平面向量与解三角形单元检测题(含答案)
平面向量专题6 解三角形专题—多三角形问题-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)专题练习
【技巧总结】（1）在多三角形中，隐含条件是邻补角∠ADC 与∠ADB，邻补角的正弦值相等，余弦值互为相反数；（2）三角形外找关系，三角形内用定理。
【巩固练习】1、如图，在△ABC 中，D 是边AC上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为（）A．33B．36C．63D．662、已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =．点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．由22sin cos 1ABC ABC ∠+∠=因为BD BC =，所以D BCD ∠=∠，所以2ABC D BCD D ∠=∠+∠=∠，3、如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC，22sin 3BAC ∠=，AB =，3AD =，则BD 的长为_______________．4、在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则B D =____，cos ABD ∠=________.135CBD C ∠=- ，5、若锐角的面积为，，，则BC 边上的中线AD 的长是______．【答案】【解析】解：锐角的面积为，，，则：，解得：，所以：，所以：，解得：．在中，利用余弦定理：，在中，利用余弦定理：得：，解得：故答案为：6、在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边.已知4a =，5AB AC ⋅=，求：（1）tan tan tan tan A AB C+的值；（2）BC 边上的中线AD 的长.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即：221610b c =+-，∴2226b c +=.得3x =，即：3AD =.7、在①34asinC ccosA =;②22B Cbsin +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知，a =.(1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC 的面积【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】解:若选择条件①，则答案为:(1)在ABC 中，由正弦定理得34sinAsinC sinCcosA =，因为sin 0C≠，所以2234,916sinA cosA sin A cos A ==，(2)同选择①8．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .【答案】见解析【解析】选择①：由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠选择②9、已知函数()()2cos sin 10f xx x x ωωωω=-+>图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）如图，在锐角三角形ABC 中有()1f B =，若在线段BC 上存在一点D 使得2AD =，且AC =，1CD =-，求三角形ABC的面积.【解析】10、在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =．(1)求cos ADB ∠；(2)若DC =，求BC ．在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠所以5BC=．11、∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．(Ⅰ)求sin sin BC；(Ⅱ)若AD =1，DC =22，求BD 和AC 的长．由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．。
平面向量单元测试题及答案
平面向量单元测试题（一）2一，选择题：1，下列说法中错误的是 （ ）A ．零向量没有方向B ．零向量与任何向量平行C ．零向量的长度为零D ．零向量的方向是任意的2，下列命题正确的是 （ ）A. 若→a 、→b 都是单位向量，则 →a ＝→bB . 若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形C. 若两向量→a 、→b 相等，则它们是始点、终点都相同的向量D. AB 与BA 是两平行向量3，下列命题正确的是 （ ）A 、若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→c 。
B 、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。
C 、向量AB 的长度与向量BA 的长度相等,D 、若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。
4，已知向量(),1m =a ，若，a=2，则m =（ ）A ．3 C. 1± D.3±5，若→a =（1x ，1y ），→b =（2x ，2y ），，且→a ∥→b ，则有（ ）A ，1x 2y +2x 1y =0，B ， 1x 2y ―2x 1y =0，C ，1x 2x +1y 2y =0，D ， 1x 2x ―1y 2y =0，6，若→a =（1x ，1y ），→b =（2x ，2y ），，且→a ⊥→b ，则有（ ）A ，1x 2y +2x 1y =0，B ， 1x 2y ―2x 1y =0，C ，1x 2x +1y 2y =0，D ， 1x 2x ―1y 2y =0，7，在ABC ∆中，若=+，则ABC ∆一定是 （ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定8，已知向量,,a b c 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥，则a b 与的夹角等于 （ ）A ．0120B 060C 030D 90o二，填空题：（5分×4=20分）9。
已知向量a 、b 满足==1，a 3-=3，则a +3=10，已知向量a ＝（4，2），向量b ＝（x ，3），且a //b ,则x ＝11，.已知 三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cos ∠BAC =12，.把函数742++=x x y 的图像按向量a 经过一次平移以后得到2x y =的图像， 则平移向量a 是（用坐标表示）三，解答题：（10分×6 = 60分）13，设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P =,，则求点P的坐标14，已知两向量),1,1(,),31,,31(--=-+=b a 求a 与b 所成角的大小，15，已知向量a =（6，2），b =（－3，k ），当k 为何值时，有（1），a ∥b ?（2），a ⊥b ?（3），a 与b 所成角θ是钝角？16，设点A （2，2），B （5，4），O 为原点，点P 满足OP =OA +AB t ，（t 为实数）；（1），当点P 在x 轴上时，求实数t 的值；（2），四边形OABP 能否是平行四边形？若是，求实数t 的值 ；若否，说明理由， 17，已知向量OA =（3, －4）, OB =（6, －3）,OC =（5－m, －3－m ）,（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；（2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．18，已知向量.1,43),1,1(-=⋅=n m m n m 且的夹角为与向量向量π（1）求向量n ；（2）设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x b a ==向量，其中R x ∈， 若0=⋅a n ，试求||b n +的取值范围.平面向量单元测试题2答案：一，选择题：A D C D B C C A二，填空题： 9，23； 10，6； 11，13132 12，)3,2(- 三，解答题：13，解法一：设分点P （x,y ），∵P P1=―22PP ，λ=―2 ∴ (x ―4,y+3)=―2(―2―x,6―y),x ―4=2x+4, y+3=2y ―12, ∴ x=―8,y=15,∴ P(―8,15)解法二：设分点P （x,y ），∵P P1=―22PP ， λ=―2 ∴ x=21)2(24---=―8,y=21623-⨯--=15, ∴ P(―8,15)解法三：设分点P （x,y ），∵212PP P P =,∴―2=24x+, x=―8,6=23y+-, y=15, ∴ P(―8,15)14，解：a=22, b =2 , cos ＜a ,b ＞=―21, ∴＜a ,b ＞=1200， 15，解：（1），k=－1; (2), k=9; (3), k ＜9,k ≠－116，解：（1），设点P （x ，0），AB =(3,2),∵OP =OA +AB t ，∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2),⎩⎨⎧+=+=,22032,t t x 则由∴⎩⎨⎧-=-=,11t x 即(2),设点P （x,y ），假设四边形OABP 是平行四边形，则有OA ∥BP , ⇒ y=x ―1,OP ∥AB ⇒ 2y=3x ∴⎩⎨⎧-=-=32y x 即……①,又由OP =OA +AB t ，⇒(x,y)=(2,2)+ t(3,2),得 ∴⎩⎨⎧+=+=t y t x 2223即……②,由①代入②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2534t t ，矛盾，∴假设是错误的， ∴四边形OABP 不是平行四边形。
解三角形与平面向量问题(含解析)
解三角形与平面向量一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·内蒙古自治区集宁一中）在ABC ∆中，已知4,1AB AC ==，ABC ∆则•AB AC =（ ） A ．2±B ．4±C ．2D ．42．（2020·山东省滕州市第一中学）ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．设向量(),p a c b =+，(),q b a c a =--．若//p q ，则C 等于（）．A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 3．（2020·嘉祥县第一中学）在ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足()cos 3cos b C a c B =-，若4BC BA ⋅=，则ac 的值为 （ ） A ．12B ．11C ．10D ．94．（2020·山西省平遥中学校）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，设向量(),(,)m b c c a n b c a =--=+，，若m n ⊥，则角A 的大小为（ ）A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 5．（2020·四川省北大附中成都为明学校高二）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．若向量(),cos m a A =-，()cos n C c =-，且0m n ⋅=，则角A 的大小为（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 6．（2020·浙江省高二期中）已知平面向量AC 在AB 上的投影是1-，1,7AB BC ==，则AC 的值为( )AB ．C ．1D ．27．（2020·湖南省高二月考）已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 1sin sin b Ca c A B+=++，4AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（ ）AB ．2C ．D ．8．（2020·四川省三台中学）在ABC ∆中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ⋅的值为（ ） A ．22B ．19C ．-19D ．-229．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b =与(cos ,sin )=n A B 平行．若a =b =c =A ．1B ．2C ．D ．310．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二）在ABC 中，设内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，(cos m A =，(2,sin )n A =-，且5m n +=.则角A 的大小为（ ）A ．3πB ．4π C ．32π D ．43π 11．（2020·嘉祥县第一中学）已知ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，(2,2)p b a =--，若m p ⊥，边长2c =，角π3C =，则ABC ∆的面积为（ ）.A ．3B ．2CD12．（2020·凌海市第三高级中学）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知向量m =2cos,sin 22A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,n =cos ,2sin 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.1m n ⋅=-，若a =2b =, 则c 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 13．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二）在ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(sin sin ,sin sin )=--m B C C A ，(sin sin ,sin )=+n B C A ，且m n ⊥，角B =________．14．（2020·江西省奉新县第一中学）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos25A =，3AB AC ⋅=，则ABC ∆的面积为_______；15．（2020·安徽省潜山第二中学高二）在△ABC 中，3AB =，2AC =，BC =则AB AC ⋅=________ 16．（2020·衡水中学实验学校）已知O 为ABC ∆的外心，且3A π=，cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=，则实数m =_____三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2020·杭州市西湖高级中学高二）在ABC 中，已知向量cos,12A B m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，且254m =，记角,,A B C 的对边依次为,,a b c .若2c =，且ABC 是锐角三角形，求22a b +的范围。
人教A版高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷含答案解析 (2)
高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷5（共22题）一、选择题（共10题）1. 在 △ABC 中，E ，F 分别为 AB ，AC 的中点，P 为 EF 上的任一点，实数 x ，y 满足 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yPC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，设 △ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为 S ，S 1，S 2，S 3，记 S 1S=λi (i =1,2,3)，则 λ2⋅λ3 取到最大值时，2x +y 的值为 ( ) A ． −1 B ． 1C ． −32D ． 322. 在 △ABC 中，已知 b =2√3，c =2，C =30∘，那么 a 等于 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 2 或 4 D ．无解3. 若 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=5，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，则 ∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的取值范围是 ( ) A ． [1,5] B ． [1,9] C ． [4,5] D ． [0,9]4. 正方形 ABCD 的边长为 2，E 是线段 CD 的中点，F 是线段 BE 上的动点，则 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( ) A ． [−1,0]B ． [−1,45]C ． [−45,1]D ． [0,1]5. 若 P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列各式中不正确的是 ( )A ． ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣B ． ∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=4∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣C ． ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣D ． 4∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣6. 已知点 C 为线段 AB 上一点，P 为直线 AB 外一点，PC 是 ∠APB 的角平分线，I 为 PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，则 BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣的值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．57. 已知非零向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣，a ，b ⃗ 的夹角的余弦值为 13，且 a ⊥(a −kb ⃗ )，则实数 k 的值为 ( ) A ． 18 B ． 24 C ． 32 D ． 368. 在 △ABC 中，AC =3，BC =√7，AB =2，则 AB 边上的高等于 ( ) A ． 2√3 B ．3√32C ．√262D ． 329. 已知点 O 是 △ABC 内部一点，满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，S △AOB S △ABC=47，则实数 m 为 ( ) A ． 2 B ． −2 C ． 4 D ． −410. 已知 A ，B 都是数轴上的点，O 为原点，A (3)，B (−2)，则 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 ( ) A ． 17B ． 1C ． −1D ． −17二、填空题（共6题）11. 设 I 为 △ABC 的内心，三边长 AB =7，BC =6，AC =5，点 P 在边 AB 上，且 AP =2，若直线 IP 交直线 BC 于点 Q ，则线段 QC 的长为 ．12. 如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为 2，且 AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λ+μ= ．13. 设向量 a =(3,3)，b ⃗ =(1,−1)，若 (a +λb ⃗ )⊥(a −λb ⃗ )，则实数 λ= ．14. 思考辨析，判断正误．在 △ABC 中，若 a 2+b 2−c 2=0，则角 C 为直角．( )15. 如图，在折线 ABCD 中，AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘，E ，F 分别是 AB ，CD的中点，若折线上满足条件 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个，则实数 k 的取值范围是 ．16. 山上有一塔，高 50 m ，自山下地面某点测得塔顶仰角为 75∘，测得塔底仰角为 45∘，则山高m ．三、解答题（共6题）17. 已知 ∣a ∣=1，∣∣b ⃗ ∣∣=2，a与 b ⃗ 夹角 π3，m ⃗⃗ =3a −b ⃗ ，n ⃗ =ka +2b ⃗ ． (1) 当 k 为何值时，m ⃗⃗ ∥n ⃗ ？ (2) 当 k 为何值时，m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ？18. 已知 △ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，a >c ，且 2csinA =√3a ．(1) 求角 C 的大小；(2) 若 c =4，△ABC 的面积为 √3，求 △ABC 的周长．19. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 bsinA =√3acosB ．(1) 求角 B 的大小；(2) 若 b =3，sinC =2sinA ，求 a ，c 的值．20. 已知锐角 △ABC ，同时满足下列四个条件中的三个 ①A =π3；②a =13；③c =15；④sinC =13．(1) 请指出这三个条件，并说明理由； (2) 求 △ABC 的面积21. 对于任意实数 a ，b ，c ，d ，表达式 ad −bc 称为二阶行列式（determinant ），记作 ∣∣∣ab cd ∣∣∣． (1) 求下列行列式的值：① ∣∣∣1001∣∣∣； ② ∣∣∣1326∣∣∣； ③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣；(2) 求证：向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0． (3) 讨论关于 x ，y 的二元一次方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2(a 1a 2b 1b 2≠0) 有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）22. 已知 O 为坐标原点，对于函数 f (x )=asinx +bcosx ，称向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ) 为函数 f (x ) 的伴随向量，同时称函数 f (x ) 为向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的伴随函数．(1) 设函数 g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)，试求 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) 记向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )，当 f (x )=85，且 x ∈(−π3,π6) 时，求 sinx 的值； (3) 将（1）中函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，已知 A (−2,3)，B (2,6)，问在 y =ℎ(x ) 的图象上是否存在一点 P ，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【知识点】平面向量的数量积与垂直2. 【答案】C【解析】由 bsinB =csinC 得， sinB =bsinC c=2√3sin30∘2=√32， 所以 B =60∘ 或 B =120∘． 当 B =60∘ 时，A =90∘， a =√(2√3)2+22=4；当 B =120∘ 时，A =30∘，a =c =2， 故 a =4 或 a =2． 【知识点】正弦定理3. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直5. 【答案】A【知识点】平面向量的数乘及其几何意义6. 【答案】B【解析】因为 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，所以 I 在 ∠PAB 的角平分线上，又 I 在 ∠APB 的角平分线上，所以 I 为 △PAB 的内心．因为 ∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，所以 ∣AB ∣=10．BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 表示 BI⃗⃗⃗⃗ 在 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影，过 I 作 IK 垂直 BA 于 K ，则由圆的切线性质和已知可得 ∣AK ∣+∣BK ∣=∣AB ∣=10，∣AK ∣−∣BK ∣=4，所以 ∣BK ∣=3，故BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的值为 3 .【知识点】平面向量的分解、平面向量的数量积与垂直、平面向量的加减法及其几何意义7. 【答案】A【解析】由 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣，可设 ∣∣b ⃗ ∣∣=t ，则 ∣a ∣=6t (t >0)，因为 a ⋅(a −kb ⃗ )=∣a ∣2−ka ⋅b⃗ =36t 2−k ×6t ×t ×13=0， 所以 k =18．【知识点】平面向量的数量积与垂直8. 【答案】B【知识点】正弦定理、余弦定理9. 【答案】D【知识点】平面向量的分解10. 【答案】B【解析】 3OA⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 3×3+4×(−2)=1． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】138【解析】如图， 由题意易得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ −IA ⃗⃗⃗⃗ =25(IB ⃗⃗⃗⃗ −IP ⃗⃗⃗⃗ )， 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ =57IA ⃗⃗⃗⃗ +27IB⃗⃗⃗⃗ ． 设 CQ =x ，BQ =y ，则 x +y =6， 所以 CQ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x yBQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ −IC ⃗⃗⃗⃗ =x y(IB ⃗⃗⃗⃗ −IQ⃗⃗⃗⃗ )， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ ． 因为 7IC⃗⃗⃗⃗ +5IB ⃗⃗⃗⃗ +6IA ⃗⃗⃗⃗ =0， 点 I 是 △ABC 的内心，根据三角形内心的向量表示得向量等式． 所以 IC⃗⃗⃗⃗ =−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6(−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ )=−y 7IA ⃗⃗⃗⃗ +(x 6−5y 42)IB ⃗⃗⃗⃗ ． 因为 IQ ⃗⃗⃗⃗ ∥IP⃗⃗⃗⃗ ，所以 (−y 7):(x 6−5y 42)=52，结合 x +y =6，解得 x =138．所以线段 QC 的长为138．【知识点】平面向量数乘的坐标运算12. 【答案】 1+√2【解析】因为 ∠DEB =∠ABC =45∘，所以 AB ∥DE ，过 D 作 AB ，AC 的垂线 DM ，DN ， 则 AN =DM =BM =BD ⋅sin45∘=√2， 所以 DN =AM =AB +BM =2+√2， 所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2+√22AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +√22AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 λ=2+√22，μ=√22，所以 λ+μ=1+√2．【知识点】平面向量的分解13. 【答案】 ±3【知识点】平面向量数量积的坐标运算14. 【答案】 √【知识点】余弦定理15. 【答案】 [−94,−2]【解析】以 BC 的垂直平分线为 y 轴，以 BC 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为 AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘， 所以 B (−2,0)，C (2,0)，A(−4,2√3)，D(4,2√3)．因为 E ，F 分别是 AB ，CD 的中点，所以 E(−3,√3)，F(3,√3)．设 P (x,y )，−4≤x ≤4，0≤y ≤2√3，因为 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k ， 所以 (−3−x,√3−y)(3−x,√3−y)=x 2+(y −√3)+9=k ， 即 x 2+(y −√3)=k +9．当 k +9>0 时，点 P 的轨迹为以 (0,√3) 为圆心，以 √k +9 为半径的圆． 当圆与直线 DC 相切时，此时圆的半径 r =3√32，此时点有 2 个；当圆经过点 C 时，此时圆的半径为 r =√22+3=√7，此时点 P 有 4 个．因为满足条件 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个，结合图象可得， 所以274≤k +9≤7，解得 −94≤k ≤−2，故实数 k 的取值范围为 [−94,−2]．【知识点】平面向量数量积的坐标运算16. 【答案】 25(√3−1)【知识点】解三角形的实际应用问题三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) −6． (2) 1．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义、平面向量的数量积与垂直18. 【答案】(1) 由题意知 2csinA =√3a ，由正弦定理得 2sinCsinA =√3sinA ， 又由 A ∈(0,π)，则 sinA >0，所以 sinC =√32， 又因为 a >c ，则 ∠A >∠C ， 所以 ∠C =60∘．(2) 由三角形的面积公式，可得 S △ABC =12absinC =12ab ×√32=√3，解得 ab =4， 又因为 cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−422ab=12，解得 a 2+b 2=20， 即 (a +b )2=28，所以 a +b =2√7，所以 △ABC 的周长为 a +b +c =2√7+4． 【知识点】余弦定理、正弦定理19. 【答案】(1) 由 bsinA =√3acosB 及正弦定理 a sinA=b sinB，得 sinB =√3cosB ， 故有 tanB =sinBcosB =√3． 即 B =π3．(2) 由 sinC =2sinA 及正弦定理 a sinA=c sinC，得 c =2a, ⋯⋯①由 b =3 及余弦定理 b 2=a 2+c 2−2accosB ， 得 9=a 2+c 2−ac, ⋯⋯② 联立①②，解得 a =√3，c =2√3． 【知识点】正弦定理、余弦定理20. 【答案】(1) △ABC 同时满足 ①，②，③． 理由如下：若 △ABC 同时满足 ①，④，则在锐角 △ABC 中， sinC =13<12， 所以 0<C <π6． 又因为 A =π3， 所以 π3<A +C <π2．所以 B >π2，这与 △ABC 是锐角三角形矛盾， 所以 △ABC 不能同时满足 ①，④， 所以 △ABC 同时满足 ②，③． 因为 c >a ，所以 C >A 若满足 ④， 则 A <C <π6，则 B >π2， 这与 △ABC 是锐角三角形矛盾，故 △ABC 不满足 ④，故 △ABC 同时满足 ①，②，③．(2) 因为 a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 所以 132=b 2+152−2×b ×15×12，解得 b =8 或 b =7． 当 b =7 时 cosC =72+132−1522×7×13<0，所以 C 为钝角，与题意不符合， 所以 b =8．所以 △ABC 的面积 S =12bcsinA =30√3． 【知识点】余弦定理、判断三角形的形状21. 【答案】(1) ① ∣∣∣1001∣∣∣=1；② ∣∣∣1326∣∣∣=1×6−2×3=0；③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣=(−2)×(−25)−5×10=0． (2) 若向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线，则 当 q ≠0⃗ 时，有 ad −bc =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=0， 当 q =0⃗ 时，有 c =d =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc =0， 所以必要性得证． 反之，若 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0，即 ad −bc =0， 当 c ，d 不全为 0 时，即 q ≠0⃗ 时， 不妨设 c ≠0，则 b =ad c，所以 p =(a,ad c)，因为 q =(c,d )，所以 p =a cq ，所以 p ∥q ， 所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线， 当 c =0 且 d =0 时，q =0⃗ ， 所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =0⃗ 共线， 充分性得证．综上，向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣ab cd ∣∣∣=0．(3) 用 b 2 和 b 1 分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减， 消去 y 得 (a 1b 2−a 2b 1)x =c 1b 2−c 2b 1, ⋯⋯① 同理，消去 x 得 (a 1b 2−a 2b 1)y =a 1c 2−a 2c 1, ⋯⋯② 所以，当 a 1b 2−a 2b 1≠0 时，即 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时， 由①②可得 x =c 1b 2−c 2b 1a 1b 2−a 2b 1=∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =a 1c 2−a 2c 1a1b 2−a 2b 1=∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣， 所以，当 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时，方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 有唯一解且 x =∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算、二阶行列式22. 【答案】(1) g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)=−√3sinx +cosx,所以 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)． (2) 向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )=sinx +√3cosx ， 因为f (x )=sinx +√3cosx =2sin (x +π3)=85,所以 sin (x +π3)=45， 因为 x ∈(−π3,π6)， 所以 x +π3∈(0,π2)， 所以 cos (x +π3)=35， 所以sinx =sin [(x +π3)−π3]=12sin (x +π3)−√32cos (x +π3)=4−3√310. (3) 由（1）知 g (x )=−√3sinx +cosx =−2sin (x −π6)，将函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 y =−2sin (12x −π6)的图象，再把整个图象向右平移 2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，则ℎ(x )=−2sin [12(x −2π3)−π6]=−2sin (12x −π2)=2cos 12x.设 P (x,2cos 12x)，因为 A (−2,3)，B (2,6)，所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +2,2cos 12x −3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,2cos 12x −6)， 又因为 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以 (x +2)(x −2)+(2cos 12x −3)(2cos 12x −6)=0， 即 x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18=0， 所以 (2cos 12x −92)2=254−x 2（*），因为 −2≤2cos 12x ≤2， 所以 −132≤2cos 12x −92≤−52，所以254≤(2cos 12x −92)2≤1694．又因为254−x 2≤254，所以当且仅当 x =0，即 (2cos 12x −92)2和254−x 2 同时等于254时，（*）式成立．所以在 y =ℎ(x ) 的图象上存在点 P (0,2)，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换、平面向量数量积的坐标运算。
解三角形平面向量综合练习
解三角形平面向量综合练习解三角形，平面向量与三角形的综合练习一、填空题，?2)，则tan2?的值为______________．1．若角?的终边经过点P(12．已知向量a与b的夹角为120，且a?b?4，那么a?b的值为________．3．已知向量a?(1,3)，b?(?2,0)，则a?b=_____________________. ?)最小正周期为，其中??0，则?? 65???????5．a,b的夹角为120，a?1,b?3，则5a?b?4．f(x)?cos(?x?6．若AB?2,AC???2BC，则S?ABC的最大值2sin2x?1???7．设x??0，?，则函数y?的最小值为．sin2x?2?，，2)b?(2，3)，若向量?a?b与向量c?(?4，?7)共线，则??．8．设向量a?(1?????????b?2且a与b的夹角为，则a?b?．9．若向量a，b满足a?1，3?310．若sin(??)?，则cos2??_________。
2511．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、 c ，若则cosA? ?3b?c?cosA?acosC，??????12已知a是平面内的单位向量，若向量b 满足b?(a?b)?0，则|b|的取值范围是。
13．.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a?3,b?3,c?30?, 则A＝. 14．关于平面向量a，b，c．有下列三个命题：。
b=a?c，则b?c．②若a?(1，k)，b?(?2，6)，a∥b，则k??3．①若a?③非零向量a和b满足|a|?|b|?|a?b|，则a与a?b的夹角为60．其中真命题的序号为．三、解答题1．已知函数f(x)?cos(2x???)?2sin(x?)sin(x?) 344??求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程 1 求函数f(x)在区间[?2．已知函数f(x)?sin求?的值；2,]上的值域122???x?3sin?xsin??x??的最小正周期为π．2???π?求函数f(x)在区间?0，?上的取值范围．3 3．已知向量m?(sinA,cosA),n?(1,?2),且m?n?0. (Ⅰ)求tanA的值；(Ⅱ)求函数f(x)?cos2x?tanAsinx(x?R)的值域. 4．已知函数f(x)=Asin(x+?)(A>0,0 2 ?2π?????????1?，?. ?32? (1) 求f(x)的解析式；(2) 已知α，β??0，?，且f(α)=????2?312，f(β)=，求f(α-β)的值. 513 5．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB?90，BD交AC于E，AB?2．求cos∠CAE的值；求AE． D ?C E B A 6．如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角?,?，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为225, 105???)的值；求??2?的值。
平面向量+解三角形 专题训练习题与答案解析汇编
第五编平面向量、解三角形
§5.1 平面向量的概念及线性运算
基础自测
1.下列等式正确的是（填序号）.
