非线性振动与混沌简介1

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四、单摆与混沌
单摆方程
ml
d2x dt 2

l
dx dt

mg
sin
x

F
cos t
按泰勒级数 sin x x 1 x3 6
取前两项近似，
适当代换，得到非线性振动方程（杜芬方程）
d2x dt 2

dx dt
x x3

f
cos t
讨论 运动的演变
1. 线性近似下的单摆运动
l
当 很小，
O
l
线性近似： d 2 g (sin )
m
N
dt 2
l 按级数展开，取第一项而得.
4
若 为任意值， (sin )
A
而 sin(1 2 ) sin1 sin2
故自由单摆为非线性振动系统：
d 2
dt 2
g sin
l
O
l
m
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●混沌的发现是对经典的决定论的冲击，或者说 混沌理论是对经典力学理论的补充和发展。 ●混沌现象无处不有。混沌规律不仅支配着整个 自然界的各个领域，而且也支配着人类的各种社 会活动。 ★从整个自然界来讲，线性系统与非线性系统之比 正如有理数与无理数之比，我们实际上是生活在一 个非线性的世界之中。 ●混沌在现代科技以及经济、社会领域中都有若干 重要应用。
y 1 x2 ---抛物线方程
令 y xn1, x xn ，得抛物线形迭代方程
xn1 1 xn2
xn
[0,2], xn [1,1]
在整个区间取值迭代便
得出由周期运动到倍周
期分岔，再进入混沌状
态的整个演化过程。

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倍周期分岔序列：12482n .
N
令
d
dt
，以及
t 0, 0,
0
，
则上式变为
2

2g l

2
cos2

2
1
cos0

02
5
方程解的非唯一性 1. 设初始条件为
2

2g l

2
cos2


2
1
cos0

02
0= ，0= 0，则其解为
A
2 g cos
周期三窗口

24
1 框内部分放大得下页图
25
2 框内再放大得下页图
26
3
27
2
1 3
混沌内部的自相似结构
28
b. 自相似结构
看似混乱的混沌体系中，包含着丰富有序的内部结 构。 ★任何局部的小区域都包含着整体的信息，具有与 整体完全相似的规律。 ●在混沌内部所包含的这种在不同尺度上的相似结 构称为自相似性。 ◎从拓扑空间上来讲，自相似结构的维数往往不是 整数维，而是分数维的，也就是具有分形的性质。
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讨论
●相同的常数 和 出现在不同的非线性系统之中，
充分显示出非线性系统中存在的某种共性，说明通 往混沌的道路是有确定的规律可循的。
●混沌现象是确定性系统中的内在随机行为，是非 线性系统的一种固有属性。 ●经典力学的观点并不能理解内在随机性。 ◎按照牛顿决定论的观念，一个没有外来随机因素 影响的确定性系统，其运动的规律也必然是确定的。 就是说，只要初始条件给定，则系统在以后任一时 刻的运动状态都是完全可以预见的，决不可能出现 任何“越轨”的随机行为。
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令 =0，退化为线性方程
d 2x dx x f cost
dt2 dt
三种情况： a. f= = = 0；b. f = =0；c. =0，相
应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。
★简谐振动的相轨线：闭合圈---周期环---。
★阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最 终停止于中点---不动点吸引子--- 。
一、任意摆角情况下单摆的运动
线性系统（数学定义）：
若 f (x) 满足 f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 则 f (x) 是线性的； 若 g(x) 为非线性，则
g(x1 x2 ) g(x1) g(x2 )
A
★自由单摆的运动方程：
d 2
dt 2

g sin
★ 对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作
用的阻尼单摆） ：
ml d 2 l d mg sin F cost
dt 2
dt
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件
下，其解可能具有不可预测的随机性。 7
二、确定性系统中的内在随机性
●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性 性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在 随机性。 例如，上述非线性单摆的运动。 ★支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确 定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。 ★然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现 了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的 结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。
★由受阻力 和周期策动 力作用的非 线性单摆方 程可得






