黄金分割法求极值
黄金分割法求极小点例题
黄金分割法求极小点例题黄金分割法是一种优化算法，用于求解函数的极小点。
它基于黄金比例的特性，通过不断缩小搜索范围来逼近极小点。
下面我将给出一个例题，并从多个角度进行解答。
假设我们要求解函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 的极小点。
首先，我们需要确定搜索范围。
由于该函数是一个二次函数，开口向上，因此极小点位于函数的顶点处。
为了简化问题，我们可以选择一个合适的搜索范围，比如 [-10, 10]。
接下来，我们可以使用黄金分割法进行迭代计算。
黄金分割法的基本思想是在搜索范围内选择两个距离极点较远的点，并通过比较函数值来缩小搜索范围。
首先，我们选择搜索范围内的两个初始点，可以选择两个距离较远的点，比如 -10 和 10。
然后，根据黄金分割比例，我们可以计算出两个新的点，分别是 -10 + (10 (-10)) 0.382 ≈ -1.18 和 -10 + (10 (-10)) 0.618 ≈ 1.18。
接下来，我们分别计算这两个新点的函数值。
f(-1.18) ≈ (-1.18)^2 + 2 (-1.18) + 1 ≈ 1.5724。
f(1.18) ≈ (1.18)^2 + 2 (1.18) + 1 ≈ 5.5724。
根据比较函数值的结果，我们可以确定新的搜索范围是 [-1.18, 10]。
然后，我们再次根据黄金分割比例计算出两个新的点，分别是-1.18 + (10 (-1.18)) 0.382 ≈ 2.2364 和 -1.18 + (10 (-1.18)) 0.618 ≈ 6.9436。
再次计算这两个新点的函数值。
f(2.2364) ≈ (2.2364)^2 + 2 (2.2364) + 1 ≈ 10.4722。
f(6.9436) ≈ (6.9436)^2 + 2 (6.9436) + 1 ≈ 63.4722。
根据比较函数值的结果，我们确定新的搜索范围是 [-1.18,2.2364]。
我们可以继续进行迭代计算，直到搜索范围足够小，或者满足特定的停止条件。
目标函数的几种极值求解方法
目标函数极值求解的几种方法题目：()()2221122min -+-x x，取初始点()()Tx 3,11=，分别用最速下降法，牛顿法，共轭梯度法编程实现。
一维搜索法：迭代下降算法大都具有一个共同点，这就是得到点()k x 后需要按某种规则确定一个方向()k d ，再从()k x 出发，沿方向()k d 在直线（或射线）上求目标函数的极小点，从而得到()k x 的后继点()1+k x ，重复以上做法，直至求得问题的解，这里所谓求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索。
一维搜索的方法很多，归纳起来大体可以分为两类，一类是试探法：采用这类方法，需要按某种方式找试探点，通过一系列的试探点来确定极小点。
另一类是函数逼近法或插值法：这类方法是用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。
本文采用的是第一类试探法中的黄金分割法。
原理书上有详细叙述，在这里介绍一下实现过程：⑴ 置初始区间[11,b a ]及精度要求L>0,计算试探点1λ和1μ，计算函数值()1λf 和()1μf ，计算公式是：()1111382.0a b a -+=λ，()1111618.0a b a -+=μ。
令k=1。
⑵ 若L a b k k <-则停止计算。
否则，当()K f λ>()k f μ时,转步骤⑶;当()K f λ≤()k f μ时,转步骤⑷ 。
⑶ 置k k a λ=+1,k k b b =+1,k k μλ=+1,()1111618.0++++-+=k k k k a b a μ,计算函数值()1+k f μ,转⑸。
⑷ 置k k a a =+1,k k b μ=+1,k k μμ=+1,()1111382.0++++-+=k k k k a b a λ,计算函数值()1+k f λ,转⑸。
⑸ 置k=k+1返回步骤 ⑵。
1. 最速下降法实现原理描述：在求目标函数极小值问题时,总希望从一点出发,选择一个目标函数值下降最快的方向,以利于尽快达到极小点,正是基于这样一种愿望提出的最速下降法,并且经过一系列理论推导研究可知,负梯度方向为最速下降方向。
黄金分割点公式
黄金分割点公式
黄金分割点公式是一种用于计算经济学中一种大量相互依赖的
关系的数学公式，又称为全局平衡模型。
因为它是一个经济理论的组成部分，全局平衡模型可生成大量的关系，如价格、收入和消费量等，在研究国家经济状况时被广泛使用。
黄金分割点公式也可用于研究一个国家的经济状况，它主要是对经济中涉及到的供求关系进行分析，从而得出相应的平衡等值或关系，以达到国家经济的最佳调节状态。
黄金分割点公式的一般格式如下：p = F(x,y)，其中，P表示供求关系，F(x,y)表示经济模型函数，x,y分别是经济中的第一个变量和第二个变量，比如收入、消费、价格等。
黄金分割点公式的求解可以通过求解等式的不同方法实现，比如梯度下降、随机搜索等。
首先，在给定情况下，求出该函数的极值。
然后根据函数的极值，确定各个变量可接受的最优取值范围，以达到最佳平衡状态，即最佳黄金分割点公式。
当经济中存在多个变量时，即黄金分割点公式可用于多变量函数的求解，这种情况称为多变量黄金分割点模型。
这种模型的求解过程是求出该函数的极值，然后根据该函数的极值，确定各个变量可接受的最优取值范围，以达到最佳平衡状态。
这中求解过程的另一个重要优点是，它能够有效地根据多变量之间的关系，对每一个变量进行模型优化，即优化各变量之间的关系，以便达到最佳黄金分割点公式。
因此，黄金分割点公式在研究经济市场关系中发挥了重要的作用，是众多经济学家和数学家共同利用的有用工具。
它可以帮助研究者提出最优解，对于国家经济状况的研究也非常有用。
而且，它也可以通过多变量黄金分割点模型，有效地优化各变量之间的关系，以达到最佳平衡状态。
