第二章信息论及数学基础
熵与信息论的数学基础及应用
熵与信息论的数学基础及应用信息论是一种研究信息传输和处理的学科，它将热力学中的熵概念引入信息领域，并发展出形式化的数学方法。
信息论不仅在通信领域有着广泛的应用，也在统计学、计算机科学、物理学等领域发挥着重要的作用。
本文将介绍熵的概念、信息论的基本原理及其常见应用。
一、熵的概念在热力学中，熵被定义为一种状态函数，用来描述系统分子的无序程度。
信息论将熵的概念引入信息领域，将其定义为随机变量的不确定性度量。
在信息论中，熵是一个非负的实数，它的值越大，代表随机变量的不确定性越高。
假设一个随机变量 X 有 n 种可能的取值，分别为x1, x2, …, xn，则 X 的熵 H(X) 可以表示为：H(X) = - Σ p(xi) log2 p(xi)其中，p(xi) 是 X 取值为 xi 的概率，log2 是以 2 为底数的对数运算。
从公式中可以看出，如果 X 的概率分布越均匀，即每个取值的概率相等，那么 X 的熵就越大。
熵在信息论中有着重要的作用，它不仅可以用来衡量随机变量的不确定性，还可以用来衡量信道传输的效率。
在信息传输过程中，我们通常会将消息编码为一串二进制码，熵可以告诉我们在理论最优编码方案下，需要多少比特来编码一次消息。
二、信息论的基本原理除了熵的概念，信息论还有几个基本原理：1. 信道容量信道容量是一个信道能够传输的最大数据率。
在确定信道的物理特性后，我们可以通过熵和条件熵的概念来计算信道的容量。
设 X 表示输入数据的随机变量，Y 表示输出数据的随机变量，则信道容量 C 可以表示为：C = max I(X; Y)其中，I(X; Y) 表示 X 和 Y 之间的互信息量（也称为信息增益），它可以表示为：I(X; Y) = H(Y) - H(Y|X)其中，H(Y|X) 表示在已知 X 的条件下，Y 的条件熵。
通过计算互信息量，可以得出一个信道的最大数据传输率，也就是信道容量。
2. 香农编码香农编码是一种最优无损编码方案，它可以保证在理论上编码效率最高，而且不会出现误解码的情况。
数学中的信息论
数学中的信息论信息论是一门研究信息传输、读取和处理的学科。
在信息论中，我们探究了信息的各种属性，比如传送速度、处理方法、容量等等。
在数学中，信息论主要涉及概率论、统计学和算法复杂度理论等深度数学学科。
今天，我们将深入探讨数学中的信息论。
信息的基本单位在信息论中，我们通常将信息看做一个概念，但在数学中，我们需要将其分成单个基本单位进行分析。
在信息论中，信息的基本单位是一个二进制比特，例如：0和1。
比特是一种信息的度量单位，表示信息的最基础的状态。
在信息的处理中，我们通常使用字节和千字节，以衡量信息的大小。
字节是由8个二进制比特组成的基本单位，而千字节则是1024个字节。
通过这种识别单位的方式，我们可以方便地分析存储、传送和处理数字信息。
信息的压缩信息的压缩是在占用空间最小的情况下去降低信息存储量的一种方法。
压缩信息的核心是去掉重复信息，例如文字中存在重复的单词，将其压缩成一个单词即可。
在数学中，设计了多种算法，如哈夫曼编码，进行信息的压缩。
哈夫曼编码是一种可变长度编码（VLC）技术，通过使用更短的位数来代表更高频率的值。
这种算法的核心就是将高频率的值与较短的比特组合，而低频率的值则与较长的比特组合。
通过这种方式，我们可以将数据压缩到最小，并在存储和传输时节省时间和空间。
信息的熵在信息论中，熵被定义为信息的随机性度量。
这种随机性度量在数学中通常是以概率的形式展现出来。
例如，如果在一个布尔系统中，熵为1，这意味着有50%的几率在任意时刻看到一个零或一个一。
当熵的值越高，信息中包含着越多的随机性。
在信息理论中，熵是对一个随机事件的确定性度量，高熵的事件比低熵事件要更加随机和不可预测。
在信息论中, 我们通过增加信息的随机性和不确定性来增加熵的值，反之则减少熵的值。
信息的传输在信息的传输中，我们希望以最快的速度将最多的信息发送到目标区域。
当涉及到传输信息时，我们需要分析数据的传输速度和传输中的误差率。
在信息传输中，我们使用多个技术，如校验和和纠错码，来处理传输的误差问题。
信息论
例如： (p22)计算只输出“0， 1”的二元熵函数的信息熵。二元熵函数的曲线图见p23. 解: 数学模型： X P (x) 则 H (X ) = −p log p − (1 − p) log(1 − p) = H (p) 而 H (p) = log 1−p p = 0 1
p 1−p
可以证明， p= 1 时， H (p)为最大值。当p = 0时， 因为 2 lim p log p = lim log p
Example 0.6 同时掷两粒色子，设各个点数出现的概率相等，用随机变量Y 表示两粒色子面上的点数之 和时，有 Y P (y ) = 2
1 36
3
2 36
4
3 36
5
4 36
6
5 36
7
6 36
Example 0.3 播音员使用单词总数为10000个。一个播音员播出1000个单词的熵为 H (X ) = log 100001000 ≈ 1.3 × 104
