流体力学 第三章

t x
y
z
物理意义：单位时间内通过单位体积表面流入的 流体质量，等于单位时间内内部质量的增量。
（2）、可压缩定常流动连续性方程
当为恒定流时，有 ＝0
t(uLeabharlann ) (uy ) (uz ) 0x
y
z
(3)、不可压缩流体定常流动或非定常流动连续 性方程
当为不可压缩流时，有ρ=常数，则：
ux uy uz 0 x y z
2z t 2
流体的压强、密度也可表示为：p=f4(a, b, c, t)， ρ=f5(a, b, c, t)
p：流体流经某点时的压强——流体动压强 p=(px+py+pz)/3
注：
由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而 实际上也无须知道个别质点的运动情况， 所以除了少数情况（如波浪运动）外，在 工程流体力学中很少采用。
二、欧拉法
欧拉法（Euler Method）是以流体质点流经流场 中各空间点的运动，即以流场作为描述对象研究 流动的方法。——流场法
欧拉法不直接跟踪质点的运动过程，而是以充满 运动液体质点的空间——流场为对象。研究各时 刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运 动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过 观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随 时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出 的整个流体的运动情况。
一、迹线
某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
烟火的轨迹为迹线
在迹线上取微元长度dl表示某点在dt时间内的微 小位移，dl在各坐标轴上的投影分别为dx、dy、dz ，则其速度为：
u dl dt
ux
dx dt
uy
dy dt
uz
dz dt
dx dy dz dt ux uy uz
迹线的微分方程
5、流速
（1）点速u：某一空间位置处的流体质点的速度 。 （2）均速v：同一过水断面上，各点流速u对断面 A的算术平均值。
微元流束的过水断面上，可以中心处的流速作为 各点速度的平均值。
6、流量 Q
单位时间内通过某流束过水断面的流体体积。 单位：立方米/秒，升/秒
微元流束： dQ=udA
总流：
Q=∫QdQ＝∫AudA
ax
dux dt
ay
duy dt
az
duz dt
欧拉加速度
流体的压强、密度也可表示为： p=F4(x, y, z, t)， ρ=F5(x, y, z, t) 因欧拉法较简便，是常用的方法。
流体的压强、密度也可表示为： p=F4(x, y, z, t)， ρ=F5(x, y, z, t)
因欧拉法较简便，是常用的方法。
v1 折点 v2
s2
s
c. 流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的 地方流速大，稀疏的地方流速小）。
因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面 面积成反比。
d. 定常流动时流线形状不变，非定常流动时流 线形状发生变化。
随时间而变化。
4、流线的方程
在流线上某点取微元长度dl（不代表位移），dl在 各坐标轴上的投影分别为dx、dy、dz，则：
5、非定常流动是 B
u
A、
t
0 B、u t
0
u
C、
0
s
u
D、
0
s
6、流场中液体质点通过空间点时，所有的运动要素不随
时间变化的叫定常流动；只要有一个运动要素随时间变化
则称为非定常流动。
√
7、定常流动时，流线的形状不随时间变化，流线不一定 与迹线相重合。
×
第四节 用欧拉方法研究流体运动时的一些基本概念
第三章 流体动力学
动力学比静力学多了两个参数： 粘度 和 速度
第一节 研究流体运动的两种方法
流体运动实际上就是大量流体质点运动的 总和。
描述流体的运动参数在流场中各个不同空 间 位置上 随时间 连续变化的规律。
一、拉格朗日法
拉格朗日法：以流场中每一流体质点作为描述对 象的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基 础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求 得整个流动。——质点系法
2、实际水流中存在流线吗？引入流线概念的意义何在？ 不存在。引入流线概念是为了便于分析流体的流动，确定 流体流动趋势。
3、在什么流动中，流线与迹线重合。 定常流动
4、定常流动是： B
