 4 , 例 7) 都可利用对数平均与算术 、几何平均 不等式来证明 , 实属罕见 . 例2 ( 2009 年高考数学辽宁卷理科第 21 题) 1 已知函数 f ( x) = x 2 -ax + ( a -1) ln x , a >1 . 2 ( Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性 ; ( Ⅱ) 证 明 : 若 a <5 , 则 对任 意 x 1 , x 2 ∈ ( 0, +∞ ) , x 1 ≠ x2 , 有 f( x 1) -f ( x2 ) >1. x 1 -x 2 解析 ( Ⅰ)略 ; 关于 ( Ⅱ) 的证明 , 标准答案及
1 , 取 k =1 , 2 , …, n , 得 到 n 个不等式 , 两边叠 k +1 加 , 化简 得 1 + 1 + 1 + … + 1 > ln ( n +1 )+ 2 3 n n ( n ≥1) . 2( n+ 1) 例6 ( 2011 年高考数学湖南卷文科第 22 题) 设函数 f ( x) =x 1 -a ln x ( a ∈ R) x ( Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性 ; ( Ⅱ)若 f ( x) 有两个极值点 x 1 和 x 2 , 记过点 A ( x1 , f( x 1) ) , B( x2 , f( x2 ) ) 的直线的斜率为 k . 问: 是否存在 a , 使得 k =2 -a ? 若存在 , 求出 a 的值 ; 若不存在 , 请说明理由 . 简析 ( Ⅰ)略 ; ( Ⅱ) 由( Ⅰ) 知 , a >2 且 x 1 x 2 = 1. 因为 f ( x 1 )- f (x 2 )= x 1 - x 2 + a( ln x 1 ln x 2) , f( x 1) -f ( x 2) 1 =1 + x 1 -x 2 x1x2 ln x 1 -ln x 2 ln x 1 -ln x 2 a· = 2 -a· . x 1 -x 2 x 1 -x 2 所以 k = 若存在 a , 使得 k = 2 -a , 则 x 1 -x 2 = x1 x2 . ln x 1 -ln x 2 ln x 1 ln x 2 = 1. 即 x 1 -x 2 x 1 -x 2 x1x2
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35 f( x 1) -f ( x 2) x1 - x2
a b ( a ≥b > 0) b a 3 链接高考压轴题 ln a ln b ≤
④
大多数教辅资料采用的是将不等式 >1 进行下述的变形 : 不妨 设 x 1 > x 2 >0 ,
例1 ( 2005 年高考数学湖南卷理科第 21 题) 1 已知函数 f ( x) = ln x , g ( x) = ax 2 +bx , a ≠0 . 2 ( Ⅰ)若 b = 2 , 且函数 h ( x) =f ( x )-g ( x) 存 在单调递减区间 , 求 a 的取值范围 . ( Ⅱ)设函数 f ( x) 的图象 C1 与函数 g( x) 的图 象 C 2 交于点 P , Q , 过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂 线分别交 C 1 , C2 于点 M , N . 证明 C 1 在点 M 处的 切线与 C2 在点 N 处的切线不平行 . 解析 ( Ⅰ)略 ; ( Ⅱ)设点 P , Q 的坐标分别是 ( x 1 , y 1) ,( x2 , y 2) , 0 <x1 <x2 . 则点 M , N 的横坐标为 x = x1 + x2 . 2 C 1 在点 M 处的切 线斜率为 k 1 = 2 ,C x 1 +x 2 2 a( x 1 +x 2) 在点 N 处的切线斜率为 k 2 = +b . 2 假设 C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的切 线平行 , 则 k 1 =k 2 , 即 a( x1 + x2 ) 2 = +b . 则 x 1 +x 2 2
