机械系统非线性振动及其控制

机械系统非线性振动及其控制作业

(仅供参考)

第一章单自由度线性振动

2. 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如下图所示。试列出其振动微分方程，并求出其固有频率。

解：该系统可视为单自由度无阻尼系统，一起静平衡点作为振动原点，列出其振动微分方程如下：

0m x k x +=

因为其固有角频率为

n ω=

所以其固有频率为

2n f πω=

4.如下图所示，有一等截面的悬臂梁，其质量不计。在梁的自由端有两个集中质量m 1与m 2，由电磁铁吸住。今在梁静止时打开电磁铁开关，使m 2突然释放。试求m 1的振幅。

解：根据题意，题给悬臂梁系统可等效为一无阻尼单自由度弹簧系统。

根据材料力学的知，悬臂梁右端点初始静挠度为

()31213m m gl EI δ??

+= ???

此时梁右端点的刚度，即弹簧的等效刚度为

()()112133/EI

k m m g l δ=+=

当2m 突然被释放后，1m 和梁组成新的弹簧系统，弹簧的静平衡长度为

3123m gl EI δ??

= ???

新系统的弹簧的等效刚度为 ()21233/EI

k m g l

δ== 1m 的振幅为

3/3A EI ==

6.某洗衣机机器部分重15kN ，用四个弹簧对称支承，每个弹簧的刚度为k=820N/cm 。

(1)试计算此系统的临界阻尼系数c c ；

(2)这个系统装有四个阻尼缓冲器，每个阻尼系数c=16.8N·s/cm 。试问此系统自由振动时经过多少时间后，振幅衰减到10%？ (3)衰减振动的周期是多少？解：（1）系统的固有角频率为

14.79/n rad s ω=== 临界阻尼系数为

22229.57./c n c mn m N s cm ω======

（2）每个弹簧系统的衰减系数 /2(/4)2/ 2.24n c m c m === 系统在任一时刻的振幅与初始时刻的振幅比为

nt A e e A η--==

当系统的振幅衰减到10% 时，自由振动经历的时间 1111ln ln 1.032.240.1

t s n η=

== （3）有阻尼系统的固有角频率为

14.62/r rad s ω=== 有阻尼系统的周期为 220.4314.62

r r

T s π

ω=

第二章多自由度线性振动

1. 如下图所示，一根两端固定的轴上装有两个飞轮，各部分尺寸如图所示(单位为mm)，飞轮材料之比重为30.077/N cm ρ= ，轴的剪切弹性模量

427.810/G N mm =? 试求系统的扭转固有频率。

解：飞轮的转动惯量

2120.306.I I kg m ==

轴的扭转刚度

123306/k k k N m θθθ=== 系统振动的质量矩阵为

200.3060000.306I

M I ????

==??????

?? 刚度矩阵为

2123612306306612k k k K k k k θθθθθθ+--????

==?

???-+-?

??? 特征方程为

6120.306306

0306

6120.306ni

ωω--=-- 解得系统扭转的固有频率为

121.0,n n ωω=

2. 如图所示，已知，m1=m ，m2=2m ，k1=k2=k3=k ，试求弹簧质量系统的固有圆频率及主振型。

解：系统无阻尼自由振动微分方程为 0MX KX +=

式中

002m M m ??=????，22k

k K k

k -??

=??-??

系统的特征方程为

2022ni

k m k

k m ωω--=-- 系统固有频率为

212n n ωω=

= 特征向量为

(1)(2)11,1122A A ???? ==+- ????

主振型

(

)(1)

(2)11

1122A A A ??

?==+?????

3. 如图所示，已知 123k k k k === ，123m m m m === ，123sin P P P P t ω===

，

ω= 1230.01ζζζ===

。求各质量的稳态响应

解：该系统无阻尼自由振动方程为 0MX KX +=

式中

000000m M m m ????=??????，2020

k K k k k k

k -??

??=--?

???-??

系统的特征方程为

20200

2ni

k m k

k k m k

k m ωωω-----=--

系统固有频率为

2221230.198

, 1.555, 3.247n n n k k k

m m m

ωωω=== 特征向量为

(1)(1)(1)1111.802,0.445, 1.2472.2470.8020.555A A A ?????? ? ? ?===- ? ? ? ? ? ?-??????

模态矩阵为

()(1)

(2)

(3)1

111.8020.445 1.2472.2470.5910.555A A A A ????==-??

