一类分数阶中立型延迟微分系统解的存在唯一性
一阶常微分方程的可解性与解的存在唯一性
一阶常微分方程的可解性与解的存在唯一性微积分是数学的重要分支，其中一阶常微分方程是微积分的基础内容之一。
在实际应用中，我们经常遇到需要求解一阶常微分方程的问题，因此研究一阶常微分方程的可解性和解的存在唯一性具有重要意义。
一阶常微分方程是指未知函数的导数与自变量之间的关系可以用一阶导数表示的微分方程。
它的一般形式可以表示为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数。
我们的目标是找到满足该方程的函数y(x)。
首先，我们需要讨论一阶常微分方程的可解性。
一个方程是可解的，意味着我们可以找到一个或多个满足方程的函数。
对于一阶常微分方程来说，我们可以通过积分的方法来求解。
具体来说，我们可以将方程两边同时积分，得到∫dy = ∫f(x,y)dx。
通过求积分，我们可以得到方程的解。
然而，并不是所有的一阶常微分方程都是可解的。
有些方程可能没有解，或者解的形式非常复杂，无法用已知的函数表示。
这时，我们需要借助一些特殊的方法，如数值方法或级数方法，来近似求解方程。
这些方法可以在一定程度上解决一阶常微分方程的可解性问题。
接下来，我们来讨论一阶常微分方程的解的存在唯一性。
解的存在唯一性是指方程的解是否唯一确定。
根据微分方程的性质，我们可以得到解的存在唯一性的一些定理。
首先是皮卡-林德洛夫定理（Picard-Lindelöf theorem），也称为柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz theorem）。
该定理指出，如果方程的右端函数f(x, y)在某个区域内连续且满足利普希茨条件，那么方程的初值问题存在唯一解。
利普希茨条件是指存在一个常数L，使得在该区域内，对于任意的x和y1、y2，有|f(x, y1) -f(x, y2)| ≤ L|y1 - y2|。
这个定理保证了方程在一定条件下解的存在唯一性。
其次是解的局部存在唯一性定理。
该定理指出，如果方程的右端函数f(x, y)在某个点(x0, y0)的某个邻域内连续，那么方程的初值问题在该点的某个邻域内存在唯一解。
一类分数阶中立型发展方程的可解性与可控性
一类分数阶中立型进步方程的可解性与可控性引言中立型进步方程在科学探究和工程实践中扮演着重要的角色。
这类方程描述了动态系统中的延迟效应，是分数阶微积分的一种应用。
然而，分数阶中立型进步方程的可解性和可控性依旧是一个开放的问题。
本文旨在探讨这一问题，并提供一种方法来解决。
一、问题背景中立型进步方程通常被用于描述带有延迟的物理系统，例如经济学、生物学和控制系统。
分数阶微积分是对传统微积分的一种推广，可以更加准确地描述非局部和非线性现象。
然而，尽管分数阶微积分已经广泛应用于各个领域，分数阶中立型进步方程的可解性和可控性问题依旧具有挑战性。
二、方程模型我们思量以下形式的分数阶中立型进步方程：$$D^{\alpha}x(t) = f(t,x(t),x(t-\tau))$$其中，$D^{\alpha}$表示分数阶阶微分算子，$x(t)$是未知函数，$\alpha$是分数阶指数，$f(t,x(t),x(t-\tau))$是已知函数，$\tau$是时间延迟。
三、可解性的谈论为了谈论方程的可解性，我们引入适当的初值条件。
起首，我们将问题转化为求解以下积分方程：$$x(t) = x_0 + \int_{-\tau}^{t}f(t,x(t),x(t-\tau))dt $$然后，我们应用适当的分数阶靠近技术，例如Adomian分解法或Laplace变换等，来得到方程的近似解。
这些方法可以将原始的分数阶微分方程转化为一系列常微分方程，通过求解这些常微分方程，我们可以得到方程的近似解。
四、可控性的谈论方程的可控性问题是指当给定某些控制函数时，我们能否通过调整控制函数来使系统在有限时间内收敛到给定的状态。
为了谈论方程的可控性，我们可以引入适当的控制函数，例如反馈控制或开关控制等。
然后，通过探究控制函数的性质以及方程的稳定性，我们可以裁定系统是否具有可控性。
五、数值实例为了验证我们的分析结果，我们进行了一些数值实例。
我们选择了一些已知的分数阶中立型进步方程，并应用上述方法来求解方程的近似解。
一类中立型随机偏微分方程概周期解的存在性和唯一性
一类中立型随机偏微分方程概周期解的存在性和唯一性蒲晓琴【摘要】最近,P.Bezandry和T.Diagana(P.Bezandry,T.Diagana.Appl.Anal.,2007,117:1-10.)引入了均值概周期的概念,研究了一类随机时滞演化方程,并获得了其均值概周期存在和唯一的充分条件.我们将应用不动点理论和分数幂算子方法,获得一类中立型随机偏微分方程在均方意义下的概周期解的存在性和唯一性的充分条件.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)005【总页数】6页(P659-664)【关键词】中立随机偏微分方程;均值概周期;分数幂算子;不动点【作者】蒲晓琴【作者单位】中国民航飞行学院计算机学院,四川广汉618307【正文语种】中文【中图分类】O175.13Bohr最先引了概周期函数的概念，随后，Bochner将这概念推广到Polish空间．近些年来，由于概周期微分方程在物理、化学和生物数学上的应用，许多学者研究了概周期微分方程概周期解存在性问题［1－17］．随机微分方程的动力行为也被许多人研究［8－20］．最近，P．Bezandry等［21－22］引入了均值概周期的概念，研究了一类随机时滞演化方程，并获得了其均值概周期存在和唯一的充分条件．应用不动点理论和分数幂算子方法，获得了一类中立型随机偏微分方程在均值概周期解的存在性和唯一性的充分条件．假设H和K为实可分的Hilbert空间，它们的范数分别记为‖·‖和‖·‖K．设(Ω，F，{Ft}t≥0，P)为完备概率空间．L2(K，H)为Hilbert－Schmidt算子，范数记为‖·‖2．Q为对称非负算子，Q∈L2(K，H)，并且Q的迹有限．W(t)(t∈R)为定义在(Ω，F，{Ft}t≥0，P)上的取值在K上的Q－Wiener过程［23］．L2(P，H)为强可测的，均方可积的H值随机变量的全体，显然，在范数‖X‖L2(P，H)=(E‖X‖2)1/2下为Banach空间，其中E为期望．设范数为研究如下一类中立型随机偏微分方程其中，A为Hilbert空间H上的一致指数稳定解析半群最小生成元，r≥0，f，g:R×H→H和σ:R×H→为连续函数．设A:D(A) H→H为定义在Hilbert空间H上的线性算子(T(t))t≥0的解析半群最小生成元，M和δ为正常数，满足‖T(t)‖≤Me－δt对任意t≥0．假设0∈ρ(A)，那么，可以定义分数幂算子Aα对0＜α＜1．它是一闭线性算子，并且定义域D(Aα)在H中稠密．Hα记为Banach空间D(Aα)，其范数为引理1．1［24］下列2个属性成立:(i)如果0＜β＜α≤1，那么Hα→Hβ并且当A的预解式为紧时，该嵌入是紧的; (ii)对0＜α≤1，存在Cα以致为了获得主要结果，介绍一些定义和引理．设(B，‖·‖)为一Banach空间．定义1．1 一连续随机过程X:R→L2(P;B)称为均值概周期的，如果对每一个ε＞0，存在l(ε)＞0以致任何区间长度l(ε)最少存在一数τ满足下列为一些均值概周期过程的属性．引理1．2［21］如果X属于AP(R;L2(P;B))，那么:(i)映射t→E‖X(t)‖2一致连续;(ii)存在常数N＞0满足E‖X(t)‖2≤N，对t∈R．引理1．3 如果X(·)∈AP(R;L2(P;B))，那么X(·－r)∈AP(R;L2(P;B))，其中r≥0为固定常数．证明和文献［25］中的相似，故省略．设CUB(R;L2(P;B))为连续有界随机过程X: R→L2(P;B)的集合，那么，容易证明在下列范数下CUB(R;L2(P;B))为Banach空间．引理1．4［21］ AP(R;L2(P;B)) CUB(R; L2(P;B))为闭子空间．由上可知，AP(R;L2(P;B))在范数‖·‖∞下是Banach空间．设(B1，‖·‖B1)和(B2，‖·‖B2)为Banach空间．定义1．2 称连续函数F:R×B1→B2，(t，Y)→F(t，Y)关于t∈R是均值概周期的，对Y∈K是一致的，其中K B1是紧的，如果对任何ε＞0，存在l(ε，K)＞0以致对任何区间长度l(ε，K)最少存在一数τ，对任何随机过程Y:R→K满足引理1．5［21］设F:R×B1→B2，(t，Y)→F(t，Y)关于t∈R是均值概周期的，对Y∈K是一致的，其中K B1是紧的．假设F是以下列方式Lipschitz的对所有Y，Z∈B1，t∈R成立，其中M＞0，那么对所有均值概周期过程Φ:R→L2(P;B1)，随机过程t→F(t，Φ(t))是均值概周期的．(1)式的温和解的定义如下［26］:定义1．3 随机过程x(t):［δ，δ+a)→L2(P; H)，a＞0，称为(1)式在［δ，δ+a)上的温和解，如果s→AT(t－s)f(s，x(s－r))在［δ，t)可积，δ＜t＜δ+ a，并且满足为了获得所需结果，假设:(H1)函数g(t，x):R×H→H关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．存在α∈(0，1)以致(－A)αf(t，x):R×H→Hα关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．进一步，(－A)αf，g是以下列方式 Lipschitz的:存在 Lf和Lg满足对所有x，y∈H和t∈R成立．(H2)函数σ(t，x):R×H→L02关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．进一步，σ是以下列方式Lipschitz的:存在Lσ满足对所有x，y∈H和t∈R成立．定理2．1 假设(H1)和(H2)成立，并且那么(1)式在R上存在唯一均值概周期解．证明设Γ:AP(R;L2(P;H))→C(R;L2(P; H))的定义为显然，Γx(·)是连续的．定义由引理1．3、引理1．5和(H1)可知，当x为均值概周期函数时，(－A)αf(t，x(t－r))为均值概周期函数时．由引理1．2，可知(－A)αf(t，x(t－r))有界．由引理1．1和Cauchy－Schwarz不等式可得由s→AT(t－s)f(s，x(s－r))是可积的在(－∞，t)对任何t∈R，故Γ定义是合适的．由引理1．3、引理1．5和(H1)可知，当x为均值概周期函数时，(－A)αf(t，x(t－r))为均值概周期函数时．因此，对每一个ε＞0存在l(ε)＞0以致对任意区间长度l(ε)最少存在一个数τ满足对任何t∈R成立．