Example 0.4 掷一个均匀硬币直到出现“正面”为止。令X 表示所需的次数
∞
H (X ) =
n=1
1 log 2n = 2n
∞
n
n=1
1 1 2 = 1 2 = 2 2n (1 − 2 )
Example 0.5 掷一粒色子，各个点数出现的概率相等，即 X P (x) 则熵为
6
=
1
1 6
2
1 6
3
1 6
4
1 6
5
1 6
6
1 6
H ( 6
当掷出色子，得知点数为2时，这时概率分布为 X P (x ) 则熵变为 H (X ) = 0 在此过程中，试验者获得的信息量为 H (X ) − H (X ) = log 6 = 1 2 3 4 5 6 0 1 0 0 0 0
信息论编码 第二章信息度量1
50个红球，50个黑球
Y
20个红球，其它4种 颜色各20个
Z
问题：能否度量、如何度量？？
2.3.2信源熵数学描述
信源熵
• 定义：信源各个离散消息的自信息量的数学期望 （即概率加权的统计平均值）为信源的平均信息 量，一般称为信源的信息熵，也叫信源熵或香农 熵，有时也称为无条件熵或熵函数，简称熵。 • 公式： n 1 H ( X ) = E[ I ( xi )] = E[log2 ] = −∑ p( xi ) log2 p( xi ) p( xi ) i =1 • 熵函数的自变量是X,表示信源整体，实质上是无 记忆信源平均不确定度的度量。也是试验后平均 不确定性＝携载的信息 信息量为熵 • 单位：以2为底，比特/符号 • 为什么要用熵这个词，与热熵的区别？
3
( 2)
∑ p ( x ) = 1, ∑ p ( y
i =1 m i j =1
n
m
j
) = 1,∑ p ( xi / y j ) = 1,
i =1 n
n
概 率 复 习
∑ p( y
j =1 n
j
/ xi ) = 1, ∑ ∑ p ( xi y j ) = 1
j =1 i =1 m
m
( 3) ( 4) (5)
1
对天气x1 ,Q p( x1 / y1 ) = 0,∴不必再考虑x1与y1之间 信息量
对天气 x 2 : I ( x 2 : y 1 ) = log
2
p ( x 2 / y1 ) = log p ( x2 )
2
1/ 2 = 1( bit ) 1/ 4
同理 I ( x 3 : y 1 ) = I ( x 4 : y 1 ) = 1( bit ), 这表明从 y 1 分别得到了
(完整word版)信息论基础理论及应用
信息论形成的背景与基础人们对于信息的认识和利用，可以追溯到古代的通讯实践可以说是传递信息的原始方式。
随着社会生产的发展，科学技术的进步，人们对传递信息的要求急剧增加。
到了20世纪20年代，如何提高传递信息的能力和可靠性已成为普遍重视的课题。
美国科学家N.奈奎斯特、德国K.屈普夫米勒、前苏联A.H.科尔莫戈罗夫和英国R.A.赛希尔等人，从不同角度研究信息，为建立信息论做出了很大贡献。
信息论是在人们长期的通信工程实践中，由通信技术和概率论、随机过程和数理统计相结合而逐步发展起来的一门学科。
信息论的奠基人是美国伟大的数学家、贝尔实验室杰出的科学家 C.E.香农(被称为是“信息论之父”)，他在1948年发表了著名的论文《通信的数学理论》，1949年发表《噪声中的通信》，为信息论奠定了理论基础。
20世纪70年代以后，随着数学计算机的广泛应用和社会信息化的迅速发展，信息论正逐渐突破香农狭义信息论的范围，发展为一门不仅研究语法信息，而且研究语义信息和语用信息的科学。
近半个世纪以来，以通信理论为核心的经典信息论，正以信息技术为物化手段，向高精尖方向迅猛发展，并以神奇般的力量把人类社会推入了信息时代。
信息是关于事物的运动状态和规律，而信息论的产生与发展过程，就是立足于这个基本性质。
随着信息理论的迅猛发展和信息概念的不断深化，信息论所涉及的内容早已超越了狭义的通信工程范畴，进入了信息科学领域。
信息论定义及概述信息论是运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题的应用数学学科。
核心问题是信息传输的有效性和可靠性以及两者间的关系。
它主要是研究通讯和控制系统中普遍存在着信息传递的共同规律以及研究最佳解决信息的获限、度量、变换、储存和传递等问题的基础理论。
基于这一理论产生了数据压缩技术、纠错技术等各种应用技术，这些技术提高了数据传输和存储的效率。
信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。
信息论基础第2章离散信源及其信息度量
第2章 离散信源及其信息度量
本章内容
2.1 离散信源的分类 2.2 离散信源的统计特性 2.3 离散随机变量的信息度量 2.4 离散信源的N次扩展信源 2.5 离散平稳信源 2.6 马尔可夫信源 2.7 离散信源的相关性和剩余度
《信息论基础》
2.1 离散信源的分类
离散信源的分类
按照离散信源输出的是一个消息符号还是消息符 号序列，可分为单符号离散信源和多符号离散信 源。
,
q2 pn
,
qm ) pn
n
m
其中， pi 1, qj pn 。