??-??

正则型矩阵为

0.3280.737

0.5910.5910.3280.7370.7370.5910.328N A ???

=-??-?

正则坐标下的激振力列阵为

1.6560.474sin 0.182T

N N F A F P t ω???==??

放大因子为

1230.14432.23331.5658ββββ????

???== ??? ???????

相位角为

123175.488.615.0???????? ???==- ??? ???????

正则坐标下的稳态解为

111 1.27sin(175.4)0.68sin(88.6)0.0088sin(15)N N N N X t X X t X t ωωω?-??

? ?==-? ? ? ?

-????

原坐标下的稳态响应

1230.42sin(175.4)0.5sin(88.6)0.052sin(15)0.75sin(175.4)0.22sin(88.6)0.065sin(15)0.94sin(175.4)0.4sin(88.6)0.029sin(15)N N N N X t t t F X A X t t t k X t t t ωωωωωωωωω??-+-+-??

? ?==-+--- ?

? ? ?---+-????

4. 如下图所示的轴盘扭振系统，已知圆盘1、2的转动惯量分别为1I 及2I ，轴的抗扭弹性系数为k θ

，设在圆盘1上作用一转矩Msin ωt 。试求系统的共振

频率及其稳态响应。

解：系统自由振动微分方程为 0MX KX +=

式中

200I M I ??=?

???，k k K k k -??

=??-??

系统的特征方程为

20ni

k I k

k I ωω--=- 系统固有频率为

2212

1212

0,,n n I I k I I ωω+==

特征向量为

(1)(2)1211,1A A I I ??

?== ? ?-?? ???

模态矩阵为

()(1)

(2)12111A A A I I ??

??==??-????

正则型矩阵为

2212

12112

121

11N I I I I I I A I I I I ?? ?

?= ? ?+-??

正则坐标下的激振力列阵为

1222112sin T

N N M I I F A F t MI I I I ω??

?+ ?== ? ?-??

正则坐标下的稳态解为

221212

2221122()()sin ()()n N n M I I X t MI I I I ωωωωω??

+- ?= ? ?--??

原坐标下的稳态响应

22222222211211122

22222222

1211122()()()()sin ()()()()N n n N N n n MI M

X I I I I I X A t X MI M I I I I I ωωωωωωωωω??+ ?+----?? ?== ? ???+ ?+---??

5. 如下图所示，双质量弹簧系统在1m 上作用一谐波激励1sin F t ω 。已知

12123,2,,2m m m m k k k k k ===== 试用解耦分析法求系统的响应。

解：系统无阻尼自由振动微分方程为 0MX KX +=

式中

002m M m ??=????，23k

k K k k -??

=??-??

系统的特征方程为

2032ni

k m k

k m ωω--=- 系统固有频率为

2212, 2.5,n n k k

m m

ωω=

= 特征向量为

(1)

(2)11,10.5A A ????== ? ?-????

模态矩阵为

()(1)

(2)

1110.5A A

A ??==??-??

正则型矩阵为

N A ?

正则坐标下的激振力列阵为

1212)sin 0.5)T

N N F F F A F t F F ω?+==??-?

正则坐标下的稳态解为

12122122)/()sin 0.5)/()n N n F F X t F F ωωωωω?+-=??

--?

原坐标下的稳态响应

12122222121212122222123()3(0.5)()2()sin 3()3(0.5)()4()n n N N N n n F F F F X X A m t X F F F F ωωωωωωωωω+-??

+ ?--?? ?== ? ?+-??

+ ?

--??