同时有由上可知对每个t∈R成立，即I1x(t)均值概周期函数．下一步，证明当x是均值概周期函数I3x(t)和I4x(t)是均值概周期函数．该证明和文献［21］中的定理3．2相似，故省略．下一步证明I2x(t)是均值概周期函数．由引理1．3、引理1．5和(H1)可得，当x 是均值概周期函数，(－A)αf(t，x(t－r))是均值概周期函数．因此，对每一个ε＞0存在l(ε)＞0以致对任意区间长度l(ε)最少存在一个数τ满足对任何t∈R成立．由引理1．1可得因此，应用Cauchy－Schwarz不等式可得由上可知对每个t∈R成立，即I2x(t)是均值概周期函数．由上可知，Γ是AP(R;L2(P;H))对自身的映射．下面证明Γ是压缩映射．显然由于可得首先，估计上式右边第一项现在估计第二项，由引理1．1、(H1)和Cauchy－Schwarz不等式可得现在估计第三项得现在估计最后一项，应用建立在文献［27］中命题1．9的It 积分估计得因此这说明Γ(·)是压缩的．故Γ(·)存在不动点x∈AP(R;L2(P;H))，即对所有t∈R成立．固定δ∈R可得那么然而，对t≥δ，因此，x(t)是(1)式的温和解．证明完毕．致谢中国民航飞行学院面上项目(J2013－39)对本文给予了资助，谨致谢意．【相关文献】［1］HERN NDEZ E，PELICER M．Asymptotically almost periodic and almost periodic solutions for partial neutral differential equations［J］．Appl Math Lett，2005，18:1265－1272．［2］HENR QUEZ H，V SQEZ C．Almost periodic solutions of abstract retarded functional －differential equations with unbounded delay［J］．Acta Appl Math，1999，57(2):105－132．［3］LIU B，TUNC C．Pseudo almost periodic solutions for a class of nonlinear Duffing system with a deviating argument［J］．J Appl Math Comput，2015，49:233－242．［4］ZHANG L，LI H．Weighted pseudo almost periodic solutions for differential equations with piecewise constant arguments［J］．Bull Aust Math Soc，2015，92:238－250．［5］AKDAD A，EZZINBI K，SOUDEN L．Pseudo almost periodic and automorphic mild solutions to nonautonomous neutral partial evolution equations［J］．Nonauton Dyn Syst，2015，2:12－30．［6］SADRATI A，ZERTITI A．Existence and uniqueness of positive almost periodic solutions for systems of nonlinear delay integral equations［J］．Electron J Diff Eqns，2015，116:12．［7］CAO J，HUANG Z．Existence and exponential stability of weighted pseudo almost periodic classical solutions of integro－differential equations with analytic semigroups ［J］．Differ Eqns Dyn Syst，2015，23:241－256．［8］WANG W T．Positive pseudo almost periodic solutions for a class of differential iterative equations with biological background［J］．Appl Math Lett，2015，46:106－110．［9］HENRIQUEZ H，CUEVAS C，CAICEDO A．Almost periodic solutions of partial differential equations with delay［J］．Adv Difference Eqns，2015，2015:46－61．［10］WANG Q，LIU Z，LI Z，et al．Existence and global asymptotic stability of positive almost periodic solutions of a two－species competitive system［J］．Int J Biomath，2014，7:1450040．［11］ZHUANG R，YUAN R．Weighted pseudo almost periodic solutions of N－th order neutral differential equations with piecewise constant arguments［J］．Acta MathSin(Engl Ser)，2014，30:1259－1272．［12］MAQBUL M，BAHUGUANA D．Almost periodic solutions for Stepanov－almost periodic differential equations［J］．Differ Eqns Dyn Syst，2014，22:251－264．［13］EZZINBI K，ZABSORE I．Pseudo almost periodic solutions of infinite class for some functional differential equations［J］．Appl Anal，2013，92:627－1642．［14］WANG L，SHI Y．Almost periodic solutions of abstract differential equation withimpulse and time delay in Banach space［J］．Int J Appl Math Stat，2013，43:379－386．［15］VRABEL I．Almost periodic solutions for nonlinear delay evolutions with nonlocal initial conditions［J］．J Evol Eqns，2013，13: 693－714．［16］DING H，LONG W，N’GU R KATA G．Existence of pseudo almost periodic solutions for a class of partial functional differential equations［J］．Electron J Diff Eqns，2013，104:14．［17］XU Y．Existence and uniqueness of almost periodic solutions for a class of nonlinear Duffing system with time－varying delays［J］．Electron J Qual Theory Differ Eqns，2012，80:9．［18］鲍杰，舒级．高阶广义2D Ginzburg－Landau方程的随机吸引子［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2014，37(3):298－306．［19］付颖，李扬荣．无界域上带有可加白噪音的Ginzburg－Landau方程的随机吸引子［J］．西南大学学报(自然科学版)，2012，37(12):37－42．［20］杜先云，陈伟．具有可加噪声的耗散KdV型方程的随机吸引子［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2012，35(5):651－655．［21］BEZANDRY P，DIAGANA T．Existence of almost periodic solutions to some stochastic differential equations［J］．Appl Anal，2007，117:1－10．［22］BEZANDRY P．Existence of almost periodic solutions to some functional integro－differential stochastic evolution equations［J］．Stat Probabil Lett，2008，78:2844－2849．［23］PRATO G，ZABCZYK J．Stochastic Equations in Infinite Dimensions ［M］．Cambridge:Cambridge Univ Press，1992．［24］PAZY A．Applied Methematical Sciences［M］．New York:Springer－Verlag，1983．［25］DING H，LIANG J，N’GU R KATA G．Pseudo almost periodicity of some nonautonomous evolution equations with delay［J］．Nonlinear Anal:TMA，2007，67:1412－1418．［26］LIU K．Stability of Infinite Dimensional Stochastic Differential Equations with Applications［M］．London:Chapman and Hall，2004．［27］ICHIKAWA A．Stability of semilinear stochastic evolution equations［J］．J Math Anal Appl，1982，90(1):12－44．。
一类积分微分方程概周期解的存在唯一性
４ Ｊ ｌ （， ｌ ｓ ｌ ｓ Ｉ ≤ｍ ＜ ∞， ） ｃ ｄ ＋ 并存在Ｌ＝ （）＞ ， 则 式 （ ）变为 Ｌ ０ 对 Ｖｔ∈Ｒ， 有