i1
j 1
可见，由于划分而产生的不确定性而导致熵的增加量为
pnHm (
q1 pn
,
q2 pn
, qm pn
)
6、上凸性
熵函数 H (p) 是概率矢量 p ( p1, p2 ,
pq ) 的严格∩型凸函数
（ 或 称 上 凸 函 数 ）。 即 对 任 意 概 率 矢 量 p1 ( p1, p2 , pq ) 和
成 H ( p1) 或 H ( p2 ) 。
和自信息相似，信息熵 H ( X ) 有两种物理含义：
① 信源输出前，信源的信息熵表示信源的平均 不确定度。
② 信源输出后，信源的信息熵表示信源输出一 个离散消息符号所提供的平均信息量。如果信道无噪 声干扰，信宿获得的平均信息量就等于信源的平均信 息量，即信息熵。需要注意的是，若信道中存在噪声， 信宿获得的平均信息量不再是信息熵，而是 2.5 节介 绍的平均互信息。
联合熵 H (XY ) 的物理含义表示联合离散符号集 XY 上
的每个元素对平均提供的信息量或平均不确定性。 单位为“bit/符号对”。 需要注意的是，两个随机变量 X 和 Y 既可以表示两个
信息论课件 2-1.3马尔科夫信源
x3:1/2 s3
相通
s4
x2:1/2 x3:1/2
x4:1 x5:1
s2 x2:1/2
非周期性的：对于 pii(k)＞0的所有k值， 其最大公约数为1。
x2:1/2 x1:1/4
过渡态
s1
s6
x6:1
x6:1/4
吸收态
x4:1/4
s5
周期性的：在常返态中, 有些状态仅当k能被某整
数d＞1整除时才有pii(k)＞16 0, 图中的周期为2；
0.3W1 0.7W1
0.2W2 0.8W2
W0 W1
W2
W0 W1 W2 1
W0 0.3571, W1 0.1429, W2 0.5
0/0.4
1/0.6
so
1/0.2
s1
0/0.3 1/0.7
s2
0/0.8
0.6 0.4 0 p(sj | si ) 0.3 0 0.7
0.2 0 0.8
21
1
1
W
W
21
23
W 1
1
3
W
W p i ij
W j
i
4 1
1W
W 43 1W
W 2
W
32
54
3
2 W
32
4W 54
W 4
W W W W 1
1
2
3
4
• 稳态分布概率
W1
3 35
,
W2
6 35
,
W3
6 35
,
W4
4 7
• 稳态后的符号概率分布
p(a1)
i
p(a1
|
si
《信息论基础》教学大纲InformationTheory
《信息论基础》教学大纲Information Theory课程编号： 0070307027 适用专业：数学专业执笔：刘立伟适用年级：08-12级 一、课程的性质和教学目的课程性质：专业限选课。
信息理论与技术不仅在通信、计算机以及自动控制等电子学领域中得到直接的应用，而且还广泛地渗透到生物学、医学、生理学、语言学、社会学和经济学等各领域。
教学目的：信息论是研究信息的有效处理和可靠传输的一般规律的学科。
它在社会生活的各个方面有着广泛的应用，是信息与计算科学专业学生的必修课程，该课程的开设有助于培养顺应现代高科技的数学人才。
通过本课程的学习，使学生对信息理论有一个比较全面和系统的了解，掌握信息论的基本概念和信息论方法，为从事信息科学的研究和应用打下一个坚实的基础。
二、课程教学内容第一章 信息科学与信息技术概论第二章 信息的度量问题第三章 通信系统概论第四章 信源编码问题第五章 信道编码定理三、课程教学的基本要求本门课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次。
文中概念、理论用“理解”、“了解”表述，方法、运算用“掌握”、“会”或“了解”表述。
第一章信息科学与信息技术概论理解信息、信息科学、信息技术、信息产业的概念；了解信息论的产生、发展与应用。
第二章 信息的度量问题理解香农熵、联合熵、条件熵的概念；掌握熵的一些基本性质；理解互熵和互信息的定义；理解连续型随机变量的信息量和最大熵与原理。
第三章 通信系统概论了解通信系统的基本模型和基本问题。
第四章 信源编码问题理解等长码、变长编码、哈夫曼码，算术码等编码问题；掌握通用信源编码中的LZW码和Yang-Kieffer 码运算；了解信源定长码的编码理论。
第五章 信道编码定理掌握离散的无记忆信道和其信道容量的计算；理解信道序列的正、反编码定理；了解可加高斯信道的容量计算问题。
四、课程的教学环节要求教学环节包括：课堂讲授、习题课、课外作业、辅导答疑。
（一）课堂讲授教学方法上尽量采用启发式、讨论式教学，在课堂上多提问题，安排一些自学内容，鼓励学生自学，培养学生的自学能力。
信息论基础课件2[1][1].1.1- 2
![信息论基础课件2[1][1].1.1- 2](https://img.taocdn.com/s3/m/5d523fd3360cba1aa811da2f.png)
a2
…
ar p(ar)
p(a2) …
0 p(a i ) 1i 1,2, r
p(a i ) 1
信息论与编码-信源熵
需要注意的是，大写字母X,Y,Z代表随机变量，指 的是信源整体，带下标的小写字母代表随机事件的 某一结果或信源的某个元素。两者不可混淆。
