几种常见的因式分解方法

几种常见的因式分解方法

1.提取公因式法

2.分组分解法

3.应用公式法，常用的公式有：

2 2 2

(1) a _ 2ab b = (a _ b)

(2)a2-b2 = (a b)(a -b)

(3)a3二b3 =(a 二b)(a2二ab b2)

(4)a3二3a2b 3ab2二b3 = (a 二b)3

2 2 2 2

(5) a b c 2ab 2bc 2ac = (a b c)

(6)a3b3c3 -3abc = (a b c)(a2b2 c2- ab - be - ca)

公式(5)证明如下：

2 2 2

a b c 2ab 2bc 2ac

=(a2 2ab b2) (2ac 2bc) c2

=(a b)2 2( a b)c c2

2

=(a b c)

公式(6)证明如下：

a3 b3 c3「3abc

=a3 3a2b 3ab2 b3 c3 -3a2b -3ab2 -3abc

= [(a b)3 c3] -(3a2b 3ab2 3abc)

=(a b c)[(a b)2 - (a b)c c2] -3ab(a b c)

2 2

-(a b c)[(a b) -(a b)c c -3ab]

2 2 2

=(a b c)(a b c _ab_bc_ca)

在特殊情况下，当a b c = 0时，就有a3 b3 c^3abc = 0,

于是,

(7)a3 b3 c3 =3abc

这就是说，如果三个整式的和为零，那么这三个整式的立方和等于这三个整式乘积的三倍.

4 •十字相乘法

(1)有二次三项式x2 px q，如果常数q能分解成两个因数a、b的积，并使a+ b= p，则有

2 2

x px q = x (a b)x ab = (x a)(x b)

(2)有二次三项式ax2 bx c，如果二次项系数a分解成两个因数a i和a?，

常数项c分解成两个因数b i和b2，并且使ab • a?b2 = b，则有

2 2

ax bx c = a1a2x (a1b2 a2bjx b1b2

=@必bJ(a2X b2)

(3)二元二次多项式ax2 bxy cy2 dx e^ f的因式分解.

设 F 二ax2 bxy cy2 dx ey f

二 @低 d y cJ(a2X b2 y C2)

则 F 二[(aM dy) cJKa z X b z y) c?]

=[(a1 x b1 y)(a2x b2y) c1 (a2x b2 y) c2(a1x bi y) c1c2

可以看出，a1、a2、b1、b2是由ax2 bxy cy2确定的，这样可对ax2 bxy cy2

先进行因式分解，再把f分解成因数C1和C2.如果

c1(a2x b2 y) c2(a1x dy) =dx ey

则F就可分解成两个一次因式a1x b1 y c1和a2x b2y c2的积.这种分解方法可视为双十字相乘法.

对一个较复杂的多项式进行因式分解时，经常要综合运用以上方法，有时需要拆项和增减项，但在拆项和增减项时，要注意和原来的多项式保持相等.