a b -1 x1 a 2( ) ln x > 2( ) ( 其中 x = ) . a x+ 1 b +1 b x -1 构造函数 f ( x )=ln x -2 ( x >1) ,则 x +1)(
2 1 4 ( x -1) f′ ( x) =x 2= 2. ( x+ 1) x ( x +1) 因为 x >1 时 , f′ ( x) >0 , 所以函数 f ( x) 在区
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数学通讯 — 2012 年第 11 期 ( 下半月) ·专论荟萃·
+∞ ) , f( x1 ) -f ( x 2) ≥ 4 x 1 -x 2 . 例4 ( 2010 年高考数学辽宁卷理科第 21 题) 已知函数 f ( x) = ( a+ 1) ln x +ax 2 +1 . ( 1)讨论函数 f ( x) 的单调性 ; ( 2) 设 a < - 1 . 如 果 对 任 意 x 1 , x2 ∈ ( 0, +∞ ) , f( x 1) -f ( x 2) ≥4 x 1 -x 2 , 求 a 的取值 范围 . 下面仅讨论例 4 . 解析 ( 1)略 ; ( 2)当 x 1 =x 2 时 , 不等式成立 , 取等号 ; 当 x 1 ≠x 2 时 , f ( x 1) -f ( x 2 ) ≥4 x 1 - x 2 恒成立 f( x 1) -f ( x 2) ≥ 4. x1 - x2 min
间[ 1 , +∞ ) 上单调递增 , 故 f ( x) >f ( 1) = 0. 从而不 等式 ①成立 . 不等式 ② ln a -ln b < b a a -b ab ln a a < b b
1 a 2ln x <x - ( 其中 x = ) . x b
1 构造函数 g ( x) =2ln x ( x - )( x >1) ,则 x 2 1 1 2 g′ ( x) =x 1 - 2 =( 1 -x ) . x 因为 x >1 时 , g′ ( x) <0 , 所以函数 g ( x) 在区 间[ 1 , +∞) 单调递减 , 故 g ( x) <g ( 1) =0 . 从而不 等式 ②成立 . 有了不等式 ①, ②我们就可将不等式链 ( ＊ ) 加 密为 : H( a , b) ≤G( a , b) ≤L( a , b) ≤A ( a , b) ≤S ( a , b)( 当且仅当 a =b 时取等号) 2. 2 对数平均不等式的等价形式 2( a -b) ln a -ln b ≥ ( a ≥b > 0) a +b ③ ( ＊＊ )
2. 1 对数平均与算术平均 、 几何平均的大小关系 a +b L( a , b) ≤ 2 L( a , b) ≥ ab 等式 ①, ② 等号成立) , 不等 式 ① ln a -ln b > 2 ( a -b) a ln > a +b b ① ②
证明 由对称性不妨设 a >b ( 当 a =b 时 , 不
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数学通讯 — 2012 年第 11 期 ( 下半月) ·专论荟萃·
对数平均与高考压轴题
陈宽宏
( 湖南省岳阳县土地 储备中心 , 414100)
1 引言 关于两个正数 a , b 的平均数 , 《普通高 中课程 标准实验教科书》 中的算术平均与几何平均是我们 熟知的两种平均 , 在中学数学中常见的平均有 : ( 1) A ( a , b )= 平均 ; ( 2) G ( a , b )= 平均 ; ( 3)H ( a , b)= 平均 ; ( 4) S ( a , b) = 根平均 . 这四种平均数之间的大小关系为 : H( a , b) ≤G ( a , b) ≤A ( a , b) ≤S ( a , b)( ＊ ) 匡继昌教授在其专著《常用不等式》 中收录的关 于两个正数和的“ 平均” 类型多达十九种 , 上述的四 种平均都属于该书中的 “ 幂平均” . 笔者认为关于两 个正数的对数平均是非常值得我们重视的一种新的 平均 , 虽然对数平均在课标教材中未曾介绍过 , 但是 在新高考中以此为背景的压轴题已是屡见不鲜 , 只 是未挑明而已 . 