①a+0=a ②a+b=b+a ③+≠0 ④=++
答案①②④
2.如图所示，在平行四边行ABCD中，下列结论中正确的是 . ①= ②+=
③-= ④+=0
答案①②④
3.（20082广东理，8）在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延
长线与CD交于点F.若=a,=b,则= .
答案 21a+b 33D C 4.若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且AB=a，AD=b，则= .
答案 b-1a 2
1，且||=||，则这个四边形是25.设四边形ABCD中，有=
答案等腰梯形
例1 给出下列命题
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D
必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为 .
答案 4
例2 如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，
AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，
- 1 -。
提优专题(2.2)——平面向量和解三角形(解答题)(含答案)
平面向量与解三角形（解答题）1. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8a =，.3A π=(1)若2B π≠，求2cos c bB−的值； (2)求||AB AC AB AC +−⋅的最小值．2.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1sin cos .1cos 2sin 2A AB B+=+(1)求证：2;2A B π+=(2)若2223a c b ac +−，试求sin a cB b+⋅的取值范围.3.如图，某公园改建一个三角形池塘，90C ︒∠=，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且23CPB π∠=，求连廊AP PC PB ++的长(单位为百米)； (2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得DEF 为正三角形，设2S 为图②中DEF 的面积，求2S 的最小值；方案三如图③，使得EF 平行于AB ，且EF 垂直于DE ，设3S 为图③中DEF 的面积，求3S 的取值范围.4.在ABC 中，点P 为ABC 内一点．(1)若点P 为ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP ；(2)记PBC ，PAC ，PAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0A B C S PA S PB S PC ++=； (3)若点P 为ABC 的垂心，且230PA PB PC ++=，求cos .APB ∠5．已知向量(),u a b =，(),v c d =，其中(),,,0,.a b c d ∈+∞(1)若u v u v ⋅=，写出a ，b ，c ，d 之间应满足的关系式；(2)求证：()()()22222a b c d ac bd +++；(3)+的最大值，并求其取得最大值时x 的值．6. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C −是否为一个定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由．(2)记ABD 与BCD 的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在ABC ∆中，试解决以下问题：(1)G 是三角形的重心(三条中线的交点)，过点G 作一条直线分别交,AB AC 于点,.M N()i 记a,b AB AC ==，请用a,b 表示AG ；(),ii AM mAB AN nAC ==，求4m n +的最小值.(2)已知点O 是ABC ∆的外心，且1143AO AB AC =+，求cos .BAC ∠8. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3.cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+ (1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.9. 已知梯形ABCD 中，2AB DC =，AB BC 2,60ABC ︒==∠=，E 为BC 的中点，连接.AE(1)若4AF FE =，求证：B ，F ，D 三点共线； (2)求AE 与BD 所成角的余弦值；(3)若P 为以B 为圆心、BA 为半径的圆弧AC(包含A ，)C 上的任意一点，当点P 在圆弧AC(包含A ，)C 上运动时，求PA PC ⋅的的最小值．10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223.222()C B bc bsincsin b c a +=++ (1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a bm c+=的取值范围．11.对于给定的正整数n ，记集合123j {|(,,,,),,1,2,3,,}nn R x x x x x R j n αα==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，其中元素α称为一个n 维向量．特别地，0(0,0,,0)=⋅⋅⋅称为零向量．设k R ∈，12(,,,)n n a a a R α=⋅⋅⋅∈，12(,,,)n n b b b R β=⋅⋅⋅∈，定义加法和数乘：1122(,,,)n n a b a b a b αβ+=++⋅⋅⋅+，12(,,,).n k ka ka ka α=⋅⋅⋅对一组向量1α，2α，…，(,2)s s N s α+∈，若存在一组不全为零的实数1k ，2k ，…，s k ，使得11220s s k k k ααα++⋅⋅⋅+=，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． (Ⅰ)对3n =，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①(1,1,1)α=，(2,2,2)β=；②(1,1,1)α=，(2,2,2)β=，(5,1,4)γ=；③(1,1,0)α=，(1,0,1)β=，(0,1,1)γ=，(1,1,1).δ=(Ⅱ)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量αβ+，βγ+，αγ+是线性相关还是线性无关，并说明理由．(Ⅲ)已知(2)m m 个向量1α，2α，…，m α线性相关，但其中任意1m −个都线性无关，证明下列结论：(ⅰ)如果存在等式11220(,1,2,3,,)m m i k k k k R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈=⋅⋅⋅，则这些系数1k ，2k ，…，m k 或者全为零，或者全不为零；(ⅱ)如果两个等式11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，11220(,,1,2,3,,)m m i i l l l k R l R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈∈=⋅⋅⋅同时成立，其中10l ≠，则1212.m m k k k l l l ==⋅⋅⋅=12.已知OAB ，OA a =，OB b =，||2a =，||3b =，1a b ⋅=，边AB 上一点1P ，这里1P 异于,.A B 由1P 引边OB 的垂线111,PQ Q 是垂足，再由1Q 引边OA 的垂线111,Q R R 是垂足，又由1R 引边AB 的垂线122,R P P 是垂足．同样的操作连续进行，得到点n P ，n Q ，()*.n R n N ∈设()(01)n n n AP t b a t =−<<，如图所示.(1)某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：112(1)3BQ t b =−−⋅，问该同学这个结论是否正确并说明理由； (2)用n t 表示1.n t +13.射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，.D 对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值CA CB x DADB=叫做这四个有序点的交比，记作().ABCD (1)证明：()()EFGH ABCD =；(2)已知3()2EFGH =，点B 为线段AD的中点，3AC =，sin 3sin 2ACO AOB ∠=∠，求cos .A14.如图1所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，满足2BD DC =，G 是线段AB 上的点，且满足32AG GB =，线段CG 与线段AD 交于点.O (1)若AO t AD =，求实数t ；(2)如图2所示，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，设EB AE λ=，(0,0)FC AF μλμ=>>；()i 求λμ的最大值；()ii 设AEF 的面积为1S ，四边形BEFC 的面积为2S ，求21S S的取值范围．15.如图：在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60︒角，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对⟨,x y ⟩为向量OP 的坐标，记作OP =⟨,x y ⟩.在此斜坐标系xOy 中，已知ABC 满足：OA =⟨0,2⟩、OB =⟨2,1−⟩.(1)求OA OB ⋅的值；(2)若坐标原点O 为ABC 的重心(注：在斜坐标系下，若G 为ABC 的重心，依然有0GA GB GC ++=成立).①求ABC 的面积；②求满足方程11tan tan tan mA B C+=的实数m 的值．16.法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3.O(1)证明：123O O O 为等边三角形； (2)若123O O O ABCSmS= ，求m 的最小值．平面向量与解三角形1. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8a =，.3A π=(1)若2B π≠，求2cos c bB−的值； (2)求||AB AC AB AC +−⋅的最小值．【答案】(1)因为8a =，3A π=，所以sin sin sin b c a B C A ===所以b B =，)8cos c C A B B B =+=，则216.cos c b B −== (2)由222222cos a b c bc A b c bc =+−=+−， 得2264.b c bc +=+因为222b c bc +，所以22642b c bc bc +=+， 所以64bc ，当且仅当8b c ==时，取等号， 2||()AB AC AB AC +=+222AB AC AB AC ++⋅22b c bc =++=，12AB AC bc ⋅=，令t 883t <，则21322bc t =−，则2211||16(2)1744AB AC AB AC t tt +−⋅=−+=−−+，因为883t <，所以2132(2)1784t −−−+<，所以||AB AC AB AC +−⋅的最小值为32.【解析】本题考查利用正弦定理解三角形，利用余弦定理解决范围问题.(1)先利用正弦定理分别求出b ，c ，再根据三角形内角和定理将C 用B 表示，再将所求化简即可得解;(2)利用余弦定理结合可得2264b c bc +=+，结合基本不等式求出bc的范围，计算可得1||64.2AB AC AB AC bc +−⋅=令t =.2.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1sin cos .1cos 2sin 2A AB B+=+(1)求证：2;2A B π+=(2)若2223a c b ac +−，试求sin a cB b+⋅的取值范围. 【答案】证明：(1)原式化简得：21sin cos sin sin sin cos cos 2cos 2sin cos A AB A B A B B B B+=⇔+=，即sin cos()B A B =+，cos()cos()2B A B π∴−=+，(0,)2A B π+∈，(0,)22B ππ−∈， 2B A B π∴−=+，即2.2A B π+=(2)由22222A B A B A B C C B ππππ⎧=−⎧⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪++==+⎩⎪⎩且04B π<<，由余弦定理，2223a c b ac +−变为223cos 22a cb B ac+−=， 62B ππ∴<， 又04B π<<，;64B ππ∴<由正弦定理，sin sin sin sin sin a c A CB B b B++⋅=⋅ 2219sin sin cos 2cos 2cos cos 12(cos )48A C B B B B B =+=+==+−=+−，cos (2B ∈∴由二次函数值域，可得sina c B b+⋅的范围为【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形，三角恒等变换的应用，余弦型函数的值域，二次函数的性质等知识点，属于较难题.3.如图，某公园改建一个三角形池塘，90C ︒∠=，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC的顶点，且23CPB π∠=，求连廊AP PC PB ++的长(单位为百米)；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得DEF 为正三角形，设2S 为图②中DEF 的面积，求2S 的最小值；方案三如图③，使得EF 平行于AB ，且EF 垂直于DE，设3S 为图③中DEF 的面积，求3S 的取值范围.【答案】(1)解：因为点 P 是等腰三角形 PBC 的顶点，且 23CPB π∠= ， 1BC = ， 所以 6PCB π∠=，PC PB =，由余弦定理可得， 222cos C 2PB PC BC PB PB PC +−∠=⋅ ，解得PC = ， 又因为 2ACB π∠=，故 3ACP π∠=， 在 Rt ACB 中， 2AB = ， 1BC = ，所以AC == ，在 ACP 中，由余弦定理可得， 2222cos3AP AC PC AC PC π=+−⋅⋅ ，解得3AP =， 故AP PC PB ++=+=， 所以连廊 AP PC PB ++ 的长为百米． (2)解：设图②中的正 DEF 的边长为 a ， (0)2CEF παα∠=<< ，则 sin CF a α= ，sin AF a α=− ， 设 1EDB ∠=∠ ， 则 213B DEB DEB ππ∠=−∠−∠=−∠ ， 233DEB DEB ππαπ=−−∠=−∠ ，所以 2133ADF πππα∠=−−∠=− ， 在 ADF 中，由正弦定理可得，sin sin DF AFA ADF=∠∠ ，即sin 2sinsin()63aa αππα−=− ， 即21sin()sin 32a a παα−=−， 即32177a ===(其中 θ 为锐角，且tan θ= ，所以 222133sin 60247Sa =︒⨯=， 即 ()2min S = ； 图③中，设 BE x = ， (0,1)x ∈ ， 因为 //EF AB ，且 EF DE ⊥ ，所以 3FEC π∠= ， 6DEB π∠= ， 2EDB π∠= ，所以 cos 62DE x x π== ，222cos3CE EF CE xπ===− ，所以22111(22)))222DEFSEF DE x x x x =⋅⋅=⋅−=−+=−+， 所以当 12x = 时， DEF S 取得最大值8 ，无最小值，即DEF S ⎛∈ ⎝⎦， 故3.S ⎛∈ ⎝⎦【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解决距离问题、利用正弦定理解决范围与最值问题，属于较难题.(1)先由 PBC 中的余弦定理求出 PC ，再由 APC 中的余弦定理求出 AP ，即可得到答案；(2)设图②中的正 DEF 的边长为 a ， (0)2CEF παα∠=<<，图③中，设 BE x = ， (0,1)x ∈ ，分别表示出方案②和方案③中的面积，利用三角函数的性质以及二次函数的性质求解最值即可．4.在ABC 中，点P 为ABC 内一点．(1)若点P 为ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP ；(2)记PBC ，PAC ，PAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0A B C S PA S PB S PC ++=； (3)若点P 为ABC 的垂心，且230PA PB PC ++=，求cos .APB ∠【答案】解：(1)由题意，不妨设BC 边上的中点为点D ，所以23AP AD =，又1()2AD AB AC =+，所以，11.33AP AB AC =+(2)证明：令A B C S S S S =++，则B CS S AP AD S +=||||||||C B B C B C S S DC DB AD AB AC AB AC S S S S BC BC =+=+++()()C B S SAP AP PB AP PC S S=+++，则0B C A S PB S PC S AP +−=，所以0A B C S PA S PB S PC ++=；(3)因为P 是ABC 的垂心，230PA PB PC ++=， 所以由(2)易知，::1:2:3.A B C S S S =记ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则1tan 2:1tan 2A B FC PC BFBF A AF S S FC AF B PC AF BF⋅====⋅，同理:tan :tan B C S S B C =，所以，tan :tan :tan 1:2:3A B C =，又tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B −−=−+=−，所以，2tan 2tan 3tan 12tan A AA A−−=−， 即tan 1A =或1−，又tan A ，tan B ，tan C 同号，所以tan 1A =，所以tan 3C = 又四边形CDPE 中，因为P 是ABC 的垂心，所以90CDP CEP ∠=∠=︒， 所以，180DPE C ∠+∠=︒，又DPE APB ∠=∠，所以，180APB C ∠+∠=︒，所以，tan tan 3APB C ∠=−=−，即cos 10APB ∠=−【解析】本题考查向量的线性运算，向量的几何应用，属于难题. (1)根据向量的线性运算化简即可；(2)利用面积与边长的比例关系化简整理即可；(3)利用(2)的结论得出A ，B ，C 的关系，结合正切的和差角公式计算即可. 5．已知向量(),u a b =，(),v c d =，其中(),,,0,.a b c d ∈+∞(1)若uv u v ⋅=，写出a ，b ，c ，d 之间应满足的关系式； (2)求证：()()()22222a b c d ac bd +++；(3)23x −的最大值，并求其取得最大值时x 的值． 【答案】解：(1)由向量(),u a b =，(),v c d =，得2222,,u v ac bd u a b v c d ⋅=+=+=+， 因为u v u v ⋅=，所以()()()22222ac bd a b c d +=++，即2222222222222a c abcd b d a c a d b c b d ++=+++，所以22222abcd a d b c =+，即()20ad bc −=， 所以0ad bc −=；(2)因为cos ,u v ac bd u v u v ⋅=+=， 而cos ,1u v，所以()222222,ac bd u v cos u vu v +=，当且仅当cos ,1u v =，即//u v 时取等号，所以()()()22222a b c d ac bd +++；(3)由413030x x +⎧⎨−⎩可得1334x −，当3x =5==，当134x =−5+==， 当1334x −<<时，由(2)可得，()11x=+=⎡⎣，，即18x =−时，取等号，+的最大值为1.8x =−【解析】本题考查向量数量积的坐标运算，向量模的坐标表示，利用向量的数量积证明等式. (1)根据数量积得坐标运算及平面向量的模的坐标公式计算即可得出结论； (2)根据cos ,u v ac bd u v u v ⋅=+=，结合余弦函数的值域即可得证；(3)利用(2)中的结论即可得出答案.6. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C −是否为一个定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由．(2)记ABD 与BCD 的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．【答案】解：(1)法一：在ABD 中，由余弦定理得222cos 2AD AB BD A AD AB+−=⋅，即222cosA =2168BD A −=①，同理，在BCD 中，22222cos 222BD C +−=⨯⨯，即28cos 8BD C −=②，①-cos 1A C −=，所以当BD cos A C −为定值，定值为1；法二：在ABD 中，由余弦定理得2222cos BD AD AB AD AB A =+−⋅即222222cos BD A =+−⨯⨯，即216BD A =−， 同理，在BCD 中，2222cos 88cos BD CD CB CD CB C C =+−⋅=−，所以1688cos A C −=−，1cos A C −=，即cos 1A C −=，所以当BD cos A C −为定值，定值为1；222222221211(2)44S S AB AD sin A BC CD sin C +=⋅⋅+⋅⋅ 22221241244sin A sin C sin A cos C =+=+−221241)sin A A =+−−22412cos A A =−++， 令)cos ,1,1A t t =∈−，所以2224122414y t t ⎛=−++=−+ ⎝⎭，所以6t =，即cos A =时，2212S S +有最大值为14.【解析】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式，属于较难题.(1)法一：在ABD 2168BD A −=，在BCD 中由余弦定理得28cos 8BD C −=，两式相减可得答案；法二：在ABD 中由余弦定理得216BD A =−，在BCD 中由余弦定理得288cos BD C =−，两式相减可得答案；(2)由三角形面积公式可得222122412S S cos A A +=−++，令()cos ,1,1A t t =∈−转化为二次函数配方求最值即可．7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在ABC ∆中，试解决以下问题：(1)G 是三角形的重心(三条中线的交点)，过点G 作一条直线分别交,AB AC 于点,.M N()i 记a,b AB AC ==，请用a,b 表示AG ； (),ii AM mAB AN nAC ==，求4m n +的最小值.(2)已知点O 是ABC ∆的外心，且1143AO AB AC =+，求cos .BAC ∠ 【答案】解：(1)()i 设D 是BC 中点，则1()2AD a b =+，重心是中线靠近边的三等分点，21()33AG AD a b ∴==+；1111()3333ii AG AB AC AM AN m n=+=+，M ，G ，N 三点共线，G 在线段MN 上，则111(0,0)33m n m n+=>>， 1111414(4)()(5)(523333m n m n m n m n n m ∴+=++=+++=，当且仅当21n m ==时取等号，4m n ∴+的最小值为3； (2)由1143AO AB AC =+可知点O 在ABC 的内部，如图所示，取AB 的中点P ，AC 的中点Q ，由外心性质可知OP AB ⊥，OQ AC ⊥，从而212AO AB AP AB c ⋅=⋅=，即2111()432AB AC AB c +⋅=，所以22111cos 432c bc BAC c +⋅∠=，故11cos 34b BACc ⋅∠=， 同理，由212AO AC AQ AC b ⋅=⋅=可得11cos 46c BAC b ⋅∠=，联立11cos ,3411cos ,46b BAC c c BAC b ⎧⋅∠=⎪⎪⎨⎪⋅∠=⎪⎩得cos 2BAC ∠=【解析】本题考查了平面向量基本定理，余弦定理，基本不等式的应用，属于综合题． (1)()i 根据重心的定义以及平面向量基本定理可表示AG ；()ii 平面向量基本定理结合基本不等式可得结果；(2)由外心性质可得关于cos BAC ∠的方程，解方程可得cos .BAC ∠8. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3.cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+ (1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.【答案】解：3(1)cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+， ()()cos cos cos cos cos 3cos .b C c B A a B C A ∴+=+由正弦定理得(sin cos cos sin )cos sin (cos cos 3cos ).B C B C A A B C A +=+ ()()sin cos sin cos cos 3cos .B C A A B C A ∴+=+ 因为0A π<<，则sin 0A >，A B C π++=，()sin sin B C A ∴+=，则()cos cos sin sin cos cos A B C B C B C =−+=−，所以，cos cos cos 3cos A B C A =+，即2cos cos cos 0A B C +=， 所以，()2sin sin cos cos cos cos 0B C B C B C −+=，2sin sin cos cos B C B C ∴=，即1tan tan .2B C =(2)由(1)得1tan tan .2B C =若tan 0tan 0B C <⎧⎨<⎩，则B 、C 均为钝角，则B C π+>，矛盾， 所以，tan 0B >，tan 0C >，此时B 、C 均为锐角，合乎题意，tan tan tan tan ()2(tan tan )4tan tan tan1B CA B C B C B C +∴=−+==−+−−=−当且仅当tan tan 2B C ==时，等号成立，且A 为钝角. tan 22A −，则()tan 22A π−，且A π−为锐角，由()()()()()()()22sin tan 22cos 1cos 0sin 0A A A sin A cos A A A πππππππ−⎧−=⎪−⎪⎪−+−=⎨⎪−>⎪⎪−>⎩，解得()22sin 3A π−，即22sin 3A ，当且仅当tan tan 2B C ==时，等号成立， 3bc =，13322sin sin 2223S bc A A ∴==⨯=因此，ABC【解析】本题主要考查正弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形面积公式，属于较难题. (1)利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出2sin sin cos cos B C B C =，即可求得tan tan B C 的值；(2)分析可知B 、C 均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出tan 22A −，求出sin A 的最小值，即可求得S 的最小值.9. 已知梯形ABCD 中，2AB DC =，AB BC 2,60ABC ︒==∠=，E 为BC 的中点，连接.AE(1)若4AF FE =，求证：B ，F ，D 三点共线； (2)求AE 与BD 所成角的余弦值；(3)若P 为以B 为圆心、BA 为半径的圆弧AC(包含A ，)C 上的任意一点，当点P 在圆弧AC(包含A ，)C 上运动时，求PA PC ⋅的的最小值．【答案】解：(1)如图1，12BD BC CD BC BA =+=+1111111()()2525252BF BE EF BC EA BC EB BA BC BC BA =+=+=++=+−+2155BC BA =+25BF BD ∴=又点B 是公共点，B ∴，F ，D 三点共线.(2)如图1，2222211||()422cos601724BD BD BC BA BC BC BA BA ︒==+=+⋅+=+⨯⨯+= ||7BD ∴=12AE AB BE BC BA =+=− 2222211||()122cos604324AE AE BC BA BC BC BA BA ︒∴==−=−⋅+=−⨯⨯+=||3AE ∴=2211113()()22224AE BD BC BA BC BA BC BA BC BA ⋅=−⋅+=−−⋅11334422cos602242︒=⨯−⨯−⨯⨯⨯=− cos AE ∴<，3||||37AE BD BD AE BD −⋅>===⋅⨯(3)如图2，PA BA BP =−，PC BC BP =−2()()()PA PC BA BP BC BP BA BC BP BA BP BC BP ∴⋅=−⋅−=⋅+−⋅+⋅ 设ABP θ∠=，[0,]3πθ∈，则3CBPπθ∠=−，22cos 422cos 22cos()33PA PC ππθθ⋅=⨯⨯+−⨯⨯−⨯⨯− 64cos 4(coscos sinsin )6)333πππθθθθ=−−+=−+[0,]3πθ∈，∴当6πθ=时，min ()6PA PC ⋅=−【解析】本题考查平面向量和三角函数的综合应用，属于拔高题.(1)利用平面向量的线性运算求得25BF BD =，即可求证三点共线；(2)求出||BD 、||AE 和AE BD ⋅，由夹角公式即可求解;(3)设ABP θ∠=，[0,]3πθ∈，求出6)3PA PC πθ⋅=−+，利用三角函数的性质即可求解.10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223.222()C B bc bsincsin b c a +=++ (1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a bm c+=的取值范围． 【答案】解：(1)由22(1cos )(1cos )cos cos 222222C B b C c B b c b C c B bsincsin −−+++=+=− 22222212222222b c a b c a c b b c a b c aa a⎛⎫++−+−++−=−+=−= ⎪⎝⎭， 所以322()b c a bcb c a +−=++，可得22()3b c a bc +−=， 则222b c a bc +−=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +−===，又(0,)A π∈，解得3A π=；(2)由正弦定理得21sin ()cos sin sin sin 23222sin sin sin C C C A B m C C Cπ+−+++===2cos )1111222sin 22222sin cos 2sin2tan 2222C C C C C C C C +=+=+=+=+，因为c a >，所以3C π>，又23B C π+=，所以233C ππ<<，所以623C ππ<<tan 2C<<1tan2C<<， 所以12m <<，则a bm c+=的取值范围为(1,2).【解析】本题，考查利用余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围问题，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题.(1)利用降幂公式化简，再根据余弦定理即可求解；(2)根据正弦定理及三角恒等变换将a b m c +=可化为122tan 2m C =+，结合233C ππ<<即可求出m 的取值范围. 11.(本小题12分)对于给定的正整数n ，记集合123j {|(,,,,),,1,2,3,,}nn R x x x x x R j n αα==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，其中元素α称为一个n维向量．特别地，0(0,0,,0)=⋅⋅⋅称为零向量．设k R ∈，12(,,,)n n a a a R α=⋅⋅⋅∈，12(,,,)n n b b b R β=⋅⋅⋅∈，定义加法和数乘：1122(,,,)n n a b a b a b αβ+=++⋅⋅⋅+，12(,,,).n k ka ka ka α=⋅⋅⋅对一组向量1α，2α，…，(,2)s s N s α+∈，若存在一组不全为零的实数1k ，2k ，…，s k ，使得11220s s k k k ααα++⋅⋅⋅+=，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． (Ⅰ)对3n =，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①(1,1,1)α=，(2,2,2)β=；②(1,1,1)α=，(2,2,2)β=，(5,1,4)γ=；③(1,1,0)α=，(1,0,1)β=，(0,1,1)γ=，(1,1,1).δ=(Ⅱ)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量αβ+，βγ+，αγ+是线性相关还是线性无关，并说明理由．(Ⅲ)已知(2)m m 个向量1α，2α，…，m α线性相关，但其中任意1m −个都线性无关，证明下列结论：(ⅰ)如果存在等式11220(,1,2,3,,)m m i k k k k R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈=⋅⋅⋅，则这些系数1k ，2k ，…，m k 或者全为零，或者全不为零；(ⅱ)如果两个等式11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，11220(,,1,2,3,,)m m i i l l l k R l R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈∈=⋅⋅⋅同时成立，其中10l ≠，则1212.m m k k k l l l ==⋅⋅⋅= 【答案】(Ⅰ)解：对于①，设120k k αβ+=，则可得1220k k +=，所以,αβ线性相关； 对于②，设1230k k k αβγ++=，则可得{12312312325020240k k k k k k k k k ++=++=++=，所以1220k k +=，30k =，所以,,αβγ线性相关；对于③，设12340k k k k αβγδ+++=，则可得{124134234000k k k k k k k k k ++=++=++=，解得123412k k k k ===−，所以,,,αβγδ线性相关；(Ⅱ)解：设123()()()0k k k αββγαγ+++++=，则131223()()()0k k k k k k αβγ+++++=，因为向量α，β，γ线性无关，所以{131223000k k k k k k +=+=+=，解得1230k k k ===， 所以向量αβ+，βγ+，αγ+线性无关，(Ⅲ)证明：(ⅰ1122)0m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，如果某个0i k =，1i =，2，⋯，m ，则112211110i i i i m m k k k k k ααααα−−+++++++⋅⋅⋅+=，因为任意1m −个都线性无关，所以1k ，2k ，⋯1i k −，1i k +，⋅⋅⋅，m k 都等于0， 所以这些系数1k ，2k ，⋅⋅⋅，m k 或者全为零，或者全不为零，(ⅱ)因为10l ≠，所以1l ，2l ，⋅⋅⋅，m l 全不为零，所以由11220m m l l l ααα++⋅⋅⋅+=可得21211m m l l l l ααα=−−⋅⋅⋅−，代入11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=可得2122211()0m m m m l l k k k l l αααα−−⋅⋅⋅−++⋅⋅⋅+=，所以2122111()()0m m m l l k k k k l l αα−++⋅⋅⋅+−+=， 所以21210l k k l −+=，⋯，110m m l k k l −+=，所以1212.m mk k k l l l ==⋅⋅⋅= 【解析】本题主要考查平面向量的综合运用，新定义概念的理解与应用等知识，属于较难题． (Ⅰ)根据定义逐一判断即可；(Ⅱ)设123()()()0k k k αββγαγ+++++=，则131223()()()0k k k k k k αβγ+++++=，然后由条件得到1230k k k ===即可；(Ⅲ)(ⅰ)如果某个0i k =，1i =，2，⋯，m ，然后证明1k ，2k ，⋯1i k −，1i k +，⋅⋅⋅，m k 都等于0即可；(ⅱ)由11220m m l l l ααα++⋅⋅⋅+=可得21211m m l ll l ααα=−−⋅⋅⋅−，然后代入11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=证明即可．