0.618法求极小值原理
0.618法求极小值原理
0.618法，也称黄金分割法，是一种常用于求解极小值的优化
方法。
它基于黄金比例的特性，通过不断缩小搜索范围来逼近极小
值点。
该方法的原理可以从多个角度来解释。
首先，我们可以从数学角度来解释0.618法求极小值的原理。
在一个区间内，我们选择两个内点和一个外点，使得内点与外点之
间的距离与整个区间的比值等于黄金分割点0.618。
通过比较内点
的函数值，可以确定新的区间范围，然后不断缩小区间范围直至达
到极小值。
其次，从几何角度来看，黄金分割法利用了黄金比例的几何特性。
黄金比例是一种特殊的比例关系，即长与整体的比值等于整体
与短的比值。
通过不断按照黄金比例缩小搜索范围，可以更快地接
近极小值点。
此外，从算法角度来讲，0.618法是一种迭代求解的方法。
它
通过不断迭代更新搜索范围，直至满足一定的收敛条件，从而找到
极小值点。
这种迭代方法在实际应用中具有较好的收敛性和稳定性。
总之，0.618法求极小值的原理涉及了数学、几何和算法等多个方面。
通过合理地选择内点和外点，并利用黄金比例的特性，该方法能够高效地寻找函数的极小值点。
黄金分割法
教学对象：本科三年级 教材：机械优化设计 第六版 哈尔滨工业大学
4.3 黄金分割法
又称0.618法，是一种等比例缩小区间的直接搜索方案，适用于单 谷函数的求极小值问题。
4.3.1 黄金分割法原理 指一段线段分为长短两部分，较长部分的长度与总长的比值，
适用于较短部分的长度与较长部分的长度的比值。
a x1 x2 b
a x1 x2
小结
黄金分割法的基本原理 步骤 流程图 实例
思考题
b x2, x2 x1, y2 y1 x1 a 0.382(b a), y1 f (x1)
否 ba
f
是
x 0.5(a b)
于或等于 k 作终止准则。
y1 y2 x a x1 x2 b
x1 x2 b
y1 y2
x
（2）按坐标点计算公式计算 1和2 并计算其对应的函数值 f 1, f 2
（3）根据区间消去法原理缩短搜索区间。为了能用原来的坐标点计算公 式，进行区间名称的代换，并在保留区间中计算一个新的试验点及其函数 值。 （4）检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够近，如果条件不满 足返回到步骤（2）。 （5）如果条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似 解。
缩短区间的总次数（迭代次数）:
黄金分割法程序框图
给定 a,b,
f
x1 a 0.382 (b a), y1 f (x1)
x2 a 0.618(b a), y2 f (x2 )
y1 y2 否
是
a x1, x1 x2 , y1 y2
x2 a 0.618(b a), y2 f (x2 )
求函数最大值黄金分割法matlab程序
黄金分割法是一种用于求解函数最大值的数值优化算法。
它利用黄金比例的特性，在搜索过程中逐步减小搜索范围，找到函数的最大值。
本文将介绍黄金分割法的原理和实现方法，并给出利用Matlab编写的程序示例。
一、黄金分割法的原理黄金分割法基于黄金比例的性质，即将一段线段分割成两部分，使整段线段与较短部分的比值等于较短部分与较长部分的比值。
利用这一特性，在搜索过程中逐步减小搜索范围，最终找到函数的最大值。
二、黄金分割法的实现1. 确定初始搜索范围：根据实际问题确定函数的定义域，确定搜索范围[a, b]。
2. 计算黄金分割点：根据搜索范围[a, b]计算黄金分割点x1和x2，使得搜索范围按照黄金比例减小。
3. 计算函数值：计算函数在x1和x2处的取值f(x1)和f(x2)。
4. 更新搜索范围：比较f(x1)和f(x2)的大小，确定新的搜索范围[a, b]。
5. 重复步骤2-4，直到满足收敛条件或达到迭代次数上限。
三、Matlab程序示例以下是利用Matlab编写的黄金分割法程序示例：```matlabfunction [x_opt, f_opt] = golden_section_method(f, a, b, tol, max_iter)phi = (1 + sqrt(5)) / 2; 黄金比例x1 = b - (b - a) / phi;x2 = a + (b - a) / phi;f1 = feval(f, x1);f2 = feval(f, x2);iter = 0;while (b - a) > tol iter < max_iterif f1 < f2a = x1;x1 = x2;f1 = f2;x2 = a + (b - a) / phi;f2 = feval(f, x2);elseb = x2;x2 = x1;f2 = f1;x1 = b - (b - a) / phi;f1 = feval(f, x1);enditer = iter + 1;endx_opt = (a + b) / 2;f_opt = feval(f, x_opt);end```四、结语黄金分割法是一种简单而有效的数值优化算法，可以用于求解函数的最大值。
黄金分割法
试用黄金分割法求函数f(x)=(x-1)^2的最优解，并用matlab 编程计算。
已知区间为[-1,1]，取迭代精度为0.0001。
