中考动点问题专题(教师讲义带答案)

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中考数学复习总结专题讲座(精编含详细参考答案)：动点型问题

2013年中考数学复习专题讲座：动点型问题（建立动点问题的函数解析式（或函数图像）、动态几何型压轴题、双动点问题、因动点产生的最值问题）一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.（一）应用勾股定理建立函数解析式（或函数图像）例1（2012•内江）如图，正△ABC 的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A→B→C 的方向运动，到达点C 时停止，设运动时间为x （秒），y=PC 2，则y 关于x 的函数的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．解：∵正△ABC 的边长为3cm ，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3cm ．如图，D 为AB 的中点，连结CD ，则：AD=BD=1.5（cm ），CD=2（cm ）。

①当0≤x≤1.5时，即点P 在线段AD 上时，AP=xcm （0≤x≤1.5），则2222223()392PC CD DP x x x =+=+-=-+，即y=x 2﹣3x+9（0≤x≤1.5）； ②当1.5<x≤3时，即点P 在线段AD 上时，AP=xcm （1.5<x≤3），则2222223(()3922PC CD DP x x x =+=+-=-+，即y=x 2﹣3x+9（1.5<x≤3）；综上，该图象是开口向上； ③当3＜x≤6时，即点P 在线段BC 上时，PC=（6﹣x ）cm （3＜x≤6）；则y=（6﹣x ）2=（x ﹣6）2（3＜x≤6），∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线；故选C ．（二）应用比例式建立函数解析式（或函数图像）例2（2012•攀枝花）如图，直角梯形AOCD 的边OC 在x 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于x 轴，D （5，4），AD=2．若动点E 、F 同时从点O 出发，E 点沿折线OA→AD→DC 运动，到达C 点时停止；F 点沿OC 运动，到达C 点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E 运动x 秒时，△EOF 的面积为y （平方单位），则y 关于x 的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．D思路分析：首先根据点D的坐标求得点A的坐标，从而求得线段OA和线段OC的长，然后根据运动时间即可判断三角形EOF的面积的变化情况．解：∵D（5，4），AD=2．∴OC=5，CD=4 OA=5，∴运动x秒（x＜5）时，OE=OF=x，作EH⊥OC于H，AG⊥OC于点∴EH=x，S△EOF=OF•EH=×x×x=x2，故A、B错误；G，∴EH∥AG，∴△EHO∽△AGO，即：，当点F运动到点C时，点E运动到点A，此时点F停止运动，点E在AD上运动，△EO F的面积不变，点E在DC上运动时，如右图，EF=11﹣x，OC=5，∴S△EOF=OC•CE=×（11﹣x）×5=﹣x+是一次函数，故C正确，故选C．点评：本题考查了动点问题的函数图象，解题关键是根据动点确定分段函数的图象．（三）应用求图形面积的方法建立函数关系式例3（2012•桂林）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点．（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．思路分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC，为证明△AED≌△CFD提供了重要的条件；（2）利用S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9 即可得到y与x之间的函数关系式；（3）依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，从而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面积相等得到S△ADF=S△BDE从而得到S△EDF=S△EAF+S△ADB即可确定两个变量之间的函数关系式．解：（1）证明：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D为BC中点∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45° ∴AD=BD=DC （2分）∵AE=CF∴△AED≌△CFD（2）解：依题意有：FC=AE=x，∵△AED≌△CFD∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9∴∴；（3）解：依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°∴∠DAF=∠DBE=135° ∴△ADF≌△BDE∴S△ADF=S△BDE∴S△EDF=S△EAF+S△ADB=∴．点评：本题考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然不是很多但难度较大．（四）以双动点为载体，探求函数图象问题例4（2012•荆门）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE ﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（填序号）．思路分析：根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5，∴AD=BE=5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED=2，∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，在Rt△ABE中，AB===4，∴cos∠ABE==，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB==，∴PF=PBsin∠PBF=t，∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故③小题正确；当t=秒时，点P在CD上，此时，PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=，PQ=CD﹣PD=4﹣=，∵=，==，∴=，又∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口．（五）以双动点为载体，探求函数最值问题例5（2012•张家界）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=2．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．（1）分别求出点A、点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即B点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、C的坐标）．（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式．（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、B的坐标，易判断出△OAB是含特殊角的直角三角形，结合O、D关于直线AB对称，可得出OD的长，结合∠DOA的读数，即可得到D点的坐标，由此得解．（4）首先用t列出AQ、AP的表达式，进而可得到P到x轴的距离，以OQ为底、P到x轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值．解：（1）令y=0，即﹣x2+x+2=0；解得 x1=﹣，x2=2．∴C（﹣，0）、A（2，0）．令x=0，即y=2，∴B（0，2）．综上，A（2，0）、B（0，2）．（2）令AB方程为y=k1x+2因为点A（2，0）∴直线AB的解析式为y=﹣x+2．（3）由A（2，0）、B（0，2）得：在直线上，∴0=k1•2+2∴k1=﹣，OA=2，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°；∵D与O点关于AB对称，∠DOA=60°，∴OD=OA=2，∴D点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）．因为y=过点D，∴3=，∴k=3．（4）∵AP=t，AQ=t，P到x轴的距离：AP•sin30°=t，OQ=OA﹣AQ=2﹣t；∴S△OPQ=•（2﹣t）•t=﹣（t﹣2）2+；依题意有，解得0＜t≤4．∴当t=2时，S有最大值为．点评：该题考查的知识点有：函数解析式的确定、二次函数的性质、图形面积的解法等，在解答动点函数问题时，一定要注意未知数的取值范围．（六）因动点产生的最值问题因动点产生的最值问题与一般最值问题一样，一般都归于两类基本模型：1．归于函数模型；2．归于几何模型分为两种情况：⑴两线段之和的最小值”时大都应用这一模型。

中考数学动点问题(含答案)

中考数学之动点问题一、选择题：1. 如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停顿，设点P运动的路程为*，△ABP的面积为y，如果y关于*的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是〔〕A、10B、16C、18D、20二、填空题：1. 如上右图，C为线段AE上一动点〔不与点A，E重合〕，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________〔把你认为正确的序号都填上〕。

三、解答题：1．〔2008年大连〕如图12，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A = 90°，CD = 3，AD = 4，tan B = 2，过点C作CH⊥AB，垂足为H．点P为线段AD上一动点，直线PM∥AB，交BC、C H于点M、Q．以PM为斜边向右作等腰Rt△PMN，直线MN交直线AB于点E，直线PN交直线A B于点F．设PD的长为*，EF的长为y．⑴求PM的长(用*表示)；⑵求y与*的函数关系式及自变量*的取值范围(图13为备用图)；⑶当点E在线段AH上时，求*的取值范围(图14为备用图)．2.〔2008年福建宁德〕如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时0＜x＜，△DCQ的8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为*秒()8面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．⑴求y1与*的函数关系，并在图2中画出y1的图象；⑵如图2，y2的图象是抛物线的一局部，其顶点坐标是〔4，12〕，求点P的速度及AC的长；⑶在图2中，点G是*轴正半轴上一点〔0＜OG＜6＝，过G作EF垂直于*轴，分别交y1、y2于点E、F．①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；②当0＜*＜６时，求线段EF长的最大值．3.〔2008年白银〕如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为〔4，3〕．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿*轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边．．分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t 〔秒〕． (1) 点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________； (2) 当t=秒或秒时，MN=21AC ； (3) 设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数S 有没有最大值？假设有，求出最大值；假设没有，要说明理由．参考答案一、选择 A二、填空：〔1〕〔2〕〔3〕〔5〕三、解答： 2、解：⑴∵CD CQ S DCQ ⋅⋅=∆21，CD ＝3，CQ ＝*， ∴x y 231=．图象如下图．⑵方法一：CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －*k ，CQ ＝*， ∴()kx kx x kx k y 42182122+-=⋅-⨯=．∵抛物线顶点坐标是〔4，12〕，∴12444212=⋅+⋅-k k ．解得23=k ．图1C Q → B图2则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．方法二：观察图象知，当*=4时，△PCQ 面积为12．此时PC ＝AC －AP ＝8k －4k ＝4k ，CQ ＝4．∴由CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，得 12244=⨯k ．解得23=k ．则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．方法三：设y 2的图象所在抛物线的解析式是c bx ax y ++=2． ∵图象过〔0，0〕，〔4，12〕，〔8，0〕，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.0864124160c b a c b a c ，，解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.0643c b a ，， ∴x x y 64322+-=． ①∵CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －*k ，CQ ＝*，∴kx kx y 42122+-=． ②比拟①②得23=k .则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．⑶①观察图象，知线段的长EF ＝y 2－y 1，表示△PCQ 与△DCQ 的面积差〔或△PDQ 面积〕． ②由⑵得 x x y 64322+-=.〔方法二，x x x x y 643232382122+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=〕∵EF ＝y 2－y 1， ∴EF ＝x x x x x 29432364322+-=-+-， ∵二次项系数小于０，∴在60＜x＜范围，当3=x 时，427=EF 最大． 3、解：(1)〔4，0〕，〔0，3〕； 2分 (2) 2，6； 4分 (3) 当0＜t ≤4时，OM =t ．由△OMN ∽△OAC ，得OCONOA OM =， ∴ ON =t 43，S=283t ． 6分当4＜t ＜8时，如图，∵ OD =t ，∴ AD = t-4．方法一：由△DAM ∽△AOC ，可得AM =)4(43-t ，∴ BM =6-t 43． 7分由△BMN ∽△BAC ，可得BN =BM 34=8-t ，∴ CN =t-4． 8分S=矩形OABC 的面积-Rt △OAM 的面积- Rt △MBN 的面积- Rt △NCO 的面积=12-)4(23-t -21〔8-t 〕〔6-t 43〕-)4(23-t =t t 3832+-． ·························· 10分方法二：易知四边形ADNC 是平行四边形，∴ CN =AD =t-4，BN =8-t ．7分由△BMN ∽△BAC ，可得BM =BN 43=6-t 43，∴ AM =)4(43-t ．8分以下同方法一． (4) 有最大值．方法一：当0＜t ≤4时，∵ 抛物线S=283t 的开口向上，在对称轴t=0的右边， S 随t 的增大而增大， ∴ 当t=4时，S 可取到最大值2483⨯=6； 11分当4＜t ＜8时， ∵ 抛物线S=t t 3832+-的开口向下，它的顶点是〔4，6〕，∴ S ＜6．综上，当t=4时，S 有最大值6． 12分方法二：∵ S=22304833488t t t t t ⎧<⎪⎪⎨⎪-+<<⎪⎩，≤，∴ 当0＜t ＜8时，画出S 与t 的函数关系图像，如下图． 11分显然，当t=4时，S有最大值6． 12分说明：只有当第〔3〕问解答正确时，第〔4〕问只答复"有最大值〞无其它步骤，可给1分；否则，不给分．。

专题—动点(解析版)

3 5
7 3
CM
4 8 t 5 9
，
49 64 9 81 505 ， 9
在 Rt△ PMC 中， PC PM 2 CM 2 ∴菱形 PQP′C 边长为
505 9
．
12′
2．（2009 年青岛）（本小题满分 12 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，AD 6cm ，CD 4cm ，BC BD 10cm ，点 P 由 B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为 1cm/s，交 BD 于 Q，连接 PE．若设运动时间为 t（s）（ 0 t 5 ）．解答下列问题：（1）当 t 为何值时， PE ∥ AB ？（2）设 △PEQ 的面积为 y （cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t ，使 S△ PEQ
中考动点专题（解析版）
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 .解决这类问题的关键是动中求静 , 灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想
AC 4cm ， BC 3cm ， 1. （2008 年青岛）已知：如图①，在 Rt△ ACB 中， C 90 ，
2 S△ BCD ？若存在，求出此时 t 的值；若 25
不存在，说明理由．（4）连接 PF ，在上述运动过程中，五边形 PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．
E Q P B F 第 24 题图 A P B E Q N F D M C C
A
D
解：（1）∵ PE ∥ AB ∴

