机械振动第6章非线性振动

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• 由于存在次谐波与超谐波振动,非线性系统共振频率的数目 将多于系统的自由度
(6) 存在多个简谐激振力作用下的组合振动
(7) 存在频率俘获现象
• 在非线性振动系统 中,当系统以 1 振动,受到另一 2 激励时,系统可能以其中之一的频率振动,即频率俘获
(8)在一定条件会出现分叉现象与混沌运动
策动力为位移或速度的非线性函数
如 F F ( x , x2 , x3 ,v ,v 2 ,v 3 )
线性振动与非线性振动的最大区别: 线性振动满足叠加原理 非线性振动不满足叠加原理
非线性振动方程的一般形式
线性振动方程 非线性振动方程
cx kx f (t ) m x
, x , x) f c ( , x , x) f k ( , x , x) f ( , x , x, t ) f m ( x x x x
变质量 惯性力
非线性 阻尼力
非线性 恢复力
非线性 激振力
5.2 非线性振动问题的主要特点
• (1) 非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关
线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化
(2) 对于非线性振动系统,叠加原理不适用
• 对于线性微分方程
• 对于非线性系统
d n x1 x2 d n x1 d n x2 n n dt dt dt n
来自百度文库
d 2 g 当 很小, sin 2 dt l 2 d g 线性近似: (sin ) 2 dt l
O

N
l
m
若 为任意值, (sin ) 而 sin(1 2 ) sin 1 sin 2
A
故自由单摆为非线性振动系统:
O

d ,以及 t 0, 0 , 0 , dt
这里用导数的平均代替t 瞬时的导数值,称为梯形法,它 采用 t +D t 瞬时的微分方程,因此,为隐式格式。 xn+1的表达式也可以写成如下的形式:
2 1 n D t 1 xn1 xn x [ ( x x ) ] D t 2 2 n n 1
用平均加速度代替t 瞬时的导数值是纽马克法的一个特例。
不能获得系统的频率、振幅等基本参数。
只有极少的非线性系统能获得精确的解析解,因 此,对大多非线性系统只能采用近似解析的方法。近 似解析方法主要用于弱非线性系统。
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
谐波平衡法
谐波平衡法的基本思想是设振动系统微分方程的解能用 系数未知的傅立叶级数表示,然后将外激励展成同样周期的 傅立叶级数,代入方程。由动力学方程两端同阶谐波的系数 相等,得到未知系数的线性代数方程组,解方程组,得到振 动系统微分方程傅立叶级数形式的解。 讨论非线性系统的在外激励下的受迫振动:
一、任意摆角情况下单摆的运动
f ( x1 ) f ( x2 ) 则 f ( x) 是线性的; 若 g ( x) 为非线性,则 A g ( x1 x2 ) g ( x1 ) g ( x2 )
★自由单摆的运动方程:
线性系统(数学定义): 若 f ( x ) 满足 f ( x1 x2 )
将级数形式的解及其各阶导数和级数形式的激励力 一起代入动力学方程中,整理各阶谐波的系数,令相同
谐波分量的系数相等,就可以得到级数形式解中各个待
定系数a0、a1n和a2n为未知数的2n+1阶线性代数方程组:
[ D] {a} { f }
解线性代数方程组,得到方程级数解的系数。
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
第5章 非线性振动
5. 3.2 非线性振动的数值分析方法
数值分析方法就是对非线性系统进行数值积分,在 时域内把响应的时间历程离散化,对每一时间步长内可 按线性系统来进行计算,并对每一步的结果进行修正。 这种方法又称为逐步积分法或直接积分法。
数值分析方法得到广泛应用的原因 一个原因是因为非线性分析理论发展的不完善性,对
Duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动
5.3 非线性振动问题的研究方法
实物或模型实验— —结合计算机处理数据 实验方法: 空间平面法) 定性方法(几何法或相 在相平面上研究解或平 衡点的性质,即相轨迹 在相平面上分布 情况;确定奇点、极限 环、特殊轨线,解的全 局性态。 法) 初值法(如Rouge kut t a 边值法(Shoot ingMot hed) 数值解法: 直接 点映射法 胞映射法 跌代法 分析方法: (小参数法) 摄动法 定量方法 渐进法(平均法) 多尺度法 (近似法)解析法: 伽辽金法 谐波平衡法 等价线性化法
(4) 某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动,振幅不 衰减 • 线性系统中自由振动总是衰减的
x Aent sin(t )
(5) 强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分 • 简谐激振力作用下的非线性系统 响应波形除了与激振力频 率相同的谐波外,还含有频率为激振频率的几分之一.
x (t, ) x0 (t ) x1 (t ) x2 (t )
2
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
)在 将原系统周期解的表达式代入原方程两端,并将f(x, x
0)的领域内展开成泰勒级数: 基本解(x0, x
2 0 x x F (t ) x (t, ) x0 (t ) x1 (t ) 2 x2 (t )
发生非线性振动的原因: 1、内在的非线性因素 振动系统内部出现非线性回复力 单摆(或复摆) 3 5 M mgl ( ) 的回复力矩 3! 5!
振动系统的参量不能保持常数, 如漏摆、荡秋千。 自激振动
2、外在的非线性影响 非线性阻尼的影响