算法简要说明：(1) 初始化搜索区间a,b,搜索精度ε;(2) 若ε<-a b ，则停止计算；(3) )(618.0),(382.0a b a r a b a l -+=-+=；(4) 若)()(r f l f >，则令l a =，否则令r b =；(5) 转（2）(6) 令最优解a =min ；程序实现：function [min,min_value]=goldensection(fun,a,b,ef)%黄金分割法：一维搜索求解无约束极值%输入参数：%fun 目标函数的M 文件%a 搜索区间左端点%b 搜索区间右端点%ef 精度k= 1;while b - a > ef,left = a + 0.382*(b-a);right= a + 0.618*(b-a);if feval(fun,left) > feval(fun,right),a =left;elseb = right;end %ifk = k + 1;end %whilemin = a; %optx=(a+b)/2;min_value=feval(fun,min);编写程序testfun1实现目标函数值计算：function r= testfun1(x)r=(x-1)^2;在Matlab 命令行中输入以下程序：[min,min_value] = goldensection('testfun1',0,2,0.0001)输出结果为：min =0.9999min_value =3.7056e-09思考题黄金分割点与牛顿法的区别？牛顿法收敛快，但要求其一阶、二阶导数，对初始点的选择要求较高；黄金分割法比较可靠，而且完全是数值计算，不考虑函数的性态，不用求导数，但是收敛较慢。
黄金分割搜索算法
黄金分割搜索算法一.介绍黄金分割律是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。
这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为 1.618 : 1或 1 : 0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。
0.618 ，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。
大多数门窗的宽长之比也是0.618；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137°28' ，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。
据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。
建筑师们对数学0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618 有关的数据。
人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。
艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。
在学术界的应用数字 0.618 更为数学家所关注，它的出现，不仅解决了许多数学难题( 如：十等分、五等分圆周；求18 度、 36 度角的正弦、余弦值等) ，而且还使优选法成为可能。
优选法是一种求最优化问题的方法。
如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000 — 2000 克之间，为了求得最恰当的加入量，需要在1000 克与2000 克这个区间中进行试验。
通常是取区间的中点( 即 1500 克 ) 作试验。
然后将试验结果分别与1000 克和2000 克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做试验，再比较端点，依次下去，直到取得最理想的结果。
这种实验法称为对分法。
但这种方法并不是最快的实验方法，如果将实验点取在区间的0.618 处，那么实验的次数将大大减少。
黄金分割法求极小的MATLAB程序
黄金分割法求极小的MATLAB程序function [x,y] = goldmin(f, a ,b ,tol, maxsearch)if nargin<5, maxsearch=500; endif nargin<4, tol=1e-6; end;golden=0.6180339887498949025257; % golden=(sqrt(5)-1)/2x=b-(b-a)*golden; % x是离端点a较近的试探点y=feval(f,x); % 求x的函数值yfor k=1:maxsearch % 作最大叠代次数为maxsearch的循环。
h=b-a; % h是区间长（当b<a时是负的）if abs(h)<tol, return; end%区间长度小于tol 时退出d=a+h*golden;yd=feval(f,d); % d是离d较近的试探点，求d的函数值ydif y>=yd %当离a 较近点x的函数值y大于等于离a较远的点d的函数值yd时。
a=x; %去掉含a的一段区间，以离a 较近点x作为新区间的端点ax=d; %将d作为离新区间的点a端点较近的点。
y=yd; % 其函数值yd作为x点的函数值。
else%当离a 较近点x的函数值y小于离b较近的点d的函数值yd时。
去掉含% 端点b的一段区间，得区间[a，d]，但由于现在x离d点较近，所以b=a; %令a 为端点ba=d; 令d为端点aendenderror('iteration exceeds the limitation');Fibonacci法求极小的MATLAB程序function [x,y] = Fibo(f,a,b,n)% F2=round(sqrt(5)*(0.5*(1+sqrt(5)))^(n+1)*0.2);F1=round(sqrt(5)*(0.5*(1+sqrt(5)))^(n)*0.2); F1=.44721359549995793928*1.6180339887498949025^n; F2=F1*1.6180339887498949025;F1=round(F1); F2=round(F2);h=(b-a)/F2;% 均分区间x=b-h*F1; % x 是离端点a 较近的试探点y=feval(f,x);% 求x 的函数值yfor k=1:n-2 % 循环F0=F1; F1=F2-F0; F2=F0;d=b-h*F1; yd=feval(f,d);% d 是离b 较近的试探点, 求d 的函数值ydif y>=yd% 当离a 较近点x的函数值y 大于等于离a 较远的点d 的函数值yd 时.a=x; % 去掉含端点a 的一段区间,以离a 较近点x 作为新区间的端点ax=d; % 将d 作为离新区间的端点a 较近的点.y=yd;% 其函数值yd 作为x 点的函数值.else % 当离a 较近的点x 的函数值y 小于离b 较近的点d 的函数值yd 时.%去掉含端点b 的一段区间, 得区间[a，d], 但由于现在x 离d 点较近, 所以b=a; % 令a 为端点ba=d; % 令d 为端点ah=-h;% 因交换端点, 步长应改号.endend1。