信息论与编码-信源熵
(4) 如p(xi)=1，则I(xi) =0 ;(必然事件不含有任何不确定 性，所以不含有任何信息量）
(5) 自信息量也是一个随机变量，它没有确定的值。
信息论与编码-信源熵
例2、 设有12枚同值硬币，其中有一枚为假币，且只知道假币
的重量与真币的重量不同，但不知究竟是轻是重。现采 用天平比较两边轻重的方法来测量（因无法码）。问至 少需要称多少次才能称出假币？ 解：用天平每称一次能获得一定的信息量，能消除部分的不 确定性。测量若干次后，能消除全部不确定性，获得全部信 息，也就能确定出假币。 设“在12枚同值硬币中，某一枚为假币”该事件为a, p(a ) 1 / 12 则 p 又设“假币是重、或是轻”该事件为b，则(b) 1 / 2
(5)当X与Y相互独立时，
p( y j / xi ) p( y j ), p( xi / y j ) p( xi ), p( xi y j ) p( xi ) p( y j )
( 6) p( x i / y j ) p( x i y j )
p( x i y j )
i 1
n
p( y j / xi )
i 1 n j 1 i 1 j 1 i 1
n
m
n
m
n
p( xi y j ) p( y j ), p( xi y j ) p( xi )
信息论基础教学课件ppt信息论基础概述信息论基础概论
§1.2.1 通信系统模型
例如，奇偶纠错 将信源编码输出的每个码组的尾补一个1或0 当传输发生奇数差错，打乱了“1”数目的奇偶性，就 可以检测出错误。
34
§1.2.1 通信系统模型
(a) 无检错
(b) 可检错 (奇校验) (c) 可纠错(纠一个错)
图1.4 增加冗余符号增加可靠性示意图
35
§1.2.1 通信系统模型
信源的消息中所包含的信息量 以及信息如何量度
核心 问题
29
§1.2.1 通信系统模型
编码器(Encoder)
编码器的功能是将消息变成适合于信道传输的信号 编码器包括：
信源编码器(source encoder) 信道编码器(channel encoder) 调制器(modulator)
信源编码器
信道编码器
调制器
功能：将编码器的输出符号变成适合信道传输的信号 目的：提高传输效率 信道编码符号不能直接通过信道输出，要将编码器的输 出符号变成适合信道传输的信号，例如，0、1符号变成 两个电平，为远距离传输，还需载波调制，例如，ASK， FSK，PSK等。
36
§1.2.1 通信系统模型
信道(channel)
13
§1.1.2 信息的基本概念
1949年，Weaver在《通信的数学》中解释香农的工 作时，把通信问题分成三个层次： 第一层：通信符号如何精确传输？（技术问题） 第二层：传输的符号如何精确携带所需要的含义？（语义问题） 第三层：所接收的含义如何以所需要的方式有效地影响行为？ （效用问题）
14
§1.1.2 信息的基本概念
§1.1.2 信息的基本概念
信息的三个基本层次：
语法(Syntactic)信息 语义(Semantic) 信息 语用(Pragmatic)信息
数学与计算机科学密码学的数学基础
数学与计算机科学密码学的数学基础密码学作为计算机科学的一个重要分支，其核心是研究如何保护信息的安全性和隐私性。
而要理解密码学的数学基础，就必须掌握数学与计算机科学密切相关的数学知识。
本文将简要介绍密码学的数学基础，包括数论、代数、离散数学和信息论等方面。
一、数论1. 整数与素数：在密码学中，整数和素数是非常重要的概念。
我们需要了解整数的性质，包括奇偶性、质因数分解等。
而素数则在密码学中用于生成密钥和构建加密算法。
2. 模运算：模运算在密码学中有着广泛的应用。
我们需要了解模运算的基本定义和性质，如同余定理、模逆元等，并掌握如何使用模运算进行加密和解密操作。
3. 欧拉函数与欧拉定理：欧拉函数是指小于某个正整数n且与n互质的正整数的个数。
欧拉定理则是指在模n的情况下，若a与n互质，那么a的欧拉指数一定是n的欧拉函数的倍数。
这些概念在密码学中用于生成RSA加密算法的密钥。
二、代数1. 群论与环论：密码学中的加密算法和解密算法可以视为群的运算过程。
我们需要了解群和环的基本定义，以及群论和环论的一些基本性质，如封闭性、结合律、单位元等。
2. 有限域与扩域：有限域是一种具有有限个元素的域，而扩域则是指通过扩展域中的元素来生成新的域。
在密码学中，有限域和扩域被广泛应用于椭圆曲线密码和有限域上的运算。
三、离散数学1. 图论与网络流：密码学中的一些加密算法可以利用图论和网络流的方法进行建模与分析。
我们需要了解图的基本概念，如顶点、边、路径等，以及网络流的基本算法，如最大流最小割定理等。
2. 组合数学：组合数学是研究离散对象的组合与排列问题的数学分支。
在密码学中，我们需要掌握组合数学的基本概念和技巧，例如排列组合、二项式系数等。
四、信息论1. 熵与信息量：信息论是研究信息传输、压缩和保密性的数学分支。
在密码学中，我们需要了解熵的概念和计算方法，以及信息量的度量和编码技术。