第三章非线性振动基本知识

4.推导如图所示弹簧质量系统的非线性振动方程。

解：以系统平衡时质量m 的质心为原点，图示x 为矢量建立基础坐标系。取

x 和θ（2k 的摆角）为广义坐标系，则质量m 的非线性运动方程为

12(sin )mx k x k h tg F θθ++-=

由于θ很小，有3

,sin 6

tg θθθθθ≈≈-

，且x htg θ= 故有

()6

mx h k k F θθ++=

6. 求下面单摆的非线性方程的精确解：3

()06

θθωθ+-

= ，初始条件为

00,,θθθ== 这里0θ 表示最大角位移。解：根据零初始速度解，取方程的近似周期解

0()cos u t t θω= 残差力为23

000

0()()(3cos cos3)024

R t ωθωωθθθ=--+=

由谐波平衡法有， 22

22000

()08

ωθωω--

由此解出自由振动的频率为

ωω

显然，由残差力的定义知，此解即为非线性方程组的精确解。

8.一个非线性系统的运动微分方程如下：212cos 2x cx k x k x a t ω+++= , 讨论其二阶亚谐解。(本题目结果仅供参考) 解：令 22

10200

,,2c k k εωεωω=

== ，则运动方程可改写为

222

00(2)cos 2x x x x a t ωεωωω+++= （1）假设 22

010

1,x x x εωωεω=+=+ ，略去()2O ε ，则 200222

11000cos 22x x a t

x x x x x ωωωωωω?+=?+=--? 解（2-a ）得，

0cos sin cos 2x A t B t C t ωωω=++ （3）式中,2

C ω

将（3）代入（2-b ）得

222111(2)cos x x A B AC t ωωωωω+=--

1122

222

222(2)sin (2

)cos 2(4)sin 22

cos3sin 3cos 42

()

A B A BC t C B t C AB t C AC t BC t t

A B C ωωωωωω

ωωωωωωωωωωωω++++-++-----

++ 消除永年项，即22122

1(2)0

(2)0

A B AC B A BC ωωωωωω?--=?++=? ，得 22

1122

4sin 2cos 431818a a a x x t t ωωωωω

+=--- （4）

求解（4）式得，

1244

4sin 2cos 4927018a a a x t t ωωωωω

=+- （5）将22102000

,,,2c k k εωεωωωω=

===代入（5）得，

244

111

4()sin 2cos 4927018a a a x t t t k k k ωω=+-

非线性振动汇总讲解

目录 1.两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析 (1) 1.1转子动力学模型三维立体示意图：（UG） (3) 1.2转子动力学模型二维平面示意图：（CAD） (4) 1.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程： (5) 1.3.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩 (5) 1.3.2在平动坐标系中外力矩的表达 (7) 1.3.3在平动坐标系中定点转动微分方程 (7) 1.4形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图： . 8 1.4.1同步涡动的临界转速： (9) 1.4.2稳态自由涡动角速度与自转角速度的关系： (9) 1.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下： (10) 1.5mathematic源代码 (11) 2. 威尔逊-- 法求解等加速时的瞬态涡动幅频特性 (12) 2.1 分析 (12) 2.2 MATLAB编程求解 (16)

两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析已知：设有两端铰支偏置单盘转子，两端的滚动轴承简化为铰支座，弹性轴跨长57,l cm =直径 1.5,d cm =弹性模量62622.110/20.5810/E Kg cm N cm =?=?，材料密度337.810/Kg cm ρ-=?。固定在离支承1/4处的圆盘厚2cm =，直径16D cm =，若不计重力影响与系统阻尼，圆盘的转动惯量近似按薄圆盘计算。?为自转角位移，取222 5.7/35.814/rad s rad s ?π=?=。假设无质量偏心，不计重力影响，外力矩的作用是保证转子作等加速转动。求： ①画出转子动力学模型三维立体示意图，导出两端铰支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程； ②应用Mathematic 软件求解该转子形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图； ③应用Wilson θ-数值方法求解等加速度时的瞬态涡动的幅频特性，并画出涡动振幅与自转角速度的幅频关系曲线图和瞬态涡动响应时间历程曲线。

非线性振动

非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。 1、平均法平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。 1.1利用平均法分析多自由度非线性振动平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。 1.2用改进平均法求解自由衰减振动用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼，

在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。 2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。 3、等效小参数法求解强非线性系统等效小参量法是将谐波平衡法和扰动法相结合用于求高阶非线性系统近似解的一种比较有效的方法，这种方法不仅适用于弱非线性系统，而且适用于强非线性系统，其近似解能较好地反映系统特性。在求解弱非线性系统时，扰动法和等效小参量法均具有较高的精确度，但对于强非线性系统，等效小参量法表现出较明显的优势。参考文献：【1】王海期.非线性振动.高等教育出版社.1992