＋
ｆ Ｊ （，）ｌ ｓ＜ 。 Ｉ ｔｓ ｌ ｃ ｄ
１ 预备知 识
定义 １ ［ 设 “Ｒ 于是 连续 的 ， ：—Ｒ 关 若对 于
［ ，］ １２ 分别研 究 了 以下 系统 。
・
一
（）＝Ａ ｔ （） （， ｔ）＋ Ｉ ｃｔ ） （）ｓ＋ｇ ｔ （， ５ｄ ｓ （，
（ 一 ）＋６ ｔ ； ｔ ） （）
・ ｒｔ
∈ 并 且 Ｒ，
ｌ （ ｓ ｌ ｘ［ （（）ｒ， （）＝ ， ≤ｅ Ｉ ）ｌ ｐ ｆ Ａ￡ｄ］其中 Ａ
Ａ［（ 】 Ⅲ丢Ａ 。 ｘ
引理 ２４ ［ 对 于 方 程 式 （ ） 若 （ ｔ ）≤ ３， Ａ（ ）
度结合 泛分 析有关 知识来 讨论 （ ） １ 的概周 期 的存在 唯一性 ， 并对解 的稳 定性也 作 了研 究 。
＠ ２ １ Ｓ ｉＴｃ ． ｎｎ ． ０ １ ｅ ｅｈ Ｅ ｇｇ ．
一
类 积分 微 分方 程 概 周期 解 的存 在 唯一 性
钱 雪森 王 良龙
（ 徽大 学 数 学 科 学 学 院 ， 肥 ２ ０ ３ ） 安 合 ３０ ９
摘
要
考虑一类 中立型积分微 分方程 的概周期解 的存在性和唯一性问题 。利用矩 阵测度 和不 动点的方法获 得概周期解存
ｌ
—
第一作者简介： 钱雪森 （９４ ） 男 ， １８ ～ ， 安徽巢湖人 ， 硕士 ， 研究 方向
微 分 方 程 与 动力 系统 。
一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法(20191022)9页word文档
一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1 存在唯一性定理1）首先考虑导数已解出的一阶微分方程(3.1.1.1)这里是在矩形域(3.1.1.2)上的连续函数。
定义1 如果存在常数，使得不等式对于所有都成立，则函数称为在上关于满足利普希茨（Lipschitz）条件，称为利普希茨常数。
定理3.1 如果在上连续且关于满足利普希茨条件，则方程(3.1.1.1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件(3.1.1.3)这里，。
我们采用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明这个定理。
为简单起见，只就区间来讨论，对于的讨论完全一样。
现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。
首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解。
然后去证明积分方程的解的存在唯一性。
任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数，显然也是连续函数，如果,那末就是积分方程的解。
否则,我们又把代入积分方程右端的，得到如果，那末就是积分方程的解。
否则我们继续这个步骤。
一般地作函数(3.1.1.4)这样就得到连续函数序列：，，…，，….如果，那末就是积分方程的解。
如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数，即存在，因而对(3.1.1.4)取极限时，就得到即，这就是说是积分方程的解。
这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。
由(3.1.1.4)确定的函数称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。
在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的。
下面我们分五个命题来证明定理1。
命题1设是方程(3.1.1.1)的定义于区间上，满足初始条件(3.1.1.3)的解，则是积分方程(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。
反之亦然。
证明因为是方程(3.1.1.1)的解，故有，两边从到取定积分得到把(3.1.1.3)代入上式，即有因此，是(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。
一类分数阶微分方程解和正解的存在性与唯一性
弓理 ２ ｌ Ｅ
引理 ３ ［
引理 ４ Ｅ
设 ａ＜０ ａ＋卢 ＜０若 ∈ ，。 （ １０ １）贝 ， （）＝ Ｊ （） ， ， 一 Ｌ ［，］ ，０ ｔ 一 『 口 ｔ．
（ “：． ， ）Ｕ Ｏ Ｄ） 厂 ｕ （）＝００＜ ＜１ （ ， ， 其 中 Ｄ）＝ Ｄｎ １ Ｓ１ （ —ａ一Ｏｎ 一… 一ａＤ ０＜ ｓ 一 １ “， １＜ｓ … ＜５ ２＜ ＜１是标准的 Ｒｅ ａｎＬ ｕｉ 分 ， ｉ ｎ—ｉ ｖｌ ｍ ｏ ｌ ｅ
数次 导数 ， 函数 厂：０ ｌ ×［ ， 。） ［ ， 。） ［ ，】 ０ ＋ 。 一 ０ ＋ 。 连续 ．０４ ，பைடு நூலகம்２０ 年 陈学 华 利 用非 线性 ＬｒｙＳｈｕｅ择 一 ｅａ．ｃａｄｒ 性定 理 ， Ａ．ａａｈｎ 与 Ｖ ｒｈ ａａｄｒ ｅ ｉ 对 Ｂｂｋａｉ ａｓａＤ ｆ ｒａ－ ｊ 的结 论进 行 了扩 展和补 充 ． ｔ Ｇ ｊ
一
类分数阶微分方程解和正解 的存在性 与唯一性
胡 雷 ，王晓娟 ，张伟光
（． １山东交 通学院 数理系 ，山东 济南 ２ ０２ ； ． ５０３ ２ 山东力 明科 技职业学院 ，山东 济南 ２０ １ ； ５ １６
３ 济南 中学 ，山东 济南 ．
２０ ０ ） ５０ １
摘
要： 研究 了一类非线性分数次微分方程初值 问题的解 的存在性、 唯一性 以及 正解 的存在
第００ ２月 卷第 期 ２９ 年 １ １
淮阴师范学 院学报 （ 自然科学 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｕ Ｉ Ｉ Ｅ Ｃ Ｅ ＳＣ Ｌ Ｅ Ｅ （ ａｕａ Ｓｉ ｃ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＨ ＡＹＮ Ｔ Ａ Ｈ Ｒ Ｏ Ｌ Ｇ Ｎ ｔ ｌ ｃｅ ｅ ｒ ｎ
一阶微分方程解存在唯一性定理Picard定理及其证明
3.1 一阶微分方程存在唯一性定理(Existence and Uniqueness Theorem ofInitial Value Problem of ODE )[教学内容] 1. 上一章内容小结和习题课; 2.介绍研究初值问题解的存在唯一性定理必要性; 3. 介绍柯西解的存在唯一性定理和Picard定理; 4. 介绍定理的证明.[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理，难点是如何引入了解定理的证明思路和过程[教学方法] 自学1、2、3；讲授4、5课堂练习[考核目标]1.知道一阶微分方程的类型及其解法;2. 知道Lipshitz条件和解的存在唯一性定理（柯西版本和Picard版本）;3. 知道Picard定理的证明思路和过程;4. 会用Picard函数序列给出微分方程初值问题的近似函数解.5. 了解和掌握Graonwall积分不等式.1. 一阶微分方程类型及其初等解法小结（1）认识一阶微分方程：一阶线性方程（交换x,y或Bernoulli方程及其他可通过引入变量替换化为一阶线性方程的）、一阶可分离变量型方程（齐次方程以及其他可化为可分离变量型的）、一阶对称形式的恰当方程（通过引入积分因子可化为恰当方程的方程）一阶隐方程（可解出x或y的类型，以及x, y, y’只含有其中两个的方程类型）（2）解法常数变易公式、Bernoulli方程的变量替换分离变量方法、齐次方程的变量替换恰当方程的解法、积分因子的求法隐方程的求导法和参数法（3）例题上述提到的方程类型各举出一个例子来，并用上面的方法来求解，允许一题多解.（4）介绍一些可以化为微分方程来求解的函数方程和积分方程（参见上节讲义）.（5）预告：下周二上午第一节课进行上一章测试，请相互转告.2. 必要准备：数学中的进化论生物上，比如水稻品种一代一代通过基因重组往高产优质方向优化，还有如下图片.在数学上也有类似的进化过程，下面就说一说.（1）考察三次代数方程 x 3+4x-2 0. 该方程没有有理根. 该方程只有唯一实根且落在[0,1]. 下面有两种思路来找到该方程的根.思路一：运用连续函数的零点定理, 记1] [0,]b ,[a 11=表示第一代；将]b ,[a 11平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第二代，即]21 [0,]b ,[a 22=；将]b ,[a 22平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第三代，即]21 ,41[]b ,[a 33=；将]b ,[a 33平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第四代，即]21 ,81[]b ,[a 44=；... ... 这样下去，]b ,[a n n 越来越接近方程的根 x ≈ 0.473466,其中误差就是|a b |n n -.思路二：运用教材P89习题9的结论和证明过程，改写方程为x 42x -3=+，记42x f(x)3+-= 则方程就是f(x)x =，方程的根也就是函数f(x)的不动点. 可以验证f(x)满足教材P89习题9的条件（自行验证）,于是方程的根存在且唯一，下面就用进化的思想来寻找方程的根.选取第一代1x 1=（这里可以选其他实数）；经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第二代25.0)f(x x 12==；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第三代496094.0)f(x x 23≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第四代469477.0)f(x x 34≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第五代474131.0)f(x x 45≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第六代473354.0)f(x x 56≈=；... ... n x 越来越接近方程的根 x ≈ 0.473466.打个比方，把方程的根比作我们想要的某种属性的对象，我们可以通过迭代（进化）过程来把它造出来或找出来。
