几何模型：一线三等角模型 (最终版)

初中几何模型之“一线三等角模型”

一.【一线三等角概念】

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二.【一线三等角的分类】

2.1 全等篇_同侧

A P

A P

锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧

P

D

P

P

锐角直角钝角

2.3 相似篇_同侧

D

C

A B

P

P

锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧

P

D

P

P

锐角直角钝角

三、【性质】

1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α

2=α3易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。

3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟

如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解)

如图 3-3，当∠1=∠2 且1902

BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.

5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）

图 3-5

四、【“一线三等角”的应用】

1.应用的三种情况.

a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题；

c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.

注意：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.

2.适应场景：在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.

3.构造步骤：找角、定线、构相似

【引例】

例 1如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边长．

思路引导：

【脑洞大开-三角构造】

例 1 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求 BC 的长.

横向构造纵向构造斜向构造

斜A相似构造：

例 2 如图，△ABC 中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求 AD 的长.

纵向横向斜向

一线三垂直的补形：角含半角补形

练一练：

1.如图，在△ABC 中，∠BAC=135°， AC= 2AB, AD⊥AC 交 BC 于点 D，若 AD = 2，求△ABC的面积

思路提示：

【中点型一线三等角】

例1、如图，在Rt⊿ABC 中，AB = AC =2，∠A = 90°，现取一块等腰直角三角板，将45° 角的顶点放在BC 中点O 处，三角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点E、F，设BE =x，CF = y，∠BOE = α( 45° ≤ α ≤ 90°) ．

( 1) 试求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围;

( 2) 试判断∠BEO 与∠OEF 的大小关系?并说明理由;

( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中，⊿OEF 能否成为等腰三角形? 若能，求出对应

x 的值; 若不能，请说明理由．

例2．如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90∘，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合。将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA 相交于点Q.

(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证：△BPE≌△CQE；

(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证：△BPE∽△CEQ;并求当BP=a,CQ=9a/2时,P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示).

【小题精炼（4题）】

1.如图，△ABC中，∠B=90°，∠CAD=45°，AB=3,CD=5,求BD的长

2.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=∠ACD=45°，AC=4,求△BCD的周长。

3.如图，在RT△ABC中，∠ACB=30°，DA平分∠CAB,若∠CDB=60°，CA=4√3，求AD的长。

4.矩形ABCD在直角坐标系的位置如图所示，点(215,0),(0,5)

点，反比例函数k

A C

y

的图像交边AB、BC于D、

x

E两点，且∠DOE=45°，则k=

【一线三等角在中考压轴题中的应用】

例1：如图，直线y＝x＋2与y轴交于点C，与抛物线y＝ax2交于A、B两点（A在B的左侧），BC＝2AC，点P是抛物线上一点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；

（3）若点P在直线AB的上方，且∠BPC＝45°，求所有满足条件的点P的坐标．

例2：等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；

（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.