全国4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题及答案(试卷答案)
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全国2008年4月高等教育自学考试
复变函数与积分变换试题
(课程代码:02199)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1. 设z 为非零复数,a ,b 为实数,若ib a z
z +=_
,则a 2+b 2的值( )
A. 等于0
B. 等于1
C. 小于1
D. 大于1 2. 设2,3z w i z =+=
,则(
)
A. 3
arg π=w B. 6
arg π=w
C. 6
arg π-=w D. 3
arg π-=w
3. =i 2ln ( )
A. 2ln
B. i 2
2ln π+
C. i 2
2ln π- D. i i 2Arg 2ln +
4. 设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C
⎰=( )
A. i π6
B. i π4
C. i π2
D. 0 5. 设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e z
C
2
-⎰
=( )
A. e 2
B. i e 22π
C. i e 2π
D. i e 22π- 6. 设C 为正向圆周|z |=2,则dz z e z z
C
4
)
1(++⎰
=( )
A. i e
3π B. e 6π
C. ei π2
D. i e 3
π 7. z
-21
的幂级数展开式∑∞
=0n n n z a 在z =-4处( )
A. 绝对收敛
B. 条件收敛
C. 发散
D. 收敛于6
1
8. 幂级数∑
∞
=+0
)
1(1
n n n
z i 的收敛半径为( )
A. 2
B. 1
C.
2
1 D. 0
9. 函数z z tan 在z =0点的留数为( ) A. 2 B. i C. 1 D. 0
10. 函数
2
z e e ibz
iaz -(a 、b 为实数,a ≠b)在z=0点的留数为( )
A. )(a b i -
B. a b -
C. b a -
D. )(b a i - 二、填空题(本大题共6小题,每小题2分,共12分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11. 设i z 10
1
103+-=,则=_
z ____________.
12. 方程i z 3
1ln π+=的解为____________.
13. 设C 为从i 到1+i 的直线段,则=⎰
zdz C
Re ____________.
14. 设C 为正向单位圆周在第一象限的部分,则积分=⎰dz z z C 3_
)(____________. 15. 设C 为正向圆周|z |=2,则⎰
=-C
dz z z 3
2)2
(cos π
____________.
16. 若在幂级数∑∞
=0
n n n z b 中,i b b n
n n 43lim 1
+=+∞
→,则该幂级数的收敛半径为____________. 三、计算题(本大题共8小题,共52分) 17. (本小题6分)设复数)
2)(1(--=i i i
z
(1)求z 的实部和虚部; (2)求z 的模;
(3)指出z 是第几象限的点.
18. (本小题6分)设iy x z +=.将方程1Re ||=+z z 表示为关于x ,y 的二元方程,并 说明它是何种曲线.
19. (本小题7分)设)()(2323y cx y i bxy ax z f +++=为解析函数,试确定a,b,c 的值. 20. (本小题7分)设),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数,其中xy x y y x u 2),(22--=,求),(y x v . 21. (本小题6分)求)
2)(4(2
)(---
=z z z f 在圆环域3|1|1<- 22. (本小题6分)设z z f -=11 sin )(的幂级数展开式为∑∞ =0 n n n z a ,求它的收敛半径,并 计算系数a 1,a 2. 23. (本小题7分)设C 为正向简单闭曲线,a 在C 的内部,计算I =.) (213dz a z ze i z C -⎰π 24. (本小题7分)求) (1 )(3 i z z z f -= 在各个孤立奇点处的留数. 四、综合题(下列3个小题中,第25题必做,第26、27题中只选做一题,两题都做 按前一题评分。每小题8分,共16分) 25. 利用留数计算积分⎰∞ +∞-++=dx x x x I ) 9)(1(2 22 . 26. 设D 为Z 平面上的扇形区域.1||,3 arg 0<< (1))(11z f w =把D 映射为W 1平面的上半单位圆盘D 1; (2))(12w f w =把 D 1映射为W 平面上的第一象限; (3))(z f w = 把D 映射为W 平面上的第一象限. 27. 求函数2 22) 4(4 )(-+=p p p F 的拉氏逆变换.