(第三讲)数学简史

毕达哥拉斯学派
代表人物毕达哥拉斯 （约公元前560－前480 年），出生于小亚细亚的萨 摩斯岛，与中国的孔子（公 元前551－前479年）同时， 曾师从爱奥尼亚学派，年青 时曾游历埃及和巴比伦.
毕达哥拉斯发现了著名的“勾股定理”，据说， 毕达哥拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了一百头牛， 也正是由于勾股定理的发现，导致无理数的发现， 由此产生了第一次数学危机。 毕达哥拉斯学派在对数学的发现中，不断追求 “美”的形式。他们认为日、月五星都是球形， 浮悬在太空中，这是最完美的立体，而圆是最完 美的平面图。就是曾被誉为“巧妙的比例”，并 染上各种各样瑰丽诡秘色彩的“黄金分割”也是 这个学派首先认识到的。
飞矢不动
飞行中的箭在任何一个确定的时刻只 能占据空间的一个特定的位置，因此，在 这一瞬间它就静止在这个位置上，于是所 谓运动，只是许多静止的总和。
运动场问题
芝诺本来可以进一步导出极限的思想， 但他却因此否认运动的真实性，说运动是感 官的错觉，而世界是静止的存在，这样他就 不会得到正确的结论了。
诡辩学派（智人学派）
柏拉图学派
柏拉图（约公元前427－前347年），出生于雅 典的显贵世家，曾师从毕达哥拉斯学派，哲学家苏 格拉底（公元前469－前399年）的学生。 柏拉图，是著名的唯心主义者。柏拉图认为精 神是第一性的，物质是第二性的； 他年轻时曾跟随希腊哲学家苏格拉底学习哲学， 受到逻辑思想影响，尔后成为雅典举世瞩目的大哲 学家。柏拉图从毕达哥拉斯学派吸收了许多数学观 点，并运用到自己的学说中，因此，柏拉图的哲学 提高了对数学科学的兴趣。他充分认识到数学对研 究哲学和宇宙的重要作用，并积极鼓励自己的朋友， 学生学习和研究数学。
诡辩学派的数学研究中心，是所谓的几何三 大难题：1、三等分任意角，2、倍立方──求作 一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；3、 化圆为方─求作一正方形，使其面积等于已知圆。 这些问题的难处在于作图只许用直尺（没有 刻度的尺）和圆规两种工具。后来证明三大问题 都是不可能解决的。正因为不能用尺规来解决， 常常使人闯到新的数学领域中去。例如激发了圆 锥曲线等。
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雅典时期：开创了演绎数学其代表学派
伊利亚学派
代表人物芝诺（约公元前490－前430年），出生于意大利南部半岛的伊利 亚城邦，毕达哥拉斯学派成员的学生。 芝诺生活在古希腊的埃利亚城邦，芝诺因其悖论而著名，并因此在数学和 哲学两方面享有不朽的声誉。 “芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历 史。” 由于芝诺的著作没能流传下来，故只能通过批评他的亚里士多德及其诠释 者才得以了解芝诺悖论的要旨的。
这问题的来源，可追溯到公元前429年，一场瘟疫袭击了希腊第罗斯 岛(Delos)，造成四分之一的人口死亡。岛民们推派一些代表去神 庙请示阿波罗的旨意，神指示说： 要想遏止瘟疫，必须将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。人们 便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接 著人们又试著把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体…… 第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救於当时 著名的学者柏拉图。 开始，柏拉图和他的学生认为这个问题很容易。他们根据平时的经验， 觉得利用尺规作图可以轻而易举地作一个正方形，使它的面积等于已 知正方形的2倍，那么作一个正方体，使它的体积等于已知正方体体 积的2倍，还会难吗?结果，……
无理数的发现推翻了早期希腊人坚信的另一信念：给定任何两个线 段，必能找到第三个线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的 整数倍.事实上，这种说法是不对的。
证明如下： 我们取一个正方形，设它的边长为s，对角线 长为d，并知道.取这两个线段；如果存在第三个 线段t，使得s和d都包含t的整数倍，就有 p, q 是整数.由得到从而有这是一个有理数，与是无理 数相矛盾.这说明存在不可公度的线段，即不具有 共同度量的线段.
第三讲 论证数学的发端
——第一次数学危机
主要内容
论证数学的发端 （主要介绍两个代表人物：泰勒斯与毕达哥拉斯）
介绍第一次数学危机的发生与解决
古代希腊——论证数学的发源地
希腊数学一般指从公元前600年至公元600年共1200年间， 活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意 大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们所创造的数 学。 希腊早期文明中心在雅典；公元前338年，希腊诸帮被马 其顿控制，文明中心转到亚历山大城（埃及）；公元前30年 左右，罗马帝国完全控制希腊各国，文明中心转到罗马（意 大利）。公元640年前后，阿拉伯民族征服东罗马，希腊文 明落下帷幕。
亚里士多德学派（吕园学派） 亚里士多德出生于希腊北部的斯塔吉拉， 父亲是马其顿国王的御医。公元前367年，17 岁的亚里士多德到当时希腊的文化中心雅典， 进入柏拉图的阿卡德米学园学习。由于他聪 敏过人，深受柏拉图的喜爱，成为柏拉图的 得意门生。他在学园一共学习了20年，直到 柏拉图去世。柏拉图去世以后，他到小亚细 亚各城邦去讲学。 公元前335年建立了自己的学派，讲学于 雅典的吕园，又称“吕园学派”，相传亚里 士多德还做过亚历山大大帝的老师。“吾爱 吾师，吾尤爱真理”。
这个“逻辑上的丑闻”是数学基础的第一次危机，既 不容易也不能很快地消除. 大约在公元前370年，才华横溢的希腊数学欧多克索 斯以及帕拉图和毕达哥拉斯的学生阿契塔给出了两个比相 等的定义，从而巧妙地消除了这一“丑闻”. 他们给出的定义与所涉及的量是否可公度无关.其实 这也是自然的，因为两个线段的比，本来也是与第三个线 段无关.当然从理论上彻底克服这一危机还有待于现代实 数理论的建立.在实数理论中，无理数可以定义为有理数 的极限，这样又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆依赖于整数” 的思想.