黄金分割法进退法求极小值matlab程序
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%-----进退法求合适区间-------%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%clear;syms x; %创建一个符号变量h=diff(f(x),x); %求对x的一阶导数x0=10;g=subs(h,x0); %在x0处h的值%%%%%%%%---------初始值在极小值点左侧的时候-------%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%if g<0step=10;x1=x0+step;if f(x1)<=f(x0)step=2*step;x2=x1+step;while f(x1)>f(x2)x0=x1;x1=x2;step=2*step;x2=x1+step;endelsestep=0.5*step;x2=x1-step;while f(x0)>f(x2)x0=x0+0.5*step;x2=x2+step;endenda=x0;b=x2;disp(['f(x)极小值点所在区间为（',num2str(a),',',num2str(b),')']);end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%当极小值点在初始点右侧时%%%%%%%%%%%if g>0step=6;x1=x0-step;%以下方法仅仅适用于初始值在极小值点右侧的时候if f(x1)<=f(x0)step=2*step;x2=x1-step;while f(x1)>f(x2)x0=x1;x1=x2;step=2*step;x2=x1-step;endstep=0.5*step;x2=x1+step;while f(x0)>f(x2)x0=x0-0.5*step;x2=x2-step;endenda=x2;b=x0;disp(['f(x)极小值点所在区间为（',num2str(a),',',num2str(b),')']);end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%----------当极小值点就是初始点时---------------%%%%%%%%%%%if g==0xm=x0;fm=f(x0);disp(['使用黄金分割法可得到f(x)在xm=',num2str(xm),'处取最小值fm=',num2str(fm)]);end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%-----黄金分割法求极值-------%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%e=10^(-6);x2=a+0.618*(b-a);f2=f(x2);x1=a+0.382*(b-a);f1=f(x1);while abs(b-a)>eif f1<f2b=x2;x2=x1;f2=f1;x1=a+0.382*(b-a);f1=f(x1);else if f1==f2a=x1;b=x2;x2=a+0.618*(b-a);f2=f(x2);x1=a+0.382*(b-a);f1=f(x1);elsea=x1;x1=x2;f1=f2;x2=a+0.618*(b-a);f2=f(x2);endendxm=0.5*(b+a);fm=f(xm);disp(['使用黄金分割法可得到f(x)在xm=',num2str(xm),'处取最小值fm=',num2str(fm)]);自定义函数程序为：function y=f(x)y=3*x^2+2*x+5;%y=10*x^2+15*x+7;运行结果为：f(x)极小值点所在区间为（-8,10)使用黄金分割法可得到f(x)在xm=-0.33334处取最小值fm=4.6667。
黄金分割法
黄金分割法黄金分割法也叫0.618法，它是一种基于区间收缩的极小值点搜索算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小值点包含于搜索区间内，但是具体是哪个点，无法得知。
1. 算法原理黄金分割法的思想很直接，既然极小值点包含于搜索区间内，那么可以不断地缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小值点。
[]a,b 为搜索区间，黄金分割法首先根据黄金比例产生两个内点12,x x 。
120.382*()0.618*()x a b a x a b a =+-=+-然后根据()1f x ，()2f x 的大小关系来重新选择搜索区间。
（1） 若()()12f x f x <，则搜索区间变为1[,]x b ；（2） 若()()12f x f x >，则搜索区间变为2[,]a x 。
2. 算法步骤用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下：（1） 选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>，计算试探点：11110.382*()a b a λ=+-11110.618*()a b a μ=+-。
（2） 若k k b a ε-<，则停止计算。