模型39 数轴上动点问题(解析版)-中考数学解题大招复习讲义

1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．✮（4）数轴上两点间的距离公式：AB=X B-X A(即：右端点减左端点）✮（5）数轴上中点数公式：=+2(即：中点等于两端点相加除以2）例题精讲【例1】.如图，点A在数轴上表示的数为﹣3，点B表示的数为2，点P在数轴上表示的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5，则满足条件的P点表示的整数有___________.解：∵PA+PB＝5，∴点P在A，B两点之间，A，B两点之间的整数有﹣2，﹣1，0，1，变式训练【变式1-1】．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝ 2.5或5.5．解：∵AB＝15，OA＝2OB，∴AO＝AB＝10，BO＝AB＝5，∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5，设经过t秒，则AP＝＝，OP＝5+4t，BP＝5+4t﹣（5+2t）＝2t，当t≤15时，3AP+2OP﹣mBP＝45﹣3t+10+8t﹣2mt＝（5﹣2m）t+55，∴当5﹣2m＝0，即m＝2.5时，3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，当t＞15时，3AP+2OP﹣mBP＝3t﹣45+10+8t﹣2mt＝（11﹣2m）t﹣35，∴当11﹣2m＝0，即m＝5.5时，上式为定值﹣35，也不随t发生改变，故m为2.5或5.5．故答案为：2.5或5.5．【变式1-2】．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P 从原点出发，速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？（3）当时间t满足t1＜t≤t2时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出t1，t2的值．解：（1）设运动时间为t秒，由题意可得：6+8+2t+6t＝46，∴t＝4，∴运动4秒，点M与点N相距46个单位；（2）设运动时间为t秒，由题意可知：M点运动到6+2t，N点运动到﹣8+6t，P点运动到t，由t＝﹣8+6t可得t＝1.6，当t＜1.6时，点N在点P左侧，若MP＝NP，则t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，解得t＝（s）；当t＞1.6时，点N在点P右侧，若MP＝NP，则﹣8+6t﹣t＝6+2t﹣t，解得t＝（s），∴运动s或s时，点P到点M，N的距离相等；（3）由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动①当t1＝4s时，P在4，M在14，N在﹣32，再往前一点，MP之间的距离即包含10个整数点，NP之间有47个整数点；②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动，若N点移动到﹣33时，此时N、M之间仍为47个整数点，若N点过了﹣33时，此时N、M之间为48个整数点故t2＝+4＝（s），∴t1，t2的值分别为4s，s．【例2】．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A 落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2023的点是点D．解：由图形可知，旋转一周，点B对应的数是1，点C对应的数是0，点D对应的数是﹣1，点E对应的数是﹣2，点F对应的点为﹣3，点A对应的点为﹣4，继续旋转，点B对应的点为﹣5，点C对应的点为﹣6．∵2023÷6＝337…1，∴数轴上表示﹣2025的点与圆周上点D重合．故答案为：点D．变式训练【变式2-1】．在数轴上，点A，O，B分别表示﹣15，0，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒4个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点P，Q，O三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个中点，则运动时间为或或秒．解：由题知，P点对应的数为：﹣15+4t，Q点对应的数为：9+t，（1）当O为PQ中点时，根据题意得15﹣4t＝9+t，解得t＝，（2）当P是OQ的中点时，根据题意得2（4t﹣15）＝9+t，解得t＝，（3）当Q是OP的中点时，根据题意得2（9+t）＝4t﹣15，解得t＝，故答案为：或或．【变式2-2】．如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点示数1，C点表示数9．（1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；（2）若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．解：（1）AB＝9﹣（﹣3）＝12，12÷2＝6，AB的中点表示的数为：9﹣6＝3，3﹣1＝2，3+2＝5，则点B与5表示的点重合；（2）①由题意可知，t秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t，B点所在的数为：1﹣t，C点所在的数为：9﹣4t，（i）若B为AC中点，则．∴t＝1；（ii）若C为AB中点，则，∴t＝4；（iii）若A为BC中点，则，∴t＝16，∴综上，当t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点；②假设存在．∵C在B右侧，B在A右侧，∴BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t，AB＝1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝4+t，mBC﹣2AB＝m（8﹣3t）﹣2（4+t）＝8m﹣3mt﹣8﹣2t＝8m﹣8﹣（3mt+2t）＝8m﹣8﹣（3m+2）t，当3m+2＝0即m＝时，mBC﹣2AB＝8×（﹣）﹣8＝﹣为定值，∴存在常数m＝﹣，使mBC﹣2AB的值为定值．1．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分别对应数轴上的是﹣3和x所表示的点，那么x等于（）A．5B．6C．7D．8解：根据数轴可知：﹣3+8＝5，故选：A．2．等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2021次后，点B（）A．对应的数是2019B．对应的数是2020C．对应的数是2021D．不对应任何数解：结合数轴，根据连续翻转可得出从原点开始，向右依次是A、B、C循环排列，2021次后共得出2022个顶点，∵2022÷3＝674，∴最后一个点为C，∵最后一个点C是翻转了2021次后得到的，∴点C表示的数为2021，∴点B表示的数为2020，故选：B．3．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（）①若|x﹣2022|＝1，则x＝2021或2023；②若|x﹣1|＝|x+3|，则x＝﹣1；③若x＞y，则|x﹣2|＞|y﹣2|；④关于x的方程|x+1|+|x﹣2|＝3有无数个解．A．1B．2C．3D．4解：①若|x﹣2022|＝1，可得x﹣2022＝±1，则则x＝2021或2023；所以①说法正确；②若|x﹣1|＝|x+3|，几何意义是数轴到表示数1的点和表示数3的点的距离相等的点，即可得出x＝﹣1；所以②说法正确；③当y＜x＜0时，则|x﹣2|＜|y﹣2|，所以③说法不正确；④因为|x+1|+|x﹣2|＝3的几何意义是到数轴上表示﹣1的点与表示2的点的距离和等于3的点，即﹣1≤x≤2时满足题意，所以有无数个解，故④说法正确．故选：C．4．数轴上点A表示的数是﹣3，把点A向右移动5个单位，再向左移动7个单位到A′，则A′表示的数是﹣5．解：依题意得：﹣3+5﹣7＝﹣5，即则A′表示的数是﹣5．故答案为：﹣5．5．数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O 和点B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，t＝4.4时，M、N两点相遇（结果化为小数）．解：当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上，即t≥2时，M表示的数是×（t﹣2）＝2t﹣4，N表示的数是12﹣3（t﹣2）＝18﹣3t，∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，∴2t﹣4＝18﹣3t，解得：t＝＝4.4，故答案为：4.4．6．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0．（1）原点在第②部分（填序号）；（2）化简式子：|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|；（3）若|c﹣5|+（a+1）2＝0，且BC＝2AB，求点B表示的数．解：（1）∵点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴原点在点A和点B之间，又∵从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，∴原点在第②部分；故答案为：②（2）∵a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，c＞0，∴c﹣a＞0，∴|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|＝b﹣a﹣（c﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a﹣c+a+a＝a+b﹣c；（3）∵|c﹣5|+（a+1）2＝0，又∵|c﹣5|≥0，（a+1）2≥0，∴c﹣5＝0，a+1＝0，∴c＝5，a＝﹣1，∵B对应的数是b，5＞b＞﹣1，∴BC＝5﹣b，AB＝b﹣（﹣1）＝b+1，又∵BC＝2AB，∴5﹣b＝2×（b+1），即3b＝3，解得：b＝1，∴点B表示的数为1．7．已知b是最小的正整数，且（c﹣5）2与|a+b|互为相反数．（1）填空：a＝﹣1，b＝1，c＝5；（2）若P为一动点，其对应的数为x，点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）；（3）如图，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，在（1）的条件下，若点A 以1个单位长度/s的速度向左运动，同时，点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动．ts后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．解：（1）依题意得，b＝1，c﹣5＝0，a+b＝0，解得a＝﹣1，c＝5．故答案为：﹣1，1，5；（2）点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，当0≤x≤1时，x+1＞0，x﹣1≤0，x+5＞0，原式＝x+1+x﹣1+2x+10＝4x+10；当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x+5＞0，原式＝x+1﹣x+1+2x+10＝2x+12．综上可知，|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝4x+10或2x+12；（3）不变，理由：t秒后A点表示的数是﹣1﹣t，B点表示的数是1+2t，C的表示的数是5+5t，∵AB＝1+2t﹣（﹣1﹣t）＝3t+2，BC＝5+5t﹣（1+2t）＝3t+4，∴BC﹣AB＝2，∴BC﹣AB的值不变，是2．8．数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B 的右侧，AC﹣AB＝2．（1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点．①则点D表示的数为﹣2．②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF 运动过程中，MN的长度始终为1，求a的值；（2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长．解：（1）①∵m＝﹣8，n＝2，∴AB＝2﹣（﹣8）＝10．∵AC﹣AB＝2，∴AC＝12，∴点C对应的数字为4，∵点D是AC的中点，∴CD＝AC＝6，设点D表示的数为x，∴4﹣x＝6，∴x＝﹣2．∴点D表示的数为﹣2．故答案为：﹣2；②设EF运动的时间为t秒，则点E对应的数字为t﹣8，点F对应的数字为t﹣8+a，∵点M是EC的中点，N是BF的中点，∴点M对应的数字为＝，点N对应的数字为＝，∵MN＝1，∴||＝1．解得：a＝0或a＝4，∵a＞0，∴a＝4；（2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，∵点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2，∴c＝n+2，AB＝n﹣m．∵点D是AC的中点，∴d＝，∴AD＝m＝，BD＝n﹣＝，∵AD+3BD＝4，∴＝4，解得：n﹣m＝3．∴AB＝3．9．如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中a＜0，b＞0．（1）若a＝﹣7，b＝3，求线段AB的长度及线段AB的中点C表示的数c；（2）该数轴上有另一点D表示数d．①若d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD．求整式2a+8b+2023的值；②若d＝﹣2，且AB＝5BD，能否求整式2a+8b+2023的值？若能，求出该值；若不能，说明理由．解：（1）∵a＝﹣7，b＝3，∴线段AB的中点C表示的数c＝3﹣×（|﹣7|+3）＝3﹣×10＝3﹣5＝﹣2；（2）①∵d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD，∴AB＝b﹣a，BD＝b﹣2，∴b﹣a＝5（b﹣2），∴a+4b＝10，∴2a+8b+2023＝2（a+4b）+2023＝2×10+2023＝2043；②能求出代数式的值，∵d＝﹣2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD，∴AB＝b﹣a，BD＝b+2，∴b﹣a＝5（b+2），∴a+4b＝﹣10，∴2a+8b+2023＝2（a+4b）+2023＝2×（﹣10）+2023＝﹣20+2023＝2003；10．先阅读，后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为﹣4.5和 3.5，B，C两点间的距离是8；（2）若点A表示的整数为x，则当x为﹣2时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；（3）要使代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2．解：（1）4.5的相反数是﹣4.5，即点B表示的数为﹣4.5；点C表示的数为5﹣1.5＝3.5；B，C两点间的距离是3.5﹣（﹣4.5）＝3.5+4.5＝8；故答案为：﹣4.5，3.5，8；（2）∵|x+6|与|x﹣2|的值相等，∴x+6＝x﹣2此种情况等式不成立，或x+6＝﹣（x﹣2），x＝﹣2，∴x＝﹣2时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；故答案为：﹣2；（3）∵|x+1|+|x﹣2|值最小，∴在数轴上可以看作表示x的到﹣1的距离与到2的距离和最小，∴数x只能在﹣1与2之间，包括﹣1与2两个端点，∴﹣1≤x≤2．故答案为：﹣1≤x≤2．11．如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3．（1）填空：线段AB的长度AB＝4；（2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？（3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．解：（1）∵A、B两点对应的数分别为﹣1、3，∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝OA+OB＝4．故答案为：4；（2）数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化．理由：A、B两点对应的数分别为﹣1、3，∴OA＝1，OB＝3，∵点A是BC的中点，∴AC＝AB＝4．∴OC＝AC+OA＝5，∴C点对应的数为﹣5．又∵OD＝AC，点D在点A的右侧，∴D点对应的数为4．设P点对应的数为x，①P点在射线CA上时，PA＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x，∴PA+PB＝﹣1﹣x+（3﹣x）＝2﹣2x，∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化；②P点在线段AB上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝3﹣x，∴PA+PB＝x+1+（3﹣x）＝4，∴PA+PB的值随着点P的运动没有发生变化；③P点在射线BD上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x﹣3，∴PA+PB＝x+1+（x﹣3）＝2x﹣2，∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化．综上，P点在线段AB上时，PA+PB的值没有发生变化，∴数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化；（3）在运动过程中，的值不发生变化．理由：设运动时间为t 分钟，则OP ＝t ，OE ＝5t +1，OF ＝20t +3，∴EF ＝OE +OF ＝25t +4，∵M 、N 分别是PE 、OF 的中点，∴EM ＝PM ＝PE ＝（OP +OE ）＝3t +，ON ＝OF ＝10t +，∴OM ＝OE ﹣EM ＝5t +1﹣（3t +）＝2t +，∴MN ＝OM +ON ＝12t +2，∴．∴在运动过程中，的值不发生变化．12．如图，在数轴上，点O 表示原点，点A 表示的数为﹣1，对于数轴上任意一点P （不与点A 点O 重合），线段PO 与线段PA 的长度之比记作k （p ），即，我们称k （p ）为点P 的特征值，例如：点P 表示的数为1，因为PO ＝1，PA ＝2，所以．（1）当点P 为AO 的中点时，则k （p ）＝1；（2）若k （p ）＝2，求点P 表示的数；（3）若点P 表示的数为p ，且满足p ＝2n ﹣1，（其中n 为正整数，且1≤n ≤7），求所有满足条件的k （p ）的和．解：（1）由题意可知，当点P 为AO 的中点时点P 表示的数为，，∴，故答案为：1；（2）设点P 表示的数为x ，则PO ＝|x |，PA ＝|x ﹣（﹣1）|＝|x +1|，∵k （p ）＝2，∴，即PO ＝2PA ，∴|x|＝2|x+1|，∴x＝2（x+1）或x＝﹣2（x+1），解得：x＝﹣2或；故：点P表示的数﹣2或；（3）点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），p＝2n﹣1＞0，此时：PO＝p，PA＝p﹣（﹣1）＝p+1，当p＝2n﹣1时∵1≤n≤7，且n为正整数，则所有满足条件的k的值分别为：（p），故所有满足条件的k的和为：＝（p），令，则，②﹣①得：，∴＝＝．