最优化大作业
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最优化方法大作业
---------用优化算法求解函数最值问题
摘要
最优化(optimization) 是应用数学的重要研究领域.它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量),以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。最优化问题一般包括最小化问题和最大化问题,而最大化问题可以通过简单的转化使之成最最小化问题。最小化问题分为两类,即约束最小化和无约束最小化问题。在此报告中,前两个问题属于无约束最小化问题的求解,报告中分别使用了“牛顿法”和“共轭梯度法”。后两个问题属于有约束最小化问题的求解,报告中分别用“外点法”和“内点法”求解。虽然命名不一样,其实质都是构造“惩罚函数”或者“障碍函数”,通过拉格朗日乘子法将有约束问题转化为无约束问题进行求解。再此报告中,“外点法”和“内点法”分别用了直接求导和调用“牛顿法”来求解无约束优化问题。
在此实验中,用“共轭梯度法”对“牛顿法”所解函数进行求解时出现错误,报告中另取一函数用“共轭梯度法”求解得到正确的结果。此实验中所有的函数其理论值都是显见的,分析计算结果可知程序正确,所求结果误差处于可接受范围内。
报告中对所用到的四种方法在其使用以前都有理论说明,对“外点法”中惩罚函数和“内点法”中障碍函数的选择也有相应的说明,另外,对此次试验中的收获也在报告的三部分给出。
本报告中所用程序代码一律用MATLAB编写。
【关键字】函数最优化牛顿法共轭梯度法内点法外点法 MATLAB
一,问题描述
1,
分别用共轭梯度发法和牛顿法来求解一下优化问题
()()()()()4
41432243221102510min x x x x x x x x x f -+-+-++=
2, 分别用外点法和内点发求解一下优化问题
⎩⎨
⎧≥-++0
1.min 212
231x x t s x x
二、问题求解
1.1 用牛顿法求解
()()()()()4
414
322
432
21102510min x x x x x x x x x f -+-+-++=
1.1.1问题分析:
取步长为1而沿着牛顿方向迭代的方法称为牛顿法,在牛顿法中,初始点的取值随意,在以后的每次迭代中,()[]
()k k k k x f x f x x ∇∇-=-+1
21,直到终止条件成立时停止。
1.1.2 问题求解
注:本程序编程语言为MATLAB ,终止条件为()162
110-≤∇x f ,初始取值
为[10 10 10 10]
M 文件(求解函数)如下:
function s=newton1(f,c,eps)
%c 是初值,eps 为允许误差值 if nargin==2 eps=1.0e-16; elseif nargin<1 error('') % return end
syms x1 x2 x3 x4 x=[x1 x2 x3 x4].'; grad = jacobian(f).';
hesse = jacobian(grad);
a=grad;
b=hesse;
i=1;
gradk=subs(a,[x1 x2 x3 x4],[c(1) c(2) c(3) c(4)]); hessek=subs(b,[x1 x2 x3 x4],[c(1) c(2) c(3) c(4)]);
pk=-1*(hessek\gradk);
x=tihuan(c);
while norm(gradk)>=eps
x=x+pk;
gradk=subs(a,[x1 x2 x3 x4],[x(1) x(2) x(3) x(4)]); hessek=subs(b,[x1 x2 x3 x4],[x(1) x(2) x(3) x(4)]); pk=-hessek\gradk;
i=i+1;
end
disp('the times of iteration is:')
disp(i)
disp('The grad is:')
disp(gradk)
disp('and the result is:')
x=x.';
disp(x)
return
“tihuan”子函数:
function x=tihuan(x)
x(1)=x(1);
x(2)=x(2);
x(3)=x(3);
x(4)=x(4);
end
调用方式如下:
syms x1 x2 x3 x4
f=(x1+10*x2)^2+5*(x3-x4)^2+(x2-2*x3)^4+10*(x1-x4)^4;
c=[10 10 10 10]';%初始值
newton1(f,c,eps);
1.1.3 计算结果如下:
由上述结果可知,当迭代次数达到47次时满足终止条件,此时x 为
1.0e-005 * [-0.1111 0.0111 0.0095 0.0095], 显然,此题的理论解为[0 0 0 0],分析上述结果,与理论解的误差处于可接受范围之内。求解完成。
1.2 用共轭梯度法求解函数
()()()()()4
414
322
432
21102510min x x x x x x x x x f -+-+-++=
用共轭梯度法求解上述函数的程序代码如下:
1.2.1问题分析: 取
()
00x f p -∇=,当搜索到
1
+k x 时,共轭方向
()2,...,1,0,11-=+-∇=++n k p x f p k k k k λ,此时,1+k p 与k p A 共轭,用k Ap 右乘上式
得
()k
T
k k k k k k Ap p Ap x f Ap p λ+-∇=++11,由
1=+k T
k Ap p 得
()2,...,1,01-=∇=+n k Ap p Ap x f k
T p k
T
k k λ,若不满足条件,进行下一次迭代。
1.1.2 问题求解
注:程序所用语言为MATLAB ,精度为1610-=eps
syms x1 x2 x3 x4 t0 t1