非对称转子-轴承- 基础系统的非线性振动

振动与冲击第!"卷第#期$%&’()*%+,-.’)/-%()(012%34,567!"(57#!88 ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! #非对称转子9轴承9基础系统的非线性振动" 沈松:郑兆昌!应怀樵" （:7北京大学力学与工程科学系，北京:88;<:；!7清华大学工程力学系，北京:888;#； "7东方振动和噪声技术研究所，北京:888;=）摘要对柔性轴两端支承在滑动轴承上的转子，考虑非对称圆盘的陀螺力矩和弹性基础的振动，使用圆短轴承的非稳态非线性油膜力模型，建立了:8自由度的转子9轴承9基础系统运动方程，并通过数值方法计算系统稳态响应，分析了系统的非线性振动形式以及弹性基础的振幅调制对转子振动的影响。关键词：转子系统，非线性振动，分叉，基础中图分类号：/2:""7"，%"!!文献标识码：) 8引言在工程旋转机械中，研究转子系统稳定性的一个重要方面就是由滑动轴承非线性油膜力的作用而产生的各种非线性振动，目前已有大量文献对此进行了多方面的研究，文［:］研究了柔性轴支承的对称转子非线性特性，文［!］使用了非稳态油膜模型描述滑动轴承的非线性油膜力，文［"］研究了非稳态油膜力下柔性轴支承的非对称陀螺转子模型，文［#］则建立了包括基础的简化的"自由度转子系统。虽然转子系统的非线性振动常常由于滑动轴承的油膜力引起，但近年来许多理论和试验表明［=］，为更好地反映转子系统动力特性，应当考虑基础的影响。基础部分的振动将与转子9轴承部分的振动相互影响，根据文［"］的结果，转子9轴承部分的振动除旋转频率成分外，当出现油膜涡动时还会有半频或大约半频的成分，该半频可能同基础的固有频率比较接近，因此转子9轴承9基础系统中除旋转频率和半频外，不仅可能出现一阶临界转速频率，还可能出现基础的固有频率，这两种由于共振出现的频率都会对系统的稳定性造成不良影响。为此本文在柔性轴非对称转子系统的基础上，又考虑弹性基础在垂直方向上的振动对整个转子系统的作用，使用文［!］的非稳态油膜力模型，建立了:8个自由度的非对称转子9非稳态油膜轴承9基础系统运动方程，并通过(>?@ABC9!积分和(>?D5E9’AFGH I5E法相结合的数值方法，计算转子在不同转速参数的瞬态响应，反映了弹性基础的共振形式。 :转子9轴承9基础系统模型通常建立的转子轴承系统，两端的轴承座是不运动的。现在假设轴承座是固定在一个大质量的刚体基础上，基础与地面为弹性连接，个有一定的位移和转动，形成一个转子9轴承9基础系统。由于工程实际中基础位移在水平方向远小于垂直方向，因此本文仅考虑基础垂直方向的振动。图:表示的是转子9轴承9基础系统在%JK（垂直面）和%LK（水平面）平面上的投影，).为柔性轴，图:转子9轴承9基础系统力学模型示意圆盘位于轴的%点，由于%点不处于).的中点，而具有陀螺力矩作用。30为基础，轴与基础通过在)、.两点的滑动轴承油膜力相互作用，基础在垂直方向J 上考虑位移和转动，将其视作平面内的刚体运动，假设具有位移和转角，在水平方向L上的位移和转动一般较J方向小得多而忽略。这样的转子9轴承9基础系统就成为一个:8自由度系统。 "国家重点基础研究项目（(57M:NN;8!8":O）和国家自然科学基金项目（(57:NN

非线性振动

非线性振动期末作业任课老师：姓名：学号：专业：课程：非线性振动

非线性振动的理论研究方法非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。然而这方面的例子是极为有限的。这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。定量分析方法中的解析法是最基本的分析研究方法，使用解析法来进行研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。使用解析方法法求解非线性微分方程近似解的方法有：频闪法、平均法、小参数法、多尺度法、渐近法、谐波平衡法等研究分析方法。下面简单叙述一下几种分析非线性振动的方法：