13．把一根小木排放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如图所示．（1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时、它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为5cm；我们把这个模型记为“木捧摸型”；（2）在（1）的条件下，已知点C表示的数为﹣2．若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，求木棒的右端点与点A的距离；（3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．某一天，小字问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要41年才出生；你若是我现在这么大，我就有124岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄．解：（1）由图观察可知，三根木棒长是20﹣5＝15（cm），则此木棒长为：15÷3＝5（cm）；故答案为：5cm；（2）由题可知，点A所表示的数是5+5＝10，∵木棒的左端点与点C相距3cm，点C表示的数为﹣2，当左端点在点C右侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2+3＝1，右端点表示的数为；1+5＝6，木棒的右端点与A的距离为：10﹣6＝4，当左端点在点C左侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2﹣3＝﹣5，木棒的右端点表示的数为：﹣5+5＝，木棒的右端点与点A的距离＝10﹣0＝10，∴木棒的右端点与点A的距离为4或10；（3）由图可知，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷是小红现在年龄时看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数位﹣41，因为当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为124，所以爷爷比小红大[124﹣（﹣41）]÷3＝55（岁），所以爷爷的年龄为124﹣55＝69（岁），答：爷爷现在的年龄是69岁．14．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5；（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数．解：（1）∵AC1═﹣﹣（﹣1）═，BC1═2﹣（﹣）═，∴2AC1≠BC1，∴C1不是A，B的“联盟点”．∵AC2═0﹣（﹣1）═1，BC2＝2﹣0＝2，∴2AC2═BC2，∴C2是A，B的“联盟点”．∵AC3═1﹣（﹣1）＝2，BC3═2﹣1＝1，∴AC3═2BC3，∴C3是A，B的“联盟点”．∵AC4═4﹣（﹣1）＝5，BC4═4﹣2＝2，∴AC4≠BC4，∴C4不是A，B的“联盟点”．∵AC5═5﹣（﹣1）＝6，BC5═5﹣2＝3，∴AC5═2BC5，∴C5是A，B的“联盟点”．综合上述，是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5．（2）解；设点P表示的数为x，①∵P在线段AB上，∴AP＝x+1，BP＝3﹣x，当AP＝2BP时，有x+1＝2（3﹣x），解得x＝，当BP＝2AP时，有3﹣x＝2（x+1），解得x＝，综上所述，点P表示的数为，．②由题意得，AB＝4，∵P在A的左侧，∴AP＝﹣1﹣x，BP＝3﹣x，当点A为B，P的“联盟点”时，若AB＝2AP，则有4＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣3，若AP＝2AB，则有﹣1﹣x＝2×4，解得x＝﹣9，当点B为A，P的“联盟点”时，2AB＝BP，则有2×4＝3﹣x，解得x＝﹣5，当点P为A，B的“联盟点”时，BP＝2PA，则有3﹣x＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣5，综上所述，P表示的数为﹣9，﹣3，﹣5．15．如图，点A，O，B，D在同一条直线l上，点B在点A的右侧，AB＝6，OB＝2，点C 是AB的中点，如图画数轴．（1）若点O是数轴的原点，则点B表示的数是2，点C表示的数是﹣1；（2）若点O是数轴的原点时，D点表示的数为x，且AD＝5，求x；（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，且A，B，C，O 所表示的数之和等于21，求m；（4）当O是数轴的原点，动点E，F分别从A，B出发，相向而行，点E的运动速度是每秒2个单位长度，点F的运动速度是每秒1个单位长度，当EF＝3时，求点A，B，E，F表示的数之和．解；（1）点B在点A的右侧，OB＝2，∴点B表示的数是﹣2，故答案为：2；AB＝6，点C是AB的中点，∴BC＝3，∴点C表示的数是2﹣3＝﹣1，故答案为：﹣1；（2）AB＝6，点B在点A的右侧，点A表示的数是﹣4，AD＝|﹣4﹣x|＝5，x＝1或x＝﹣9；（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，∵AB＝6，C是AB的中点，OB＝2，∴AC＝3，AO＝4，∴点O表示的数是m+4，点C表示的数是m+3，点B表示的数是m+6，m+（m+6）+（m+3）+（m+4）＝21，解得m＝2；（4）设运动时间为t，据题意得：6﹣2t﹣t＝3，解得t＝1，AE＝2，BF＝1，点E表示的数是﹣2，点F表示的数是1，点A，B，E，F表示的数之和为：﹣4+2+（﹣2）+1＝﹣3，16．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a，c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数．（1）a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2．（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数﹣1表示的点重合；（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，运动时间为t秒，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出5AB﹣BC的值．解：（1）∵|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数，a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2，故答案为：﹣4，﹣1，2；（2）AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AC＝2﹣（﹣4）＝6，点B为AC的中点，故将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与自身重合，故答案为：﹣1；（3）AB＝3+0.4t＝0.3t＝3+0.1t，当C运动到原点时，t＝2÷0.2＝10（秒），点B运动到点A的位置，当t≤10秒时，BC＝3+0.3t﹣0.2t＝3+0.1t，5AB﹣B＝5（3+0.1t）﹣（3+0.1t）＝15+0.5t﹣3﹣0.1t＝12+0.4t，5AB﹣BC的值随时间的变化而变化；当t＞10时，BC＝4+0.3t+0.2t＝4+0.5t，5AB﹣BC＝5（3+0.1t）﹣（4+0.5t）＝15+0.5t﹣4﹣0.5t＝11．这时5AB﹣BC的值不变．17．定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．（1）写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：﹣2、2、7．（2）若点M表示数﹣2，点N表示数4，数﹣8，﹣6，0，2，10所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是点M，N的“关联点”是点C2．（3）若点M表示的数是﹣3N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．解：（1）2﹣1＝1，4﹣2＝2，2是A，C的一个“关联点”，设x是A，C的一个“关联点”，x﹣1＝2（x﹣4）解得x＝7，设y是A，C的一个“关联点”，2（1﹣y）＝4﹣y解得y＝﹣2，A，C的其他三个“关联点”所表示的数为：﹣2、2、7，故答案为：﹣2、2、7，（2）∵﹣2﹣（﹣8）＝6，4﹣（﹣8）＝12，∴C1是关联点，∵﹣2﹣（﹣6）＝4，4﹣（﹣6）＝10，∴C2不是关联点，∵0﹣（﹣2）＝2，4﹣0＝4，∴C3是关联点，∵2﹣（﹣2）＝4，4﹣2＝2，∴C4是关联点，∵10﹣（﹣2）＝12，10﹣4＝6，∴C5是关联点，故答案为：C2．（3）①若点P在点N左侧且在M的右侧，设点P表示的数为x，当2（x+3）＝10﹣x解得，当x+3＝2（10﹣x）解得，若点P在M点左侧，设点P表示的数为x，∴2（﹣3﹣x）＝10﹣x解得x＝﹣16，综上所述：P表示的数为：；②若点P在点N右侧，设点P表示的数为x，当PN＝2MN时，则2×13＝x﹣10解得x＝36，当MN＝2PN时，则13＝2×（x﹣10）解得，当MP＝2MN时，则x+3＝2×13解得x＝23，当MP＝2PN时，则x+3＝2×（x﹣10）解得x＝23，综上所述：P表示的数为：，23.36．18．[知识背景]：数轴上，点A，点B表示的数为a，b，则A，B两点的距离表示为AB＝|a﹣b|．线段AB的中点P表示的数为．[知识运用]：已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P 为数轴上一动点，对应的数为x．（1）a＝4，b＝2；（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为3，若点B为线段AP的中点，则P点对应的数x为0；（3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度，则经过122秒点B追上点A；（4）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点A、点B、点P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？解：（1）∵（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣2＝0，∴a＝4，b＝2．故答案为4、2．（2）点A，B表示的数分别为4，2，P对应数为x，若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x＝＝3，若B为线段AP的中点时，则＝2，解得x＝0．故答案为1，0；（3）解：设经过x秒点B追上点A，（3﹣1）x＝4﹣2，2x＝2，x＝1，答：经过1秒点B追上点A．（4）经过t秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点，t秒后，点A的位置为：4﹣t，点B的位置为：2﹣t，点P的位置为：﹣16+2t，当点A为PB的中点时，则有，2×（4﹣t）＝2﹣t﹣16+2t，解得：t＝，当点B为PA的中点时，则有，2×（2﹣t）＝4﹣t﹣16+2t，解得：t＝，当点P为BA的中点时，则有，2×（﹣16+2t）＝4﹣t+2﹣t，解得：t＝，答：经过秒，秒，秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点．故答案为：秒，秒，秒．19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示5和3的两点之间的距离是2．②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是3．③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是8．（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于|a﹣b|．（3）应用：①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝7．②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝﹣1．③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是3．④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是a＞5或a＜﹣3．（4）拓展：已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数．解：（1）①5﹣3＝2，故答案为：2；②（﹣1）﹣（﹣4）＝3，故答案为：3；③5﹣（﹣3）＝8，故答案为：8；（2）根据数轴上两点间的距离得|a﹣b|，故答案为：|a﹣b|；（3）①∵表示数a的点位于﹣4与3之间，∴|a+4|+|a﹣3|＝a+4+3﹣a＝7，故答案为：7；②∵|a﹣1|＝|a+3|∴表示数a的点在1和﹣3∴|a﹣1|＝|a+3|，1﹣a＝a+3，a＝﹣1，故答案为：﹣1；③∵|a﹣1|+|a+2|有最小值，∴表示a的点在﹣2与1之间，∴|a﹣1|+|a+2|＝1﹣a+a+2＝3，故答案为：3；④|a+3|+|a﹣5|＞8，当﹣3＜a＜5时，|a+3|+|a﹣5|＝a+3+5﹣a＝8，不合题意舍去；当a＜﹣3时，|a+3|+|a﹣5|＝﹣（a+3）+5﹣a＞8，a＜﹣3；当a＞5时，|a+3|+|a﹣5|＞8，a+3+a﹣5＞8，a＞5，故答案为：a＜﹣3或a＞5；（4）设电子蚂蚁运动x秒时，P、Q相距20个单位长度，①4x+3x+20＝20+100，x＝，点P表示的是4×﹣20＝②4x+3x﹣20＝20+100，x＝20，点P表示的是4×20﹣20＝60，20．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好函数”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．（1）动点P从点A运动至点C需要19秒，动点Q从点C运动至点A需要23秒；（2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；（3）是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B 在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，∴OA＝10，BO＝10，BC＝8，∴动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s），动点Q从点C运动至点A需要的时间是：10÷1+10÷2+8÷1＝23（s），故答案为：19，23；（2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇，P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q点运动到OB上时表示的数是10﹣2（t﹣8），∴t﹣5＝10﹣2（t﹣8），解得t＝，∴M点表示的数是﹣5＝；（3）存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”，理由如下：∵点A表示﹣10，点B表示10，∴点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”是20，①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上，此时P点表示的数是﹣10+2t，Q点表示的数是18﹣t，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t+10﹣2t＝28﹣3t，由题意可得，28﹣3t＝20，解得t＝；②当5＜t≤8时，P点在OB上，Q点在OC上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是18﹣t，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t﹣t+5＝23﹣2t，由题意可得，23﹣2t＝20，解得t＝（舍）；③8＜t≤13时，点P、Q都在BO上，此时PQ＜10，∴此情况不符合题意；④13＜t≤15时，P点在OB上，Q点在OA上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是t﹣13，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣5+t﹣13＝2t﹣18，由题意可得，2t﹣18＝20，解得t＝19（舍）；⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是t﹣13，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t＝；⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是t﹣13，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t＝（舍）；⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，PQ＞20，不符合题意；综上所述：t的值为或．21．在数轴上，点M，N对应的数分别是m，n（m≠n，mn≠0），P为线段MN的中点，同时给出如下定义：如果＝10，那么称M是N的“努力点”．例如：m＝1，n＝，M是N的“努力点”．（1）若|m﹣10|+（n+90）2＝0则m＝10，n＝﹣90；（2）在（1）的条件下，下列说法正确的是③（填序号）；①M是P的“努力点”；②M是N的“努力点”③N是M的“努力点”；④N是P的“努力点”（3）若mn＜0，且P是M，N其中一点的“努力点”，求值？解：（1）∵|m﹣10|+（n+90）2＝0，∴m＝10，n＝﹣90，故答案为：10，﹣90；（2）∵m＝10，n＝﹣90，∴P点对应的数是﹣40，∵||＝，∴M不是P的“努力点”，故①不符合题意；∵m＝10，n＝﹣90，∴||＝，∴M不是N的“努力点”，故②不符合题意；∵||＝10，∴N是M的“努力点”，故③符合题意；∵||＝，∴N是P的“努力点”，故④不符合题意；故答案为：③；（3）∵P为线段MN的中点，∴P点对应的数为，当P是M点的“努力点”时，||＝10，∴＝21或＝﹣19，∵mn＜0，∴＝﹣；当P是N点的“努力点”时，||＝10，∴＝21或＝﹣19，∵mn＜0，∴＝﹣19；综上所述：的值为﹣19或﹣．22．在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（a≠b，ab≠0），M为线段AB的中点．给出如下定义：若OA÷OB＝4，则称A是B的“正比点”；若OA×OB＝4，则称A是B的“反比点”．例如a＝2，时，A是B的“正比点”；a＝2，b＝﹣2时，A是B的“反比点”．（1）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则M对应的数为1，下列说法正确的是③④（填序号）．。