f r k1v k2v 2 k3v 3
第5章 非线性振动 纽马克法的积分格式:
5. 3.2 非线性振动的数值分析方法
n1 x n ( 1 ) n D t n 1D t x x x
2 2 1 xn1 xn xn D t ( 2 ) xn D t xn 1 D t
n D t xn1 xn x n D t 或 x n1 x n n D t vn1 vn v x
第5章 非线性振动 在有了t 瞬时的位移 分方程
5. 3.2 非线性振动的数值分析方法
n 后,由满足 t 瞬时的微 xn 和速度 x
n c x n k xn f n m x
d d ml 2 l mg sin F cos t dt dt
2
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
结论:对于一个非线性系统,在确定的初始条件 下,其解可能具有不可预测的随机性。
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点(平衡位置) 附近的运动稳定性,它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统,而且不能定量地计算系统运动的时间历程,
很多问题无法进行理论上的分析;
另一个原因是数值分析理论的发展和计算工具性能的 提高使得数值分析成为可能。
第5章 非线性振动
5. 3.2 非线性振动的数值分析方法
常用的数值分析方法
非线性振动的数值方法是把非线性方程化为对每一时间 步长D t 内的线性方程来求解,常用的数值分析方法有纽马克 (Newmark)法、威尔逊(Wilson) 法、Runge-Kutta法等。 纽马克(Newmark)法 梯形法 最早由欧拉提出,其基本思想是将方程的解,即位移响 应展成泰勒级数,并只保留一阶导数。即关于 t +D t 瞬时的 速度和位移均可由前一步 t 瞬时的速度和位移来表示:
f ( x, x ) F (t ) x
设方程的解可以用周期为T 的傅立叶级数表示
x(t ) a0 a1n cos(n t ) a2 n sin(n t )
n 1

第5章 非线性振动

5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
将外激励力F(t)展开为同样周期的傅立叶级数:
2g 2 2 2cos 1 cos 0 0 l 2
2
d g sin 2 dt l
2

N
l
m
则上式变为
方程解的非唯一性 1. 设初始条件为
2g 2 2 2cos 1 cos 0 0 l 2
2
0= ,0= 0,则其解为
g 2 cos l 2
O
A
d 0 在最高点 = , = 0, dt
运动分析:

N
l
m
系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况: a. 停留在该顶点,尔后径直下落; b. 调头沿原路返回; c. 越过该顶点继续向前运动。
★ 对于一般单摆的运动方程(受周期性驱动力作 用的阻尼单摆) :
摄动法
讨论带小参数的单自由度非自治系统:
x F (t ) f ( x, x ) x
2 0
其中,为与变量 x,t 无关的常数。当充分小时,系统为 弱非线性系统, 称作小参数。 当 = 0 时,上述系统退化为一个派生系统
2 x 0 x F (t )
设派生系统的周期解为 x0 (t) ,当观测到原系统也存 在周期解时,可以在派生系统周期解的基础上加以修正构 成原系统的周期解x (t,) ,并展开为 的幂级数
第5章 非线性振动
5. 3.2 非线性振动的数值分析方法
欧拉法的几何意义是用折线代替曲线,计算精度较低,一 般只用于起步或与其它方法配合使用。
高斯对欧拉法进行了改进,用t 瞬时和 t +D t 瞬时的平均 速度代替欧拉法中t 瞬时的速度,即:
xn1 xn 1 2 ( xn xn 1 ) D t n1 x n 1 x 2 ( xn xn 1 ) D t
F (t ) f1 n cos(n t ) f 2 n sin(n t )
其中,
1 T /2 f1 n T / 2 F (t ) cos (n t ) d t T 1 T /2 f 2 n T / 2 F (t ) sin (n t ) d t T
n 1


2 T
得到 t 瞬时的加速度:
n ( f n c x n k xn ) / m x
由以下两式得到 t +D t 瞬时的速度和位移:
n D t xn1 xn x n1 x n n D t x x
0 后,就可以获得任何 依此类推,给定初值 x 0 和 x 瞬时系统的运动速度和位移。位移截断误差为0(D t2 )。
2 2 2 d 2 x x ( ) d x d x d x d ( x1 + x2 ) 1 2 = 1 + + 2? 1 dt dt dt dt dt
2
2 dx2 dt
(3) 非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统,存 在跳跃和滞后现象 在激励比较强烈而系统的阻尼又很小的情况下,主共振的 幅频特性的曲线有反向弯曲。
第五章 非线性系统的振动
5.1 非线性振动概述
5.2 非线性振动问题的主要特点 5.3 非线性振动问题的研究方法 5.4 分叉与混沌的概念
王卫滨
5.1 非线性振动概述
不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。恢复力与位移不成 正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。 工程技术与自然界中的振动问题及现象,绝大多数属于非线性的,线 性振动系统往往是对非线性系统进行简化与近似的结果。
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