基于非线性振动特性的预应力混凝土梁损伤识别

第31卷第2期 Vol.31 No.2 工程力学 2014年 2 月 Feb. 2014 ENGINEERING MECHANICS 190 ——————————————— 收稿日期：2012-08-24；修改日期：2013-01-29 通讯作者：曹晖(1969―)，男，四川内江市人，教授，博士，博导，从事结构抗震及结构健康监测研究(E-mail: caohui@https://www.360docs.net/doc/7e2209081.html,). 作者简介：郑星(1986―)，男，湖北荆州市人，硕士生，从事结构健康监测研究(E-mail: zhengx_cqu@https://www.360docs.net/doc/7e2209081.html,)；华建民(1974―)，男，河南商丘市人，副教授，博士，从事结构工程及施工技术研究(E-mail: hjm191@https://www.360docs.net/doc/7e2209081.html,)；文章编号：1000-4750(2014)02-0190-05 基于非线性振动特性的预应力混凝土梁损伤识别曹晖1,2，郑星1，华建民1,2，胡芝茂1 (1. 重庆大学土木工程学院，重庆 400045；2. 山地城镇建设与新技术教育部重点实验室(重庆大学)，重庆 400045) 摘要：对2根后张有粘结预应力混凝土简支梁分别进行单调加载和二级等幅值疲劳加载试验，在各级加载后对试验梁进行动测得到自由振动加速度信号，对加速度信号进行盲源分离并进行Hilbert 变换，得到各损伤状态下梁的频率-振幅曲线簇，分析其非线性振动特性随损伤状态的变化规律。结合裂缝开展情况和钢绞线的应力变化，探讨梁的非线性振动特性的变化与其损伤之间的关系。结果表明非线性振动特性适合于预应力混凝土梁的损伤检测。关键词：预应力混凝土梁；损伤检测；非线性动力特性；盲源分离；Hilbert 变换中图分类号：TU311 文献标志码：A doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2012.08.0611 DAMAGE DETECTION OF PRESTRESSED CONCRETE BEAMS BASED ON NONLINEAR DYNAMIC CHARACTERISTICS CAO Hui 1,2 , ZHENG Xing 1 , HUA Jian-min 1,2 , HU Zhi-mao 1 (1. College of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China; 2. Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area (Chongqing University), Ministry of Education, Chongqing 400045, China) Abstract: Two post-tensioning tests for bond prestressed concrete beams were used to carry out a static test and a two-stage fatigue test respectively. Under each damage level, the beams were excited by a hammer and their acceleration signals of free vibration were recorded. Then the signals were processed by the blind source separation algorithm and Hilbert transform to obtain frequency-amplitude curves, from which the change of nonlinear dynamic characteristics of the beams with the damage level was analyzed. The strain of the prestressing strand and cracking of the beams under each damage level were utilized to investigate the relation between the change of the nonlinear dynamic characteristics and the damage of the beams. The results prove that the nonlinear dynamic characteristics can be used to detect the damage of prestressed concrete beams. Key words: prestressed concrete beam; damage detection; nonlinear dynamic characteristics; blind source separation; Hilbert transform 预应力混凝土结构在使用期间，由于荷载、疲劳、腐蚀、老化及其它环境条件等众多不利因素的影响，将不可避免地产生损伤积累，导致混凝土开裂、预应力损失，甚至破坏等事故。因此，在役预应力混凝土构件的工作性能评价，是当前结构健康监测的一个重要方面。当混凝土构件出现裂缝后，会产生呼吸裂缝效应[1]。所谓呼吸裂缝，即裂缝在振动中时张时合。振幅小的时候，裂缝闭合，此时结构刚度较大；振幅大的时候，裂缝张开，此时结构刚度变小。随着