否则当()()k k ff λμ>时转步骤（3）。
当()()k k f f λμ≤转步骤（4）。
（3） 置 11111110.382*()k k k k k kk k k k a b b a b a λλμμ+++++++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=+-⎩转步骤（5） （4） 置11111110.382*()k k k k k kk k k k a a b a b a μμλλ+++++++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=+-⎩转步骤（5） （5） 令1k k =+，转步骤（2）。
3. 算法的MATLAB 实现在MATLAB 中编程实现黄金分割法的函数为：min HJ 。
功能：用黄金分割法求解一维函数的极值。
调用格式：[,min ]min (,,,)x f HJ f a b eps =其中，f ：为目标函数；a ：极值区间的左端点；b ：极值区间的右端点；e p s ：精度；x ：目标函数取最小值时的自变量值；m i n f ：目标函数的最小值。
一维搜索的最优方法(黄金分割法)
* 设 一 元 函 数 f( a ) 的 起 始 搜 索 区 间 为 [ ab ,] , 是
函 数 的 极 小 点 。
(1) ( 2) 在 搜 索 区 间 [a,b] 内 任 取 两 点 、 。 且 (1) ( 2) (1) ( 2) (1) a b ,计 算 f( ) 、 f( ) 。 将 f( ) 与 ( 2) f( ) 进 行 比 较 ， 可 能 出 现 三 种 情 况 ：
(3) (2)，f3 f 2 (2) h (3)，计算（ f ），令（ f ） f3 ,
(3) (3)
返回( 1 )重新开始。
进退试算法步骤
s t e p 4 . 若 在 步 2 中 ， f 2 f 1， 后 退 运 算 以 ( 1 )为 起 始 点 ， 步 长 反 号 ， 反 方 向 搜 索 。 - h h ; ( 1 ) ( 3 ) , f 1 f 3， (2) (1) , f 2 f1 ; 重 排 顺 序 (3) (2) , f 3 f 2 ;
用黄金分割法求函数
用黄金分割法求函数黄金分割法（Golden Section Method）是一种非常有效的数学搜索方法，用于求解单纯形最优化问题，即求解某个函数在给定范围内的极值。
它基于连续可微函数利用函数极值定理和比例原则来进行搜索，具有较高的准确性和可行性。
当求解函数时，黄金分割法可以用来指导其评估解的分支和缩减搜索空间的步骤。
首先，将搜索空间划分为两部分，分别称为左右区域，其中左区域的终点为最大搜索区域，右区域的终点为最小搜索区域。
然后，将左右两个区域依次拆分为具有相同比例的两个子区域（黄金分割法要求左右拆分比是1:Φ，即左右子区域面积之比是1: Φ）。
然后，将每个子区域的中点作为评估点，按照函数值在评估点处的大小，来决定是继续将左右区域拆分，还是收缩搜索区域。
如此，就可以继续进行比较，直到搜索区域减小到一定程度，从而得到函数的极大值或极小值，从而完成对函数的求解。
以上就是黄金分割法的基本思路，接下来要介绍的就是它在实际求函数问题上的应用方法。
首先，用户需要根据函数极值定理，得到搜索范围初始两端点的位置，并确定搜索区域[a，b]上的最小搜索区间。
然后，用户需要选取一个中点Xm = (a + b) / 2，并对该中点进行评估，比较左右区间函数值大小，根据函数值的大小来选取下一步要进行极值搜索的区域。
因为函数值的比较只能在搜索范围内发生，所以需要一直重复该步骤，直到搜索空间减小到一个确定的精度范围内。
最后，在搜索范围内求解函数，得到函数极值所在位置，完成函数求解。
由于黄金分割法具有高可行性，相对高的准确性和用时短，因此它在求函数中被广泛应用。
例如，它可作为解決路径計算、最佳路径搜索和布置系统时的优化手段之一；也可用于应用。
matlab黄金分割法程序
matlab黄金分割法程序黄金分割法是一种数值计算方法，可以用于求解函数的极值点。
在数学和计算机领域中，黄金分割法被广泛应用于优化算法和数值分析中。
黄金分割法的原理是通过不断缩小搜索区间来逼近函数的极值点。
假设我们要求解的函数为f(x)，我们需要找到一个搜索区间[a, b]，使得在这个区间内函数的极值点存在。
然后，我们将搜索区间按照黄金分割比例划分成两个子区间，再通过比较子区间上的函数值来确定新的搜索区间。
重复这个过程，直到搜索区间的长度足够小，我们就可以得到函数的极值点的近似解。
具体来说，黄金分割法的步骤如下：1. 初始化搜索区间[a, b]，选择一个适当的初始值。
2. 计算黄金分割点x1和x2：x1 = a + (3 - sqrt(5)) * (b - a) / 2x2 = a + sqrt(5) - x13. 计算函数在x1和x2处的值f(x1)和f(x2)。
4. 比较f(x1)和f(x2)的大小，确定新的搜索区间：如果f(x1) < f(x2)，则新的搜索区间为[a, x2]；如果f(x1) > f(x2)，则新的搜索区间为[x1, b]；如果f(x1) = f(x2)，则新的搜索区间为[x1, x2]。
5. 判断搜索区间的长度是否足够小，如果是，则停止计算，否则返回步骤2。
通过以上步骤，我们可以不断缩小搜索区间，逼近函数的极值点。
黄金分割法的优点是收敛速度相对较快，且不需要函数的导数信息。
然而，由于每次只能确定一个新的搜索区间，因此需要进行多次迭代才能找到极值点的近似解。
下面通过一个简单的示例来说明黄金分割法的具体计算过程。
假设我们要求解函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[0, 4]上的极小值。
我们初始化搜索区间[a, b]为[0, 4]。