12.(本小题12分)已知OAB ，OA a =，OB b =，||2a =，||3b =，1a b ⋅=，边AB 上一点1P ，这里1P 异于,.A B 由1P 引边OB 的垂线111,PQQ 是垂足，再由1Q 引边OA 的垂线111,Q R R 是垂足，又由1R 引边AB 的垂线122,R P P 是垂足．同样的操作连续进行，得到点n P ，n Q ，()*.n R n N ∈设()(01)n n n AP t b a t =−<<，如图所示.(1)某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：112(1)3BQ t b =−−⋅，问该同学这个结论是否正确并说明理由；(2)用n t 表示1.n t +【答案】解：(1)该同学的结论正确，证明如下：由已知，得||3AB =，||3OB =，||2OA =，由余弦定理知222||||||2cos 32||||2OB AB OA ABO OB AB+−∠===， 又111||||3AP t b a t =−=，则111||||||33BP AB AP t =−=−，11112||||cos )(1)||3BQ BP ABO t t b ∴=⋅∠=−=−， 即112(1)3BQ tb =−−⋅；(2)由已知1cos ||||2a b AOB a b ⋅∠===⋅⨯，||||3OB AB ==，cos BAO ∴∠=1||||cos (2||)n n nAP AR BAO OR +∴=⋅∠=−|cosn OQ AOB =⋅∠1||)6n BQ =−⋅1||cos 66n BP ABO =+⋅∠1||)69n AP =+⋅ 1||9n AP =⋅， 即151||3||189n n t b at b a +−=−−1n +=， 115.918n n t t +∴=−+【解析】本题考查了向量的数量积、向量的夹角，涉及余弦定理及数列的递推关系，属于较难题. (1)由余弦定理结合向量条件求出cos ABO ∠即可证得．(2)由向量的夹角先求出cos AOB ∠，再求出151||3||189n n AP AP +=−⋅，即可解答.13.(本小题12分)射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，.D 对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值CACB x DA DB=叫做这四个有序点的交比，记作().ABCD(1)证明：()()EFGH ABCD =；(2)已知3()2EFGH =，点B 为线段AD 的中点，3AC =，sin 3sin 2ACO AOB ∠=∠，求cos .A【答案】解：(1)由题意，在AOC ，AOD ，BOC ，BOD 中，1sin sin 21sin sin 2AOC BOC OA OC AOCS CA OA AOCCB S OB BOCOB OC BOC ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 1sin sin 21sin sin 2AOD BOD OA OD AODS DA OA AODDB S OB BODOB OD BOD ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠，则sin sin sin sin ()sin sin sin sin OA AOC OB BOD AOC BODCB ABCD DA OB BOC OA AOD BOC AOD DB⋅∠⋅∠∠⋅∠==⋅=⋅∠⋅∠∠⋅∠①又，在EOG ，EOH ，FOG ，FOH 中，1sin sin 21sin sin 2EOG FOG OE OG EOGS GE OE EOGGF S OF FOGOF OG FOG ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 1sin sin 21sin sin 2EOH FOH OE OH EOHS HE OE EOHHF S OF FOHOF OH FOH ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 则sin sin sin sin ()sin sin sin sin GEOE EOG OF FOH EOG FOHGF EFGH HE OF FOG OE EOH FOG EOH HF⋅∠⋅∠∠⋅∠==⋅=⋅∠⋅∠∠⋅∠②，又EOG AOC ∠=∠，FOH BOD ∠=∠，FOG BOC ∠=∠，EOH AOD ∠=∠，由①②可得，sin sin sin sin sin sin sin sin AOC BOD EOG FOHBOC AOD FOG EOH∠⋅∠∠⋅∠=∠⋅∠∠⋅∠，即()()EFGH ABCD =(2)由题意3()2EFGH =，由(1)可知，3()2ABCD =，则32CACB DA DB =，即3.2CA DB CB DA =，又点B 为线段AD 的中点，即12DB DA =， 故3CACB=，又3AC =，则2AB =，1BC =， 设OA x =，OC y =，且OB =，由ABO CBO π∠=−∠可知，coscos 0ABO CBO ∠+∠=， 2222220=，解得22215x y +=③，又在AOB 中，利用正弦定理可知，sin sin AB xAOB ABO =∠∠④，在BOC 中，利用正弦定理可知，sin sin OByBCO CBO=∠∠⑤，且sin sin ABO CBO ∠=∠，则④⑤可得，sin 3sin 2x AB BCOy AOB OB ∠=⋅==∠，即x =⑥， 由③⑥解得，3x=，y =，即3OA =，OC =，则222222325cos .22326OA AB OB A OA AB +−+−===⋅⨯⨯【解析】本题考查新定义问题，正，余弦定理的综合应用，三角形面积公式，属于较难题.(1)由题意，结合新定义可得sin sin ()sin sin CAAOC BODCB ABCD DA BOC AOD DB∠⋅∠==∠⋅∠①，同理sin sin ()sin sin EOG FOHGF EFGH HE FOG EOH HF∠⋅∠==∠⋅∠②，再利用角相等，即可证明；(2)结合(1)中的结论，利用正余弦定理，逐步分析求解即可. 14.(本小题12分)如图1所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，满足2BD DC =，G 是线段AB 上的点，且满足32AG GB =，线段CG 与线段AD 交于点.O(1)若AO t AD =，求实数t ；(2)如图2所示，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，设EB AE λ=，(0,0)FC AF μλμ=>>；()i 求λμ的最大值；()ii 设AEF 的面积为1S ，四边形BEFC 的面积为2S ，求21S S 的取值范围． 【答案】解：(1)依题意，因为2BD DC =，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+，因为G 、O 、C 三点共线所以存在实数m 使得GO mOC =，所以111m AO AC AG m m=+++， 因为32AG GB =，所以11211115m m AO AC AG AC AB m m m m =+=+⨯++++， 又因为AO t AD =，所以22135(1)31mt t m m ⎧==⎨++⎩，解得：12t =，15m =综上所述，1.2t =(2)证明：()i 根据题意(1)AB AE EB AE AE AE λλ=+=+=+，同理可得：(1)AC AF μ=+，由(1)可知，111236AO AD AB AC ==+，所以1136AO AE AF λμ++=+， 因为E ，O ，F 三点共线，所以存在实数n ，使得EO nEF =所以(1)AO n AE nAF =−+ 所以11136n n λμ++⎧−==⎨⎩， 化简得23λμ+=， 又因为0λ>，0μ>所以21129(2)()2228λμλμλμ+==，当且仅当322λμ==，即34λ=，32μ=时等号成立. ()ii 根据题意，11||||sin 2S AE AF BAC =∠，211(1)||(1)||sin ||||sin 22S AE AF BAC AE AF BAC λμ=++∠−∠，所以2111(1)||(1)||sin ||||sin 22(1)(1)11||||sin 2AE AF BAC AE AF BAC S S AE AF BAC λμλμ++∠−∠==++−∠， 由()i 可知23λμ+=，则320μλ=−>，所以302λ<<，所以2221172232()22S S λλλ=−++=−−+，易知，当12λ=时，21S S 有最大值7.2则2137(,].22S S ∈ 【解析】本题主要考查平面向量的基本定理，考查三角形的面积，考查二次函数的最值，利用基本不等式求最值，属于较难题.(1)由题知2133AD AB AC =+，12115m AO AC AB m m =+⨯++，根据AO t AD =，化简即可；(2)()i 根据题意(1)AB AE λ=+，(1)AC AF μ=+，根据E ，O ，F 三点共线，存在实数n ，使得EO nEF =，有(1)AO n AE nAF =−+，化简可得23λμ+=，利用基本不等式即可得解；()ii 根据题意，11||||sin 2S AE AF BAC =∠，211(1)||(1)||sin ||||sin 22S AE AF BAC AE AF BAC λμ=++∠−∠，所以221172()22S S λ=−−+，利用二次函数的最值即可得解. 15.(本小题12分)如图：在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60︒角，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对⟨,x y ⟩为向量OP 的坐标，记作OP =⟨,x y ⟩.在此斜坐标系xOy中，已知ABC 满足：OA =⟨0,2⟩、OB =⟨2,1−⟩.(1)求OA OB ⋅的值；(2)若坐标原点O 为ABC 的重心(注：在斜坐标系下，若G 为ABC 的重心，依然有0GA GB GC ++=成立).①求ABC 的面积；②求满足方程11tan tan tan mA B C+=的实数m 的值． 【答案】解：(1)由题知，22OA e =，122OB e e =−，则22121222(2)424cos6020;OAOB e e e e e e ︒⋅=⋅−=⋅−=−=(2)①由题知，O 为ABC 的重心，则OAB 的面积为ABC 面积的13，由(1)知OA OB ⊥，又||2OA =，212||(2)4OB e e =−==则ABC 面积为1322ABCS=⨯⨯=②由①知，2,1OC OA OB =−−=<−−>，则2,3BA OA OB =−=<−>，4,0BC OC OB =−=<−>，2,3AC OC OA =−=<−−>，则212||(23)4BA e e =−+==||4BC =，212||(23)4AC e e =−−=设AB c =，AC b =，BC a =， 则由11tan tan tan mA B C+=，结合正弦、余弦定理化简得： 11sin cos cos tan ()()tan tan cos sin sin C A Bm C A B C A B=+=+ sin cos sin cos sin sin sin()cos sin sin cos sin sin C A B B A C A B C A B C A B ++=⋅=⋅ 22222sin 12sin sin cos C c ab A B C ab a b c =⋅=⋅+− 22222271161972c a b c ⨯===+−+−， 故1.2m =【解析】本题考查了余弦定理、三角形面积公式和向量的数量积，属于较难题.(1)先得出OA =⟨0,2⟩22e =，OB =⟨2,1−⟩122e e =−，由向量的数量积计算可得结果；(2)①OA =⟨0,2⟩，OB =⟨2,1−⟩，O 为ABC 的重心，则OAB 的面积为ABC 面积的13，计算面积即可；②易得11()tan tan tan m C A B=+⋅，由三角恒等变换和余弦定理化简可得结果. 16.(本小题12分)法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3.O(1)证明：123O O O 为等边三角形；(2)若123O O O ABCSmS= ，求m 的最小值．【答案】解：(1)如图，连接 1AO ， 3AO ，则13AO =，33AO =， 133O AO A π∠=+在 13O AO 中，由余弦定理得： 222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+−⋅⋅∠ ， 即22222132cos 32cos 33333b c bc A b c bc O O A ππ⎛⎫+−+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+−⋅⋅+= ⎪⎝⎭2212cos 23b c bc A A ⎛⎫+−⨯ ⎪ ⎪⎝⎭==22222222sin 2sin 363b c a b c Aa b c A+−+−+++==+ 同理可得222212sin 6a b c O O B ++= ，sin sin a bA B= ， sin sin a B b A ∴= ， 1213O O O O ∴= .同理： 1223O O O O = ，即 123O O O为等边三角形.12322213cos sin (2)sin 4432O O O b c bc A A m SO O bc A +−+=⨯=⨯=)()21sin cos sin b c m A A A c bϕ∴+−+=+，(其中sin ϕ=，cos ϕ=，22b c b c c b cb+⨯= ， )max21sin cos m A A ⎤−+=⎦， 12 ，解得： 1m当且仅当 3A π=， b c = 时 m 取到最小值1.【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，考查三角形的面积公式，属于难题.(1)连接 1AO ， 3AO ，在 13O AO 中，由余弦定理可求出 13O O，同理可得 12O O ，再结合正弦定理即可证明 1213O O O O = ，同理可得 1223OO O O = ；(2)由 123O O O ABCSmS= 化简可得 ()sin b c A c b ϕ+=+ ，再由基本不等式求出 b c c b+ 的最小值，即可求出m 的最小值.。
高一数学必修二《平面向量》单元综合测试卷(答案)
高一数学必修二《平面向量》单元综合测试卷(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)【答案】 A2．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C ．53D ．32【答案】 A3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2 【答案】 D4．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【答案】 B5．已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】 C6．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】 D7．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( )A ．0B ．2C ．5D ．25【答案】 C8.已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43b 【答案】 B9．设非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】 B10．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE →·AB →＝1，则AE →·AC →的值为( )A ．3B ．2C ．32D ．33【答案】 B11．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)【答案】 B12．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.【答案】 －614．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【答案】 －315．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．【答案】 －516．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．因为0°<θ<120°，所以－12<cos θ<1，所以13<|c|<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)．(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示； (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．【解】 (1)m ＝8时，OC →＝(8,3)，设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎨⎧ 2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝－3，λ2＝143，∴OC →＝－3OA →＋143OB →. (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，则有AB →与AC →不共线，又AB →＝OB →－OA →＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(m,3)－(2，－1)＝(m －2,4)，则有1×4－(m －2)×1≠0，∴m ≠6.19．(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB →＝4i －2j ，AC →＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四边形ABCD 的面积．【解】 因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0，所以AB →⊥AD →.又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j ＝AB →＋AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形，又AB →⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形，所以S 四边形ABCD ＝|AB →|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.20．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ； (2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角． 【解】 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.∵|a |＝5，|b |＝52，∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝180°.21．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.22．(本小题满分12分)已知⊙O 的直径为10，AB 是⊙O 的一条直径，长为20的线段MN 的中点P 在⊙O 上运动(异于A ，B 两点)．(1)求证：AM →·BN →与点P 在⊙O 上的位置无关；(2)当MN →与AB →的夹角θ取何值时，AM →·BN →有最大值？【解】 (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，P 为圆上一点，∴AP ⊥BP ，∴AP →⊥BP →，即AP →·BP →＝0.∵P 为MN 的中点，且|MN →|＝20，∴MP →＝PN →，|MP →|＝|PN →|＝10，∴AM →·BN →＝(AP →＋PM →)·(BP →＋PN →)＝(AP →－PN →)·(BP →＋PN →)＝AP →·BP →＋AP →·PN →－PN →·BP →－PN →·PN →＝PN →·(AP →－BP →)－100＝12MN →·AB →－100，∴AM →·BN →仅与MN →，AB →的夹角有关，而与点P 在⊙O 上的位置无关．(2)由(1)得，AM →·BN →＝12MN →·AB →－100＝100cos θ－100. ∵0≤θ≤π，∴当θ＝0时，AM →·BN →取得最大值0.。
平面向量及其应用单元测试题含答案
一、多选题1 .己知口5忑是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（） A. 因5防|B.若出6 =。
6且则5=5c.两个非零向量a, 6,若I 万-5I =I 万i + ibi,则后与B 共线且反向D.已知5 = （1,2）, 5 = （1,1）,且万与5 + /1〃的夹角为锐角，则实数丸的取值范围是 5 ,4-00 1 3 J2 .给出下列结论，其中真命题为（）A .若7囚=0’ 则6=0B .向量3、B 为不共线的非零向量，则（£ 3）=7万3 .若非零向量［、B 满足,+5『=|浦+ ］邛，则［与B 垂直D .若向量£、B 是两个互相垂直的单位向量，则向量i+B 与的夹角是巳 23.在△48C 中，点E, F 分别是边8c 和4c 上的中点，P 是AE 与8F 的交点，则有（） A. AE = ^AB+^ACB. 6 = 2升乙乙-> 1 -> 1 ->T 2 T 2 TC. CP = — CA+ — CBD. CP = —CA T ——CB3 3334.设P 是△A6C 所在平面内的一点，血+/=3衣则（） B . PB +PC = 6D. PA + PB + PC = 05 .在△△6c 中，内角4、8、C 所对的边分别为a 、b 、c,不解三角形，确定下列判断错 误的是（） A. 8=60。
，c=4, b = 5,有两解 B. 8=60% c=4, b=3.9,有一解 C. 8=60。
，c=4, b=3,有一解 D. 8 = 60°, c=4, b = 2,无解6 .下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.已知4、8、C 是平面中三点，若加,微不能构成该平面的基底，则4、8、C 共线 8 .若 4 ・ B B • C 且 5 H 。
,则 4 = c c.若点G 为加sc 的重心，则G 4+G 月+G 3 = 6D.已知£ = （1,-2）,石二（2瓜），若£, B 的夹角为锐角，则实数人的取值范围为义<1A. PA + PB = o C ・ PA + AB = PB7.在中，。
平面向量测试题及答案
平面向量测试题及答案【篇一：平面向量单元测试与答案】1．已知△abc的三个顶点a、b、c及所在平面内一点p满足pa?pb?pc?ab，则点p与△abc的关系为( )a．p在△abc内部b．p在△abc外部 c．p在ab边所在直线上 d. p在△abc的ac边的一个三等分点上2．已知向量op?(1,1),op?(4,?4)，且p2点分有向线段pp 所成的比为－2，则op的坐标是112( )a．(?53532,2)b．(2,?2)c．（7，－9） d．（9，－7） 3．设?i,?j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，op?3cos??i?3sin??j，??(0,??2),oq??i。
若用?来表示op与oq的夹角，则?等于a．?b．?2??c．?2??d．???5．设平面上有四个互异的点a、b、c、d，已知（db?dc?2da)?(ab?ac)?0,则△abc的形状是( )a．直角三角形b．等腰三角形 c．等腰直角三角形d．等边三角形6．设非零向量a与b的方向相反，那么下面给出的命题中，正确的个数是（）b．c．15d．168．下列命题中：a?b?b?c则b?c,当且仅当a?0时成立其中正确命题的序号是a．①⑤ b．②③④ c．②③ d．①④⑤（） 9．在△abc中，已知|ab|?4,|ac|?1,s?abc?3,则ab?ac的值为a．－2b．210．已知，a（2，3），b（－4，5），则与ab共线的单位向量是a．e?(?310,)b．e?(?3,)或(3101010,?1010)c．e?(?6,2)d．e?(?6,2)或(6,2)11．设点p分有向线段p31p2所成的比为4，则点p1分p2p所成的比为a．?37b．?74c．?7 d．?43712．已知a?(1,2),b?(?3,2),ka?b与a?3b垂直时k值为a．17 b．18 c．19 d．2013．已知向量a,b的夹角为?3，|a|?2,|b|?1,则|a?b|?|a?b|? ．( )）））））（（（（（14．把一个函数图像按向量a?(?3,?2)平移后，得到的图象的表达式为y?sin(x??6)?2，则原函数的解析式为15．已知|a|=5,|b|=5, |c|=25,且a?b?c?0,则a?b?b?c?c?a=_______16．已知点a(2，0)，b(4，0)，动点p在抛物线y2＝－4x运动，则使ap?bp取得最小值的点p的坐标是17．设向量oa?(3,1),ob?(?1,2)，向量oc垂直于向量ob，向量bc 平行于oa，则od?oa?oc时,od的坐标为_________?????????????18．已知m＝(1+cos2x，1)，n＝(1，3sin2x+a)(x，a∈r，a是常数)，且y=om2on (o是坐标原点)⑴求y关于x的函数关系式y=f(x)；??⑵若x∈[0，]，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象26经过怎样的变换而得到．(8分)19．已知a（－1，0），b（1，0）两点，c点在直线2x?3?0上，且ac?ab,ca?cb，ba?bc成等差数列，20．已知：a 、b、c是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2）⑴若|c|?25，且c//a，求c的坐标；⑵若|b|=21．已知向量a?(cos32x,sin32x),b?(cosx2,?sinx2),且x?[0,52?2],求 32,求?的值;(8分)⑴a?b及|a?b|;⑵若f(x)?a?b?2?|a?b|的最小值是参考答案?1．d 2．c 3．d 4．b 5．b 6．a 7．c 8．c 9．d 10．b 11．c 12．c13．2114．y?cosx 15．-2516．(0，0) ????????????????????17．解：设oc?(x,y),?oc?ob ，∴oc?ob?0，∴2y?x?0①又?bc//oa,bc?(x?1,y?2)3(y?2)?(x?1)?0即：3y?x?7② ?????????????????x?14,联立①、②得? ∴ oc?(14,7),于是od?oc?oa?(11,6)y?7?．18．解：⑴y=om2on＝1+cos2x+3sin2x+a，得f(x)=1+cos2x+3sin2x+a；⑵f(x) =1+cos2x+3sin2x+a化简得f(x) =2sin(2x+当x＝?6?6)+a+1，x∈[0，?6?2]。
平面向量及其应用单元测试题含答案(1)
一、多选题1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=2．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅<D ．2S =3．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3π，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）A ．△ABC 的外接圆面积是493π； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；C ．b ＋c 可能等于16；D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大值是4．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．10,45,70b A C ==︒=︒B ．45,48,60b c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ<7．在ABC 中，若30B =︒，AB =2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =30A =︒，则B =（ ）A ．30B ．45︒C ．135︒D ．150︒9．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥B ．2a b +=C ．2a b -=D ．,60a b =︒10．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1()2AD AB AC =+ C ．8BA BC ⋅=D ．AB AC AB AC +=-11．下列命题中，结论正确的有（ ） A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 12．设a 为非零向量，下列有关向量||aa 的描述正确的是（ ） A ．||1||a a =B ．//||a a aC ．||a a a =D ．||||a a a a ⋅=13．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)- B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)14．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ）A ．0ABBA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=15．下列命题中正确的是( )A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =二、平面向量及其应用选择题16．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形17．O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，若a =边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为（ ）A ．23π B ．43π C ．6π D ．3π 18．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭19．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．1620．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）A ．441B ．45C ．425D 21．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形22．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +23．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-24．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ⋅=⋅≠，则a b =C ．若,,,A B CD 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角25．已知向量()22cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 26．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+ 27．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足12BD DC =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）A ．m n +是定值，定值为2B ．2m n +是定值，定值为3C ．11m n +是定值，定值为2 D ．21m n+是定值，定值为3 28．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）A ．316- B ．316 C ．12D ．12-29．在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =，3ABC S ∆，则2sin 2sin sin a b cA B C++=++（ ）A 239B 263C 83D ．2330．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且a b =，则cos B 等于（ ）A 15B ．14C 3D 331．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →→→→→→⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为（ ）．A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．不确定32．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+ 33．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）A ．3B ．22C ．31- D ．21- 34．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2aB c=，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形35．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）A ．2B ．106C ．103D ．10【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题1．ABD 【分析】对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【 解析：ABD 【分析】对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 12s S ab C =和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，故B 正确；对于C ，211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．2．BCD 【分析】本题先确定B 是的中点，P 是的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出，故选项D 正确. 