三自由度齿轮传动系统的非线性振动分析

收稿日期:20030710 基金项目:航空科学基金项目(02C53019)资助作者简介:刘晓宁(1976-),男(汉),山东, 博士研究生刘晓宁文章编号:100328728(2004)1021191203 三自由度齿轮传动系统的非线性振动分析刘晓宁,王三民,沈允文 (西北工业大学,西安　710072) 摘　要:在建立三自由度齿轮间隙非线性动力学模型的基础上,利用增量谐波平衡法获得了受到参数激励和外部谐波激励的三自由度齿轮传动系统模型的周期响应,包括稳定和不稳定的周期轨道,并利用Floquet 理论研究其稳定性、分岔类型,对系统的参数变化进行分析,研究了系统通向混沌的倍周期分岔道路和拟周期分岔道路,绘制了系统周期解分岔图。关　键　词:齿轮转子轴承传动系统;增量谐波平衡法;Floquet 理论中图分类号:TH13 文献标识码:A N onlinear Vibrations of 32DOF G eared R otor 2B earing System LI U X iao 2ning ,W ANG San 2min ,SHE N Y un 2wen (N orthwestern P olytechnical University ,X i ′an 710072) Abstract :The incremental harm onic balance (IH B )method is used to obtain periodic m otions of a 32DOF non 2linear m odel of a geared rotor system subjected to parametric and external harm onic excitations.The stability of the periodic m otions is investigated by the Floquet theory ,the bifurcation behavior is traced.Parametric studies are performed to understand the effect of system parameters such as excitation frequency on the nonlinear dy 2namic behaviors. K ey w ords :G eared rotor bearing system ;Incremental harm onic balance (IH B )method ;Floquet theory 齿轮传动是应用最为广泛的一种机械传动形式。在齿轮传动系统中,由于齿侧间隙、支承间隙、时变刚度等因素的存在,导致系统产生强非线性振动,这种振动往往表现为系统的分叉、混沌振动现象,会对机械传动系统的工作性能和可靠性产生很大影响。因此,齿轮传动非线性系统的非线性振动研究引起了广泛的关注[2～5]。从齿轮传动系统间隙非线性动力学研究来说,大部分的研究都是借助数值方法探讨系统分叉、混沌等现象的存在。增量谐波平衡法(IH B )作为求解非线性微分方程周期解的解析方法,具有精度高,适用于求解周期激励问题的特点,尤为重要的是能够求解出混沌吸引子内部的不稳定周期轨道,这也恰恰是实现混沌控制的目标稳定轨道。本文综合利用增量谐波平衡法和数值方法研究三自由度齿轮传动系统的动态特性,考察系统参数对动态性能的影响,并结合应用Floquet 理论探讨了通向混沌的倍周期和拟周期分叉道路。 1　三自由度齿轮转子轴承系统的间隙非线性模型及方程图1　三自由度非线性齿轮传动系统模型如图1所示的三自由度非线性齿轮传动系统模型,齿轮部分包括齿轮惯量I g 1和I g 2,齿轮质量m g 1和m g 2,基圆直径d g 1和d g 2。齿轮啮合由非线性位移函数f h 和时变刚度 k h (t - ),线性粘性阻尼c h 描述。轴承和支撑轴的模型则由等效的阻尼元件和非线性刚度元件表述。阻尼元件具有线第23卷　第10期机械科学与技术 V ol.23　N o.10　 2004年　10月 MECH ANIC A L SCIE NCE AND TECH NO LOGY October 2004

非线性振动

一维非线性振动的数值求解高雁军1吴少平2 (1．湖北民族学院物理系，恩施，445000；2．华中师范大学物理系，武汉，430079) 摘要利用四阶龙格－库塔方法数值求解了一维阻尼振动方程，所得到的结果与用解析方法得到的结果完全一致，验证了四阶龙格－库塔方法的可靠性和精度。在此基础上，数值求解了在物理中有广泛应用的几个非线性方程，说明了非线性效应对于振动的影响。关键词振动；非线性；龙格－库塔方法振动是一种很常见的物理现象。在线性振动理论中，研究的是系统在平衡位置附近的微小振动，它的特点之一是描述物质运动状态的物理量在某一数值附近作周期性的变化。振动的例子有很多，比如，钟摆的摆动，活塞的往复运动，固体中原子的振动，交流电路中的电流在某一电流值附近作周期性的变化等，所以振动问题具有很重要、很广泛的应用。在普通物理中讲的振动都是线性的，对于这种振动，从物理上说，非线性效应还不明显，从数学上说，振动方程中

的非线性项被忽略掉了，因而振动方程求解起来也比较容易。但严格地说，物质世界没有真正的线性振动，它只是非线性振动的近似。如果某一物理量对平衡位置有较大偏离，在处理这类振动问题时，就必须考虑非线性项的作用，从而会产生新的物理现象，因此非线性振动有重要的理论和实际意义。不过，除了少数可以精确求解的非线性方程外，对于非线性问题，在数学上要得到解析解，也只能采取一些近似的、特别的方法(如摄动法、平均法、多尺度法、KMB法等)，还缺乏一种普遍的、行之有效的解析方法。随着计算机技术的飞速发展和人们对数值计算方法的深入研究，数值方法作为一种重要的手段日益受到人们的重视，数值计算也被应用到非线性振动的研究中来。对于常微分方程的初值问题，数值方法的基本思想就是离散化，即将求解区域分成各离散点，然后直接求出各离散点上的、满足精度要求的未知函数的近似值。求解常微分方程的初值问题的数值方法有：欧拉方法、龙格－库塔法、阿达姆斯法等，其中四阶龙格－库塔法具有计算稳定、精度高的特点。本文中，采用四阶龙格－库塔方法求解了一维阻尼振动方程和在物理中有广泛应用的几个非线性方程，说明了非线性效应对于振动的影响。 1．四阶龙格－库塔公式

