全国4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题及答案(试卷答案)

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全国2008年4月高等教育自学考试

复变函数与积分变换试题

(课程代码:02199)

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1. 设z 为非零复数,a ,b 为实数,若ib a z

z +=_

,则a 2+b 2的值( )

A. 等于0

B. 等于1

C. 小于1

D. 大于1 2. 设2,3z w i z =+=

,则(

A. 3

arg π=w B. 6

arg π=w

C. 6

arg π-=w D. 3

arg π-=w

3. =i 2ln ( )

A. 2ln

B. i 2

2ln π+

C. i 2

2ln π- D. i i 2Arg 2ln +

4. 设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C

⎰=( )

A. i π6

B. i π4

C. i π2

D. 0 5. 设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e z

C

2

-⎰

=( )

A. e 2

B. i e 22π

C. i e 2π

D. i e 22π- 6. 设C 为正向圆周|z |=2,则dz z e z z

C

4

)

1(++⎰

=( )

A. i e

3π B. e 6π

C. ei π2

D. i e 3

π 7. z

-21

的幂级数展开式∑∞

=0n n n z a 在z =-4处( )

A. 绝对收敛

B. 条件收敛

C. 发散

D. 收敛于6

1

8. 幂级数∑

=+0

)

1(1

n n n

z i 的收敛半径为( )

A. 2

B. 1

C.

2

1 D. 0

9. 函数z z tan 在z =0点的留数为( ) A. 2 B. i C. 1 D. 0

10. 函数

2

z e e ibz

iaz -(a 、b 为实数,a ≠b)在z=0点的留数为( )

A. )(a b i -

B. a b -

C. b a -

D. )(b a i - 二、填空题(本大题共6小题,每小题2分,共12分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11. 设i z 10

1

103+-=,则=_

z ____________.

12. 方程i z 3

1ln π+=的解为____________.

13. 设C 为从i 到1+i 的直线段,则=⎰

zdz C

Re ____________.

14. 设C 为正向单位圆周在第一象限的部分,则积分=⎰dz z z C 3_

)(____________. 15. 设C 为正向圆周|z |=2,则⎰

=-C

dz z z 3

2)2

(cos π

____________.

16. 若在幂级数∑∞

=0

n n n z b 中,i b b n

n n 43lim 1

+=+∞

→,则该幂级数的收敛半径为____________. 三、计算题(本大题共8小题,共52分) 17. (本小题6分)设复数)

2)(1(--=i i i

z

(1)求z 的实部和虚部; (2)求z 的模;

(3)指出z 是第几象限的点.

18. (本小题6分)设iy x z +=.将方程1Re ||=+z z 表示为关于x ,y 的二元方程,并 说明它是何种曲线.

19. (本小题7分)设)()(2323y cx y i bxy ax z f +++=为解析函数,试确定a,b,c 的值. 20. (本小题7分)设),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数,其中xy x y y x u 2),(22--=,求),(y x v . 21. (本小题6分)求)

2)(4(2

)(---

=z z z f 在圆环域3|1|1<-

22. (本小题6分)设z z f -=11

sin )(的幂级数展开式为∑∞

=0

n n n z a ,求它的收敛半径,并

计算系数a 1,a 2.

23. (本小题7分)设C 为正向简单闭曲线,a 在C 的内部,计算I =.)

(213dz a z ze i z

C -⎰π 24. (本小题7分)求)

(1

)(3

i z z z f -=

在各个孤立奇点处的留数. 四、综合题(下列3个小题中,第25题必做,第26、27题中只选做一题,两题都做

按前一题评分。每小题8分,共16分)

25. 利用留数计算积分⎰∞

+∞-++=dx x x x I )

9)(1(2

22

. 26. 设D 为Z 平面上的扇形区域.1||,3

arg 0<<

(1))(11z f w =把D 映射为W 1平面的上半单位圆盘D 1; (2))(12w f w =把

D 1映射为W 平面上的第一象限;

(3))(z f w =

把D 映射为W 平面上的第一象限.

27. 求函数2

22)

4(4

)(-+=p p p F 的拉氏逆变换.

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