2. 纠错码与检验码：为了确保信息传输的可靠性，我们需要借助纠错码和检验码来检测和纠正传输过程中的错误。
信息论的数学基础知识
信息论的数学基础知识
信息论是一门研究信息传输、存储和处理的学科，它的数学基础知识涉及概率论、统计学和离散数学等领域。
信息论的发展始于20世纪40年代，由克劳德·香农提出，并在通信工程、计算机科学和统计学等领域得到了广泛应用。
首先，信息论的基础之一是概率论。
概率论是研究随机现象规律性的数学理论，它在信息论中扮演着重要的角色。
信息论利用概率论的概念来描述信息的不确定性和随机性，例如通过熵来度量信息的不确定度。
概率论的知识使得我们能够量化信息的不确定性，从而为信息传输和处理提供了数学工具。
其次，统计学也是信息论的基础知识之一。
统计学是研究数据收集、分析和解释的学科，它在信息论中用于分析和推断数据。
信息论利用统计学的方法来处理和分析信息的特征，比如通过概率分布来描述信息的特征和规律。
统计学的知识使得我们能够对信息进行建模和分析，从而更好地理解信息的特性和行为。
此外，离散数学也是信息论的重要基础知识。
离散数学是研究离散结构和离散对象的数学学科，它在信息论中用于描述和处理离
散的信息单元，比如比特和符号。
信息论利用离散数学的方法来研究信息的编码、传输和存储，比如通过离散变换和编码算法来处理信息。
离散数学的知识使得我们能够对信息进行离散化处理，从而更有效地进行信息传输和处理。
综上所述，信息论的数学基础知识涉及概率论、统计学和离散数学等领域，这些知识为我们理解和应用信息论提供了重要的数学工具。
通过对这些基础知识的学习和掌握，我们能够更好地理解信息的特性和行为，从而在通信工程、计算机科学和统计学等领域更好地应用信息论的理论和方法。
2.信号分析与信息论基础(确定信号分析)
理想系统的幅-频特性 而相-频特性为 :
理想系统的相频特性
实际系统的特性并不理想----失真
由于系统特性不 理想引起的信号失真 称为线性失真。线性 失真包括频率失真和 相位失真。由于系统 的幅频特性不理想引 起的信号失真称为频 率失真,造成源信号各 种频率分量之间的相 对比例关系 。由于系 统的相频特性不理想 引起的信号失真称为 相位失真. 频率失真
主要傅氏变换运算特性
放大 叠加 比例 时延 频移 卷积
1 f (t ) F ( ), f (2t ) F( f ) 2
傅立叶变换应用:时域
频域
傅立叶变换应用
6. 能 量 谱 密 度 和 功 率 谱 密 度 -----信号单位频段的能量和功率 1. 能量谱密度 信号波形的能量 规一化能量（电阻值1Ω ）
实际系统的幅频特性
相位失真
实际系统的相-频特性
理想低通滤波器 ----------------滤波器的通频带位于零频附近至某一频率
H ( j ) H ( j ) e
j ( j )
1.e j t0 0
c
other
H ( j ) 1
( j ) t0
线性算子与线性系统 令: yi(t) = L [xi(t)] i = 1,2,3.......
若系统算子满足以下关系:
其中: ci 为任意常数, i = 1,2,3,...... 则称此算子为线性算子，相应的系统称为线性系统。
叠加原理表述为：线性系统系统输入线性和的响应等于 响应的线性和。
恒参线性系统
通过时域卷积定理可将输入与输出在频域的关系表示出
传递 函数
单位冲激 响应
时域
时 域 卷 积 定 理
信息论基础详细ppt课件
1928年，哈特莱(Hartley)首先提出了用对数度量信
息的概念。一个消息所含有的信息量用它的可能值
香农
的个数的对数来表示。
(香农)信息： 信息是事物运动状态或存在方式的不确定性的描述。 可运用研究随机事件的数学工具——概率来测度不确定性大小。 在信息论中，我们把消息用随机事件表示，而发出这些消息的信 源则用随机变量来表示。
2.1 自信息和互信息
2.1.1 自信息
随机事件的自信息量 I (xi ) 是该事件发生概率 p(xi ) 的函数，并且应该满 足以下公理化条件：
1. I (xi )是 p(xi )的严格递减函数。当 p(x1)p(x2) 时，I(x1)I(x2)，概率 越小，事件发生的不确定性越大，事件发生后所包含的自信息量越大
事件 x i 的概率为p(xi ) ，则它的自信息定义为：
I(xi)d eflogp(xi)logp(1xi)
从图2.1种可以看到上述信息量的定义正 是满足上述公理性条件的函数形式。I (xi ) 代表两种含义：当事件发生以前，等于 事件发生的不确定性的大小；当事件发 生以后，表示事件所含有或所能提供的 信息量。
2．极限情况下当 p(xi )=0时，I(xi)；当 p(xi ) =1时，I (xi ) =0。
3．另外，从直观概念上讲，由两个相对独立的不同的消息所提供的 信息量应等于它们分别提供的信息量之和。 可以证明，满足以上公理化条件的函数形式是对数形式。
定义2.1 随机事件的自信息量定义为该事件发生概率的对数的负值。
我们把某个消息 x i 出现的不确定性的大小，定义为自信息，用这
个消息出现的概率的对数的负值来表示：I(xi)lop(g xi)