m


g l
sin

F ml
cos
t
显含 t ，在二维相空间中为非自治系统。
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引入新变量 = t ，可将方程化为三维相空间中的
自治系统：






m


g l
sin

F ml
cos

注意：常数 并不只限于单摆公式，而是对所有同
一类的变换，所得的 值都精确地相同。
● 的数值只与系统的某种非线性性质有关，而与
各个系统的其他具体细节无关。
●反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性.
●是混沌内在规律性的另一个侧面反映。
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标度因子
在倍周期分岔序列图中，同次周期分岔中上下的各
对周期点之间的距离之比，以及第相邻两次周期分
★通过分析相轨线在彭加勒截面上的交点的分布 规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程 中系统的运动规律。

相轨线



2
2n
2(n 1)
三维相空间


相轨线
2n
环形相空间
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讨论：
●单周期振动，每隔2运动状态复原，
即相轨线每次都从同一点穿过彭加勒截 面，★在彭加勒截面图上只有一个不动 点； ●倍周期的运动，彭加勒截面图上有 两个不动点； …。 ●运动无周期性，则彭加勒截面图上有无穷多个点。
★简谐振动是周期运动，每隔一定的时间运动又复原，
所以相轨线 ( 为一) 闭合曲线。 9
3. 自治系统与非自治系统
●不显含时间 t 的动力学方程称为自治系统，而显含 时间 t 的动力学方程称为非自治系统。
★由线性单摆
方程可得
（角谐振动）




2
不显含 t ，在二维相 空间中为自治系统。
因 t 2n ，若以2 为周长，将相空间弯成
一圆环，则在该环形相空间上所取的任一固定截面 称为彭加勒截面。

相轨线



2
2n
2(n 1)
三维相空间



相轨线
2n
环形相空间
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●相轨线在彭加勒截面上的交点的集合就称为 彭加勒截面图。
混沌带的合并 --从逆着混沌演化的方向，可找到混沌 带合并的规律：
2n 16 8 4 2 1 0 29
c. 普适性
若将第n倍周期分岔（或混沌带合并）时对应的参
数记为n，则相继两次分岔（或合并）的间隔之
比趋于同一个常数：
费根鲍姆常数
lim n n1 4.66920160910299067 n n1 n


O
自治系统的相空间与相轨线
●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交， 即通过每一相点的轨线是唯一的。
而非自治系统中相轨线则会相交。如上述系统在二
维 ( ) 相平面上相轨线有相交情况。 11
4. 彭加勒截面图
若沿方向截取一系列截面，则根据该自治系统的
性质，每个截面上只有一个交点，即相轨线一次 性的穿过每一个截面。
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周期窗口 ●在混沌状态中又复现的周期性运动，称为混沌区 中的周期窗口。 如继续增大 f ，当 f =1.53，则出现一个三倍周期的 运动---周期三窗口。 当 f =1.75时，系统又再次进入混沌状态。
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五、混沌的演化，内部结构和普适性
1. 混沌的演化（通向混沌的道路）
利用最简单的非线性方程作进一步分析：
后面第五位上，而给运动带来的差别正可谓“差之
毫厘，失之千里”。
●处于混沌状态时，系统的行为对于初值十分敏感， 称这一特性为混沌的初值敏感性。
---蝴蝶效应---
x
运动的随机性
●相图(b)反映出混 沌运动的随机性。 即相轨道(运动状态) 完全不可预测。
v
x
(b)
(a) v
x
(c)
t
v
x
(d)
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混沌的内在规律性----混沌吸引子 图(a)中两条曲线的运动完全各异，但它们的彭加勒 截面图[(c)和(d)]却又是完全相同的。把混沌的相轨 线在彭加勒截面上的这种点集称为混沌吸引子。
l2
运动分析：
在最高点 = ， = 0， d 0
dt
O
l
m
N
系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况：
a. 停留在该顶点，尔后径直下落；
b. 调头沿原路返回；
c. 越过该顶点继续向前运动。 6
类似地，当令0=0，
02

