土力学-第三章地基中的应力计算1

σ z : τ zy : τ zx = z : y : x
P σz = k ⋅ 2 z
3 1 3 1 k= = 2 5/ 2 2π [1 + (r / z) ] 2π [1 + tg2β ]5/ 2
查表3 查表3－1
集中力作用下的 应力分布系数
z
σ x τxy τxz σ ij = τyx σ y τyz τzx τzy σ z
∞ ∞ ∞ ∞
σ y σ z τ yx 学关于力的方向的规定
τzx
材料力学
σz +
正应力
剪应力 顺时针为正 逆时针为负
-
τzx
土力学
σz +
τxz
2. 竖直集中力作用下的附加应力计算 根据布辛涅斯克解
3 P 3P z3 2 cos β = σz = 2 2 πR 2π R5
3P yz2 τzy = 2π R5 3P xz2 τzx = 2π R5
R 2 = r 2 + z 2 = x2 + y 2 + z 2
3P z3 3 1 P σz = = 5 2π R 2π [1 + (r / z)2 ]5/ 2 z2
γ
γ′
均质地基
γ1 (γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
算例分析
某地基的地 质剖面如图 所示，求各 层土界面上 竖向的自重应 力，并画出分 布图。
答案： 根据土层和地下水位将上述地质剖面分为4层 根据土层和地下水位将上述地质剖面分为 层
γ ′ = γ sat − γ w σ 0z = 0 σ 1 z = γ 1 h1 = 17.5kPa
γ xy = γ yz = γ zx = 0
（3）侧限应力状态——一维问题 侧限应力状态——一维问题 ——
应变条件 应力条件 独立变量
εy = εx = 0;
γ xy = γ yz = γ zx = 0
τxy = τyz = τzx = 0; σx = σy ;
εx = σx
E −
σz , εz = F(z)
q
y
对称面 对称面
x
q
σz
z
γ
τ =0
εx = εy = 0
•应力状态及特点 应力状态及特点
z
z
σz = q +γ z
竖向应力随深度的分布
（1）任意一个铅垂面都是对称面。 （2）由对称性，此中情况下的应力状态为一维的侧限应力状态。 水平位移为0，→水平方向的应变为0。 剪应变为0，剪应力为0。
• 具体分析 （1）剪应力
三、地基中附加应力的计算
附 加 应 力 荷 载 类 型
竖直线布荷载 竖直 集中荷载 条形面积竖直均布荷载 矩形面积竖直均布荷载 矩形面积竖直三角形荷载 圆形面积竖直均布荷载 水平 集中荷载 矩形面积水平均布荷载
主要讨论 竖直荷载
特殊面积、 特殊面积、特殊荷载
1. 均匀满布荷载及自重作用下的应力计算
′ σ 2 z = γ 1h1 + γ 1h2 = 36.5kPa ′ ′ σ 3 z = γ 1h1 + γ 1h2 + γ 2 h3 = 64.5kPa
′ ′ ′ σ 4 z = γ 1h1 + γ 1h2 + γ 2 h3 + γ 3 h4 = 84.5kPa
一、土中的应力状态 二、自重应力的计算 三、附加应力的计算
o x y
τzx
z
σz
εy = 0;
γ yx = γ yz = 0; γ zx ≠ 0
τzx
σz τxz σx
σ y τyz
τxy
σx
（2） 平面应变条件——二维问题 平面应变条件 二维问题 应变条件 应力条件 独立变量
εy = 0;
γ xy = γ yz = 0; γ zx ≠ 0
εy =
σy
E
本章的学时： 本章的学时：4 学时 学习要点： 学习要点： 1、自重应力的概念和计算方法 、 2、附加应力的概念和计算方法 、 3、基地压力的概念和简化计算方法 、 4、有效应力原理 、
课程内容的安排
第一次课 一、土中的应力状态 二、自重应力的计算 三、附加应力的计算 第二次课 一、地基的接触应力 二、基地压力的简化计算 三、有效应力原理
γ1
水平向： H1 水平向： σ x = σ y = K0σ z = K0 ∑γ i Hi
Z γ2 H2
γ3
H3
计算：地下水位以上用天然容重， 计算：地下水位以上用天然容重， 地下水位以下用浮容重
2. 分布规律 自重应力分布线的斜率是容重； 自重应力分布线的斜率是容重； 自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布； 自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布； 自重应力在成层地基中呈折线分布； 自重应力在成层地基中呈折线分布； 在土层分界面处和地下水位处发生转折。 在土层分界面处和地下水位处发生转折。