【详解】 解：因为，，所以B 是的中点，P 是的解析：BCD【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.3．ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确；对于B ，根据正弦定解析：ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理2sin a R A =，可得73R =ABC 的外接圆面积是2493S R ππ==，故A 正确； 对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．对于C ，22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+-114(cos )14sin()23B B B π=+=+14b c ∴+≤，故C 错误．对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得11sin 22ad bc A =，即sin bc Ad a=，再根据①中的结论，可得d =D 正确． 故选：ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．4．ABC 【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选解析：ABC 【分析】先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确.选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确.选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确 故选：ABC 【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.5．BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两解析：BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为csin sin 1B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；对于选项C 中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b AB a=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．AC【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共解析：AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ． 【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．7．BC 【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】由正弦定理可得，所以， 又，所以， 所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.解析：BC 【分析】由题意结合正弦定理可得sin 2C =，再由()0,150C ∈︒︒即可得解. 【详解】由正弦定理可得sin sin AB AC C B =，所以1sin 2sin 2AB B C AC ⋅===， 又30B =︒，所以()0,150C ∈︒︒， 所以60C =︒或120C =︒. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.8．BC 【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理得： ， 由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.解析：BC 【分析】用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理sin sin a b A B=得：1sin 2sin 12b A B a ===，由于1b a =>=，所以45B =或135B =.故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.9．AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】，且,平方得，即，可得，故A 正确； ，可得，故B 错误； ，可得，故C 正确； 由可得，故D 错误; 故选：AC 【点睛】解析：AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A正确；()22222a ba b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()22222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确；由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误; 故选：AC 【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.10．BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故解析：BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.11．BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】解：对于A ，，故A 错误；对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确； 对于C ，，则或与共线，故C 错误； 对于D ，在四边形中，若解析：BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误； 对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.12．ABD 【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确， ，所以D 正确. 故选：ABD解析：ABD 【分析】首先理解aa表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以1a a=正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，aa a=不正确， cos 0a a aa a a a a a a⋅==⨯=，所以D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解a a表示与向量a 同方向的单位向量.13．ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】 第四个顶点为， 当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得解析：ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.14．AB 【解析】 【分析】根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为，正确；，由向量加法知正确； ，不满足加法运算法则，错误； ，所以错误. 故选：A B.【点睛】本题主要考查了向量加法的解析：AB 【解析】 【分析】根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为0ABBA AB AB，正确；AB BCAC ，由向量加法知正确；AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；0,AB AB +=，所以00AB +=错误.故选：A B . 【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.15．ABD 【详解】解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确． 对解析：ABD 【详解】解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．二、平面向量及其应用选择题16．D 【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状. 【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．17．A 【分析】 根据题意得出tan tan tan A B Ca b c==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ∆为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长. 【详解】0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，a bOC OA OB c c∴=--，同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c Cb Bc C ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，tan tan tan A B Ca b c∴==， 由正弦定理得tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111cos cos cos A B C==， cos cos cos A B C ∴==，由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3A B C π===， 设ABC ∆的外接圆半径为R ，则22sin aR A===，1R ∴=， 所以，边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133R A ππ⨯=⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 18．C 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围.【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，所以223ππθ<<，故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题. 19．C 【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可. 【详解】ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)24ABCSbc A ===-,∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 20．B 【分析】在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理sin sin b cB C =求解. 【详解】在三角形ABC 中， 1a =，c =45B =︒， 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，13221252=+-⨯⨯=， 所以5b =， 由正弦定理得：sin sin b cB C=，所以2sin 42sin 55c BC b===， 故选：B 【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．D 【分析】由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状． 【详解】由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B ππ<<．∴ABC 是钝角三角形． 故选：D ． 【点睛】本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 22．D 【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 23．D 【分析】由22()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可． 【详解】解：22()S a b c +=+，2222S b c a bc ∴=+-+， ∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=， 因为22sin cos 1A A +=． 解得15cos 17A =-或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．15cos 17A ∴=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 24．C 【分析】根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ⋅=⋅≠，但a b ≠，故B 不正确；,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ⋅>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积. 25．D 【详解】()22cos 3sin 2cos 23sin 212sin(2)16f x x x x x x π=+=++=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项. 26．A 【分析】作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.【详解】 如下图所示：D 为BC 的中点，则()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+，2AO OD =，211333AO AD AB AC ∴==+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.27．D【分析】过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，结合题设条件和三角形相似可得出21312AM n n n AB n n ==--+，再根据AMmAB =可得231n m n =-，整理可得213m n +=，最后选出正确答案即可.【详解】如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，由AN nAC =可得1AC AN n=，所以11AE AC EM CN n ==-，由12BD DC =可得12BM ME =，所以21312AM n n n AB n n ==--+，因为AM mAB =，所以231n m n =-， 整理可得213m n+=.故选：D .【点睛】本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.28．A【分析】利用平面向量的线性运算，将DE 用AB 和AD 表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出λμ⋅的值.【详解】E 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()111244AE AO AC AB AD ===+， ()113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=+-=-，14λ∴=，34μ=-. 因此，1334416λμ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】 本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.29．A【分析】根据面积公式得到4c =，再利用余弦定理得到a =，再利用正弦定理得到答案.【详解】1sin 42ABC S bc A c ∆====利用余弦定理得到：2222cos 116413a b c bc A a =+-=+-=∴= 正弦定理：sin sin sin a b c A B C ==故2sin 2sin sin sin a b c a A B C A ++===++ 故选A【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 30．B【分析】利用正弦定理可得sin 2sin B C =，结合a b =和余弦定理，即可得答案；【详解】cos cos 2sin cos sin cos 2sin c A a C c C A A C C +=⇒+=，∴sin()2sin sin 2sin A C C B C +=⇒=，∴2b c =，又a b =， ∴22222114cos 12422b ac b B ac b ⋅+-===⋅⋅， 故选：B.【点睛】 本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值. 31．B【分析】根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状.【详解】因为AB AC BA BC →→→→⋅=⋅，所以0AB AC BC →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， 即0AB CA CB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，所以在ABC 中，AB 与AB 边上的中线垂直，则CA CB →→=，同理0BC AC AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，AC AB →→=， 所以AC AB CB →→→==，ABC 是等边三角形．故选：B【点睛】本题主要考查了向量的数量积，向量垂直，考查了运算能力，属于中档题.32．C【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.【详解】 解：111222BF BA AF BA AE AB AD AB CE ⎛⎫=+=+=-+++ ⎪⎝⎭ 111223AB AD AB CB ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭ 111246AB AD AB CB =-+++ ()111246AB AD AB CD DA AB =-+++++ 11112462AB AD AB AB AD AB ⎛⎫=-+++--+ ⎪⎝⎭ 111124126AB AD AB AB AD =-+++- 2133AB AD =-+ 故选：C .【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.33．C【分析】易求30ACB ∠=︒，在ABC 中，由正弦定理可求BC ，在BCD 中，由正弦定理可求sin BDC ∠，再由90BDC θ∠=+︒可得答案．【详解】45CBD ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，在ABC 中，由正弦定理，得sin sin BC AB CAB ACB =∠∠，即50sin15sin30BC =︒︒，解得BC =-，在BCD 中，由正弦定理，得sin sin BC CD BDC CBD =∠∠50sin 45=︒，sin BDC ∴∠=sin(90)θ+︒=cos θ∴= 故选：C ．【点睛】该题考查正弦定理在实际问题中的应用，由实际问题恰当构建数学模型是解题关键． 34．A【分析】利用余弦定理化角为边，得出c b ABC =， 是等腰三角形．【详解】ABC ∆中，c cos 2a B c =，由余弦定理得，2222a c b cosB ac+-= ， ∴22222a a c b c ac+-= 220c b ∴-= ，∴c b ABC =，是等腰三角形．【点睛】本题考查余弦定理的应用问题，是基础题．35．B【分析】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC ，从而可求x 即塔高．【详解】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有BC=3x ，AC=3x ， 在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，sin sin BC CD BDC CBD =可得，BC=10sin 45sin 30x ==.则；所以塔AB的高是米；故选B．【点睛】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．。
平面向量单元测试-2023届高考数学一轮复习(含答案)
平面向量单元测试-2023届高考数学一轮复习（含答案）《平面向量》单元测试考试时间：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量(),3a k =，()1,4b =，()2,1c =，且()23a b c -⊥，则实数k 的值为（ ）A ．32-B ．152C ．32D ．32．在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 与BD 交于点F ．若AB a =，AD b =，则AF =（ ）A ．1344a b +B ．2133ab C ．3144a b +D ．1233a b +3．如图，ABC 中，3BD DC =，AE mAB =，AF nAC =，0m >，0n >，则13m n+=（ ）A ．3B ．4C ．43D ．344．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在线段BD 上，且EB mDE =（m R ∈），若AC AE AD λμ=+（λ，μ∈R ）且20λμ+=，则m =（ ）A ．13B ．3C ．14D ．45．已知平面向量,,a b c 满足1a =，2b =，a 与b 的夹角为45，当1c b -=时，a c ⋅的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一动点，若AF x AE yDC =+，且0x m >>，0y >，则()my x m -的最大值为（ ）A ．8243B ．4243C ．381D ．4817．已知ABC 中，()min 2,||3R AB AC BQ QA AB BC λλ===+=∈，()1221,33AP AB AC μμμ=+-≤≤，则PQ 的最小值为（ ）A ．3B ．5CD 8．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，()(sin sin )sin sin a c A C b B a B +-+=，24b a +=，32CA CD CB =-，则线段CD 长度的最小值为（ ）A ．2B C ．3 D 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知平面向量()1,0a =，()1,23b =，则下列说法正确的是（ ） A ．4a b +=B ．()2a b a +⋅=C ．向量a b +与a 的夹角为30︒D ．向量a b +在a 上的投影向量为2a10．已知向量()3,1a =，()2,3b =，()1,2c =-，若()()ma c a nb ++∥（m ，n ∈R ），则(),m n 可能是（ ） A ．()2,1B ．()0,1-C ．()3,2D ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．已知向量()()2,1,cos ,sin (0π)a b θθθ==<<，则下列命题正确的是（ ） A ．·a bB ．存在θ，使得=+a b a b +C ．若a b ⊥，则tan θ=D ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为2π3 12．下列说法正确的是（ ）A ．已知向量()2,3a =-，(),21b x x =-，若a ∥b ，则2x =B ．若向量a ，b 共线，则a b a b +=+C ．已知正方形ABCD 的边长为1，若点M 满足12DM MC =，则43AM AC ⋅= D ．若O 是ABC 的外心，3AB =，5AC =，则OA BC ⋅的值为8-三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知向量a ，b 满足2a =，1b =，()5a a b ⋅+=，则cos ,a b =____________. 14．设向量,a b 的夹角的余弦值为13-，且|2||3|6a b ==，则|2|a b +=___________． 15．在ABC 中，点D 在边BC 上，且2BD DC =，若AD AC AB λμ=+，则λμ=____16．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为S ，且2||2AC AB AC S -⋅=，则C =______．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量,a b 满足||2,||1a b ==，且()(2)9a b a b -⋅-=. (1)求|3|a b +；(2)记向量b 与向量3a b +的夹角为θ，求cos θ.18．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且2AE EB =，M 是线段CE 上一动点．(1)若M 是线段CE 的中点，AM mAB nAD =+，求m n +的值； (2)若9AB =，43CA CE ⋅=，求解AD .19．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，过中心O 的直线l 与两边AB ，CD 分别交于点M ，N ．(1)若Q 是BC 的中点，求QM QN ⋅的取值范围；(2)若P 是平面上一点，且满足2(1)OP OB OC λλ=+-，求PM PN ⋅的最小值．20．已知向量()cos ,sin OA a αα==，()2cos ,2sin OB b ββ==，()0,OC c d ==（0d >），其中O 为坐标原点，且π0π2βα<<<<． (1)若()a b a ⊥-，求βα-的值；(2)若向量a 在向量c b c d ⋅=，求AOB 的面积，21．已知函数()f x a b =⋅，其中()(cos ,sin2,2cos ,R a x x b x x ==∈. (1)求函数()y f x =的单调递减区间；(2)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,a b c f A a =且3sin 2sin B C =，求ABC 的面积.22．已知向量(1,3=-m ，()sin ,cos n x x =，函数()()f x m n n =+⋅，在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()1f C =． (1)求C 的大小；(2)若ABC D 在边AC 上，且12CD DA =，求BD 的最小值．《平面向量》课时作业参考解析1．D【解析】由已知得，()()()232,331,423,6a b k k -=-=--. 又()23a b c -⊥，所以()230a b c -⋅=，即()()()23,62,12236k k --⋅=--4120k =-=.解得，3k =.故选：D. 2．D【解析】12AE AD DE AD AB =+=+.设AF AE λ=()01λ<<，则1122BF AF AB AD AB AB AD AB λλλ⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又BD AD AB =-，且,,B F D 三点共线，则,BF BD 共线，即R μ∃∈，使得BF BD μ=，即12AD AB AD AB λλμμ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，又,AB AD 不共线，则有12λμλμ=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，22112123323333AF AE AD AB AB AD a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D.3．B【解析】由题意得：()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， AE mAB =，AF nAC =，1344AD AE AF m n∴=+， ,,E D F 三点共线，13144m n ∴+=，即134m n+=.故选：B. 4．B【解析】方法1：在平行四边形ABCD 中，因为EB =mDE ，所以()AB AE m AE AD -=-，所以11AE AB m =++1m AD m+，又∵AB DC AC AD ==-， ∴()111mAE AC AD AD m m=-+++，∴()()11AC m AE m AD =++-， 又∵AC AE AD λμ=+，∴1m λ=+，1m μ=-，（平面向量基本定理的应用） 又∵20λμ+=，∴()1210m m ++-=，解得3m =，故选：B.方法2：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，设(),0B a ，(),D b c ，∵AB DC = 则 (),C a b c +，又∵EB mDE =，设(),E x y ，则()()11mb a x a x m x b m y m y c mc y m ⎧+⎧=⎪⎪-=-⎪⎪+⇒⎨⎨-=-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩即：,11mb a mc E m m +⎛⎫⎪++⎝⎭，∴,11mb a mc AE m m +⎛⎫= ⎪++⎝⎭，(),AC a b c =+，(),AD b c =， 又∵AC AE AD λμ=+，20λμ+=，∴2AC AE AD μμ=-+ ∴()(),=2,,11mb a mc a b c b c m m μμ+⎛⎫+-+⎪++⎝⎭∴2()121a bm a b b m mc c c m μμμμ-+⎧+=+⎪⎪+⎨-⎪=+⎪+⎩①②由②得1=1m mμ+-，将其代入①得3m =，故选：B. 5．B【解析】1a =，2b =，a 与b 的夹角为45，∴可设()1,0a =，()1,1b =，设(),c x y =，由1c b -=得：()()22111x y -+-=，则点C 轨迹是以()1,1为圆心，1为半径的圆，a c x ⋅=，∴当2x =时，a c ⋅取得最大值2.故选：B.6．B【解析】由题意可得12AE AD DE AB AD =+=+，所以，1122x AB AD y AB A x A F xAE x yDC y B AD ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪= ⎪⎝⎭⎝⎭+，因为F 为线段BD 上的点，所以，存在()0,1λ∈，使得DF DB λ=， 所以，()AF AD AB AD λ-=-，则()1AF AB AD λλ=+-，所以，121x y x λλ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，则312x y +=，因为03102x y x >⎧⎪⎨=->⎪⎩，则203x <<， 所以，()()()3321223my x m m x x m m x m x ⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223232323448383839m x m x m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⋅-+-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()32344839f m m m m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中203m <<， 则()238432233839833f m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当209m <<时，()0f m '>，此时函数()f m 单调递增， 当2293m <<时，()0f m '<，此时函数()f m 单调递减，所以，()max 249243f m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当且仅当29m =，49x =时，()my x m -取最大值4243.故选：B. 7．C【解析】如图，设点O 为BC 上的一点，令BO BC λ=，即AB BC AB BO AO λ==++，当AO BC ⊥时AO 取最小值3，此时根据勾股定理可得BO OC ==ABC 为等边三角形，当点O 为BC 的中点时建立如图直角坐标系：()0,3A ，3,0B，)C，()3AB =--，()3,3AC =-()226AB μμ=--，())()()131,31AC μμμ-=---()()213,33AP AB AC μμμ=+-=---，故),3Pμ-因为2BQ QA =，所以2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则32PQ μ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭3PQ ⎛== 因为1233μ≤≤，所以当13μ=时PQ 取最小值，min 23PQ =:C 8．D【解析】由()(sin sin )sin sin a c A C b B a B +-+=及正弦定理， 得2()()a c a c b ab +-+=，即222a b c ab +-=，由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,C π∈，∴3C π=． 由32CA CD CB =-，1233CD CA CB =+，两边平方，得22144999CD CA CA CB CB =+⋅+，即222144cos 999CD b a ab C =++22142999b a ab =++()212299b a ab -=+()221122992b a b a +⎛+-⎫≥ ⎪⎝⎭()21212b a =+， 当且仅当224b a b a =⎧⎨+=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩时取等号，即2214(2)123CD b a ≥+=，∴线段CD D ． 9．ABD【解析】由题意得((11,0a b +=++=， 所以(224a b +=+，故A 正确；()21202a b a +⋅=⨯+=，故B 正确；()21cos ,142a ab a a b a a b⋅++===⨯+， 0,πa a b ≤+≤，∴π,3a ab +=，故C 错误；向量a b +在a 上的投影向量为()2a a baa aa⋅+⋅=，故D 正确，故选：ABD . 10．ABD【解析】由题意得()32,13a nb n n +=++，()31,2ma c m m +=-+， 由()()ma c a nb ++∥可得()()()()3221331n m n m ++=+-，整理得1mn n =+. 对于选项A ，2111⨯=+，故选项A 正确； 对于选项B ，()0111⨯-=-+，故选项B 正确； 对于选项C ，3221⨯≠+，故选项C 错误； 对于选项D ，()111122⎛⎫-⨯-=-+ ⎪⎝⎭，故选项D 正确，故选：ABD . 11．ABD【解析】对于A ，()2cos sin a b θθθϕ⋅=++，其中tan 0,2πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以当=2πθϕ+，a b ⋅A 正确.对于B ，因为0πθ<<，所以当a b λ=，且0λ>时，a b a b +=+，即θ使得cos θ=，sin θ=时，符合题意，所以B 正确. 对于C ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅=+=，此时tan θ=C 错误. 