Ch5 非线性振动分析

y y dz f (t , y ) g (t , y; ) t z dt
y dz g (t , y; ) z dt
dy f (t , y ), y (t0 ) x0 dt
假设矩阵
y 是满秩的，则有 z
1
y dz g (t , y; ) z dt
1. 摄动问题的标准型 (perturbation problem in the standard form)
摄动问题：
dx f (t , x) g (t , x, ), x(t0 ) x0 dt
无摄动问题：
dy f (t , y ), y (t0 ) x0 dt
假设该无摄动问题有解析解
(t )
为简便起见，选择基础矩阵
(t ) I
利用标准的常数变易过程，设
x (t ) z
我们能得到
dz 1 (t ) g (t , (t ) z; ) dt
若矩阵 A(t ) 为定常矩阵，则我们有基础矩阵
(t ) e A(t t0 )
则标准型变为
dz A( t t 0 ) A( t t 0 ) e g (t , e z; ) dt
例：基座振动的倒置单摆
l ，支撑的振动规律为 y0 A0 sin t 求单摆稳定时激励频率 应满足的条件。
设单摆的长度为
Fra Baidu bibliotek
y
x
mg
y0 A0 sin t
设单摆的微小偏角为
x
，则单摆的小幅振动方程为
m l2 m g m 0 l sin x x y y0 A0 sin t
——W. Hill方程，1877年Hill在研究月球运动时建立的.
进一步，很多系统可表示为
( cost ) y 0 y
——E. Mathieu方程，1868年研究椭圆薄膜振动时建立的。
参数振动系统的特征： 1. 参数振动系统中存在能量的输入与耗散，是非保守系统； 2. 参数振动系统为非自治系统(时变系统)； 3. 参数振动的稳定性取决于能量的输入与耗散的相互作用关系。
一般地，该系统的解为
r0e x(t ) cost 0 O( ) 1 1 r02 (et 1) 4
1 t 2
传输带干摩擦自激振动系统
斜波上的被动步行腿式机器人
5.3 参数振动
徐铭陶，肖明葵，《工程动力学——振动与控制》， 机械工业出版社，2004. （4.8节线性参数振动系统）
定量解析分析方法的局限性
• 研究对象通常为弱非线性系统； • 非线性项为小量，可视为线性系统的某种 摄动，从而基于线性系统解寻求非线性系 统的近似解； • 通常只能针对单自由度系统进行分析求解。
平均法
• 常数变易法； • 参数变易法； • 慢变振幅法
参考书： J.A Sanders， Averaging methods in nonlinear dynamical systems, Springer-Verlag, New-York, 1986.
例5.5
例5.6 反例
5.2 自激振动
徐铭陶，肖明葵，《工程动力学——振动与控制》， 机械工业出版社，2004. （4.7节 非线性自主振动系统）
海盗船
水车
蒸汽机车
机械表擒纵机构
自激振动：
自主地从定常能源汲取能量，以系统 状态为调节器，控制能量的交变输入， 当输入的能量与耗散的能量达到平衡时， 系统维持等副振动，称为自激振动。
例5.2 相-幅变换法
x g (t, x, x ; ), x(t0 ) , x (t0 ) x
2
2x 0 x
x cos(t t0 ), 或x sin(t t0 )
x r cost r sin t x
第五讲 非线性振动分析
非线性系统的定性分析方法的局限性
• 包括相平面法在内的一类非线性系统的分析方法 是定性分析方法； • 定性分析方法一般只能针对自治系统进行分析； • 定性分析方法不能揭示动态特性参数(频率、振幅) 与系统运动之间的关系。
非线性系统的定量解析分析方法
• • • • • • 平均法 多尺度法 渐近法 谐波平衡法 摄动法 林滋泰德—庞卡莱法
从而 则有 即
1 g A0 2 cos t x 0 令 l 2 d2 x 1 2 g A cos2 x 0 0 4 d 2 l x
d 2 x 4 g 4 A0 cos 2 x 0 2 2 d l l
则常数变易变换为
x z1 cos (t t0 )
z1 sin(t t0 ) z2 cos(t t0 ) x
z2
sin (t t0 )
则该系统的标准摄动方程为
dz1 ; ), z1 (t0 ) sin (t t0 ) g (t , x, x dt dz2 ; ), z2 (t0 ) cos (t t0 ) g (t , x, x dt


t
( cos2 ) x 0 x 因此方程变为E. Mathieu方程的形式：
其中

4g l 2

4 A0 l
参数振动：存在外激励的条件下，由于系统内部参数 的周期变化而引起的系统振动。
参变系统的一般方程
(t ) y (t ) y 0 (t ) y
其中， (t ), (t ), (t ) 为周期函数。 在某些实际情况下，该方程可简化为
(t ) y 0 y
考虑伪线性系统
dx A(t ) x g (t , x, ), x(t0 ) x0 dt
n n A ( t ) R ，其中 。
dx A(t ) x g (t , x, ), x(t0 ) x0 dt
dy 其无摄动系统可写为 A(t ) y dt
且有满维独立解构成的基础矩阵(fundamental matrix)
x f ( x, x ) x
，该系统的摄动方程变为
dr sin t f (r cost , r sin t ), r (0) r0 dt d cost f (r cost , r sin t ), (0) 0 dt r
自激振动的三特征： 1. 耗散的振动系统； 2. 外部定常能源； 3. 状态反馈调节器。
自激振动系统的定性与定量分析
2 x0 x (1 x ) x
其平均近似系统为
~ d~ r ~ r2 r (1 ) dt 2 4 ~ d 0 dt
y(t , x0 )
，且该解与初值 x0
有关。因此有
y y(t , z), y(0, z) z, z R n
定义变换（参数变易法、常数变易法）
x y (t , z )
对解
y y(t , z), y(0, z) z, z R n 进行微分得到：
dx f (t , x) g (t , x, ), x(t0 ) x0 dt
0
则其近似系统为
d~ r f1 (~ r) dt
~ d ~ f 2 (~ r) dt r
可见通过平均方法，把原来的时变系统分析问题转化为了 定常系统的分析问题。
2 x x ( 1 x )x 例5.4 具体研究系统：
其平均近似系统为
显然， r (0) 0 ， r (0) 2 是两个稳态解。初值为 r (0) 0 时，系统的解
dr ; ) sin t g (t , x, x dt d ; ) cost g (t , x, x dt r
例5.3 （van der Pol）方程
x r cost 利用相幅变换： x r sin t
dz y(t , z ) g (t , y(t , z ); ) dt z
该式被称为“摄动问题的标准型”。由于该式针对的 问题过于一般，在应用上并不方便。因此基于这种参数 变易法的思想研究一些特殊问题，更具有工程价值。
2. 伪线性系统的标准型 (The standard form in quasilinear case)
~ d~ r ~ r2 r (1 ) dt 2 4 ~ d 0 dt
~ r
为系统原点；初值为 r (0) 2 时，
~ 系统的解 r 为周期解， x 2 cost 0 O( )
一般地，该系统的解为
1 t 2
r0e x(t ) cost 0 O( ) 1 1 r02 (et 1) 4
其平均矢量场为：
1 f1 (r ) sin t f (r cost ,r sin t )dt 2 0 1 sin f (r cos ,r sin )d 2 0 1 f 2 (r ) 2
2 2
2
cos f (r cos ,r sin )d
例5.1 （慢变振幅法）考虑非线性振动系统
2 x g (t, x, x ; ), x(t0 ) , x (t0 ) x
其无摄动系统为 2x 0 x 该无摄动系统的解为 x cos(t t0 ), 或x sin(t t0 )