根据步骤2，计算黄金分割点x1和x2：x1 = 0 + (3 - sqrt(5)) * (4 - 0) / 2 ≈ 1.472x2 = 0 + sqrt(5) - x1 ≈ 2.528然后，计算函数在x1和x2处的值f(x1)和f(x2)：f(x1) = (1.472)^2 - 4(1.472) + 4 ≈ 0.133f(x2) = (2.528)^2 - 4(2.528) + 4 ≈ 0.133根据步骤4，由于f(x1) = f(x2)，新的搜索区间为[1.472, 2.528]。
黄金分割法、斐波那契法求极值
e=input('Please enter the valud of e:');
s=(b-a)/e;
n=cishu(s);
x2=a+F(n-1)/F(n)*(b-a);
x1=b-F(n-1)/F(n)*(b-a);
while(b-a)>e
iffx(x2)>=fx(x1)
b=x2;
x2=x1;
x1=a+b-x2;
else
a=x1;
x1=x2;
x2
xj=(a+b)/2;
yj=fx(xj);
end
此题中，a=-10，b=10，e=0.01，程序运行结果为：xj =1.9930，yj =2.8845e-004，若原方程改变，只需改变原方程函数即可。
end
end
%建立斐波那契数列函数；
functionfn=F(n)
ifnargin==1
y=[0];
y(1)=[1];
y(2)=[1];
fork=3:1:n
y(k)=[y(k-1)+y(k-2)];
end
fn=y(n);
end
end
%求解应计算次数的函数；
%s为（b-a）/e的值，其中（a，b）为单峰区间，e为精度；
b=input('Please enter the value of b:');
e=input('Please enter the value of e:');
whileb-a>e
x1=a+0.382*(b-a);
最优化算法【线搜索-黄金分割（0.618）算法】
最优化算法【线搜索-黄⾦分割（0.618）算法】使⽤条件优化函数在搜索区间内为单峰函数算法算法类似于⼆分查找算法，能够求单峰函数在搜索区间的极值算法如下：step0:确定单峰函数f(x)的搜索区间[a0,b0]；容错误差δ=a−b, ϵ=f(b)−f(a) ,t=0.618;p=a0+(1−t)(b0−a0),q=a0+t(b0−a0) step1:f(p)<=f(q)yes,to step 2 no,to step 3step2:if |f(b)-f(a)| >= $\epsilon or |b-a|>=\delta$b=q,f(b)=f(q), q=p, f(q)=f(p);p=a+(1-t)(b-a), resolve f(p);elsestop;print p;\\p为求得极值点step3:if |f(b)-f(a)| >= $\epsilon or |b-a|>\delta$a=p,f(a)=f(p), p=q, f(p)=f(q);q=a+t(b-a), resolve f(q);elsestop;print q;\\p为求得极值点算法实现函数：function [R,loos,loos_t] = xiansousuo_golds(func,a,b,delta,epsilon,iterate) t = (sqrt(5)-1)/2;p = a+(1-t)*(b-a);q = a+t*(b-a);f_a=func(a);f_b=func(b);f_p = func(p);f_q = func(q);R=zeros(1,2);loos_t = zeros(iterate,1);loos = zeros(1,2);%step1k=0;while abs(f_b-f_a)>=epsilon || abs(b-a) >= delta || k < iteratek=k+1;loos_t(k,1)=abs(f_b-f_a);if f_p <= f_qb=q;f_b=f_q;q=p;f_q =f_p;p=a+(1-t)*(b-a);f_p = func(p);elsea=p;f_a=f_p;p=q;{f_p =f_q;q=a+t*(b-a);f_q=func(q);end%disp([p,abs(f_b-f_a)]);endif f_p <= f_qR(1,1)=p;R(1,2)=func(p);elseR(1,1)=q;R(1,2)=func(q);endloos=[abs(b-a),abs(f_b-f_a)];endmain函数clc;close all;iterate=30;func=@(s) s^2-sin(s);[R,loos,loos_t]=xiansousuo_golds(func,0,1,1e-4,1e-5,iterate);disp(R);disp(loos);figure(1);plot(1:iterate,loos_t);figure(2);t=linspace(0,1,iterate);y=zeros(iterate,1);for i =1:iteratey(i,1)=func(t(i));endplot(t,y);hold on;minimum = fminbnd(func,0,1);f_min=func(minimum);plot(minimum,f_min,'rp','MarkerSize',10);text(minimum,f_min,['(',num2str(minimum),',',num2str(f_min),')'],'color','b'); disp([minimum,f_min]);epsilon随迭代变化所求函数及极⼩值conclusion1. 算法求得结果和matlab极⼩值函数结果相同，精度较⾼；2. 对于应⽤范围有限制【单峰函数】。
一维搜索的最优方法(黄金分割法)
05 黄金分割法的应用举例
在函数优化中的应用
一元函数优化
黄金分割法可用于一元函数的极值求解，通过不断缩小搜索区间来逼近最优解。
多元函数优化的辅助手段
在多元函数优化中，黄金分割法可作为辅助手段，用于一维搜索或线搜索过程。
在工程问题中的应用
结构设计优化
在结构设计中，黄金分割法可用于寻 找最优的结构参数，如梁、柱的截面 尺寸等，以实现结构性能和经济性的 平衡。