对于D ，b 在a 上的投影向量为cos ,3cos ,63a ba b a b a a a⋅==-， 所以1cos ,2a b =-，所以a 和b 的夹角为2π3，D 正确. 故选：ABD. 12．CD【解析】对于A ，因为()2,3a =-，(),21b x x =-，a ∥b ， 所以2(21)3x x --=，解得27x =，故错误；对于B ，因为向量a ，b 共线，当向量a ，b 同向时，则有a b a b +=+；当向量a ，b 反向时，则有||a b a b +=-，故错误；对于C ，因为12DM MC =，所以M 为CD 的三等分点中靠近D 的点， 所以13AM AD DM AD DC =+=+,AC AD DC =+,所以2211414()()||||1033333AM AC AD DC AD DC AD DC DC AD ⋅=+⋅+=++⋅=++=,故正确；对于D ，因为O 是ABC 的外心，所以||||||OA OB OC R ===(R 为ABC 的外接圆半径),又因为OB OA AB -=,所以22()||OB OA AB -=,即2229R OA OB -⋅=,① 同理可得22225R OA OC -⋅=,②由①-②可得：8OA OC OA OB ⋅-⋅=-，即有()8OA OC OB OA BC ⋅-=⋅=-，故正确. 故选：CD.13．【解析】∵()242cos ,5a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+=，∴1cos ,2a b =14．【解析】由题意|2||3|6a b ==，所以||3,||2,a b ==所以1cos 232,3a b a b θ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭所以2|2|(2)a b ab +=+2244a a b b =+⋅+==15．【解析】由2BD DC =，得23BD BC =， 则在ABC 中，()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， 因AD λAC μAB =+，故2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此2λμ=. 16．【解析】22||cos sin 222AC AB AC b bc A bc AS -⋅-===，则()cos sin b c A A =+，由正弦定理得()()()sin cos sin sin sin πsin sin cos cos sin C A A B A C A C A C A C ⎡⎤+==-+=+=+⎣⎦，故 ()sin cos sin 0C C A -=，∵sin 0A ≠，∴πsin cos sin 04C C C ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∵()0,πC ∈，∴π4C =.17．【解析】（1）因为()(2)9a b a b -⋅-=，所以22329a a b b -⋅+=. 因为向量,a b 满足||2,||1a b ==，所以2223219a b -⋅+⨯=，所以1a b ⋅=-.所以()2222|3|3692a b a ba ab b +=+=+⋅+=+（2）因为()231323a b b b a b ⋅+=-+⋅==+，所以()32cos 173b a bb a bθ⋅+==⨯⨯+ 18．【解析】（1）因为点E 在边AB 上，且2AE EB =，所以23AE AB =， 因为M 是线段CE 的中点，所以1()2AM AC AE =+112()223AB AD AB =++⨯5162AB AD =+， 因为AM mAB nAD =+，,AB AD 不共线，所以51,62m n ==， 所以514623m n +=+=；（2）由题意可得CA CD CB AB AD =+=--，13CE CB BE AD AB =+=--， 因为43CA CE ⋅=，所以1()()433AB AD AD AB --⋅--=，所以1()()433AB AD AD AB +⋅+=，所以22144333AD AB AB AD ++⋅=，因为9AB =，0AB AD ⋅=，所以2219433AD +⨯=，得216AD =，所以4AD =. 19．【解析】（1）因为直线l 过中心O 且与两边AB 、CD 分别交于点M 、N ． 所以O 为MN 的中点，所以OM ON =-， 所以()()QM QN QO OM QO ON ⋅=+⋅+22QO OM =-．因为Q 是BC 的中点，所以||1QO =，1||2OM ≤≤2210QO OM -≤-≤， 即的QM QN ⋅取值范围为[1,0]-；（2）令2OT OP =，则 2(1)OT OP OB OC λλ==+-，∴OT OB OC OC λλ=+-，即：OT OC OB OC λλ-=-，∴CT CB λ= ∴点T 在BC 上，又因为O 为MN 的中点，所以||1OT ≥，从而1||2OP ≥，()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+22PO OM =-，因为1||2OM ≤≤，所以2217244PM PN PO OM ⋅=-≥-=-， 即PM PN ⋅的最小值为74-．20．【解析】（1）由题知(2cos cos ,2sin sin )b a βαβα-=--，因为()a b a ⊥-， 所以()cos (2cos cos )sin (2sin sin )2cos()10a b a αβααβααβ⋅-=-+-=--= 即1cos()2αβ-=，因为π0π2βα<<<<，所以0αβπ<-<，所以3παβ-=，所以3πβα-=-（2）由题知sin a c d d c α⋅==sin α=， 因为2απ<<π，所以23πα=，又2sin b c d d β⋅==，即1sin 2β=，因为02βπ<<，所以6πβ=，易知，2AOB π∠=，1,2OA OB ==，所以112AOBSOA OB =⨯=21．【解析】（1）因为函数()f x a b =⋅，其中()(cos ,sin2,2cos ,R a x x b x x ==∈，所以，()22cos cos212sin 216f x a b x x x x x π⎛⎫=⋅==+=++ ⎪⎝⎭，由题意有()3222Z 262k x k k πππππ+≤+≤+∈，解得()2Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈， 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ； （2）结合（1）得()12sin 212,sin 2662f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0A π<<，所以132666A πππ<+<，所以，5266A ππ+=，解得3A π=，因为3sin 2sin B C =，所以332,2b c c b ==，又在ABC 中，a =所以，由余弦定理得2222772cos34a b c bc b π==+-=，解得3,2c b ==，所以1232ABC S =⨯⨯=△.22【解析】（1）()1sin ,cos m n x x +=+，()()()22sin 1sin cos cos sin sin cos f x x x x x x x x x∴=++=++πsin 12sin 13x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，()π2sin 113f C C ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，πsin 03C ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，()0,πC ∈，ππ2π,333C ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，π03C ∴-=，解得：π3C =.（2）1sin 2ABCSab C ===2ab ∴=；12CD DA =，13CD b ∴=， 在BCD △中，由余弦定理得：2222211112cos 3393BD a b a b C a b ab ⎛⎫=+-⋅=+- ⎪⎝⎭，2111223333BD a b ab ab ∴≥⋅-==（当且仅当13a b =，即a =，b 时取等号），BD ∴≥BD .。
最新第五章平面向量解三角形单元测验(含答案)教学内容
平面向量单元测试（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法中正确的是 （ ） A ．共面向量就是向量所在的直线在同一平面内； B ．长度相等的向量叫做相等向量； C ．零向量的长度为零； D ．共线向量的夹角为00．2．已知a )1,(x =，b )2,3(-=x ，则a·b 0<的解集是 （ ） A ．1(,)2-∞-B ．1(,)2-+∞C ．1(,)2-∞D ．1(,)2+∞3．如果a=(1,x )，b=(-1,3)，且（2a+b ）∥（a -2b ），则x = （ ） A ．－3B ．3C ．13-D ．134．已知a )1,2(=，b ),3(x =，若（2a -b ）⊥b ，则x 的值为 （ ） A ．1-B ．3C ．1或3D ．1-或35．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222（ ） A ．030B ．060C ．0120D ．01506．e 1、e 2是平面内不共线的两向量，已知=AB e 1-ke 2，=CB 2e 1+e 2，=CD 3e 1-e 2，若D B A ,,三点共线，则k 的值是 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则⋅的值为 （ ） A ．10 B ．20 C ．－10 D ．20 8．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A = （ ） A ．030 B ．060 C ．0015030或 D ．0060120或 9．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是 （ ）A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形10．下列说法中错误的是 （ ）①0=⋅b a ，则0a =或0b =；②c)a(b b)c (a ⋅=⋅；③222q)(p q p ⋅=⋅. A ．①、②B ．①、③C ．②、③D ．①、②、③11．在△ABC 中，若∠C =60°，则ca bc b a +++= （ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成060角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为 （ ） A. 6B ．2C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上． 13．向量),(43-=a ,则与a 平行的单位向量的坐标为 ．14．设p = (2,7)，q = (x ,-3)，若p 与q 的夹角)2,0[πθ∈，则x 的取值范围是 .15．以原点O 及点A （5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB ，使ο90=∠A ，则的坐标为 .16．地面上画了一个60︒的角∠BDA ，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一方向行走14米，正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点就记为点B ，则B 与D 之间的距离为 米.三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-r r r（1）若a r 与2b c -r r垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +r r的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a r ∥b r.18．（本小题满分12分）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6A π=，(12c b +=．（1）求C ；（2）若1CB CA ⋅=+u u u r u u u ra ,b ，c ．19．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形AOB 中，AC 、BD 为中线，求AC u u u r 与BD u u u r夹角θ的余弦值．20．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 是直线l 上的不同三点，O 是l 外一点，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r满足23(1)(ln )2OA x OB x y OC =++-u u u r u u u r u u u r ，记()y f x =；求函数()y f x =的解析式；21．（本小题满分12分）已知△ABC中，（a－c）（sin A+sin C）=（a－b）sin B，（1）求∠C；（2）若△ABC的外接圆半径为2，试求该三角形面积的最大值．22．（本小题满分14分）已知向量m＝（sin4x，cos4x），n＝4x，cos4x)，记f(x)=m•n；（1）若f(x)=1,求cos()3xπ+的值；（2）若△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围．参考答案一、选择题1．C ；解析：共面向量就是平行向量，故A 是错的；相等向量是指长度相等且方向相同的向量，故B 是错的； 根据共线向量的概念知共线向量的夹角为0°或180°，故D 是错的； ∴正确的只有C ． 2．C ；解析：∵a·b 02423<-=-+=x x x ， ∴a·b 0<的解集是}21|{<x x . 3．A ；解析：∵2a+b=(1,2x+3)，a -2b=(3,x -6)；又2a+b ∥a -2b ，∴1×(x -6)-(2x+3)×3=0，解得x= -3． 4．D ；解析：由a )1,2(=，b ),3(x =，得2a -b )2,1(x -=；∵2a -b ⊥b ， ∴（2a -b ）·b=0，即0)2(31=⋅-+⨯x x ，解得=x 13-或．5. C ；解析：22201cos ,12022b c a A A bc +-==-=． 6． B ；解析：∵D B A ,,三点共线， ∴与共线， ∴存在实数λ，使得AB BD λ=；∵=-=3e 1 -e 2 -（2e 1+e 2）= e 1 -2e 2， ∴e 1-ke 2(λ=e 1 -2e 2)，∵e 1、e 2是平面内不共线的两向量， ∴⎩⎨⎧-=-=,2,1λλk 解得2=k .7． D ；解析：由题意可知CA BC 与的夹角为︒=-=-12060180180000C ,∴CA BC ⋅202185120cos 0-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=⋅. 8．C ；解析：012sin ,sin 2sin sin ,sin ,302b a B B A B A A ====或0150． 9．B ；解析：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=∴+=Q ；∴sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-=； ∴cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+=； ∴cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π=；∴△ABC 是直角三角形．10．D ；解析：∵b a ⊥时, 0=⋅b a ,∴当0=⋅b a 时不能得出0a =或0b =；∴①是错误的.∵b a ⋅是数量,所以b)c (a ⋅为一个向量,并且此向量与c 共线；虽然c)a(b ⋅也是一个向量,但它与a 共线；∴b)c (a ⋅不一定与c)a(b ⋅相等；∴②是错误的.∵22q p q p ||||22⋅=⋅，θ22cos ||||)(22q p q p =⋅（θ为p 与q 的夹角）； ∴当且仅当p//q 时, 222q)(p q p ⋅=⋅才成立；∴③是错误的.∴本题三种说法均不正确.11．A ；解析：c a bc b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22=222c bc ac ab bc ac b a ++++++（*）， ∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab ，∴a 2+b 2=ab +c 2，代入（*）式得222c bc ac ab bc ac b a ++++++=112．D ；解析：28)60180cos(20021222123=--+=F F F F F ，所以723=F .二、填空题13．)54,53(),54,53(--；解析：因为|a |=54322=+-)(,故所求的单位向量为),(),(54534351-±=-±=±|a |a ．14．(221,+∞)； 解析： p 与q 的夹角)2,0[πθ∈⇔ p•q>0⇔2x -21>0⇔221>x ， 即x ∈(221,+∞).15．（-2，5）或（2，-5）；解析：设),(y x AB =，则由222225||||y x +=+⇒=…………①，而又由⊥得025=+y x …………②， 由①②联立得5,25,2=-=-==y x y x 或. ），（－或52)5,2(-=∴AB . 16．16；解析：记拐弯处为点A ，则已知即为△ABD 中，AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒；设BD=x ，则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222， 即ο60cos 1021014222⋅⋅-+=x x ，整理得096102=--x x ， 解得161=x ，62-=x （舍去）；∴BD=16．三、解答题17．解：（1）∵b －2c (sin 2cos ,4cos 8sin )ββββ=-+，且a 与b －2c 垂直， ∴4cos (sin 2cos )sin (4cos 8sin )0αββαββ-++=，即sin cos cos sin 2(cos cos sin sin )αβαβαβαβ+=-，∴sin()2cos()αβαβ+=+， ∴tan()2αβ+=. （…………4分） （2）∵b+c (sin cos ,4cos 4sin )ββββ=+-， ∴︱b+c︱==∴当sin 21β=-时，︱b+c=. （ (8)分）（3）∵tan tan 16αβ=，∴sin sin 16cos cos αβαβ⋅=，即sin sin 16cos cos αβαβ=，∴(4cos )(4cos )sin sin αβαβ⋅=，即a(4cos ,sin )αα=与b (sin ,4cos )ββ=共 线，∴a ∥b.（…………12分）18．解：（1）由(12c b = 得1sin 22sin b Bc C=+=， 则有55sin()sincos cos sin 666sin sin C C CCCππππ---==112tan 222C +=+， 解得tan 1C =， 即4C π=. （…………6分）（2）由1CB CA ⋅=u u u v u u u v推出cos 1ab C =+；而4C π=,∴12=+, 则有1(12sin sin c b a cA C=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩， 解得12a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.（……12分）19．解：如图，分别以等腰直角三角形AOB 的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设()()a B a A 2,0,0,2，则()()a C a D ,0,0,，（0a >）；（……3分） ∴()()a a a a 2,,,2-=-=, （…………6分）∵AC u u u r 与BD u u u r的夹角为θ，∴()()aa a a a a BDAC 552,,2cos ⋅-⋅-==θ=545422-=-a a，即AC u u u r 与BD 夹角θ的余弦值为45-． （ (12)分）20．解:（1）∵23(1)(ln )2OA x OB x y OC =+--u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 是直线l 上的不同三点，∴23(1)(ln )12x x y ++-=， ∴23ln 2y x x =+； （…………6分） （2）∵23()ln 2f x x x =+，∴2131()3x f x x x x +'=+=，（…………8分）∵23()ln 2f x x x =+的定义域为(0,)+∞，而231()x f x x +'=在(0,)+∞上恒正，∴()y f x =在(0,)+∞上为增函数，即()y f x =的单调增区间为(0,)+∞．（……12分）21．解：（1）由（a －c ）（sin A +sin C ）=（a －b ）sin B ，得（a －c ）（a +c ）=（a －b ）b ，∴a 2－c 2=ab －b 2，∴a 2+b 2－c 2=ab ，∴cos C =ab c b a 2222-+=21（ (4)分）又∵0°＜C ＜180°，∴C =60° （…………6分）（2）S =21ab sin C =21×23ab =43sin A sin B =43sin A sin （120°－A ） =43sin A （sin120°cos A －cos120°sin A ）=6sin A cos A +23sin 2A=3sin2A －3cos2A +3=23sin （2A －30°）+3 （…………10分） ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =33 （…………12分） 22．解：（1）f(x)=m 23cos cos 444x x x +=311cos 22222x x ++=1sin()262x π++， ∵f(x)=1， ∴1sin()262x π+=， （…………4分） ∴2cos()12sin ()326x x ππ+=-+=12． （…………6分） （2）∵（2a-c ）cosB=bcosC ，∴由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=，∴2sin cos sin()A B B C =+，∵A B C π++=，∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠，∴1cos ,23B B π== ∴1cos ,23B B π==； （…………10分）∴203A π<<， ∴1,sin()16262226A A ππππ<+<<+< ∴ 1,sin()16262226A A ππππ<+<<+<； 又∵f(x)＝1sin()262x π++，∴f(A)=1sin()262A π++，（…………12分）故函数f(A)的取值范围是（1,32）． （…………14分）。
2020届人教A版-解三角形__单元测试(1)
解三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在ΔABC 中,A =π6，AB =3√3,AC =3,D 在边BC 上,且CD =2DB ,则AD =( )A ．2√7B ．√21C ．5D ．√19 【答案】D【解析】在ΔABC 中，利用余弦定理得，|BC |2=|AB |2+|AC |2 −2|AB |⋅|AC |⋅cos∠BAC =27+9−27=9，即|BC |=3，∵|CD |=2|DB |,∴|BD |=1,|CD |=2，在ΔADB 中，由余弦定理得，cos∠ADB =|AD |2+1−272|AD |，在ΔADC 中，由余弦定理得，cos∠ADC =|AD |2+4−92|AD |,∵∠ADB +∠ADC =180∘，∴cos∠ADB =−cos∠ADC ，即|AD |2−262|AD |=−AD 2−54|AD |，解得|AD |=√19或|AD |=−√19（舍去），故选D.【思路点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a 2=b 2+c 2−2bccosA ；（2）cosA =b 2+c 2−a 22bc，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o ,45o ,60o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 2．下列命题中，错误的是 （ ） A ．在ABC ∆中， A B >则sin sin A B >； B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立；C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形；D ．在ABC ∆中，若60B =︒， 2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形． 【答案】C【解析】考查C 选项：在△ABC 中,∵acosA =bcosB ,利用正弦定理可得：sinAcosA =sinBcosB ,∴sin 2A =sin 2B ,∵A ,B ∈(0,π),∴2A =2B 或2A =2π−2B ,∴A =B 或2A B π+= ，因此△ABC 是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题. 本题选择C 选项.3．设ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a =2，cosC =13，3sinA =2sinB ，则c =( )A ．1B ．3C ．√10D ．√17 【答案】B【解析】 【分析】由3sin A ＝2sin B 即正弦定理可得3a ＝2b ，由a ＝2，即可求得b ，利用余弦定理结合已知即可得解． 【详解】 ∵3sin A ＝2sin B ，∴由正弦定理可得：3a ＝2b ， ∵a ＝2， ∴可解得b ＝3， 又∵cos C ＝13，∴由余弦定理可得：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝4+9﹣2×2×3×(13)＝9，∴解得：c ＝3． 故答案为：B ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为（ ）A ．8B ．16C ．4D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：11cos sin sin 2442A A S bc A bc =-⇒=⇒===⇒=，又2b c -=，2226,42cos 648b c a b c bc A a ==⇒=+-=⇒=，故选A ．考点：1、余弦定理；2、三角形的面积；3、三角恒等变换．【方法点晴】本题主要考查余弦定理、三角形的面积和三角恒等变换，涉及方程思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化能力和逻辑推理能力，属于较难题型．首先利用三角公式求得sin A =，代入三角形面积公式得1sin 242S bc A bc ===⇒=，再与2b c -=联立方程组解得2226,42cos 648b c a b c bc A a ==⇒=+-=⇒=．5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知A=120°，a=7，c=5，则sinB sinC=（ ）A ．85B ．58C ．53D ．35【答案】D 【解析】 【分析】由已知及余弦定理可得b 2+5b −24=0, 求出b 的值，再由正弦定理即可求出结果. 【详解】因为A =120°，a =7，c =5，由余弦定理可得：72=b 2+52−2×b ×5×cos120°，整理可得b 2+5b −24=0，解得b =3或b =−8（舍），所以由正弦定理可得sinB sinC=b c=35.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理，属于基础题型.6．ABC △中，若)sin sin cos C A A B =+，则（ ）A ．3B π=B ．2b a c =+C ．ABC △是直角三角形D ．222a b c =+或2B A C =+ 【答案】D 【解析】试题分析：ABC △中，∵()B A C +-=π，∴)sin(sin B A C +=，代入)sin sin cos C A A B =+得，()B A A B A cos sin cos 3)sin(+=+，化简可得，B A B A cos cos sin cos =①，∵π<<A 0，∴分两种情况讨论，（1）当0cos ≠A 时，①化为B B cos 3sin =，则3tan =B ，∵π<<B 0，∴3π=B ，则B BC A 232==-=+ππ；（2）当0cos =A 时，2π=A ，则222c b a +=，综上可得，222c b a +=或C A B +=2，故选：D ．考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理．【方法点睛】本题考查正弦定理，诱导公式和两角和的正弦公式，及分类讨论思想，考查化简、变形能力，属于中档题．根据诱导公式和两角和的正弦公式化简已知的方程，由内角的范围和特殊角的余弦值分类两种情况讨论，分别化简后可得答案．在该题中最常见的错误是：B A B A cos cos sin cos =，两边同时约去A cos ，忽视遗漏0cos =A 的情形．7．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a =1，B =45°，S △ABC =2，则△ABC 的外接圆的直径为（ ）．A ．5B ．5√2C ．4√3D ．6√2 【答案】B【解析】分析：由面积公式求得c ，再由余弦定理求得b ，最后由正弦定理求得外接圆直径．详解：∵a =1，B =45°，S △ABC =2，∴由三角形的面积公式得： S =12acsinB =12×1×c ×√22=2，∴c =4√2，又a =1，cosB =√22， 根据余弦定理得：b 2=1+32−8=25，解得b =5． ∴△ABC 的外接圆的直径为bsinB =√22=5√2．故选B .点睛：本题考查解三角形，应用解三角形中的所有公式：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，要注意按照题设条件顺序选用公式．8．8．在△ABC 中，sin 2A≤sin 2B ＋sin 2C －sinB sinC ，则A 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：根据正弦定理，将角化为边，原式化为，，而根据余弦定理，，所以．考点：1．正弦定理；2．余弦定理．视频9．在ABC ∆中，已知30A =，8a =，b =ABC ∆的面积为（ ）A ．B ．16C ．或16D ．或 【答案】D 【解析】试题分析：在ABC ∆中,︒=30A ,38,8==b a ,由余弦定理bc a c b A 2cos 222-+=得cc 328641922330cos 2-+==︒,解得16=c 或8=c ,又332sin 21==∆A bc S ABC 或316,故选D.考点：余弦定理和三角形面积公式.【思路点晴】本题考查的知识点时三角形中的几何计算,余弦定理和三角形面积公式,属基础题目.由已知,在ABC ∆中︒=∠30A ,可以求出c 的值,代入A bc S ABC sin 21=∆,即可求出三角形的面积,其中根据已知利用余弦定理求出c 的值,是解答本题的关键.需要注意的是,本题解出两个c 值,代回均符合题意,因此有两组面积值.10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF =2AF ，则（ ）A ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =213AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +913AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =29AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +127AB ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =313AC⃑⃑⃑⃑⃑ +613AB ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =313AC⃑⃑⃑⃑⃑ +913AB⃑⃑⃑⃑⃑ 【答案】D 【解析】 【分析】先设DF =2AF =2，根据题意可知∠ADB =120°，求出AB 的长，延长AD 交BC 于M ，求出BM 、DM 的长，再由平面向量基本定理即可得出结果.【详解】设DF =2AF =2，因此BD =AF =1，又由题意可得∠ADB =120°， 所以AB 2=AD 2+BD 2−2AD ∙BD ∙cos∠ADB =32+12−6cos∠120°=13， 因此AB =√13； 延长AD 交BC 于M ， 记∠DAB =θ，∠AMB =α， 则cos∠DAB =AD 2+AB 2−BD 22AD∙AB=6√13=7√1326，所以sin∠DAB =√1−cos 2∠DAB =√3926； 又由题意易知∠DAB =∠DBM ，则α=120°−θ， 在三角形DBM 中，由正弦定理可得BM sin∠MDB=DM sin ∠DBM=BDsin ∠DMB， 即BMsin60°=DM sin θ=1sin(120°−θ)，因此BM =sin60°sin(120°−θ)=√32√32cosθ+12sinθ=√134=14BC ，DM =sin θsin(120°−θ)=√32cosθ+12sinθ=14，所以AD =33+14AM =1213AM ，因为BM =14BC ，所以BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =14BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −AB⃑⃑⃑⃑⃑ =14(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )， 整理得AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =1213AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1213(34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=913AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +313AC ⃑⃑⃑⃑⃑ . 故选D【点睛】本题主要考查解三角形以及平面向量基本定理，熟记正弦定理和余弦定理、以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.11．ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．a =3，b =6，A =300B ．b =6，c =4，A =1200C ．a =4√3，b =6，A =600D ．a =2，b =3，A =300【答案】D 【解析】 【分析】逐一分析每个选项，结合正弦定理及大边对大角原则，进行判断。
2020考前必刷题6解三角形与平面向量综合测试(理)