九年级中考专题01 动点与分段函数解析式题型讲义(教师版)

动点与分段函数解析式一、典例解析例1.【2020·辽宁本溪】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点A 出发，沿A →D →C 的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A. 【解析】解：当点P 在AD 上运动时，0≤x ≤2时，y=PE ·CE=2x ·（2x ）=2x －12x 2，当点P 在DC 上运动时，2<x ≤4时，S= PE ·4-x ）（4-x ）=12（x -4）2，结合函数解析式判断选项A 符合要求. 故答案为：A.例2. 【2020·山东淄博】如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 是曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是（）A．12B．24C．36D．48【答案】D.【解析】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC=√BC2−BP2=√102−82=6，△ABC的面积=12×AC×BP=12×8×12＝48，故答案为：D．例3. 【2020·辽阳】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，CD⊥AB于点D．点P从点A 出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P 运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，∴AB＝4，∠A＝45°，∵CD⊥AB于点D，∴AD＝BD＝2，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，∴CE＝PF，PE＝CF，∵点P运动的路程为x，∴AP＝x，则AE＝PE＝x•sin45°=√22x，∴CE＝AC﹣AE＝2√2−√22x，∵四边形CEPF的面积为y，∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，即0＜x＜2时，y＝PE•CE=√22x（2√2−√22x）=−12（x﹣2）2+2，∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；当点P沿D→C路径运动时，即2≤x＜4时，∵CD是∠ACB的平分线，∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正方形，∵AD＝2，PD＝x﹣2，∴CP＝4﹣x，y=12（4﹣x）2=12（x﹣4）2．∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．故答案为：A．例4. 【2020·上海】小明从家步行到学校需走的路程为1800米，图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米）与时间t （分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，当小明从家出发去学校步行15 分钟时，到学校还需步行米.【答案】350.【解析】解：由题意知：线段AB 的解析式为：S=70t+400（8≤t≤20）当t=15时，S=1450，还需要步行1800-1450=350米.故答案为：350.例5. 【2020·重庆A 卷】A ，B 两地相距240 km ，甲货车从A 地以40km/h 的速度匀速前往B 地，到达B 地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B 地沿同一公路匀速前往A 地，到达A 地后停止，两车之间的路程y （km ）与甲货车出发时间x （h ）之间的函数关系如图中的折线CD DE EF --所示.其中点C 的坐标是()0240，，点D 的坐标是()2.40，，则点E 的坐标是．【答案】（4,160）.【解析】解：由题意知，乙车的速度为：240÷2.4-40=60 km/h ，乙车从B 到A 需要的时间为：240÷60= 4 h ，当乙车到达A 地时，甲车行驶的路程为：40×4=160 km ，点E 坐标为（4,160）故答案为（4,160）.例6.【2020·北京】有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系【答案】B.【解析】解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：h＝0.2t+10，∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．故答案为：B．二、刻意练习1.【2020·湖北恩施州】甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（）A．甲车的平均速度为60km/h B．乙车的平均速度为100km/hC．乙车比甲车先到B城D．乙车比甲车先出发1h【答案】D.【解析】解：由图象知：A．甲车的平均速度为30010−5=60km/h，故A选项不合题意；B．乙车的平均速度为3009−6=100km/h，故B选项不合题意；C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故C选项不合题意；D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，故答案为：D ．2.【2020·湖北武汉】一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min 内只进水不出水，从第4min 到第24min 内既进水又出水，从第24min 开始只出水不进水，容器内水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示，则图中a 的值是（）A ．32B ．34C ．36D ．38【答案】C. 【解析】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L /min ），出水的速度为：5﹣（35﹣20）÷（16﹣4）＝3.75（L /min ），第24分钟时的水量为：20+（5﹣3.75）×（24﹣4）＝45（L ），a ＝24+45÷3.75＝36．故答案为：C ．3.【2020·江苏连云港】快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了；②快车速度比慢车速度多；③图中；④快车先到达目的地．其中正确的是A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④【答案】B.【解析】解：根据题意可知，两车的速度和为：，()y km ()x h 0.5h 20/km h 340a =()3602180(/)km h ÷=相遇后慢车停留了，快车停留了，此时两车距离为，故①结论错误；慢车的速度为：，则快车的速度为，所以快车速度比慢车速度多；故②结论正确；，所以图中，故③结论正确；，，所以慢车先到达目的地，故④结论错误．所以正确的是②③．故答案为：B ．4.【2020·重庆B 】周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A 地出发前往B 地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B 地，乙一直保持原速前往B 地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y （单位：米）与乙骑行的时间x （单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚分钟到达B 地．【答案】12.【解析】解：由题意乙的速度为1500÷5＝300（米/分），设甲的速度为x 米/分．则有：7500﹣20x ＝2500，解得x ＝250，25分钟后甲的速度为250×85=400（米/分）．由题意总里程＝250×20+61×400＝29400（米），86分钟乙的路程为86×300＝25800（米），∴29400−25800300=12（分钟）．故答案为：12．0.5h 1.6h 88km 88(3.6 2.5)80(/)km h ÷-=100/km h 20/km h 88180(5 3.6)340()km +⨯-=340a =(360280)80 2.5()h -⨯÷=5 2.5 2.5()h -=5.【2020·浙江台州】如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（m/s）与运动时间t（s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（m）与运动时间t 之间的函数图象大致是（）图1 图2A B C D【答案】C.【解析】解：由图2知，小球的是先匀加速再匀减速运动，选项C符合题意.6.【2020·贵州铜仁】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：由题意，当0≤x ≤4时，y =12×AD ×AB =12×3×4＝6，当4＜x ＜7时，y =12×PD ×AD =12×（7﹣x ）×4＝14﹣2x ．故答案为：D ．7.【2020·安徽】如图，△ABC 和△DEF 都是边长为2的等边三角形，它们的边BC ，EF 在同一条直线l 上，点C ，E 重合，现将△ABC 沿着直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动. 在此过程中，设点C 移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致为（）【答案】A.【解析】解：当0≤x ≤2时，重叠部分为边长为x 的等边三角形，y=2 当2<x ≤4时，重叠部分为边长为（4-x ）的等边三角形，y=)24x - 故答案为：A.8.【2020·甘肃金昌】如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（）A．4√2B．4C．3√3D．2√2【答案】A.【解析】解：如图，连接AE．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，∵AE＝2√5，∴x2+（2x）2＝（2√5）2，解得x＝2或﹣2（不合题意舍弃），∴OA＝OD＝4，∴AB＝AD＝4√2，故答案为：A．9.【2020·黑龙江大兴安岭】李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】解：因为登山过程可知：先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．所以在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是B．故答案为：B．10.【2020·湖北黄冈】2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：根据题意：时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．故答案为：D．11.【2020·湖北随州】小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（s）与出发时间（t）之间的对应关系的是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】解：①从家出发步行至学校时，为一次函数图象，是一条从原点开始的线段；②停留一段时间时，离家的距离不变，③乘车返回时，离家的距离减小至零，纵观各选项，只有B选项符合．故答案为：B．12.【2020·湖北孝感】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：①当点P在AB上运动时，y=12AH×PH=12×AP sin A×AP cos A=12×x2×√34=√38x2，图象为二次函数；②当点P在BC上运动时，如下图，由①知，BH′＝AB sin A＝4×12=2，同理AH′＝2√3，则y=12×AH×PH=12（2√3+x﹣4）×2＝2√3−4+x，为一次函数；③当点P在CD上运动时，同理可得：y=12×（2√3+6）×（4+6+2﹣x）＝（3+√3）（12﹣x），为一次函数；故答案为：D．13.【2020·湖南衡阳】如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么四边形ABCD的面积为（）A．3B．3√2C．6D．6√2【答案】B.【解析】解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，AE ＝6﹣4＝2，DE ＝7﹣6＝1，BE ＝2，∴AB ＝2+1＝3，∵直线BE 平行直线y ＝x ，∴BM ＝EM =√2， ∴平行四边形ABCD 的面积是：AD •BM ＝3×√2=3√2．故答案为：B ．14.【2020·内蒙古通辽】如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC ＝x ，P A +PE ＝y ．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a +b 的值为．【答案】7.【解析】解：将△ABC 沿BC 折叠得到△A ′BC ，则四边形ABA ′C 为菱形，菱形的对角线交于点O ，由图②知，当点P 与点B 重合时，y ＝P A +PE ＝AB +BE ＝AB +12AB ＝3√3，解得：AB ＝2√3，即：菱形的边长为2√3，则该菱形的高为√32AB ＝3，点A 关于BC 的对称点为点A ′，连接A ′E 交BC 于点P ，此时y 最小，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，则∠BAA ′＝60°，故AA ′B 为等边三角形，∵E 是AB 的中点，故A ′E ⊥AB ，而AB ∥A ′C ，故∠P A ′C 为直角，A ′C ＝AB ＝2√3，则PC =A′C cos∠BCA′=√3√32=4，此时b ＝PC ，a ＝A ′E ＝3（菱形的高），则a +b ＝3+4＝7．故答案为7．15.【2020·青海】将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h （cm ）与注水时间t （min ）的函数图象大致为图中的（）A ．B ．C ．D ．【答案】B. 【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A 、D 一定错误；用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h 不再变化．故答案为：B ．16.【2020·四川攀枝花】甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（）()s km ()t hA ．两人出发1小时后相遇B ．赵明阳跑步的速度为C ．王浩月到达目的地时两人相距D ．王浩月比赵明阳提前到目的地【答案】C.【解析】解：由图象可知，两人出发1小时后相遇，故答案为项A 正确；赵明阳跑步的速度为，故答案为项B 正确；王皓月的速度为：，王皓月从开始到到达目的地用的时间为：，故王浩月到达目的地时两人相距，故答案为项C 错误；王浩月比赵明阳提前到目的地，故答案为项D 正确；故答案为：C ．8/km h 10km 1.5h 2438(/)km h ÷=241816(/)km h ÷-=2416 1.5()h ÷=8 1.512()km ⨯=3 1.5 1.5h -=。