自信息同时表示这个消息所包含的信息量，也就是最大能够给予 收信者的信息量。如果消息能够正确传送，收信者就能够获得这 么大小的信息量。
信息论与编码第二版答案 (3)
信息论与编码第二版答案第一章：信息论基础1.问题：信息论的基本概念是什么？答案：信息论是一种数学理论，研究的是信息的表示、传输和处理。
它的基本概念包括：信息、信息的熵和信息的编码。
2.问题：什么是信息熵？答案：信息熵是信息的度量单位，表示信息的不确定度。
它的计算公式为H(X) = -ΣP(x) * log2(P(x))，其中P(x)表示事件x发生的概率。
3.问题：信息熵有什么特性？答案：信息熵具有以下特性：•信息熵的值越大，表示信息的不确定度越高；•信息熵的值越小，表示信息的不确定度越低；•信息熵的最小值为0，表示信息是确定的。
4.问题：信息熵与概率分布有什么关系？答案：信息熵与概率分布之间存在着直接的关系。
当概率分布均匀时，信息熵达到最大值；而当概率分布不均匀时，信息熵会减小。
第二章：数据压缩1.问题：数据压缩的目的是什么？答案：数据压缩的目的是通过消除冗余和重复信息，使数据占用更少的存储空间或传输更快。
2.问题：数据压缩的两种基本方法是什么？答案：数据压缩可以通过无损压缩和有损压缩两种方法来实现。
无损压缩是指压缩后的数据可以完全还原为原始数据；而有损压缩则是指压缩后的数据不完全还原为原始数据。
3.问题：信息压缩的度量单位是什么？答案：信息压缩的度量单位是比特（bit），表示信息的数量。
4.问题：哪些方法可以用于数据压缩？答案：数据压缩可以通过以下方法来实现：•无结构压缩方法：如霍夫曼编码、算术编码等；•有结构压缩方法：如词典编码、RLE编码等；•字典方法：如LZW、LZ77等。
第三章：信道容量1.问题：什么是信道容量？答案：信道容量是指在给定信噪比的条件下，信道传输的最大数据速率。
2.问题：信道容量的计算公式是什么？答案：信道容量的计算公式为C = W * log2(1 + S/N)，其中C表示信道容量，W表示信道带宽，S表示信号的平均功率，N表示噪声的平均功率。
3.问题：信道容量与信噪比有什么关系？答案：信道容量与信噪比成正比，信噪比越高，信道容量越大；反之，信噪比越低，信道容量越小。
深度学习的数学基础
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2.1线性代数
第二章 深度学习的数学基础
2.1.1向量空间
给定一个非空集合是������和数域集合������，在������中定义了加法运算 +，在������与������之间定义了数乘运算∙，������, ������, ������ ∈ ������, ������, ������ ∈ ������ ，如 果该加法运算+和数乘运算∙同时满足下面所有规则，则称������ 是������ 上的向量空间或线性空间。 （1）规则1：若������, ������ ∈ ������ ，则������ + ������ ∈ ������ （2）规则2：若������, ������ ∈ ������ ，则������ + ������ = ������ + ������ （3）规则3：若������, ������, ������ ∈ ������ ，则(������ + ������) + ������ = ������ + (������ + ������) （4）规则4：存在零元素0 ∈ ������对 都有0 + ������ = ������ （5）规则5：对任意向量������ ∈ ������都存在负元素−������ ∈ ������使得 ������ + (−������) = 0
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2.1线性代数
第二章 深度学习的数学基础
2.1.1向量空间
（6）规则6：若������ ∈ ������, ������ ∈ ������ ，则������ ∙ ������ ∈ ������, （7）规则7：若������, ������ ∈ ������, ������ ∈ ������ ，则 ������ ∙ ������ + ������ = ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ （8）规则8：若������ ∈ ������, ������, ������ ∈ ������ ，则 ������ + ������ ∙ ������ = ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ （9）规则9：若������ ∈ ������, ������, ������ ∈ ������ ，则������ ∙ ������ ∙ ������ = (������������) ∙ ������ （10）规则10：若������ ∈ ������ ，则存在一个单位元素1 ∈ ������使得 1 ∙ ������ = ������
信息学基础.