!!故障转子系统的非线性振动分析与诊断方法附录A matlab程序

A.1 传递距阵法分析程序 %main_critical.m %该程序使用Riccati传递距阵法计算转子系统的临界转速及振型 %本函数中均采用国际单位制 % 第一步：设置初始条件（调用函数shaft_parameters） %初始值设置包括：轴段数N，搜索次数M %输入轴段参数：内径d,外径D，轴段长度l，支撑刚度K，单元质量mm，极转动惯量Jpp[N,M,d,D,l,K,mm,Jpp]=shaft_parameters; % 第二步：计算单元的5个特征值（调用函数shaft_pra_cal） %单元的5个特征值： %m_k：:质量 %Jp_k：极转动惯量 %Jd_k：直径转动惯量 %EI：弹性模量与截面对中性轴的惯性矩的乘积 %rr：剪切影响系数 [m_k,Jp_k,EI,rr]=shaft_pra_cal(N,D,d,l,Jpp,mm); % 第三步：计算剩余量（调用函数surplus_calculate）,并绘制剩余量图 %剩余量：D1 for i=1:1:M ptx(i)=0; pty(i)=0; end for ii=1:1:M wi=ii/1*2+50; [D1,SS,Sn]=surplus_calculate(N,wi,K,m_k,Jp_k,JD_k,l,EI,rr); D1; pty(ii)=D1; ptx(ii)=w1 end ylabel(‘剩余量’)； plot(ptx,pty) xlabel(‘角速度red/s’); grid on % 第四步：用二分法求固有频率及振型图 %固有频率：Critical_speed wi=50; for i=1:1:4 order=i [D1,SS,Sn]=surplus_calculate(N,wi,k,m_k,Jp_k,Jd_k,l,EI,rr); Step=1; D2=D1; kkk=1; while kkk<5000

悬架非线性振动研究综述

doi ：10．3969／j．issn．1673－3142．2010．01．001 悬架非线性振动研究综述周继磊，任传波（山东理工大学交通与车辆工程学院,山东淄博255049）摘要：现代的悬架系统的非线性是无处不在的，悬架减振器、弹簧、轮胎等都存在着明显的非线性特点，因此使用精确的非线性模型进行理论方面的研究变得很有意义，对此许多学者对非线性悬架进行了大量的理论和实验研究。本文主要阐述了当前国内外悬架非线性振动的理论研究概况和实验成果，提出了研究中所存在的一些问题和今后的发展方向，对悬架非线性振动研究具有重要意义。关键词：非线性振动;悬架系统;非线性模型;研究进展中图分类号：U463.33 文献标识码：A 文章编号：1673－3142（2010）01－0003－04 Summary of Nonlinear Dynamics Systems of Vehicle Suspension ZHOU Ji-lei ,REN C huan-bo （School of Traffic and Vehicle Engineering ，Shandong University of Technology ，Zibo 255049，China ） Abstrac t ：The nonlinearity of modern suspension system is widespread．There is a clear non－linear characteristics in suspension shock absorber ，springs ，tires and so on．So it becomes very significant to use more precise theoretical nonlinear model for designing a reasonable control strategy．Many scholars have carried out a large number of theoretical and experimental research for non－linear suspension．The current theoretical and experimental research of non－linear suspension vibration at home and abroad are mainly described ，and some problems as well as the future direction of development which are to be of great significance for the Study on Nonlinear Vibration of the suspension are put forward． Keywords ：non－linear dynamics ；suspension systems ；non－linear models ；summarizations 收稿日期：2009－09－08 作者简介：周继磊，男（1982-），研究生，专业：工程力学，研究方向：车辆动力学。农业装备与车辆工程 AGRICULTURAL EQUIPMENT &VEHICLE ENGINEERING 2010年第1期（总第222期） No．12010（Totally 222） 1引言当前汽车工业对悬架系统的机理研究在线性分析方面已十分成熟,其结构得到不断改进,性能及控制技术也得到了提高,但在非线性研究方面还很贫乏[1] 。实际上悬架具有很强的非线性特性，如压缩阻尼小于伸张阻尼的减振器、具有干摩擦效应的变刚度钢板弹簧悬架等，这些部件的非线性特性恰恰改善了汽车的振动特性，对悬架系统的线性分析已不能精确反映实际工作情况。另外，随着悬架控制技术的发展，高性能的控制器设计是建立在对悬架系统精确的振动分析基础上的。所以，针对悬架系统，研究更符合实际的非线性模型，并分析其非线性特性对平顺性、安全性和操作舒适性的影响，不仅对悬架动力学理论发展具有重要作用，而且对悬架系统的设计与控制规划等都具有使用价值。 2汽车悬架的力学模型在研究汽车悬架非线性振动特性时，根据研究情况需建立汽车悬架的力学模型。常用的汽车悬架模型有三种，即1/4车悬架模型、1/2车悬架模型和整车悬架模型。【设计与研究】