动点问题(讲义及答案)

动点问题（讲义）一、知识点睛由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：1.研究_____________，_____________；2.分析_____________，分段；3.表达_____________，建等式．二、精讲精练1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边AD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，沿BC向点C以每秒2个单位的速度运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒．（1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等，请说明理由；（2）当t为何值时，△DCP≌△CDE．2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位的速度运动，动点Q从点C出发沿CB向点B以每秒2个单位的速度运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P运动时间为x秒，请求出当x为何值时，△PDQ≌△CQD．3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒3cm的速度由点B 向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．4.已知：如图，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边AB上，且AE=4cm，点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．5.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=DC=4，AD=BC=5．延长BC到E，使CE=2，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABP的面积S．（2）是否存在某个t值使得△DCP和△DCE全等，若存在，请求出所有的t值；若不存在，请说明理由．6.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=CD=3cm，AD=BC=5cm，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿BC方向向点C运动，动点Q从点C出发，以每秒2cm的速度沿CD-DA-AB 向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，设点P运动时间为t秒．请回答下列问题：（1）请用含t的式子表达△CPQ的面积S，并直接写出t的取值范围．（2）是否存在某个t值使得△ABP和△CDQ全等，若存在，请求出所有的t值；若不存在，请说明理由．【参考答案】【知识点睛】速度已知1．研究基本图形，标注；2．分析运动过程，分段；3．表达线段长，建等式．【精讲精练】1.解：（1）当t =1.5时，△ABP ≌△CDE ．理由如下：如图，由题意得BP =2t∴当t =1.5时，BP =3∵AE =7，AD =10∴DE =3∴BP =DE在矩形ABCD 中AB =CD ，∠B =∠CDE在△ABP 和△CDE 中AB CD B CDE BP DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△CDE （SAS ）（2）如图，由题意得BP =2t∵BC =10∴CP =10-2t若使△DCP ≌△CDE ，则需CP =DE即10-2t =3，t =72∴当t =72时，△DCP ≌△CDE ．2.解：如图，由题意得AP =x ，CQ =2x∵AD =12∴DP =12-x要使△PDQ ≌△CQD ，则需DP =QC即12-x =2x ，x =4∴当x =4时，△PDQ ≌△CQD ．3.解：如图，由题意得BP =3t∵BC =8∴PC =8-3t∵AB =10，D 为AB 中点∴BD =12AB =5①要使△BDP ≌△CPQ ，则需BD =CP ，BP =CQ即5=8-3t ，t =1∴CQ =3t =3则Q 的速度为Q v =s t =31=3（cm/s ）即当t =1，Q 的速度为每秒3cm 时，△BDP ≌△CPQ ．②要使△BDP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BD =CQ 即3t =8-3t ，CQ =5∴t =43则Q 的速度为Q v =st =5×34=154（cm/s ）即当t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BDP ≌△CQP ．综上所述，当t =1，Q 的速度为每秒3cm 或t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BPD 与△CQP 全等．4.解：如图，由题意得BP =2t∵正方形ABCD 的边长为10cm∴AB =BC =10∴PC =10-2t∵AE =4∴BE =10-4=6①要使△BEP ≌△CPQ ，则需EB =PC ，BP =CQ即6=10-2t ，CQ =2t∴t =2，CQ =4则点Q 的速度为Q v =s t =42=2（cm/s ）即当t =2，Q 的速度为每秒2cm 时，△BEP ≌△CPQ ．②要使△BEP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BE =CQ即2t =10-2t ，CQ =6∴t =52则点Q 的速度为Q v =s t=6×25=125（cm/s ）即当t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP ≌△CQP ．综上所述，当t =2，Q 的速度为每秒2cm 或t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP 与△CQP 全等．5.解：（1）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t （0＜t ≤2.5）1214224ABP S AB BP t t∆=⋅=⨯⨯=∴ ②当P 在CD 上时，（2.5＜t ≤4.5）12145210ABP S AB BC ∆=⋅=⨯⨯=∴③当P 在AD 上时，由题意得AP =14-2t （4.5＜t ＜7）12141422284ABP S AB AP t t∆=⋅=⨯⨯=∴--（）（2）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t要使△DCP ≌△DCE ，则需CP =CE∵CE =2∴5-2t =2，t =1.5即当t =1.5时△DCP ≌△DCE②当P 在CD 上时，不存在t 使△DCP 和△DCE 全等③当P 在AD 上时，由题意得BC +CD +DP =2t ∵BC =5，CD =4，∴DP =2t -4-5要使△DCP ≌△CDE ，则需DP =CE即2t -9=2，t =5.5即当t =5.5时，△DCP ≌△CDE ．综上所述，当t =1.5或t =5.5时，△DCP 和△DCE 全等．6.解：（1）①当Q 在CD 上时，如图，由题意得CQ =2t ，BP=t∴CP=5-t （0＜t ≤1.5）2121 (5)225CPQ S CP CQ t t t t ∆=⋅=-⋅=-∴②当Q 在DA 上时，（1.5＜t ≤4）121(5)327.5 1.5CPQ S CP CD t t∆=⋅=⨯=∴--③当Q 在AB 上时，由题意得BQ =11-2t （4＜t ＜5）2121(5)(112)2215522CPQ S CP BQ t t t t ∆=⋅=-⨯-=-+∴①当Q 在CD 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等②当Q在AD上时，如图，由题意得DQ=2t-3要使△ABP≌△CDQ，则需BP=DQ∵DQ=2t-3，BP=t∴t=2t-3，t=3即当t=3时，△ABP≌△CDQ．③当Q在AB上时，不存在t使△ABP和△CDQ全等综上所述，当t=3时，△ABP和△CDQ全等．11。

中考专题之动点问题

全能家教中考数学动点问题讲义2015年考前必学10个专题为：专题1：动点问题；专题2：函数问题；专题3：面积问题；专题4：三角形四边形存在性问题；专题5：定值问题；专题6：由运动产生的线段和差问题；专题7：几何三大变换相关问题；专题8：实践操作、探究类问题；专题9：几何综合问题；专题10：代数综合问题。

全能精品打造，助2013届学子步步登高！专题1：动点问题1. （2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=12BC=12。

又∵OB=2，∴。

（2）存在，DE是不变的。

如图，连接AB，则=∵D和E是中点，∴DE=12。

（3）∵BD=x，∴OD=。

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A OB=900。

∴∠2+∠3=45°。

过D作DF⊥OE，垂足为点F由△BOD∽△EDF，得BD OD=EF DF，即xEF。

∴11y DF OE0x22<=⋅=。

【分析】（1）由OD⊥BC，根据垂径定理可得出BD=12BC=12，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长。

（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出。

（3）由BD=x，可知OD=由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，则，即可求得y关于x的函数关系式。

∵=C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴0x<2. （2012福建南平14分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合），①求CE 的最大值；②若△ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）【答案】解：（1）AB=AC ；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。

中考数学专题复习动点型问题(含详细参考答案)

专题十动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1（2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．对应训练1．（2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O.与∠α 的两边相切，图中阴影部分的面积 S 关于⊙O 的半径 r （r ＞0）变化的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ． 1．C考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题 . 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题 . 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