3.1 一阶微分方程解的存在唯一性定理
第三章 一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。
2. 了解解的延拓定理及延拓条件。
3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。
211017062_分数阶随机微分方程解的存在性与唯一性
第４０卷第２期贵州大学学报（自然科学版）Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．２２０２３年 ３月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）Ｍａｒ．２０２３文章编号 １０００ ５２６９（２０２３）０２ ００２４ ０５ＤＯＩ：１０．１５９５８／ｊ．ｃｎｋｉ．ｇｄｘｂｚｒｂ．２０２３．０２．０４分数阶随机微分方程解的存在性与唯一性罗 欢 ，陈付彬，周 旋（昆明理工大学津桥学院，云南昆明６５０１０６）摘 要：研究了一类分数阶随机微分方程解的存在性与唯一性。
通过运用微分方程的半离散化技术，推导出分数阶随机微分方程解的半离散化模型，利用Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式、Ｈ ｌｄｅｒ不等式和Ｐｉｃａｒｄ逐步逼近法，证明了半离散随机模型解的存在性与唯一性。
关键词：分数阶；Ｐｉｃａｒｄ迭代；Ｍｉｔｔａｇ Ｌｅｆｆｌｅｒ函数中图分类号：Ｏ１７５．１ 文献标志码：Ａ 近年来，分数阶微积分［１］在量子力学［２］、土木工程［３］和非牛顿流体［４］等理工领域得到了快速的发展，在信号处理［５］、生物医学［６］和自动控制［７］等其他领域也发挥了积极推动的作用。
２０世纪６０年代，意大利物理学家Ｃａｐｕｔｏ提出了一种具有弱奇异性质的分数阶导数，使得Ｃａｐｕｔｏ分数阶导数解的存在性、唯一性和稳定性得到了更为广泛的研究［８ １０］。
关于确定性分数阶微分方程的文章较多，但是在某些随机环境中，模型的不确定性对系统的影响很大。
为了解决这些问题，学者提出了分数阶随机微分方程。
涉及分数阶随机微分方程解的离散模型的文章较少，大部分讨论的是连续型解的存在性和唯一性，以及对稳定性的分析。
文献［１１］建立了随机神经网络的指数稳定性判据。
ＰＥＮＧ［１２］建立了Ｇ 期望理论和Ｇ 布朗运动的概念，使Ｇ 布朗运动驱动的随机微分方程的研究工作得到了很好的发展。
文献［１３］利用逐次逼近方法将解的局部存在唯一性推广到全局存在唯一性，建立了分数阶随机微分方程两个不同解之间渐近距离的下界，推导出有界线性Ｃａｐｕｔｏ分数阶随机微分方程任意非平凡解的均方Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数总是非负的。
一类Hadamard分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性
一类Hadamard分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性张海燕;李耀红【摘要】利用Leray-Schauder选择原理及Banach压缩映射原理,本文在一定的非线性增长和压缩条件下研究了一类具有Hadamard积分边值条件的Hadamard 分数阶微分方程边值问题,获得了问题解的存在唯一性的充分条件,并给出了两个例子.【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(055)004【总页数】5页(P683-687)【关键词】Hadamard分数阶导数;分数阶微分方程;边值条件;存在唯一性【作者】张海燕;李耀红【作者单位】宿州学院数学与统计学院,宿州234000;宿州学院数学与统计学院,宿州234000【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言近年来,分数阶微分理论在黏弹性材料力学、工程问题建模、系统控制、分形几何和分形动力学等应用领域建模中得到广泛应用.由于分数阶模型描述的过程信息比整数阶微分方程更精确,分数阶微积分理论近来受到了广泛关注[1-3].虽然出现了许多分数阶微分方程边值问题解的存在性的结果[4-10],但是绝大部分研究工作都是基于Riemann-Liouville或Caputo分数阶微分方程边值问题,对Hadamard分数阶微分方程边值问题的研究则相对较少.其原因也许是Hadamard分数阶定义及计算较复杂,且与其他类型的分数阶微分之间的关联还未完全明确,因而很多现有的非线性分析计算方法不能通过简单平移进行使用.总之,对Hadamard分数阶微分方程进行深入研究很有必要.最近，文献[11]在无穷区间研究了一类Hadamard分数阶微分方程的正解,文献[12]对一类耦合的Hadamard分数阶微分方程组解的存在性进行了研究.受上述文献及其参考文献启发,本文考虑如下Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)解的存在唯一性充分条件,这里为为Hadamard分数阶导数,为γ阶Hadamard分数阶积分，f:[1,e]×R2→R是一个连续函数.和文献[11,12]比较,方程(1)中的非线性项中含有Hadamard分数阶导数,同时具有更一般的非线性增长条件,因而在应用上更方便.2 预备知识定义2.1[1] 函数g:[1,+∞)→R的α阶Hadamard分数阶积分定义为定义2.2[1] 函数g:[1,+∞)→R的α阶Hadamard分数阶导数定义为其中n=[α]+1.引理2.3[1] 若α>0，u∈C[1,e]∩L[1,e]，则有c2(lnt)α-2-…-cn(lnt)α-n,其中ci∈R,i=1,2,…,n,n如定义2.2所述.引理2.4 如果y(t)∈C([1,e],R)且1<α≤2，则分数阶微分方程(2)有唯一解(3)其中证明由引理2.3可知,Hadamard分数阶微分方程(2)的一般解为(4)利用边值条件u(1)=0，则有c2=0.又由条件知[y(t)+c1(lnt)α-1](η)=则c1=K[y(η)-y(e)].将c1,c2代入(4)式即得(3)式.引理得证.引理2.5(Leray-Schauder选择原理[13]) 设E是实Banach空间,D是E中有界凸集,T:D→D是一个全连续算子,则T在D中必具有不动点.引理2.6(Banach压缩映射原理[13]) 设D是Banach空间E的闭子集，F:D→D 是一个严格的压缩映射,即对任意x,y∈D,|Fx-Fy|≤k|x-y|成立,其中0<k<1，则F在E中有唯一不动点.3 主要结果记X={u|u∈C([1,e],R)且u∈C([1,e],R)}，则X在范数下是一个Banach空间.结合引理2.4,定义算子T:X→X如下:Tu(t)=显然，Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)有解当且仅当算子T在X中有不动点.为方便,记定理3.1 若f:[1,e]×R2→R是一个连续函数,且存在实常数μi>0(i=0,1,2)使得|f(t,x,y)|<μ0+μ1|x|σ1+μ2|y|σ2,1<t<e,0<σi<1,i=1,2(5)成立,则Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)在X中至少存在一个解.证明首先构造一个有界凸闭集.令Ωl={u(t)|u(t)∈X,‖u‖X≤l,t∈[1,e]}，这里的显然Ωl是Banach空间X中的有界凸闭集.接着，由Hadamard分数阶导数定义及(5)式,对任意u∈Ωl有|Tu(t)|≤μ1lσ1+μ2lσ2)≤μ1lσ1+μ2lσ2)=M(μ0+μ1lσ1+μ2lσ2) (6)同时,由定义2.2有μ1lσ1+μ2lσ2)=(7)因此‖Tu‖ X=故算子T:Ωl→Ωl.最后，我们分三步证明T是Ωl上的一个全连续算子.第一步,由于算子T:Ωl→Ωl且f是一个连续函数，因此算子T在Ωl上连续. 第二步，∀u∈Ωl，|f(t,u(t),u(t))|≤L=(μ0+μ1lσ1+μ2lσ2).于是，类似于(6)式和(7)式有即TΩl⊂Ωl.故算子T在Ωl上是一致有界的.第三步,∀u∈Ωl，|f(t,u(t),u(t))|≤L=(μ0+μ1lσ1+μ2lσ2).故由第二步知T:Ωl→Ωl.接着，令t1,t2∈[1,e](t1<t2).于是|(Tu)(t2)-(Tu)(t1)|≤KL|(lnt2)α-1-(lnt1)α-1|×另一方面,类似地有|Tu(t2)-Tu(t1)|≤因此,当t2→t1时,有|(Tu)(t2)-(Tu)(t1)|→0，|Tu(t2)-Tu(t1)|→0，即‖(Tu)(t2)-(Tu)(t1)‖X→0，从而T在Ωl上是等度连续的.结合以上三步的结果,由Arzela-Ascoli's定理知算子T在Ωl上是全连续的.综上所述,由引理2.5可知，算子T在Ωl中至少存在一个不动点,即Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)在X中至少存在一个解.证毕.注1 当σi=1或σi>1(i=1,2)时，用类似方法在一定条件下也可得到定理3.1的结论.定理3.2 若f:[1,e]×R2→R是一个连续函数且满足下面Lipschitz条件:|f(t,x2,y2)-f(t,x1,y1)|<λ(|x2-x1|+|y2-y1|),1<t<e,λ>0,xi,yi∈R,i=1,2(8)且Nλ<1，则Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)在X中存在唯一解.证明令其中取Ωr={u(t)|u(t)∈X,‖u‖X≤r,t∈[1,e]}.则TΩr⊂Ωr.事实上,由u∈Ωr可知|f(t,u(t),u(t))|≤|f(t,u(t),u(t))-f(t,0,0)|+|f(t,0,0)|≤λ(|u(t)|+|u(t)|)|+r′≤λ‖u(t)‖X+r′≤λr+r′.于是由(6)式和(7)式有‖Tu‖≤M(λr+r′)，因而N(λr+r′)≤r,即TΩr⊂Ωr.接着我们证明算子T是压缩映射.对ui∈Ωr,i=1,2,t∈[1,e]，有|Tu2(t)-Tu1(t)|≤|f(s,u2(s),u2(s))-Mλ(|u2(s)-u1(s)|+|u2(s)-u1(s)|)≤Mλ‖u2-u1‖X,及|Tu2(t)-Tu1(t)|≤因此，‖Tu2-Tu1‖X≤Nλ‖u2-u1‖X.注意到Nλ<1，则T是一个压缩映射.因而由引理2.6知算子T在Ωr中有唯一不动点,即Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)在X中存在唯一解.