4g l


0
cos
2
，则解为
最高点( = )，非稳平衡，运动非唯一性。
●当n，则解的数目，意味着系统已进入混
沌状态。将混沌开始时对应的 记为 ( =1.40115518909205 )。
通向混沌的其它道路
●准周期道路：平衡态→周期→准周期→混沌.
●阵发混沌道路
xn
2. 混沌区的结构 a. 窗口 ●在混沌区中重又出现 的周期性运动。
★窗口中包含着与整体 完全相似的结构。
结论： ●初始条件的微小差别对周期性运动不产生影响， 或者说周期运动对初值不敏感。 混沌运动
继续增大 f，当 =1.3，随机性运动取代了周期性运动， 表明系统已进入混沌状态。
18Leabharlann Baidu
注意：图(a)中的两条运动曲线的初值分别为x0=1，
0= 0和 x0=1.00001，0=0.00001。误差仅在小数点
岔中的各对周期点之间的距离之比又趋于另一个常
数 ，称为标度因子或普适常数:
= 2.5029078750958928
例如，图中
lim an =
a n n1
xn
a1
1
=2.5029078750958928 2
混
a3
沌
a2
区
注意：当不满足 n
，则比值只是近似的。
1
2 3

★受迫振动：经过暂 态之后趋于一稳定的 闭合圈---周期吸引子 或极限环。
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2. 非线性近似下的单摆运动 混沌
d2x dt 2

dx dt
x x3

f
cos t
★方程代表复杂的非线性振动系统。
为简化问题，在四个参数中只改变 f 的值。
数值模拟发现，随着 f 的逐渐增大，该振动系统产 生了由简单的周期运动到出现倍周期分岔，再进
非线性振动系统及混沌的基本概念
概述：混沌的发现 ●非线性系统的运动现象
●蝴蝶效应 1961年冬的一天，美国麻省理工学院的气象学家爱德 华·洛仑兹在计算机上模拟天气情况，他的真空管计 算机速度约每秒做6次乘法。 经简化后的洛仑兹气象模型为
x (y x)

y

(r

z)x

y
z xy bz
1
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机 却偏离了上次的结果。
他第二次输入时去掉了小数点后面三位：
0.506127 0.506
混沌的初值敏感性
2
●蝴蝶效应
洛仑兹吸引子（奇怪吸引子）
3
非线性振动系统及混沌的基本概念
8
三、混沌的基本概念
1. 混沌定义（物理学上）：在确定性系统中所表现出 来的内在随机行为。是一个决定论的系统中所存在的 运动的不可预测性。
2. 相图
●描述系统运动的各状态参量之间的关系图。
例：自由单摆（简谐振动）
d 2 2 0
dt 2


O
Acost, Asin t
◎混沌吸引子是非 x
线性耗散系统混沌
的特征，表明耗散 v
系统演化的归宿。
★代表混沌行为的
x
全局特征。
(b)
(a) v
x
(c)
●混沌吸引子体现出混沌运动的内存规律性。
t
v
x
(d)
20
x
初值悬殊的 三个吸引子
结论 ★混沌行为具有 极为敏感的初值 依赖性；
v x
v x
t
v
x
★然而混沌的全局特征——混沌吸引子却具有不依 赖于初值的、确定的规则。 ●貌似随机的混沌运动，其长期的演化行为遵从确 定的规律---混沌运动的内在规律性。 ★这是混沌运动区别于真实随机运动的重要标志。
入混沌的演化过程。
从周期运动到倍周期分岔 ◎当 f = 0.8，系统的运动仍是 一个简单的周期运动。
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◎当 f =0.89，其结果为一个二倍周期的运动，即出 现了倍周期分岔。
说明：图中看上去的每一条曲 线实际上是完全重合的两条曲 线，它们的初始值略有差异：
a. x0=1，0=0； b. x0=1.001，0=0.001.