为什么要计算地基应力？
上部结构
基 础 地 基 地 基：受上部结构影响（受力、变形）的一定范围内的地层。 计算地基应力的目的 • 确定地基的承载力 • 确定地基的变形(压缩)
一、土中的应力状态 二、自重应力的计算 三、附加应力的计算
一、土中一点的应力状态
1、土的应力-应变关系的假定 、土的应力离散体 非线性 弹塑性 成层土 各向异性 ①连续介质 宏观平均） （宏观平均） ②线弹性体 应力较小时） （应力较小时） ③均匀一致各向同性体 土层性质变化不大时） （土层性质变化不大时） 无关 E、ν 与(x, y, z)无关 与方向无关 卸载 线弹性体
∂τ xy ∂x
+
∂σ y ∂y
+
∂τ yz ∂z
= −Y
∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + =-Z ∂x ∂y ∂z
∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + =γ ∂x ∂y ∂z
土体中仅存在Z向 的体积力γ。
3、地基中常见的应力状态 、
（1）一般应力状态——三维问题 一般应力状态 三维问题
计算自重应力的目的： 计算自重应力的目的：确定土体的初始应力状态 地基计算模型的基本假定： 地基计算模型的基本假定：
半无限体 semi-infinite mass 线弹性 linear elastic 均 质 homogeneous 各向同性 isotropic 地基中的应力为一维的 地基中的应力为一维的侧限应力状态 一维
基本假定： 基本假定： 水平地基→半无限空间体； 水平地基→半无限空间体； 半无限弹性地基内的自重应力 只与Z有关； 只与Z有关； 土质点或土单元不可能有侧向 位移→侧限应变条件； 位移→侧限应变条件； 任何竖直面都是对称面。 任何竖直面都是对称面。 应变条件
o x y
A B
z
σA =σB
εy = εx = 0;
u、v、w
求解比较 困难， 困难，通 常要进行 条件简化。 条件简化。
方 程： 15个
平衡方程 equilibrium equations 3个： 协调方程 compatibility equations 6个：应变－位移关系 本构方程 constitutive equations 6个： 应力－应变关系
σx
拉为正 压为负
σx
压为正 拉为负
逆时针为正 顺时针为负
τxz
（3）土体的应力平衡方程
弹性力学平衡方程：
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + = −X ∂x ∂y ∂z
土体的平衡方程：
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂x + ∂σ y ∂y + ∂τ yz ∂z =0
σz
波松比
水平正应力
σx =σy =
ν
1 −ν
σz
2. 竖直集中力作用下的附加应力计算
P
o
x R αr y M’ βz M
σz
x
τzx
τxy
σx
σ y τyz
y z
R2 = r 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2
r / z = tgβ
σ x σ y σ z τxy τyz τzx P；x,y,z；R, α, β） （ ； ； ）
τ xy = τ xz = τ yz = 0
q
∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + =γ （2）由竖向平衡方程 ∂x ∂y ∂z
竖向正应力
σz = q +γ z
εx =
（也可直接建立土柱 的受力平衡关系得到）
（3）由胡克定律
1 [σ x −ν (σ y + σ z )] = 0 E 1 ε y = [σ y −ν (σ x + σ z )] = 0 E
第三章 地基中的应力计算
主要内容
第一节 土中应力状态和应力平衡方程 第二节 饱和土有效应力及孔隙水压力 第三节 非饱和土孔隙压力及有效应力（自学） 非饱和土孔隙压力及有效应力（自学） 第四节 孔隙压力系数（自学） 孔隙压力系数（自学） 第五节 在简单条件下地基中的应力分布 第六节 地基的接触应力 第七节 刚性基础基地压力简化计算 第八节 弹性半无限体内的应力计算
−
ν
E
(σ x + σ z ) = 0
σx , σz , τxz ; εx , εz , γ xz ; = F(x, z)
σy = ν(σx + σz )
εx 0 εij = 0 0 γ zx 0
γ xz 0 εz
σ x 0 τxz σ σij = 0 σ yy 0 τzx 0 σ z