证毕.例3.3 考虑Hadamard分数阶微分方程积分边值问题(9)这里于是取显然,定理3.1条件满足.因此由定理3.1知Hadamard分数阶微分方程边值问题(9)在X中至少存在一个解.例3.4 考虑Hadamard分数阶微分方程积分边值问题(10)这里则于是|f(t,x2,y2)-f(t,x1,y1)|<取λ=1/30，则Nλ<1.显然,定理3.2条件满足.因此由定理3.2知Hadamard分数阶微分方程边值问题(10)在X中存在唯一解.参考文献:【相关文献】[1] Kilbas A A，Srivastava H M，Trujillo J J.Theory and applications of fractional differential equations[M].Amsterdam: Else vier， 2006.[2] Zhou Y，Wang J R，Zhang L.Basic theory of fractional differential equations[M].Singapore: World Scientific Pre ss， 2016.[3] 陈文，孙洪广，李西成,等.力学与工程问题的分数阶导数建模[M].北京: 科学出版社， 2012.[4] Cui Y J.Uniqueness of solution for boundary value problems for fractional differential equations[J].Appl Math Lett， 2016， 51: 48.[5] Zhang X Q.Positive solutions for a class of singular fractional differential equation wi th infinite-point boundary value conditions[J].Appl Math Lett，2015， 39: 22.[6] Zhang H Y，Li Y H，Lu W.Existence and uniqueness of solutions for a coupled system of nonlinear fractional d ifferential equations with fractional integral boundary conditions [J].J Nonlinear Sci Appl，2016， 9: 2434.[7] Wang G T.Explicit iteration and unbounded solutions for fractional integral boundary value problem on an infinite interval [J].Appl Math Lett， 2015， 47: 1.[8] Hamani S，Henderson J.Boundary value problems for fractional differential inclusions with nonlocal c onditions [J].Mediterr J Math， 2016， 13: 967.[9] 张海燕,李耀红.一类高分数阶微分方程积分边值问题的正解[J].四川大学学报:自然科学版，2016，53: 512.[10] 张立新,杨玉洁,贾敬文.一类Caputo分数阶微分方程积分边值问题的正解[J].四川大学学报:自然科学版， 2017， 54: 1169.[11] Qiao Y，Zhou Z F.Positive solutions for a class of Hadamard fractional differential equations on the Infinite interval [J].Math Appl， 2017， 30: 589.[12] Ahmad B，Ntouyas S.A fully Hadamard type integral boundary value problem of a coupled system of fractional differential equations [J].Fract Calc Appl Anal， 2014， 17: 348.[13] Deimling，K.Nonlinear functional analysis[M].Berlin: Springer， 1985.。
3-19 - 一阶微分方程解存在唯一性定理Picard定理及其证明
3.1 一阶微分方程存在唯一性定理(Existence and Uniqueness Theorem ofInitial Value Problem of ODE )[教学内容] 1. 上一章内容小结和习题课; 2.介绍研究初值问题解的存在唯一性定理必要性; 3. 介绍柯西解的存在唯一性定理和Picard定理; 4. 介绍定理的证明.[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理，难点是如何引入了解定理的证明思路和过程[教学方法] 自学1、2、3；讲授4、5课堂练习[考核目标]1.知道一阶微分方程的类型及其解法;2. 知道Lipshitz条件和解的存在唯一性定理（柯西版本和Picard版本）;3. 知道Picard定理的证明思路和过程;4. 会用Picard函数序列给出微分方程初值问题的近似函数解.5. 了解和掌握Graonwall积分不等式.1. 一阶微分方程类型及其初等解法小结（1）认识一阶微分方程：一阶线性方程（交换x,y或Bernoulli方程及其他可通过引入变量替换化为一阶线性方程的）、一阶可分离变量型方程（齐次方程以及其他可化为可分离变量型的）、一阶对称形式的恰当方程（通过引入积分因子可化为恰当方程的方程）一阶隐方程（可解出x或y的类型，以及x, y, y’只含有其中两个的方程类型）（2）解法常数变易公式、Bernoulli方程的变量替换分离变量方法、齐次方程的变量替换恰当方程的解法、积分因子的求法隐方程的求导法和参数法（3）例题上述提到的方程类型各举出一个例子来，并用上面的方法来求解，允许一题多解.（4）介绍一些可以化为微分方程来求解的函数方程和积分方程（参见上节讲义）.（5）预告：下周二上午第一节课进行上一章测试，请相互转告.2. 必要准备：数学中的进化论生物上，比如水稻品种一代一代通过基因重组往高产优质方向优化，还有如下图片.在数学上也有类似的进化过程，下面就说一说.（1）考察三次代数方程 x 3+4x-2 0. 该方程没有有理根. 该方程只有唯一实根且落在[0,1]. 下面有两种思路来找到该方程的根.思路一：运用连续函数的零点定理, 记1] [0,]b ,[a 11=表示第一代；将]b ,[a 11平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第二代，即]21 [0,]b ,[a 22=；将]b ,[a 22平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第三代，即]21 ,41[]b ,[a 33=；将]b ,[a 33平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第四代，即]21 ,81[]b ,[a 44=；... ... 这样下去，]b ,[a n n 越来越接近方程的根 x ≈ 0.473466,其中误差就是|a b |n n -.思路二：运用教材P89习题9的结论和证明过程，改写方程为x 42x -3=+，记42x f(x)3+-= 则方程就是f(x)x =，方程的根也就是函数f(x)的不动点. 可以验证f(x)满足教材P89习题9的条件（自行验证）,于是方程的根存在且唯一，下面就用进化的思想来寻找方程的根.选取第一代1x 1=（这里可以选其他实数）；经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第二代25.0)f(x x 12==；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第三代496094.0)f(x x 23≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第四代469477.0)f(x x 34≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第五代474131.0)f(x x 45≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第六代473354.0)f(x x 56≈=；... ... n x 越来越接近方程的根 x ≈ 0.473466.打个比方，把方程的根比作我们想要的某种属性的对象，我们可以通过迭代（进化）过程来把它造出来或找出来。
一类高次分数阶微分方程正解的存在唯一性
一类高次分数阶微分方程正解的存在唯一
性
一类高次分数阶微分方程正解的存在唯一性一类高次分数阶微分方程（Fractional Order Differential Equations，FODEs）
是指其导数的次数是分数的、大于1的微分方程，它在物理、生物、经济学等不同领域有着重要的应用。
有关一类高次分数阶微分方程正解的存在唯一性的研究，一直是国内外数学家们努力的目标。
研究人员通过计算和理论分析，发现了一类高次分数阶微分方程正解的存在唯一性。
这表明，一类高次分数阶微分方程的解，在满足一定条件的情况下，是存在唯一性的。
这一发现，为研究一类高次分数阶微分方程提供了重要的理论支持，也为解决实际问题提供了有力的依据。
另外，在一类高次分数阶微分方程正解的存在唯一性研究中，研究人员还提出了一种新的算法，可以有效地求解一类高次分数阶微分方程。
该算法利用了基于代数理论和数值方法的结合，以及轨迹表示法和组合阶微分表示法，可以更好地求解一类高次分数阶微分方程。
综上所述，一类高次分数阶微分方程正解的存在唯一性的研究，不仅为求解实际问题提供了重要的理论基础，而且也为研究人员提供了新的算法，用以更加有效地求解一类高次分数阶微分方程。
因此，这一研究领域仍值得继续深入研究。
一类分数阶积分边值问题解的存在唯一性
一类分数阶积分边值问题解的存在唯一性
邱小伟;徐家发
【期刊名称】《应用泛函分析学报》
【年(卷),期】2018(0)1
【摘要】利用不动点方法,研究了一类分数阶微分方程积分边值问题,在Lipschitz 条件下,得到了非平凡解的存在唯一性,并给出唯一解的迭代序列.所得结论推广和改进了近期这方面的一些结果.