满足sin A：sin B：sin C＝2：3：7，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为________．16．[2019·山东德州模拟]在△ABC中，D为BC边上一点，AD＝2，∠DAC＝60°.若AC ＝4－CD且△ABC的面积为43，则sin∠ABC＝________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)[2017·全国卷Ⅱ，17]△ABC的内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2B 2.(1)求cos B；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.18．(本小题满分12分)[2019·衡水模拟]如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos A＝b cos C＋c cos B.(1)求角A的大小；(2)若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，求AD的长．19．(本小题满分12分)[2019·河南南阳一中考试]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin B(a cos B＋b cos A)＝3c cos B.(1)求B；(2)若b＝23，△ABC的面积为23，求△ABC的周长．20.(本小题满分12分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB→＝b .试用a 和b 表示向量OM →.21．(本小题满分12分)[2019·湖南师大附中月考]已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 满足sin B sin C ＝(sin 2B ＋sin 2C －sin 2A )tan A .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的外接圆的圆心是O ，半径是1，求OA →·(AB →＋AC →)的取值范围．22．(本小题满分12分)＝32，∴AB ＝32＝4 2. 故选A. 7．答案：B解析：∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2， ∴B ＋π4＝π2，B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B 得，sin A ＝2sinπ42＝12.∵a <b ，∴A ＝π6.8．答案：B解析：解法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，代入数据，得a ＝3，又cos B ＝34，B ∈(0，π)，所以sin B ＝74，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝372，故选B. 解法二 由cos B ＝34，B ∈(0，π)，得sin B ＝74，由正弦定理b sin B ＝csin C 及b ＝7，c ＝4，可得sin C ＝1，所以C ＝π2，所以sin A ＝cos B ＝34，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝372，故选B.9．答案：B 解析：在△ABC 中，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，OG ，如图所示，则OD ⊥BC ，GD ＝13AD ，因为OG →＝OD →＋DG →，AD →＝12(AB →＋AC →)，OG →·BC →＝5，所以(OD →＋DG → )·BC →＝DG → ·BC →＝－16 (AB →＋AC → )·BC →＝5，即－16 (AB →＋AC → )·(AC →－AB → )＝5，所以AC →2－AB →2＝－30.又BC ＝5，则|AB →|2＝|AC →|2＋65|BC →|2>|AC →|2＋|BC →|2，由余弦定理得cos C <0，所以π2<C <π，所以△ABC 是钝角三角形．10．答案：A解析：由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →.又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.11．答案：D解析：设OP 3→＝(x ，y )，则由OP 3→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3→＝(x ，－x )．若OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.12．答案：D 解析：如图，由AB ＝1，BC ＝2，可得AC ＝3，以AB 所在直线为x 轴，以AC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (1,0)，C (0，3)，直线BC 方程为x ＋y3＝1，则直线AM 方程为y ＝33x ，联立解得M ⎝⎛⎭⎫34，34.由图可知，当P 在线段BC 上时，AM →·BP →有最大值为0，当P 在线段AC 上时，AM →·BP →有最小值，设P (0，y )(0≤y ≤3)，∴AM →·BP →＝⎝⎛⎭⎫34，34·(－1，y )＝－34＋34y ≥－34，∴AM →·BP →的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34，0.故选D. 13．答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝⎛⎭⎫12λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.14．答案：3π4解析：根据题意，由a ∥b ，得3x ＝2×(－4)，解得x ＝－83，由a ⊥c ，得3×2＋(－4)×y＝0，解得y ＝32，则b ＝⎝⎛⎭⎫2，－83，c ＝⎝⎛⎭⎫2，32.设a －3b 与a ＋2c 的夹角为θ，∵a －3b ＝(－3,4)，a ＋2c ＝(7，－1)，∴cos θ＝(a －3b )·(a ＋2c )|a －3b |·|a ＋2c |＝－3×7＋4×(－1)5×52＝－22.又∵0<θ<π，∴θ＝3π4，即a －3b 与a ＋2c 的夹角为3π4. 15．答案：63解析：由正弦定理及sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：7可知，a ：b ：c ＝2：3：7，由a ＋b ＋c ＝10＋27，得a ＝4，b ＝6，c ＝27，代入公式S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222可得△ABC 的面积为6 3. 16．答案：3926解析：在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝4＋(4－CD )2－4(4－CD )·cos60°， 解得CD ＝2，故CD ＝AC ＝AD ，所以△ACD 为正三角形，∠C ＝60°. 所以S △ABC ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×BC ×2×32＝43，故BC ＝8.在△ABC 中，由余弦定理得 AB ＝64＋4－2×8×2×12＝213，由三角形的面积公式，得12×213×8sin ∠ABC ＝43，所以sin ∠ABC ＝43813＝3926.17．解析：本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用． (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.。
用平面向量解三角形问题
第五编 平面向量、解三角形§5.1 平面向量的概念及线性运算基础自测 1.下列等式正确的是 （填序号）.①a +0=a ②a +b =b +a ③+≠0 ④=++答案 ①②④2.如图所示，在平行四边行ABCD 中，下列结论中正确的是 . ①= ②+= ③-= ④+=0答案 ①②④3.（2008²广东理，8）在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若=a ,=b ,则= . 答案 32a +31b 4.若ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且AB =a ，AD =b ，则= . 答案 b -21a 5.设四边形ABCD 中，有=21，且||=||，则这个四边形是 . 答案 等腰梯形例1 给出下列命题①向量的长度与向量的长度相等；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为 .答案 4例2 如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形， AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知=a ，=b，=c，试用a 、b 、c 表示，，+.C D∵MN =MD ++AN ，∴=-21,=-,=21, ∴MN =21a -b -21c . +CN =+MN +CM +MN =2MN =a -2b -c .例3 设两个非零向量a 与b 不共线，（1）若=a +b ,=2a +8b ,=3(a -b )，求证：A 、B 、D 三点共线；（2）试确定实数k ，使k a +b 和a +k b 共线.（1）证明 ∵=a +b ,=2a +8b ,=3(a -b ),∴=+=2a +8b +3(a -b )=2a +8b +3a -3b=5(a +b )=5.∴、共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线.（2）解 ∵k a +b 与a +k b 共线，∴存在实数λ，使k a +b =λ(a +k b ), 即k a +b =λa +λk b .∴(k -λ)a =(λk -1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k -λ=λk -1=0，∴k 2-1=0.∴k =±1.例4 （14分）如图所示，在△ABO 中，=41, =21,AD 与BC 相交于点M ，设=a ，=b .试 用a 和b 表示向量.解 设OM =m a +n b ， 则=-=m a +n b -a =(m -1)a +n b .=-=21-=-a +21b . 又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM 与AD 共线.∴存在实数t ,使得=t ，即(m -1)a +n b =t (-a +21b ). 4分 ∴(m -1)a +n b =-t a +21t b . ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-21t n t m ，消去t 得：m -1=-2n . 即m +2n =1. ① 6分∴又∵CM =-=m a +n b -41a =(m -41)a +n b . =-=b -41a =-41a +b . 又∵C 、M 、B 三点共线，∴与共线. 10分∴存在实数t 1,使得=t 1,∴(m -41)a +n b =t 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-41, ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=-114141t n t m ，消去t 1得,4m +n =1 ② 12分由①②得m =71,n =73, ∴OM =71a +73b . 14分1.下列命题中真命题的个数为 .①若|a |=|b |，则a =b 或a =-b ;②若=，则A 、B 、C 、D 是一个平行四边形的四个顶点；③若a =b ,b =c ,则a =c ;④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c . 答案 12.在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC =BA ，在OB 上取点D ，使DB =31OB .DC 与OA 交于E ，设=a ，=b ，用a , b 表示向量，. 解 因为A 是BC 的中点，所以=21(+)，即=2-=2a -b ； =-=-32=2a -b -32b =2a -35b . 3.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ,t b ,31(a +b )三向量的终点在同一条直线上？ 解 设=a ，=t b ，=31(a +b )， ∴=-=-32a +31b ，=-=t b -a . 要使A 、B 、C 三点共线，只需AC =λ即-32a +31b =λt b -λa a b∴有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-t λλ3132，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2132t λ ∴当t =21时，三向量终点在同一直线上. 4.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN =2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值.解 方法一 设e 1=BM ,e 2=, 则=+CM =-3e 2-e 1，=+=2e 1+e 2.=λ=-3λe 2-λe 1，因为A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，所以存在实数μ、λ，使=μ=2μe 1+μe 2，∴=-=（λ+2μ）e 1+（3λ+μ）e 2， 另外=+=2e 1+3e 2，⎩⎨⎧=+=+3322μλμλ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5354μλ， ∴=54,=53,∴AP ∶PM =4∶1. 方法二 设=λAM ， ∵=21（+）=21+43， ∴=2λ+43λ. ∵B 、P 、N 三点共线，∴-=t (-),∴=(1+t )-t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t λλ4312∴2λ+43λ=1，λ=54，∴AP ∶PM =4∶1.一、填空题1.下列算式中正确的是 （填序号）.①++=0 ②-= ③0²=0 ④λ（μa ）=λ²μ²a 答案 ①③④2.（2008²全国Ⅰ理）在△ABC 中，=c ，=b ，若点D 满足=2，则= （用b ,c 表示）. 答案 32b +31c11是 .答案 等腰梯形4.如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若=a 1+b 2，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足a 0,b 0.(用“＞”,“＜”或“=”填空)答案 ＞ ＜5.设=x +y ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过端点O ），则x +y = .答案 16.已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若++=，则点P 在线段 上.答案 AC7.在△ABC 中，=a ，=b ，M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN 、AM 交于点P ，则可用a 、b 表示为 . 答案 -32a +31b 8.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2,=31+λ,则λ= . 答案 32 二、解答题9.如图所示，△ABC 中，=32，DE ∥BC 交AC 于E ，AM 是BC 边上中线，交DE 于N .设=a ，=b ，用a ,b 分别表示向量，，，，，. 解 ⎪⎭⎪⎬⎫=BC DE 32//⇒=32=32b . BC =AC -=b -a .由△ADE ∽△ABC ，得=32=32(b -a ). 由AM 是△ABC 的中线，DE ∥BC ，得=21DE =31(b -a ). 而且=+=a +21=a +21(b -a ) =21(a +b ). ⎪⎭⎪⎬⎫=∆∆ABM ADN 32⇒=32=31(a +b ). 10.如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，=32，=a ，=b . （1）用a 、b 表示向量、、、、；（2）求证：B 、E 、F 三点共线.（1）解 延长AD 到G ，使=21， 连接BG 、CG ，得到 ABGC ， ∽AD =21=21(a +b ), =32=31(a +b ). =21=21b , =-=31(a +b )-a =31(b -2a ). =-=21b -a =21(b -2a ). (2)证明 由(1)可知=32BF ,所以B 、E 、F 三点共线. 11.已知：任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：=21(+). 证明 方法一 如图，∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴+=0，FB +=0，又∵+++=0， ∴=++ ① 同理=++ ② 由①+②得，2=++（+）+（+）=+.∴=21(+). 方法二 连结，，则=+DC ，=+AB ，∴=21(+) =21(+++) =21(+). 12.已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且=x ，=y ， 求x 1+y1的值. 解 根据题意G 为三角形的重心，故AG =31(+AC )， =-=31(+)-x=(31-x )+31, =-=y - =y -31(+) =（y -31）-31, 由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知=λ⇒(31-x )+31 =λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--AB AC y 31)31(， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-)31(313131y x λλ⇒3131--x =3131-y ⇒x +y -3xy =0两边同除以xy 得x 1+y1=3. §5.2 平面向量基本定理及坐标表示基础自测 1.已知平面向量a =（1，1），b =(1,-1),则向量21a -23b = . 答案 (-1,2) 2.（2008² 安徽理）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则= . 答案 （-3，-5）3.若向量a =(1,1)，b =(1,-1),c =(-2,1),则c = （用a ,b 表示）.答案 -21a -23b 4.已知向量a =⎪⎭⎫ ⎝⎛x 2`1,8,b =(x ，1)，其中x ＞0，若(a -2b ）∥(2a +b )，则x 的值为 . 答案 45.设a =⎪⎭⎫ ⎝⎛43,sin x ，b =⎪⎭⎫ ⎝⎛x ，cos 2131，且a ∥b ，则锐角x 为 . 答案4π例1 设两个非零向量e 1和e 2不共线.（1）如果=e 1-e 2，=3e1+2e 2，=-8e 1-2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；121212（1）证明 =e 1-e 2，BC =3e 1+2e 2, CD =-8e 1-2e 2,=+=4e 1+e 2=-21(-8e 1-2e 2)=-21, ∴与共线， 又∵与有公共点C ， ∴A 、C 、D 三点共线.（2）解 =+=（e 1+e 2）+（2e 1-3e 2）=3e 1-2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴与共线，从而存在实数λ使得=λ,即3e 1-2e 2=λ(2e 1-k e 2)，由平面向量的基本定理，得⎩⎨⎧-=-=kλλ223，解之得λ=32，k =34. 例2 已知点A （1，0）、B （0，2）、C （-1，-2），求以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标.解 设D 的坐标为（x ,y ）.(1)若是 ，则由=DC 得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x ,y ),即(-1,2)=(-1-x ,-2-y ),∴⎩⎨⎧=---=--2211y x , ∴x =0，y =-4.∴D 点的坐标为（0，-4）（如图中的D 1）.（2，则由=CB 得（x ，y ）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），即(x -1,y )=(1,4).解得x =2,y =4.∴D 点坐标为（2，4）（如图中的D 2）.（3，则由=得（0，2-（1，0）=（x ,y ）-(-1,-2),即(-1,2)=(x +1,y +2).解得x =-2,y =0.∴D 点的坐标为（-2，0）（如图中的D 3）.综上所述，以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为（0，-4）或（2，4）或（-2，0）. 例3 （14分）平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1).回答下列问题：（1）若（a +k c ）∥(2b -a )，求实数k ;(2)设d =(x ,y )满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,求d .解 （1）∵（a +k c ）∥（2b -a ），又a +k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2), 2分 ∴2³(3+4k )-(-5)³(2+k )=0, 4分 ∴k =-1316. 6分 （2）∵d -c =(x -4,y -1),a +b =(2,4),又(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,∴()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=---1140124422y x y x ， 10分 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=5521554y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5521554y x . 12分∴d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++55255520，或d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--55255520，. 14分1.如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM =c ，=d ，试用c ，d 表示，AD . 解 方法一 设AB =a ，AD =b ，则a =+=d +⎪⎭⎫ ⎝⎛-b 21 b =+=c +⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 21 将②代入①得a =d +⎪⎭⎫ ⎝⎛-21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a c 21 ⇒a =d 34-32c ,代入② 得b =c+⎪⎭⎫ ⎝⎛-21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-c d 323434c -32d 即=34d-32c ，=34c -32d 方法二 设=a ，=b .因M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以=21b ，=21a ， 因而⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b a d a b c 2121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)2(32)2(32d c b c d a , 即AB =32(2d -c ), AD =32(2c -d ). 2.已知A （-2，4）、B （3，-1）、C （-3，-4）且CM =3，=2，求点M 、N 及的坐标. 解 ∵A （-2，4）、B （3，-1）、C （-3，-4）， ∴=（1，8），=（6，3），∴CM =3=（3，24），=2=（12，6). 设M （x ，y ），则有CM =（x +3，y +4），∴⎩⎨⎧=+=+24433y x ，∴⎩⎨⎧==200y x , ∴M 点的坐标为（0，20）.同理可求得N 点坐标为（9，2），因此=（9，-18），故所求点M 、N 的坐标分别为（0，20）、（9，2），的坐标为（9，-18）.3.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且=31，=31. 求证：∥. 证明 设E 、F 两点的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则依题意，得=（2，2），=（-2，3）， =（4，-1）.AE =31=⎪⎭⎫ ⎝⎛32,32,BF =31=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32 =(x 1,y 1)-(-1,0)= ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,32, =(x 2,y 2)-(3,-1)= ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32.一、填空题1.已知向量a =(2,3),b =(-1,2)，若m a +n b 与a -2b 共线，则n m = . 答案 -21 2.设a 、b 是不共线的两个非零向量，已知=2a +p b ，BC =a +b ，CD =a -2b .若A 、B 、D 三点共线，则 p 的值为 .答案 -13.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则21= . 答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-214， 4.（2007²北京文）已知向量a =(2,4),b =(1,1),若向量b ⊥(a +λb )，则实数λ的值是. 答案 -3EF EF .AB AB的坐标为 .答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛272， 6.设0≤θ＜2π，已知两个向量1=（cos θ，sin θ），2OP =（2+sin θ，2-cos θ），则向量21P P 长度的最大值是 . 答案 327.（2008²全国Ⅱ文）设向量a =(1,2),b =(2,3)，若向量λa +b 与向量c =(-4,-7)共线，则λ= .答案 28.（2008²菏泽模拟）已知向量m =(a -2,-2),n =(-2,b -2),m ∥n (a ＞0,b ＞0)，则ab 的最小值是 .答案 16二、解答题9.已知A （-2，4），B （3，-1），C （-3，-4）.设=a ，=b ，=c ，且CM =3c ，=-2b ，（1）求：3a +b -3c ；（2）求满足a =m b +n c 的实数m ，n .解 由已知得a =(5,-5),b =(-6,-3),c =(1,8).(1)3a +b -3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).（2）∵mb +nc =（-6m +n ，-3m +8n ），∴⎩⎨⎧-=+-=+-58356n m n m ，解得⎩⎨⎧-=-=11n m . 10.若a ,b 为非零向量且a ∥b ,λ1,λ2∈R ,且λ1λ2≠0.求证：λ1a +λ2b 与λ1a -λ2b 为共线向量.证明 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).∵a ∥b ,b ≠0,a ≠0,∴存在实数m ,使得a =m b ,即a =(x 1,y 1)=(mx 2,my 2),∴λ1a +λ2b =((m λ1+λ2)x 2,(m λ1+λ2)y 2)=(m λ1+λ2)(x 2,y 2)同理λ1a -λ2b =(m λ1-λ2)(x 2,y 2),∴(λ1a +λ2b )∥(λ1a -λ2b )∥b , 而b ≠0,∴(λ1a +λ2b )∥(λ1a -λ2b ). 11.中，A （1，1），=（6，0），点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .（1）若=（3，5），求点C 的坐标；（2）当||=||时，求点P 的轨迹.解 （1）设点C 坐标为（x 0，y 0）,又=+=（3，5）+（6，0）=（9，5）,即（x 0-1,y 0-1）=（9，5），∴x 0=10，y 0=6，即点C （10，6）.（2）由三角形相似，不难得出=2MP设P （x ,y ），则BP =-=（x -1，y -1）-（6，0）=（x -7，y -1）,=AM +MC =21+3MP=21+3（-21） =3-=（3（x -1），3（y -1））-（6，0）=（3x -9，3y -3），∵||=||为菱形，∴AC ⊥BD ，∴⊥BP ，即（x -7，y -1）²（3x -9，3y -3）=0.（x -7）（3x -9）+（y -1）（3y -3）=0，∴x 2+y 2-10x -2y +22=0（y ≠1）.∴（x -5）2+（y -1）2=4（y ≠1）.故点P 的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y =1的两个交点.12.A (2,3),B (5,4),C (7,10),=+λ.当λ为何值时，（1）点P 在第一、三象限的角平分线上；（2）点P 到两坐标轴的距离相等？解 （1）由已知=（3，1），AC =（5，7），则+λ=(3，1)+λ(5，7)=（3+5λ，1+7λ）.设P （x ，y ），则=（x -2，y -3），∴⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x ，∴⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x .∵点P 在第一、三象限的角平分线上，∴x =y ，即5+5λ=4+7λ,∴λ=21. (2）若点P 到两坐标轴的距离相等，则|x |=|y |,即|5+5λ|=|4+7λ|,∴λ=21或λ=-43.1.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为 .答案 565 2.在边长为1的正三角形ABC 中，设=a ，=c ，=b ，则a ²b +b ²c +c ²a = . 答案21 3.向量a =(cos15°,sin15°),b =(-sin15°,-cos15°),则|a -b |的值是 .答案 34.（2009²常州市武进区四校高三联考）已知向量a =(2,1),b =(3,λ) (λ＞0),若(2a -b )⊥b ,则λ= .答案 35.(2008²浙江理)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足（a -c ）²（b -c ）=0，则|c |的最大值是 . 答案 2例1 已知向量a =⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 23sin ,23cos b =⎪⎭⎫ ⎝⎛-2sin ,2cos x x 且x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ. （1）求a ²b 及|a +b |; (2)若f (x )=a ²b -|a +b |，求f (x )的最大值和最小值.解 （1）a ²b =cos 23x cos 2x -sin 23x sin 2x =cos2x , a +b =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2sin 23sin 2cos 23cos x x ，x x(2)由（1）可得f (x )=cos2x -2cos x =2cos 2x -2cos x -1∴当cos x =21时，f (x )取得最小值为-23； 当cos x =1时，f (x )取得最大值为-1.例2 已知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β)(0＜α＜β＜π).(1)求证：a +b 与a -b 互相垂直；（2）若k a +b 与a -k b 的模相等，求β-α.(其中k 为非零实数)（1）证明 (a +b )²(a -b )=a 2-b 2=|a |2-|b |2=(cos 2α+sin 2α)-(cos 2β+sin 2β)=0, ∴a +b 与a -b 互相垂直.（2）解 k a +b =(k cos α+cos β,k sin α+sin β),a -k b =(cos α-k cos β,sin α-k sin β), b a +k =,1)cos(22+-+αβk kb a k -=.)cos(212k k +--αβb a +k =b a k -,).cos(2)cos(2αβαβ--=-∴k k又k ≠0,∴cos(αβ-)=0.而0＜α＜β＜π,∴β-α=2π. 例3 （14分）设两个向量e 1,e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1与e 2的夹角为3π,若向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹 角为钝角，求实数t 的范围.解 由向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为钝角，得()()2121212·72·72e e e e e e e ++++＜0, 3分 即(2t e 1+7e 2)²(e 1+t e 2)＜0, 化简即得：2t 2+15t +7＜0,t e 1 t t t解得-7＜t ＜-21, 7分 当夹角为π时，也有(2te 1+7e 2)²(e 1+t e 2)＜0,但此时夹角不是钝角，2t e 1+7e 2与e 1+t e 2反向. 9分设2t e 1+7e 2=λ(e 1+t e 2),λ＜0,可求得⎪⎩⎪⎨⎧<==072λλλt t ，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=21414t λ 12分∴所求实数t 的范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2147, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,214. 14分1.向量a =(cos23°,cos67°),向量b =(cos68°,cos22°).(1)求a ²b ；（2）若向量b 与向量m 共线，u =a +m ,求u 的模的最小值.解 （1）a ²b =cos23°²cos68°+cos67°²cos22°=cos23°²sin22°+sin23°²cos22°=sin45°=22. （2）由向量b 与向量m 共线，得m =λb (λ∈R ），u =a +m =a +λb=(cos23°+λcos68°,cos67°+λcos22°)=（cos23°+λsin22°，sin23°+λcos22°），|u |2=(cos23°+λsin22°)2+(sin23°+λcos22°)2 =λ2+2λ+1=222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ +21， ∴当λ=-22时，|u |有最小值为22. 2.已知平面向量a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21,b =(-3,-1). (1)证明：a ⊥b ;(2）若存在不同时为零的实数k 、t ,使x =a +(t 2-2)b ,y =-k a +t 2b ,且x ⊥y ，试把k 表示为t 的函数.(1)证明 a ²b =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21²()1,3-- =⎪⎭⎫ ⎝⎛-21³(-3)+23³(-1)=0, ∴a ⊥b .(2)解 ∵x ⊥y ,∴x ²y =0,即［a +(t 2-2)b ］²（-k a +t 2b ）=0.展开得-k a 2+［t 2-k (t 2-2)］a ²b +t 2(t 2-2)b 2=0,∵a ²b =0,a 2=|a |2=1,b 2=|b |2=4,∴-k +4t 2(t 2-2)=0,∴k =f (t )=4t 2 (t 2-2).3.设a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，且a 与b 具有关系|k a +b |=3|a -k b |(k ＞0).