等腰三角形的存在性问题

10．（2016省市）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴

相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．

（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同

时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定

其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，

当t为何值时，PA=QA？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是

等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2016省日照市）阅读理解：

我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．

例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．

问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交

EF于点P，那么动点P为线段AM中点．

理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：

动点P为线段AM中点．

由此你得到动点P的运动轨迹是：．

知识应用：

如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等

边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．

拓展提高：

如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分

别作等边△A PC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．

（1）求∠AQB的度数；

（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．

12．（2016省日照市）如图1，抛物线

2

3

[(2)]

5

y x n

=--+

与x轴交于点A

（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结

BC．

（1）求m、n的值；

（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求

△NBC面积的最大值；

（3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是

否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13．（2016省）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线

28

y ax bx

=+-与x轴交于A，B

两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，

与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），

（6，﹣8）．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出

点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直

线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

14．（2016省市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，

动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点

N从点C出发，在CB

3的速度向点B匀速运动，设运动时间

为t秒（0≤t≤5），连接MN．

（1）若BM=BN，求t的值；

（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；

（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．

15．（2016省市）如图，抛物线

223

y ax x

=+-与x轴交于A、B两点，且B

（1，0）

（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；

（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P 的坐标；

（3）如图2，已知直线

24

39

y x

=-

分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q

是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF 于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．16．（2016省市）如图1，对称轴为直线x=

1

2的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第一象限抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S 的最大值；

（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC 为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

17．（2016省凉山州）如图，已知抛物线

2

y ax bx c

=++（a≠0）经过A（﹣

1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；

（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．[来源:学_科_网] 18．（2016省）如图1，抛物线

26

y ax x c

=-+与x轴交于点A（﹣5，0）、B （﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；

（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．

①若∠APE=∠CPE，求证：

3

7

AE

EC

=

；

②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．