【总页数】7页(P88-94)
【作者】邱小伟;徐家发
【作者单位】重庆师范大学数学科学学院,重庆401331;重庆师范大学数学科学学院,重庆401331
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14;O175.8
【相关文献】
1.一类具有分数阶积分条件的分数阶微分方程边值问题解的存在性 [J], 李耀红;张海燕
2.一类具有分数阶积分条件的分数阶微分方程边值问题解的存在性 [J], 李耀红;张海燕;
3.一类分数阶积分边值问题非平凡解的存在唯一性 [J], 刘宏伟
4.一类分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性 [J], 孙晓阳;徐润
5.一类四阶微分方程边值问题解的存在唯一性 [J], 赵娇;马如云
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一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性
第42卷第2期东北师大学报(自然科学版)Vol.42No.22010年6月Journal of Northeast Normal University (Natural Science Edition )J une 2010[收稿日期] 2009208226[基金项目] 国家自然科学基金资助项目(60775047);湖南省教育科学基金资助项目(060D74).[作者简介] 陈志彬(1965—),男,硕士,副教授,主要从事泛函微分方程研究.[文章编号]100021832(2010)022*******一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性陈志彬1,2,黄立宏2(1.湖南工业大学理学院,湖南株洲412000;2.湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙410082)[摘 要] 运用分析方法,利用Krasnoselskii 不动点理论,对一类中立型泛函微分方程存在周期解进行了定性与定量的研究,获得了这一类泛函微分方程周期解存在性与唯一性的充分条件,推广了相关研究的主要结论.[关键词] 中立型;微分方程;周期解;存在性;唯一性;不动点理论[中图分类号] O 19 [学科代码] 110・51 [文献标志码] A0 引言中立型泛函微分方程在信号传输网络中具有广泛的应用背景,近年来,其周期解的存在性受到数学工作者的高度重视,取得了一系列的成果[128].文献[2]用锥不动点理论,研究了泛函微分方程x ′(t )=-a (t ,x (t ))x (t )+f (t ,x t )(1)周期解的存在性;文献[3]用重合度理论研究了泛函微分方程x ′(t )+ax ′(t -τ)=f (t ,x (t )),(2)在|a |≤1的条件下,存在周期解的问题.研究中立型泛函微分方程周期解的存在性方法,概括起来有:不动点理论、重合度理论和L yap unov 泛函的方法.然而,研究周期解唯一性的工作却较少.本文利用Krasnoselskii 不动点理论及分析的方法,讨论更一般形式的中立型泛函微分方程ddtx (t )+∑n i =1c ix (t -τi)=-a (t )g (x (t ))x (t )+f (t ,x (t -σ(t )))(3)周期解的存在性与唯一性.其中:σ∈C (R ,R );f ∈C ′(R ×R ,R );a ,g ∈C (R ,R +);a ,f ,σ关于t 是T 周期函数,τi >0(i =1,2,…,n )为常量.设函数g ,f 总满足下列条件:(A 1)存在正常数l 1,l 2和L ,使得l 1≤g (x )≤l 2及|f (t ,x 1)-f (t ,x 2)|≤L |x 1-x 2|成立.(A 2)存在非负有界函数ρ(x )∈C (R ,R +)及常数b ∈(0,1),对于任给u i ,v i ∈R (i =1,2),有不等式|u 1g (v 1)-u 2g (v 2)|≤|u 1-u 2|ρ(‖v 1-v 2‖)成立,其中a =1T∫Ta (t )d t ,ω=e Ta,b =∑ni =1|c i |<1.东北师大学报(自然科学版)第42卷(A 3)任意x 1,x 2∈C (R ,R ),有9f (t ,x )9x<0,且a (t )(x 1-x 2)(x 1g (x 1)-x 2g (x 2))>0;或者是9f (t ,x )9x>0,且a (t )(x 1-x 2)(x 1g (x 1)-x 2g (x 2))<0.1 预备知识为了方便,引入如下记号:‖x ‖2=∫T0|x (t )|2d t12,‖x ‖∞=max t ∈[0,T]|x (t )|,‖x ‖0=sup t ∈R|x (t )|,x =x (t )∈C ′(R ,R )|x (t +T )=x (t ),X T (M )=x (t )∈C ′(R ,R )|x (t )∈X ,‖x ‖0≤M .于是,集合X 是以‖x ‖0为范数的Bananch 空间.在函数集X T (M )上,显然有‖x ‖∞=‖x ‖0.引理1[9] 设x (t )∈C (R ,R ),且满足x (0)=x (T ),∫T0x (t )d t =0,则如下不等式成立:(1)∫T0|x (t )|2d t12≤T2π∫T|x ′(t )|2d t 12;(2)max t ∈[0,T]|x (t )|≤T 12∫T|x ′(t )|2d t 12.引理2 设x (t )∈C (R ,R ),且满足x (0)=x (T ),如果存在正常数d ,对于任意t ∈[0,T ]使得|x (t )|≤d ,则不等式∫T0|x (t )|2d t12≤T2π∫T|x ′(t )|2d t12+T d成立.证明 令X (t )=x (t )-1T∫T0x (t )d t ,由引理1得∫T0|X (t )|2d t12≤T2π∫T|X ′(t )|2d t12,(4)不等式(4)化为∫T0|x (t )|2d t12≤T24π2∫T0|x ′(t )|2d t +1T ∫T 0x (t )d t212≤T 2π∫T0|x ′(t )|2d t 12+1T∫T|x (t )|d t ≤T2π∫T|x ′d t |212+T d.引理3(Krasno selskii 不动点定理) 设K 是Banach 空间X 的有界凸闭集,映射F :K →K 和U :K→K 满足条件:(ⅰ)任意的u ,v ∈K ,有Fu +Uv ∈K;(ⅱ)F 在K 上是全连续的,U 在K 上是压缩的,则F +U 在K 上至少有一个不动点.引理4 设a (t ),p (t )为T 周期函数,对于微分方程x ′(t )=-a (t )x (t )+p (t ),如果∫T0a (τ)d τ>0,则有唯一的T 周期解x (t )=∫t+T texp∫s ta (τ)d τexp ∫Ta (τ)d τ-1p (s )d s.22第2期陈志彬,等:一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性结论是显然的,略去证明.2 主要结论及证明设u (t )∈X T (M ),对于微分方程dd tx (t )+∑n i =1c iu (t -τi)=-a (t )g (u (t ))x (t )+f (t ,u (t -σ(t ))),(5)如果令y (t )=x (t )+∑ni =1c iu (t -τ1),则方程(5)化为d y (t )d t=-a (t )g (u (t ))y (t )+a (t )g (u (t ))∑ni =1c iu (t -τi)+f (t ,u (t -σ(t ))),(6)由引理4知exp∫Ta (τ)g (u (t ))d τ≠1时,方程(6)有唯一的T 周期解y u (t )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s.其中W u (s ,t )=exp∫s ta (τ)g (u (τ))d τexp ∫Ta (τ)g (u (τ))d τ-1, 1ωl2-1≤W u (s ,t )≤ωl 2ωl 1-1.于是,方程(5)有唯一的T 周期解x (t )=y u (t )-∑ni =1c iu (t -τi).在X T (M )上定义两个映射U u (t )=-∑ni =1c iu (t -τi),F u (t )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s.(7)如果映射U +F 在X T (M )上有不动点x (t ),则x (t )为系统(3)的T 周期解.定理1 对于微分方程(3),在条件(A 2)被满足时,如果条件(A 4)1M‖f ‖0≤1-∑ni =1|c i |ωl 1-1Tωl2-l 2a∑ni =1|c i |成立,则微分方程存在T 周期解.证明 (ⅰ)X T (M )为有界凸闭集.任给x (t ),y (t )∈X T (M )及λ∈(0,1),我们得λx (t +T )+(1-λ)y (t +T )=λx (t )+(1-λ)y (t ),(8)‖λx (t +T )+(1+λ)y (t +T )‖0=‖λx (t )+(1+λ)y (t )‖0≤M ,(9)即X T (M )是凸的.如果函数列{x n (t )}ΑX T (M ),且lim n →0‖x n -x 0‖0=0,根据下列不等式‖x 0‖0≤‖x 0-x n ‖0+‖x n ‖0≤‖x 0-x n ‖0+M ,(10)|x 0(t +T )-x 0(t )|≤|x 0(t +T )-x n (t +T )|+|x n (t )-x 0(t )|+|x n (t +T )-x n (t )|≤2‖x n -x 0‖0,(11)我们可以得到‖x 0‖0≤M ,x 0(t +T )=x 0(t ),即x 0(t )∈X T (M ),于是X T (M )为闭集.其有界性是显然的.所以,综合以上的证明,X T (M )为有界凸闭集.(ⅱ)任意u ,v ∈X T (M ),我们可以证明32东北师大学报(自然科学版)第42卷F u +U v ∈X T (M ).