（1）用k 表示a ²b ；（2）求a ²b 的最小值，并求此时a 与b 的夹角.解 （1）∵|k a +b |=3|a -k b |，∴(k a +b )2=3(a -k b )2，且|a |=|b |=1，即k 2+1+2k a ²b =3(1+k 2-2k a ²b )，∴4k a ²b =k 2+1.∴a ²b =kk 412+(k ＞0）. （2）由（1）知：∵k ＞0∴a ²b =kk k k 1··2·41414≥+ =21. ∴a ²b 的最小值为21(当且仅当k =1时等号成立) 设a 、b 的夹角为θ，此时cos θ=b a b a ·=21. 0≤θ≤π,∴θ=3π. 故a ²b 的最小值为21，此时向量a 与b 的夹角为3π.一、填空题 1.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA ²OB =OB ² OC =OC ²OA ，则点O 是△ABC 的 心.答案 垂2.若向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°,则a ²b +b ²b 的值为 .答案 53.已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=4,且a ²b =2,则a 与b 的夹角为 .答案 3π 4.若a 与b -c 都是非零向量，则“a ²b =a ²c ”是“a ⊥（b -c ）”的 条件.答案 充要5.已知a ，b 是非零向量，且满足（a -2b ）⊥a ，（b -2a ）⊥b ，则a 与b 的夹角是 .答案 3π 6.（2009²成化高级中学高三期中）已知3a +4b +5c =0,且|a |=|b |=|c |=1,则a ²(b +c )= .答案 53- 7.（2008²天津理，14）如图所示，在平行四边形ABCD 中，=（1，2），=（-3，2），则²= .答案 38.（2008² 江西理，13）直角坐标平面内三点A （1，2）、B （3，-2）、C （9，7），若E 、F 为线段BC 的三等分点，则²= . 答案 22二、解答题9.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：（a -b ）⊥c ;(2)若|k a +b +c |＞1 (k ∈R )，求k 的取值范围.（1）证明 ∵（a -b ）²c =a ²c -b ²c=|a |²|c |²cos120°-|b |²|c |²cos120°=0,∴（a -b ）⊥c .（2）解 |k a +b +c |＞1⇔|k a +b +c |2＞1, ⇔k 2a 2+b 2+c 2+2k a ²b +2k a ²c +2b ²c ＞1. ∵|a |=|b |=|c |=1，且a 、b 、c 的夹角均为120°, ∴a 2=b 2=c 2=1，a ²b =b ²c =a ²c =-21， ∴k 2+1-2k ＞1,即k 2-2k ＞0,∴k ＞2或k ＜0.10.已知a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛32cos ,32sin ,34cos ,34sin θθθθb ,且θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡π30,. （1）求ba b a +·的最值； （2）若|k a +b |=3|a -k b | (k ∈R ),求k 的取值范围.解 （1）a ²b =-sin34θ²sin 32θ+cos 34θ²cos 32θ=cos2θ， |a +b |2=|a |2+|b |2+2a ²b =2+2cos2θ=4cos 2θ.∵θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π，∴cos θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21，∴|a +b |=2cos θ. ∴ba b a +·= θθcos 22cos =cos θ-θcos 21. 令t =cos θ,则21≤t ≤1,⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t 21′=1+221t ＞0, ∴t -t 21在t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡121，上为增函数. ∴-21≤t -t21≤21， 即所求式子的最大值为21，最小值为-21. （2）由题设可得|k a +b |2=3|a -k b |2,∴(k a +b )2=3(a -k b )2又|a |=|b |=1,a ²b =cos2θ，∴cos2θ=kk 412+. 由θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡π30,，得-21≤cos2θ≤1. ∴-21≤kk 412+≤1.解得k ∈［2-3，2+3］ {-1}. 11.设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.解 由|m |=1，|n |=1，夹角为60°，得m ²n =21. 则有|a |=|2m +n |=2)2(n m +=2244n n ·m m ++=7.|b |=2)32(m n -=229124m n m n +⋅-=7.而a ²b =（2m +n ）²（2n -3m ）=m ²n -6m 2+2n 2=-27， 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ=b a b a ··=727-=-21.故a ，b 夹角为120°. 12.已知向量a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-222323x sin ，x cos ,x sin ，x cos b ,x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，.若函数f (x )=a ²b -21λ|a +b |的最小值为-23，求实数λ的值. 解 ∵|a |=1，|b |=1，x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，， ∴a ²b =cos 23x cos 2x -sin 23x sin 2x =cos2x ， |a +b |=2)(b a +=222b b a a +⋅+=x 2cos 22+=2x cos =2cos x .∴f （x ）=cos2x -λcos x =2cos 2x -λcos x -1 =224cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-λx -82λ-1，cos x ∈［0，1］. ①当λ＜0时，取cos x =0,此时f (x )取得最小值，并且f (x )min =-1≠-23,不合题意. ②当0≤λ≤4时，取cos x =4λ, 此时f (x ）取得最小值，并且f (x )min =-82λ-1=-23,解得λ=2. ③当λ＞4时，取cos x =1,此时f (x )取得最小值，并且f (x )min =1-λ=-23, 解得λ=25,不符合λ＞4舍去,∴λ=2. §5.4 正弦定理和余弦定理1.（2008²陕西理，3）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则a = .答案 22.（2008²福建理，10）在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tan B =3ac ，则角B 的值为 . 答案 3π或32π 3.下列判断中不正确的结论的序号是 .①△ABC 中，a =7，b =14，A =30°,有两解②△ABC 中，a =30,b =25,A =150°，有一解③△ABC 中，a =6,b =9，A =45°，有两解④△ABC 中，b =9,c =10,B =60°,无解答案 ①③④4.在△ABC 中，A =60°，AB =5，BC =7，则△ABC 的面积为 .答案 1035.（2008²浙江理，13）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若（3b -c ）cos A =a cos C ，则cos A = . 答案 33例1 在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°,求A 、C 和c .解 ∵B =45°＜90°且a sin B ＜b ＜a ,∴△ABC 有两解.由正弦定理得sin A =b B a sin =245sin 3︒ =23, 则A 为60°或120°.①当A =60°时，C =180°-(A +B )=75°,c =B C b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+. ②当A =120°时，C =180°-(A +B )=15°,c =B C b sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-. 故在△ABC 中，A =60°,C =75°,c =226+或 A =120°,C =15°,c =226-. 例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-c a b +2. （1）求角B 的大小；（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积.解 （1）由余弦定理知：cos B =acb c a 2222-+， cos C =abc b a 2222-+.将上式代入C B cos cos =-ca b +2得: ac b c a 2222-+²2222cb a ab -+=-c a b +2 整理得:a 2+c 2-b 2=-ac∴cos B =ac b c a 2222-+=ac ac 2- =-21 ∵B 为三角形的内角，∴B =32π. （2）将b =13,a +c =4,B =32π代入 b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b 2=(a +c )2-2ac -2ac cos B∴b 2=16-2ac ⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,∴ac =3. ∴S △ABC =21ac sin B =433. 例3 （14分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc =0. （1）求角A 的大小；（2）若a =3，求bc 的最大值；（3）求cb C a --︒)30sin(的值. 解 （1）∵cos A =bca cb 2222-+=bc bc 2-=-21, 2分 又∵A ∈（0°，180°），∴A =120°. 4分（2）由a =3,得b 2+c 2=3-bc ,又∵b 2+c 2≥2bc （当且仅当c =b 时取等号），∴3-bc ≥2bc (当且仅当c =b 时取等号）. 6分 即当且仅当c =b =1时，bc 取得最大值为1. 8分 （3）由正弦定理得：===C c B b A a sin sin sin 2R , ∴C R B R C A R c b C a sin 2sin 2)30sin(sin 2)30sin(--︒=--︒ 10分 =CB C A sin sin )30sin(sin --︒ 11分 =CC C C sin )60sin()sin 23cos 21(23--︒- 12分 =C C C C sin 23cos 23)sin 43cos 43-- 13分 =21. 14分 例4 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2+b 2）sin （A -B ）=（a 2-b 2）sin （A +B ），判断三角形的形状.解 方法一 已知等式可化为a 2［sin （A -B ）-sin （A +B ）］=b 2［-sin （A +B ）-sin(A -B )］∴2a 2cos A sin B =2b 2cos B sin A由正弦定理可知上式可化为：sin 2A cos A sin B =sin 2B cos B sin A∴sin A sin B (sin A cos A -sin B cos B )=0∴sin2A =sin2B ,由0＜2A ,2B ＜2π得2A =2B 或2A =π-2B ,即A =B 或A =2π-B ,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得2a 2cos A sin B =2b 2sin A cos B由正、余弦定理,可得a 2b bc a c b 2222-+= b 2a ac b c a 2222-+ ∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2)即(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0∴a =b 或a 2+b 2=c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形.1.（1）△ABC 中，a =8,B =60°,C =75°,求b ;(2)△ABC 中，B =30°,b =4,c =8,求C 、A 、a .解 （1）由正弦定理得B b A a sin sin =. ∵B =60°,C =75°,∴A =45°, ∴b =︒︒⨯=45sin 60sin 8sin sin A B a =46. (2)由正弦定理得sin C =430sin 8sin ︒=b B c =1. 又∵30°＜C ＜150°,∴C =90°.∴A =180°-(B +C )=60°,a =22b c -=43.2.已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为S ，且2S =（a +b ）2-c 2，求tan C 的值.解 依题意得ab sin C =a 2+b 2-c 2+2ab ,由余弦定理知,a 2+b 2-c 2=2ab cos C .所以,ab sin C =2ab (1+cos C ), 即sin C =2+2cos C ,所以2sin 2C cos 2C =4cos 22C 化简得：tan2C =2.从而tan C =2tan 12tan22C C-=-34. 3.（2008²辽宁理，17）在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c =2,C =3π. （1）若△ABC 的面积等于3，求a 、b 的值；（2）若sin C +sin(B -A )=2sin2A ,求△ABC 的面积.解 （1）由余弦定理及已知条件，得a 2+b 2-ab =4.又因为△ABC 的面积等于3，所以21ab sin C =3，所以ab =4. 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得⎩⎨⎧==22b a . （2）由题意得sin(B +A )+sin(B -A )=4sin A cos A , 即sin B cos A =2sin A cos A , 当cos A =0时，A =2π，B =6π，a =334，b =332. 当cos A ≠0时，得sin B =2sin A ,由正弦定理得b =2a ,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.334332b ，a 所以△ABC 的面积S =21ab sin C =332. 4.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，且2cos2B -8cos B +5=0,求角B 的大小并判断△ABC 的形状.解 方法一 ∵2cos2B -8cos B +5=0,∴2(2cos 2B -1)-8cos B +5=0.∴4cos 2B -8cos B +3=0,即(2cos B -1)(2cos B -3)=0.解得cos B =21或cos B =23（舍去）.∴cos B =21. ∵0＜B ＜π,∴B =3π. ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a +c =2b .∴cos B =acb c a 2222-+=ac c a c a 2)2(222+-+=21， 化简得a 2+c 2-2ac =0,解得a =c .又∵B =3π，∴△ABC 是等边三角形. 方法二 ∵2cos2B -8cos B +5=0，∴2（2cos 2B -1）-8cos B +5=0.∴4cos 2B -8cos B +3=0，即(2cos B -1)(2cos B -3)=0.解得cos B =21或cos B =23（舍去）. ∴cos B =21,∵0＜B ＜π,∴B =3π, ∵a ,b ,c 成等差数列，∴a +c =2b .由正弦定理得sin A +sin C =2sin B =2sin 3π=3. ∴sin A +sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 32π=3， ∴sin A +sin A cos 32π-cos A sin 32π=3. 化简得23sin A +23cos A =3,∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA =1. ∴A +6π=2π,∴A =3π, ∴C =3π,∴△ABC 为等边三角形.一、填空题1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ,则△ABC 一定是 三角形.答案 等腰 2.在△ABC 中，A =120°,AB =5,BC =7，则C B sin sin 的值为 . 答案 53 3.已知△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,且面积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A = . 答案 45°4.在△ABC 中，BC =2，B =3π，若△ABC 的面积为23，则tan C 为 . 答案 33 5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab ,则C = .答案 60°6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C = .答案 45°或135° 7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a =1,b =7,c =3,则B = .答案 65π 8.某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是 .答案 3或23二、解答题9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，并且a 2=b (b +c ).（1）求证：A =2B ；（2）若a =3b ,判断△ABC 的形状.（1）证明 因为a 2=b (b +c )，即a 2=b 2+bc ,所以在△ABC 中，由余弦定理可得, cos B =ac b c a 2222-+=ac bc c 22+=a c b 2+ =ab a 22=b a 2=BA sin 2sin , 所以sin A =sin2B ,故A =2B . （2）解 因为a =3b ,所以ba =3, 由a 2=b (b +c )可得c =2b , cos B =ac b c a 2222-+=22223443bb b b -+=23, 所以B =30°,A =2B =60°,C =90°. 所以△ABC 为直角三角形.10.（2008²全国Ⅱ理，17）在△ABC 中，cos B =-135，cos C =54. （1）求sin A 的值；（2）△ABC 的面积S △ABC =233，求BC 的长. 解 (1)由cos B =-135,得sin B =1312, 由cos C =54,得sin C =53. 所以sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C =6533. (2)由S △ABC =233,得21³AB ³AC ³sin A =233. 由(1)知sin A =6533,故AB ³AC =65. 又AC =C B AB sin sin ⨯=1320AB , 故1320AB 2=65,AB =213. 所以BC =C A AB sin sin ⨯=211. 11.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2-222b c - x -b =0 (a ＞c ＞b )的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S =103，c =7.（1）求角C ；（2）求a ，b 的值.解 （1）设x 1、x 2为方程ax 2-222b c -x -b =0的两根， 则x 1+x 2=a b c 222-，x 1²x 2=-ab . ∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=222)(4a b c -+ab 4=4. ∴a 2+b 2-c 2=ab . 又cos C =abc b a 2222-+=ab ab 2=21, 又∵C ∈(0°,180°),∴C =60°.(2)由S =21ab sin C =103，∴ab =40. ① 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C , 即c 2=(a +b )2-2ab (1+cos60°). ∴72=(a +b )2-2³40³⎪⎭⎫ ⎝⎛+211. ∴a +b =13.又∵a ＞b ②∴由①②，得a =8,b =5.12.（2008²广东五校联考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a +b =5，c =7，且4sin 22B A +-cos2C =27. (1)求角C 的大小；（2）求△ABC 的面积.解 （1）∵A +B +C =180°,由4sin22B A +-cos2C =27, 得4cos 22C -cos2C =27, ∴4²2cos 1C +-(2cos 2C -1)=27, 整理,得4cos 2C -4cos C +1=0,解得cos C =21, ∵0°＜C ＜180°,∴C =60°.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,即7=a 2+b 2-ab ,∴7=(a +b )2-3ab ， 由条件a +b =5,得7=25-3ab ,ab =6,∴S △ABC =21ab sin C =21³6³23=233.§5.5 正弦定理、余弦定理的应用1.在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°,C 点的俯角为70°，则∠BAC = . 答案 130°2.从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α、β的大小关系为 .答案 α=β3.在△ABC 中，若(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,且sin C =2sin A cos B ,则△ABC 是 三角形.答案 等边4.已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC =120°，则A 、C 两地的距离为 km.答案 1075.线段AB 外有一点C ，∠ABC =60°,AB =200 km,汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始 h 后，两车的距离最小.答案4370例1 要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB =75°，∠BCD =45°，∠ADC =30°，∠ADB =45°，求A 、B 之间的距离.解 如图所示，在△ACD 中，∠ACD =120°，∠CAD =∠ADC =30°，∴AC =CD =3 km.在△BCD 中，∠BCD =45°，∠BDC =75°，∠CBD =60°.∴BC =︒︒60sin 75sin 3=226+. △ABC 中，由余弦定理，得AB 2=(3)2+(226+)2-2³3³226+³cos75° =3+2+3-3=5，∴AB =5(km).∴A 、B 之间的距离为5 km.例2 （14分）沿一条小路前进，从A 到B ，方位角（从正北方向顺时针转到AB 方向所成的角）是50°，距离是3 km ，从B 到C ，方位角是110°，距离是3 km ，从C 到D ,方位角是140°，距离是（9+33）km.试画出示意图，并计算出从A 到D 的方位角和距离（结果保留根号）.解 示意图如图所示， 3分连接AC ，在△ABC 中，∠ABC =50°+(180°-110°)=120°,又AB =BC =3，∴∠BAC =∠BCA =30°. 5分由余弦定理可得AC =︒⋅-+120cos 222BC AB BC AB = )21(33299-⨯⨯⨯-+ =27=33(km). 8分在△ACD 中，∠ACD =360°-140°-(70°+30°)=120°,CD =33+9.由余弦定理得AD =︒⋅-+120222cos CD AC CD AC= )21()933(332)933(272-⨯+⨯⨯-++ =2629)(+(km). 10分 由正弦定理得sin ∠CAD =AD ACD sin CD ∠⋅ =2692923)933(+⨯+=22. 12分 ∴∠CAD =45°,于是AD 的方位角为50°+30°+45°=125°,所以，从A 到D 的方位角是125°，距离为2)62(9+km. 14分 例3 如图所示，已知半圆的直径AB =2，点C 在AB的延长线上，BC =1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值.解 设∠POB =θ，四边形面积为y ，则在△POC 中，由余弦定理得PC 2=OP 2+OC 2-2OP ²OC cos θ=5-4cos θ.∴y =S △OPC +S △PCD =21³1³2sin θ+43（5-4cos θ） =2sin(θ-3π)+435. ∴当θ-3π=2π，即θ=65π时，y max =2+435. 所以四边形OPDC 面积的最大值为2+435.1.某观测站C 在A 城的南偏西20°的方向.由A 城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人距C 为31千米正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A 城？解 设∠ACD =α，∠CDB =β.在△BCD 中，由余弦定理得cos β=CD BD CB CD BD ⋅-+2222 =21202312120222⨯⨯-+=-71， 则sin β=734, 而sin α=sin(β-60°)=sin βcos60°-cos βsin60°=734³21+23³71=1435, 在△ACD 中，由正弦定理得︒60sin 21=αsin AD , ∴AD =︒60sin sin 21α=23143521⨯=15(千米). 答 这个人再走15千米就可到达A 城.2.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD =α，∠BDC =β，CD =s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD =π-α-β由正弦定理得BDC BC ∠sin =CBD CD ∠sin ， 所以BC =CBD BDC CD ∠∠sin sin =)sin(sin s β+αβ⋅ 在Rt △ABC 中，AB =BC tan ∠ACB =)sin(sin tan βαβθ+s . 3.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图所示，要求∠ACB =60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米.为了使广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？且当AC 最短时，BC 长度为多少米？解 设BC =a （a ＞1）,AB =c ，AC =b ，b -c =21. c 2=a 2+b 2-2ab cos60°，将c =b -21代入得(b -21)2=a 2+b 2-ab , 化简得b (a -1)=a 2-41.由a ＞1,知a -1＞0. b =1412--a a =14322)1(2-+-+-a a a =(a -1)+)1(43-a +2≥3+2, 当且仅当a -1=)1(43-a 时，取“=”号，即a =1+23时，b 有最小值2+3. 答 AC 最短为(2+3)米，此时，BC 长为(1+23)米.一、填空题1.海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°视角，则B 、C 的距离是 海里.答案 562.为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是 m.答案 20(1+33) 3.如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 km.答案 3a4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为 海里/小时.答案 2617 5.如图所示，在河岸AC 测量河的宽度BC ，图中所标的数据a ，b ，c ，α，β是可供测量的数据.下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是 （填序号）.①c 和α ②c 和b ③c 和β ④b 和α答案 ④6.如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°,与灯塔S 相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为 海里/小时.答案 20(6-2) 7.在△ABC 中，若∠C =60°，则c b a ++ac b += . 答案 18.（2008²苏州模拟）在△ABC 中，边a ,b ,c 所对角分别为A ,B ,C ，且a A sin =b B cos =c C cos ,则∠A = . 答案 2π 二、解答题 9.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，设f （x ）=a 2x 2-（a 2-b 2）x -4c 2.（1）f （1）=0且B -C =3π，求角C 的大小； （2）若f （2）=0，求角C 的取值范围. 解 （1）∵f （1）=0，∴a 2-(a 2-b 2)-4c 2=0，∴b 2=4c 2，∴b =2c ，∴sin B =2sin C ，又B -C =3π.∴sin(C +3π)=2sin C ， ∴sin C ²cos3π+cos C ²sin 3π=2sin C ， ∴23sin C -23cos C =0，∴sin(C -6π)=0， 又∵-6π＜C -6π＜65π，∴C =6π. （2）若f （2）=0，则4a 2-2(a 2-b 2)-4c 2=0，∴a 2+b 2=2c 2，∴cos C =ab c b a 2222-+=ab c 22， 又2c 2=a 2+b 2≥2ab ，∴ab ≤c 2，∴cos C ≥21， 又∵C ∈（0，π），∴0＜C ≤3π. 10.（2008²泰安模拟）在△ABC 中，a ,b ,c 分别为角A ，B ，C 的对边.已知a =1,b =2,cos C =43. (1)求边c 的值；（2）求sin(C -A )的值.解（1）c 2=a 2+b 2-2ab cos C=12+22-2³1³2³43=2， ∴c =2.（2）∵cos C =43，∴sin C =47. 在△ABC 中，A a sin =C c sin ,即A sin 1=472.∴sin A =814,∵a ＜b ,∴A 为锐角，cos A =825. ∴sin(C -A )=sin C cos A -cos C sin A=47³825-43³814=1614. 11.如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧 AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，。
平面向量与解三角形单元检测题(含答案)
平面向量与解三角形单元检测题、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)1.设 x , y € R,向量 a = (x, 1) , b = (1 , y ) , c = (2 , — 4),且 a 丄 c, b II c ,则| a + b | =( )C . 2 ：5D . 10uuu 1 uuu uur um 2 uuu 2•在△ ABC 中, N 是 AC 边上一点，且 AN = 2 NC ,P 是 BN 上的一点，若 AP = m AB + 9 AC ,则实数m 的值为()C . 1D . 33. 已知点 A ( — 1 , 1),巳1 , 2) , Q — 2, — 1) , D (3 , 4)，则向量A B 在&方向上的投影为C.4•在直角坐标系xOy 中，XB= (2,1) , AC= (3 , k )，若三角形 ABC 是直角三角形，则 k 的可能值个数是()A. 1 B . 2 C . 3 D . 45.已知向量a 与b 的夹角为120°, |a | = 3, |a + b | =卫，则|b |等于 ().A . 5B . 4C . 3D. 16•在四边形 ABCD 中, AC= (1 , 2) , B D- ( — 4, 2)，则该四边形的面积为B. 2 '5 C .5 D . 107.如图所示,非零向量；：：.=a , =b ,且BCLOA,C 为垂足，若|-訂'=入a (入工0),贝U 入=()&在△ ABC 中,sin 2A <sin 2B+sin 2C-sin Bsin C,贝U A 的取值范围是( )n n(C)(0, — ] (D)[ — , n )3 3nn(A)(0, ] (B )[ , n )6 6 9.设△ ABC 的内角代B,C所对边分别为a, b, c.若b+ c= 2a, 3sin A= 5sin B,则角C10. 在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A, B, C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数入，使得O G= x O AF(1 —入)脸立，此时称实数入为“向量6快于O和3B勺终点共线分解系数”. 若已知R(3, 1) , P2(—1,3),且向量OP与向量a= (1,1)垂直，则“向量OP 关于OP和OP的终点共线分解系数”为()A.—3 B . 3 C . 1 D . —1二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)uir um11. ______________ 在平面直角坐标系xOy中，已知OA = ( —1, t), OB = (2,2).若/ ABO=90°，则实数t的值为.12. 已知a= (1,2) , b= (1 ,入)，若a与b的夹角为钝角，则实数入的取值范围是______ 13. ___________________________________________________________ 已知正方形ABC啲边长为2, E为CD的中点，贝U XE- B D= __________________________ .n14. 设e1, e2为单位向量，且e1, e2的夹角为—，若a= & + 3e2, b= 2e1，则向量a在b方3向上的射影为_________ .15. ____________________________________________________________________ 若非零向量a, b满足| a| = | b| , (2 a+ b) • b= 0，则a与b的夹角为_______________________ .三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16. 已知△ ABC勺角A B, C所对的边分别是a, b, c,设向量m^ (a, b) , n= (sin B, sin A, P= ( b— 2, a— 2).(1)若m// n,求证：△ ABC为等腰三角形；n(2)若ml p,边长c = 2，角C=—，求△ ABC的面积.17. 在△ ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列；(2) 若CnS,求a的值.3 b118. 在△ ABC中,a、b、c分别是角A B C所对的边，且a= c+bcos C.2(1)求角B的大小；(2)若&ABC=、、3 ,求b的最小值.2C 2A 3 19. 在△ ABC中，角A B, C的对边分别为a, b, c,若a cos + c cos?= ?b.(1)求证：a, b, c成等差数列；(2)若/ B= 60°, b= 4,求厶ABC勺面积.20. △ ABC 为一个等腰三角形形状的空地 ,腰AC 的长为3(百米),底AB 的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路 EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为S 和S 2.(1)若小路一端E 为AC 的中点,求此时小路的长度； ⑵若小路的端点E 、F 两点分别在两腰上，求S1的最小值.S2参考答案：2x — 4= 0,x = 2,1. B由题意可知解得—4— 2y = 0,y =— 2.故 a + b = (3 , — 1), |a + b | =你.uuu 1 uuu uuu 1 uuuuur uuu 2 uuu uuu 2 2.选B 如图，因为AN = ^NC ，所以 AN = -AC ,AP = = m AB + - AC = m AB +&93uur2 1AN ，因为B, P , N 三点共线，所以3= 1，所以mi= 3.3. A 解析 AB= (2 , 1), S D= (5 , 5)，所以A i B 在6［方向上的投.AB - cr> 形為. .=• -J --1 Cl)_2X5+1X5― 15 __3曲一护5挖 2sin B sin C2 cos B cosCsin A(1) 证明：b(2) 如图，点 ocos Ac 2a ;O 是厶ABC 外一点，设 AOB(0)21•已知△ ABC 的角A, B, C 所对的边分别是 a ，b , c ,且满足OA=2OB2，当b C 时，求平面四边形OACBT 积的最最大值。