非线性振动作业(部分)

0 非线性振动概述人类对非线性振动现象的观察可以追溯到1673年Huygens对摆的研究.他注意到两类非线性现象:摆的大幅振动不具有等时性,以及轻微不同步摆钟存在频率拖带。1749年Euler研究的压杆失稳涉及平衡点的分岔,也是非线性系统的典型特征。除Helmholtz和Rayleigh对频率拖带的研究外,对非线性振动的系统研究是在19世纪后期为解决天体力学问题而开始的,到本世纪20年代又受无线电技术的刺激,在定性理论和解析解法方面都有大量成果.到70年代后期,与工程应用日渐普及的同时,非线性振动理论发展成为以混沌问题为核心的非线性动力学,成为新的交叉科学即非线性科学的重要组成部分。通常认为线性振动系统的参数均为常值.由于参数周期变化而激起的振动即参数振动虽为线性振动,但在研究方法上更接近非线性振动。1831年Faraday首先观察到参数振动现象,充液容器铅垂振动时液体自由表面波动的周期为容器振动周期的两倍。1859年Melde和1883年Rayleigh分别进行了实验研究。1868年Mathieu在研究椭圆薄膜振动时涉及以余弦函数为系数的常微分方程。1877年以偶周期函数为系数的方程出现在Hill对月球运动的研究中,他用幂级数展开方法证明了月球近地点运动的周期性。1883年Floquet建立了系数为同周期函数的高阶线性微分方程周期解的存在性及其他性质的完整理论。1885年Poincaré证明了Hill所用展开方法的收敛性。非线性振动的研究使得人们对振动机制有了新的认识。除自由振动、受迫振动和参数振动以外,还有一类广泛存在的振动,即自激振动。1925年Cartan父子研究了无线电技术中出现的一类二阶非线性微分方程的周期解.1926年vanderPol 建立一类描述三极电子管振荡的方程,称为vanderPol方程,他用图解法证明孤立闭轨线的存在,又用慢变系数法得到闭轨线的近似方程.1928年Lienard证明以Cartan方程和vanderPol方程为特例的一类方程存在闭轨线,1929年Андронов阐明了vanderPol的自激振动对应于Poincaré研究过的极限环.自激振动也在其他工程系统中出现,例如,1932年DenHar-tog用自激振动解释输电线的舞动,1933年Baker的工作表明干摩擦会诱发自激振动。非线性振动的研究也促使人们认识一种新的运动形式,即混沌振动。1945年Cartwright和Little-wood对受迫vanderPol振子及Levinson对一类更简化的模型分析表明,存在一类奇异的解,两个不同稳态解可有任意长时间相同的瞬态过程,这表明运动具有不可预测性.60年代上田和林千博等在寻找Duffing方程谐波解时,得到一种混乱貌似随机且对初值非常敏感的解,但他们的工作直到1973年才发表[1]。振动是物理学技术科学中广泛存在的物理现象。如建筑物和机器的振动。无线电技术和光学中的电磁振动，控制系统和跟踪系统的自激振动，声波振动，同步加速器中的束流振动和其结构共振，火箭发动机燃烧时所引起的振动，化学反应中的复杂振动等等。这些表面看起来极不相同的现象，都可以通过振动方程统一到振动理论中来。振动是机械运动的一种形式，在技术领域中，经常出现周期振动。因振动是机械运动的一种形式，所以其运动规律) (t x决定于作用在系统上各种力的性质，即为下列方程所决定 m= +'' x +' f )1.0( )(t kx x c