(F u +U v )(t +T )=∫t+T+Tt+TW u (s ,t +T )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t +T -τi )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t -τi)=(F u +U v )(t ),(12)对于任意t ∈R ,存在整数n ,使得t =nT +t 1,且t 1∈[0,T ],由于a ,σ和f 都为T 周期函数,结合条件(A 4)可以得到不等式‖F u +U v ‖0M=1Msupt ∈R∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t -τi)≤ωl 2M (ωl2-1)sup t ∈[0,T]∫t+T t(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s+1Msupt ∈[0,T]∑ni =1c iv (t -τi)≤Tωl2M (ωl1-1)‖f ‖0+l 2Ma∑n i =1|c i |+∑ni =1|c i |≤1,(13)于是,由(12),(13)两式得F u +U v ∈X T (M ).(ⅲ)U u 是压缩的.因为对于任给u 1,u 2∈X T (M ),有下式成立:|U u 2-U u 1|=∑ni =1c iu 2(t -τi )-∑ni =1c iu 1(t -τ1)≤∑ni =1|c i |‖u 1-u 2‖=b ‖u 1-u 2‖.(14)(ⅳ)映射F u 是全连续的.下面分三步来证明,这里对于任意u ∈X T (M ).首先,F u 是连续的,令m =‖f ‖0+‖a ‖0M ‖ρ‖0∑ni =1|c i |,对于任给的u 1,u 2∈X T (M ),根据条件(A 2)可以得到|F u 1(t )-F u 2(t )|=∫t+T tWu 1(s ,t )(f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))+a (s )∑ni =1c i(g (u 1(s ))u 1(s -τi )-g (u 2(s ))u 2(s -τi ))d s+∫t+Tt(Wu 1(s ,t )-W u 2(s ,t ))(f (s ,u 2(s -σ(s )))+a (s )∑ni =1c 1g (u 2(s ))u 2(s -τi ))d s≤ωl 2ωl 1-1∫T|f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))|d s +T aρ(‖u 1-u 2‖∑n i =1|c i |‖u 1-u 2‖+m ∫t+Tt|Wu 1(s ,t )-W u 2(s ,t )|d s.(15)由于函数W u 和f 连续,于是当‖u 1-u 2‖→0时,一致的有|f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))|→0,|W u 1(s ,t )-W u 2(s ,t )|→0.所以,当‖u 1-u 2‖0→0时,有‖F u 1(t )-F u 2(t )‖0→0,即F u 是连续的.其次,易证F X T (M )是一致有界的.最后,我们只要证明F u 是等度连续的即可.对于任意u ∈X T (M ),t ∈[0,T ],得到d F u (t )d t=-a (t )g (u (t ))F u (t )+a (t )g (u (t ))∑ni =1c iu (t -τi)+f (t ,u (t -δ(t )))≤‖a ‖0l 2‖F u (t )‖0+M∑ni =1|c i |i+‖f ‖0(16)42第2期陈志彬,等:一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性一致有界,于是,当|t 1-t 2|→0时,‖F u (t 1)-F u (t 2)‖0→0,即F u (t )是等度连续的.因此,F X T (M )在X 中是列紧集且F 为紧算子,结合F X T (M )在X 中是列紧集且F 为连续紧算子的结论,推得映射F 是全连续的.综合(ⅰ)—(ⅳ),并由引理3知:F +U 在X T (M )上存在不动点,即方程存在T 周期解.定理2 对于微分方程(3),在条件(A 1),(A 3)被满足时,如果条件(A 5)1T1-∑ni =1|c i |>L +1+12π‖ρ‖0‖a ‖0成立,则微分方程至多存在一个T 周期解.证明 设x 1(t ),x 2(t )是微分系统(3)的两个T 周期解,于是有d d t(x i (t )+∑n i =1c ix i(t -τi ))=-a (t )(g (x 1(t ))x i (t )+f (t ,x i (t -σ(t ))),i =1,2.(17)令y (t )=x 1(t )-x 2(t ),由(17)式得d d t(y (t )+∑n i =1c iy (t -τi))=-a (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))+f (t ,x 1(t -σ(t )))-f (t ,x 2(t -σ(t ))).(18)对(18)式两边在[0,T ]上积分,可得∫T[a (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))-f (t ,x 1(t -σ(t )))+f (t ,x 2(t -σ(t )))]d t =0.(19)根据(19)式可知,至少存在一点ξ∈[0,T ],使得a (ξ)(g (x 1(ξ))x 1(ξ)-g (x 2(ξ))x 2(ξ))-f (ξ,x 1(ξ-σ(ξ)))+f (ξ,x 2(ξ-σ(ξ)))=0(20)成立.下面分两种情形讨论:(1)当y (ξ)y (ξ-σ(ξ))≠0时,将(18)式乘以y 2(ξ)y (ξ-σ(ξ))得[a (ξ)(g (x 1(ξ))x 1(ξ)-g (x 2(ξ))x 2(ξ))-f (ξ,x 1(ξ-σ(ξ)))+f (ξ,x 2(ξ-σ(ξ)))]y 2(ξ)y (ξ-σ(ξ))=0.(21)由(21)式并结合条件(A 3)有y (ξ)y (ξ-σ(ξ))<0;又因为y (t )在R 上连续,则由介值定理可知,必存在一点η0∈[0,T ]且y (η0)=0.于是,对于任意t ∈[0,T ],则有下式成立:|y (t )|=|∫tη0y ′(s )d s |≤∫T|y ′(s )|d s ≤T ∫T|y ′(s )|2d s12=T ‖y ′‖2,(22)于是有‖y ‖∞=max t ∈[0,T]|y (t )|≤T ‖y ′‖2.根据引理2,并结合(22)式有‖y ‖2≤T2π∫T|y ′(t )|2d t 12+T ‖y ′‖2=1+12πT ‖y ′‖2.(23)由(18)式,并结合(22),(23)式得到‖y ′‖22=∫T|y ′(t )|2d t =-∫Ta (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))y ′(t )d t +∫Ty ′(t )(f (t ,x 1(t -σ(t )))-f (t ,x 2(t -σ(t ))))d t -∑ni =1c i∫Ty ′(t )y ′(t -τi)d t ≤‖ρ‖0‖a ‖0∫T0|y (t )|2d t12∫T0|y ′(t )|2d t 12+L ∫T|y ′(t )y (t -σ(t ))|d t +∑ni =1|c i|∫T|y ′(t )y ′(t -τi)|d t ≤‖ρ‖0‖a ‖0‖y ‖2‖y ′‖2+LT ‖y ′‖2‖y ‖∞+∑ni =1|c i |‖y ′‖22≤1+12π‖ρ‖0‖a ‖0T +L T +∑ni =1|c i |‖y ′‖22.在满足条件(A 5)时,由上不等式可以推得5262东北师大学报(自然科学版)第42卷‖y′‖2=‖y‖2=0.(2)当y(ξ)y(ξ-σ(ξ))=0时,可类似情形(1)的证明,故略去.综合以上的证明,得到x1(t)=x2(t),即方程至多存在一个T周期解.定理证毕.结合定理1和定理2,我们可以得到关于方程(3)存在唯一周期解的结论.推论1 对于微分方程(3),如果条件(A1)—(A5)被满足,则微分方程(3)在X T(M)上存在唯一的T周期解.[参 考 文 献][1] L U S,GE W.On t he existence of periodic solution of neutral functional differential equation[J].Nonlinear Anal,TMA,2003,54:128521360.[2] 彭世国,朱思铭.无穷时滞泛函微分方程的正周期解.[J].数学年刊,2004,25(A):2852292.[3] SELLA E.Periodic solution for some nonlinear differential equations of neutral type[J].Nonlinear Anal,1991,17(2):1392151.[4] CH EN F.Positive periodic solution of neutral Lot ke2Volterra system wit h feedback control[J].Appl Mat h Comput,2005,162:127921302.[5] 宋来敏,周宗福.一类中立型泛函微分方程周期解的存在性[J].大学数学,2006,22(2):16221.[6] 杨喜陶.中立型泛函微分方程的周期解[J].系统科学与数学,2006,26(6):6842692.[7] WAN G QI,DAI BINXIAN G.Three periodic solutions of nonlinear neutral functional differential equations[J].Nonlinear Anal,2008(9):9772[8] 李辉,王艺霏.具有功能性反应的时滞扩散模型的周期解与稳定性[J].东北师大学报:自然科学版,2008,40(2):22229.[9] 郭大钧,孙经先,刘兆理.非线性常微分方程泛函方法[M].济南:山东科技出版社,2006:1282130.Existence and uniqueness of periodic solutions for a classof f unctional neutral differential equationsCH EN Zhi2bin1,2,HUAN G Li2hong2(1.School of Science,Hunan University of Technology,Zhuzhou412000,China;2.College of Mat hematics and Econometrics,Hunan University,Changsha410082,China)Abstract:U sing t he analytical met hod,and utilizing Krasno selskii fixed point t heory,t his paper qualita2 tive and quantitative st udy t he existence of periodic solutions for a class of f unctional neut ral differenti2 al equations,and obtains some sufficient conditions of existence and uniqueness of periodic solution for t his class equations,and p romotes t he literat ure of t he main conclusions.K eyw ords:neut ral;differential equations;periodic solutions;existence;uniqueness;fixed point t heory(责任编辑:陶 理)。