二分法每次迭代将搜索区间减半，而黄金分割法每次迭代将搜索区间缩小为原来的约 0.618倍。在收敛速度上，二分法通常比黄金分割法更快。但二分法要求函数在搜索区间 内连续且单调，而黄金分割法则没有这样的限制。
与牛顿法相比
牛顿法是一种基于导数信息的搜索方法，具有较快的收敛速度。但在一维搜索问题中，当 导数信息不可用或难以获取时，黄金分割法则更为适用。此外，牛顿法对初始点的选择较 为敏感，而黄金分割法则相对稳健。
解决一维搜索问题的方法有多种，其中黄金分割法是一种较为常用且有效的方法。
黄金分割法简介
黄金分割法是一种通过不断缩小搜索 区间来逼近函数极小值点的方法。
黄金分割法具有简单、快速、稳定等 优点，适用于单峰函数的一维搜索问 题。
它在每次迭代中，通过比较区间两个 端点处的函数值，来确定下一步的搜 索区间。
黄金分割点
在一条线段上，按照黄金分割比 例将线段分割成两部分，分割点
即为黄金分割点。
函数图像
对于一元函数，可以将其图像视 为一条曲线。黄金分割法通过不 断在曲线上选取试探点来逼近最
优解。
搜索区间缩小
每次迭代后，根据试探点的函数 值比较结果，将搜索区间缩小，
使得下一步的搜索更加精确。
黄金分割法的算法步骤
黄金分割法程序
黄金分割法黄金分割法是通过不断缩短搜索区间的长度来寻求一维函数的极小点，这种方法的基本原理是：在搜索区间[a,b]内按如下规则对称地取两点a1和a2a1=a+0.382(b-a); a2=a+0.618(b-a);黄金分割法的搜索过程是：1）给出初始搜索区间[a,b] 及收敛精度e ，将赋以0.618 2）计算a1 和a2，并计算起对应的函数值f(a1),f(a2); ，3）根据期间消去法原理缩短搜索区间，为了能用原来的坐标点计算公式，需进行区间名城的代换，并在保留区间中计算一个新的试验点及其函数值。
4）检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够近，如果条件不满足则返回到步骤2。
5）如果条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似解。
黄金分割法的流程图及程序清单需要说明的是搜索区间[a,b]不需要给定，只需输入搜索精度e；程序由四个子程序构成；（1）：输入输出子程序io（）；（2）：float fc (float x)求输入函数在某一点的值；（3）void findqujian(float a[3],float f[3])确定搜索区间；（4）：float xunyou(float *value)寻找最小值黄金分割法程序运行截图#include "iostream.h"#include "math.h"#include "stdio.h"#include "conio.h"#define steplength 0.01#define n 5float e;float a,b,c,d,g; float q[5];void io(){cout<<"假设多项式的最高次幂为4"<<endl<<endl;cout<<"设多项式的一般形式为f=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e"<<endl<<endl;cout<<"请输入要求解的目标多项式的系数"<<endl<<endl;printf("a=");scanf("%f",&a);q[4]=a;printf("b=");scanf("%f",&b);q[3]=b;printf("c=");scanf("%f",&c);q[2]=c;printf("d=");scanf("%f",&d);q[1]=d;printf("g=");scanf("%f",&g);q[0]=g;cout<<endl;cout<<"请输入搜索精度e"<<endl<<endl;scanf("%f",&e);cout<<endl;}float fc(float x){int i;float u=q[n-1];for(i=n-2;i>=0;i--)u=u*x+q[i];return u;}void findqujian(float a[3],float f[3]) {float t=float(steplength), a1,f1,ia; a[0]=0;f[0]=fc(a[0]);for(int i=0;;i++){a[1]=a[0]+t;f[1]=fc(a[1]);if(f[1]<f[0]) break;if(fabs(f[1]-f[0])>=e){t=-t;a[0]=a[1];f[0]=f[1];}else{ if(ia==1)return;t=t/2;ia=1;}}for(i=0;;i++){a[2]=a[1]+t;f[2]=fc(a[2]);if(f[2]>f[1]) break;t=2*t;a[0]=a[1]; f[0]=f[1];a[1]=a[2]; f[1]=f[2];}if(a[0]>a[2]){a1=a[0];f1=f[0];a[0]=a[2];f[0]=f[2];a[2]=a1; f[2]=f1;}return;}float xunyou(float *value){float a1[3],f1[3],a[4],f[4];float aa;findqujian(a1,f1);a[0]=a1[0];f[0]=f1[0];a[3]=a1[2];f[3]=f1[2];a[1]=a[0]+float(0.382)*(a[3]-a[0]);a[2]=a[0]+float(0.618)*(a[3]-a[0]); f[1]=fc(a[1]);f[2]=fc(a[2]);for(int i=0;;i++){if(f[1]>=f[2]){a[0]=a[1];f[0]=f[1];a[1]=a[2];f[1]=f[2];a[2]=a[0]+float(0.618)*(a[3]-a[0]);f[2]=fc(a[2]);}else{a[3]=a[2];f[3]=f[2];a[2]=a[1];f[2]=f[1];a[1]=a[0]+float(0.382)*(a[3]-a[0]);f[1]=fc(a[1]);}if(fabs(a[3]-a[0])<e){aa=(a[1]+a[2])/2; *value=fc(aa);break;}}return(aa);}void