平面向量与解三角形单元检测题(含答案)

平面向量与解三角形单元检测题

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c, b ∥c ，则|a ＋b |＝( )

A.5

B.10 C ．2 5 D ．10

2．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝1

2

NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋

2

9

AC ，则实数m 的值为( ) A.19 B.1

3 C ．1 D ．3 3．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →

方向上的投影为 A.322

B.3152 C ．－322 D ．－3152

4．在直角坐标系xOy 中，AB →＝(2,1)，AC →

＝(3，k )，若三角形ABC 是直角三角形，则k 的可能值个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 5．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b | 等于 ( )． A ．5 B ．4 C ．3 D ．1 6．在四边形ABCD 中，AC →＝(1， 2)，BD →

＝(－4，2)，则该四边形的面积为 A. 5

B ．2 5

C ． 5

D ．10

7．如图所示,非零向量

=a ,

=b ,且BC ⊥OA,C 为垂足,若

=λa (λ≠0),则λ=( )

8．在△ABC 中,sin 2A≤sin 2B+sin 2C-sin Bsin C,则A 的取值范围是( ) (A)（0,

π6] (B)[π6,π）(C)(0,π3

] (D)[

π

3

,π) 9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝

A.π3

B.2π3

C.3π4

D.5π6

10．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条件为

存在唯一的实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立，此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和OB →

的

终点共线分解系数”．若已知P 1(3, 1)，P 2(－1,3)，且向量OP 3→与向量a ＝(1,1)垂直，则“向量OP 3

→

关于OP 1→和OP 2→

的终点共线分解系数”为( )

A ．－3

B ．3

C ．1

D ．－1

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)

11．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．

12．已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，若a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →

＝________．

14．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π

3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向

上的射影为________．

15．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________．

三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．

(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；

(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π

3，求△ABC 的面积．

17．在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若C=

2π3,求a

b

的值. 18．在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边,且a=1

2

c+bcos C. (1)求角B 的大小; (2)若S △ABC =3,求b 的最小值.

19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝3

2

b .

(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．

20．△ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰AC 的长为3(百米),底AB 的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为S 1和S 2. (1)若小路一端E 为AC 的中点,求此时小路的长度; (2)若小路的端点E 、F 两点分别在两腰上,求

1

2

S S 的最小值. 21．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满

足

sin sin 2cos cosC

sin cos B C B A A +--=

。 （1）证明：2b c a +=；

（2）如图，点O 是△ABC 外一点，设(0)AOB θθ∠=<<π，OA=2OB =2，当b c =时，求平面四边形OACB 面积的最最大值。