一类中立型积分微分方程概周期解的存在性和唯一性
周期解 的存在唯一性定理 ， 我们也推广了相关文献的主要结果．
１ 主 要 结 果
定义 １ － ： 设 “Ｒ ［ｓ ７］ ：一尺 关于 ｔ 是连续 的， 若对任意的 占 ０ ｊ ＝ （ ＞ 使得任一长为 ｚ ＞ ， ｆｆ ） ０， 的区间上 至少含有一个 ｏ＝ ） ｒ （ 使得对任意 ｔ Ｒ都有 ∈
（ ） 】 Ａ（） ＋ ｃ（ ，） ｓ ＋ Ｐ （ （ 一丁（） ）＋ｂ ｔ ｆ） ＝ ｆ （ ） ｓ （ ） ｆ ￡ ￡ ） （）
，
周期解 的存 在性 和唯一 性 问题．由于周期 函数是 概 周 期 函数 的 特例 ， 因而 讨 论微 分 方 程 的概 周期 解 具有 更
（ ＝ （ ｔ＋ｆ （， ｘｓｄ＋ ｔ （— ｔ） ＋ （ ｔ Ａ （ ！ ｔ ）（）ｓ ｇ（， ｔ （ ） ｂｔ ） ） ） Ｃ ｓ ｒ） ） …
ｆ
（ ＝ （，（ ）（） ！∞ （， ｘｓｄ＋ ， ｔ ｒ ｔ） ＋ （ ｔ Ａ ｔ ｔ ｔ＋ｆ ｔ ）（）ｓ ｇ（ — ）） ｂｔ ） ） ｓ Ｃ ｔ（ （ ）
Ｉ（＋ 一 （ ｌ ｔ ） “ｆ ｕ ）
成立 ， 则称 ｕ ｔ关 于 ｔ （） 是概 周期 的． 定义 ２ 侧 ： 设 ∈Ｒ ， ｔ是 ｎ×ｎ连续 矩 阵 ， 性 系统 Ｑ（） 线
（）＝Ｑ（） （） ｔ ｔｘ ｔ （） ２
在 Ｒ 满足指数型二分性是指存在常数 ｋ ０ ＞ ＞ ， ０及投影 Ｐ使系统（ ） ２ 的基本解矩阵 Ｘ ｔ满足 （）
（． １ 河池学院
［ 摘
要］ 考虑具连续时滞和 离散 时滞的 中立型积分微 分方程
二 ￡ （ （） Ａ ｔ 』 ） ｓ Ｐ （ ｑ￡ ）６） ｄ ）蓍 （ ￡】 （ ） （ｓ （ｄ （ ｔ ＇） ＋（ （＋ 【 ｑ 一 ） ＝ ｍ（＋ ， ） ， －ｉ ） ￡ （
一类分数阶发展方程解的存在唯一性的开题报告
一类分数阶发展方程解的存在唯一性的开题报告题目：一类分数阶发展方程解的存在唯一性研究背景和意义：分数阶微积分理论是对传统微积分理论的一种拓展，它将整数阶微积分推广至实数阶微积分，并且在模拟物理、信号处理、机器学习等领域有着广泛的应用。
目前，分数阶微积分已经成为热门的研究领域，研究人员对于分数阶发展方程的研究也越来越重视。
在分数阶发展方程的研究中，解的存在唯一性是一个非常重要的问题。
因为一类分数阶发展方程不同于整数阶发展方程，由于它不满足局部存在唯一性定理，因此解的存在唯一性需要在全局的范围内考虑。
解的存在唯一性是很多分数阶发展方程的研究基础和核心问题，对于解的稳定性、动力学行为、计算方法以及应用研究都有着重要的意义。
研究方法和步骤：本研究将采用数学分析和数值模拟相结合的方法，主要包括以下步骤：第一步：对一类分数阶发展方程进行研究和分析，建立数学模型。
第二步：通过数学分析方法，研究分数阶发展方程解的存在唯一性，并给出相应的定理和证明过程。
第三步：设计数值算法，进行数值模拟，检验解的存在唯一性定理的正确性，并分析分数阶发展方程的解的稳定性和动力学行为。
第四步：实际应用研究，将所得的结果应用于物理和工程领域，如流体力学、声学等，探索分数阶微积分在实际问题解决中的应用前景。
预期成果和意义：预计本研究将实现一类分数阶发展方程解的存在唯一性的证明，并针对其数值模拟进行探究，得出相应的数值算法和计算机模拟方法。
此外，我们还预计将解的存在唯一性的理论研究应用于流体力学、声学等领域，研究分数阶微积分在实际问题解决中的应用前景。
本研究的成果不仅将有利于分数阶微积分理论的发展，同时也将为实际工程和科学问题的解决提供重要的理论和实验基础。
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２月
文章 编 号 ：６ １４ ２ （ ０２ Ｏ －０ ７０ １７ —２９ ２ １ ） １０ １ －４
一
类分数阶 中立 型延迟微 分系统解 的存在唯一性
潘 新 元
（ 广东岭南职业技术学 院 博雅 教育学院 ， 广东 广州
摘
５ ０６ ） １６ ３
要 ：首先利 用分数阶微积分的相 关性质 获得一 类 Ｒｅ ａ ｎＬｏｖｌ ｉ ｎ —ｉ ｉｅ分数 阶 中立 型延迟微 分 系统初 值 问题 ｍ ｕｌ
有连续解的等价 问题 ， 然后采 用逐步逼近 方法严格证 明 了此 类分数阶 中立型 延迟微 分 系统初 值 问题 解的存在 唯 一性 ， 最后 获得 了该类初值 问题 的解有 限步稳 定的一个充分条件．
关 键词 ： ｉ ｎ —ｉｕｉｅ分数阶导数 ；分数阶 中立型延迟微分方程 ；唯一性 ； Ｒｅ ｎＬｏｖ ｌ ｍａ ｌ 存在性 ；有 限步稳定
１ ８
广州 大学 学报 （ 自然 科学 版 ）
第 １ １卷
Ｙ ｔ Ａ （— （ ）＝ ｙ ｔ ）＋ Ｃ （ — ） ｙ ｔ ＝ ｙ ｔ ｒ ＋， Ｂ （ ）
Ａ （～ ｙ ｔ ）＋ Ｃ （ 一 ｙ ｔ ）＋， Ｂ（ ｙ ｔ ）＋ “ Ａ （ —ｒ ｒＣ （ 一 ｙ ｔ ）＋ Ｂ （ ） ｙ ｔ ）＝ Ａ（ （ —下 ＋Ｂ （ 一 ）＋Ｃ Ｙ ｔ 丁 ｙ ｔ ） Ｙ ｔ ） （ （ 一 ）＋ Ｂ “ （ 一 － ）＋ Ｉ Ｙ ｔ ｆＹ ｔ ７ ） ２ （）＝
定义 ２“（ 左侧 Ｒｅ ａｎＬｏｖｌ分数 阶积分 ） ｉ ｎ ．ｉ ｉｅ ｍ ｕｌ 设 （ ）∈ ａｂ ， Ｌ （ ，） 定义
（（ ＝。 （ ＝ ｂ ） Ｄ ）
Ｔ ０ 则初始值问题（ ） ＞ ， １ 在区间［ ， 上存在唯一 ０ ］ 的满 足初 始条件 的 连续解 ． 证明 首先证 明初始值问题 （ ） ［一 ， １在 ｒ ］
在 ［ ， 有连续解． 一 ］
ｒ ） ｌ ～ｔ （ ＝ ｄ 卢 ｅ ．
收 稿 日期 ： ０ ｌ—Ｏ Ｏ ； 修 回 日期 ： ０ ｌ一１ ２１ ９一 １ ２１ ０—１ ４
在系统（） １ 两边 求积分 ， 并根 据 引理 １得 ，
作者简介 ： 潘新元 （９ ３一）， ， １８ 女 助教 ． — ｉ ０ ６ ｘ ＠１３ ｃｍ Ｅ ｍａ ：２０ ｐｙ ６ ．ｏ ｌ
Ｃ Ｂ Ｚ 一
：
Ｊ 一） ｓ ） （ ： ｓ 一（ ｄ ６ （ — ｓ）
当 ｔ 丁２ ］ ， ： ， 时 有 Ｅ［
ｙ） Ａ 一 南 ＝
ｃ Ｆ（ ｋ ａ ）
。
Ａ ｙ ｔ ）＋ ， ｙ ｔ ）＋ （ —ｒ ）＋ （ （ —下 Ｂ （ 一丁 Ｂ ， ｙ ｔ ）
１ 基 本定 义
定义 １ｎ（ ］左侧 Ｒｅ ａｎＬｏｖｌ Ｉ ｉ ｎ —ｉ ｉｅ分数 阶导数 ） ｍ ｕｌ
设 西（ 是 定 义 在 （ ｂ 上 的可 积 函数 ， ） ａ， ） ｎ是
Ｒ ） Ｙ ｔ ∈Ｃ ［ ７ ， ， 日 ｃ皆为 Ⅳ维 ， （） （ 一 Ｉ ］ Ｒ ） ， ， ， 实矩 阵．
首先 记 ： ０＝ （ ， ＝ Ｂ） （ ， ４） ：＝
自然数 ，≤ 一１ ＜ｎ 定义 ０ ≤ ，
（ ） 别表 示 Ｂ， ｃ的最 大 奇异值． ｃ分 Ａ， 定理 １ 设 （ ）∈Ｃ（ ， ］ Ｒ ） 固定 ｆ ［一 ０ ， ，
： ） ＝
ａ ＜ ．
ｆ 一）－ ）， （ ￣－ ｎ１ １ ３
中 图 分 类 号 ： ４ ０ ２ 文献标志码 ： Ａ
近 年 来 分 数 阶 泛 函微 分 方 程 越 来 越 受 到 重
弓理 １挖 若 ∈（ ， ）ｆ∈Ｃ［ ， ］ 贝 Ｉ ０１， ０ Ｔ ，０
视 Ｊ但相关 理论 还不 完善 ， ， 相关 文献 比较少
见． 迄今 为 止 ， 了文 献 ［ ］ 除 ９ 中研 究 了 Ｒｅ ａｎＬ— ｉ ｎ —ｉ ｍ
２ 主要 结 果 及 证 明
本 文 考虑 下列 分数 阶 中立 型延 迟微 分 系 统初
值 问题
ｒ
Ｄ Ｙ ｔ Ａ Ｄ ｙ ｔ ）＋ ｙ ｔ （）＝ （ —ｒ Ｂ （ ）＋Ｃ （ — ， ｙ ｔ ）
［］ ２ 工作 的发展．
｛
ｔ ０Ｔ ， ∈［ ， ］
（） １
【（）＝ ｔ ， ￡ ｙ ｔ （） ∈［一 ０ ． 丁，］ 这里 ｒ＞ ０是常数 ， Ｏ＜１ （）∈Ｃ（ ０＜ Ｌ ， ｔ ［一丁０ ， ，］
ｔ ＝． ）『 ０
ｏｖｌ 分数阶无限时滞 中立型方程的解存在 唯一 ｕｉｅ ｌ 外， 只有 Ｅ．Ａ Ｅ 【］ 用 不 动点 定 理 讨 论 过 中 １ Ｙ Ｄ１利 Ｓ ｏ
立 型有 限 时滞 系统 在 ［ ，］ 解 的存 在 唯一 性 ． ０１上 本 文 采用 逐 步逼 近法 证 明 了一类 分数 阶 中立 型有 限 时滞微 分方 程初 值 问题 的解 在 区间 ［ ， 上存 在 ０ Ｔ］ 唯一性 ， 证 明过 程 基 于 文 献 ［ ］ 思 想 ， 文 献 该 ２的 是
有 连续 解 当且仅 当下 面 的系统 ：
上一 （ ， （ ）
Ｇ ｍｍ ａ ａ函数 ， 其定 义形 式 为
，
ｙ ）＝Ａ ｋ （ ∑Ｂ－ １
：１
ｙ卜 ） （ 『＋
（） ２
这 里 ＞０ ａ可 以取 一∞ ， 可 取 ＋∞． ， Ｆ（・） 为
ｃ ∑ ＩＹｔ ７ ｋ （一－ ）
第 １ 卷 第 １ １ 期
２ ２拒 ０１
广 州 大学学 报 （ 自然科 学 版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｕｎｚｏ ｎ ｅｓｙ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｏ ａ ｇｈｕＵ ｉ ｒ ｔ（ ａ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｇ ｖ ｉ ｕ ｅ ｉ
Ｖｏ ＿ １ Ｎｏ １ ｌ１ ．