main(){float xx,value;io();xx=xunyou(&value);printf("f(x)=%2.1f*x^4+%2.1f*x^3+%2.1f*x^2+%2.1f*x+%2.1f",a,b,c,d,g);cout<<"取得最小值的坐标为"<<endl<<endl;printf("\nzuobiao*=%f\n\n",xx);cout<<"函数的最小值是"<<endl;printf("\nminmum*=%f\n",value);getch();}坐标轮换发#include <stdio.h>#include <math.h>#define EP 0.001main(){float M1,M2,min,H,x1,x2;int n=0;x1=100;x2=25;do{n=n+1;M1=x1;x1=2+x2; /* 直接用数学方法求，最小值：X=-B/2/A；Y=X1*X1-2*(2+X2)*X1+2*X2*X2; */M2=x2;x2=x1/2; /* 直接用数学方法求，最小值：X=-B/2/A；Y=2(X2*X2-X2*X1)-X1*X1-4*X1; */H=x2+x1-M1-M2;printf("\n X1 is %f,X2 is %f, H is %f.",x1,x2,H);}while(fabs(H)>EP);min=pow(x1,2)+2*pow(x2,2)-4*x1-2*x1*x2;printf("\n The Min is %f.",min);printf("\n The X1 is %f,The X2 is %f.",x1,x2);printf("\n The Number is %d.",n);}。
黄金分割法求极值
结果
α1,α2,并计算其函数值。α1，α2将区间分成三段。应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩短。然后再在保留下来的区间上做同样的处置如此迭代下去使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。
2：程序框图
C语言程序
#include<stdio.h>
#include<math.h>
m++;
}
while(fabs((b-a)/b)>=c||fabs((y2-y1)/y2)>=c);
a3=(a+b)/2;
printf("函数极小值点a3=%.5lf\n",a3);
printf("函数值y=%.5lf\n",f(a));
printf("迭代次数k=%d\n",m);
return 0;
#define p 0.618
double f(double x)
{
double y;
y=x*x+2*x;
return(ห้องสมุดไป่ตู้);
}
int main()
{
double f(double x);
int m=0;
double a,b,a1,a2,a3,c=0.001;
double y1,y2;
a=-3;b=5;
645harnessbandingmaterialplasticcabletiebandingmaterialcolorsshould黄金分割法思想黄金分割法是建立在区间消去法原理基础上的试探方法即在搜索区间ab内适当插入两将区间分成三段
黄金分割法
思想
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a=-3;b=5;
a1=b-p*(b-a);
a2=a+p*(b-a);
y1=f(a1);
y2=f(a2);
printf("a=%.3lf a1=%.3lf a2=%.3lf b=%.3lf\n",a,a1,a2,b);
printf("y1=%.3lf y2=%.3lf\n",f(a1),f(a2));
do
{
if(y1>=y2)
{2;
a2=a+p*(b-a);
y2=f(a2);
}
else
{
b=a2;
a2=a1;
y2=y1;
a1=b-p*(b-a);
y1=f(a1);
}
printf("a=%.3lf a1=%.3lf a2=%.3lf b=%.3lf\n",a,a1,a2,b);
printf("y2=%.3lf y1=%.3lf\n",y1,y2);
m++;
}
while(fabs((b-a)/b)>=c||fabs((y2-y1)/y2)>=c);
a3=(a+b)/2;
printf("函数极小值点a3=%.5lf\n",a3);
printf("函数值y=%.5lf\n",f(a));
2：程序框图
C语言程序
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define p 0.618
double f(double x)
{
double y;
y=x*x+2*x;
return(y);
}
int main()
{
double f(double x);
int m=0;
double a,b,a1,a2,a3,c=0.001;
printf("迭代次数k=%d\n",m);
return 0;
}
结果
黄金分割法
思想
黄金分割法是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a,b]内适当插入两点
α1,α2,并计算其函数值。α1，α2将区间分成三段。应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩短。然后再在保留下来的区间上做同样的处置如此迭代下去使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。