A、流动随时间按一定规律变化； B、流场中任意空间点的运动要素不随时间变化； C、各过流断面的速度分布相同； D、各过流断面的压强相同
第二节 迹线和流线
一维流动、二维流动和三维流动
流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。
一维流动
v v(x)
二维流动
v v(x, y)
三维流动
v v(x, y, z)
实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以
简化。
平面流和轴对称流是两种特殊三维流动。 微小流束为一元流；过水断面上各点的流速用断面平均流速代替 的总流也可视为一元流；宽直矩形明渠为二元流； 大部分水流的运动为三元流。
二、流线
1、流线的定义 表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上 任一点的切线方向与该点的流速方向重合。
流线谱中显示的流线形状
，
2、流线的作法
在流场中任取一点，绘出某时刻通过该点的流体 质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同 一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如 此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近 ，其极限就是某时刻的流线。
x
vy
y
vz
z
dxdydzdt
t
dxdydzdt
于是可得流体连续性微分方程的一般形式为：
vx vy vz 0
t x
y
z
适用范围：定常流动或非定常流动；可压缩流体 或不可压缩流体。
2、不同适用范围的使用形式 （1）、可压缩流体三维流动连续性方程：
(ux ) (uy ) (uz ) 0
运动情况
迹
迹线是指某一质点在某一 迹线方程为： 时段内的运动轨迹，它描
dx dy dz dt ux uy uz
线
述流场中同一质点在不同 时刻的运动情况。
式中时间t为自变量
例子：有一流场，其流速分布规律为： u= -ky，v= kx，w=0，试求其流线方程。
解： dx dy uv
dx dy ky kx
y, z, t ) 考察在 dt 时间内流入、流出控制体的流体质量与 控制体内流体质量变化的关系。
首先考察沿 y 方向流入、流出控制体的流体质量。
流入质量：
m左
vy
1 2
vy
y
dydxdzdt
流出质量：
m右
vy
1 2
vy
y
dydxdzdt
在 dt 时间内自垂直于 y 轴的两个面流出、流入的流体
某一质点t=t0起始时刻坐标（a, b, c），运动任意 时刻t后的坐标：
x f1(a,b,c,t)
空间坐标: y f2(a,b,c,t)
z f3(a,b,c,t)
a、b、c 和 t，称为拉格朗日变数
任何质点在空间的位置（x, y, z）都可看作是（a, b, c）和时间t的函数
（1）（a, b, c）=const , t为变数，可以得出某个指定质 点在任意时刻所处的位置。
质量之差为：
my m右 m左 vy dxdydzdt y
同理可得自垂直于 x、z 轴的平面流出、流入的流体质量
之差分别为：
mx
vx
x
dxdydzdt
mz
vz dxdydzdt
z
dt 时间内经控制体净流出的流体质量应等于该时间控制体
内流体质量的减少（由质量守恒定律）。
即：
vx
1、流线的特性
• 同一时刻的不同流线，不能相交。 • 流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。 • 流线簇的疏密反映了速度的大小
2、流面
通过不处于同一流线上的线段上的各点作出流 线，这些流线所组成的面。
流面两侧的质点不能穿过流面而运动。
3、流管、流束、总流
流管：在流场中取任一封闭曲线（不是流线）， 通过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组 成的管状空间。管内外的流体质点不能交流。
不可压缩流体流动时，流速在x、y、z轴方向的 分量沿其轴向的变化率，互相约束。
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空 间的流体质量（体积），与流出的流体质量（体 积）之差等于零。
【例】 假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律
为）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。试分析该流动 是否连续。
【解】 所以
u 3 v 4
x
y
u v w 9 0 x y z
w 2 z
故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的。