高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试题(含答案)
高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》（时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-2．已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π33.已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 24．已知向量，若，则实数m 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（ ）A. 4B. 4-C. 2D. 2-7．已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（ ）A. 2B. 37 D. 48．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-9.已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3-10.已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A. 322 B. 2 C. 322- D. 3152- 11．在矩形ABCD 中， 3AB =， 3BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（ ）A. 0B. 833C. 4-D. 4 12．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为 （ ）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．14.已知单位向量a ， b 满足()1•232a ab -=，则向量a 与b 的夹角为__________． 15．在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ， E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ， b 表示）.16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +）（1）求证： AB BC ⊥；(2) //AD BC ，求实数m 的值.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-．（1）求a b +与a b -的夹角；（2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值．19．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求；（2）求与的夹角.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.21．（本小题12分）已知向量a 与b 的夹角为120︒， 2,3a b ==， 32,2m a b n a kb =-=+. （I ）若m n ⊥，求实数k 的值； （II ）是否存在实数k ，使得//m n ？说明理由.22.（本小题12分）已知点(1,0),(0,1)A B -，点(,)P x y 为直线1y x =-上的一个动点.（1）求证：APB ∠恒为锐角；（2）若四边形ABPQ 为菱形，求BQ AQ ⋅的值.高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》参考答案（时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）．A. 20B. 10C. 10-D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ．2．【2017届北京房山高三上期末】已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（ ）A. π6B. π4C. π3D. 2π3【答案】C3.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=,故选：C.4．已知向量，若，则实数m 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C.D. 2或 【答案】C 【解析】∵向量，且 ∴， ∴.选C. 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e【答案】C6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（ ）A. 4B. 4-C. 2D. 2-【答案】A【解析】()1,2A --, ()()0,1,5B C a -，三点共线ABAC λ∴→=→即()()1162a λ=+，，()16{ 12a λλ==+ 16λ∴=, 4a = 故答案选A .7．【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（ ） A. 2 B. 23 C. 7 D. 4 【答案】C 8．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ．9.【2018届福建省福安市一中上学期高三期中】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为A. 1B. 1-C. 3D. 3-【答案】D【解析】()23,3a b -=，因为（2a b -）与c 互相垂直，则()233303a b c k k -⋅=+=⇒=-，选D. 10.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A. 322B. 2C. 322-D. 3152-【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,252AB CDAB AB CD AB AB CD ⋅=⋅==故选B.11．【2018届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考】在矩形ABCD 中， 3AB =，3BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（ ）A. 0B. 833 C. 4- D. 4【答案】C【解析】12．【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为 （ ）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-【答案】B【解析】如图建立坐标系， (()()0,23,2,0,2,0A B C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--，()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y ∴⋅+=-⋅--=+-(222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦，∴最小值为6-，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．【答案】12-【解析】由题意得()11:2:12λλ=-∴=- .14.【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】已知单位向量a ， b 满足()1•232a ab -=，则向量a 与b 的夹角为__________． 【答案】60°（或3π） 【解析】因为()1232a a b ⋅-=，化简得： 2123232a a b a b -⋅=-⋅=，即12a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b⋅==⋅，又0,a b π≤≤，所以,3a b π=，故填3π. 15．【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ，b 表示）.【答案】2133a b + 【解析】∵AC a =， BD b =，∴11112222AD AC BD a b =+=+. ∵E 是OD 的中点，∴＝，∴DF＝AB .∴111111332266DF AB AC BD a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， ∴111121226633AF AD DF a b a b a b =+=++-=+. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________． 【答案】 1 []1,2【解析】如图，以D 为坐标原点，以DC ， DA 分别为x ， y 轴，建立平面直角坐标系， ()0,0D ， ()0,1DE x ， ()1,1B ， ()0,1CB ，()1,0C ， ()1,1DB ， ()0,1E x ， []00,1x ∈，∴1DE CB ⋅=， 01DE DB x ⋅=+，∵001x ≤≤，0112x ≤+≤，∴DE DB ⋅的取值范围为[]1,2，故答案为1， []1,2.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +） （1）求证： AB BC ⊥； (2) //AD BC ，求实数m 的值. 【答案】(1)见解析(2) 12-或1 【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出AB BC ，算出AB BC ⋅（2）由向量的平行进行坐标运算即可. 试题解析：(1)依题意得， ()()2,3,3,2AB BC =-= 所以()23320AB BC ⋅=⨯+-⨯= 所以AB BC ⊥.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-． （1）求a b +与a b -的夹角； （2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值． 【答案】（1）34π；（2）1-． 【解析】（1）因为()1,2a =，()3,4b =-，所以()2,6a b +=-，()4,2a b -=- 所以()()2,64,2202cos ,240204020a b a b -⋅--+-===-⨯⨯，由[],0,a b a b π+-∈，则3,4a b a b π+-=； （2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，又()13,24a b λλλ+=-+，所以13480λλ-++=，解得：1λ=-.19．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求； （2）求与的夹角. 【答案】(1);(2)与的夹角为.【解析】试题分析：（1）向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开=0.∵是夹角为的两个单位向量，∴，(1)(2) ,,∴，∴与的夹角为.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.【答案】(1)；(2)，，.【解析】试题分析：（1）根据平面向量共线定理得到，由系数和等于1，得到即。
解三角形、平面向量检测练习
高一数学阶段性检测一（解三角形、平面向量部分）一、选择题（共60分）1.已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1=a ，12=b ，则2-=a b （ ） A ．1B ．3C ．2D ．322.在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则角C 等于( )A ．π4或3π4B ．3π4C ．π4D ．π63.若|2|=a ，2||=b 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是 （ ） （A ）6π （B ）4π （C ）3π（D ）π125 4.设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c, b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A.5B.10 C ．2 5 D ．105.已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 A.322B.3152 C ．－322D ．－31526．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()sin sin sin a A b B c b C =+-， 则角A 的值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 7.△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb ＜cos A ，则△ABC 为( )．A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形8.在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则BF →等于( )A ．－a ＋15b B ．a －15b C ．23a －13bD ．13a ＋23b9.已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( ) A ．2215 B ．103 C ．6 D ．12710.已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2)D ．(－2，2)11.如图所示，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A ．911B ．511C ．311D ．21112．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB 的取值范围是 A ．[33，6] B ．(2，43) C ．(33，43)D ．(3，6]二、填空题（共20分）13.设a ，b 是两个不共线的向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝ ． 14.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.15．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的投影为________． 16.已知AB →与AC →的夹角为90°，|AB →|＝2，|AC →|＝1，AM →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，且AM →·BC →＝0，则λμ的值为________．三、解答题（共70分）17.（本小题12分）已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)． (1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．18.（本小题12分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行． (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．19. （本小题12分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A c a sin 23=。
平面向量与解三角形单元检测题含答案
平面向量与解三角形单元检测题一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c, b ∥c ，那么|a ＋b |＝( )A.5B.10 C ．2 5 D ．102．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝12NC ，P 是BN 上的一点，假设AP ＝m AB ＋29AC ，那么实数m 的值为( ) A.19 B.13 C ．1 D ．3 3．点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，那么向量AB →在CD →方向上的投影为 A.322B.3152 C ．－322 D ．－31524．在直角坐标系xOy 中，AB →＝(2,1)，AC →＝(3，k )，假设三角形ABC 是直角三角形，那么k 的可能值个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5．向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，那么|b | 等于 ( )． A ．5 B ．4 C ．3 D ．1 6．在四边形ABCD 中，AC →＝(1， 2)，BD →＝(－4，2)，那么该四边形的面积为 A. 5B ．2 5C ． 5D ．107．如下图,非零向量=a ,=b ,且BC ⊥OA,C 为垂足,假设=λa (λ≠0),那么λ=( )8．在△ABC 中,sin 2A≤sin 2B+sin 2C-sin Bsin C,那么A 的取值范围是( ) (A)〔0,π6] (B)[π6,π〕(C)(0,π3] (D)[π3,π) 9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .假设b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，那么角C ＝A.π3B.2π3C.3π4D.5π610．在平面直角坐标系中，假设O 为坐标原点，那么A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立，此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和OB →的终点共线分解系数〞．假设P 1(3, 1)，P 2(－1,3)，且向量OP 3→与向量a ＝(1,1)垂直，那么“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数〞为( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1二、填空题(本大题共5小题,每题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．假设∠ABO ＝90°，那么实数t 的值为________．12．a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，假设a 与b 的夹角为钝角，那么实数λ的取值范围是 13．正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，那么AE →·BD →＝________．14．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，假设a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，那么向量a 在b方向上的射影为________．15．假设非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，那么a 与b 的夹角为________．三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)假设m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)假设m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．17．在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)假设C=2π3,求ab的值. 18．在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边,且a=12c+bcos C. (1)求角B 的大小; (2)假设S △ABC =3,求b 的最小值.19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)假设∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．20．△ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰AC 的长为3(百米),底AB 的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为S 1和S 2. (1)假设小路一端E 为AC 的中点,求此时小路的长度; (2)假设小路的端点E 、F 两点分别在两腰上,求12S S 的最小值. 21．△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足sin sin 2cos cosCsin cos B C B A A +--=。
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平面向量与解三角形单元检测题一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c, b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A.5B.10 C ．2 5 D ．102．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝12NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋29AC ，则实数m 的值为( ) A.19 B.13 C ．1 D ．3 3．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 A.322B.3152 C ．－322 D ．－31524．在直角坐标系xOy 中，AB →＝(2,1)，AC →＝(3，k )，若三角形ABC 是直角三角形，则k 的可能值个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b | 等于 ( )． A ．5 B ．4 C ．3 D ．1 6．在四边形ABCD 中，AC →＝(1， 2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为 A. 5B ．2 5C ． 5D ．107．如图所示,非零向量=a ,=b ,且BC ⊥OA,C 为垂足,若=λa (λ≠0),则λ=( )8．在△ABC 中,sin 2A≤sin 2B+sin 2C-sin Bsin C,则A 的取值范围是( ) (A)（0,π6] (B)[π6,π）(C)(0,π3] (D)[π3,π) 9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝A.π3B.2π3C.3π4D.5π610．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立，此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和OB →的终点共线分解系数”．若已知P 1(3, 1)，P 2(－1,3)，且向量OP 3→与向量a ＝(1,1)垂直，则“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．12．已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，若a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________．14．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．15．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________．三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．17．在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若C=2π3,求ab的值. 18．在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边,且a=12c+bcos C. (1)求角B 的大小; (2)若S △ABC =3,求b 的最小值.19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．20．△ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰AC 的长为3(百米),底AB 的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为S 1和S 2. (1)若小路一端E 为AC 的中点,求此时小路的长度; (2)若小路的端点E 、F 两点分别在两腰上,求12S S 的最小值. 21．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足sin sin 2cos cosCsin cos B C B A A +--=。
（1）证明：2b c a +=；（2）如图，点O 是△ABC 外一点，设(0)AOB θθ∠=<<π，OA=2OB =2，当b c =时，求平面四边形OACB 面积的最最大值。
参考答案：1． B 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，－4－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.故a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10.2.选B 如图，因为AN ＝12NC ，所以AN ＝13AC ，AP ＝m AB ＋29AC ＝m AB ＋23AN ，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝13. 3. A 解析 AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，所以AB →在CD →方向上的投.4. B 解析：.若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝6＋k ＝0，k ＝－6；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝0，6＋k －5＝0，k ＝－1；若∠C ＝90°，则AC →·CB →＝AC →·(AB →－AC →)＝0，k 2－k ＋3＝0无解． ∴综上，k 可能取－6，－1两个数．故选B. 5. B 解析 向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13， 则a ·b ＝|a ||b |·cos 120°＝－32|b |，|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.所以13＝9－3|b |＋|b |2，则|b |＝－1(舍去)或|b |＝4. 6. C 解析 因为AC →·BD →＝0，所以AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝12×5×25＝5.7. A 【解析】.⊥,即⊥,所以(-)·=0,所以||2-·=0,即λ2|a|2-λa·b=0,又λ≠0,解得λ=.8 C.解析:根据正弦定理,由sin 2A≤sin 2B+sin 2C-sin Bsin C 得a 2≤b 2+c 2-bc,根据余弦定理cos A=2222b c a bc +-≥2bc bc =12,又∵0<A<π,∴0<A≤π3,故选C. 9. B 【解析】 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝⎛⎭⎫53b 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.10. D.解析：设OP 3→＝(x ，y )，则由OP 3→⊥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3→＝(x ，－x )，设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，于是4λ－1＋3－2λ＝0，λ＝－1. 11. 5解析：AB OB OA =-＝(3,2－t )，由题意知OB AB ⋅＝0，所以2×3＋2(2－t )＝0，t ＝5.12． ⎝⎛⎭⎫－∞，－12. 因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a·b <0且a 与b 不反向．由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. 13.2解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.14.52解析 a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b|b |. ∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝5.|b |＝|2e 1|＝2.∴a ·b |b |＝52. 15. 120°【解析】 ∵(2a ＋b )·b ＝0，∴2a ·b ＋b 2＝0，∴a ·b ＝－12b 2，设a 与b 的夹角为θ，又|a |＝|b |，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12b 2|a ||b |＝－12，∴θ＝120°.16.解：(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B .即a ·a 2R ＝b ·b2R，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，故a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． (2)由题意可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab . 由余弦定理可知4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)．故S ＝12ab sin C ＝12·4·sin π3＝ 3.17.(1)证明:由sin Asin B+sin Bsin C+1-2sin 2B=1得sin A+sin C-2sin B=0. 因为sin a A =sin b B =sin c C,所以a+c-2b=0, 所以2b=a+c,即a 、b 、c 成等差数列.(2)解:由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab·cos C 及2b=a+c,c=2π3, 得(a-2b)2=a 2+b 2-2ab 12⎛⎫- ⎪⎝⎭.即a 2+4b 2-4ab=a 2+b 2+ab, 也即3b 2=5ab,所以a b =35. 18.解:(1)由正弦定理可得sin A=12sin C+sin Bcos C,又因为A=π-(B+C),所以sin A=sin(B+C), 可得sin Bcos C+cos Bsin C=12sin C+sin Bcos C,又sin C≠0, 即cos B=12,所以B=π3. (2)因为S △ABC =3,所以12acsin π3=3,所以ac=4, 由余弦定理可知b 2=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac,当且仅当a=c 时等号成立.所以b 2≥4,即b≥2,所以b 的最小值为2.19.解析： (1)a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b .由正弦定理得： sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ，即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ，∴sin A ＋sin C ＝2sin B . 由正弦定理得，a ＋c ＝2b ，故a ，b ，c 成等差数列． (2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得：42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16，又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16，解得ac ＝16，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.20.解:(1)∵E 为AC 中点时,则AE=EC=32,∵32+3<32+4,∴F 不在BC 上.故F 在AB 上, 可得AF=72,在三角形ABC 中,cos A=23. 在三角形AEF 中,EF 2=AE 2+AF 2-2AE·AFcos A=152,∴EF=302.即小路一端E 为AC 中点时小路的长度为302百米. (2)若小路的端点E 、F 两点分别在两腰上,如图所示,设CE=x,CF=y,则x+y=5,12S S =ABC CEF CEF S S S ∆∆∆-=ABCCEFS S ∆∆-1 =1sin 21sin 2CA CB C CE CF C⋅⋅-1=9xy -1≥292x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭-1=1125,当x=y=52时取等号. 答:最小值为1125. 21.。