空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线

切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面方程(1)
2( x 1) 8( y 2) 12(z 2) 0
切平面方程
4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0,
2x y 4 0,
法线方程
x 1 y 2 z 0.
2
1
0
例 5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21 平行于平面 x 4 y 6z 0的各切平面方程. 解 设 ( x0 , y0为,曲z0面)上的切点,
第六节 微分在几何中的应用
空间曲线的切线和法平面方程 空间曲面的切平面和法线方程 小结 思考题
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程
x (t)
y
(t
)
z (t )
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z)
Fx ( x0 , y0 , z0 )(x x0 )
Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
令 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} 条则曲线n，T它, 们由在于M曲的线切是线曲都面与上同通一过向M量的n任垂意直一， 故曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在 同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.
曲面在M处的法向量即
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
特殊地：空间曲面方程形为
z f (x, y)
令 F(x, y,z) f (x, y) z,
曲面在M处的切平面方程为

x 0 y 1 z 2,
1
2
3
x 2( y 1) 3(z 2) 0,
即 x 2 y 3z 8 0.
特殊地：
空间曲线方程为
在M ( x0 , y0 , z0 )处,
y z
( (
x) ,
x)
切线方程为
法平面方程为
x x0 y y0 z z0 ,
1 ( x0 ) ( x0 )
x x0 y y0 z z0 .
(t0 ) (t0 ) (t0 )
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T
(t0
),
(t0
),
(t0
)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
例1
求曲线
:
x
t
对应于 t t0 t.
x
(1)
z • M
•M
o
y
割线 M的M方程为
z
• M
x x0 y y0 z z0 x y z
x
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以
t ,
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
t
t
t
•M
o
y
当M M ,即t 0时 ,
曲线在M处的切线方程
例 4 求曲面 z ez 2 xy 3 在点(1,2,0) 处的
切平面及法线方程. 解 令 F( x, y, z) z ez 2xy 3,
F x (1,2,0) 2 y (1,2,0) 4, F y (1,2,0) 2 x (1,2,0) 2,
F z (1,2,0) 1 e z (1,2,0) 0,
nnT{F, x由( x于0 ,曲y0
, z0 ),
线是
Fy ( x0 ,
曲面上
y0 , z0
通过
), Fz ( x0 M 的任
, y0 , z0
意一
)}
条曲线，它们在 M 的切线都与同一向量n垂直，
故曲面上通过M的一切曲线在点 M 的切线都在同
一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.
切平面方程为
( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )(z z0 ) 0.
二、曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F(x, y,z) 0
在曲面上任取一条通过点M的曲 线
x (t)
:
y
(t
),
z (t)
曲线在M处的切向量
T {(t0 ), (t0 ), (t0 )},
令 则
切平面方程为
2x0( x x0 ) 4 y0( y y0 ) 6z0(z z0 ) 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x0 4 y0 6z0 , 1 46
2x0
y0 z0 .
因为 ( x0 , y是0曲, z面0上) 的切点，
满足方程
x0 1,
所求切点为
(1,2,2), (1,2,2),
处的切平面及法线方程.
解 f ( x, y) x2 y2 1,
n ( 2,1, 4 )
{2x,
2 y, 1}(2,1,4)
{4,
2,1},
切平面方程为
4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0,
4x 2 y z 6 0,
法线方程为
x 2 y 1 z 4.
4
2 1
0
e
u
cos
udu
，
y
2sin
t
cos t ,z 1 e3t 在t 0处的切线和法平面方程.
解 当t 0时， x 0, y 1, z 2,
x et cos t, y 2cos t sin t, z 3e3t ,
x(0) 1, y(0) 2, z(0) 3,
切线方程 法平面方程
fx ( x0 , y0 )(x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 ,
曲面在M处的法线方程为
x x0 y y0 z z0 . f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
例 3 求旋转抛物面z x2 y2 1在点(2,1,4)