控制机理
控制论是在信息反馈理论的基础上建立 起来的。反馈的内涵是指信息从授者到受 者经过处理返回给授者的过程。 控制机制正是依靠信息，具体地说是依 靠信息反馈来达到控制目的。
总之，
信息论与控制论以及系统论的结
合构成了相对完整的信息理论体 系，逐步形成现代信息科学的基 础。
2.3 信息科学体系
意义
香农所模拟的这个通讯系统是 最原始、最简单的一个通讯系统。 虽然仅仅是一个开环系统，是一 个单信道单向传输系统，但是这 个模型却是信息论的主要内容。
2.2.2信息科学的其它理论基础——系统论与控制论 1、系统论（我们要认识系统） 系统论的主要创立者是贝特郎菲，他于 1945 年 发表了《关于一般系统论》的论文，宣告了这门学 科的诞生。 要素——结构——系统——功能——环境构成了 系统五位一体的关系。系统诸要素相互联系相互作 用的内在组织形式或内部秩序叫做系统的结构；与 此相对应，关于系统与环境相互联系相互作用的外 在活动形式或外部秩序，则称之为系统的功能。而 信息是系统秩序的保证。
2.2 信息科学理论基础
人类认识世界和改造世界的过程，在本 质上是一个信息过程。 2.2.1信息科学的主要理论基础——信息 论 信息科学是在信息论基础上发展起来的。 40年代，香农完成了“通讯的数学理论” 的研究，奠定了信息论的基础。
通讯系统就是信息传递过程。
香农提出通讯系统的模型，定义了信源 （信息的源泉、发信者）、信道（信息传 输通道）和信宿（信息的归宿、收信者）。 该模型科学地模拟了通讯系统的结构和功 能。
信息科学 信息技术科学（计算机、网络等）
信息应用科学（MIS、IRM等）
信息科学学科体系
启示：
作为新世纪的信息社会人，仅仅掌握计算 机这一信息技术工具远远不够。信息的一 般概念、信息科学原理、信息科学应用和 常用信息技术的使用等信息科学知识已成 为社会信息人的必要知识组成，只有掌握 了现代信息科学知识，才能适应信息化社 会知识结构的要求。
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2.3 密码学的必要性
一个问题---密码学真的有必要吗
CD Universe信用卡数据泄漏案 Visa International笔记本失窃案 美加州大学资料库被黑事件
有一个影响很大的例子，就是2000年1月发生的 CDUniverse信用卡数据库泄露案事件。 一名据称是来自俄罗斯的攻击者成功地通过因特网 拷贝了CDUniverse数据库中300000个信用卡号码， 然后他试图向CDUniverse勒索保护费。CD Universe拒绝支付这笔钱，结果该黑客就在Web上 公布了25000个信用卡号码。 对于CDUniverse的顾客来说，风险不大，因为信用 卡是有保护的，这种保护将使用信用卡所要承担的 风险限制在一个比较小的范围内，一般是50美元或 者更少。
2.朦胧安全
发明了一个加密算法，但却不提交给密码破译者 审核 但这些算法都是复杂的数学运算，一个人无法了 解该运算的所有方面，因此无法了解所有可能的 攻击。 这种算法的安全就称为朦胧安全。 朦胧算法不安全的例子
①
②
1997年counterpane sysytem公司和UC berkeley合作破解了蜂窝 电话保报文加密算法，这个算法用来加密信用卡号 2000年adi shamir破解了A5系列算法当中的一个，A5系列算法是 整个欧洲和美国所使用的保护数字蜂窝通信的算法。
或a和b是模n的同于
模运算也和其他运算一样，具有交换、结合、可 分配特性。P44页
① ② ③ ④
⑤
特性 a=amodn 若a=bmodn ,则b=amod n 若a=bmodn ,b=cmod n,则a=cmodn a=bmodn ,c=dmodn,则 a+c=(b+d)modn a-c=(b-d)modn a*c=(b*d)modn ax modn可以将其分解成系列乘法和除法取模
保密编码:为了防止窃译而进行的再编码称为保密编 码。其目的是为了隐藏敏感的信息。 常采用替换或乱置或两者兼有的方法。 一个密码体制通常包括两个基本部分：加（解）密 算法和可以更换的控制算法的密钥。 密码根据它的结构分为序列密码和分组密码两类。
序列密码是算法在密钥控制下产生的一种随机序列，并
2）问题的复杂性 P问题：能够在多项式时间内解决的问题（时间复 杂度） NP问题：多项式时间内可验证的问题 NP完全问题：特殊的问题，如果NP完全问题解决 了，则NP问题也解决了。 PSPACE问题：比NP复杂性更高的问题。 3） NP完全问题 1.整数分解的问题：大整数分解成素数相乘，整数 越大越难分解
2. 密码体制的安全性 在密码学方面，1949年香农发表《保密系统的通信理 论》，通常它被认为是密码学的先驱性著作。 1976年狄菲和赫尔曼首次提出公开密钥体制，为密码 学的研究开辟了新的方向。 超大规模集成电路和高速计算机的应用,促进了保密编 码理论的发展,同时也给保密通信的安全性带来很大的 威胁。 70年代以来把计算机复杂性理论引入密码学,出现了所 谓P类、NP类和NP完全类问题。算法的复杂性函数呈 指数型增长，因此密钥空间扩大，使密码的分析和搜 索面临严重的挑战。密码学开始向纵深方向发展。
例如 1）如英语有26个字母，假如每个字母在文章中出现 次数平均的话，每个字母的信息量为：
2）汉字常用的有2500个，假如每个汉字在文章中出 现次数平均的话，每个汉字的信息量为
熵是整个系统的平均消;=0
设N是系统S内的事件总数，则熵HS <=log2N。当且 仅当p1=p2=...=pn时，等号成立，此时系统S的熵 最大。 安全角度看消息的熵值描述了明文的不确定性，熵 值越小不确定越低，被攻击的可能性越大。信息熵 大，意味着不确定性也大。