思考题
1.古代希腊数学的几个代表人物？
2.第一次数学危机是由什么引起的？
二分说
一个物体从甲地到乙地，永远不能到 达。因为想从甲到乙，首先要通过道路的 一半，但要通过一半，必须通过一半的一 半，即道路的1/4，要通过1/4必先经过1/8， 这样分下去，永无止境，芝诺的结论是此 物根本不能开始运动，因为它被道路的无 限分割阻碍着。
阿基里斯追龟说
阿基里斯是《史诗》中的英雄，以善 跑著称。芝诺说阿基里斯追乌龟，永远追 不上。 比方说，阿基里斯的速度是龟的10倍， 龟在前面100米，当阿基里斯跑了100米到 龟的出发点时，龟向前走了10米，阿基里 斯再多10米，龟已前进了1米，阿斯里斯 再追1米，龟又前进了1/10米，这样永远 相隔一小段距离，所以总也追不上。
活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城，代表人 物有希比阿斯（生于公元前460年）、安提丰（公 元前480-前411年）等均以雄辩著称，诡辩的希 腊原词含智慧之意，故亦称智人学派。 “诡辩”一词含“智慧”之意，诡辩学派也译 作“哲人学派”或“智人学派”。诡辩学派主要是 以讲授修辞学，雄辩术，文法，逻辑数学，天文等 科为职业。也经常出入群众集会场所，发表应付的 演说等。
现存的芝诺悖论至少有8个，其中关于运动的4个悖 论：二分说、阿基里斯追龟说、飞箭静止说、运动场悖论 尤为著名。 前三个悖论揭示的是事物内部的稠密性和连续性之间 的区别，是无限可分和有限长度之间的矛盾。他并不是简 单地否认运动，而是反对那种认为空间是点的总和、时间 是瞬刻的和的概念，他想证明在空间作为点的总和的概念 下运动是不可能的。第4个悖论是古代文献中第一个涉及 相对运动的问题。
2 第一次数学危机
第一次数学危机发生的时间最 早，而危机根本上被消除花费的 时间又最长
在古代的数学家们看来与有理数对应的点充满了数轴，因此，当发现 在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在当时人们的心理上引 起了极大的震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一.他是在公元 前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的.（及 无理数的诞生）
第一次数学危机表明，当时的 希腊数学已经发展到这样的阶段 1.数学已由经验科学变为演绎科学. 2.把证明引入了数学. 3.演绎的思考首先出现在几何学中，而不是在代数学中，使几何，具有更加重 要的地位.这种状态一直保持到笛卡尔解析几何的诞生.
中国，埃及，巴比伦，印度等国的数学没有经历这样的危机， 因而一直停留在实验科学，即算术的阶段.希腊则走上了完全 不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多德 的逻辑体系，从而成为现代科学的始祖.
第一次数学危机的消除
无理数和不可共度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起极大的震动. 首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数” 的致命一击，既然像这样的无理数不能写成两个整数之比，那么他究竟 怎样依赖整数？ 其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直观上总是认为任何两 个线段都是可公度的.而毕达哥拉斯学派的比例和相似性的全部理论都是 建立在这一假设上的，突然之间基础坍塌了，已经确立的几何学的大部 分内容必须抛弃，因为他们的证明失效了. 数学基础的严重危机爆发了.这个“逻辑上的丑闻”是如此可怕，以 至于毕达哥拉斯学派对此严守秘密.据说米太旁登的希帕苏斯把这个秘密 泄露了出去，结果被丢进了大海，还有一种说法将他逐出学派，并为他 立了一个墓碑，说他年） 有关他的生平至今没有确切的定论，只知他在雅 典从事学术活动，是智人学派的代表人物，在数 学方面的突出成就是用“穷竭法”讨论化圆为方 问题。 安蒂丰才艺双全，著作颇丰，流传下来的将近15 部，主要有：《四部曲》、《论真理》、《论和 谐》、《政治家》、《梦的解释》、《避痛术》 等．在宇宙学方面，曾研究过宇宙的物理结构和 天体性质．
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古典时期的希腊数学（公元前600－前300年） 爱奥尼亚学派 （米利都学派） 代表人物泰勒斯（公元 前625－前547年），出生于 爱奥尼亚的米利都城，早年 经商，被称为“希腊哲学、 科学之父”。 他更是以数学上的发现 而出名的第一人。他认为处 处有生命和运动，并以水为 万物的本源。
泰勒斯（希腊语：Θαλής,Thalês，英语： Thales，约公元前624年－公元前546年）， 又译为泰利斯，公元前7至6世纪的古希腊时期的 思想家、科学家、哲学家，希腊最早的哲学学 派——米利都学派（也称爱奥尼亚学派）的创始 人。“科学和哲学之祖”。 泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引入了命题证 明的思想。它标志着人们对客观事物的认识从经 验上升到理论，这在数学史上是一次不寻常的飞 跃。