二、微元流束和总流的连续性方程 1、微元流束的连续性方程
微元流束上两个过水断面dA1、dA2，相应的速 度分别为u1、u2，密度分别为ρ1、ρ2；
即
xdx+ydy=0 积分上式得到
x2+y2=c 即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。
第三节 定常流动和非定常流动
一、定常流动 流体质点的运动要素只是坐标的函数，与时间无 关。―― 恒定流动
过流场中某固定点所作的流线，不随时间而改变 ——流线与迹线重合
0 t
二、非定常流动 流体质点的运动要素，既是坐标的函数，又是
流线是欧拉法分析流动的重要概念。
3、流线的性质
a. 同一时刻的不同流线，不能相交
因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向 量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能 同时有两个速度向量。
b. 流线不能是折线，而是一条光滑的曲线
因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续
函数。
v1 交点 v2
s1
3、流线的形状与边界形状有关。 ×
第五节 连续性方程
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用
一、直角坐标系下微分形式的连续性方程
1、连续性微分方程的一般形式
在流场中取一微元平行六面体作为控制体边长分别为dx、 dy、dz。中心点 A ( x, y, z ) 流速为vx、vy、vz ，密度为ρ( x,
复习题
1. 欧拉法、拉格朗日方法各以什么作为其研究对 象？对于工程来说，哪种方法是可行的？ 欧拉法以流场为研究对象，拉格朗日方法以流体质 点为研究对象；在工程中，欧拉法是可行的。
2. 欧拉法研究C 的变化情况。 (A) 每个质点的速度 (B) 每个质点的轨迹 (C) 每个空间点的流速 (D) 每个空间点的质点轨迹
v Q AudA
AA
7.湿周 水力半径
湿周（X）： 在有效截面上，流体同固体边界接触部分的周长 水力半径（Rh）： 有效截面积与湿周之比称为水力半径。
R
=2R
A
D
B
C
=AB+BC+CD
A
C
B
=ABC
Rh
S X
问题：
1、过水断面一定是平面。
×
2、流线是光滑的曲线，不能是折线，流线之间可 以相交。 ×
时间的函数。―― 非恒定流动
质点的速度、压强、加速度中至少有一个随时 间而变化。
迹线与流线不一定重合
0
t
注意：
（1）在定常流动情况下，流线的位置不随时间 而变，且与迹线重合。
（2） 在非定常流动情况下，流线的位置随时 间而变；流线与迹线不重合。
复习题
1、什么是流线、迹线？它们有何区别？ 线流线。是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上 任一点的切线方向与该点的流速方向重合。 迹线是指某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
流束：流管中的流体。 或，充满流管的一束流 线簇。
微元流束：流管的横截面积为微元面积时的流束。
总流：由无限多微元流束所组成的总的流束。或 ，所有流束组成的总体，即边界包含的所有流体 。
4、过水（流）断面：
与某一流束中各条流线相垂直的截面，称为此 流束的过水断面。
即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流动方 向的横断面，如图1-1，2-2断面。
欧拉法要点：
1、分析某固定位置处，流体运动要素随时间的 变化规律；
2、分析由某一位置转移到另一位置时，运动要 素随位置变化的规律。
流场运动要素是时空（x, y, z, t）的连续函数： 速度投影：
ux uy
FF12((xx,,yy,,zz,,tt))
uz
F3(x,y,z,t)
（x, y, z, t）— 欧拉变数
（2）（a, b, c）为变数, t=const，可以得出某一瞬间不 同质点在空间的分布情况。
由于位置是时间t的函数，x、y、z分别对t求导， 可求得该质点的速度及加速度投影：
u x
x t
速度
u y
y t
u z
z t
ax
ux t
2x t 2
加速度 ay
u y t
2 y t 2
az
uz t
dl dx dy dz
u ux uy uz
或
dx dy dz ux uy uz
流线的微分方程
迹线与流线的比较：
概念
定义
备
注
流线是表示流体流动趋势
的一条曲线，在同一瞬时 流线方程为： 流 线上各质点的速度向量都
线 与其相切，它描述了流场 中不同质点在同一时刻的
时间t为参变量
dl dx dy dz u ux uy uz