2.4 密码学
1.基本概念
算法：是解决一个数学问题所需要的一组步骤。在 计算机科学领域中，算法通常被看作程序的一个组 成部分，通常作为一个例程或者一个库被引用。 密码算法(cryptographic algorithm)：是数学算法， 设计密码算法是为了能够用不同的数据集合作为参 数来调用它们，从而在这些数据集合上进行相应的 运算
4.求模逆元
什么是逆元，不同的运算逆元的定义不同 例如加法的逆元是：如果两个数相加为0，5和 （-5）； 乘法的逆元：如果两数相乘为1，即为逆元。5 和1/5 在模运算中 如果 a b 1(mod n)
可以说a与b对模n的乘法互为逆元，也可以写成
b a mod n
1
注意 1）模的逆元有时有结果，有时没有结果。例如 5模14的逆元，2模12的逆元 2）一般而言，如果需要逆元有解，需要满足a和n互 素，或b和n互素。
5.欧拉函数
陷门:计算机操作的陷门设置是指进入程序的秘密人 口,它使得知道陷门的人可以不经过通常的安全检查 访问过程而获得访问。 单向陷门函数是这样的函数，即除非知道某种附加 的信息，否则这样的函数在一个方向上容易计算， 而在反方向上要计算是不可行的。 网络上文件安全传输的表示
文件
密文
明文
2.5 数论
逐位与明文混合而得到密文。其主要优点是不存在误码 扩散，但对同步有较高的要求。它广泛用于通信系统中。 分组密码是算法在密钥控制下对明文按组加密。这样产 生的密文位一般与相应的明文组和密钥中的位有相互依 赖性，因而能引起误码扩散。它多用于消息的确认和数 字签名中。
密码学还研究通过破译来截获密文的方法。 破译方法有确定性分析法和统计性分析法两类。 确定性分析法是利用一个或几个未知量来表示所期 望的未知量从而破译密文。 统计分析法是利用存在于明文与密文或密钥之间的 统计关系破译密文。
密码服务提供者(Cryptographic Service Provider， CSP)：从本质上讲就是可以通过一套定义良好的接 口进行调用的，执行特定密码计算功能的密码算法 (加密算法、签名算法等)库。 密码学家(cryptologist)：是一些数学家和研究者， 他们绞尽脑汁地发明新的密码算法 。 密码破译者就登场了。他们装备了强大的工具，全 力以赴地分析算法的弱点，围绕算法的设计进行各 种各样的拷问和攻击以求攻破该算法。 密码学是计算机科学中有着两个平行、对立而又共 生的子分支的分支学科。包括密码编码学 (cryptography)和密码分析学(cryptanalysis)。
然而对于CDUniverse来说非常不幸，顾客对公司的 信任度降低了，因面对他们的业务造成了显著影响。 而如果已经使用密码技术加密了信用卡号码数据库， 那么即使攻击者能够拷贝商家的数据库，他们恐怕 也无法提取其中的信用卡号码。
Visa International笔记本失窃案
1996年11月，VisaInternational的一台笔记本电脑 被盗。 不幸的是这台笔记本电脑保存了超过314000个信用 卡号码。 公布的替换一张信用卡的成本是20美元，因此这一 次盗窃造成的掘失大约为630万美元。 同样，只要对存储在这台笔记本电脑硬盘上的信用 卡信息进行了加密就不会有这样的问题发生，从而 会节省上百万美元的费用。
2.1 信息论
信息量：对消息的所有可能含义进行编码时所需要 的最少比特数 例如对于一周中的时间或性别进行有效编码 一条消息中的信息量可以通过熵来度量
1 熵和不确定性
在1948年由克劳德· 艾尔伍德· 香农第一次引入到信 息论中来。 定义
如果有一个系统S内存在多个事件S = {E1,...,En}， 每个事件的机率分布 P = {p1, ..., pn}，则每个事件 本身的信息为： Ie= − log2pi（对数以2为底，单位是位元(bit)） Ie = − lnpi（对数以e为底， 单位是纳特/nats）
信息论与数学基础
熵
“熵”是德国物理学家克劳修斯在１８５０年创造的
一个定义，他用熵的定义来表示任何一种能量在空 间中分布的均匀程度。
能量分布得越均匀，熵就越大。
如果对于我们所考虑的那个系统来说，能量完全均 匀地分布，那么，这个系统的熵就达到最大值。
2.1 信息论
1948年由香农（claude elmwood shannon）确立 了信息论 从通信的实质意义来讲，如果接收者收到的消息是 已知的，则等于没有收到任何消息。 因此，人们更感兴趣的是消息中所包含的未知成分， 用概率论的术语来讲，就是具有不确定性的成分， 香农将该成分称为信息，并进行了数量描述。
分析不同密码技术和算法的的“计算复杂性”的方 法，通过对密码算法及技术进行比较，确定其安全 性。 1）算法的复杂性 一个算法的复杂性由两个变量来描述：T(时间复杂 度)、S（空间复杂度）， T和S表示为n的函数，n 是输入尺寸。 一个算法的复杂度可以用O符号表示，O(n2) 时间复杂度和空间复杂度与输入的尺寸有关
1.模运算 两位朋友在早上9：00相约，5个小时后在某地 见面 那么14：00和下午2：00可以表示同一时间。 为什么会相等 取模运算 9+5=14=2（mod 12） 或表示为
14 2(mod12)
若a=b+kn对某些整数k成立，则有
a b(mod n)
如果a,b都是正整数，b在0到n之间，称b为a模n 的余数
密码学是这样一个概念，某些计算在一个方
向是容易的，然而在相反的方向确实及其困 难的。
例如：两个大的素数相乘的乘积确定，请确定这两 个大的素数。 求一个数的素因子被人们认为是一个极为困难的数 学问题。
不同密码算法是基于不同的数学难题，但密
码算法都有一个陷门，可以利用陷门破解反 方向的问题。
美加州大学资料库被黑事件
一个例子 把九阴真经发给我