部编数学九年级下册专题15相似三角形之动点问题(解析版)含答案

专题15 相似三角形之动点问题1．如图，在Rt ABC V 中，9034C AC BC Ð=°==，，，点E 是直角边AC 上动点，点F 是斜边AB 上的动点（点F 与A B 、两点均不重合）．且EF 平分Rt ABC V 的周长，设AE 长为x ．(1)试用含x 的代数式表示AF = ；(2)若AEF △的面积为165，求x 的值；(3)当AEF △是等腰三角形时，求出此时AE 的长．∵BC AC FD ⊥，∴BC DF ∥．∴FDA BCA ∽V V ∴BC DF AB AF =，即∵EMA C Ð=Ð=∴EAM BAC ∽V V ∴AE AM AB AC=，1(6)x -同理FAN BAC ∽V V ∴FA AN AB AC=，∴16253x x -=，2．如图，在ABC V 中，90ABC Ð°＝，4AB ＝，3BC ＝，点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动，当点P 不与点A 、B 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ ，以PQ 、PB 为边作PBMQ Y ．设PBMQ Y 与ABC V 重叠部分图形的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒．(1)直接用含t 的代数式表示线段PQ 的长并写出t 的取值范围；(2)当点M 落在边AC 上时，求t 的值及此时PBMQ Y 的面积；(3)求S 与t 之间的函数关系式；(4)当PBMQ Y 的对角线的交点到ABC V 的两个顶点的距离相等时，直接写出t 的值．由意得5AP t ＝，PO QO ＝∴225AC AB BC +=＝，∵ABC AOP ∽△△，AC BC \=1122ABC S AB BC AC =×=Q △125AB BC BM AC ×\==∵四边形PQMB 是平行四边形，(45PQMB TQO S S S t =-=-Y △当2455t << 时，如图3﹣BT AC⊥Q 125AB BC BT AC \==g 2224AT AB BT \=-=则AK CK =，设AK CK =在Rt CBK V 中，2CK BC =∴()22234x x =+-，解得258x =，∵OL AB ∥，QO OB = ，∴直线OL 平分QP ，∴点L 在线段PQ 上，且AL ∴5t =．3．如图，在矩形ABCD 中，BC CD >，,BC CD 分别是一元二次方程214480x x -+=的两个根，连结BD ，动点P 从B 出发，以1个单位每秒速度，沿BD 方向运动，同时，动点Q 从点D 出发，以同样的速度沿射线DA 运动，当点P 到达点D 时，点Q 即停止运动，设运动时间为t 秒.以PQ 为斜边作Rt PQM D ，使点M 落在线段BD 上.(1)求线段BD 的长度；D面积的最大值；(2)求PDQ(3)当PQMD与BCDD相似时，求t的值.4．如图，在ABC V 中，10cm AB = ，20cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm /s 的速度移动，如果P Q ，分别从A B ，同时出发，问经过几秒钟，△△P B Q A B C : ．5．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，6AC =，8BC =，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF Ð=°，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED V 的面积为y ．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED V 相似，求BED V 的面积．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，函数关系式．注意（2）中都要分情况进行讨论：要分BEF Ð时钝角还是锐角进行分类讨论，不要丢掉任何一种情况．6．如图，矩形ABCD 中，AD AB ==25，，P 为CD 边上的动点，当ADP △与BCP V 相似时，求DP 长．7．如图，在ABC V 中，908C AC Ð=°=，cm ，动点P 从点C 出发沿着C B A --的方向以2cm/s 的速度向终点A 运动，另一动点Q 同时从点A 出发沿着AC 方向以1cm/s 的速度向终点C 运动，P 、Q 两点同时到达各自的终点，设运动时间为t （s ）．APQ V 的面积为2cm S ．(1)求BC的长；(2)求S与t的函数关系式，并写出的取值范围；V相似？(3)当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和ABC8．如图，在ABC V 中，8cm 10cm AB AC ==、，点P 从A 出发，以2cm/s 的速度向B 运动，同时点Q 从C 出发，以3cm/s 的速度向A 运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为s t ,(1)则AP = ；AQ = ____ (用含t 的代数式表示)(2)求运动时间t 的值为多少时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC V 相似？9．如图1，在Rt ABC △中，=90=6cm =8cm ACB AC BC Ð°，，，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒()02t ＜＜，连接PQ ．(1)若BPQ V 与ABC V 相似，求t 的值；(2)直接写出BPQ V 是等腰三角形时t 的值；(3)如图2，连接AQ 、CP ，若AQ CP ⊥，求t 的值．则12BG PB ==∵=QBG ABC ÐÐ∴BGQ BCA ~V V BG BQ =5∵PM BC ACB ⊥Ð，∴PM AC ∥，10．如图1，在ABC V 中，90,3,4BCA AC BC Ð°＝＝＝，点P 为斜边AB 上一点，过点P 作射线PD PE ⊥，分别交AC 、BC 于点D ，E ．(1)问题产生∶若P 为AB 中点，当,PD AC PE BC ⊥⊥时，PD PE= ；(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE 绕着点P 旋转到图2的位置，PD PE 的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；(3)问题解决：如图3，连接DE ，若PDE V 与ABC V 相似，求BP 的值．（3）如图2，连接CP，如图3，当PDE △∽△∵90DPE ACB Ð+Ð=°∴点C 、D 、P 、E 共圆，综上所述：165BP =或【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．通过添加合适的辅助线证明三角形相似是解题的关键．同时，本题考查了三角形的中位线定理，以及利用四点共圆证明角相等，是一道综合题．11．如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1)当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？(2)当t 为何值时，△APQ 的面积为245∵QE⊥AO，BO⊥AO，∴QE∥BO，∴△AEQ∽△AOB，∴45QE BOAQ AB==44812．如图，在矩形ABCD中，12AB=cm，=3AD cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s 的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t（s）．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．(2)填空：①当t为______s时，四边形EGFH是菱形；②当t为______s时，四边形EGFH是矩形．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝8cm ，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，连结DE ，点P 从点B 出发，沿折线BD －DE －EA 运动，到点A 后立即停止．点P 在BD 的速度运动，在折线DE －EA 上以1cm/s 的速度运动．在点P 的运动过程中，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，点M 在线段BQ 上．设点P 的运动时间为t （s ）．(1)当点P 在线段DE 上时，求正方形PQMN 的边长．(2)当点N 落在边AB 上时，求t 的值．(3)在点P 的整个运动过程中，记正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形面积为S （cm ²），求S 与t 的函数关系式，写出相应t的取值范围．14．如图，矩形ABCD 中，15AB cm =，10BC cm =，动点P 从点A 出发，沿AB 边以2/s cm 的速度cm的速度向点A匀速移动，一个动点到达端向点B匀速移动，动点Q从点D出发，沿DA边以1/s点时，另一个动点也停止运动，点P，Q同时出发，设运动时间为s t．(1)当t为何值时，APQ△的面积为216cm(2)t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与ABCV相似．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．15．阅读与思考如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．解决问题：(1)写出正确的比例式及后续解答．(2)指出另一个错误，并给出正确解答．拓展延伸：(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA向点A 以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动．当一点运动到终点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0＜t＜6)，求当V POQ与V AOB相似时t的值．17．如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也停止运动，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的⊙Q与射线BA、线段BC分别交于点D，E，连接DP．(1)当t为何值时，线段DP与⊙Q相切；(2)若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围；(3)当△APC是等腰三角形时，直接写出t的值．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，点P，Q同时从点B出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿折线BC﹣CA运动，当点P，Q相遇时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．(1)当P，Q两点相遇时，t＝秒；(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．90PHB C \Ð=Ð=°，B B ÐÐ=Q ，ΔΔABC PBH \∽，\PH BP AC AB=，165PC t =-，113(16522S PQ PC t t =´=´´-当833t ……时，如图，248PQ t =-，118(248)22S PQ BC t =´=´-=-19．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．动点P 从点B 出发，沿线段BA 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 A 运动，同时动点Q 从点 A 出发，沿折线AC—CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动．当点P 到达终点时，点Q 也停止运动．设运动的时间为t 秒．(1)AB= ；(2)用含t 的代数式表示线段CQ 的长；(3)当Q 在AC 上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值；(4)设点O 是PA 的中点，当OQ 与△ABC 的一边垂直时，请直接写出t 的值．【点睛】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．20．如图，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点.C 连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为抛物线在第三象限的一个动点，PM x ⊥轴于点M ，交AC 于点G ，PE AC ⊥于点E ，当PGE V 的面积为1时，求点P 的坐标；(3)如图2，若Q 为抛物线上一点，直线OQ 与线段AC 交于点N ，是否存在这样的点Q ，使得以A ，O ，N 为顶点的三角形与ABC V 相似．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把()30A -，和()10B ，的坐标代入抛物线解析求出a 和b 即可求解；（2）求出直线AC 的解析式为3y x =--，设()223P n n n +-，，则()3G n n --，，由三角形面积可得出1n =-或2n =-，则可得出答案；（3）分两种情况，①若AON ABC V V ∽，②若AON ACB V V ∽，由相似三角形的性质可求出ON 的长，求出N 点坐标，联立直线ON 和抛物线的解析式可求出答案．（1）解：∵抛物线y =a 2x +bx -3交x 轴于()30A -，，()10B ，两点，∴933030a b a b --=ìí+-=î ，解得12a b =ìí=î，∴该抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）解：∵抛物线的解析式为223y x x =+-，∴0x =时，=3y -，∴()03C -，，∴AO OC =．∵=90AOC Ð°，∴45CAO Ð=°．∵PM OA ⊥，PE AC ⊥，∴45PGM PGE GPE Ð=Ð=Ð=°，设直线AC 的解析式为y kx m =+，∴303k m m +=ìí=-î ，∴13k m =-ìí=-î，∴直线AC 的解析式为3y x =--，设()223P n n n +-，，则()3G n n --，，∴94 AK=，∴93344 OK=-=，∴39,44Næö--ç÷èø，∴直线ON的解析式为3y=。

初中数学知识点复习专题讲练：函数中的动点问题(含答案)