早在 2005 年的高考数学湖南卷理科 第 21 题就出现了 , 接下来连续三年的高考数学辽宁 卷( 2009 年理 科第 21 题 , 2010 年 文 、理 科的 第 21 题 , 2011 年理科第 21 题) , 2010 年湖北卷理科第 21 题 , 2011 年湖南卷文科第 22 题都有 “ 对数平均” 的 影子 . 2 对数平均 两个正数 a 和 b 的对数平均定义 : a -b ( a ≠b) , ln L( a , b) = a -ln b a( a =b) . a 2 +b 2 为 a , b 两个数的平方 2 2 为 a , b 两个 数的调 和 1 1 + a b ab 为 a , b 两 个 数 的 几 何 a +b 为 a , b 两个 数的 算 术 2
Байду номын сангаас
∵ a <1 时 , a +1 < 0, a < 0, f( x 1) -f ( x 2) ∴ x1 - x2 ln x 1 -ln x 2 =( a+ 1) +a ( x 1 +x 2) x1 - x2 ln x 1 -ln x 2 =( a+ 1) + a( x 1 +x 2 ) x1 - x2 ≥ 2 = 2 > 2 ln x 1 -ln x 2 ( a +1) · a( x 1 +x 2) x 1 -x 2 ln x 1 -ln x 2 x 1 +x 2 2 a( a +1) · · x 1 -x 2 2 2 a( a +1) . ( 注: 上面利用了 ⑤ 式) ∴2 2a( a+ 1) ≥ 4 a ≤2. 故 a 的取值范围是( -∞, 2] . 例5 ( 2010 年高考数学湖北卷理科第 21 题) 已知函数 f ( x )=ax + b +c ( a >0) 的图象在 点 x ( 1 , f( 1) ) 处的切线方程为 y =x -1 . ( Ⅰ)用 a 表示出 b , c ; ( Ⅱ)若 f ( x) ≥ ln x 在[ 1 , +∞ ) 上恒成立 , 求 a 的取值范围 ; ( Ⅲ)证明 : 1+ n ( n≥ 1) . 2( n +1) 简析 ( Ⅰ)略 ; ( Ⅱ) 略; ( Ⅲ)于不等式 ④ 中取 a = ( k +1) , b =k ( k∈ N +) 得 2( ln ( k +1)-ln k )≤ k+ 1 k 1 = + k k+ 1 k
f( x1 ) -f ( x 2) > -1 x 1 -x 2 f( x 1 )+ x 1 >
f( x 1 )- f ( x 2)> -( x1 -x2) f( x 2) + x2 ,
然后证明函 数 F ( x )= f ( x )+ x 在区 间 ( 0, +∞ ) 单调递增 . 这样的解法确实巧妙 、简洁 , 需要解题者具有灵 活的应变能力 . 在欣赏这个妙解的同时 , 一定会有人 提出这样的问题 : 有没有直接的解法 ? 最近文[ 2] 也 指出 : “ 当我 们看 到要证 明的 不等式 时 , 首先 想到 ( x1 , f( x 1) ) 和( x2 , f ( x 2) ) 是函数图象上两点的坐 标 , 而证明的不等式就是在函数图象上任取两点斜 率的取值范围 , 这其实是不等式的几何背景 , 但如何 确定函数图象 上任意两点斜率的最小 值是有难度 的” , 但笔者认为利用对数平均 — 算术平均不等式 , 就可突破难点 . f( x 1) -f ( x2 ) x 1 -x 2 = x1 + x2 ln x 1 ln x 2 + ( a -1) · x -x -a 2 1 2 x 1 +x 2 ln x 1 ln x 2 · ( a1) -a 2 x 1 -x 2 x 1 +x 2 ln x 1 ln x 2 · -a . 2 x 1 -x 2 由算术平均与对数平均的不等关系式 ① 得 a -1· x 1 +x 2 x 1 -x 2 > 2 ln x 1 ln x 2 x 1 +x 2 ln x 1 -ln x 2 · > 1 2 x1 - x2 所以 f( x 1) -f ( x 2) >2 x 1 -x 2