非线性振动

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课程：非线性振动

非线性振动的理论研究方法

非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。

通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。然而这方面的例子是极为有限的。这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。

求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。定量分析方法中的解析法是最基本的分析研究方法，使用解析法来进行研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。使用解析方法法求解非线性微分方程近似解的方法有：频闪法、平均法、小参数法、多尺度法、渐近法、谐波平衡法等研究分析方法。下面简单叙述一下几种分析非线性振动的方法：

（1）摄动法

摄动法还可称作小参数法，这个思想是在19世纪，著名的学者S. D. Poisson 研究分析天体运动时提出的。他在求解微分方程的近似解时采用了小参数级数形式，这种小参数法可以称作基本摄动法还可以称作直接展开法。采用直接展开法求解非线性微分方程得到近似解的形式中通常都会有一个随着时间而无限增加的长久项，所以小参数法仅适用于较短时间的问题。因此学者们为了把这个长久项去除掉，在19世纪80年代末 Lindstedt 创造一个新的方法，这个方法引入了新的变量t τω=，并且还将未知量x 和ω均展开成ε幂级数的形式。在19世纪90年代初 Poincare 证明Lindstedt 级数具有渐进性，因此，这种方法被称为Lindstcdt-Poincare 方法，简称L-P 法。

（2）渐近法

求解非线性微分方程近似解的渐近法简称为KBM 法，国内外的学者们认为渐近法是参量变值法中最有效最基本适用范围最广的渐近算法，求解非线性微分方程还有其他的平均算法但全部都是由它演变过来的。渐近法不仅能够研究稳定周期振动的相关问题，还能够分析瞬间振动的相关问题。通常情况下使用渐近法求解非线性微分方程得出的第一次近似解与高次近似解的结果基本上是一样的，这是因为想要得到高次近似解就需要进行非常复杂的计算过程，因而很多学者求解非线性微分方程近似解时只求解了第一次近似解。在20世纪80年代我国学者徐兆建立了一种新的渐近方法，新建立的渐近方法完全不同于经典的KBM 方法，两种方法求解非线性微分方程得到近似解的结构形式区别很大。通常使用经典的KBM 方法来求解非线性微分方程得到近似解都是三角级数形式的，该近似解一般都是使用振幅和相角来进行表示，其中三角级数形式中相角以及振幅都使用微分方程来表示，并且这里的微分方程只和振幅有关。新的渐近方法与经典KBM 方法的不同之处在于相角的微分方程是振幅和相角共同决定的。

（3）多尺度法

在20世纪50年代末学者斯特罗克首先提出了多时间尺度的概念，奈弗在多时间尺度的基础上把各阶近似解设成是t ，t ε ，2t ε ，…等函数，这些函数拥有多个时间尺度或者说成是这些函数拥有多个自变量，这样就创建了多尺度法。多尺度法与摄动法不同之处在于，多尺度法不只是计算周期解，还可以用来计算

耗散系统的衰弱振动相关问题；多尺度法不只是计算稳态响应相关问题，还可以用计算非稳态过程相关问题，并且还能够用来研究稳念响应的稳定性相关问题以及描绘非自治系统全局运动行为的相关问题。多尺度法拥有多个时间尺度或多个变量，所以在求解非线性微分方程的过程中能够不受定程式的约束。

（4）谐波平衡法

谐波平衡法也是求解非线性振动问题常用的一种近似解析法。谐波平衡法在使用过程中可以把其归结为代数方程组的求解过程，这就不需要再去求解积分一微分方程组或者求解微分方程组，然而这种方法在应用的过程中也可能会出现不准确或者相互矛盾结果。

（5）频闪法

频闪法在求解非线性振动问题时需要把连续变量离散化，之后再把离散化变量进行连续化处理。把非线性振动问题的变量转换过程连续进行两次以后就能够把原来是非自治型微分方程组转变为自治型辅助微分方程组，进行两次转化后得到的方程组也叫做频闪微分方程组。通过频闪法对非线性振动问题进行变化之后就把求解原方程组周期解存在性与稳定性的问题转变为求解频闪方程组奇点的存在性与稳定性的问题