函数中的动点问题考点分析1.点在线段上运动：2.根据线段长或图形面积求函数关系.如：如图所示，点P在线段BC,CD,DA上运动，△ABP 的面积变化情况的图象是什么样的？解析：看清横轴和纵轴表示的量.答案：2. 双动点变化：两动点同时运动，分析图形面积变化图象.如图1，在矩形ABCD中，点E是对角线AC 的三等分点（靠近点A），动点F从点C出发沿C→A→B运动，当点F与点B重合时停止运动.设点F运动的路程为x，△BEF的面积为y，那么图2能表示y与x函数关系的大致图象吗？图1 图2解析：动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y的变化情况.答案：能.3. 图形运动变化所形成的函数问题：图形整体运动时，形成的函数问题；如图，边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，阴影部分面积为S，那么S与t的函数图象大致是什么？解析：图形运动变化所形成的函数问题．关键是理解图形运动过程中的几个分界点.答案：4. 实际问题中的运动变化图象如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M→A→B→M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（）解析：解决实际问题中的运动变化图象，要根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义选出正确的图象.答案：总结：研究在不同位置时点的运动变化所产生的线段、面积的变化关系是重点.解题技巧例题如图，M 是边长为4的正方形AD 边的中点，动点P 自A 点起，由A ⇒B ⇒C ⇒D 匀速运动，直线MP 扫过正方形所形成面积为y ，点P 运动的路程为x ，则表示y 与x 的函数关系的图象为（）A .B .C .D .解析：分别求出P 在AB 段、BC 段、CD 段的函数解析式或判断函数的类型，即可判断.答案：解：点P 在AB 段时，函数解析式是：y ＝21AP •AM ＝21×2x ＝x ，是正比例函数y x =；点P 在BC 段时，函数解析式是：1()242y AM BP AB x =+⋅=-，是一次函数24y x =-；则2,1BC AB k k ==，BC AB k k ∴>.在单位时间内点P 在BC 段上的面积增长要大于点P 在AB 上的面积增长，因此函数图象会更靠近y 轴，也就是图象会比较“陡”，故A 、B 选项错误.点P 在CD 段时，面积是△ABC 的面积加上△ACP 的面积，△ABC 的面积不变，而△ACP 中CP 边上的高一定，因而面积是CP 长的一次函数，因而此段的面积是x 的一次函数，应是线段.故C 错误，正确的是D .故选D .点拨：主要考查了函数的性质，注意分段讨论是解决本题的关键.总结提升利用动点形成的函数图象求解析式例题（翔安模拟）如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ,CD ,DA 运动至点A 停止.设点P 运动的路程为x cm ，△ABP 的面积为 y cm 2，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则y 关于x 的函数关系式为 .解析：根据图2判断出矩形的AB 、BC 的长度，然后分点P 在BC 、CD 、AD 时，分别求出点P 到AB 的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y 关于x 的函数关系式.答案：解：由图2可知，x 从4到9的过程中，三角形的面积不变，所以，矩形的边AB ＝9－4＝5 cm ，边BC ＝4 cm ，则点P 运动的总路程为9＋4＝13 cm ，分情况讨论：①点P 在BC 上时，0≤x ≤4，点P 到AB 的距离为PB 的长度x cm ，y ＝21AB •PB ＝21×5x ＝25x ；②点P 在CD 上时，4<x <9，点P 到AB 的距离为BC 的长度4 cm ，y ＝21AB •BC ＝21×5×4＝10；③点P 在AD 上时，9≤x ≤13时，点P 到AB 的距离为P A 的长度（13－x ） cm ，y ＝21AB •P A ＝21×5（13－x ）＝25（13－x ）；综上，y 关于x 的函数关系式为504210495139132x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=<<⎨⎪⎪≤≤⎩（）（）（－）（）. 故答案为：504210495139132x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=<<⎨⎪⎪≤≤⎩（）（）（－）（）.动点综合型问题例题（苏州中考）如图①，在平行四边形ABCD 中，AD ＝9 cm ，动点P 从A 点出发，以1 cm/s 的速度沿着A →B →C →A 的方向移动，直到点P 到达点A 后才停止.已知△P AD 的面积y （单位：cm 2）与点P 移动的时间x （单位：s ）之间的函数关系如图②所示，试解答下列问题：（1）求出平行四边形ABCD 的周长；（2）请你利用图①解释一下图②中线段M N 表示的实际意义；（3）求出图②中a 和b 的值.解析：（1）由图②知点P 在AB 上运动的时间为10 s ，根据路程＝速度×时间列式，求出AB ＝10 cm ，又AD ＝9 cm ，根据平行四边形的周长公式即可求解；（2）由线段M N ∥x 轴，可知此时点P 虽然在运动，但是△P AD 的面积y 不变，结合图①，可知此时点P 在BC 边上运动；（3）由AD ＝9可知点P 在边BC 上的运动时间为9 s ，a 为点P 由A →B →C 的时间；分别过B 点、C 点作BE ⊥AD ,CF ⊥AD ，易证△BAE ≌△CDF ，由此得到AE ＝DF ＝6 cm ，AF ＝15 cm ，从而可求得CA ＝17 cm ，则点P 在CA 边上从C 点运动到A 点的时间为17 s ，所以b ＝19＋17＝36.答案：解：（1）由图②可知点P 从A 点运动到B 点的时间为10 s ，又因为P 点运动的速度为1 cm/s ，所以AB ＝10×1＝10（cm ），而AD ＝9 cm ，则平行四边形ABCD 的周长为：2·（AB ＋AD ）＝2×（10＋9）＝38（cm ）；（2）线段M N 表示的实际意义是：点P 在BC 边上从B 点运动到C 点；（3）由AD ＝9可知点P 在边BC 上的运动时间为9 s ，所以a ＝10＋9＝19；分别过B ,C 两点作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F .由图②知S △ABD ＝36 cm 2，则21×9×BE ＝36 cm 2，解得BE ＝8 cm ，在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE ＝22BE AB -＝6 cm.易证△BAE ≌△CDF ，则BE ＝CF ＝8 cm ，AE ＝DF ＝6 cm ，AF ＝AD ＋DF ＝9＋6＝15 cm.在Rt △ACF 中，由勾股定理，得CA 22AF CF +17 cm ，则点P 在CA 边上从C 点运动到A 点的时间为17 s ，所以b ＝19＋17＝36.巩固训练（答题时间：45分钟）一、选择题1. （静海中考）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（）A. B.C. D.2. （营口中考）如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7时，点E应运动到（）A. 点C处B. 点D处C. 点B处D. 点A处3. （绥化中考）如图，在平面直角坐标系中，长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标y与P所走过的路程S之间的函数关系用图象表示大致是（）A. B.C. D.*4. （荆门中考）如下图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）A. B.C. D.**5.（河池中考）如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AD＝6，M是CD的中点，点P在直角梯形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x 之间的函数关系用图象表示是（）A. B.C. D.二、填空题：*6. 如图，是一辆汽车的速度随时间变化的图象，请你根据图象提供的信息填空：（1）汽车在整个行驶过程中，最高速度是km/h（2）汽车第二次减速行驶的“时间段”是；（3）汽车出发后，8 min到10 min之间的运动情况如何？.*7. 如图，在正方形ABCD中，边长为2，某一点E从B－C－D－A－B运动，且速度是1，试求：（1）△BEC的面积S和时间t的关系.**8. （随州中考）在四边形ABCD中，AB边的长为4，设动点P沿折线B⇒C⇒D⇒A由点B向点A运动，设点P运动的距离为x，△P AB的面积为y，y与x的函数图象如图所示.给出下列四个结论：①四边形ABCD的周长为14；②四边形ABCD是等腰梯形；③四边形ABCD是矩形；④当△P AB面积为4时，点P移动的距离是 2.你认为其中正确的结论是.（只填所有正确结论的序号例如①）**9. 已知动点P以每秒2 cm的速度沿图甲的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S关于时间t的函数图象如图乙，若AB＝6 cm，试回答下列问题：（1）图甲中BC的长度是.（2）图乙中a所表示的数是.（3）图甲中的图形面积是.（4）图乙中b所表示的数是.图甲图乙三、解答题：10. （潜江）如图，有一边长为5的正方形ABCD与等腰三角形CEF，其中底边CF＝8，腰长EF＝5，若等腰△CEF以每秒1个单位沿CB方向平移，B,C,F在直线L上，请画出0＜t＜6时，两图形重叠部分的不同状态图（重叠部分用阴影标示），并写出对应t的范围.**11. 如图①，在矩形ABCD中，AB＝30 cm，BC＝60 cm.点P从点A出发，沿A→B→C→D 路线向点D匀速运动，到达点D后停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A路线向点A 匀速运动，到达点A后停止.若点P,Q同时出发，在运动过程中，Q点停留了1 s，图②是P,Q两点在折线AB－BC－CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象.（1）请解释图中点H的实际意义；（2）求P,Q两点的运动速度；（3）将图②补充完整；（4）当时间t为何值时，△PCQ为等腰三角形？请直接写出t的值.参考答案1. B 解析：①当P 在AB 上运动时，所求三角形底为AP ，高为M 到AB 的距离也就是AD 长度因此S △APM ＝21AD •AP ＝x ，函数关系为：y ＝x （0＜x ≤1）；②当P 在BC 上运动时，S △APM ＝S 梯形ABCM －S △ABP －S △PCM ，S △ABP ＝21AB •BP ，BP ＝x －1，则S △ABP ＝21x －21，S △PCM ＝21PC •CM ，CM ＝12AB ＝21，PC ＝3－x ，S △PCM ＝43x -，S 梯形ABCM ＝21（AB ＋CM ）•BC ＝23，因此S △APM ＝23－21-x －43x -＝－4x ＋45（1＜x ≤3）；③当P 在CM 上运动时，S △APM ＝21CM •AD ，CM ＝27－x ，S △APM ＝21（27－x ）×2＝－x ＋27（3＜x ＜7/2）.故该图象分三段.故选B.2. B 解析：当E 在AB 上运动时，△BCE 的面积不断增大；当E 在AD 上运动时，BC 一定，高为AB 不变，此时面积不变；当E 在DC 上运动时，△BCE 的面积不断减小.∴当x ＝7时，点E 应运动到高不再变化时，即点D 处.故选B .3. D 解析：∵长、宽分别为2和1的矩形ABCD 的边上有一动点P ，沿A →B →C →D →A 运动一周，则点P 的纵坐标y 随点P 走过的路程s 之间的函数关系图象可以分为4部分，∴P 点在AB 上，此时纵坐标越来越小，最小值是1，P 点在BC 上，此时纵坐标为定值1.当P 点在CD 上，此时纵坐标越来越大，最大值是2，P 点在AD 上，此时纵坐标为定值2.故选D.4. A 解析：①当直线l 经过BA 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l 经过AD 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l 经过DC 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A 选项的图象符合.故选A.5. D 解析：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，过点M 作MF ⊥AB 于点F ，易得CE ＝2，MF ＝5，当点P 与点B 重合，即x ＝2时，y ＝21AP ·MF ＝21×2×5＝5；当点P 与点C 重合，即x ＝6时，y ＝1122AD CE ⨯⋅＝21×21×6×2＝3；结合函数图象可判断选项D 正确.故选D.6. 100 km ，22 min －24 min ，8 min 到10 min 之间停止解析：（1）依题意得：最高速度是100 km/h ；（2）汽车第二次减速行驶的“时间段”是22 min －24v ；（3）汽车出发后，8v 到10 min 之间是停止的.7. 0(02)2(24)2(46)8(68)t t t S t t t ≤≤⎧⎪-<≤⎪=⎨<≤⎪⎪-<≤⎩ 解析：（1）∵在正方形ABCD 中，边长为2，某一点E 从B －C －D －A －B 运动，且速度是1，∴当E 在BC 上时，B ，E ，C 无法构成三角形，此时0≤t ≤2，∴S ＝0，（0≤t ≤2）；当E 在CD 上时，△BEC 的面积为：S ＝21BC ×CE ＝21×2×（t －2）＝t －2，（2＜t ≤4）；当E 在AD 上时，△BEC 的面积为：S ＝21BC ×CD ＝21×2×2＝2，（4＜t ≤6）；当E 在AB 上时，△BEC 的面积为：S ＝21BC ×BE ＝21×2×[2－（t －6）]＝8－t ，（6＜t ≤8）. 8. ①③ 解析：∵AB 边的长为4，设动点P 沿折线B ⇒C ⇒D ⇒A 由点B 向点A 运动，点P 运动的距离为10，∴四边形ABCD 的周长为10＋4＝14，①成立.当点P 在BC 上运动时，面积在不断增加，当移动的距离是3，面积为6时，面积不再变化，说明CD ∥AB ，此时BC ＝3，△ABP 面积＝21×4×高＝6，那么高＝3，说明BC ⊥AB .当点P 运动7时，面积停止变化，此时CD ＝7－3＝4，那么CD ＝AB .根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ABCD 是平行四边形.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得到四边形ABCD 是矩形，③对.由图中可以看出，面积为4的点可在图中找到两处，那么就有相应的两个距离值，④不对.故答案选①③.9. 8 cm ；24；60 cm 2；17 解析：（1）动点P 在BC 上运动时，对应的时间为0到4 s ，易得：BC ＝2 cm/s×4s ＝8 cm.故题图甲中BC 的长度是8 cm ；（2）由（1）可得，BC ＝8 cm ，则：题图乙中a 所表示的数是：21×BC ×AB ＝21×8×6＝24（cm 2）.故题图乙中a 所表示的数是24；（3）由题图可得：CD ＝2×2＝4 cm ，DE ＝2×3＝6 cm ，则AF ＝BC ＋DE ＝14 cm ，又由AB ＝6 cm ，则甲中的梯形面积为AB ×AF －CD ×DE ＝6×14－4×6＝60（cm 2）.故题图甲中的图形面积为60 cm 2；（4）根据题意，动点P 共运动了BC ＋CD ＋DE ＋EF ＋F A ＝（BC ＋DE ）＋（CD ＋EF ）＋F A ＝14＋6＋14＝34（cm ），其速度是2 cm/s ，34÷2＝17（s ）.故题图乙中b 所表示的数是17.故答案为8 cm ；24；60 cm 2；17.10. 解：∵等腰三角形CEF ，其中底边CF ＝8，腰长EF ＝5，∴等腰三角形底边上的高线平分底边，即分为两部分都是4，当0＜t ≤4时，如图1所示；当4＜t ≤5时，如图2所示；当5＜t ＜6时，如图3所示.11. 解答：（1）图中点H 的实际意义：P 、Q 两点相遇；（2）由函数图象得出，当两点在F 点到G 点两点路程随时间变化减慢得出此时Q 点停留1秒，只有P 点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，故P 点运动速度为：30cm/s ，再根据E 点到F 点S 的值由120变为75，根据P 点速度，得出Q 点速度为120－75－30＝15（cm/s ），即P 点速度为30cm/s ，Q 点速度为15cm/s ；（3）如图所示：根据4秒后，P 点到达D 点，只有Q 点运动，根据运动速度为15cm/s ，还需要运动120－45＝75（cm ），则运动时间为：75÷15＝5（s ），画出图象即可；（4）如图1所示，当Q P ＝PC ，此时21Q C ＝BP ，即30－30t ＝21（30－15t ），解得：t ＝32，故当时间t ＝32s 时，△PC Q 为等腰三角形，如图2所示，当D 、P 重合，Q D ＝Q C 时，Q 为AB 中点，则运动时间为：（15＋60＋30）÷15＋1＝8（s ），故当时间t ＝8s 时，△PC Q 为等腰三角形.若PC ＝C Q 故90－30t ＝30－15t 解得：t ＝4则4＋1＝5（S ）综上所述：t ＝32或t ＝5或t ＝8秒时，△PC Q 为等腰三角形.。

数轴类动点问题(讲义及答案)

数轴类动点问题（讲义）➢知识点睛1.由点（速度已知）的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：（1）研究背景图形；（2）分析运动过程；（3）表达线段长，建方程．2.数轴上点的平移：数轴上，若点A表示的数为a，则点A向左平移2个单位得到的数为a-2，点A向右平移3个单位得到的数为a+3．3.数轴上两点的距离公式：数轴上，若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A，B之间的距离可表示为a b，或者表示为右边的数减去左边的数．➢精讲精练1.已知：如图，A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100．（1）请直接写出AB的中点M对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，请求出C点对应的数是多少；（3）若电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，请求出D点对应的数是多少．AA2.如图，点A在数轴上所对应的数为-2．（1）点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数；（2）在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到-4所在的点处时，求A，B两点间的距离；（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左以原速运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度？（直接写出答案）A3.已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数-24，-10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P到点C的距离：PC=______．（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C 点运动，Q点到达C点后停止运动．在点Q开始运动后，P，Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．A B CA B C4.“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A，B的距离之和为6，则C叫做A，B的“幸福中心”．（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是_____；（2）如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M，N的幸福中心，则C所表示的数可以是_______（填一个即可）；（3）如图3，A，B，P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？图1图2P图35. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A ，B 表示的数分别为a ，b ，则A ，B 两点之间的距离AB =|a -b |，线段AB 的中点表示的数为2a b ．【问题情境】如图，数轴上点A 表示的数为-2，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．【综合运用】（1）填空：①A ，B 两点之间的距离AB =_______，线段AB 的中点表示的数为______； ②用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为_________，点Q 表示的数为___________．（2）求当t 为何值时，P ，Q 两点相遇，并写出相遇点所表示的数．（3）求当t为何值时，PQ=12 AB．（4）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长．A B08-2086.如图，数轴上点A，B到表示-2的点的距离都为6，P为线段AB上任一点，C，D两点分别从P，B同时向A点移动，且C点的运动速度为每秒2个单位长度，D点的运动速度为每秒3个单位长度，运动时间为t秒．（1）A点表示的数为_______，B点表示的数为________，AB=________．（2）若P点表示的数是0，①运动1秒后，求CD的长度；②当D在BP上运动时，求线段AC，CD之间的数量关系式．（3）若t=2秒，CD=1，请直接写出P点表示的数．P DC BAA B7.如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式表示动点P在运动过程中距O点的距离．（2）P，Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少．（3）是否存在P，O两点在数轴上相距的长度与Q，B两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．【参考答案】➢精讲精练1.（1）M对应的数为40（2）C点对应的数为28（3）D点对应的数是-2602.（1）点B对应的数为4（2）AB=12（3）4秒或8秒3.（1）34-t（2）点P表示的数为-2或84.（1）-4或2（2）1（3）1.75秒或4.75秒5.（1）①10，3；②-2+3t，8-2t（2）t=2时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为4（3）当t=1或3时，12 PQ AB（4）MN的长度不变，MN=5 6.（1）-8，4，12（2）①CD=3；②AC=2CD（3）P点表示的数为1或3.7.（1）PO=t-5（2）相遇时间为232，相遇点M表示的数为132（3）t=2或132时，PO=BQ。

