高中数学函数解题技巧方法总结(高考)-学生版

高中数学函数知识点总结

一、. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 二、. 求函数的定义域有哪些常见类型？

()()

例：函数的定义域是y x x x =

--432

lg

函数定义域求法：

● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ●

正切函数x y tan = ⎪⎭

⎫

⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他

们的交集，就得到函数的定义域。 三、. 如何求复合函数的定义域？

[]的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。

复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。

例 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。

四、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=x

1

的值域

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

.1

12..2

22

22222

b

a y 型：直接用不等式性质k+x bx

b. y 型,先化简，再用均值不等式

x mx n

x 1 例：y 1+x x+x

x m x n c y 型 通常用判别式

x mx n x mx n

d. y 型

x n

法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉

x x 1（x+1）（x+1）+1 1

例：y （x+1）1211

x 1x 1x 1

=

=++==≤

''

++=++++=+++-===+-≥-=+++

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例 求函数y=6

54

3++x x 值域。

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例 求函数y=11+-x x e e ，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 1

1cos y θθ

-=+的值域。

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=+-25

x log

3

1-x （2≤x ≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。

例 求函数y=x+1-x 的值域。

8 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：已知点P （x.y ）在圆x 2+y 2=1上，

2

,(2),2

(,20, (1)

的取值范围 (2)y-2的取值范围 解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线.

d 为圆心到直线的距离,R 为半径)

(2)令y-2即也是直线d d y

x x y

k y k x x R d x b y x b R +==+-≤=--=≤ 例求函数y=)

2(2

-x +

)

8(2

+x 的值域。

例求函数y=

1362

+-x x

+

542

++x x

的值域

9 、不等式法

利用基本不等式a+b ≥2ab ，a+b+c ≥3abc 3（a ，b ，c ∈R +

），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例：

3

3

(

)13

()32x (3-2x)(0

x x+3-2x =x x (3-2x) (应用公式abc 时，应注意使3者之和变成常数）

a b c +⋅⋅≤=++≤ 10.倒数法

2(0)

113322x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数）

x x

x x +>+

+≥=≥

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

例求函数y=

3

2

+

+

x

x

的值域

20

11

20

2

20

1

2

时，

时，=0

y

x

y

y

x y

y

=

+≠

==+≥⇒<≤

+=

∴≤≤

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

五、. 如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

判断函数单调性的方法有三种：

(1)定义法：

根据定义，设任意得x

1

,x

2

，找出f(x

1

),f(x

2

)之间的大小关系

可以变形为求12

12

()()

f x f x

x x

-

-

的正负号或者1

2

()

()

f x

f x

与1的关系

(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）

②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）

(3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。

③如果函数f

1

(x)，f

2

(x)同向变化，则函数f

1

(x)＋f

2

(x)和它们同向变化；（函数相加）

④如果正值函数f

1

(x)，f

2

(x)同向变化，则函数f

1

(x)f

2

(x)和它们同向变化；如果负值函数f

1

(2)与f

2

(x)

同向变化，则函数f

1

(x)f

2

(x)和它们反向变化；（函数相乘）

⑤函数f(x)与1

()

f x

在f(x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u ∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）