中考二次函数动点问题(含答案)

中考二次函数动点(Dian)问题(含答案)1.如(Ru)图(Tu)①，正(Zheng)方形的(De)顶点的坐标(Biao)分别为，顶(Ding)点在(Zai)第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点P到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．（1）求正方形ABCD的边长．（2）当点P在边上运动时，的面积（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P 的坐标．（4）若点P Q，保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，的大小随着时间t的增大而增大；沿着边运动时，OPQ∠的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使的点P有个．（抛物线的顶点坐标是．[解] （1）作轴于．，．．（2）由图②可知，点P从点A运动到点用了10秒．又．两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作轴于，则．，即．．．，．即(Ji)．，且(Qie)，当(Dang)时(Shi)，S 有最(Zui)大值．此(Ci)时， ∴点(Dian)P 的坐(Zuo)标为．（8分）方法二：当时，．设所求函数关系式为．抛物线过点，．19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值．此时，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（4）．[点(Dian)评(Ping)]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试(Shi)题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。

． 2. 如(Ru)图(Tu)①，中(Zhong)，，．它的(De)顶点A 的坐(Zuo)标为，顶点B 的坐标为，，点P 从点A 出发，沿的方向匀速运动，同时点Q 从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求的度数．（2）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．（4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使的点P 有几个？请说明理由．解: （1）．（2）点P 的运动速度为2个单位/秒．（3）（）．∴当时，S 有最大值为，此时．（4）当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个． ①当点P 与点A 重合时，，当点P 运动到与点B 重合时，的长是12单位长度，作交y 轴于点，作轴于点，由得：，所以，从而．所以当点P 在AB 边上运动时，90OPQ =∠的点P 有1个． ②同理当点P 在BC 边上运动时，可算得．而构成直角时交y 轴于，，所以，从而90OPQ =∠的点P 也有1个．所以当(Dang)点P 沿这两边运动(Dong)时，90OPQ =∠的(De)点P 有(You)2个(Ge)．3. （本(Ben)题满分(Fen)14分(Fen)）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；（3）有两动点、同时从点出发，其中点D 以每秒个单位长度的速度沿折线按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒个单位长度的速度沿折线按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发秒时，的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；③设是②中函数S 的最大值，那么0S = .解：（1）令，则；令则．∴．∵二次函数的图象过点()04C ，， ∴可设二次函数的关系式为又∵该函数图象过点．∴解之，得，．∴所求二次函数的关系式为（2）∵438342++-=x x y =∴顶(Ding)点M 的坐标(Biao)为过(Guo)点M 作(Zuo)MF轴(Zhou)于F ∴=∴四边(Bian)形AOCM 的面(Mian)积为(Wei)10 （3）①不存在DE ∥OC∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时，在中，．设点E 的坐标为∴，∴ ∵，∴∴∵38=t >2，不满足12t <<．∴不存在DE OC ∥．②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为（秒）现分情况讨论如下： ⅰ）当时，；ⅱ）当时，设点E 的坐标为∴，∴∴ⅲ）当2 <<时，设点E 的坐标为，类似ⅱ可得设点D 的坐标为∴，∴∴=③47.关(Guan)于x的(De)二次函数以(Yi)y轴为(Wei)对称轴，且与y 轴(Zhou)的交点在x轴(Zhou)上方．（1）求此抛物线的解析式(Shi)，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设(She)A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直于x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点，过点D作垂直于x轴于点C，得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；（3）当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．参考资料：抛物线的顶点坐标是2424b ac ba a⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，对称轴是直线．解：（1）据题意得：，．当时，．当时，．又抛物线与y轴的交点在x轴上方，．∴抛物线的解析式为：．函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）（2）解：令，得．不时，，，．当时，，．．关于x 的函数关系是：当02x <<时，；当2x >时，．（3）解法一：当02x <<时，令，得．解(Jie)得（舍(She)），或．将(Jiang)13x =-+代(Dai)入2244l x x =-++，得(De)．当(Dang)2x >时(Shi)，令，得(De)．解得（舍），或．将13x =+代入2244l x x =+-，得．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．解法二：当02x <<时，同“解法一”可得13x =-+． ∴正方形的周长．当2x >时，同“解法一”可得13x =+．∴正方形的周长．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当31x =-时正方形的周长为838-；当31x =+时，正方形的周长为838+．解法三：点A 在y 轴右侧的抛物线上，，且点A 的坐标为．令，则．∴，①或②由①解得13x =--（舍），或13x =-+；由②解得13x =-（舍），或13x =+．又，∴当13x =-+838l =；当13x =838l =．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当31x =时正方形的周长为838；当31x =时，正方形的周长为838．5.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8）又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0）（2）∵点(Dian)C （0，8）在(Zai)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的(De)图象上 ∴c ＝8，将(Jiang)A （－6，0）、B （2，0）代入(Ru)表达式，得⎩⎨⎧0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8解(Jie)得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23b ＝－83∴所求抛物线的表达式(Shi)为y ＝－23x 2－83x ＋8（3）依(Yi)题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m8 ∴EF ＝40－5m 4过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－12m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8（4）存在．理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－12＜0，∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．6.（14分）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1）求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

动点问题专题讲解答案

中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

例2.如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC,∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴x y 1=.(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立.例3(2005年²上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F. (1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP. (2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =,∴OD=x 53,AD=x 54.∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =,∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.AEDCB 图2A3(2) 3(1)∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2.类似①,可得CF=CE.∴5-x 58=2,得815=x .可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年²上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H. ∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x .此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x .此时,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

历年初三数学中考复习动点专题及答案

中考数学复习动点专题1、如图，边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转30°，使点A 落在抛物线2ax y =（0<a ）图像上。

（1）求抛物线方程。

（2）正方形OABC 继续顺时针旋转多少度时，点A 再次落在抛物线2ax y =的图像上？并求这个点的坐标。

解：（1）设旋转后点A 落在抛物线上点A 1处，OA 1=1，过A 1作A 1M ⊥x 轴于M ，则OM=23，211=M A ，)21,23(1-A ，由2ax y =上得2)23(21a =-，解得32-=a ∴232x y -= （2）由抛物线关于y 轴对称，再次旋转后A 落在抛物线上的点A 2处，点A 2与点A 1关于y 轴对称，易见继续旋转120°，点A 2的坐标为)21,23(--2、如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，对角线AC 上有一个动点P （不包括A 和C ），设AP=x ，四边形PBCD 的面积为y ，（1）写出y 与x 的函数关系，并确定自变量x 的范围。

（2）有人提出一个判断“关于动点P ，△PBC 面积与△PAD 面积之和为常。

” 请说明此判断是否正确，并说明理由。

（3）将题目中的矩形改为平行四边形，且已知平行四边形的面积为S ，对角线上一动点P ，是否有“△PBC 面积与△PAD 面积之和为常”，并说明理由。

解：（1）过点P 作PE ⊥BC 于点E ，在Rt △ABC 中，AC=10，PC=AC-AP=10-x ，∵PE ⊥BC，AB ⊥BC ,∴△PEC ∽△ABC ，则AC PC AB PE =,即10108x PE -=，PE=8-x 54，∴△PBC 面积=x BC PE 5122421-=•，又△PCD 面积=△PBC 面积，∴y=x 52448-（0<x<10）（2）这个判断是正确的，S △PBC +S △PAD =24；（3）有，S △PBC +S △PAD =2SCB3、如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点，点C 为线段AB 上的一动点，过点C 作CD⊥x 轴于点D 。

中考动点问题专题教师讲义带答案

中考动点型问题专题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这种问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动转变来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手腕和方式，来探讨与发觉图形性质及图形转变，在解题进程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动进程中观看图形的转变情形，明白得图形在不同位置的情形，做好计算推理的进程。

在转变中找到不变的性质是解决数学“动点”探讨题的大体思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：成立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭露了运动转变进程中量与量之间的转变规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动转变,引发未知量与已知量间的一种转变关系,这种转变关系确实是动点问题中的函数关系.例1 （2015•兰州）如图，动点P从点A动身，沿线段AB运动至点B后，当即按原路返回，点P在运动进程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时刻t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动进程，采纳定量分析手腕，求出S与t的函数关系式，依照关系式能够得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动进程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题进程中求出了函数关系式，这是定量的分析方式，适用于本题，若是仅仅用定性分析方式则难以作出正确选择．对应训练1．（2015•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部份的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）转变的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C考点二：动态几何型题目点动、线动、形动组成的问题称之为动态几何问题. 它要紧以几何图形为载体，运动转变为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这种题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力和分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，因此要把握好一样与特殊的关系；分析进程中，专门要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

第2讲动点问题(教师版)

知识导航典题精练答案解析如图，若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以个单位／秒的速度向左运动．同时另一小球乙从点处以个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时问为（秒）．(3)分别表示出甲、乙两小球到原点的距离．（用表示）1求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．21．2．(1)或(2)甲球到原点的距离：；乙球到原点的距离：或．1当甲、乙两小球到原点距离相等时，经历的时问为秒、秒．2(3)∵，∴，．∴，．(1)设数轴上点表示数，∵，∴，即．∵，∴点不可能在的延长线上，则点可能在线段上和线段的延长线上．①点在线段上，则有，∴，∴．②点在线段延长线上，则有．∴，∴．(2)运动过程中，对应的数：，．甲球到原点的距离：当时，乙球到原点的距离：．当时，乙球到原点的距离：．1当时，若．2(3)∴不存在点到点、点的距离之和是；③当点在点右侧时，，，则，解得：，故的值为或．设运动分钟时，点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是．∵三个点中点开始在最左侧且速度最慢，∴点始终在最左侧，①当点在点、点之间时：∵，，，∴，解得，此时点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是，符合题意；②当点在点右侧时：∵，，，∴，解得，此时点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是，符合题意，综上所述，三点同时出发，那么经过秒或秒时，．(3)答案解析若、两点以每秒个单位的速度向右匀速运动，同时、两点以每秒个单位的速度向左匀速运动，并设运动时间为秒，问为多少时，、两点都运动在线段上（不与、两个端点重合）？(2)，，，．(1)当时，、两点运动在线段上．(2)∵，∴或，若，得；若，得，∵、是方程的两解，且，∵，，∵与互为相反数，∴，又∵，，∴，，∴，，∴，．综上所述，，，，．(1)由题意，秒时：点所表示的数为，点所表示的数为，点所表示的数为，点所表示的数为，∵、两点运动在线段上，且不与、重合，∴在右侧，在左侧，即：①②，解不等式①，得：；解不等式②，得：，(2)，故不等式组的解集为，∴当时，、两点运动在线段上．。

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